Seminar Statistică-1 PDF

STATISTICĂ -seminar- drd. Gavrilescu Ionela- Monica An universitar 2024- 2025  EVALUARE Tip activitate Criterii de evaluare...

STATISTICĂ -seminar- drd. Gavrilescu Ionela- Monica An universitar 2024- 2025  EVALUARE Tip activitate Criterii de evaluare Metode de evaluare Pondere din nota finală 1 test de control pe parcursul semestrului Testare scrisă 10% Evaluarea unui proiect de disciplină cu tema Înțelegerea și însușirea algoritmilor de calcul ai impusă care să conțină rezolvarea unei 20% indicatorilor exemplificați la seminar probleme complexe în domeniul Informatică Seminar/laborator economică. Înțelegerea și însușirea conceptelor tratate, inclusiv Evaluarea participării active la activitățile 5% prezența desfășurate online pe tot parcursul semestrului. Evaluarea finală Modul de analiză, sinteză și integrare a informației Examen scris 65% teoretice și aplicative Standard minim de performanță: Conform grilei RNCIS. cel puțin nota 5 pentru realizarea proiectului de disciplină; la examinarea finală dovedeşte parcurgerea materiei, înțelegerea conceptelor şi a situațiilor de aplicabilitate ale metodelor și demonstrează abilități, priceperi sau deprinderi practice pentru rezolvarea unor cerințe de dificultate redusă;  SEMINAR 1 NOȚIUNI INTRODUCTIVE Ce este statistica? Statistica, alături de matematică este una din cele mai vechi ştiințe, începuturile acesteia neputând fi decât apreciate. În timp, statistica s-a transformat într-o disciplină de graniță cu multiple relații de dependență reciprocă cu alte ştiințe, astăzi făcând parte din cadrul disciplinelor ce studiază fenomenele şi procesele într-o viziune sistemică ținând cont de dinamismul structurilor existente şi mai ales de factorii de influență cu caracter variabil în timp şi spațiu. Etapele de dezvoltare ale statisticii statistica practică statistica descriptivă aritmetica politică statistica modernă statistica inductivă Obiectivul și metodele statisticii Obiectiv: Statistica studiază aspectele cantitative ale fenomenelor de masă, fenomene care sunt supuse acțiunii legilor statistice, care se manifestă în condiții concrete variabile în timp și spațiu. Metode proprii statisticii pot fi considerate: - prezentarea tabelară a datelor, - gruparea datelor, - reprezentarea grafică, - tehnica comparației, - abstractizarea și generalizarea. Concepte fundamentale în statistică Colectivitate statistică Unitate statistică Variabilă statistică Valoare statistică Frecvență statistică  Colectivitatea statistică O colectivitate statistică se referă la un ansamblu de elemente (cum ar fi obiecte, fenomene, persoane etc.) care sunt prezentate statistic și care au anumite caracteristici comune. O colectivitate statistică poate fi: - totală (include toate elementele din fenomenul studiat, ex. toți locuitorii unei țări) - parțială (doar o parte din elementele fenomenului analizat, ex. locuitorii angajați ai unei țări) -omogenă (elementele au caracteristici similare, ex. un grup de studenți de vârste apropiate sau identice) - eterogenă (elemente cu caracteristici diferite (elemente cu caracteristici diferite, ex. populația unei țări cu persoane de vârste diferite)  Unitatea statistică Unitatea statistică reprezintă fiecare element individual dintr-o colectivitate statistică, care poartă toate caracteristicile comune ale colectivității respective. Aceasta poate fi o persoană, un obiect, un fenomen sau orice altă entitate care este supusă observării și cercetării statistice. Ex: Într-un studiu ce vizează studenții, fiecare student este o unitate statistică. Unitățile statistice pot fi: - simple (ex. o singură persoană- Ionescu Matei) - complexe (ex. un grup de persoane- grupa studenților de la CIG anul 2) - statice (ex. numărul de persoane dintr-un cartier) - dinamice (ex. un student pe perioada unui an universitar, prezintă variații)  Variabila statistică O variabilă statistică este o caracteristică sau proprietate a unei unități statistice care poate lua valori diferite. Acestea pot fi: După conținut: - atributive (ex: gen, salariu, vechime, culoare ochi) - de timp (ex: zi, lună, an) - de spațiu (ex: județ, țară, oraș) După forma de exprimare: - cantitative, numerice (ex: salariu, vârstă) - calitative (ex: culoare ochi, gen)  Varianta statistică Variantele sau valorile, reprezintă formele concrete de manifestare ale caracteristicilor la nivelul fiecărei unități statistice. Acestea reprezintă datele specifice pe care le colectăm și analizăm pentru a înțelege și descrie fenomenele studiate. De exemplu, dacă studiem înălțimea elevilor dintr-o clasă, fiecare înălțime individuală (150 cm, 160 cm, 170 cm etc.) este o valoare sau variantă a caracteristicii “înălțime” pentru fiecare elev (unitate statistică). Frecvența statistică Frecvența sau ponderea reprezintă numărul de unități statistice care înregistrează aceeași variantă sau valoare a unei caracteristici. Aceasta este o măsură importantă în analiza statistică, deoarece ne ajută să înțelegem distribuția valorilor în cadrul unei colectivități statistice. De exemplu, dacă analizăm înălțimea elevilor dintr-o clasă și observăm că 5 elevi au înălțimea de 160 cm, frecvența pentru valoarea de 160 cm este 5. Aplicație 1 Se cunosc următoarele date despre studenții de la grupa 223, CIG, anul 2. Culoare ochi Număr elevi Verde 9 Căprui 12 Albastru 8 Negru 7 a. Care este variabila de grupare și tipul acesteia? b. Identificați variantele variabilei de grupare și frecvențele absolute corespunzătoare. c. Determinați frecvențele relative, exprimate procentual. Rezolvare Aplicație 1 ▪ Care este variabila de grupare și tipul acesteia? - Culoarea ochilor - variabilă atributivă, calitativă ▪ Identificați variantele variabilei de grupare și frecvențele absolute corespunzătoare. - Variantele variabilei de grupare: verde, căprui, albastru, negru. - Frecvențe absolute: 9, 12, 8, 7 (𝐹𝑖 )  Determinați frecvențele relative, exprimate procentual. 