Rahan aika-arvo PDF

Rahan aika-arvo Vaikea valinta? Oleta seuraava tilanne: kaverisi tarjoaa sinulle rahaa. Olet myös varma siitä, että tulet saamaan rahasi — luvattuihin kassavirtoihin ei siis sisälly riskiä. Saat valita yhden seuraavista vaihtoehdoista: 1. Saat 100 euroa tänään 2. Saat 100 euroa vuoden kuluttua Voida...

Rahan aika-arvo Vaikea valinta? Oleta seuraava tilanne: kaverisi tarjoaa sinulle rahaa. Olet myös varma siitä, että tulet saamaan rahasi — luvattuihin kassavirtoihin ei siis sisälly riskiä. Saat valita yhden seuraavista vaihtoehdoista: 1. Saat 100 euroa tänään 2. Saat 100 euroa vuoden kuluttua Voidaan olettaa, että suurin osa ihmisistä valitsisi ensimmäisen vaihtoehdon. Miksi? Koska valinta on taloudellisesti järkevä! (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 3 / 75 Rahan aika-arvo Vaihtoehtojen vertailua — vaihtoehtojen arvo tulevaisuudessa Ajatellaan, että valitset ensimmäisen vaihtoehdon ja saat 100 euroa tänään. Sijoita rahat vaikkapa pankkitilille, joka tarjoaa riskittömän 2 % vuotuisen koron. Vuoden päästä sijoituksesi arvo on 102 euroa. 100e  1.02 = 102e. Näin ollen, edellinen valintatilanne voidaan esittää seuraavassa muodossa: 1. Saat 102 euroa vuoden kuluttua 2. Saat 100 euroa vuoden kuluttua (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 4 / 75 Rahan aika-arvo Vaihtoehtojen vertailua — vaihtoehtojen arvo tulevaisuudessa Huomaa, että ylläolevassa esimerkissä laskemme vaihtoehtojen arvon samalla hetkellä, eli vuoden kuluttua. Näin kuuluukin tehdä. Jotta voimme vertailla eri kassavirtoja, niiden arvo täytyy laskea samalla hetkellä. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 5 / 75 Rahan aika-arvo Valintojen vertailua — vaihtoehtojen nykyarvo Yhtä hyvin olisimme voineet laskea vaihtoehtojen arvon tänään (eikä vuoden kuluttua). Esitämme kysymyksen: mikä on nykyarvo 100 eurolle, jonka saamme vuoden kuluttua? Oletamme jälleen, että vuotuinen riskitön korko on 2 %. Kuinka paljon meidän tulisi laittaa pankkitilille tänään, jotta sijoitettu summa kasvaisi 100 euroon vuoden kuluttua? Vastaus on 100e  98, 04e. 1, 02 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 6 / 75 Rahan aika-arvo Valintojen vertailua — vaihtoehtojen nykyarvo Kyseinen valintatilanne voidaan siis esittää myös seuraavassa muodossa: 1. Saat 100 euroa tänään 2. Saat 98,04 euroa tänään Huomaamme, että kun vertaamme kassavirtojen arvoa samalla ajanhetkellä (joko vuoden päästä tai tänään), johtopäätös on sama: meidän kannattaa valita vaihtoehto 1, eli 100 euroa tänään. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 7 / 75 Rahan aika-arvo Valintojen vertailua (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 8 / 75 Rahan aika-arvo Yleisesti voidaan sanoa, että rahalla on aika-arvo. Myöhempänä ajanhetkenä saatavien kassavirtojen nykyarvo on pienempi kuin vastaavien kassavirtojen arvo tänään. Tarkastellaan vielä yhtä esimerkkiä. Kaverisi haluaa ottaa sinulta lainaa. Hän lupaa maksaa sinulle takaisin 1000e vuoden kuluttua. Paljonko olet valmis antamaan hänelle rahaa tänään? Mitä luultavimmin vähemmän kuin 1000e. Sen sijaan, että lainaat rahaa kaverillesi, voisit käyttää rahasi kulutukseen tai sijoittaa rahasi arvopapereihin tai tallettaa ne pankkitilille. Rahalla on siis vaihtoehtoiskustannus. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 9 / 75 Haluat siis saada kompensaatiota siitä, että raha on vuoden verran kaverisi käytössä eikä sinun käytössäsi. Näin ollen vaadit, että kaverisi maksaa korkoa lainalle. Oletetaan, että riskitön korko (esimerkiksi valtion velkakirjoista saatu korko) on 2 % kuten aikaisemmassa esimerkissä. Onko tämä hyvä tuottovaatimus lainalle? (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 10 / 75 Luultavasti ei. Kaverillasi on tuskin yhtä hyvää takaisinmaksuvalmiutta kuin valtiolla vuoden kuluttua. Näin ollen valtion velkakirjoihin