IMG_3476.jpeg

# Matrizenmultiplikation ## Definition Seien $A = (a_{ij})$ eine $m \times n$ Matrix und $B = (b_{ij})$ eine $n \times p$ Matrix. Dann ist das Produkt $C = A \cdot B$ eine $m \times p$ Matrix mit Einträgen $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$ **Beispiel:** $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 &...

# Matrizenmultiplikation ## Definition Seien $A = (a_{ij})$ eine $m \times n$ Matrix und $B = (b_{ij})$ eine $n \times p$ Matrix. Dann ist das Produkt $C = A \cdot B$ eine $m \times p$ Matrix mit Einträgen $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}$ **Beispiel:** $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ ## Eigenschaften - **Assoziativität:** $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ - **Distributivität:** $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ und $(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$ - **Nicht kommutativ:** $A \cdot B \neq B \cdot A$ (im Allgemeinen) - **Neutrales Element:** $A \cdot I = A$ und $I \cdot A = A$, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist. ## Spezielle Matrizen - **Diagonalmatrix:** Eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. - **Einheitsmatrix:** Eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonale Eins sind. - **Inverse Matrix:** Eine Matrix $A^{-1}$, so dass $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ ## Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem kann in Matrixform dargestellt werden als $A \cdot x = b$, wobei $A$ die Koeffizientenmatrix, $x$ der Vektor der Unbekannten und $b$ der Vektor der Konstanten ist. ## Anwendungen - Lösen von linearen Gleichungssystemen - Transformationen in der linearen Algebra - Darstellung von Graphen und Netzwerken - Computergrafik und Bildverarbeitung