𝐹𝑖 𝑥 𝐹𝑟 = ∗ 100 𝑁 unde: - 𝐹𝑟 = frecvența relativă exprimată procentual - 𝐹𝑖 (𝑥) = frecvența absolută a variabilei x - 𝑁 = numărul total de observații  𝑭𝒊 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆 𝑭𝒓 𝒗𝒆𝒓𝒅𝒆 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 9 𝐹𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 = ∗ 100 = 25, rezultă că 25% dintre studenții grupei au ochii verzi 36 𝑭𝒊 𝒄ă𝒑𝒓𝒖𝒊 𝑭𝒓 𝒄ă𝒑𝒓𝒖𝒊 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 12 𝐹𝑟 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 = ∗ 100 = 33,33 , rezultă că 33,33% dintre studenții grupei au ochii căprui 36 𝑭𝒊 𝒂𝒍𝒃𝒂𝒔𝒕𝒓𝒖 𝑭𝒓 𝒂𝒍𝒃𝒂𝒔𝒕𝒓𝒖 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 8 𝐹𝑟 𝑎𝑙𝑏𝑎𝑠𝑡𝑟𝑢 = ∗ 100 = 22,22 , rezultă că 22,22% dintre studenții grupei au ochii 36 albaștri 𝑭𝒊 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒖 𝑭𝒓 𝒏𝒆𝒈𝒓𝒖 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 7 𝐹𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑢 = ∗ 100 = 19,44 , rezultă că 19,44% dintre studenții grupei au ochii negri 36  Aplicație 2 Se vor analiza vârstele studenților de la grupa 223, CIG, anul 2. Vârsta (ani) Număr studenți 19 2 20 14 21 5 22 9 23 6 Total 36 a. Care este variabila de grupare și tipul acesteia? b. Identificați variantele variabilei de grupare și frecvențele absolute corespunzătoare. c. Determinați frecvențele relative, exprimate procentual. d. Care este procentul studenților care au vârsta mai mică sau egală cu 20 ani? Rezolvare Aplicație 2 ▪ Care este variabila de grupare și tipul acesteia? - Vârsta - variabilă atributivă, cantitativă ▪ Identificați variantele variabilei de grupare și frecvențele absolute corespunzătoare. - Variantele variabilei de grupare: 19, 20, 21, 22, 23. - Frecvențe absolute: 2, 14, 5, 9, 6 (𝐹𝑖 )  𝑭𝒊 𝟏𝟗 𝑭𝒓 𝟏𝟗 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 2 𝐹𝑟 19 = ∗ 100 = 5,55 , rezultă că 5,55% dintre studenții grupei au 19 ani 36 𝑭𝒊 𝟐𝟎 𝑭𝒓 𝟐𝟎 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 14 𝐹𝑟 20 = ∗ 100 = 38,88 , rezultă că 38,88% dintre studenții grupei au 20 ani 36 𝑭𝒊 𝟐𝟏 𝑭𝒓 𝟐𝟏 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 5 𝐹𝑟 21 = ∗ 100 = 13,88 , rezultă că 13,88% dintre studenții grupei au 21 ani 36 𝑭𝒊 𝟐𝟐 𝑭𝒓 𝟐𝟐 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 9 𝐹𝑟 22 = ∗ 100 = 25 , rezultă că 25% dintre studenții grupei au 22 ani 36 𝑭𝒊 𝟐𝟑 𝑭𝒓 𝟐𝟑 = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 6 𝐹𝑟 23 = ∗ 100 = 16,66 , rezultă că 16,66% dintre studenții grupei au 23 ani 36  Care este procentul studenților care au vârsta mai mică sau egală cu 20 ani? 𝐹𝑟 19 + 𝐹𝑟 20 = = 5,55 % + 38,88% = 44,43%  Aplicație 3 Se vor analiza 60 de societăți comerciale în funcție de cifra de afaceri (CA). CA (miliarde lei) Număr societăți comerciale 0-2 7 2-4 8 4-6 25 6-8 14 8-10 6 Total 60 a. Care este variabila de grupare și tipul acesteia? b. Identificați variantele variabilei de grupare și frecvențele absolute corespunzătoare. c. Determinați frecvențele relative, exprimate procentual. d. Care este procentul societăților care au CA mai mică sau egală cu 8 miliarde lei? Rezolvare Aplicație 3 ▪ Care este variabila de grupare și tipul acesteia? - Cifra de afaceri - variabilă atributivă, cantitativă ▪ Identificați variantele variabilei de grupare și frecvențele absolute corespunzătoare. - Variantele variabilei de grupare: 0-2, 2-4, 4-6, 6-8, 8-10. - Frecvențe absolute: 7, 8, 25, 14, 6 (𝐹𝑖 )  𝑭𝒊 𝟎−𝟐 𝑭𝒓 (𝟎 − 𝟐) = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 7 𝐹𝑟 (0 − 2) = ∗ 100 = 11,66 , rezultă că 11,66% dintre societăți au CA în intervalul 0-2 60 𝑭𝒊 𝟐−𝟒 𝑭𝒓 (𝟐 − 𝟒) = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 8 𝐹𝑟 (2 − 4) = ∗ 100 = 13,33 , rezultă că 13,33% dintre societăți au CA în intervalul 2-4 60 𝑭𝒊 𝟒−𝟔 𝑭𝒓 (𝟒 − 𝟔) = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 25 𝐹𝑟 (4 − 6) = ∗ 100 = 41,66 , rezultă că 41,66% dintre societăți au CA în intervalul 4-6 60 𝑭𝒊 𝟔−𝟖 𝑭𝒓 (𝟔 − 𝟖) = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 14 𝐹𝑟 (6 − 8) = ∗ 100 = 23,33 , rezultă că 23,33% dintre societăți au CA în intervalul 6-8 60 𝑭𝒊 𝟖−𝟏𝟎 𝑭𝒓 (𝟖 − 𝟏𝟎) = ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝑵 6 𝐹𝑟 (8 − 10) = ∗ 100 = 10 , rezultă că 10% dintre societăți au CA în intervalul 8-10 60  Care este procentul societăților care au CA mai mică sau egală cu 8 miliarde lei? 𝐹𝑟 (0 − 2) + 𝐹𝑟 (2 − 4) + 𝐹𝑟 (4 − 6) + 𝐹𝑟 (6 − 8) = = 11,66 % + 13,33% + 41,66% + 23,33% = 89,98% - societăți care au CA mai mică sau egală cu 8 miliarde lei  SEMINAR 2 1. CERCETAREA STATISTICĂ – NOȚIUNI TEORETICE FUNDAMENTALE; 2. ACTIVITATEA STATISTICĂ PE PLAN NAȚIONAL ŞI INTERNAȚIONAL; 3. OPEN DATA, BAZE DE DATE ȘI SOFTWARE ONLINE PENTRU PRELUCRAREA DATELOR STATISTICE.  Cercetarea statistică - noțiuni teoretice fundamentale - Cercetarea statistică este procesul prin care se colectează, analizează și interpretează date pentru a trage concluzii despre un eșantion de date. Informațiile colectate sunt utilizate pentru a lua decizii în mediul afacerilor, mediul guvernamental și alte domenii. Ex: sondaj pentru a afla preferințele consumatorilor  Populația și eșantionul statistic Populație: - Totalitatea unităților de observare (persoane, companii, etc.) care sunt subiectul cercetării. - Exemplu: Toți cetățenii unui oraș. Eșantion: - Subgrupul din populație selectat pentru a fi studiat. - Exemplu: 500 de cetățeni dintr-un oraș.  Metode de colectare a datelor Anchete: Întrebări structurate trimise unui grup de persoane. - Avantaj: Poate acoperi un eșantion mare. - Dezavantaj: Răspunsurile pot fi influențate de interpretarea personală. Experimente: Manipularea unei variabile pentru a observa efectul asupra alteia. - Avantaj: Control asupra condițiilor. - Dezavantaj: Poate fi costisitor și consumator de timp. Observare: Date colectate prin observarea subiecților fără intervenție. - Avantaj: Datele reflectă comportamentul real. - Dezavantaj: Nu oferă informații despre motivele comportamentului.  Analiza datelor Analiza descriptivă: - Descrierea datelor prin măsuri de centralizare (media, mediana) și dispersie (deviația standard). - Exemplu: Media vârstei într-un eșantion de studenți. Analiza inferențială: - Folosirea datelor eșantionului pentru a face estimări sau teste de ipoteze despre populație. - Exemplu: Testarea ipotezei că bărbații au o satisfacție mai mare la locul de muncă decât femeile.  