sijoittaminen ja kaverillesi rahan lainaaminen eivät ole keskenään vertailukelpoisia sijoituksia. Sen lisäksi, että haluat kompensaatiota siitä, että lykkäät kulutustasi tulevaisuuteen, haluat myös saada riskipreemion lainallesi koska et voi olla varma, että kaverisi pystyy vuoden kuluttua maksamaan rahasi takaisin. Ajatellaan, että voit havainnoida vastaavan sijoituskohteen markkinoilla, joka mielestäsi on yhtä riskialtis kuin kaverillesi tarjoama laina. Sijoituksen tuottovaatimus on 10 %. Tämä on myös sinun vaihtoehtoiskustannus lainaamallesi rahalle, ja tuottovaatimuksesi on näin ollen 10 %. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 11 / 75 Rahan aika-arvo Diskonttaaminen Oletetaan siis, että tuottovaatimuksesi on 10 %. Toisin sanoen, vaadit että kaverisi maksaa 10 % korkoa lainalle. Summa, jonka olet valmis antamaan hänelle tänään, on 1000 euron nykyarvo laskettuna 10% korolla. Yleisesti, vuoden päästä saadun kassavirran nykyarvo voidaan laskea seuraavalla kaavalla: PV = CF , 1+r jossa PV merkitsee nykyarvoa (present value), CF tulevaisuudessa saatua kassavirtaa (cash flow) ja r vuotuista korkoa. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 12 / 75 Rahan aika-arvo Diskonttaaminen Tässä tapauksessa, PV = 1000  909, 09. 1 + 0, 10 Ylleolevaa operaatiota kutsutaan diskonttaamiseksi. Diskonttaamme siis vuoden päästä saatavan 1000 euroa nykyaikaan 10 prosentin tuottovaatimuksella, ja saamme nykyarvoksi 909,09 euroa. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 13 / 75 Rahan aika-arvo Diskonttaaminen (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 14 / 75 Rahan aika-arvo Prolongoiminen Käänteisesti voimme myös laskea tietyn kassavirran arvon tulevaisuudessa. Tätä operaatiota kutsutaan prolongoimiseksi. Yleisesti, FV = PV (1 + r ), jossa FV merkitsee arvoa tulevaisuudessa (future value). Käyttämässämme esimerkissä tulevaisuuden arvo on FV = 909, 09  (1 + 0, 10) = 1000. Jos siis annat kaverillesi 909,09 euroa tänään, ja hän maksaa sinulle takaisin 1000 euroa vuoden kuluttua, tiedät saavasi 10 % koron lainalle. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 15 / 75 Rahan aika-arvo Prolongoiminen (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 16 / 75 Mitkä tekijät vaikuttavat rahan aika-arvoon? Kulutuksen lykkääminen. Ihmiset vaativat korvausta siitä, että joutuvat siirtämään kulutustaan tulevaisuuteen. Inflaatio, eli varojen ostovoiman heikkeneminen. Positiivisen inflaation vallitessa samalla nimellisellä rahamäärällä saa myöhempänä ajanhetkenä vähemmän kulutushyödykkeitä. Riski. Jos tulevaisuudessa saatavaan kassavirtaan liittyy epävarmuutta, tästä epävarmuudesta on saatava korvaus jo tänään. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 17 / 75 Rahan aika-arvo Kassavirta usean periodin päästä Entäpä jos kaverisi olisi luvannut maksaa sinulle takaisin 1000 euroa kahden vuoden päästä? Oletetaan, että vuotuinen tuottovaatimus on yhä 10 %. Kassavirran nykyarvo olisi nyt PV = CF2 1000 =  826, 45. (1 + r )2 (1 + 0, 10)2 Huomaamme, että kassavirran nykyarvo pieneni kun kassavirta siirtyi kauemmas tulevaisuuteen. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 18 / 75 Rahan aika-arvo Nykyarvoon vaikuttavia asioita Mitä kauempana tulevaisuudessa kassavirta on, sitä pienempi nykyarvo sillä on. Mitä suurempi diskonttokorko ("tuottovaatimus"), sitä pienempi on kassavirran nykyarvo. Mitä suurempi kassavirta, sitä suurempi nykyarvo sillä on. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 19 / 75 Rahan aika-arvo Tuhannen euron nykyarvo eri diskonttokoroilla ja laskentaperiodeilla laskettuna 1000 Nykyarvo (PV) 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 6 7 30% 25% 0% Diskonttokorko Aika (vuosissa) (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) 10% 5% 15% 20% Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 20 / 75 Rahan aika-arvo Useita kassavirtoja Entäpä jos olisit sopinut kaverisi kanssa, että hän maksaa sinulle takaisin 1000 euroa vuoden kuluttua, ja toiset 1000 euroa kahden vuoden kuluttua. Paljonko olet valmis lainaamaan hänelle tänään, jos vuotuinen tuottovaatimuksesi on yhä 10 %? Näiden kassavirtojen nykyarvo voidaan laskea seuraavanlaisesti: PV = CF1 CF2 1000 1000 + = + (1 + r )1 (1 + r )2 (1 + 0, 10)1 (1 + 0, 10)2  909, 09 + 826, 45 = 1735, 54. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 21 / 75 Rahan aika-arvo Pricing by replication Olet siis valmis lainaamaan kaverillesi 1735,54e vastineeksi hänen lupaamistaan kassavirroista. Miksi? Ajatellaan, että vaihtoehtoiskustannus on 10%. Sinulla on valittavana kaksi sijoitusstrategiaa: 1. Lainaa rahaa kaverillesi. Hän lupaa maksaa sinulle takaisin 1000 euroa vuoden kuluttua ja toiset 1000 euroa kahden vuoden kuluttua. 2a. Sijoita 909,09 euroa vuodeksi 10 % tuottavaan sijoitukseen. Vuoden kuluttua sijoitus tarjoaa sinulle 1000 euroa. 2b. Sijoita 826,45 euroa kahdeksi vuodeksi 10 % vuodessa tuottavaan sijoitukseen. Kahden vuoden kuluttua sijoitus tarjoaa sinulle 1000 euroa. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 22 / 75 Tästä vaihtoehtoisesta sijoitusstrategiasta saatavat kassavirrat replikoivat ne kassavirrat, jotka kaverisi on luvannut maksaa sinulle. Tämän vaihtoehtoisen sijoitusstrategian hinta (nykyarvo) on 909,09e+826,45e=1735,54e. Huomaa, että oletamme molempien sijoitusstrategioiden sisältävän yhtä paljon riskiä (tuottovaatimus on sama), ja siksi voimme vertailla niitä keskenään. Koska molemmat strategiat tuottavat samat odotetut kassavirrat samalla riskillä, myös niiden hintojen on oltava samat. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 23 / 75 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 24 / 75 Rahan aika-arvo Useita kassavirtoja Useana ajanhetkenä tapahtuvien kassavirtojen nykyarvo voidaan siis laskea seuraavan kaavan avulla: PV = CF1 CF2 CFn + +... + (1 + r )n (1 + r )1 (1 + r )2 n CFt t. ( 1 + r ) t =1 =  (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 25 / 75 "Korkoa korolle" - efekti Tulevan arvon ja nykyarvon välillä on seuraava yhteys: FVt = PV (1 + r )t () PV = FVt (1 + r )t Ylläolevissa kaavoissa t kuvastaa korkojaksojen lukumäärää. Jos sijoitus esimerkiksi maksaa vuosittaista korkoa, t on kyseessä olevien vuosien lukumäärä. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 26 / 75 Käyttäessämme yllä olevia kaavoja oletamme myös, että sijoituksesta kertyneet korkomaksut, osingot tai muu kassavirta lisätään korkoa kasvavaan pääomaan. Tästä syntyy niin kutsuttu "korkoa korolle" - efekti. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 27 / 75 Example (Korkoa korolle - efekti) Oletetaan, että sijoitat 100 euroa kahdeksi vuodeksi 20 % vuosittaisella korolla. Oletetaan myös, että ensimmäisen vuoden aikana saadut korkomaksut (korot, osingot, jne) sijoitetaan uudestaan lisäämään korkoa tuottavaa pääomaa. Mikä on näiden kahden vuoden aikana saamasi kokonaistuotto? (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 28 / 75 Example Vastaus ei ole 20 % + 20 % = 40 %, koska kyseinen lasku ei ota huomioon "korkoa korolle" - efektiä. Aloitetaan laskemalla käytössäsi oleva rahasumma kahden vuoden kuluttua: Summa ensimmäisen vuoden jälkeen: 100  1, 20 = 120 Summa toisen vuoden jälkeen: 120  1, 20 = 144 tai lyhyemmin ilmaistuna 100  1, 202 = 144 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 29 / 75 Example Sadan euron sijoituksesi on siis kahdessa vuodessa kasvanut 144 euroon. Kokanaistuottosi kahden vuoden ajalta on siis: 144  100 100 = 144  1 = 44%, 100 tai toisin sanoen, 1, 202  1 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) = 44%. Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 30 / 75 Example Miksi? Koska 144  100 100  1, 202  100 = 100 100 100  1, 202 100 =  100 100 = 1, 202  1 = 0, 44 = 44% (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 31 / 75 "Korkoa korolle" - efekti Eksponentiaalinen kasvu "Korkoa korolle"-efekti on esimerkki eksponentiaalisesta kasvusta. Tämä tarkoittaa sitä, että pääoman tuplaantumisnopeus, annetulla korkokannalla, on vakio. Oletetaan esimerkiksi, että korkoprosentti on 10% vuodessa. Pääoman tuplaantumisnopeus on siis 7,2725 vuotta. Toisin sanoen, pääomasi kaksinkertaistuu noin joka seitsemäs vuosi. FVt = PV (1 + r )t 2 = 1(1 + 0.10)t 2 ln( )/ ln(1.10) = t = 7, 2725 1 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 32 / 75 Example ("Rule of 72") Työhaastattelussa sinulle esitetään brainteaser-kysymys. Oleta, että sinulla on 15 000 000 euron arvoinen sijoitus. Tiedät, että vuosikorko sijoituksellesi on 10%. Kuinka monen vuoden päästä pääomasi on kasvanut 30 000 000 euroon? Tuplaantumisnopeuksien laskemiseen on olemassa helppo kiertotie, joka antaa suunnilleen oikean vastauksen. Jaa luku 72 annetulla korkoprosentilla. Vastaus on suunnilleen pääoman kaksinkertaistumisaika. Kyseisessä esimerkissä: 72 10 = 7.2 mikä on lähellä oikeaa vastausta, eli 7,2725 vuotta. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 33 / 75 "Korkoa korolle" - efekti Eksponentiaalinen kasvu (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 34 / 75 Example (Sijoittaminen kannattaa?) Vuonna 1626 Peter Minuit osti Mahattan Islandin intiaaneilta antamalla heille koruja, joiden arvo oli noin 24 dollaria. Oletetaan, että intiaanit olisivat voineet sijoittaa tuon summan 6 % vuosittaisella korolla. Mikä olisi sijoituksen arvo vuonna 2015 (389 vuotta myöhemmin)? (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 35 / 75 Example (Sijoittaminen kannattaa?) Suomen osakemarkkinoilla keskimääräinen (geometrinen) vuosituotto vuodesta 1900 vuoteen 2009 on ollut noin 12,9 %. Jos isovanhempasi olisivat sijoittaneet 100 euroa vastaavan rahasumman osakkeisiin vuonna 1900, miten suureksi sijoitus olisi kasvanut vuoteen 2009 mennessä? 100e  1.129109 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) = 55.416.574e Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 36 / 75 Example 60 milj 50 milj 40 milj 30 milj 20 milj 10 milj 0 1909 1919 1929 1939 1949 1959 1969 1979 1989 1999 2009 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 37 / 75 Efektiivinen vuosituotto Oletetaan, että sijoituksesi maksaa 12 % vuosikoron, mutta korko maksetaan puolivuosittain (puolivuotuinen korko on siis 6%). Mikä on sijoituksesi efektiivinen vuosikorko? Ensimmäinen puolivuotisjakso (oletamme, että alkupääoma on 1e): 1e  1, 06 = 1, 06e Toinen puolivuotisjakso: 1, 06e  1, 06 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) = 1, 1236. Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 38 / 75 Vuosituottosi on siis 1, 1236e 1 1e = 0, 1236 = 12, 36%. Tämä on efektiivinen tuotto, jonka saat rahoillesi. Yleisesti, efektiivinen vuosituotto voidaan laskea seuraavalla kaavalla: r = (1 + nimelliskorko m )  1, m jossa m merkitsee tuotonmaksufrekvenssiä. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 39 / 75 Käyttämässämme esimerkissä: r = (1 + (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) 0, 12 2 )  1 = 0, 1236. 2 Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 40 / 75 Jatkuva-aikainen korko Mitä tapahtuu kun koronmaksufrekvenssi m lähestyy ääretöntä? Eli kun korkoa maksetaan pääomalle jatkuva-aikaisesti? Annetaan koronmaksufrekvenssin lähestyä ääretöntä, eli m !. lim r m ! = lim (1 + m ! nimelliskorko m )  1 = e nimelliskorko  1, m jossa e on Neperin luku (e  2, 718281828) (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 41 / 75 Ikuinen kassavirta Miten voimme laskea nykyarvon kassavirralle, joka jatkuu täältä ikuisuuteen? Ajatellaan seuraavaa esimerkkiä. Voit ostaa arvopaperin, joka tarjoaa sinulle 5 euroa vuodessa. Saat ensimmäisen kassavirran vuoden kuluttua, ja tämä 5 euroa maksetaan sinulle joka ikinen vuosi, ensi vuodesta ikuisuteen. Oletetaan myös, että vaihtoehtoiskustannuksesi (tuottovaatimuksesi) on 5 %. Paljonko olet valmis maksamaan kyseisestä arvopaperista? (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 42 / 75 Kuten aiemmin, meidän täytyy laskea jokaisen kassavirran nykyarvo ja summata ne yhteen. PV = 5 5 5 + + +... 