Modèle scalaire des ondes lumineuses PDF

Modèle scalaire des ondes lumineuses 7 La nature ondulatoire de la lumière, objet de controverse scientifique aux XV II ème et XV III ème siècles, fut définitivement établie par la découverte, au début du...

Modèle scalaire des ondes lumineuses 7 La nature ondulatoire de la lumière, objet de controverse scientifique aux XV II ème et XV III ème siècles, fut définitivement établie par la découverte, au début du XIX ème siècle, des phéno- mènes d’interférence et de diffraction. Ces phénomènes sont observés avec tous les types d’onde. L’optique ondulatoire est une théorie élaborée au début du XIX ème siècle qui les interprète. Elle englobe les résultats de l’optique géométrique qui est une approximation de l’optique ondulatoire valable dans la limite des très faibles longueurs d’onde (par rapport à la dimension des obstacles rencontrés par la lumière). Avec sa théorie électromagnétique, Maxwell élucida à la fin du XIX ème siècle la question de la nature de l’onde lumineuse : c’est une onde électromagnétique. La théorie scalaire de l’optique ondulatoire est donc une approximation par rapport à la théorie des ondes électro- magnétiques, ondes vectorielles. On discutera la validité de ce point de vue. Enfin, la découverte au début du X X ème siècle des propriétés corpusculaires de la lumière contraint les physiciens à admettre la dualité onde-corpuscule de la lumière. On découvrit au cours de la même période que toutes les particules élémentaires ont également une double nature, ondulatoire et corpusculaire. La mécanique quantique fut élaborée pour tenir compte de cette double nature. La mécanique classique est une approximation de la mécanique quan- tique exactement comme l’optique géométrique est une approximation de l’optique ondula- toire. Dans ce chapitre on pose les bases de l’optique ondulatoire. 1 Le modèle scalaire de la lumière 1.1 Nature de l’onde lumineuse On verra dans le cours d’électromagnétisme que la lumière est une onde électromagnétique. Une onde électromagnétique se compose de deux champs de vecteurs couplés, le champ électrique E et le champ magnétique B , se propageant à la vitesse c ≃ 3 × 108 m.s−1 dans #» #» le vide. Dans le cas d’une onde plane (voir chapitre 19), ces vecteurs sont perpendiculaires CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES entre eux et à la direction de propagation que l’on supposera être celle du vecteur #» u z dans la discussion qui suit. y #» E z direction de propagation x Figure 7.1 – Lumière naturelle, non polarisée. #» Dans le cas de la lumière naturelle, la direction du vecteur E change de manière aléatoire au cours du temps ; la durée moyenne entre deux changements est le temps de cohérence τc qui sera défini plus loin dans ce chapitre. À ce stade, il suffit de savoir que ce temps est extrêmement bref par rapport à la durée d’une expérience. Ainsi il n’est pas possible #» d’attribuer une direction au champ E. On dit que la lumière naturelle est non polarisée. La lumière polarisée a la particularité de présenter une géométrie précise pour le champ électrique dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation. Elle est produite à partir de la lumière naturelle à l’aide de dispositifs appropriés (voir chapitre 19). 1.2 La vibration lumineuse a) Définition Pour une lumière non polarisée, les deux composantes Ex et Ey du champ électrique dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation sont parfaitement équivalentes. On appelle vibration lumineuse une composante quelconque du champ électrique par rapport à un axe perpendiculaire à la direction de propagation. La vibration lumineuse en un point M et à l’instant t sera notée s(M,t). On ne se préoccupera pas de sa nature physique. La vibration lumineuse scalaire fut d’ailleurs introduite au début du XIX ème siècle par Fresnel, plus de cinquante ans avant la découverte des équations de Maxwell, équations de base de l’électromagnétisme (voir la partie électromagnétisme). Elle est beaucoup plus facile à manipuler que les vecteurs de l’onde électromagnétique et on obtient des résultats tout à fait conformes à l’expérience. Il y a cependant une restriction : on ne pourra pas rendre compte des expériences en lumière polarisée. 