Strukturat Algjebrike - Universiteti "Nënë Tereza", PDF

UNIVERSITETI ,,NËNË TEREZA,,- SHKUP STRUKTURAT ALGJEBRIKE Shpëtim Rexhepi Dispensë 2020-SHKUP 1 Kapitulli 1...

UNIVERSITETI ,,NËNË TEREZA,,- SHKUP STRUKTURAT ALGJEBRIKE Shpëtim Rexhepi Dispensë 2020-SHKUP 1 Kapitulli 1: Logjika Matematike Gjykim është fjalia deklarative e cila mund të jetë e vërtetë ose e pa vërtetë. Zakonisht gjykimet shënohen me shkronja të vogla përshembull : p,q,r,s,t....e tjerë. Shembull: Të diskutohet nëse fjalitë e mëposhte janë gjykime ose jo ? 1. Qeni ka 6 këmbë. 2. 2+3=5 3. Drejtëkëndëshi është negativ. 4. 4+5=16 5. Mbylle derën  6. Sa është ora 7.Molla është fruti më i mirë 8. Tetova është kryeqyteti i Maqedonisë së Veriut Zgjidhje : 1. Gjykim jo i vërtetë. 2. Gjykim i vërtetë 3. Nuk është gjykim pasiqë fjalia nuk ka kuptim. 4. Gjykim jo i vërtetë 5. Nuk është gjykim(fjali urdhërore). 6. Nuk është gjykim ( fjali Pyetëse). 7. Nuk është gjykim, pasiqë nuk mund të flitet për vërtetësinë e fjalisë 8. Gjykim jo i vërtetë. 2 Një gjykim ka vetëm dy mundësi vërtetësie dhe atë: i vërtet ose jo i vërtetë. Simbolikisht vërtetësia shënohet si në vijim: ( ) = T i vërtetë. ( ) = 1 i vërtetë. ( ) = ⊥ Jo i vërtetë. ( ) = 0 Jo i vërtetë. Për dy gjykim ka 4 mundësi vërtetësie dhe atë : p q  T T T ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ Pra numri i gjykimeve është 2 , Numri i mundësive të vërtetësisë është 4 = 22 Për tri gjykime numri i mundësive të vërtetësisë do jetë , 8 = 23 p Q R T T T T T ⊥ T ⊥ T T ⊥ ⊥ ⊥ T T ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ Nëse numri igjykimeve është n , atëherë do kemi 2 mundësi 3 vërtetësie. Negacioni (E kundërta, e anasjellta e Gjykimit) Negacioni shënohet me : ¬ , ,. p ¬  T ⊥ ⊥ T Vlejnë relacionet e mëposhtme: ¬(¬ ) = ¬(¬)(¬ ) = ¬ Shembull: Të gjendet Negacioni i gjykimeve të mëposhtme: 1. Sot është ditë me diell. 2. Nesër është e premte. 3. 4+5=9 4. 2 + 3 ≤ 4 Zgjidhje : Negacionet e gjykimeve të mësipërme do jenë: 1. Sot nuk është ditë me diell. 2. Nesër nuk është e premte. 3. 4 + 5 ≠ 9 4. 2 + 3 > 4 Gjykimet e përbëra(kompozuara) : Një gjykim i cili formohet nga dy ose më shumë gjykime të tjera me fjalë lidhëse quhet gjykim i përbërë. 4 Në vijim japim disa nga gjykimet e përbëra më të njohura: Konjuksioni : Gjykimi i përbërë nga gjykimet p dhe q, i cili në mes ka fjalën lidhëse ,,dhe,, quhet konjuksion i p dhe q dhe shënohet me: ∧ “∧”(DHE). (lexohet: gjykimi p dhe gjykimi q) Konjuksioni është i vërtetë nëse të dy gjykimet janë të vërteta , përndryshe është gjykim jo i vërtetë. Konjuksioni në tabelë vërtetësie jepet si në vijim: P q ∧ T T T T ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ Vlejnë relacionet: ∧ = ∧ ⊥ = ⊥ ∧ = ∧ ¬ =⊥ Disjuksioni : Gjykim i përbërë nga gjykimet p dhe q, të cilët ne mes lidhen me lidhësen “ose” quhet disjuksion i p dhe q, dhe shënohet ∨ , “∨”.(OSE) ( lexohet gjykimi p ose gjykimi q). Disjuksioni nuk është i vërtetë në qoftë se dy pohimet nuk janë të vërteta , përndryshe është gjykim i vërtetë. 5 Tabela e vërtetësisë për disnjuksioni jepet si ne vijim: p q ∨ T T T  T ⊥ T ⊥ T T ⊥ ⊥ ⊥ Vlejnë relacionet e mëposhtme: ∨ = ∨ ¬ = ∨ = ∧ ¬ = ⊥ ∨ ⊥ = Disa veti të Konjuksionit dhe Disjuksionit : 1. Vetia Komutative : ∧ ≡ ∧ ∨ ≡ ∨ 2. Vetia Asiociative : ∧ ( ∧ ) ≡ ( ∧ ) ∧ 3. Ligji i Demorgranit : ¬( ∧ ) ≡ ¬ ∨ ¬ , ¬( ∨ ) ≡ ¬ ∧ ¬ 4. Ligji Distributiv : ∧ ( ∨ ) ≡ ( ∧ ) ∨ ( ∧ ) ∨ ( ∨ ) ≡ ( ∨ ) ∧ ( ∨ ) 6 Shembull : a )Me anë të tabelës së vërtetësis të tregohen pohimet e më poshtëm  ∧ ( ∧ ) ≡ ( ∧ ) ∧ p q r ∧ ( ∧ ( ∧ ∧ ∧ ) ) ∧ T T T T T T T T T ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ T ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ b) D.SH : ∧ ( ∨ ) ≡ ( ∧ ) ∨ ( ∧ )? ? ? ) [( ∨ ) ∧ ( ∨ ¬ )] ∨ ¬ = ] i) Vërtetim Me anë të tabelës së vërtetsisë ? p q ¬ ¬ ( ∨ ( ∨ ( ∨ ) ∧ [( ∨ ) ∧ ) ¬ ) ( ∨ ¬ ) ( ∨ ¬ )] ∨ ¬ T T ⊥ ⊥ T T T T T ⊥ ⊥ T T T T T ⊥ T T ⊥ T ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ T T ⊥ T ⊥ T ii) Vërtetim me anë të ligjeve logjike:  7 [( ∨ ) ∧ ( ∨ ¬ )] ∨ ¬ ≡ ≡ [ ∨ ( ∧ ¬ )] ∨ ¬ ≡ ≡ [ ∨⊥] ∨ ¬ ≡ ∨ ¬ ≡ d) Të vërtetohet : ( ∧ ¬ ) ∧ ((¬ ∧ ) ∨ ( ∧ ¬ )) ≡ 0 Vërtetim me anë të tabelës së vërtetësisë: p q ¬ ¬ (¬ ∧ ( ∧ ( ∧ (¬ ∧ ) ∨ ( ∧ ) ¬ ) ¬ ) ( ∧ ¬ ) ¬ ) ∧ ((¬ ∧ ) ∨ ( ∧ ¬ )) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Vërtetim me anë të ligjeve logjike: ( ∧ ¬ ) ∧ [(¬ ∧ ) ∨ ( ∧ ¬ )] ≡ ( ∧ ¬ ) ∧ [¬ ∧ (¬ ∨ )] ≡ ( ∧ ¬ ) ∧ ¬ ∧ (¬ ∨ ) ≡ 0 ∧ ¬ ∧ ( ∨ ) ≡ 0 Një gjykim i cili është i vërtetë në të gjitha rastet quhet Tautologji , ndërsa një gjykim i cili është i pavërtetë në të gjitha rastet Kontradicion. Shembull: Cakto vërtetësinë e gjykimeve p, q dhe r nëqoftë se vlenë relacioni: 8 ∧ ¬(¬ ∨ ) ≡ Zgjidhje: Pra kemi : ≡ , ¬(¬ ∨ ) ≡ ≡ , ¬ ∨ ≡⊥ ≡ , ¬ ≡⊥, ≡⊥ ≡ , ≡ , ≡⊥ Implikacioni Implikacioni formohet në qoftë se gjykimet p dhe q klidhen me lidhëse ,,Nëse p atëher q,, Ose,, p implikon q,, ose ,,nga p rjedhë q,,. Implikacioni është jo i vërtetë nëse gjykimi i parë është i vërtet dhe gjykimi dytë jo i vërtetë , përndryshe në të gjitha rastet është i vërtetë. Tabela e vërtetësisë për implikacionin jepet si në vijim: p q => T T T T ⊥ ⊥ ⊥ T T ⊥ ⊥ T Vlenë pohimi i mëposhtëm: => ≡ ¬ => ¬ të cilën i vërtetojmë me anë të tabelës. p q ¬ ¬ => ¬ ¬ => ∨ ¬ 9 T T ⊥ ⊥ T T T T ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T T ⊥ T T T ⊥ ⊥ T T T T T Shembull: Nëse vlenë ∧ => ≡ 0, ℎ ¬[( ∧ ) ∨ ( ∨ )] => ( => ¬ ) =? Zgjidhje: Pra kemi ∧ ≡ 1 ℎ ≡ 0 Pra p≡ 1 , ≡ 1 ℎ ≡ 0 [(1 ∧ 0) ∨ (1 ∨ 0)] => (0 => 0) ≡ [0 ∨ 1] => 1 = ¬1 => 1 = 0 => 1 = 1 Shembull: Vërteto që: ∧ {( => ) => [¬ ∧ ( => )]} ≡ 0. i) Vërtetim me anë të tabelës së vërtetësisë: p q ¬ => ∧ ( ( => ) => [¬ ∧ ∧ {( => ) = => ) ( => )] > [¬ ∧ ( => )]} 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 ii) Vërtetimme anë të igjeve logjike: ∧ {( => ) => [¬ ∧ ( => )]} ≡ 0 10 ℎ => = ¬ ∨ ≡ ∧ {¬(¬ ∨ ) ∨ ( ∧ (¬ ∨ ))} = ≡ ∧ {( ∧ ¬ ) ∨ (¬ ∧ ¬ ) ∨ ( ∧ )} = ≡ ∧ {( ∧ ¬ ) ∨ (¬ ∧ ¬ )} = ≡ ∧ {¬ ∧ ( ∨ ¬ )} = ∧ {¬ ∧ 1} ≡ ∧ ¬ ≡ 0 Ekuivalenca Ekuivalencë: formohet me lidhjen e dy gjykimeve p,q të lidhura me lidhësen ,,nëse dhe vetëm nëse” dhe simbolikisht shënohet me. Ekuivalenca është gjykim i vërtetë në qoftë se dy pohimet kanë vërtetsinë e njejtë , përndryshe është gjykim i pa vërtet. Tabela e vërtetësisë për ekuivalencën jepett si në vijim: p q T T T T ⊥ ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ ⊥ T Vlejnë relacionet e mëposhtme: ≡ ( => ) ∧ ( => ) ≡ (¬ ∨ ) ∧ (¬ ∨ ) Shembull: Të shqyrtohet saktësia(vërtetësia) e gjykimeve të më poshtme : 11 1. Toka është planet atëher dhe vetem atëher nëse qymyri është i zi. Pra është gjykim isaktë, pasiqë TT=T. 2. Lulja është pemë atëher dhe vetem atëher nëse bora është e kuqe. Pra është gjykim i pasaktë, pasiqë T⊥=⊥ Kuantifikatorët Matematikor Dallojmë këto kuantifikatorë matematikor : ∀x, ( ë ) ∃x, ( ) ∃!x, ( ℎ ) "∄" , ( ) Shembull: Të gjendet vërtetsia e gjykimeve : 1. Disa mollë janë të gjelbërta. / E saktë. 2. Gjithë shqiponjat kanë katër këmbë./ E pasaktë. 3. Disa numra të thjeshtë janë tekë./ E saktë. 4. Gjithë muajt e vitit kanë nga 30 ditë./ E pasaktë. 5. ∃x, , ashtu që x-1=0./ E saktë sepse për x=1,1-1=0. 6. Egziston x ashtu që 2 < / ë  =12, (122) (∀ ∈ , 2 − = 0) =⊥ ∨⊥= 6. ∀ ∈ , ∃ , ( 2 + 2 ≥ 0) − ë Negacioni Për detyrë shtëpije. Disa shembuj për përsëritje: 1) ( ∧ ) ∨ [( ∨ ) ∧ (( => ))] P Q r => ( ∨ ) ∧ ( ( ∧ ( ∨ ) ∨ ( ∨ ) ∧ ∨ => ) ) ( => ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2)( ∧ ) ( => ) P Q r ( ∧ ( => ( ∧ ) ( => ) ) ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3)[( => ) ∧ (¬ => )] ∨ ( ) Të plotësohet tabela: 13 p q r ¬ ( => (¬ => [( => ) ∧ (¬ ( [( = ) ) => )] ) > ) ∧ (¬ = > )] ∨ ( < => ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4)( => ) ∨ ( ). Të plotësohet tabela:  P Q r ( => ( ) ) (¬ ∨ ) ∨ {(¬ ∧ (¬ ∨ 1 1 1 1 1 ))} ∨ {(¬ ∧ (¬ ∨ ))} ≡ 1 1 1 (¬ ∨ ) ∨ [( => ) ∧ ( 1 1 1 => )] 1 ≡ (¬ ∨ ) ∨ (¬ ∨ ) ∧ (¬ ∨ ) 0 1 1 1 ≡ (¬ ∨ ) 0 1 1 1 0 1 1 36. 0 1 1 ( => ¬ ) => (¬ => ) 5) Me ligje matematike thjeshtojmë shprehjen: ( ∨ ) ∧ ( => ) ∨ ( ) 14 ( => ¬ ) => (¬ => ) ≡ (¬ ∨ ¬ ) => ( ∨ ) p q r ¬ ¬ ( => (¬ => ( => ¬ ) => (¬ => ¬ ) ) ) 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 Qarqet Elektrike 1. Kombinimi serial i qarqeve elektrike : ∧ 2. Kombinimi i qarqeve elektrike në mënyrë paralele : ∨  15 1. Të vizatohet qarqet elektrike ∧ ( ∨ )? 2. ∧ [( ∧ ) ∨ ] 3. Qarqet e më poshtme të shprehen në formë të gjykimeve ? ( ∨ ) ∧ [ ∧ ∧  ∧ ∧ ] 16 a) { ∧ [( ∧ ) ∨ ( ∨ ) ∧ ( ∨ )]} b) ( ∨ ) ∧ {( ∧ ) ∨ ∨ ( ∧ )} Aksiomat Dhe Teoremat : Përkufizim 1 : Pohimet të cilat merren të sakta pa vërtetim quhet aksioma apo postulate. Përkufizim 2: Pohimet të cilat mund të vërtetohen duke shfrytëzuar fakte ndihmuese, siq janë Aksiomat , quhen teorema. Llojet e vërtetimeve të teoremave : 17 1. Vërtetime direkte(të drejtëpërdrejta) : Fillojnë me hipoteza dhe kalon nëpër fakte të njohura në mënyrë që të arrijë në përfundimin e duhur. Shembull : Të vërtetohet se shuma e dy numrave tek është numër cift Marrim qe numri x dhe y janë numra tek x=2k+1 , ku ∈ , z=2t+1 , ku ∈  atëherë x+z=2k+1+2t+1=2k+2t+2=2(k+t+1)=2s ku ∈. 