1.05 1.052 1.053 Käytännössä emme kuitenkaan voi suoraan käyttää yllä olevaa kaavaa, koska kassavirtojen lukumäärä on ääretön. Tarkastellaan, mitä tapahtuu kassavirran nykyarvolle, kun se siirtyy yhä kauemmaksi tulevaisuuteen. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 43 / 75 Ikuinen kassavirta Nykyarvo 5 eurolle, joka saadaan t periodin kuluttua (diskonttokorko 5%) 5 4.5 4 5 euron nykyarvo 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 20 40 60 80 100 Aika (t) (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 44 / 75 Mitä kauempana kassavirta on, sitä pienemmäksi sen nykyarvo muuttuu. Huomaa myös, että ajassa hyvin kaukana olevien kassavirtojen nykyarvo on hyvin lähellä nollaa. Itse asiassa, 5 t ! 1.05t lim = 0. Tämä tarkoittaa myös sitä, että summa PV = 5 5 5 + + +.. 1.05 1.052 1.053 on suppeneva geometrinen sarja, eli sen arvo konvergoituu johonkin tiettyyn arvoon kun aikajaksojen (kassavirtojen) lukumäärä kasvaa kohti ääretöntä. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 45 / 75 Ikuinen kassavirta Kaava, jolla voi laskea ikuisen kassavirran nykyarvon Ikuisen kassavirran nykyarvon voi laskea seuraavalla kaavalla: PV0 = CF1 r Kyseinen kaava antaa raja-arvon edellisillä sivulla esitetylle geometriselle sarjalle n CF n ! t =1 (1 + r )t lim  = CF , r missä CF on periodien aikana saatu vakiokassavirta, ja r on diskonttokorko. Huomaa, että kaavan käyttö edellyttää, että ensimmäinen kassavirta saadaan tästä hetkestä yhden periodin päästä. Siksi laitoin eksplisiittisesti tähän esimerkkiin alaindeksin 0 nykyarvon (PV) kohdalle. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 46 / 75 Esimerkissämme arvopaperista saatavien kassavirtojen nykyarvo on PV0 = 5e = 100e. 0, 05 Arvopaperin hinta on siis 100 euroa. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 47 / 75 Ikuinen, kasvava kassavirta Ajatellaan, että voit ostaa arvopaperin, joka tarjoaa sinulle 5 euroa ensi vuonna. Siitä lähtien kassavirrat kasvavat kolmella prosentilla vuodessa. Kassavirrat jatkuvat ikuisesti. Oletetaan myös, että vaihtoehtoiskustannuksesi (tuottovaatimuksesi) on 5 %. Paljonko olet valmis maksamaan kyseisestä arvopaperista? (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 48 / 75 Ikuinen, kasvava kassavirta Gordon’s Growth Formula Ikuisesti kasvavan kassavirran nykyarvo voidaan laskea seuraavalla kaavalla: PV0 = CF1 , r g missä g merkitsee kassavirtojen kasvuprosenttia. Yllä olevaa kaavaa kutsutaan Gordonin kasvukaavaksi (Gordon’s Growth Formula). Huomaa, että käyttäessämme kaavaa, meidän täytyy olettaa että r > g. Toisin sanoen, kasvuprosentin on oltava pienempi kuin tuottovaatimuksen. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 49 / 75 Esimerkissämme kassavirran nykyarvo on PV0 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) = 5e = 250e 0, 05  0, 03 Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 50 / 75 Annuiteetti Ajatellaan, että voit ostaa arvopaperin, joka tarjoaa sinulle 5 euroa ensi vuonna, ja 5 euroa myös sitä seuraavien neljän vuoden ajan. Oletetaan myös, että vaihtoehtoiskustannuksesi (tuottovaatimuksesi) on 5 %. Paljonko olisit valmis maksamaan kyseisestä arvopaperista? (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 51 / 75 Edellisen arvopaperin nykyarvo voitaisiin laskea diskonttaamalla jokainen kassavirta nykyaikaan, ja ottaa summa näiden kassavirtojen nykyarvoista. PV0 = 5 5 5 5 5 + + + + = 21, 647. 