218  L E MODÈLE SCALAIRE DE LA LUMIÈRE b) Propriétés La vibration lumineuse se propage dans les milieux transparent, le long des rayons c lumineux, à la vitesse v = où n est l’indice optique du milieu. n L’indice n est le même que celui qui intervient dans la loi de la réfraction. On admet aussi le théorème de superposition : Si plusieurs vibrations si (M,t) se propagent simultanément dans l’espace, chacune se propage comme si elle était seule et la vibration résultante en un point M est : s(M,t) = ∑ si (M,t) i Ce théorème de superposition découle directement de la linéarité des équations de Maxwell. Cependant on doit en réalité additionner vectoriellement les champs électriques des ondes. Pour que cela se traduise par une addition des vibrations lumineuses il faut que les plans dans lesquels évoluent les champ électriques soient proches c’est-à-dire que les directions de propagation #» u i fassent des angles petits entre elles. #» #» E1 E2 u#»1 u#» 2 Figure 7.2 – Superposition de deux ondes électromagnétiques. 1.3 Éclairement et intensité vibratoire L’éclairement est une grandeur fondamentale car elle correspond à ce que l’on peut observer ou mesurer. Pour en comprendre la définition il faut avoir quelques notions sur les récepteurs de l’onde lumineuse. a) Les récepteurs de l’onde lumineuse Les récepteurs sont caractérisés par leur temps de réponse τ qui est le temps minimum qui doit séparer deux signaux pour qu’ils soient perçus individuellement. 219 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES L’œil Pour observer à l’œil, on place un écran diffusant (par exemple une feuille de papier) dans le champ éclairé de telle manière qu’il soit approximativement orthogonal aux rayons lumineux. Chaque point M de l’écran renvoie dans toutes les directions de l’espace (et en particulier en direction de l’œil) l’énergie lumineuse qu’il reçoit. La sensation visuelle dépend de la puissance reçue par l’œil, qui est différente suivant le point M de l’écran. Le temps de réponse est typiquement τ ≃ 0, 1 s. Exemple Un film de cinéma est projeté à raison de 24 images par seconde. Les mouvements filmés 1 semblent continus parce que le temps de réponse de l’œil est supérieur à s ≃ 0, 04 s. 24 La pellicule photographique On peut mettre à la place d’un écran une pellicule photogra- phique. Le signal enregistré est l’énergie reçue pendant la durée d’exposition τ ∼ 10−4 à 10−2 s qui joue le rôle de temps de réponse. Détecteurs électroniques classiques Il existe des détecteurs électroniques qui fournissent un signal électrique (tension ou intensité suivant le cas) proportionnel à la puissance lumi- neuse reçue par une petite surface sensible. On les caractérise par leur sensibilité et leur temps de réponse (voir tableau 7.1). récepteur sensibilité temps de réponse photodiode 0, 1 A.W−1 10−6 s photorésistance 100 A.W−1 10−2 s thermopile 1 V.W−1 1s Tableau 7.1 – Quelques récepteurs lumineux électroniques Le capteur CCD Le capteur CCD, acronyme du nom anglais Charge - Coupled Device, est l’élément sensible des appareils photographiques numériques. Il fournit pour chaque pixel de l’image les valeurs des trois puissances lumineuses pour les trois couleurs rouge, vert et bleu du système RGB. Un capteur de 12 millions de pixels est typiquement un tableau rectangulaire de 4000 × 3000 cellules comportant chacune 4 photorécepteurs (1 pour le rouge, 2 pour le vert et 1 pour le bleu) et dont la taille est de l’ordre de quelques micromètres. Son temps de réponse est inférieur à 10−2 s. b) Éclairement et intensité vibratoire Les récepteurs sont sensibles à la puissance lumineuse qu’ils reçoivent. Dans les exemples précédents le temps de réponse le meilleur, c’est-à-dire le plus faible, reste bien plus grand que la période de vibration d’une lumière visible dont on verra au paragraphe suivant qu’elle est de l’ordre de 10−14 s. Dans ces conditions : 220  L UMIÈRE MONOCHROMATIQUE Les récepteurs ne sont sensibles qu’à la valeur moyenne de la puissance lumineuse qu’ils reçoivent. On verra dans le cours d’électromagnétisme que la puissance lumineuse surfacique est pro- portionnelle au carré de la vibration lumineuse s2 (M,t). On appelle éclairement E la puissance lumineuse surfacique moyenne reçue par une surface ; il se calcule par la formule :   E (M) = K s2 (M,t) (7.1) où K est une constante positive et où le symbole... désigne la moyenne dans le temps. Remarque L’éclairement se mesure ainsi en W.m−2. La théorie électromagnétique montre que K = ε0 c sin θ où ε0 est une constante fondamentale et θ l’angle entre la surface et la direction de propagation. Dans π les expériences d’optique cet angle est proche de. 2 Dans la suite du cours d’optique, la valeur de K ne sera pas utilisée parce qu’on n’interpré- E tera que l’éclairement relatif où E0 est un éclairement de référence. Dans ce cas, il est E0 équivalent de travailler avec l’intensité vibratoire définie par : I = s2 (M,t). 