2. Mënyra Indirekte : Zakonisht vëtetohet me anë të kontradicionit. Shembull : Të vërtetohen se katrori i numrit cift është numer cift. Vërtetim : Supozojmë se ekziston të paktën një numer tek x ashtu që 2është numer qift, atëherë x=2m+1, ∈ , 2 = (2 + 1)2 = 4 2 + 2 · 2 + 12 = ℎ 2 + 4 + 1 = 2(2 2 + 2 ) + 1 = 2 + 1, ∈. fituam të kundërtën që do të thotë se pohimi në detyrë, katrori i numrit cift është numër cift. 18 Kapitulli II: Bashkësitë Mënyra e dhënies(paraqitjes) së bashkesive: 1. Bashkësitë mundë të paraqiten me diagram të Ëenn-it :  Shembull: Të paraqiten me diagram të Ëenn-it bashkësitë e mëposhtme: a) A={1,2,3} b) = { , 1, , −4} 2.Në formë të listuar (Shkruar) për shembull : Shembull: Të shkruhen bashkësitë e meposhtme në formë të shkruar ? 1.{ ë ë } ′′ ′′} 2.{ ℎ ë 1.{ ë ë , ë , ë ë, , , ℎ , } 2. = { , , , , , } 3. Në formë Përshkruese : Shembull: Bashkësitë të shkruhen në formë përshkruese ? = {0,2,4,6,8,10} = { , ë ë} = { = 2 , 0 ≤ ≤ 6 ∈ } 19 = { ë ℎ ë ë ë ë ℎ ë } Shembull: Të shënohen elementet e bashkësive : 1.{ 2 + 1 = ∈ } 2.{ ( − 1)( − 2) = 0, ∈ }  3.{ ℎ ℎ ë ë ë 50}{ ≥ , ∈ } ∶ 1. = ∅ 2 + 1 = 0 1,2 =− ± √ 2 − 4 · · 2 2 · 1,2 =−0 ± √0 − 4 · 1 · 1 2 · 1 1,2 =− ± √−4 ±2 2→ √−4 = √−4 · (−1) = 2√−1 = 2 1,2 = 2 1 = 2 = −1 2. = {0,1,2} 3. = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41,43,47} Llojet e bashkësive : 1. Bashkësi e zbrazët : Bashkësia e cila nuk përmban asnjë element quhet bashkësi a zbrazët dhe shënohet me { }, ∅. Shembull: ) = { ë ë 1961} → = ∅. ) = { ë ë ë ℎ } = ∅. ) = {∅} → ë ℎ ë ℎ ë ë ë. Vlenë relacioni: ∅ ≠ {∅}  20 2. Bashkësi e fundme, bashkësi e pafundme: Përkufizim : Në qoftë se numri i elementëve të një bashkësie është i fundëm atëherë ajo quhet bashkësi të fundme , në të kundertën quhet bashkësi e pafundme. Bashkësi A është nënbashkësi e B në qoftë se cdo element i bashkësisë A i takon edhe bashkësisë B, Shkruhet ⊂ = { ∈ → ∈ }. Vetitë : Bashkësia e zbrazët është nënbashkësi e cdo bashkësie ∅ ⊂. Cdo bashkësi paraqet nënbashkësi të vetes së saj ⊆. Bashkësia Partitive(E pjesëshme) : Bashkësi partitive quhet bashkësi e të gjithave nënbashkësive të një bashkësie të dhënë. Shembull: Të gjenden bashkësitë partitive te të gjithave bashkësive të më poshtme.? a) = {1} , b) = {1, }, c) = {1, −2, }, d) = {1, , 2, } Zgjidhje : ) ( ) = {∅,{1}} → ( ) = 1 → ( ( )) = 2 = 21 ) ( ) = {∅,{1},{ },{1, }} → ( ) = 2 → ( ( )) = 4 = 22 ) ( ) = {∅,{1},{ },{−2},{1, −2},{1, },{−2, },{1, −2, }} → ( ) = 3  21 3 → ( ( )) = 8 = 2 ) ( ) = {∅,{1},{ },{2},{ },{1, },{1,2},{1, },{ , 2},{ , },{2, },{1, , 2},{1, , },{ , 2, },{1,2, , → ( ) = 4 → ( ( )) = 16 = 24 Në qoftë se n(A)=m , atëherë m(P(n))= 2...!!? Shembull: Në qofte se numri i bashkësive partitive të bashkësisë A ka 23 −8elemente, ku bashkësia A ka n-elemente të gjendet vlera e m. Zgjidhje: n(A)=n = ( ( )) = 2 = 23 −8 = = 3 − 8 = − 3 = −8 = −2 = −8 8 = = 2 = = 4 Numri i nënbashkësis me r-elemente ku bashkësia ka n-elemente llogaritet me formulën : ! ( ) = !( − )! Shembull:: 3 3! ( 2) = 3! 2!(3−2)!= 2!.3 211!= 2!= 3 4 ( 2) =4!  2! (4 − 2)!=4! 2! 2!=2! · 3 · 4 2! 2!= 6 22 4! · 5 · 6 · 7 7 ( 4) =7! 4! 3!=5 · 6 · 7 4! (7 − 4)!=7! 6= 35 Vërejtje : 4! 3! ( ) = → ( ( )) = 2 → ( 0) + ( 1) +( 2) +.... ( ) = 2 2 =( 0) + ( 1) + ( 2) +.... ( ) = 2 Shembull: Nëse numri i nënbashkësive me dy elemtente është e barabartë me numrin e bashkësive me 5 elemente atëherë të gjindet : a) Numri i nënbashkësive me 3 elemente ? b) Numri i nënbashkësive me më së shumti 2-elemente ? c) Numri i nënbashkësive me më së paku 3 –elemente? a) 5 ( 3) =5! 20 3! 2!= 3! · 4 · 5 3! 2! 2= 10  b) ( 2) = ( 5) , → ( ) = ( − ) , → = 7 = 2 , → − = 5 , → − 2 = 5 , → = 7 7 7 7 c) ( 3) + ( 4) + ⋯.. + ( 7) Bashkësia më e madhe e cila i përmban të gjitha bashkësitë quhet bashkësi univerzale dhe shenohet me “ ”. 23 Intervalet te Numrat Real a) [ , ] = { ≤ ≤ } b) [ , ] = { < ≤ } c) [ , ] = { ≤ < } d) [ , ] = { < < }  24 Unioni ∪ = { ∈ ∈ } Shembull: = {−1, −2,0} = { 2 < ≤ 6, ∈ } = {8,4,5,6} ∪ = {−2,0, −1,8,4,5,6} Prerja ∩ = { ∈ ℎ ∈ }  25 Shembull : ∩ = ∅ ℎ ∩ ë ∶ = { −2 < < 2, ∈ } = { 2 ≤ 4, ∈ } = {1} = {0,1,2, −2, −1} ∩ = {1} Diferenca \B = {x x ∈ A dhe x ∉ B} Shembull: A = {1} B = {a, 1,2, −1, −2} A\B = ∅ 26 B\A = {a, 2, −2, −1} A\B → I takon A dhe nuk i takon B − së. B\A → I takon B dhe nuk i takon A − së.. Komplementi i Bashkësisë( e kundërta e bashkësisë) = { ∉ } Shembull: = (3,8], = [−4,5), = (3,7) Cakto : ∩ , ∩ , \ , \ , \ , \ , \ ∩ = {3,5} , ∪ = {−4,8}, \ = {5,8}, \ = {−4, −3}, 27  \ = {−4,3}, \ = {5,7}, = {−∞, −3} ∪ {8, ∞} Numri ( ∪ ) = ( ) + ( ) = ( ∩ ) Shembull: Për bashkësitë A dhe B në qoftë se ( ∩ ) = 4 n(A) dhe n(B)= ( ∩ ) = 14 të gjendet numri i elementëve të bashkësisë partitive të bashkësisë B? Zgjidhje: 1. + 4 = + 4 2. + = 10 3. ( ) = 4 + 5 = 9 = 2 = 10 ( ( )) = 23 + 4 + = 14 = 5 + = 10 Vetitë te operacionit të bashkësive 1. ∪ = ∪ ligji Komutativ ∩ = ∩ 2. ∩ ( ∩ ) = ( ∩ ) ∩ ligji Asiciativ ∩ ( ∪ ) = ( ∪ ) ∩ 3. ∩ ( ∪ ) = ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ligji