Interpretarea rezultatelor Semnificația statistică: - Ce înseamnă rezultatele din punct de vedere practic. - Exemplu: O creștere a vânzărilor cu 5% poate fi considerată semnificativă pentru o companie mică, dar neglijabilă pentru una mare. Concluzii: Formulează recomandări sau decizii pe baza rezultatelor obținute. Concluzii – Importanța cercetării statistice Relevanță: - Cercetarea statistică ajută la înțelegerea tendințelor și la luarea deciziilor bazate pe date. Aplicații: - Se folosește în marketing, politici publice, sănătate, educație.  Activitatea statistică pe plan național şi internațional Față de alte statistici publice, statisticile oficiale sunt acele statistici care sunt elaborate și publicate conform unor acte normative statistice sau regulamente naționale și/sau europene, pe domenii specifice, produse de autoritățile publice în conformitate cu prevederile legale.  Institutul Național de Statistică (INS) din România Funcții principale: Colectarea și publicarea datelor economice, sociale și demografice pentru România. - Exemple de rapoarte: PIB, rata șomajului, populație. Rol în politici publice: Datele colectate sunt folosite pentru a stabili politici economice, sociale și demografice. Baza de date Tempo Online http://statistici.insse.ro:8077/tempo-online/#/pages/tables/insse- table  Eurostat – Biroul de statistică al Uniunii Europene Funcții principale: Colectarea și armonizarea datelor statistice pentru toate statele membre ale UE. - Exemplu de raport: PIB-ul țărilor UE, compararea șomajului între statele membre. - Obiective: Facilitarea comparațiilor între economiile statelor membre și sprijinirea deciziilor economice la nivel european. - https://ec.europa.eu/eurostat/web/main/data  Aplicație 1. Evoluția ratei șomajului în România în ultimii 5 ani pe regiuni. (INSSE- Tempo Online) - http://statistici.insse.ro:8077/tempo-online/#/pages/tables/insse- table 2. Evoluția ratei șomajului la nivel European. Cum se poziționează România în raport cu alte țări din UE?(Eurostat) - https://ec.europa.eu/eurostat/databrowser/view/ei_lmhr_m/default/t able?lang=en&category=euroind.ei_lm  Platforme Open Data relevante INSSE – Tempo Online - http://statistici.insse.ro:8077/tempo-online/#/pages/tables/insse-table data.gov.ro - http://data.gov.ro BNR – Baza de date interactivă - https://www.bnr.ro/Baza-de-date-interactiva-604.aspx EUROSTAT Database - https://ec.europa.eu/eurostat/data/database Stats of the Union - https://statsoftheunion.eu  Software online pentru prelucrarea datelor Excel: Popular pentru analiza descriptivă și generarea de grafice. SPSS: Utilizat pentru analize statistice avansate. Google Data Studio: Platformă online pentru vizualizarea și raportarea datelor.  Aplicație practică Prin intermediul Institutului Național de Statistică, baza de date Tempo Online, descărcați informații cu privire la natalitatea pe județe și localități din ultimii 10 ani și analizați baza de date prin intermediul Excel. Cerințe: - Care este anul cu cea mai mare natalitate în Gorj? Dar per total? - Ce ritm de evoluție are natalitatea persoanelor în județul Gorj pe perioada analizată? –Creează un grafic care evidențiază răspunsul dat. - Ce ritm de evoluție are natalitatea persoanelor per total pe perioada analizată? –Creează un grafic care evidențiază răspunsul dat  1. Institutul Național de Statistică 2. Date statistice 3. Baza de date Tempo 4. A2.1. Natalitate 5. POP201D Pentru generare tabel selectăm: - Județe: total, Gorj - Localități: total - Perioade: 2013-2023 - UM: număr persoane Fișierul se descarcă în format Excel.  SEMINAR 3 ANALIZA STATISTICĂ A SERIILOR DE DISTRIBUȚIE  Serii de repartiție unidimensionale Gruparea unităților statistice ale unei colectivități în funcție de o caracteristică atributivă calitativă sau cantitativă are ca efect obținerea unei serii de repartiție (distribuție) unidimensională. Specific seriilor de distribuție este faptul că indiferent de tipul lor, spațiul şi timpul, ele sunt constante.  Model de serie de distribuție unidimensională Vechime în muncă Persoane (fi) Frecvențe relative fr=(fi/N)*100 0-2 10 10% 2-4 30 30% 4-6 10 10% 6-8 18 18% 8-10 20 20% 10-12 5 5% 12-14 5 5% 14-16 2 2% TOTAL 100 (N) /  Serie de distribuție bidimensională Vechime(ani) 1-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Gen Feminin 20 5 5 15 5 10 Masculin 10 5 5 5 5 10 Total 30 10 10 20 1 20 Serie cronologică pe momente de timp Data Volumul vânzărilor 1.01 10 1.02 50 1.03 78 1.04 95 1.05 154 1.06 198 1.07 273 Serie cronologică pe intervale Anul Producția realizată (tone) 2013 100 2014 50 2015 75 2016 49 2017 112 2018 89 2019 159 2020 188 2021 239  1. Media (mărimea medie) Media valorilor individuale xi ale unei variabile (caracteristici) statistice X, este expresia sintetizării într-un singur număr, reprezentativ, a tot ceea ce este esențial, tipic şi obiectiv în apariția, manifestarea şi dezvoltarea acesteia.  Aplicație Se cunosc următoarele date privind cifra de afaceri realizată în anul 2023 de un eșantion format din 40 de companii: Cifra de Nr. Frecvențe Centrul de 𝑥𝑖 𝒇𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎 ( 𝑥𝑖 −𝑎 )*𝒇𝑖 𝑘 afaceri Companii cumulate interval 𝑘 (𝒇𝑖 ) crescător (𝑥𝑖 ) 2-4 2 4-6 8 6-8 3 8-10 17 10-12 4 12-14 6 TOTAL 40  Cerințe aplicație: a) Să se precizeze care este variabila de grupare, tipul acesteia și tipul seriei prezentate. b) Să se reprezinte grafic seria, utilizând histograma prin dreptunghiuri, poligonul frecvențelor și curba frecvențelor cumulate. c) Să se determine cifra de afaceri medie a eșantionului, utilizând atât calculul obișnuit, cât și calculul simplificat.  