2 Lumière monochromatique 2.1 Définition On appelle lumière monochromatique une vibration idéale purement sinusoïdale donc de la forme :   s(M,t) = s0 (M) cos ω t − ϕ (M) , (7.2) où ω est la pulsation, s0 (M) est l’amplitude et ϕ (M) le retard de phase au point M. ω La vibration lumineuse monochromatique a pour fréquence ν = (cette notation est plus 2π 1 2π utilisée en optique que la notation f ) et pour période T = =. Le plus souvent on préfère ν ω la caractériser par sa longueur d’onde dans le vide : c 2π c λ0 = cT = =. ν ω 221 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES λ0 est la distance sur laquelle la lumière se propage pendant la période T de l’onde. Remarque On peut aussi définir la longueur d’onde dans un milieu matériel où l’onde se propage c à la vitesse : n c c λ0 λ= T= ou encore λ =. (7.3) n nν n 2.2 Domaine visible Les lumières visibles par l’œil humain ont des longueurs d’onde dans le vide comprise entre 400 nm et 750 nm et une fréquence moyenne de 6 × 1014 Hz. L’œil perçoit chaque fréquence comme une couleur différente (voir tableau 7.2). λ0 (nm) 500 550 590 630 ν (Hz) 6 × 1014 5, 5 × 1014 5, 1 × 1014 4, 8 × 1014 Couleur bleu vert jaune orangé rouge Tableau 7.2 – Correspondance entre longueur d’onde dans le vide et couleur. 2.3 Notation complexe On représentera la vibration lumineuse monochromatique (7.2) par la vibration complexe :   s(M,t) = s0 (M) exp i (ω t − ϕ (M)) , (7.4) telle que la vibration réelle est : s(M,t) = Re(s(M,t)). Son amplitude est : s0 (M) = |s(M,t)|. 2.4 Expression de l’éclairement L’éclairement est :     1 E (M) = K s2 (M,t) = s20 (M) cos2 ω t − ϕ (M) = Ks20 (M) (7.5) 2 L’éclairement et l’intensité vibratoire sont proportionnels au carré de l’amplitude de la vibration. En notation complexe obtient l’éclairement et l’intensité vibratoire par : 1 1 E (M) = K|s(M)|2 = Ks(M,t)s(M,t)∗ 2 2 (7.6) 1 1 I(M) = |s(M,t)|2 = s(M,t)s(M,t)∗ 2 2 où z∗ est le complexe conjugué de z. 222  C HEMIN OPTIQUE 3 Chemin optique 3.1 Définition On a vu que la vibration lumineuse se propage le long des rayons lumineux. Soit un rayon lumineux passant par M puis par N (figure 7.3). P N M Figure 7.3 – Rayon lumineux quelconque. Le chemin optique parcouru par la lumière entre M et N est par définition : (MN) = ctMN (7.7) où tMN est le temps mis par la lumière pour aller de M à N. Le chemin optique a la dimension d’une longueur. Il s’agit de la distance que pourrait parcourir la lumière durant le temps tMN si elle se propageait dans le vide. Si la lumière passe entre M et N par le point P, alors tMN = tMP + tPM. On a donc la relation utile : (MN) = (MP) + (PN) (7.8) 3.2 Calcul pratique du chemin optique a) Hypothèses de travail Les milieux transparents utilisés dans les expériences (verre, quartz, plexiglas... ) sont dis- persifs c’est-à-dire que la vitesse de propagation v et l’indice optique n dépendent de la longueur d’onde de la lumière. Pour éviter cette difficulté on ne considérera dans ce cours, sauf mention contraire, que des ondes monochromatiques. On supposera de plus les milieux traversés homogènes : n est le même en tout point du milieu. Il en résulte que la lumière se propage en ligne droite ; sa direction de propagation change seulement lorsqu’elle est réfléchie ou lorsqu’elle est réfractée. Enfin, on négligera l’absorption de l’énergie lumineuse par le milieu : l’indice optique n est réel (voir chapitre 20). b) Cas où la lumière traverse un milieu homogène Dans un milieu homogène d’indice n la lumière se propage en ligne droite de M à N à la c vitesse , donc : n MN (MN) = c c = nMN (7.9) n où MN représente la distance entre les points M et N. 223 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES c) Cas où la lumière traverse plusieurs milieux homogènes Les points M et N peuvent être dans deux milieux homogènes différents. Par exemple sur la figure 7.4 la lumière traverse entre M et N des milieux d’indices respectifs n1 , n2 et n3 et le rayon lumineux est une ligne brisée MIJN. J I N M n1 n2 n3 Figure 7.4 – Exemple de calcul de chemin optique. On peut écrire : (MN) = (MI) + (IJ) + (JN) (7.10) = n1 MI + n2 IJ + n3JN On retiendra la méthode pratique suivante : Le chemin optique le long d’un rayon lumineux est égal à la longueur du rayon multi- pliée par l’indice du milieu transparent qu’il traverse. #» On peut alors écrire : (AB) = n #» u · AB, où #» u orienté dans le sens de parcours de la lumière. 