Distributiv ∪ ( ∩ ) = ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) 28 4. ( ∩ ) = ∪ Ligji Demorganit 5. ( ∪ ) = ∩ Shembull: Në qoftë se ∩ = (−1,2,3) ∩ = (3,4,5) Të caktohet : ∩ ( ∪ ). ? ∶ ∶ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) {−1,2,3} ∪ {3,4,5} = {−1,2,3,4,5} Shembull: ∪ ( ∩ ) { \( ∪ )} ∪ {( ∩ )\ } ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ( ∩ )\ ose ( ∩ )\ 29 Disa veti te operacionet me bashkësi: \ = ∅, ∩ =  ∩ ∅ = ∅, ∪ ∅ = , ∩⊔= , ∪⊔=⊔, ⊔= ∅, ⊔/ = , ∪ = , \ = ∩. Shembull: Të vizatohen bashësit : a). [( ∪ ) ∩ ] b). [( ∪ ) ∖ ( ∩ ∩ )] c). [( ∪ ) ∖ ( ∩ )] ∩ d). ∩ ( ) 30 Shembull: Të thjeshtohen bashkësitë e mëposhtme: a) [( ∩ ) ∩ ( ∪ )] ∪ ( ∩ ) b) ∪ [( ∪ ) ∩ ] Zgjidhje: a). [( ∩ ) ∩ ( ∪ )] ∪ ( ∩ ) = b). ∪ [( ∪ ) ∩ ] = [( ∪ ) ∩ ( ∪ )] ∪ ( ∩ ) = ∪ [( ∩ ) ∪ ] = [ ∪ ( ∪ )] ∪ ( ∩ ) = ∪ [( ∩ ) ∩ ( ∪ )] = ∪ ( ∩ ) = ∪ [ ∩ ( ∪ )] = ∪. ∪ ( ∪ ) = ( ∪ ) ∪ = ∪ = 31 Kapitulli III. Relacionet,funksionet dhe operacionet Prodhimi i kartezian: Çifti i formës A,B i formuar nga dy kompinentët ,komponenta e parë është A dhe e dzta ështe B-ja quhet çift i renditur dhe simbolikisht shënohet (A,B) y Vlenë (a b c d a c dheb d a)( x y ,3 5,. ) = −( ) ,,)=⇔==() b) Shembull: (4 ,3 7,6 3. x y x y Të gjendet x dhe − = − ) ( ) Zgjidhje: a) x y = − = 5, 3. ⎧ ⎪−=−  b) 4 7 /· 3 ( ) 12 3 x y x y 21 ⇔ − +⎨ 6 18 x ⎧−=− =− 63xy ⎩−=633xy = ⎪= ⎩33 ⎨⇔ − x ⇒ = − = − = − = = = y x pra x y 4 7 4·3 7 12 7 5 , 3, 5. Le të jenë A,B dy bashkësi, ku çifti i renditur fitohet në atë mënyrë që komponenta e parë i takon A ndërsa komponenta e dytë B-së. Bashkesia e këtyre çifteve të rendiura quhet prodhim kartezian i bashkësisë A dheB, dhe matematikisht shënohet: AxB a b a Adheb B = ∈ ∈ {( ; | ) } shembull A B a b : 1,3, , , = − = { } { } AxB BxA , AxB a b a b a b = − − {( 1, , 1, , 3, , 3, , 6, , 6, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} BxA a a a b b b = − − {( , 1 , ,3 , ,6 , , 1 , ,3 , ,6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 32 Në qoftë se numri i bashkësisë n(A)=a dhe numri i bashkësis n(B)=b atëher n(AxB)= a ⋅. Shembull: Në qoftë se × = {( , )|( 2, 2, ) = (9,2)( , ) ∈ } Zgjidhje: Atëherë të gjendet A x B , n(A x B) dhe n(p(A x B))=? 2 = 9 2 − 2 = 2 A={ -3 , 3 } | | = √9 2 ≡ 2 + 2 B={ -2 , 2 } | | = 3 2 = 4 A x B = { (-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2) } x = 3 ose x = -3 | | = √4 n ( A x B ) = n ( A ) x n ( B )=2 x 2 = 4 | | = 2 sepse A,B kan nga dy numra. y = 2 ose y = -2 n (p (A x B) ) = 24 = 16 elemente. Prodhimi Kartezian te Intervalet Shembull: Të paraqiten grafikisht prodhimet kartezianë : a) {1,2} x {-3} b)[1,2] x [2,4] c) [-3,5]X[-2,2) zgjidhje: a) {(1,-3),(2,-3)} 33 b)[1,2] x [2,4] c) [-3,5]X[-2,2)  34 Relacionet Në jetën e përditshme vazhdimisht hasim në relacione ndërmjet objekteve, ndërmjet njerëzve, në matematikë, në kompjuterikë etj. Në disa shembuj të relacioneve kemi hasur edhe në kapitujt e mëparshëm, si për shembull, një shprehje logjike është ekuivalente me një shprehje tjetër logjike. Në mënyrë të ngjashme, relacion është edhe fakti se një bashkësi është nënbashkësi e një bashkësie tjetër. Në kompjuterikë, për shembull në bazën e të dhënave në të cilën fjalët janë vendosur sipas radhitjes së alfabetit, ne kemi të bëjmë me relacionin se një fjalë kryeson fjalën tjetër në renditje alfabetike. Shembuj tjerë të relacionit hasim në lidhjet familjare të anëtarëve të familjes: një person është motra e tjetrit, është martuar me..., etj. Relacionet klasifikohen sipas numrit të “objekteve” që i lidhin në: relacione binare, relacione trinare etj.  βështë relacioni prej bashkësisë A-së në bashkësinë B në qoftë se Thuhet se β është nënbashkësi e prodhimit β ⊂ ×A B kartezian A x B, pra Shembull : Janë dhënë bashkësitë A={1,4,5} , B={1,2,3,6} , β={(x,y) | x < y, ∈A x B} (x,y) βme diagram të Ëenn-it dhe sistem Paraqitni relacionin Zgjidhje : koordinativ. β= {(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)} 35 Inverzi i Relacionit Le të jetë β ={x,y | x Є A dhe x Є B} , β−1= {(y,x) | x Є A dhe y Є B} është relacion inverz(I anasjelltë) i relacionit β. Shembull: Le të jenë dhënë bashkësite A = {-3,-1,0,1} , B = {-1,-2,-1}. Nëse β={(x,y) | x ≤ y , x Є A , y Є B} β= {(-3,-2),(-3, ,-1),(-1,-1)} të gjendet β−1=? Zgjidhje: β−1= {(-2,-3),(-1,-3),(-1,-1)} 36 Vetitë e Relacionit Shembull : Le të jetë dhënë bashkësia A ={1,2,3}. Të diskutohet nëse relacionet e mëposhtme janë refleksive! a). B1 = {(1,1),(2,2),(3,3)} → është relacion refleksiv. b). B2 = {(1,2),(2,2),(3,3),(2,3)} → nuk është refleksiv sepse (1,1) nukë është element I B2. c). B3 = {(1,1),(1,2),(2,2)} → nuk është refleksiv sepse (3,3) nuk është element i B3 d). B4 = {(1,1),(2,2),(1,3),(3,3)} → është refleksiv. Shembull : Të diskutohet nëse relacionet e mëposhtme janë refleksive! a). B1={(l,d) | l⊥d , l,d janë drejtëza në rrafsh} → nuk është relacion reflektsiv pasi që një drejtëz nuk mund të jetë normal me veten e saj. b). B2={(l,d) | l ‖ d, l,d drejtëza në rrafsh} → po reflektsiv pasi që merret se cdo drejtëz është paralel me veten e saj. c). B3={(l,d) | l kongruent (të puthitshëm) me d, ku l dhe d janë trekëndësha në rrafsh } → po refleksiv sepse qdo trekëndësh është i puthitshëm me veten e tij. d). B4={(A,B) | AcB, A,B--bashkësi } → nuk është relacion reflektiv pasi që A ⊆ A. 37 Shembull: Të shqyrtohet nsëse relacionet e mëposhtme janë simetrike! a). Shembull (Shembulli paraprak) është relacion simetrik që l ⊥ d ⇒ ⊥ b). relacioni simetrik pasi që ∥ ⇒ ∥ c). simetrik për arsye të njejta. d). nuk ësht relacion simetrik pasi që ⊆ atëherë nuk vlenë ⊆ Relacioni antisimetrik nuk do të thotë se nuk është si disa relacione I kantë dy vetitë , por relacioni simetrik nuk është relacion antisimetrik. Shembull: Le të jetë dhënë bashkësia A={1,2,3}. Diskuto vetitë e relacioneve të mëposhtme: a). B1={(1,2)} → nuk është refleksiv , nuk është simetrik , por është antisimetrik. b). B2={(1,1),(2,2),(3,3)} → është refleksiv ,është simetrik, dhe është antisimetrik. c). B3={(1,1),(1,2),(3,2),(2,3)} → nuk është refleksiv, nuk është simetrik, por është antisimetrik. d). B4={(1,2),(2,1),(3,2),(3,3)} → nuk është refleksiv, nuk është simetrik dhe është antisimetrik. e). B5={(1,2),(2,3),(3,1),(4,2)} → nuk është relacion. (a,b) ∈ B dhe (b,c ) ∈ B ⇒ (a,c) ∈ B- vetia transitive Shembull: Le të jetë dhënë bashkësia A={1,2,3,4}. Diskuto vetitë transitive te relacionet e mëposhtme: B1={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} B1={(1,1),(2,2),(3,3),(3,4)} B1={(2,1),(1,2)} Zgjidhje: 38 B1 është relacion tranzitiv , B2 është relacion tranzitiv , B3 me qenë se (1,4) nuk I takon B3 atëherë B3 nuk është relacion tranzitiv , B1 është relacion tranzitiv. Shembull: Diskuto vetitë e relacionit B={(4,4),(3,3),(1,3),(3,1),(2,2),(2,4)} të definuar në bashkësinë A={1,2,3,4} Zgjidhje: a). Me qenë se (1,1) nuk I takon B atëher B nuk është refleksiv. b). Me qenëse (4,2) nuk I takon B atëher B nuk është simetrik. c). Nuk është antisimetrik pasi që (3,3) ∈ (3,1) për 3 ≠ 1 d). Nuk është tranzitiv pasi që (1,3) ∈ (3,1) por (1,1) ∉ B. Shembull: Të diskutohen vetitët e relacionit B={(x,y) 2 − 2 = 0, (x,y) ∈ } Zgjidhje: a). Vetia refleksive (x,x) ∈ , me qen se − = ⇒(x,x) ∈ , pra është refleksive. b). Vetia simetrike (x,y) ∈ dhe (y,x) ∈ nëse (x,y) ∈ ⇒ − = 0|(-1) − 2 + 2 = 0 2 − 2 = 0 , (y,x) ∈ c). Nuk është relacion antisimetrik 22 − 22 = 0 ⇒ (2,2) ∈ d). (x,y) ∈ ,(y,z) ∈ ⇒ (x,z) ∈ 2 2 { − = 0 2 − 2 = 0 39 − = 0 ⇒ (x,z) ∈ → pra është relacion Tranzitiv. 2 2 Relacioni I Ekuivalencës Le të jetë B një relacion në bashkësinë A. Nëse B është refleksiv, simetrik dhe transitiv, atëherë thuhet se B është relacion i ekuivalencës në bashkësinë A. Shembull: Të tregohet se relacioni = {( , ), 3| − , ( , ) ∈  } relacion i ekuivalencës Zgjidhje:.Vetia refleksive ∀ x ∈ ,(x,x) Є B , sepse 3|x-x , 3|0- pra është refleksiv.. Vetia simetrike (x,y) Є B => (y,x) Є B (?) 3|x-y, kemi se x-y=3A,A Є Z -(x-y)=-3A y-x=-3A : 3=> 3|y-x =>(x,y) Є B pra eshte simetrik.. Vetia transitive 3/x-y dhe 3/y-z Kemi x-y=3T, y-z=3S, respektivisht x-z=3(T-S)=3L, ku S,T,L ∈ D.m.th 3/x-z-pra vlenë vetia transitive, që do të thotë se relacioni B është relacion I ekuivalencës. 40 Relacioni i renditjes Le të jetë B relacion në bashkësinë A, nëse B është refleksiv, antisimetrik dhe tranzitiv atëherë thuhet se B eshte relacion i renditjes. Shembull: Le të jetë dhënë bashkësia A={1,2,3,4} dhe relacioni B={( , )| ≤y,(x,y) Є A x A} I definuar në bashkësinë A. Të shqyrtohet nëse relacioni I dhënë është relacion i renditjes! Zgjidhje: B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}; Pra B është relacion refleksiv, është relacion antisimetrik por jo tranzitiv. Pra B nuk është relacion I rendites  Funksioni Le te jete f një relacion prej bashkesisë A në bashkësinë B. Nëse relacioni plotëson dy kushtet e më poshtm, atëherë themi se f është funkcion. ∀ x Є A , Ǝ y Є B ashtu që (x,y) Є f ∀ x Є A, Ǝ y1,y2 Є B nëse (x,y1) Є f dhe (x,y2) Єf atëherë y1=y2 Një lakore është funksion në qoftë se chdo drejtëz, x=n ku x i takon domenit të funksionit e pret lakoren e tij në një dhe vetëm një pikë. 41 është funksion Nuk është funksion Shembull: Shqyrto nëse relacionet e mëposhtme paraqesin funksione: a) B1={(x,y)| |x|+|y|. Cakto f(3), f(0)=? Zgjidhje: f(3)=(2 − 3)6 = (−1)6 = 1 f(0) = (2 − 0)0 = 20 = 1 43 Shembull: Është dhënë funksioni (2 +1) = 2 + 2 − 5, cakto (32), f(0) Zgjidhje: (32) = (25) = (24+1) = 42 + 2 ⋅ 4 − 5 = 16 − 8 − 5 = 3 f(0) nuk ka zgjidhje, sepse 2 +1 > 0, per cfarëdo x numër real Grafiku i funksionit Bashkësia e gjitha pikave të rafshit koordinativ që u korenspodon elemeteve të funksionit f:A-B quhen grafik i funksionit,dhe simbolikisht shënohet f(x)={(x,y)/ ku x Є A dhe y Є B}. Shembull: 1.të vizatohet grafiku I funksionit ( ) = 2 2 − 1 , A={-2,-1,0,1,2}. Zgjidhje: (−2) = 2 − (2)2 − 1 = 2 ⋅ 4 − 1 = 7 (−1) = 2 ⋅ (−1)2 − 1 = −1 (0) = 2 ⋅ 02 − 1 = −1 (2) = 2 ⋅ 22 − 1 = 7 (1) = 2 ⋅ 1 − 1 = 1 44  2 Të vizatohet grafiku: a) y=3x-1 x 0 1 3 y -1 0 45 3) Të vizatohet grafiku i funksionit = 2 − 4 − 5 1. pikprejrja e parabolës me Ox 2 − 4 − 5 = 0 12⁄ =4±√16+20 4±6 1=5 2= 2| 2=−1 2.kulmi i parabolës 2)) = ((5 + (−1) ( 1 + 2 2, ( 1 + 2 2) ⋅ (2)) = (2, −9) (2) = 22 − 4 ⋅ 2 − 5 = 4 − 8 − 5 = −9 3.pikprerja e paraboles me Oy (0, (0)) = (0, −5) (0) = 02 − 4 ⋅ 0 − 5 = −5 46 Shembull: Nëse nga figura e mëposhtme vlenë f(f(x))+f(2)=4, atëherë cakto x=? Zgjidhje: f(f(x))+1=4 f(f(x))=3 f(x)=-1 x=-4 47 Llojet e Funksioneve 1. Funksioni Injektiv (një-një) Nëse relacioni f e plotëson kushtin 1 ≠ 2 => f(x1) ≠f(x2) ose f(x1)=f(x2)=>x1=x2 atëher thuhet se funksioni f është funksioni Injektiv. Shembull : Cili nga këto funksione të mëposhtme është Injektiv ?  Është Injektiv, pasiqë cdo drejtëz paralele me abshisën pret grafikun e funksionit vetëm në një pikë Nuk është Injektiv se y=3e pret në dy pika. 48 Shembull : Cili nga funskionet e mëposhtme është Injektiv ? a) F(x)=3x-1 , f:R =>12 b) F(x)= 2 + 1 , f: =>12 c) F(x)= 2 + 1 , f: + =>R d) F(x)= 3, f:R =>R Zgjidhje: a) x1 ≠x2 =>f(X1) ≠f(x2)  x1 ≠x2 /∙3 3x1-1 ≠3x2-1/-1 f(x1) ≠ f(x2) =>f-Injektiv. b) f(x1)=f(x2)=>x1=x2? x12 + 1 = x22 + 1 x12 − x22 = 1 − 1 (x1-x2)(x1+x2)=0 x1-x2=0 ose x1+x2=0 x1=x2 ose x1=-x2 Nuk është Injektiv. c) dhe d) funksione injektive. Funksioni Surjetiv : Nëse për funksionin f:A=>B vlenë f(A)=B atëher thuhet se f është funksion surjetiv a) = 3, f:R =>R 49 Meqenëse ∀ ∈ , ∃∈ është y=f(x) =>f(x) është 2 surjetiv/ b) B) = , f:R =>R  pra pershembull => y=-10 -10= 2, x ∈ R, nuk egziston x i tillë , pra f(x) nuk eshte surjetiv. 50 Funksioni inverz(i anasjelltë) Funskioni i cili është Injektiv dhe Surjetiv quhet Funskion Bijektiv. Shembull : f(x)=x+1 , f:Z=>Z është funskioni bijektiv pasi që është funksion Injektiv dhe Surjektiv. Cdo funksion bijektiv ka funksion inverz. Funksioni −1 quhet inverz i funksionit f në qoftë se f është bijektiv dhe nëse f(x)={(x,y)x ∈A , y ∈B} atëherë −1(x)= {(x,y)x ∈A , y ∈B} F F(x)=y −1(y)=x  −1 Gjetja e Inverzit : Shembull: c) y=2 +1 3 −4 a) y=3x-1 a) x=3y-1 b) y=x+3 1 =2 +1 3 −4 b) y=x+3 3y=x+1 x=-y+3 c) y=2 +1 +1 3 −4 y= 3 y=-x+3 x(3y-4)=1(2y+1) x=3 , f(x)=3x3-1=8 −1(x)=-x+3 3xy-4x=2y+1 −1(8)= 8+1 9 3= 3=3 x=2 , f(2)=-2+3=1 3xy-2y=4x+1 (1)=-1+3=2 y=(3x-2)=4x+1 y=4 +1 3 −2 => −1 −1 =4 +1 3 −2 51 2. Për funksionin bijektiv f: [1, ∞) =>[2, ∞), f(x) = ( − 1)2 + 2. −1(x) , −1(3)=? Zgjidhje: y=( − 1)2 + 2 x=( − 1)2 + 2 x-2= ( − 1)2 √ − 2 = ( − 1) ≡ − 1 −1( ) = √ − 2 + 1 −1(3) = √3 − 2 + 1 = 1+1=2 3. a)f:R =>R , f(x)= 3 − 2 + 1 gjej m nese −1kalon nëpër pikën (-2,1) b) f:R=>R , f(x)= 3 − 2 2 + 2 gjej −1(2)=? a) −1(-2)=1 =>f(1)=-2 b) −1(2)=a =>f(a)=-2 f(1)= 13 − 2 + 1 = 2 − 2 3 − 2 2+2=2 2-2m=z 3 − 2 2 = 0 -2m=-2-2 2(a-2)=0=>a=0 ose −1(2)=0 ose −1(2)=a -2m=-4 m=2 52 Kompozimi i funksionit A+BgC f(x)=x-1 , g(x) − 2-1 dhe = [ ( )] = [ 2 − 1]= 2 − 1 −1= 2 − 2 =g[f(x)]=g[x-1]= ( − 1)2 −1= 2 − 2 + 1 = 1 − 2 − 2 Vetitë te kompozimi i funksioneve: 1. ≠ 2. ( ) ℎ = ( ℎ) 3. −1 = −1 => I(x)=x-funksion identik 4.foI=I f 5.( −1)−1 = Shembull: Nëse f(x) = 3 − 2 dhe ( )( ) = 3 − 3 ℎ ( ) =? Zgjidhje : −1 ( ) = ( −1 ) = = 53 −1 g(x) = ( ) = 3, −1( ) = +2 −1 +2 −1(3 − 5) =3 − 5 + 2 3 , (x)= 3 3=3( − 1) 3= − 1 DSH : Y=3x-2 g(x)=3x-2 , f( )=3x-3 X=3y-2 3=3 − 3 3y=x+2 = +2 udhezim : ( 0 ) ∘ −1 = si detyrë paraprake : Shembull: Le të jenë dhënë f,g:R=>R , f(x)= 2 2 − 1 dhe g(x)=2x-3 Gjej: ( −1∘ )−1(3) Zgjidhje : ( ∘ )−1 = −1 −1 ( −1 )−1 = −1 ( − 1)−1 = −1 => ( −1 )−1(3) = ( −1 )(3) = −1( (3)) = −1(2 + 32 − 1) = −1(17) =17+3 20 2= 2= 10 y=2x-3 x=2y-3 y= +3 2= −1( ) 54 Kapitulli IV-Induksioni matematikor, simboli I shumës dhe  prodhimit Induksioni Matematikor Pohimi i dhëne p(n),nЄN vërtetohet se është i saktë për cdo numër natyror në qoftë se: 1. P(n) Është i vërtetë. 2. Për gjith numrat natyror n≥1 vlen implikacioni nga p(n)=>P(n+1) Shembull: Me anë te induksionit matematik të vërtetohet se : 1+2+3+....+n= ( +1) 2 Zgjidhje: për n=1, =1(1+1) 2 =1⋅22 i=1 Supozohet se vlen për n=k , 1 + 2 + 3 + ⋯ + = ( +1) 2 1 + 2 + 3 + ⋯ + + + 1 =( +1)( +1+1) ( +1)( +2) 2= 2(? ) kkkkk +++ ⎛⎞ 1 1 2 ( )( ) () () () 1 2 3... 