Rezolvare a) Variabila de grupare este: - Cifra de afaceri Tipul variabilei de grupare: - atributivă, numerică, cu intervale egale Frecvențele absolute (fi): - 2, 8, 13, 17, 4 ,6 Dimensiunea eșantionului: - N= 40 Seria prezentată este: - serie de distribuție unidimensională b) Pentru seriile de distribuție reprezentările grafice specifice sunt: - histograma - poligonul frecvențelor - curba frecvențelor cumulate  1. Histograma prin dreptunghiuri Pentru reprezentarea grafică a distribuției prin intermediul histogramei se va utiliza sistemul xOy. Pe axa abscisei, Ox, se vor reprezenta intervalele de variație ale eșantionului (variația cifrei de afaceri). Pe axa ordonatei, Oy, se vor reprezenta frecvențele corespunzătoare 𝐹𝑖 De pe abscisă, din dreptul intervalelor de variație se vor ridica dreptunghiuri până la nivelul frecvenței intervalului respectiv. Dreptunghiurile obținute se hașurează. În apropierea graficului se află scara de reprezentare, unde se explică unitatea de măsură pentru subdiviziuni. Frecvențe Variabila de grupare  2. Poligonul frecvențelor Se reprezintă grafic histograma prin dreptunghiuri a distribuției. Se unesc mijloacele bazelor superioare ale dreptunghiurilor printr-o linie frântă și astfel se obține poligonul frecvențelor. Frecvențe Variabila de grupare  3. Curba frecvențelor cumulate Pentru construirea curbei frecvențelor cumulate, pe abscisă se trec intervale de variație corespunzătoare, la fel ca la histogramă, iar pe ordonată se trec frecvențele cumulate. Din dreptul intervalelor se ridică dreptunghiuri a căror înălțime este proporțională cu nivelul corespunzător al frecvențelor cumulate și se unesc vârfurile din dreapta ale bazelor superioare ale dreptunghiurilor, obținându-se astfel curba frecvențelor cumulate.  Calcularea frecvențelor cumulate Cifra de afaceri Nr. Companii Frecvențe cumulate (𝒇𝑖 ) crescător 2-4 2 2 4-6 8 8+2=10 6-8 3 10+3=13 8-10 17 13+17=30 10-12 4 30+4=34 12-14 6 34+6=40 TOTAL 40 / Frecvențe cumulate Variabila de grupare  c) Determinarea cifrei de afaceri medii Deoarece avem o distribuție cu intervale de variație vom folosi media aritmetică ponderată. MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ- calcul obișnuit σ𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥ҧ = 𝑛 σ𝑖=1 𝑓𝑖 unde: 𝑥𝑖 - centrul fiecărui interval (media aritmetică simplă a capetelor intervalului) 𝑓𝑖 - frecvențele fiecărui interval de variație  MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ- calcul simplificat 𝑥𝑖 − 𝑎 ෍ 𝑓𝑖 𝑘 𝑥ҧ = ⋅𝑘+𝑎 𝛴𝑓ⅈ unde: 𝑥𝑖 −𝑎 - este o ajustare cu valori prestabilite astfel: Se pune zero în dreptul centrului de interval 𝑘 cu frecvența cea mai mare; deasupra de zero se pun valorile -1, -2, -3..., iar sub zero se pun valorile +1, +2, +3.... 𝑘 – mărimea intervalului de grupare (în exemplul dat 𝑘= 2) 𝑎 – centrul intervalului cu frecvența cea mai mare (în exemplul dat 𝑎 = 9) Cifra de Nr. Frecvențe Centrul de 𝑥𝑖 𝒇𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎 ( 𝑥𝑖 −𝑎 )*𝒇𝑖 𝑘 afaceri Companii cumulate interval 𝑘 (𝒇𝑖 ) crescător (𝑥𝑖 ) 2-4 2 2 (2+4)/2=3 3*2=6 -3 -3*2= -6 4-6 8 10 (4+6)/2=5 5*8= 40 -2 -2*8= -16 6-8 3 13 (6+8)/2=7 7*3= 21 -1 -1*3= -3 8-10 17 30 (8+10)/2=9 9*17= 153 0 0*17= 0 10-12 4 34 (10+12)/2=11 11*4= 44 1 1*4= 4 12-14 6 40 2 (12+14)/2=13 13*6= 78 2*6= 12 TOTAL 40 / / 342 / -9  Media aritmetică ponderată: - calcul obișnuit 𝑛 ෌𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥ҧ = 𝑛 ෌𝑖=1 𝑓𝑖 342 𝑥ҧ = =8,55 mld. lei este valoarea cifrei de afaceri medii a eșantionului analizat 40 - calcul simplificat 𝑥𝑖 − 𝑎 ෍ 𝑓𝑖 𝑘 𝑥ҧ = ⋅𝑘+𝑎 𝛴𝑓ⅈ 𝑘 – mărimea intervalului de grupare (în exemplul dat 𝑘= 2) 𝑎 – centrul intervalului cu frecvența cea mai mare (în exemplul dat 𝑎 = 9) −9 𝑥ҧ = ∗ 2 + 9= 8,55 mld. lei este valoarea cifrei de afaceri medii a eșantionului analizat 40  Rețineți! Indiferent de formula mediei aritmetice ponderate pe care o utilizăm ( varianta obișnuită sau cea simplificată), rezultatul este tot timpul același. În situația în care obținem rezultate diferite prin aplicarea celor doua formule pe același eșantion de date, trebuie reluat calculul, deoarece există o eroare: Cheie de control pentru examen! SEMINAR 4 2. MEDIANA 3. MODUL  2. MEDIANA Mediana (𝑀𝑒 ) este acea valoare a caracteristicii care ocupă locul central al seriei statistice ordonate crescător sau descrescător. Mediana este valoarea care împarte seria în două părți egale.  𝛴𝑓ⅈ 𝑘 𝑀𝑒 = 𝑙𝑖 + − 𝑆𝑛 ∗ 2 𝑓𝑚 unde: 𝑀𝑒 - mediana 𝑙𝑖 - limita inferioară a intervalului median 𝑆𝑛 - suma frecvențelor ce preced intervalul median 𝑘 – mărimea intervalului median 𝑓𝑚 - frecvența intervalului median Intervalul median este intervalul a cărui frecvență, cumulată cu frecvențele anterioare, cuprinde jumătate +1 din dimensiunea eșantionului.  Se aplică formula medianei la problema de la seminarul anterior. 𝛴𝑓ⅈ 𝑘 𝑀𝑒 = 𝑙𝑖 + − 𝑆𝑛 ∗ 2 𝑓𝑚 Cifra Nr. Frecvențe de Compa cumulate Intervalul median: 8-10 afaceri nii crescător 𝑙𝑖 = limita inferioară a intervalului median= 8 (𝒇𝑖 ) 2-4 2 2 𝛴𝑓ⅈ 40 = 4-6 8 10 2 2 6-8 3 13 𝑆𝑛 = suma frecvențelor ce preced intervalul median 8-10 17 30 = 2+8+3 = 13 10-12 4 34 12-14 6 40 𝑘 = Mărimea intervalului median= 2 TOTAL 40 / 𝑓𝑚 = frecvența intervalului median= 17 40 2 𝑀𝑒 = 8 + − 13 ∗ = 8+ 7 * 0,1176 = 8,82 (miliarde lei este cifra de afaceri mediană) 2 17  Mediana- determinare grafică Pentru determinarea grafică a medianei se utilizează curba frecvențelor cumulate. 𝛴𝑓ⅈ Dindreptul lui se duce o paralelă la axa abscixei (Ox) până în 2 punctul în care intersectează curba frecvențelor cumulate. Din acest punct se coboară o perpendiculară pe axa Ox, iar punctul de incidență obținut reprezintă valoarea medianei. Frecvențe cumulate 𝑀𝑒 Variabila de grupare  2. MODUL (DOMINANTA) Modul (𝑀𝑜 ) este nivelul caracteristicii care are frecvența cea mai mare. Este cunoscut şi sub numele de dominantă şi se calculează numai pentru seriile de distribuție.  Δ1 𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + ∗𝑘 Δ1 + Δ2 unde: Mo - modul lⅈ - limita inferioară a intervalului modal Δ1 - diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența precedentă Δ2 - diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența următoare 𝑘 - mărimea intervalului de variație Intervalul modal este intervalul cu frecvența cea mai mare.  