1.05 1.052 1.053 1.054 1.055 Voimme myös käyttää annuiteettikaavaa (joka helpottaa selvästi laskutoimenpidettä — ajattele, jos kassavirtoja olisi vaikkapa 100 kappaletta!): PV0 1 1 = CF1 [  ], r r (1 + r )n jossa CF on n periodin aikana saatava vakiokassavirta. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 52 / 75 Annuiteettikaavaa käyttämällä saamme vastaukseksi: PV0 = 5[ (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) 1 1  ] = 21, 647 0, 05 0, 05(1 + 0, 05)5 Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 53 / 75 Entä jos kassavirta alkaakin myöhemmin kuin vuoden päästä? Oletat, että alat kuuden vuoden päästä saada vuotuisen 5000 euron kassavirran, joka toteutuu yhteensä 10 kertaa. Diskonttokorko on 9 %. Mikä on kassavirran arvo tänään? Käytetään annuiteettikaavaa. Ensimmäinen kassavirta toteutuu kuuden vuoden päästä, joten annuiteettikaava antaa nykyarvon vuodelle viisi. Joudumme siis diskonttaamaan kaavan antaman tuloksen vielä viisi vuotta taaksepäin. 1  1 5000[ 0,09 ] 0,09 (1 +0,09 )10 PV0 = = 20855, 19 1, 095 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 54 / 75 Joukkovelkakirjat Joukkovelkakirjojen hinnoittelu Joukkovelkakirjalainan liikkeeseenlaskija sitoutuu maksamaan sijoittajille korkomaksuja ja laina-ajan päättyessä jonkin ennalta sovitun summan. Terminologiaa: Maturiteetti: Laina-ajan pituus (esimerkiksi kolme vuotta) Kuponkimaksu: Korkomaksu (korkoa voidaan maksaa vaikkapa vuosittain) Nimellisarvo: Laina-ajan päättyessä maksettava summa. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 55 / 75 Tarkastelemme nyt yksinkertaisimman ja yleisimmän lainatyypin hinnoittelemista. Lainan koronmaksut (kupongit) ovat kiinteitä, ja koko nimellisarvo maksetaan takaisin laina-ajan päätyttyä. Periaatteessa osaamme jo hinnoitella joukkovelkakirjalainan. Hinnoittelussa käytetään samoja periaatteita kuin esimerkeissä, joissa laskimme kassavirtojen nykyarvon. Joukkovelkakirjan arvo, eli se hinta mikä siitä maksetaan, on velkakirjasta saatujen kassavirtojen nykyarvo. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 56 / 75 Otetaan esimerkiksi laina, jonka vuotuinen kuponkikorko on 5 % nimellisarvosta, nimellisarvo on 1 000 000 euroa, ja laina-aika on neljä vuotta. Jos kuponkikorko ilmoitetaan prosentteina nimellisarvosta, meidän ei periaatteessa tarvitse tietää lainan nimellisarvoa. Voimme olettaa, että se on 100 euroa. Näin ollen velkakirjan nykyinen hinta saadaa prosentteina nimellisarvosta. Vuotuinen kuponkimaksu on 5 prosenttia 100 eurosta, eli 5 euroa. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 57 / 75 Kyseisestä lainasta saatavat kassavirrat on esitetty oheisessa kuvassa. Velkakirja antaa sinulle 5 euron kassavirran (kuponkimaksut) joka vuosi, ja viimeisenä vuonna, laina-ajan päättyessä, saamme kuponkimaksun (5 euroa) sekä lainan nimellisarvon (100 euroa). Mikä on näiden kassavirtojen nykyarvo, eli hinta, jonka olet valmis maksamaan velkakirjasta? (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 58 / 75 Oletetaan, että sijoittajien tuottovaatimus tämän tyyppiselle arvopaperille on 10 prosenttia. Lainasta saatavien kassavirtojen nykyarvo on näin ollen: P0 = C1 C2 C3 C4 + F + + + (1 + r ) (1 + r )2 (1 + r )3 (1 + r )4 = 5 5 5 5 + 100 + + + (1 + 0, 10) (1 + 0, 10)2 (1 + 0, 10)3 (1 + 0, 10)4 = 84, 15 jossa F merkitsee lainan nimellisarvoa (Face Value), C kuponkia, ja P0 lainan nykyistä markkinahintaa (eli nykyarvoa). Tulokseksi siis saadaan, että nykyarvo on 84,15 euroa eli 84,15 prosenttia lainan nimellisarvosta. Tämä on se summa, jonka sijoittaja on valmis maksamaan joukkovelkakirjan liikkeeseenlaskijalle. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 59 / 75 Example (Tuottovaatimus määrittää odotetun tuoton) Ajatellaan, että sijoittaja ostaa kyseisen velkakirjan 84,15 eurolla. Vuoden kuluttua hän saa 5 euron kupongin, ja heti sen jälkeen hän myy joukkovelkakirjan eteenpäin jollekin toiselle sijoittajalle. Mikä on sijoittajan tuotto? Velkakirjan hinta vuoden kuluttua (olettaen, että tuottovaatimus ei muutu vuoden sisällä) on P1 = 5 5 5 + 100 + + = 87, 57. (1 + 0, 10) (1 + 0, 10)2 (1 + 0, 10)3 Sijoittajan tuotto muodostuu kupongista, ja siitä hinnasta, jonka hän saa velkakirjasta kun hän myy sen eteenpäin. Tuotto on siis r= 5 + 87, 57  1 = 10%, 84, 15 eli sama kuin se tuottovaatimus, jota käytettiin velkakirjan hinnoittelussa. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 60 / 75 Joukkovelkakirjat Joukkovelkakirjojen jälkimarkkinat ja korkoriski Listauksen jälkeen on mahdollista, että joukkovelkakirja listautuu pörssiin tai on muuten jälkimarkkinakelpoinen. Tämä tarkoittaa sitä, että sijoittajat voivat keskenään käydä kauppaa joukkovelkakirjalla. Liikkeeseenlaskijaan jälkimarkkinoilla käytävä kauppa ei vaikuta — se on jo saanut rahansa. Huomioi, että joukkovelkakirjalainat (edes valtion liikkeeseenlaskemat) eivät ole riskittömiä! Velkakirjojen hinta muuttuu, kun markkinakorot (sijoittajien tuottovaatimukset) muuttuvat. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 61 / 75 Example (Joukkovelkakirjat eivät ole riskittömiä!) Sijoittaja on ostanut yllämainitun velkakirjan 84,15 eurolla (tuottovaatimuksen ollessa 10 prosenttia). Yllättäen markkinoiden tuottovaatimus tämän tyyppisille lainoille nousee 12 prosenttiin. Velkakirjan hinta on nyt 5 5 5 5 + 100 + + + (1 + 0, 12) (1 + 0, 12)2 (1 + 0, 12)3 (1 + 0, 12)4 = 78, 74. Velkakirjan arvo siis laskee 84,15 eurosta 78,74 euroon. Jos sijoittaja haluaa myydä lainan eteenpäin, hänen prosentuaalinen tappionsa on -6,4 prosenttia! Näin tapahtuu, vaikka lainan kuponkimaksut ja nimellisarvon takaisinmaksu olisivatkin lähes riskittömiä. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 62 / 75 Joukkovelkakirjat Joukkovelkakirjojen hinta eri tuottovaatimuksilla 200 4 vuotta Nimellisarvo 150 15 vuotta 100 50 0 0% 5% 10 % 15 % Tuottovaatimus 20 % Mitä pidempi velkakirjan maturiteetti, sitä enemmän korkovaihtelut vaikuttavat sen hintaan. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 63 / 75 Joukkovelkakirjat Lisää terminologiaa Jos kuponkikorko on yhtä suuri kuin tuottovaatimus —> velkakirjan hinta on yhtä suuri kuin sen nimellisarvo —> "the bond is trading at par value" Jos kuponkikorko on pienempi kuin tuottovaatimus —> velkakirjan hinta on pienempi kuin sen nimellisarvo —> " the bond is trading at a discount" Jos kuponkikorko on suurempi kuin tuottovaatimus —> velkakirjan hinta on suurempi kuin sen nimellisarvo —> "the bond is trading at a premium" (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 64 / 75 Joukkovelkakirjat Efektiivinen tuotto ("yield to maturity") Jos tiedämme joukkovelkakirjalainan ehdot, ja sen nykyisen markkinahinnan, voimme kätevästi selvittää mitä tuottovaatimusta sijoittajat käyttävät. Oleta, että tiedämme velkakirjasta seuraavat ominaisuudet: velkakirjan nykyinen markkinahinta on 85 euroa, nimellisarvo on 100 euroa, kuponkikorko on 5 prosenttia, ja laina-aika on 4 vuotta. Kirjoitamme seuraavan yhtälön ja ratkaisemme tuottovaatimuksen r : 85 = 5 5 5 5 + 100 + + + (1 + r ) (1 + r )2 (1 + r )3 (1 + r )4 Tuottovaatimus r osoittautuu olevan 9,70 prosenttia. Tämä tuottoprosentti vastaa keskimääräistä vuotuista tuottoa, jonka sijoittaja tulee saamaan, jos hän ostaa velkakirjan ja pitää sen koko laina-ajan. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 65 / 75 Osakkeiden hinnoittelu Osakkeiden arvonmäärityksessä on huomattavan paljon epävarmuutta, koska yrityksillä ei ole velvollisuutta maksaa osakesijoittajille mitään. Osakkeista syntyvät kassavirrat ovat tuntemattomia, ja niitä on jotenkin pyrittävä ennustamaan. Terminologiaa: Osakkeen kirja-arvo: Lasketaan taseesta jakamalla vastattavaa-puolen oma pääoma osakkeiden lukumäärällä Osakkeen markkina-arvo: Määräytyy kysynnän ja tarjonnan perusteella. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 66 / 75 Markkina-arvo on tulevaisuuteen perustuva muuttuja. Sen perusteena ovat odotettavissa olevat sijoittajien saamat kassavirrat (vrt. nykyarvon käsitteeseen). Kirja-arvo on menneisyyteen perustuva muuttuja. Kirja-arvoon vaikuttavat myös tilinpäätöskäytännöt. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 67 / 75 Osakkeiden hinnoittelu Suomalaisten osakkeiden kirja- ja markkina-arvoja 12.6.2018 (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 68 / 75 Example (Tavallisia väärinkäsityksiä piensijoittajien keskuudessa) — "Osakkeet, joilla on alhainen markkina-arvo suhteessa kirja-arvoon ovat alihinnoiteltuja markkinoilla. Näihin osakkeisiin kannattaa siis sijoittaa!" — "Tämän osakkeen markkina-arvo on pienempi kuin sen kirja-arvo! Näin ollen yhtiöllä on enemmän reaalivarallisuutta kuin mitä sen markkina-arvo edellyttää. Meidän kannattaa koota ryhmä sijoittajia niin että voimme yhdessä ostaa määräämisoikeuden yritykseen. Sitten voimme lopettaa yhtiön toiminnan, ja sen jälkeen voimme myydä pois sen varallisuuden. Voittomme olisi suurinpiirtein kirja-arvon ja markkina-arvon erotus!" (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 69 / 75 Osakkeiden hinnoittelu Yleinen hinnoittelukaava Sijoittajan kassavirrat koostuvat osakkeista saaduista osingoista, sekä kassavirrasta, joka syntyy kun sijoittaja myy osakkeensa oman sijoitushorisonttinsa lopussa. Osakkeen hinta on näiden kassavirtojen summa diskontattuna osakkeen tuottovaatimuksella: P0 = = D1 Dn  1 Dn Pn +... + + + (1 + r )n (1 + r )1 (1 + r )n 1 (1 + r )n n Dt Pn + t n, ( 1 + r ) ( 1 + r ) t =1  missä D on yrityksen maksama osakekohtainen osinko, n sijoitushorisontin viimeinen hetki, P0 osakkeen hinta tänään, Pn osakkeen hinta hetkellä n, ja r on osakkeen tuottovaatimus. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 70 / 75 Osakkeen arvo voidaan siis kirjoittaa muotoon P0 = n Dt Pn +. t (1 + r )n t =1 (1 + r )  Mukana kaavassa on kuitenkin osakkeen hinta periodilla n. Käyttääksemme yllä olevaa hinnoittelukaavaa, meidän tulisi siis tietää osakkeen hinta tulevaisuudessa. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 71 / 75 Mistä tämä hinta muodostuu? Ajatellaan, että elämme periodilla n, ja myymme osakkeen jollekin toiselle sijoittajalle. Hinta, jonka hän on valmis maksamaan, on Pn = = Dn + 1 Dn + N  1 Dn + N Pn +N +... + + + (1 + r ) (1 + r )N 1 (1 + r )N (1 + r )N n +N Dt Pn +N + , t n (1 + r )N t =n +1 (1 + r )  jossa N kuvastaa uuden sijoittajan sijoitushorisonttia. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 72 / 75 Jatkaessamme tätä argumenttia ad infinitum, huomaamme, että osakkeen hinta voidaan kirjoittaa seuraavalla tavalla: P0 = Dt t. ( 1 + r ) t =1  Osakkeen hinta muodostuu siis sijoittajille tulevaisuudessa maksettujen osinkojen nykyarvosta niin, että kaikki osingot tästä hetkestä ikuisuuteen otetaan huomioon. (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 73 / 75 Osakkeiden hinnoittelu Elämää helpottavia hinnoittelukaavoja Jos oletamme, että osake maksaa joka periodilla tulevaisuudessa saman suuruisen osingon, voimme käyttää ikuisen kassavirran nykyarvon kaavaa. P0 = D1 r Jos taas oletamme, että osinko kasvaa joka vuosi tietyllä prosentilla, g , voimme käyttää ikuisesti kasvavan kassavirran nykyarvon kaavaa. P0 = (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) D1 r g Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 74 / 75 Osakkeiden hinnoittelu Hinnoittelu on vaikeaa — miten tuottovaatimus ja kasvuprosentti vaikuttavat osakkeen hintaan kun ensi vuoden osingon oletetaan olevan 5 euroa 250 Arvopaperin hinta 200 150 100 50 5% 0 10% 2% 1% 0% 15% Tuottovaatimus Kasvuprosentti (Aalto-yliopiston kauppakorkeakoulu) Rahoituksen perusteet 2024 February 15, 2024 75 / 75