1 1 1 · 1 ++=⎜⎟ ++++++=++= ⎝⎠ kkkk 222 Rjedhimisht barazimi vlen për cdo numër natyrorë.  55 Shembull: Të vërtetohet se vlen barazimi: 2 ⎛⎞+ nn () 3 3 3 3 1 1 2 3.... ++++=⎜⎟ ⎝⎠ n 2 + ⎛⎞ ⎛⎞ 321 1 1 2 2 () 2 2 Vërtetim për n=1, ⎛⎞+ ⇒=⇒= 111111=⇒= ⎜⎟ kk () ⎜⎟ 1 ⎝⎠⎝⎠22 333 Supzojmë për n=k , +++=⎜⎟ 1 2..... ⎝⎠ k ⎛⎞++ 2 3 333 12 kk ( )( ) =⎜⎟ 1 2... 1 ? + + + + + = ⎝⎠ kk Për n=k+1 , ( ) () 2  ⎛⎞ +⎛⎞ kkk 2 () 2 1 221 1 1 ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ⇒++=+++= ⎝⎠ kkk ()() 24 kk⎛⎞++++++⎛⎞ kkkkk 44212 22 ()()() 2 = ⎜⎟ ⇒+=+ ⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 11 22 ()() 422 2 Shembull: n 211 nx − − Të vërtetohet barazimi : për n 1..... , 1 1. + + + + = ≠ = x x x x 1 − x 11 110 ,11 − −− xx x x vlen 1 ==⇒=11 −− xx k + () 1 21 1  k x − − Supozojmë se vlenë për n x x x x + + + + = ≠... , 1 n=k, 1 − x 56 21 1 +− Provojmë për n=(k+1) , k + kk x 1 1...... ? + + + + + = = xxxx 1 + x 1111· −−−+− kx x x k x xx pravlen kkk kk () ++ 11 2 1 Shembull: 2 +== = x 11−−xx +x 11−−xk −−. 1111 n + + + + =..... Të vërtetohet se: 1·2 2·3 3·4 1 1 n n n ++ () 1111 (). Për n=1 () = ⇒ = vlen 1111. Për n=k 1111122 ++ k + + + + =.... 1·2 2·3 3·4 1 1 k k k ++ () 11111. Për n=k+1 + k ++++=.... + + + + += 1·3 2·3 3·4 1 1 1 1 1 ⇒+=== kkk ( )( ) ⎛⎞+ kkkkkk121211 +++++ 2 () 2 () k 1 kkkkkkk =⎜⎟ +⎝⎠+ +++++++ k +1 ( )( ) 11·21·212 ·22 ( )( ) ( )( ) ( )( ) kk Shembull: − plotëpjestohet me 4 për çdo numër natyror. Të vërtetohet se n 51 () 1 për n=1 1  5 1 4 4·1. − = = vlen Supozojmë për n=k , 5 1 4 , k− = ∈ a a n 514,k Provohet për SSN+ n=k+1, 1 −=∈ 5 1 5 ·5 5 4 5 5 1 4 5·4 4 4 5 1 4 5 1 4 k k k n a a s pra rjedh se + − = − + = − + − + =+=− ()() 1 57 Shembull: et − ⇒S plotpjesoh ne 5, për cdo n Të vërtetohet : 1 numër natyror ( ) 83:n a) Për n=1 , vlen 10 8 3 5 5·1 − = = Supozojmë se vlen për n=k+1 , n=k , 8 3 5 k k − = a () Provojmë nëse vlen për 11 8 3 5 ? kkb ++ −= a ⇒ − = − = + − = + − + + 1 1 8 3 8 ·3 3 ·3 5 3 ·8 3 ·3 40 8·3 3·3 k k k k k k k k () n 40 5·3k = +a 583 () k =+a = 5B pra vlen për çdo numër natyrorë.  58 Simboli i Shumës n Shuma 1 2.... n dhe a a a + + + −Simbolikishtë mund të +++ = ∑ aaaa shënohet 12 ni..... vlenë se : aa ik i ik = == 1 11 nn. ∑ ∑= Te caktohen shumat: 4 1234 1. = ∑ =+++ 1 2. aaaaa. 4 k k ∑ =+++ =. k = 22322 k 2 3 4 5 54 2 7 ∑ −=−+−+−+−+−=ii 1 3 1 ·3 4 1 ·5 5 1 ·5 6 1 ·6 7 1 7 103. 3. ()()()()()() i =8 3 = 22222 4. ∑ = + + + 8. i= 5 15 aaaaaa ∑ =++++=++++= ·3 ·3 ·3 ·3.... ·3 3 3 3..... 3 n 1 2 3 15 2 3 15 5. () n = 1 13 2 3 15 1 3 3 3..... 3 16 − ⇒+++++== 13 − 13313123133 16 16 16 16 16 1 1 · / / dhe a − − − − + −⇒−=+== 22222− Formula të rëndeshishme: ( ) +== nn 1. +++ + ∑ 1 1 1 2 3...... nk k 2 = 1  59 n 2. n −= ()() +++++−= ∑ 2 1 3 5 7.... 2 1 2 1 n k k = 1 n 4 6...... 2 1. n k n n 3. ++++= =+ ∑2 2 1 k () nnn 121 = ++ ( )( ) 2 2 2 2 2 n 1 2 3....... ++++== ∑ 4. nk 6 kn 2 ⎡⎤+ () = 1 nn 1 5. nk 3333 1 2 3..... 3. + + + + = =⎢⎥ ⎣⎦∑ 1 k 2 1 nn = + 1 − r 6. 1....... r r r r r +++++= = ∑− 234 = 1 ( )( ) 0 r k ++ n k nnn 12 1·2 2·3 3·4.... 1 1. + + + + +=+= ∑  nnkk 7. ()() 3 k = 1 11111n n ++++== k 8....... +++∑ 100 100 1 1·2 2·3 3·4 1 1 1 n n k k n ( ) = ( ) 1( ) 100 + a) i 2 50·101 5050. ∑ === i = 1 50 50 50 50 50 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ −++=−++= iiiii 222 3232 b) () iiiii ==−==11111 ⎛ ⎞ + + + + 50 50 1 50 50 1 2·50 1 50 50 1 2 ( ) ( )( ) ( ) ++=⎜⎟ ⇒− ⎝⎠ 262⇒−+++= Të llogariten shumat: 1625625 42925 12 5 100 50·2 1584042 Shembull:  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ −=−−−=−−+= 100 100 31 100 100 100 31 5 3 5 3 5 3 5 3 5· 3 iiiii a) ()()() iiiiiii======= 32 1 1 1 1 1 1 ⇒= 24950. 60 111 1000 1000 58 =− = ∑ ∑ ∑ +++ b) kkk=== kkkkkk111 ()()() 59 1 1 58 942 1000 58 59000 580 / /. − ⇒−== 1001 59 59059 59059 1 ⎛⎞ 1 1 1 1 log 1 log 1 log 1 log 1.... log 1 log 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + = + ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑ +++== +++++ 10 · a) 10= log11 / /. k1239 =k 1 11 ⎛⎞+ 2 4 5 9 log 2 log log log.... log log 441 ⇒++++++= () 3 3 4 10 10 3433 =⎜⎟ ⎝⎠∑ ∑∑∑ 3 4· 5· ⇒ log 2 · 2 2 4+....10 ⎜⎟=== + 511 ()k ijii==== 2 1111 10 3·10 30. b) ⎝⎠⎝⎠∑ ∑ =+ ∑ c) 2 66 kk 2 ⎞ + === k k kkk000 666 ⎛⎞⎛ ⎜⎟⎜⎟ 66666 ⎛⎞ ++= ⎜⎟ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⇒++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠.... 2 0126 10 10 3 d) ( ) ( ) ( ) kik ∑ ∑ ∑ +=+++ ==− 411 = kkkkkk111 10·11· 12 3 3 = − = 420 ⇒ ·4·5 3 440 20 − a: A Detyr P a) 5,?. =−≠ ∑ +log P 2 1 = P1 n  61 xxn 3 − ⎡⎤−+= = ∑ ∑ ⎣ ⎦ k x g x n fog 12,2,2? b) ( ) ( ) ( )( ) ki == 11 Simboli I Prodhimit Prodhimi 0 · 1 · 2............ simbolikisht shënohet me ∏ =1 Të cakëtohen : a). ∏ 4 =1 = 1 · 2 · 3 · 4 7 =4 = 4 · 5 · 6 · 7 = 340 b). ∏ 5 =1 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 243 c). ∏ 3 19 d). ∏.17 =56·67·78·....... =5 +1 18 5 18· 19= 19 Shembull: Nëse ∏ sin 6 =1 13 =1! = 12, =>? 13 + ∏ ( − 1) 6 7 sin 6· sin 6..... sin13 ∏sin 6 =1 6= 0 ∏( − 1)! =1 => = 4 2 = 0! · 1! · 2! · 3!..... ( − 1)! = = sin 6· sin 6...... 0! · 1! · 2! · 3! − 1 = 3 62 Detyra 2 0 a). ∏ (1 +1 ) =1 20 b). ∏ log( + 1) =2 4 + 3 c). ∏ (∏ 2 =0 =1) d). Nëse ∏ (1 −1 +2) =215 cakto n=? =1  63 Kapitulli V-Aritmetika Modulare Modulet- veprimi me module Në qoftë se x-y I plotpjestushëm me ‘m’ atëherë x-y=mk, k∈ dhe shënohet ≡ ( ) Shembull: 8 ≡ 3( 5) 8:5=1, mbetja është 3 8 ≡ 2 ( 3) 8:3=2, mbetja është 2 −1 ≡ 6 ( 7) -1:7=-1, mbetja është 6 Vetitë e Kongruencave: Le të jetë x,y,z,t ∈ ≡ ( ) dhe ≡ ( ) , n > 0 atëher vlejnë vetitë e mëposhtme : 1. + ≡ + ( ) 2. − ≡ − ( ) 3. · ≡ · ( ) 4. · ≡ · ( ) 5. ≡ ( ) Shembull : 17 ≡ 2( 5) 13 ≡ 3( 5) 64 17 + 13 ≡ 2 + 3 ≡ 5 ≡ 0( 5) 30 ≡ 0( 5) 17 − 13 ≡ 2 − 3 ≡ −1 ≡ 4( 5) 4 ≡ 4( 5) Shembull: Të gjendet mbetja gjatë pjestimitë të numrit 965 me modul 7. Zgjidhje: 965 ≡? ( 7) 9 ≡ 2( 7) 92 ≡ 22 ≡ 4 ( 7) 92 = 2 · 4 = 8 = 1 ( 7) 965 = 93·21+2 = 93·21· 92 = (93)21· 92 = 121· 4 = 4 ( 7) Shembull: Të caktohet mbetja gjatë pjestimitë të numrave 674 + 527 8. Zgjidhje: 6 ≡ 6( 8) 62 ≡ 36 ≡ 4 ( 8) 63 ≡ 24 ≡ 0 ( 8) 5 ≡ 5 ( 8) 64 ≡ 0 ( 8) 52 ≡ 25 ≡ 1 ( 8). 527 = 52·13· 51 ≡ (52)13· 5 = = 113· 5 ≡ 5( 8).. 65 674 ≡ 0 ( 8) Përfundimisht: 674 + 527 ≡ 0 + 5 ≡ 5( 8) Shembull: Cakto x në identitetin e mëposhtëm: 425 + 3 · 8125 ≡ ( 6) , =? Zgjidhje: 4 ≡ 4 ( 6) 8 ≡ 2 ( 6) 42 ≡ 16 ≡ 4( 6) 82 ≡ 4( 6) 43 ≡ 16 ≡ 4( 6) 83 ≡ 8 ≡ 2( 6). 84 ≡ 4 ( 6).... 425 ≡ 4 ( 6) 8125 ≡ 2 ( 6)425 + 3 · ℎ 425 + 3 · 8125 ≡ 4 + 3 · 2 ≡ 10 ≡ 4 ( 6) Shembull: Të gjendet mbetja gjatë pjestimit të numrit 50! + 7133 5 Zgjidhje: 50! ≡ 0( 5) 7 ≡ 2( 5) 72 ≡ 4( 5) 7133 ≡ (74)53· 71 ≡ 1 · 2 ≡ 2( 5) 73 ≡ 3( 5) 66 4 7 ≡ 6 ≡ 1( 5) Shembull: Të vërtetohet se 104 +2 + 102 +3⋮ 11 (pra nëse fitohet kongruenca 0 atëher ai numer plotpjestohet me 11). Zgjidhje: Mënyra 1: 10 ≡ 10( 11) 102 ≡ 100 ≡ 1( 11) 104 +2 ≡ 104 · 102 ≡ (102)2 · 1 ≡ 12 · 1 ≡ 1 102 +3 ≡ 102 · 103 ≡ (102)2· 103 ≡ 1 · 10 · 1 ≡ 10( 11) 104 +2 ≡ 104 · 102 ≡ (102)2 · 1 ≡ 12 · 1 ≡ 1104 +2 + 102 +3 ≡ 1 + 10 ≡ 11( 11) ≡ 0 ( 11) Mënyra 2: 10 ≡ −1 ( 11) 104 +2 + 102 +3 ≡ (−1)4 +2 + (−1)2 +3 ≡ 1 + (−1) ≡ 0 ( 11) Shembull: Të caktohet shifra e fundit e numrit 7299 + 8124 (udhëzim: shifra e fundit gjendet ashtu që atë numër e pjestojmë me 10 dhe mbetja paraqet shifrën e fundit që e kërkojmë) Zgjidhje: 7 ≡ 7 ( 10) 72 ≡ 49 ≡ 9( 10) 73 ≡ 63 ≡ 3( 10) 67 4 7 ≡ 21 ≡ 1( 10) 7299 ≡ 74·73+1· (74)74· 71 ≡ 173· 7 ≡ 7( 10) 8 ≡ 8( 10) 82 ≡ 64 ≡ 4( 10) 83 ≡ 32 ≡ 2( 10) 84 ≡ 16 ≡ 6( 10) 85 ≡ 48 ≡ 8( 10) 86 ≡ 64 ≡ 4( 10)... 8124 ≡ 6( 10) 7299 + 8124 ≡ 7 + 6 ≡ 13 ≡ 3( 10)  Vërejtje: Për tu gjetur dy shifrat e fundit të një numri veprohet me modul 100. Shembull : Sot është e martë , cfarë dite do të jetë pas 5324 ditëve. Zgjidhje: 5324:7=760, mbetja është 4. Atëher i bie të jetë ditë e shtunë. Pra veprohet me modul 7 68 Shembull: Të gjendet mbledhja dhe shumëzimi në ℤ7 ℎ ℤ5 Zgjidhje: + 0 1 2 3 4 5 6 * 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 0 1 2 0 2 4 6 1 3 5 3 3 4 5 6 0 1 2 3 0 3 6 2 5 1 4 4 4 5 6 0 1 2 3 4 0 4 1 5 2 6 3 5 5 6 0 1 2 3 4 5 0 5 3 1 6 4 2 6 6 0 1 2 3 4 5 6 0 6 5 4 3 2 1 Shembull: Të gjendet rënjët katërore në ℤ7 Në ℤ7 bazohemi në tabelën e detyrës paraprake dhe shihet që: √0 = 0 √1 = 1 1 · 1 = 1 √1 = 6 1 · 6 = 6 √4 = 2 2 · 2 = 4 √2 = 3 3 · 3 = 2 √7 = 4 4 · 4 = 2 √0 = 0 Në ℤ5 bazohemi në tabelën e mëposhtme dhe shihet që: 69 √1 = 1 ℎ √1 = 4 4 · 4 = 1√4 = 2 √4 = 3 => 3 · 3 = 4 * 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 Shembull: Të zgjidhet barazimi 5 + 3 = 4 ( 6) Zgjidhje: Mënyra 1: 5 + 3 = 4 1 ÷ 6 = −1 pra x=5 5 = 4 − 3 −67 5 =1 1 7 13 19 25 = 5= 5≡ 5≡ 5≡ 5= 5 Mënyra 2: X 0 1 2 3 4 5  5x 0 5 4 3 2 1 5x+3 3 2 1 0 5 4 70 Shembull: Të zgjidhet barazimi : 2 + 2 = 0 ℤ5 Zgjidhje: X0 1 2 3 4 0 1 4 4 1 2 2 3 1 1 3 2 +2 = ∅ Shembull: Të zgjidhet barazimi 2 + 5 + 4 = 0, ë ℤ7 1 2 2⁄ =− ± √ − 4 · · 2 · 1 2⁄ =−5 ± √25 − 16 2 1 =−5 + 3 2= −1 ≡ 6 ( 7) 2 =−5 − 3 2= −4 ≡ 3 ( 7) = {3.6} 0 1 2 3 4 5 6  2 0 1 4 2 2 4 1 5 0 5 3 1 6 4 2 2 + 0 6 0 3 1 1 3 5 2 + 4 3 4 0 5 5 0 5 +4 71 Shembull: Të nxirret rregulla e plotpjestushmërise me numrin: a) me 2, b) me 3, c) me 4, d) me 5, e) me 5, f) me 11 Udhëzim: Veprohet me modulet përkatësë Zgjidhje: a). =...... 2 1 0 = 10 · + 10 −1· −1+..... +102· 2 + 10 · 1 + 0 10 ≡ 0( 2) 102 ≡ 0( 2) Rrjedh se x plotpjestohet me 2 nëse 0 plotëpjestohet me 2. Një numër plotëpjestohet me 3 në qoftë se shuma e shifrave të ati numri plotëpjestohet me tre. 72