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# Chapitre 1 Logique et raisonnement ## 1.1 Assertions Une **assertion** est une phrase déclarative qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux. ### Exemples * La Terre est ronde. (Vraie) * $2 + 2 = 5$. (Fausse) * Il pleut. (Vraie ou fausse selon le moment et le lieu) ### Non-exemp...

# Chapitre 1 Logique et raisonnement ## 1.1 Assertions Une **assertion** est une phrase déclarative qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux. ### Exemples * La Terre est ronde. (Vraie) * $2 + 2 = 5$. (Fausse) * Il pleut. (Vraie ou fausse selon le moment et le lieu) ### Non-exemples * Quelle heure est-il? (Question) * Fermez la porte. (Commande) * $x + 1 = 2$. (Ni vraie ni fausse tant que $x$ n'est pas spécifié) ## 1.2 Opérations logiques Les opérations logiques combinent des assertions pour en former de nouvelles. ### Négation La **négation** d'une assertion $P$, notée $\neg P$, est vraie si $P$ est fausse, et fausse si $P$ est vraie. | $P$ | $\neg P$ | | :---- | :------- | | Vraie | Fausse | | Fausse | Vraie | ### Conjonction La **conjonction** de deux assertions $P$ et $Q$, notée $P \land Q$, est vraie si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies, et fausse sinon. | $P$ | $Q$ | $P \land Q$ | | :---- | :---- | :---------- | | Vraie | Vraie | Vraie | | Vraie | Fausse | Fausse | | Fausse | Vraie | Fausse | | Fausse | Fausse | Fausse | ### Disjonction La **disjonction** de deux assertions $P$ et $Q$, notée $P \lor Q$, est vraie si $P$ ou $Q$ (ou les deux) est vraie, et fausse sinon. | $P$ | $Q$ | $P \lor Q$ | | :---- | :---- | :---------- | | Vraie | Vraie | Vraie | | Vraie | Fausse | Vraie | | Fausse | Vraie | Vraie | | Fausse | Fausse | Fausse | ### Implication L'**implication** de deux assertions $P$ et $Q$, notée $P \Rightarrow Q$, est fausse seulement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse, et vraie dans tous les autres cas. $P$ est l'**hypothèse** et $Q$ la **conclusion**. | $P$ | $Q$ | $P \Rightarrow Q$ | | :---- | :---- | :---------------- | | Vraie | Vraie | Vraie | | Vraie | Fausse | Fausse | | Fausse | Vraie | Vraie | | Fausse | Fausse | Vraie | ### Équivalence L'**équivalence** de deux assertions $P$ et $Q$, notée $P \Leftrightarrow Q$, est vraie si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité, et fausse sinon. | $P$ | $Q$ | $P \Leftrightarrow Q$ | | :---- | :---- | :------------------- | | Vraie | Vraie | Vraie | | Vraie | Fausse | Fausse | | Fausse | Vraie | Fausse | | Fausse | Fausse | Vraie | ## 1.3 Lois logiques Les lois logiques sont des règles qui permettent de simplifier ou de transformer des expressions logiques. ### Exemples * **Loi de De Morgan :** * $\neg (P \land Q) \Leftrightarrow \neg P \lor \neg Q$ * $\neg (P \lor Q) \Leftrightarrow \neg P \land \neg Q$ * **Double négation :** $\neg (\neg P) \Leftrightarrow P$ * **Idempotence :** * $P \land P \Leftrightarrow P$ * $P \lor P \Leftrightarrow P$ ## 1.4 Prédicats et quantificateurs Un **prédicat** est une assertion qui dépend d'une ou plusieurs variables. Un **quantificateur** permet d'exprimer si un prédicat est vrai pour tous les éléments d'un ensemble (quantificateur universel $\forall$) ou pour au moins un élément (quantificateur existentiel $\exists$). ### Exemples * $P(x) : x > 0$ (prédicat) * $\forall x, P(x)$ : Pour tout $x$, $x > 0$ * $\exists x, P(x)$ : Il existe un $x$ tel que $x > 0$ ## 1.5 Raisonnement Le **raisonnement** est l'ensemble des processus mentaux par lesquels on tire des conclusions à partir de prémisses. ### Types de raisonnement * **Déduction :** Partir de règles générales pour arriver à une conclusion spécifique. * **Induction :** Partir d'observations spécifiques pour arriver à une règle générale.