3.3 Chemin optique et retard de phase a) Relation fondamentale entre le chemin optique et le retard de phase La vibration lumineuse en N reproduit la vibration en M avec un retard de propagation tMN et une atténuation éventuelle que l’on représente ici par un coefficient α (dépendant de M et N) compris entre 0 et 1. On a donc : s(N,t) = α s(M,t − tMN ) La lumière étant monochromatique ceci s’écrit :     s0 (N) cos ω t − ϕ (N) = α s0 (M) cos ω (t − tMN ) − ϕ (M) On en déduit : ω 2π ϕ (N) = ϕ (M) + ω tMN = ϕ (M) + (MN) = ϕ (M) + (MN) c λ0 224  C HEMIN OPTIQUE Il faut retenir que : Le retard de phase accumulé par la vibration lumineuse croît proportionnellement au chemin optique qu’elle parcourt selon la relation : ω 2π ϕ (N) = ϕ (M) + (MN) = ϕ (M) + (MN) (7.11) c λ0 où λ0 est la longueur d’onde dans le vide. b) Suppléments de marche optique exceptionnels En plus du déphasage lié à la propagation, la lumière subit un déphasage supplémentaire de π dans les situations suivantes : lorsque le rayon lumineux subit une réflexion sur une surface métallique ; lorsque le rayon subit une réflexion sur un milieu plus réfringent, c’est-à-dire sur un dioptre séparant le milieu de propagation d’indice n d’un milieu d’indice n′ > n ; lorsque le rayon passe par un point de convergence (par exemple au point A′ de la figure 7.5 page 226). Pour conserver la relation fondamentale (7.11) entre la phase et le chemin optique, on λ0 ajoute au chemin optique chaque fois qu’une de ces situations se présente. 2 Par exemple, si la lumière, se propageant dans un milieu homogène d’indice n, passe par M, λ0 λ0 se réfléchit en I sur un métal puis arrive en N : (MN) = nMI + + nIN, où le terme 2 2 provient de la réflexion métallique. 3.4 Surface d’onde Considérons une source lumineuse ponctuelle S. Par définition : Une surface d’onde relative au point source S est une surface formée des points M tels que (SM) = constante, ou encore, ce qui est équivalent, ϕ (M) = constante. (SM) Étant donné que la vibration en M reproduit la vibration à la source avec le retard tSM = c (et éventuellement une diminution d’amplitude) on peut dire que : La vibration a la même valeur en tous les points d’une surface d’onde. 225 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES 3.5 Théorème de Malus Théorème de Malus : Les surfaces d’onde relatives au point source S sont orthogonales aux rayons lumineux issus de S. Conformément au programme, on admet ce résultat qui est illustré dans les deux paragraphes suivants. 3.6 Égalité des chemins optiques entre points conjugués La figure 7.5 représente deux points A et A′ conjugués par un système optique (autrement dit : A′ est l’image de A par le système optique) et situés dans des milieux transparents d’indice n et n′. rayon 2 M1 système A′ A optique M2 rayon 1 n n′ Figure 7.5 – Points conjugués par un système optique. Avant le système optique, les rayons lumineux sont des droites passant par A. Les surfaces d’onde doivent être orthogonales à ces droites d’après le théorème de Malus ; ce sont donc des sphères de centre A. Pour une raison analogue les surfaces d’onde, après le système optique, sont des sphères de centre A′. On veut comparer le chemin optique de A à A′ le long de deux rayons différents numérotés 1 et 2. Soient M1 et M2 des points situés sur ces rayons, après le système optique et sur une même surface d’onde (figure 7.5). Par définition des surfaces d’onde on a (AM1 ) = (AM2 ). De plus, M1 et M2 se trouvant sur une sphère de centre A′ , M1 A′ = M2 A′ donc (M1 A′ ) = n′ M1 A′ = n′ M2 A′ = (M2 A′ ), n′ étant l’indice du milieu à la sortie du système op- tique. On trouve donc : (AA′ )1 = (AM1 ) + (M1 A′ ) = (AM2 ) + (M2 A′ ) = (AA′ )2 Lorsque deux points A et A′ sont conjugués par un système optique, le chemin optique (AA′ ) est le même le long de tous les rayons allant de A à A′. 