Δ1 𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + ∗𝑘 Δ1 +Δ2 Intervalul modal (cu frecvența cea mai mare)= 8-10 Cifra Nr. Frecvențe lⅈ = limita inferioară a intervalului modal= 8 de Compa cumulate afaceri nii crescător Δ1 = ( frecvența intervalului modal - frecvența precedentă) (𝒇𝑖 ) = 17-3 = 14 2-4 2 2 4-6 8 10 Δ2 = (frecvența intervalului modal - frecvența următoare) 6-8 3 13 = 17- 4= 13 8-10 17 30 𝑘 - mărimea intervalului de variație = 2 10-12 4 34 12-14 6 40 14 𝑀𝑜 = 8 + ∗2 TOTAL 40 / 14+13 = 8 + 0,5185*2 = 9, 04 (miliarde lei este cifra de afaceri dominantă)  Modul- determinare grafică Pentru determinarea grafică a modului se folosește histograma prin dreptunghiuri. Se unesc punctele de incidență ale coloanelor adiacente cu vârfurile superioare, opuse coloanei modale. Din punctul de incidență obținut se coboară o perpendiculară pe abscisă, punctul de intersecțe reprezentând valoarea modului. Frecvențe 𝑀𝑜 Variabila de grupare  Aplicație Se cunosc următoarele date cu privire la examenul la statistică pentru un eșantion format din 58 de studenți. Nota Nr. Studenți Frecvențe Centrul de 𝑥𝑖 𝒇𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎 ( 𝑥𝑖 −𝑎 )*𝒇𝑖 𝑘 (𝒇𝑖 ) cumulate interval 𝑘 crescător (𝑥𝑖 ) 2-3 2 3-4 4 4-5 3 5-6 8 6-7 11 7-8 21 8-9 3 9-10 6 TOTAL 58  Cerințe aplicație a) Să se precizeze care este variabila de grupare, tipul acesteia și tipul seriei prezentate. b) Să se determine nota medie, mediană și modul eșantionului. c) Să se reprezinte grafic seria, utilizând histograma prin dreptunghiuri, poligonul frecvențelor și curba frecvențelor cumulate. Nota Nr. Frecvențe Centrul de 𝑥𝑖 𝒇𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎 ( 𝑥𝑖 −𝑎 )*𝒇𝑖 𝑘 Studenți cumulate interval 𝑘 (𝒇𝑖 ) crescător (𝑥𝑖 ) 2-3 2 2 (2+3)/2=2,5 2*2,5=5 -5 -5*2= -10 3-4 4 2+4= 6 (3+4)/2= 3,5 4*3,5= 14 -4 -4*4= -16 4-5 3 6+3= 9 (4+5)/2= 4,5 3*4,5= 13,5 -3 -3*3= -9 5-6 8 9+8= 17 (5+6)/2=5,5 8*5,5= 44 -2 -2*8= -16 6-7 11 17+11= 28 (6+7)/2=6,5 11*6,5=71,5 -1 -1*11= -11 7-8 21 28+21= 49 (7+8)/2=7,5 21*7,5= 157,5 0 0*21= 0 8-9 3 49+3= 52 (8+9)/2=8,5 3*8,5= 25,5 1 1*3= 3 9-10 6 52+6= 58 (9+10)/2= 9,5 6*9,5= 57 2 2*6= 12 TOTAL 58 / / 388 / -47 a) Variabila de grupare este: - Nota Tipul variabilei de grupare: - atributivă, numerică, cu intervale egale Frecvențele absolute (fi): - 2, 4, 3, 8, 11 ,21, 3, 6 Dimensiunea eșantionului: - N= 58 Seria prezentată este: - serie de distribuție unidimensională  Media aritmetică ponderată: - calcul obișnuit 𝑛 ෌𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 388 𝑥ҧ = 𝑛 , rezultă: 𝑥ҧ = =6,69 (nota medie a eșantionului analizat) ෌𝑖=1 𝑓𝑖 58 - calcul simplificat 𝑥𝑖 − 𝑎 ෍ 𝑓𝑖 𝑘 𝑥ҧ = ⋅𝑘+𝑎 𝛴𝑓ⅈ 𝑘 – mărimea intervalului de grupare, rezultă: 𝒌= 1 𝑎 – centrul intervalului cu frecvența cea mai mare, rezultă: 𝒂 = 7,5 −47 𝑥ҧ = ∗ 1 +7,5= 6,69 (nota medie a eșantionului analizat) 58  Mediana 𝛴𝑓ⅈ 𝑘 𝑀𝑒 = 𝑙𝑖 + − 𝑆𝑛 ∗ 2 𝑓𝑚 Intervalul median (a cărui frecvență, cumulată cu frecvențele anterioare, cuprinde jumătate +1 din dimensiunea eșantionului ): 7-8 𝑙𝑖 = limita inferioară a intervalului median= 7 𝛴𝑓ⅈ 𝟓𝟖 = 𝟐 2 𝑆𝑛 = suma frecvențelor ce preced intervalul median = 11+8+3+4+2 = 28 𝑘 = Mărimea intervalului median= 1 𝑓𝑚 = frecvența intervalului median= 21 58 1 𝑀𝑒 = 7 + − 28 ∗ = 7+ 1 * 0,0476 = 7,0476 (nota mediană) 2 21  Modul Δ1 𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + ∗𝑘 Δ1 +Δ2 Intervalul modal (cu frecvența cea mai mare)= 7-8 lⅈ = limita inferioară a intervalului modal= 7 Δ1 = ( frecvența intervalului modal - frecvența precedentă) = 21-11 = 10 Δ2 = (frecvența intervalului modal - frecvența următoare) = 21- 3= 18 𝑘 - mărimea intervalului de variație = 1 10 𝑀𝑜 = 7 + ∗ 1 10+18 = 7 + 0,3571*1 = 7, 3571 (nota dominantă) Histograma prin dreptunghiuri 𝑀𝑜 =7,3571 Poligonul frecvențelor  Curba frecvențelor cumulate 𝛴𝑓ⅈ =29 2 𝑀𝑒 =7,0476  SEMINAR 5 INDICATORII VARIAȚIEI, ASIMETRIEI ȘI AI CURTOZISULUI  APLICAȚIE Se cunosc următoarele date cu privire la cifra de afaceri realizată în anul 2023 de un eșantion de 40 de companii. Cerințe: 1. Determinați amplitudinea absolută și relativă a variației variabile de grupare. 2. Determinați dispersia eșantionului analizat, utilizând atât metoda de calcul obișnuit cât și metoda de calcul simplificat. 3. Apreciați semnificația mediei eșantionului analizat cu ajutorul coeficientului de variație. 4. Calculați coeficientul de asimetrie Pearson, coeficientul de asimetrie Fisher și interpretați rezultatele obținute. 5. Calculați coeficientul de boltire Pearson și coeficientul de boltire Fischer și interpretați rezultatele obținute.  Centru Nr. l de firme interva 𝑥𝑖 − 𝑎 𝑥𝑖 −𝑎 𝑥𝑖 −𝑎 2 𝑥𝑖 −𝑎 2 CA 𝑥𝑖 𝒇𝑖 ( )*𝒇𝑖 𝑥𝑖 −𝑥ҧ (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 2 (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 2 *𝒇𝑖 ( ) ( ) *𝒇𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 𝟒 *𝒇𝑖 (𝒇𝑖 ) l 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 (𝑥𝑖 ) 3 6 -3 -6 2-4 2 5 40 -2 -16 4-6 8 7 21 -1 -3 6-8 3 9 153 0 0 8-10 17 10- 11 44 1 4 4 12 12- 13 78 2 12 6 14 Tota / 342 / -9 40 l  Determinarea cifrei de afaceri medii Deoarece avem o distribuție cu intervale de variație vom folosi media aritmetică ponderată. MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ- calcul obișnuit σ𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥ҧ = 𝑛 σ𝑖=1 𝑓𝑖 342 𝑥ҧ = = 8,55 40 unde: 𝑥𝑖 - centrul fiecărui interval (media aritmetică simplă a capetelor intervalului) 𝑓𝑖 - frecvențele fiecărui interval de variație  Centrul Nr. de 𝑥𝑖 − 𝑎 𝑥𝑖 − 𝑎 2 firme 𝑥𝑖 −𝑎 2 2 𝑥𝑖 −𝑎 2 CA interval 𝑥𝑖 𝒇𝑖 ( )*𝒇𝑖 𝑥𝑖 −𝑥ҧ (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ *𝒇𝑖 ( ) ( ) *𝒇𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 𝟒 *𝒇𝑖 (𝒇𝑖 ) 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 (𝑥𝑖 ) 2-4 2 3 6 -3 -6 -5,55 30,80 61,61 9 18 1897,59 4-6 8 5 40 -2 -16 1270,58 -3,55 12,60 100,82 4 32 6-8 3 7 21 -1 -3 7,21 1 -1,55 2,40 3 17,32 8-10 17 9 153 0 0 0,45 0,20 3,44 0 0 0,70 10-12 4 11 44 1 4 1 4 2,45 6,00 24,01 144,12 12-14 6 13 78 2 12 4,45 118,82 19,80 4 24 2352,83 / 342 / -9 Total 40 / / 315,90 19 81 5683,14  a. Amplitudinea variaţiei a.1 Amplitudinea absolută: - Se calculează ca diferență între nivelul maxim (xmax) şi nivelul minim (xmin) al caracteristicii (CA în exemplul dat): 𝐴𝑎 = xmax – xmin 𝐴𝑎 = 14 – 2 = 12 mld lei a.2 Amplitudinea relativă: - Se exprimă de regulă în procente şi se calculează ca raport între amplitudinea absolută a variației şi nivelul mediu al caracteristicii: 𝐴𝑎 𝐴𝑟 = ∗ 100 𝑥ҧ 12 𝐴𝑟 = ∗ 100 = 140,35% 8,55  b. Dispersia Calcul obișnuit - Se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor termenilor față de media lor. 