226  O NDE SPHÉRIQUE , ONDE PLANE 4 Onde sphérique, onde plane 4.1 Onde sphérique a) Définition Une onde sphérique est une onde ayant l’une des caractéristiques suivantes : les rayons lumineux sont des droites concourantes en un point S, les surfaces d’onde sont des sphères centrées sur S. Les deux propositions précédentes sont équivalentes d’après le théorème de Malus. L’onde émise par une source ponctuelle S située à distance finie est une onde sphérique. Lorsqu’un système optique donne d’une source ponctuelle S une image S′ à distance finie, l’onde issue du système optique est un onde sphérique de centre S′. Tout se passe comme s’il y avait une nouvelle source en S′. L’onde sphérique est dite divergente dans une zone où les rayons lumineux s’éloignent du centre et convergente dans une zone où les rayons se dirigent vers le centre (figure 7.6). S S a) b) Figure 7.6 – Ondes sphériques : a) divergente ; b) convergente. Exemple Sur la figure 7.5, l’onde émise par le point A est une onde sphérique divergente. L’onde sortant du système optique est une onde sphérique convergente jusqu’au point A′ , puis une onde sphérique divergente. b) Expression du retard de phase d’une onde sphérique Dans le cas d’une onde sphérique divergente, le rayon arrivant en M est passé avant par la source S. La formule fondamentale (7.11) s’écrit alors, en notant ϕ0 = ϕ (S) la phase à l’émission de l’onde : 2π 2π n ϕ (M) = ϕ0 + (SM) = ϕ0 + SM , (7.12) λ0 λ0 227 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES où n est l’indice optique du milieu. Dans le cas d’une onde sphérique convergente, le rayon passe par S après le point M donc 2π 2π 2π n ϕ0 = ϕ (M) + (MS) soit ϕ (M) = ϕ0 − (MS) = ϕ0 − SM. (7.13) λ0 λ0 λ0 c) Expression d’une onde sphérique On admet que l’amplitude de l’onde sphérique de source S est : A s0 (M) = , SM où A est une constante. Dans toutes les applications des chapitres suivants, la distance SM sera quasiment constante dans la zone d’intérêt et on fera pour l’onde sphérique l’approximation : s0 (M) ≃ constante = s0. On utilisera donc l’expression suivante de l’onde sphérique :  2π n  s(M,t) = s0 cos ω t − ϕ0 ± SM , (7.14) λ0 avec le signe − pour l’onde divergente et le signe + pour l’onde convergente. 4.2 Onde plane a) Définition Une onde plane est une onde ayant l’une des caractéristiques suivantes : les rayons lumineux sont des droites parallèles entre elles, les surfaces d’onde sont des plans parallèles entre eux appelés plans d’onde. Les deux propositions sont équivalentes d’après le théorème de Malus. De plus : Les plans d’onde sont orthogonaux aux rayons lumineux. Notons #» u le vecteur unitaire parallèle aux rayons dirigé dans le sens de propagation de la lumière. Une onde plane peut être considérée comme l’onde émise par une source ponctuelle S située à l’infini dans la direction − #» u. Dans les situations concrètes l’onde plane est : l’onde d’un faisceau laser dans une modélisation très simple, la lumière provenant d’une source très éloignée (c’est-à-dire à distance très supérieure aux dimensions des instruments utilisés) et quasi ponctuelle (c’est-à-dire de dimension très inférieure à sa distance) par exemple une étoile, l’onde produite par un collimateur c’est-à-dire une source ponctuelle S placée dans le plan focal objet d’une lentille convergente (voir plus bas). 228  O NDE SPHÉRIQUE , ONDE PLANE u #» S Figure 7.7 – Onde plane. Les surfaces d’onde sont en pointillé. b) Expression du retard de phase d’une onde plane On peut toujours considérer qu’une onde plane se propageant dans la direction et le sens d’un vecteur #» u provient d’un point source S situé à l’infini dans la direction de − #» u (voir figure #» 7.8). On suppose que S se trouve à très grande distance r0 de l’origine O, soit OS = −r0 #» u puis on fait tendre r0 vers l’infini. Pour un point M quelconque on a : SM 2 = (SO + OM)2 = (r0 #» u + OM)2 = r02 + 2r0 #» u · OM + OM 2 #» # » # » # » d’où, puisque r0 ≫ OM :   # » # » u · OM OM 2 #» u · OM #» # » SM = r0 1+2 + 2 ≃ r0 1 + = r0 + #» u · OM r0 r0 r0 L’onde émise par S est une onde sphérique divergente donc : 2π n 2π n 2π n #» # » ϕ (M) = ϕ (S) + SM = ϕ (S) + r0 + u · OM. λ0 λ0 λ0 2π n Or, ϕ (S) + r0 = ϕ (O), il vient donc : λ0 2π n #» # » ϕ (M) = ϕ (O) + u · OM. (7.15) λ0 Remarque On peut retrouver la formule (7.15) par le raisonnement suivant. Soit H le projeté or- thogonal de M sur le rayon passant par O (figure 7.8). D’après le théorème de Malus, M et H sont dans un même plan d’onde donc ϕ (M) = ϕ (H). D’autre part : 2π 2π 2π n #» # » ϕ (H) − ϕ (O) = (OH) = nOH = u · OM. λ0 λ0 λ0 229 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES S M O H u #» Figure 7.8 – Calcul du retard de phase d’une onde plane. c) Expression d’une onde plane On admet que l’amplitude d’une onde plane est une constante : s0 (M) = constante = s0. L’expression de l’onde plane est finalement, en notant ϕ (O) = ϕ0 : en notation réelle :   2π n − → −−→ s(M,t) = s0 cos ω t − ϕ0 − u · OM , λ0 en notation complexe :    2π n − → −−→ s(M,t) = s0 exp(−iϕ0 ) exp i ω t − u · OM. λ0 4.3 Effet d’une lentille mince dans l’approximation de Gauss Une lentille donne de tout point objet A une image A′ quand on respecte les conditions de Gauss. En terme d’ondes cela se traduit par la transformation d’une onde sphérique de centre A en un onde sphérique de centre A′. Si l’un des deux points est à l’infini, l’onde qui lui correspond est une onde plane. La figure 7.9 présente quelques situations avec une lentille convergente : Cas (a) : l’objet réel A à distance finie a une image réelle A′ à distance finie ; l’onde sphérique divergente issue de A devient une onde sphérique d’abord convergente, puis divergente de centre A′. Cas (b) : l’onde sphérique divergente issue du foyer objet principal F est transformée en une onde plane se propageant dans la direction et le sens de l’axe de la lentille. Cas (c) : l’onde sphérique divergente issue du foyer objet secondaire φ est transformée #» #» φO φO en une onde plane se propageant selon le vecteur #» u = ≃ ′ , en notant f ′ la φO f distance focale image de la lentille. 230  O NDE SPHÉRIQUE , ONDE PLANE Cas (d) : l’onde plane se propageant dans la direction et le sens de l’axe de la lentille est transformée en onde sphérique convergente (puis divergente) de centre F ′ , foyer image principal de la lentille. Cas (e) : l’onde plane se propageant selon le vecteur #»u est transformée en onde sphé- rique convergente (puis divergente) de centre φ ′ , foyer image secondaire, intersection du plan focal image et de la droite (O, #» u ). Les cas (b) et (c) correspondent à un collimateur, appareil comportant une lentille conver- gente et une ouverture ponctuelle placée dans le plan focal image la lentille. En éclairant l’ouverture avec une source on fabrique une onde plane. A A′ (a) u #» φ u #» F F O (b) (c) u #» φ′ u #» F′ O F′ (d) (e) Figure 7.9 – Transformation des ondes par une lentille convergente. 231 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES 5 Lumières réelles 5.1 Composition spectrale Il n’existe pas dans la réalité de lumière parfaitement monochromatique. Cependant, toute vibration lumineuse « réelle » s(M,t) peut se décomposer en somme de vibrations monochromatiques. C’est que l’on observe expérimentalement en faisant passer un pinceau de lumière dans un prisme de verre : les différentes composantes monochromatiques sont séparées et on observe le spectre de la lumière. Les spectromètres à réseau permettent une détermination du spectre plus précise qu’avec un prisme. La méthode mathématique correspondant à cela est la transformation de Fourier (voir ap- pendice mathématique). L’éclairement est la somme des éclairement dus aux différentes composantes monochroma- tiques. On définit la densité spectrale d’éclairement, notée Eλ , telle que la contribution à l’éclairement des composantes monochromatiques dont la longueur d’onde dans le vide est dans un intervalle élémentaire [λ0 , λ0 + dλ0] est : dE = Eλ (λ0 ) dλ0 (7.16) L’éclairement est ainsi : ˆ ∞ E = Eλ (λ0 ) dλ0 (7.17) 0 Le spectre de la lumière, tel qu’on l’observe dans l’expérience du prisme, est l’image de la fonction Eλ (λ0 ). Remarque On définit aussi une densité spectrale Eν par rapport à la fréquence. Ces deux densités c spectrales sont liées puisque ν =. L’intervalle de longueur d’onde [λ0 , λ0 + dλ0] λ0 correspond à l’intervalle de fréquence [ν + dν , ν ] avec :   c c dν = d = − 2 dλ0. λ0 λ0 On a donc : dE = Eλ (λ0 )dλ0 = Eν (ν )|dν |, d’où : λ02 c c Eν (ν ) = Eλ (λ0 ) = 2 Eλ , c ν ν et de même :   c c Eλ (λ0 ) = 2 Eν. λ0 λ0 232  L UMIÈRES RÉELLES 5.2 Sources de lumière blanche Une lumière blanche est une lumière dont le spectre est continu et contient toutes les longueurs d’onde du domaine visible. C’est le cas de la lumière du Soleil dont le spectre, représenté sur la figure 7.10, contient ces longueurs d’onde avec un poids sensiblement égal. Les lampes à filament fonctionnent sur le principe de l’émission thermique : émission de lumière par un corps chaud. Elles émettent un spectre continu, assez pauvre en courtes lon- gueurs d’onde ce qui explique l’aspect jaune de cette lumière (voir figure 7.10). L’émission de lumière visible s’accompagne aussi d’une forte émission dans le domaine des infrarouges, ce qui a pour effet de chauffer la lampe et faire diminuer très fortement le rendement énergé- tique. Les lampes dites « à économie d’énergie » fonctionnent différemment. Un tube à décharge, analogue à celui d’une lampe spectrale (voir paragraphe suivant) produit une lumière au spectre discret. Cette lumière est en partie absorbée par une substance fluorescente qui réémet une lumière au spectre continu. Le spectre de la lumière émise contient des pics correspon- dant aux longueurs d’onde émises par le tube à décharge superposés au spectre continu de la fluorescence (voir figure 7.11). Les diodes électroluminescentes fonctionnent sur le même principe, à partir d’une raie bleue assez large, émise à la suite d’une recombinaison électron-trou à la jonction entre deux semi- conducteurs. Eλ Eλ λ (nm) λ (nm) 400 500 600 700 400 500 600 700 Figure 7.10 – Spectres de la Figure 7.11 – Spectre d’une lumière solaire (trait plein) et de la lampe « à économie lumière d’une lampe à filament d’énergie ». (pointillé). 