𝑛 ෌𝑖=1( 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 2 ∗ 𝑓𝑖) 𝜎2 = σ𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 315,90 𝜎2 = = 7,8975 40  Calcul simplificat 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑎 2 ෎ ∗ 𝑓𝑖 𝑘 𝑖=1 𝜎2 = ∗ 𝑘 2 − 𝑥ҧ − 𝑎 2 σ𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 81 𝜎2 = ∗ 22 − 8,55 − 9 2 = 2,025 ∗ 4 − −0,45 2 = −7,8975 40 unde: 𝑥𝑖 −𝑎 - este o ajustare cu valori prestabilite 𝑘 𝑘 – mărimea intervalului de grupare (în exemplul dat 𝑘= 2) 𝑎 – centrul intervalului cu frecvența cea mai mare (în exemplul dat 𝑎 = 9)  Abaterea standard și coeficientul de variație Abaterea standard: 𝛔= 𝝈𝟐 , unde: 𝜎 2 =dispersia 𝝈 Coeficientul de variație: 𝝑= ഥ , unde: 𝜎=abaterea standard, 𝒙 𝑥ҧ = media Coeficientul de variație poate lua valori începând cu zero. Cu cât valoarea coeficientului este mai mică, cu atât seria statistică este mai omogenă și implicit media este mai reprezentativă. În cazul în care valoarea coeficientului este mai mare de 35%, eșantionul analizat nu este omogen, media nu este reprezentativă, iar datele necesită o regrupare. 𝝑 < 𝟑𝟓% ⇒ 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚 𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐩𝐫𝐞𝐳𝐞𝐧𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯ă  Abaterea standard: 𝛔= 𝝈𝟐 , unde: 𝜎 2 =dispersia 𝛔= 𝝈𝟐 = 7,8975 = 2,81 𝝈 Coeficientul de variație: 𝝑= ഥ *100 , unde: 𝜎=abaterea standard, 𝒙 𝑥ҧ = media 𝟐,𝟖𝟏 𝝑= *100= 0,3287 * 100= 32,87 % 𝟖,𝟓𝟓 𝝑 < 𝟑𝟓% ⇒ 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚 𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐩𝐫𝐞𝐳𝐞𝐧𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯ă  Coeficientul de asimetrie Pearson și Fisher Gradul de simetrie sau de asimetrie al unei serii se poate aprecia cu ajutorul coeficientului de asimetrie Fisher și cu ajutorul relației dintre medie, mediană și mod. Coeficientul Pearson se notează cu: 𝐾as 𝑃 Coeficientul Fisher se notează cu: 𝐾as 𝐹  Dacă 𝐾as 𝑃 > 0 ⇒ serie cu asimetrie pozitivă la stânga Dacă 𝐾as 𝑃 = 0 ⇒ serie simetrică Dacă 𝐾as 𝑃 < 0 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta Dacă 𝐾as 𝐹 > 0 ⇒ serie cu asimetrie pozitivă la stânga Dacă 𝐾as 𝐹 = 0 ⇒ serie simetrică Dacă 𝐾as 𝐹 < 0 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta Neconcordanța rezultatelor derivă din faptul că media nu este reprezentativă.  Relații dintre medie, mediană și mod 𝑥ҧ < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta 𝑥ҧ = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 ⇒ serie simetrică 𝑥ҧ > 𝑀𝑒 > 𝑀𝑜 ⇒ serie cu asimetrie pozitivă la stânga  𝑀𝑜 = 9,04 Coeficientul Pearson: 𝐾 𝑀𝑒 = 8,82 ҧ 𝑥−𝑀 𝑜 as 𝑃= 𝜎 𝑥ҧ = 8,55 𝛔 = 2,81 𝐾as 𝑃= 8,55−9,04 = -0,17 < 0 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta 2,81 Coeficientul Fisher: 3 𝑥ҧ − 𝑀𝑒 𝐾as 𝐹 = 𝜎 3 8,55−8,82 𝐾as 𝐹 = = -2,29 < 0 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta 2,81  𝑀𝑜 = 9,04 𝑀𝑒 = 8,82 𝑥ҧ = 8,55 𝑥ҧ < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta  Pentru a aprecia gradul de boltire sau aplatizare al unei serii utilizăm coeficienții de boltire Pearson (𝛽2 ) și Fisher (𝛾2 ).  Coeficientul de boltire Pearson (𝛽2 ) 𝜇4 𝜇4 𝛽2 = 2 = 2 2 𝜇2 𝜎 𝜇4 142,08 142,08 𝛽2 = = = = 2,28 𝜎 2 2 −7,8975 2 62,37 unde: 𝜎 2 =dispersia 𝑛 ෌𝑖=1 𝑥𝑖 −𝑥ҧ 𝑛 ∗𝑓𝑖 5684,41 𝜇𝑛 = 𝑛 ⇒ 𝜇4 = = 142,08 ෌𝑖=1 𝑓𝑖 40  Coeficientul de boltire Fisher (𝛾2 ) 𝛾2 = 𝛽2 − 3 ⇒ 𝛾2 = 𝛽2 − 3 = 𝟐, 𝟐𝟖 − 𝟑 = −𝟎, 𝟕𝟐 ⇒ 𝛾2 < 0 ⇒ distribuție platicurtică 𝛾2 > 0 ⇒ dⅈstrⅈbuțⅈe leptocurtⅈcă 𝛾2 = 0 ⇒ dⅈstrⅈbuțⅈe mezocurtⅈcă 𝛾2 < 0 ⇒ dⅈstrⅈbuțⅈe platⅈcurtⅈcă  SEMINAR 6 APLICAȚIE RECAPITULATIVĂ  Cerințe aplicație a) Reprezentați grafic seria de distribuție utilizând histograma prin dreptunghiuri. b) Determinați cifra de afaceri medie a eșantionului utilizând cele două metode de calcul. c) Determinați mediana și modul eșantionului. d) Determinați dispersia eșantionului prin cele două metode de calcul. e) Determinați coeficientul de variație și interpretați rezultatul obținut. f) Precizați asimetria seriei prin coeficienții de asimetrie Pearson si Fisher și relația dintre medie, mediană și modul. g) Distribuția este leptocurtică, platicurtică sau mezocurtică?  Centrul Nr. de 𝑥𝑖 − 𝑎 firme 𝑥𝑖 −𝑎 𝑥𝑖 −𝑎 2 CA interval 𝑥𝑖 𝒇𝑖 ( )*𝒇𝑖 𝑥𝑖 −𝑥ҧ (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 2 *𝒇𝑖 ( ) *𝒇𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 𝟒 *𝒇𝑖 (𝒇𝑖 ) 𝑘 𝑘 𝑘 (𝑥𝑖 ) 1-1,5 40 1,25 50 -2 -80 1,5-2 60 1,75 105 -1 -60 2-2,5 200 2,25 450 0 0 2,5-3 80 2,75 220 1 80 3-3,5 20 3,25 65 2 40 Total 400 / 890 / -20  a) Reprezentare grafică Histograma prin dreptunghiuri 250 200 150 100 50 0 1,0-1,5 1,5-2,0 2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5  b) Determinarea cifrei de afaceri medii Deoarece avem o distribuție cu intervale de variație vom folosi media aritmetică ponderată. MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ- calcul obișnuit 𝑛 ෌𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 890 𝑥ҧ = 𝑛 𝑥ҧ = =2,225 ෌𝑖=1 𝑓𝑖 400 unde: 𝑥𝑖 - centrul fiecărui interval (media aritmetică simplă a capetelor intervalului) 𝑓𝑖 - frecvențele fiecărui interval de variație  MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ- calcul simplificat 𝑥𝑖 −𝑎 ෍ 𝑘 𝑓𝑖 −20 𝑥ҧ = ⋅𝑘+𝑎 𝑥ҧ = ⋅ 0,5 + 2,25 = 2,225 𝛴𝑓ⅈ 400 unde: 𝑥𝑖 −𝑎 - este o ajustare cu valori prestabilite astfel: Se pune zero în dreptul centrului de interval 𝑘 cu frecvența cea mai mare; deasupra de zero se pun valorile -1, -2, -3..., iar sub zero se pun valorile +1, +2, +3.... 𝑘 – mărimea intervalului de grupare 𝑘= 0,5 𝑎 – centrul intervalului cu frecvența cea mai mare 𝑎 = 2,25  Centrul Nr. de 𝑥𝑖 − 𝑎 firme 𝑥𝑖 −𝑎 𝑥𝑖 −𝑎 2 CA interval 𝑥𝑖 𝒇𝑖 ( )*𝒇𝑖 𝑥𝑖 −𝑥ҧ (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 2 *𝒇𝑖 ( ) *𝒇𝑖 (𝑥𝑖 −𝑥)ҧ 𝟒 *𝒇𝑖 (𝒇𝑖 ) 𝑘 𝑘 𝑘 (𝑥𝑖 ) 1-1,5 40 1,25 50 -2 -80 -0,98 38,42 160 36,15 1,5-2 60 1,75 105 -1 -60 -0,48 13,54 60 3,05 2-2,5 200 2,25 450 0 0 0,02 0,12 0 0,00008 2,5-3 80 2,75 220 1 80 0,53 22,05 80 6,08 3-3,5 20 3,25 65 2 40 1,03 34,58 80 59,8 Total 400 / 890 / -20 / 180,32 380 105,08  c) Determinarea medianei și a modului 𝛴𝑓ⅈ 𝑘 Frecvențele 𝑀𝑒 = 𝑙𝑖 + − 𝑆𝑛 ∗ Nr. firme cumulate 2 𝑓𝑚 CA (𝒇𝑖 ) crescător Intervalul median: 2-2,5 1-1,5 40 40 𝑙𝑖 = limita inferioară a intervalului median= 2 𝛴𝑓ⅈ 400 1,5-2 60 100 = 2 2 Cuprinde jumătate +1 2-2,5 200 300 𝑆𝑛 = suma frecvențelor ce preced intervalul median 2,5-3 80 380 = 40+60 = 100 𝑘 = Mărimea intervalului median= 0,5 3-3,5 20 400 𝑓𝑚 = frecvența intervalului median= 200 Total 400 / 400 0,5 𝑀𝑒 = 2 + − 100 ∗ = 2+ 100 * 0,0025 = 2,25 (miliarde lei este cifra de afaceri 2 200 mediană)  Δ1 𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + ∗𝑘 Δ1 +Δ2 Nr. firme CA (𝒇𝑖 ) Intervalul modal (cu frecvența cea mai mare)= 2-2,5 lⅈ = limita inferioară a intervalului modal= 2 1-1,5 40 Δ1 = ( frecvența intervalului modal - frecvența precedentă) = 200-60 = 140 1,5-2 60 Δ2 = (frecvența intervalului modal - frecvența următoare) 2-2,5 200 = 200- 80= 120 2,5-3 80 𝑘 - mărimea intervalului de variație = 0,5 140 𝑀𝑜 = 2 + ∗ 0,5 3-3,5 20 140+120 = 2 + 0,54*0,5 Total 400 = 2,27(miliarde lei este cifra de afaceri dominantă)  d) Dispersia Calcul obișnuit - Se calculează ca o medie aritmetică ponderată a pătratelor abaterilor termenilor față de media lor. 𝑛 ෌𝑖=1( 𝑥𝑖 − 𝑥ҧ 2 ∗ 𝑓𝑖) 𝜎2 = σ𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 94,75 𝜎2 = = 𝟎, 𝟐𝟒 400  Calcul simplificat 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑎 2 ෎ ∗ 𝑓𝑖 𝑘 𝑖=1 𝜎2 = ∗ 𝑘 2 − 𝑥ҧ − 𝑎 2 σ𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 380 𝜎2 = ∗ 0,52 − 2,225 − 2,25 2 = 0,95 ∗ 0,25 − −0,025 2 = 0,2375 − 0,000625 400 = 0,2368 ≈ 𝟎, 𝟐𝟒 unde: 𝑥𝑖 −𝑎 - este o ajustare cu valori prestabilite 𝑘 𝑘 – mărimea intervalului de grupare (în exemplul dat 𝑘= 0,5) 𝑎 – centrul intervalului cu frecvența cea mai mare (în exemplul dat 𝑎 = 2,25)  e) Coeficientul de variație Abaterea standard: 𝛔= 𝝈𝟐 , unde: 𝜎 2 =dispersia 𝛔= 𝝈𝟐 = 0,24 = 0,49 𝝈 Coeficientul de variație: 𝝑 = ഥ*100 , unde: 𝜎=abaterea standard, 𝒙 𝑥ҧ = media 𝟎,𝟒𝟗 𝝑= *100= 0,2178* 100= 21,78 % 𝟐,𝟐𝟓 𝟐𝟏, 𝟕𝟖% < 𝟑𝟓% ⇒ 𝐦𝐞𝐝𝐢𝐚 𝐞𝐬𝐭𝐞 𝐫𝐞𝐩𝐫𝐞𝐳𝐞𝐧𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯ă  f) Coeficienții de asimetrie Pearson și Fisher Coeficientul Pearson: 𝐾 ҧ 𝑥−𝑀 𝑜 as 𝑃= 𝜎 𝐾as 𝑃= 2,225−2,27 = -0,09 < 0 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta 0,49 Coeficientul Fisher: 3 𝑥ҧ − 𝑀𝑒 𝐾as 𝐹 = 𝜎 3 2,225−2,25 𝐾as 𝐹 = = -0,15 < 0 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta 0,49  𝑀𝑜 = 2,27 𝑀𝑒 = 2,25 𝑥ҧ = 2,225 𝑥ҧ < 𝑀𝑒 < 𝑀𝑜 ⇒ serie cu asimetrie negativă la dreapta  Coeficientul de boltire Pearson (𝛽2 ) 𝜇4 𝜇4 𝛽2 = 2 = 2 2 𝜇2 𝜎 𝜇4 0,1684 0,17 𝛽2 = = = = 2,83 𝜎 2 2 0,24 2 0,06 unde: 𝜎 2 =dispersia 𝑛 67,36 ෌𝑖=1 𝑥𝑖 −𝑥ҧ 𝑛 ∗𝑓𝑖 𝜇𝑛 = 𝑛 ⇒ 𝜇4 = = 0,17 ෌𝑖=1 𝑓𝑖 400  Coeficientul de boltire Fisher (𝛾2 ) 𝛾2 = 𝛽2 − 3 ⇒ 𝛾2 = 2,83 − 3 = −𝟎, 𝟏𝟕 ⇒ −0,17< 0 ⇒ distribuție platicurtică 𝛾2 > 0 ⇒ dⅈstrⅈbuțⅈe leptocurtⅈcă 𝛾2 = 0 ⇒ dⅈstrⅈbuțⅈe mezocurtⅈcă 𝛾2 < 0 ⇒ dⅈstrⅈbuțⅈe platⅈcurtⅈcă  SEMINAR 7 SERII CRONOLOGICE -TRENDUL LINIAR-  În tabelul din slide-ul următor este surprinsă producția unei societăți în intervalul 2014-2021. Cerințe: a) Să se reprezinte grafic seria cronologică cu ajutorul cronogramei. b) Să se ajusteze seria dată cu ajutorul trendului liniar. c) Să se estimeze valorile previzionate pentru anii 2023 și 2025. Anul Tone 𝒕𝑖 𝑡𝑖2 𝑦𝑖 𝒕𝑖 𝒀𝑡𝑖 n 𝑦𝑖 2014 50 2015 40 2016 70 2017 80 2018 120 2019 130 2020 110 2021 140 Total 740  a) Cronograma seriei cronologice Cronograma surprinde tendința pe termen lung și fluctuațiile evenimentelor analizate. Pentru reprezentarea grafică a seriei prin intermediul cronogramei se va utiliza sistemul xOy. Pe axa abscisei, Ox, se va reprezenta perioada pe care se analizează variabila (ani, luni, zile, etc.). Pe axa ordonatei, Oy, se vor reprezenta valorile variabilei analizate. De pe abscisă, din dreptul perioadei de timp se va ridica o dreaptă punctată până la nivelul valorii perioadei respective. Punctul grafic în care perioada și valoarea variabilei se intersectează va fi marcat. Punctele grafice se vor uni cu o linie continuă și astfel se va forma cronograma seriei.  Trendul liniar Expresia funcției trendului liniar: 𝑌𝑡𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑡𝑖 Unde: a , b - parametrii funcției trendului liniar. 𝑡𝑖 - factorul de timp 𝑌𝑡𝑖 - valorile ajustate cu ajutorul trendului liniar  Pentru determinarea parametrilor a și b se va utiliza metoda celor mai mici pătrate. Condiția de minim impusă de metoda celor celor mai mici pătrate este: 𝑛 2 ෌𝑖=1 𝑒𝑖=mⅈn , unde 𝑒𝑖 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑧𝑖𝑛𝑡ă 𝑒𝑟𝑜𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 - 𝑌𝑡𝑖 , unde 𝑦𝑖 reprezintă valorile variabilei Pe baza acestei condiții, pentru obținerea parametrilor a și b se va utiliza sistemul: 𝑛 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ ෍ 𝑡𝑖 = ෍ 𝑦𝑖 𝑎 ∗ ෍ 𝑡𝑖 + 𝑏 ∗ ෍ 𝑡𝑖2 = ෍ 𝑡𝑖 𝑦𝑖 Unde: σ 𝑡𝑖 = 0 , n= număr total de ani din serie  Stabilirea valorilor 𝑡𝑖 : Dacă seria are număr impar de termeni, se atribuie valoarea zero termenului central, deasupra acestuia vom avea -1, -2, -3...-n , iar sub acesta vom avea 1,2,3...n. Dacă seria are număr par de termeni, se atribuie valorile -1 și 1 termenilor centrali și valorile -3, 3 ; -5, 5 ; -7, 7 ; -9, 9... pentru restul termenilor seriei. n 𝑦𝑖 𝒕𝑖 n 𝑦𝑖 𝒕𝑖 2014 50 -3 Exemplu: 2014 50 -5 2015 40 -2 IMPAR 2015 40 -3 2016 70 -1 PAR 2016 70 -1 2017 80 0 2017 80 1 2018 120 1 2018 120 3 2019 130 2 2019 130 5 2020 110 3 Anul Tone 𝒕𝑖 𝑡𝑖2 𝑦𝑖 𝒕𝑖 𝒀𝑡𝑖 n 𝑦𝑖 2014 50 -7 49 -350 2015 40 -5 25 -200 2016 70 -3 9 -210 2017 80 -1 1 -80 2018 120 1 1 120 2019 130 3 9 390 2020 110 5 25 550 2021 140 7 49 980 Total 740 / 168 1200  Se vor aplica datele din exemplul dat: 𝑛 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ σ 𝑡𝑖 = σ 𝑦𝑖 8𝑎 + 𝑏 ∗ 0 = 740 8𝑎 = 740 𝑎 = 92,5 ൝ = ൞ 2 = ቊ = ቊ 𝑎 ∗ σ 𝑡𝑖 + 𝑏 ∗ ෌ 𝑡𝑖2 = σ 𝑡𝑖 𝑦𝑖 𝑎 ∗ 0 + 𝑏 ∗ ෍ 𝑡𝑖 = ෍ 𝑡𝑖 𝑦𝑖 168𝑏 = 1200 𝑏 = 7,14 ⇒ 𝑌𝑡𝑖 = 92,5 + 7,14 𝑡𝑖 = Funcția trendului liniar σ 𝑡𝑖 = 0 n= număr total de ani din serie = 8  Se aplică funcția trendului liniar fiecărui an analizat: 𝑌2014 = 92,5 + 7,14 ∗ −7 ⇒ 𝑌2014 = 42,52 𝑌2015 = 92,5 + 7,14 ∗ −5 ⇒ 𝑌2015 = 56,80 𝑌2016 = 92,5 + 7,14 ∗ −3 ⇒ 𝑌2016 = 71,08 𝐶𝐻𝐸𝐼𝐸 𝐷𝐸 𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝑂𝐿 𝑌2017 = 92,5 + 7,14 ∗ −1 ⇒ 𝑌2017 = 85,36 𝑌2015 − 𝑌2014 =b 2 𝑌2018 = 92,5 + 7,14 ∗ 1 ⇒ 𝑌2018 = 99,64 56,80 − 42,52 14,28 = = 7,14 2 2 𝑌2019 = 92,5 + 7,14 ∗ 3 ⇒ 𝑌2019 = 113,92 𝑌2020 = 92,5 + 7,14 ∗ 5 ⇒ 𝑌2020 = 128,20 𝑌2021 = 92,5 + 7,14 ∗ 7 ⇒ 𝑌2021 = 142,48 Anul Tone 𝒕𝑖 𝑡𝑖2 𝑦𝑖 𝒕𝑖 𝒀𝑡𝑖 n 𝑦𝑖 2014 50 -7 49 -350 42,53 2015 40 -5 25 -200 56,80 2016 70 -3 9 -210 71,80 2017 80 -1 1 -80 83,36 2018 120 1 1 120 99,64 2019 130 3 9 390 113,92 2020 110 5 25 550 128,20 2021 140 7 49 980 142,48 Total 740 / 168 1200 740 Cronograma seriei cu trend liniar c) Valorile previzionate pentru anii 2023 și 2025 𝑌2023 = 92,5 + 7,14 ∗ 11 ⇒ 𝑌2023 = 171,04 𝑌2025 = 92,5 + 7,14 ∗ 15 ⇒ 𝑌2025 = 199,60  SEMINAR 8 SERII CRONOLOGICE -TRENDUL PARABOLIC- -TRENDUL HIPERBOLIC-  Utilizând datele de la seminarul anterior, se va ajusta seria cronologică cu ajutorul trendului parabolic și trendului hiperbolic, pentru a se stabili ce trend dintre cele trei analizate este cel mai potrivit pentru eșantionul analizat.  