5.3 Lampes spectrales L’élément central d’une lampe spectrale est une ampoule contenant un élément sous forme de vapeur dans laquelle on provoque une décharge électrique entre deux électrodes. Lorsque la lampe est mise sous tension, des électrons circulent entre les électrodes, accélérés par le champ électrique qui règne et entrent en collision avec les atomes de la vapeur. Ces atomes sont ainsi portés dans un état excité et se désexcitent en émettant des photons, dont l’énergie est égale à la différence d’énergie entre deux niveaux d’énergie de l’atome. 233 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES Une lampe spectrale émet une série de longueurs d’onde caractéristique de l’élément qu’elle contient. Le spectre est constitué de pics fins appelés raies spectrales. La figure 7.12 montre l’allure du spectre d’une lampe au mercure utilisée en travaux pra- tiques : on trouve principalement une raie violette (404,7 nm), une raie indigo (435,8 nm), une raie verte (546,1 nm) et un doublet jaune orangé (577,0 et 579,1 nm) non résolu sur la figure. Il existe aussi une raie ultraviolette assez importante, qui est en dehors de la figure. Eλ λ (nm) 400 500 600 700 Figure 7.12 – Spectre d’une lampe au mercure (basse pression). La lumière d’une lampe au sodium (utilisée en travaux pratiques ou pour l’éclairage urbain) est jaune orangé et contient essentiellement deux longueurs d’onde très voisines 589, 0 et 589, 6 nm. C’est le « doublet jaune » du sodium. 5.4 Faisceaux lasers La lumière d’un faisceau laser présente une raie spectrale unique beaucoup plus fine qu’une raie de lampe spectrale. Les lasers plus courants sont les lasers hélium-néon et les diodes laser à semi-conducteurs. Les lasers hélium-néon les plus répandus émettent une radiation rouge de longueur d’onde 633 nm. Le faisceau laser présente une divergence très faible. Il se caractérise aussi par un éclairement exceptionnellement élevé, ce qui fait qu’il est dangereux de le recevoir dans l’œil. 6 Trains d’ondes 6.1 La largeur des raies spectrales On sait mesurer le profil fin des raies spectrales. Ces raies ont une allure voisine de la figure 7.13 et sont caractérisées par : la longueur d’onde λ0m correspondant au maximum d’émission, la largeur à mi-hauteur ∆λ qui est telle que ∆λ ≪ λ0m , la forme de la raie qui peut correspondre à différentes fonctions mathématiques. 234  T RAINS D ’ONDES Eλ ∆λ λ0 λ0m Figure 7.13 – Raie spectrale. L’échelle horizontale est fortement dilatée par rapport à celle de la figure 7.12. Remarque Une radiation parfaitement sinusoïdale aurait une raie parfaitement fine (∆λ = 0). c Dans le domaine de fréquences, la raie est caractérisée par la fréquence moyenne νm = λ0m et la largeur ∆ν. Étant donné que ∆λ ≪ λ0m et ∆ν ≪ νm on peut écrire :   c c∆λ ∆λ ∆ν = ∆ ≃ 2 = νm λ0 λ0m λ0m Ainsi : ∆λ ∆ν ≃ λ0m νm Les valeurs des largeurs de raies sont très variables, les lasers ayant des raies nettement plus fines que les lampes spectrales. Les ordres de grandeurs habituels sont : ∆λ pour une lampe spectrale : ∼ 10−3 , λ0m ∆λ pour un laser : ∼ 10−7. λ0m 6.2 Interprétation La théorie mathématique de la transformée de Fourier indique qu’un signal limité dans le temps et de durée approximative τc a un spectre dont la largeur en fréquence est telle que : 1 ∆ν ∼. τc On trouvera des exemples illustrant ce résultat dans l’appendice mathématique. 235 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES Si ce signal est quasiment sinusoïdal de période T , la fréquence moyenne du spectre est 1 νm =. On en tire : T ∆ν T 1 ∼ = , νm τc N où N est le nombre d’oscillations du signal. Pour tenter d’interpréter la largeur d’une raie spectrale, calculons l’ordre de grandeur de la durée τc. Il vient :  νm 10−11 s dans le cas d’une lampe spectrale τc ∼ T ∼ ∆ν 10−7 s dans le cas d’un laser en prenant T ∼ 10−14 s pour la vibration lumineuse. Ce temps τc , bref à notre échelle mais très grand devant T , est la durée de l’émission lumineuse d’un atome. L’onde limitée dans le temps émise par un atome est appelée train d’ondes. Les atomes émettent la lumière par trains d’ondes de durée limitée τc telle que : 1 ∆ν ∼ (7.18) τc La durée moyenne des trains d’ondes est appelée temps de cohérence. 