1. TRENDUL PARABOLIC Expresia funcției trendului parabolic: 𝑌𝑡𝑖 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑡𝑖 + c ∗ 𝑡𝑖 2 Unde: a , b - parametrii funcției trendului liniar. 𝑡𝑖 - factorul de timp 𝑌𝑡𝑖 - valorile ajustate cu ajutorul trendului  Pentru determinarea parametrilor a și b se va utiliza metoda celor mai mici pătrate. Condiția de minim impusă de metoda celor celor mai mici pătrate este: 𝑛 2 ෌𝑖=1 𝑒𝑖=mⅈn , unde 𝑒𝑖 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑧𝑖𝑛𝑡ă 𝑒𝑟𝑜𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 - 𝑌𝑡𝑖 , unde 𝑦𝑖 reprezintă valorile variabilei Pe baza acestei condiții, pentru obținerea parametrilor a și b se va utiliza sistemul: 𝑛 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ ෍ 𝑡𝑖 + 𝑐 ∗ ෍ 𝑡𝑖2 = ෍ 𝑦𝑖 𝑎 ∗ ෍ 𝑡𝑖 + 𝑏 ∗ ෍ 𝑡𝑖2 + 𝑐 ∗ ෍ 𝑡𝑖3 = ෍ 𝑡𝑖 𝑦𝑖 𝑎 ∗ ෍ 𝑡𝑖2 + 𝑏 ∗ ෍ 𝑡𝑖3 + 𝑐 ∗ ෍ 𝑡𝑖4 = ෍ 𝑡𝑖2 𝑦𝑖 Unde: σ 𝑡𝑖 = 0 , n= număr total de ani din serie =8 Anul Tone 𝒕𝑖 𝑦𝑖 𝒕𝑖 𝑡𝑖𝟐 𝑡𝑖𝟑 𝑡𝑖𝟒 𝑡𝑖2 𝑦𝑖 n 𝑦𝑖 2014 50 -7 -350 49 -343 2401 2450 2015 40 -5 -200 25 -125 625 1000 2016 70 -3 -210 9 -27 81 630 2017 80 -1 -80 1 -1 1 80 2018 120 1 120 1 1 1 120 2019 130 3 390 9 27 81 1170 2020 110 5 550 25 125 625 2750 2021 140 7 980 49 343 2401 6860 Total 740 0 1200 168 0 6216 15060  Rezolvare: 𝑛 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ σ 𝑡𝑖 + 𝑐 ∗ ෌ 𝑡𝑖2 = σ 𝑦𝑖 8 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ 0 + 𝑐 ∗ 168 = 740 𝑎 ∗ σ 𝑡𝑖 + 𝑏 ∗ ෌ 𝑡𝑖2 + 𝑐 ∗ ෌ 𝑡𝑖3 = σ 𝑡𝑖 𝑦𝑖 = ቐ 𝑎 ∗ 0 + 𝑏 ∗ 168 + 𝑐 ∗ 0 = 1200 𝑎 ∗ ෌ 𝑡𝑖2 + 𝑏 ∗ ෌ 𝑡𝑖3 + 𝑐 ∗ ෌ 𝑡𝑖4 = ෌ 𝑡𝑖2 𝑦𝑖 𝑎 ∗ 168 + 𝑏 ∗ 0 + 𝑐 ∗ 6216 = 15060 8𝑎 + 168𝑐 = 740 8𝑎 + 168𝑐 = 740 ⃒ ∗ (−168) = ቐ 168𝑏 = 1200 = 𝑏 = 7,14 168𝑎 + 6216𝑐 = 15060 168𝑎 + 6216𝑐 = 15060⃒ ∗ (8) −1344𝑎 + (−28224𝑐) = 124320 −27735𝑐 = 3840 𝑐 = −0,14 ቐ 𝑏 = 7,14 ቊ ቊ 𝑏 = 7,14 𝑏 = 7,14 1344𝑎 + 4896𝑐 = 120480 𝑎 = 95,44 8𝑎 + 168𝑐 = 740⃒/8 a= 92,5 − (−2,94) = 95,44 ቐ 𝑏 = 7,14 𝑐 = −0,14 FUNCȚIA TRENDULUI PARABOLIC: 𝑌𝑡𝑖 = 95,44 + 7,14 ∗ 𝑡𝑖 − 0,14 ∗ 𝑡𝑖 2  Se aplică funcția trendului parabolic fiecărui an analizat: 𝑌2014 = 95,44 + 7,14 ∗ −7 − 0,14 ∗ (49) ⇒ 𝑌2014 = 38,6 𝑌2015 = 95,44 + 7,14 ∗ −5 − 0,14 ∗ (25) ⇒ 𝑌2015 = 56,24 𝑌2016 = 95,44 + 7,14 ∗ −3 − 0,14 ∗ (9) ⇒ 𝑌2016 = 72,76 𝑌2017 = 95,44 + 7,14 ∗ −1 − 0,14 ∗ (1) ⇒ 𝑌2017 = 88,16 𝑌2018 = 95,44 + 7,14 ∗ 1 − 0,14 ∗ (1) ⇒ 𝑌2018 = 102,44 𝑌2019 = 95,44 + 7,14 ∗ 3 − 0,14 ∗ (9) ⇒ 𝑌2019 = 115,6 𝑌2020 = 95,44 + 7,14 ∗ 5 − 0,14 ∗ (25) ⇒ 𝑌2020 = 127,64 𝑌2021 = 95,44 + 7,14 ∗ 7 − 0,14 ∗ (49) ⇒ 𝑌2021 = 138,56  1. TRENDUL HIPERBOLIC Expresia funcției trendului hiperbolic: 1 𝑌𝑡𝑖 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑡𝑖 Unde: a , b - parametrii funcției trendului liniar. 𝑡𝑖 - factorul de timp 𝑌𝑡𝑖 - valorile ajustate cu ajutorul trendului  Pentru determinarea parametrilor a și b se va utiliza metoda celor mai mici pătrate. Condiția de minim impusă de metoda celor celor mai mici pătrate este: 𝑛 2 ෌𝑖=1 𝑒𝑖=mⅈn , unde 𝑒𝑖 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑧𝑖𝑛𝑡ă 𝑒𝑟𝑜𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑖 = 𝑦𝑖 - 𝑌𝑡𝑖 , unde 𝑦𝑖 reprezintă valorile variabilei Pe baza acestei condiții, pentru obținerea parametrilor a și b se va utiliza sistemul: 1 𝑛 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ ෎ = ෍ 𝑦𝑖 𝑡𝑖 1 1 1 𝑎∗෎ + 𝑏 ∗ ෎ 2 = ෎ ∗ 𝑦𝑖 𝑡𝑖 𝑡𝑖 𝑡𝑖 Anul Tone 𝒕𝑖 𝑡𝑖2 1 1 1 ∗ 𝑦𝑖 n 𝑦𝑖 𝑡𝑖 𝑡𝑖2 𝑡𝑖 2014 50 1 1 1 1 50 2015 40 2 4 0,50 0,25 20 2016 70 3 9 0,33 0,11 23,33 2017 80 4 16 0,25 0,06 20 2018 120 5 25 0,20 0,04 24 2019 130 6 36 0,17 0,03 21,67 2020 110 7 49 0,14 0,02 15,71 2021 140 8 64 0,13 0,02 17,50 Total 740 36 204 2,72 1,53 192,21  Se vor aplica datele din exemplul dat: 1 𝑛∗𝑎+𝑏∗෍ = σ 𝑦𝑖 𝑡𝑖 = 8𝑎 + 2,72𝑏 = 740 | ∗ (−2,72) 1 1 1 ቊ 𝑎∗෍ +𝑏∗෍ = ෍ ∗ 𝑦𝑖 2,72𝑎 + 1,53𝑏 = 192,21| ∗ 8 𝑡𝑖 𝑡𝑖2 𝑡𝑖 −21,76𝑎 − 7,40𝑏 = −2012,8 ቊ 4,84𝑏 = −475,12 𝑏 = −98,17 21,76𝑎 + 12,24𝑏 = 1537,68 8𝑎 + 2,72𝑏 = 740 ቊ a= 92,5 + 33,38 =125,88 𝑏 = −98,17 1 ⇒ 𝑌𝑡𝑖 = 125,88 − 98,17 ∗ 𝑡𝑖 n= număr total de ani din serie = 8  Se aplică funcția trendului hiperbolic fiecărui an analizat: 𝑌2014 = 125,88 − 98,17 ∗ 1 ⇒ 𝑌2014 = 27,71 𝑌2015 = 125,88 − 98,17 ∗ 0,5 ⇒ 𝑌2015 = 76,80 𝑌2016 = 125,88 − 98,17 ∗ 0,33 ⇒ 𝑌2016 = 93,16 𝑌2017 = 125,88 − 98,17 ∗ 0,25 ⇒ 𝑌2017 = 101,34 𝑌2018 = 125,88 − 98,17 ∗ 0,20 ⇒ 𝑌2018 = 106,25 𝑌2019 = 125,88 − 98,17 ∗ 0,17 ⇒ 𝑌2019 = 109,52 𝑌2020 = 125,88 − 98,17 ∗ 0,14 ⇒ 𝑌2020 = 111,86 𝑌2021 = 125,88 − 98,17 ∗ 0,13 ⇒ 𝑌2021 = 113,61  Abaterea liniară medie Pentru a verifica care este cel mai potrivit trend pentru eșantionul analizat se va calcula abaterea liniară medie pentru fiecare dintre cele trei trenduri. Trendul cu cea mai scăzută abatere liniară medie este trendul cel mai potrivit pentru seria analizată. Formulă: ෍ 𝑦𝒊 − 𝒀𝑡𝑖 𝑑ҧ = ෍ 𝑦𝒊 − 𝒀𝑡𝑖 𝑑ҧ = 𝑛 𝑛  Trend liniar Trend parabolic Trend hiperbolic An Tone 𝒀𝑡𝑖 𝑦𝒊 An Tone 𝒀𝑡𝑖 𝑦𝒊 − 𝒀𝑡𝑖 An Tone 𝒀𝑡𝑖 𝑦𝒊 𝑦𝑖 − 𝒀𝑡𝑖 𝑦𝑖 𝑦𝑖 − 𝒀𝑡𝑖 2014 50 42,53 7,47 2014 50 38,6 11,4 2014 50 27,71 22,29 2015 40 56,80 -16,8 2015 40 56,24 -16,24 2015 40 76,80 -36,80 2016 70 71,80 -1,8 2016 70 72,76 -2,76 2016 70 93,16 -23,16 2017 80 83,36 -3,36 2017 80 88,16 -8,16 2017 80 101,34 -21,34 2018 120 99,64 20,36 2018 2018 120 106,25 13,75 120 102,44 17,56 2019 130 113,92 16,08 2019 130 109,52 20,48 2019 130 115,6 14,4 2020 110 128,20 -18,2 2020 110 127,64 -17,64 2020 110 111,86 -1,86 2021 140 142,42 -2,42 2021 140 138,56 1,44 2021 140 113,61 26,39 Total 740 740 1,33 Total 740 740 0 Total 740 740 -0,23  TREND ෍ 𝑦𝒊 − 𝒀𝑡𝑖 𝑑ҧ = 𝑛 TREND LINIAR ෍ 𝑦𝒊 − 𝒀𝑡𝑖 1,33 𝑑ҧ = = = 𝟎, 𝟏𝟕 𝑛 8 TREND PARABOLIC ෍ 𝑦𝒊 − 𝒀𝑡𝑖 0 𝑑ҧ = = =𝟎 𝑛 8 TREND HIPERBOLIC ෍ 𝑦𝒊 − 𝒀𝑡𝑖 0,23 𝑑ҧ = = = 𝟎, 𝟎𝟑 𝑛 8 0< 0,03 0 , atunci legătura dintre cele două variabile este direct pozitivă. Dacă b=0 , atunci nu există legătură între cele două variabile. Dacă b