6.3 Longueur de cohérence a) Définition On appelle longueur de cohérence ℓc la distance que parcourt la lumière dans le vide pendant la durée τc d’un train d’ondes soit : ℓc = cτc (7.19) La figure 7.14 illustre la signification du temps de cohérence et de la longueur de cohérence : en un point M donné le passage du train d’ondes dure en moyenne un temps τc (figure 7.14 à gauche) ; à un instant t donné, le train d’ondes a une extension spatiale moyenne le long de la direction de propagation égale à ℓc (figure 7.14 à droite). Le tableau ci-dessous donne quelques exemples de valeurs de largeur de raie, temps de cohé- rence et longueur de cohérence. source λ0m (nm) ∆λ (nm) ∆ν ( Hz) τc (s) ℓc lumière blanche 575 350 3.1014 3.10−15 0,9 µm lampe au mercure 546,1 1,0 1.1012 10−12 0, 3 mm lampe étalon au Kr86 605,6 1, 2.10−3 109 10−9 30 cm laser He-Ne stabilisé 632,8 10−6 7, 5.105 1, 3 × 10−6 ∼ 400 m 236  T RAINS D ’ONDES s(M,t) s(M,t) t zM τc ℓc (a) (b) Figure 7.14 – (a) : extension spatiale d’un train d’ondes ; (b) : extension temporelle d’un train d’ondes. b) Relation entre la longueur de cohérence et la largeur de raie On peut relier la longueur d’onde moyenne du train d’ondes λ0m , la largeur de la raie ∆λ et c c la longueur de cohérence ℓc. En effet, ∆λ = ∆ ≃ 2 ∆ν , en assimilant les largeurs ∆λ ν νm λ2 λ2 et ∆ν très faibles à des variations élémentaires. Il vient donc : ∆λ = 0m ∆ν ∼ 0m , puisque c cτc 1 τc ∼ , soit finalement : ∆ν λ2 ∆λ ∼ 0m. (7.20) ℓc Il faut retenir cette relation et savoir l’établir. On remarque que ∆λ tend vers 0 quand la longueur de cohérence tend vers l’infini : si les trains d’ondes sont infiniment longs, le signal parfaitement sinusoïdal. 6.4 Modèle des trains d’ondes aléatoires L’émission de lumière par les atomes est un phénomène quantique. Les atomes émettent à des instants aléatoires des photons ayant une énergie hν voisine d’une énergie hν0 mais pas exactement égale. Ainsi la fréquence des ondes électromagnétiques associées n’est pas unique. Une description non quantique du phénomène est le modèle des trains d’ondes aléatoires selon lequel chaque train d’ondes a une amplitude et une phase aléatoire. On peut constater que la durée d’un train d’ondes est très inférieure au temps de réponse d’un récepteur lumineux. Les observations et les mesures portent sur un très grand nombre de trains d’ondes puisque : le nombre d’atomes émettant à un instant donné est très grand ; les trains d’ondes sont renouvelés un très grand nombre de fois pendant le temps de réponse du récepteur. 237 CHAPITRE 7 – M ODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES On modélise la lumière quasi monochromatique d’une raie spectrale de manière sim- plifiée comme une onde monochromatique : d’amplitude s0 constante, de retard de phase à l’émission ϕ0 aléatoire prenant toutes les valeurs possibles entre 0 et 2π et changeant de valeur au bout d’un temps τc. Remarques s0 est la moyenne de l’amplitude sur un très grand nombre de trains d’ondes. 2π Le retard de phase en un point M est aussi aléatoire puisque : ϕ (M) = ϕ (S) + (SM). λ0 Enfin, il faut retenir que la moyenne intervenant dans la définition (7.1) de l’éclairement ou de intensité vibratoire porte sur une durée de l’ordre du temps de réponse du récepteur qui est très supérieure à τc. SYNTHÈSE SAVOIRS nature de la vibration lumineuse définition de l’éclairement lien entre le retard de phase et le chemin optique notion d’éclairement spectral caractère aléatoire de l’émission des sources lumineuses classiques SAVOIR-FAIRE définir une onde plane, une onde sphérique décrire la formation des images en termes de rayons lumineux et en termes de sur- faces d’onde utiliser l’égalité de chemins optiques sur des rayons reliant deux points conjugués exprimer un retard de phase en fonction de la différence de chemin optique écrire la relation entre temps de cohérence et largeur spectrale spectrale MOTS-CLÉS vibration lumineuse chemin optique trains d’onde intensité, éclairement surface d’onde détecteur approximation temps de cohérence scalaire temps de réponse longueur de cohé- onde sphérique rence spectre lumineux 238