Ondes et Vibrations Licence 2 Physique PDF 2024-2025

Ondes et Vibrations Licence 2 de Physique Tome I Adrien Borne Arnaud Derode 2024-2025 Ce document de cours est très largement inspiré de celui créé par mon prédécesseur, Arnaud Derode. Je le remercie ici chaleureusement pour son importante contribution. Des coquilles, qui sait des fautes peut-être même, pouvant encore s’y glisser, un espace dédié à leur signalement sera ouvert sur notre espace Moodle. Toute connaissance est une réponse à une question. S’il n’y a eu de question, il ne peut y avoir de connaissance scientifique. Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit. Gaston Bachelard, La formation de l’esprit scientifique Table des matières 1 Organisation de l’UE........................................ 1 2 Comment travailler efficacement ? Que retenir ?.......................... 2 3 Quelques – très modestes – dérouillages mathématiques..................... 4 4 Autres bricoles utiles......................................... 6 I Oscillateurs libres et forcés 7 1 Piqûres de rappel........................................... 9 1.1 Lois et conventions de l’électrocinétique et de la mécanique............... 9 1.1.1 Rappels d’électrocinétique............................ 9 1.1.2 Rappels de mécanique............................... 10 1.2 Calcul complexe....................................... 12 1.3 Équations différentielles à coefficients constants...................... 13 1.3.1 Écriture canonique................................ 14 1.3.2 Résolution..................................... 14 1.3.3 Exemples de systèmes physiques d’ordre 1................... 15 2 Oscillateurs : généralités....................................... 17 3 Oscillateurs libres........................................... 18 3.1 Modélisations physiques : établissement d’ED d’ordre 2................. 18 3.1.1 Oscillateur mécanique............................... 18 3.1.2 Oscillateur électrique............................... 19 3.1.3 Oscillateur acoustique............................... 19 3.2 Expression des solutions.................................. 21 3.2.1 Premier cas : Q < 1/2............................... 22 3.2.2 Deuxième cas : Q = 1/2.............................. 22 3.2.3 Troisième cas : 1/2 < Q < +Œ.......................... 22 3.2.4 Quatrième cas : Q æ +Œ............................. 23 3.2.5 Signification physique de Ê0 et de Q....................... 25 3.2.6 Solutions à nos situations physiques....................... 25 3.3 Aspects énergétiques.................................... 26 3.3.1 Oscillateur mécanique : bilan d’énergie..................... 26 3.3.2 Oscillateur électrique : bilan d’énergie..................... 27 3.3.3 Calcul de l’énergie perdue par période...................... 27 4 Oscillateurs forcés.......................................... 29 4.1 Établissement de l’équation................................. 29 4.1.1 Oscillateur électrique............................... 29 4.1.2 Oscillateur mécanique............................... 29 4.2 Notion de système : signaux d’entrée et de sortie..................... 30 4.3 Signal de sortie........................................ 31 4.4 Signal de sortie en régime sinusoïdal forcé......................... 31 4.4.1 Régime sinusoïdal forcé.............................. 31 4.4.2 Représentation complexe............................. 31 4.4.3 Recherche d’une solution particulière à l’ED.................. 32 4.4.4 Solution complète à l’ED en régime permanent................. 32 4.4.5 Un premier commentaire............................. 34 4.5 Analyse du gain....Ô................................... 34 4.5.1 Cas 1 : Q < 1/Ô2................................. 35 4.5.2 Cas 2 : Q = 1/Ô2................................. 35 4.5.3 Cas 2 : Q > 1/ 2, résonance........................... 35 4.6 Analyse du déphasage.................................... 37 5 Importance des oscillateurs en physique.............................. 38 6 Annexes................................................ 40 6.1 Résolution d’une équation différentielle canonique du second ordre à coefficients constants et sans second membre................................... 40 6.2 Résonateur de Helmholtz.................................. 41 TD 1 Oscillateurs libres et forcés 43 1 Oscillateurs libres........................................... 43 2 Oscillateurs forcés........................................... 45 3 Entraînement hors séance...................................... 46 II Qu’est-ce qu’une onde ? 51 1 Ainsi parlait Einstein......................................... 52 2 Commentons et paraphrasons Einstein............................... 54 2.1 Choix d’une représentation mentale............................ 54 2.2 Polarisation et propagation................................. 54 2.3 Qu’est-ce qu’une onde ?................................... 55 2.4 Ondes acoustiques dans les fluides et les solides...................... 55 2.5 Fronts d’onde, ondes planes, ondes sphériques....................... 56 3 Représentations mathématique et graphique d’une onde unidimensionnelle........... 56 3.1 Représentation à t fixé.................................... 57 3.2 Représentation à x fixé................................... 58 4 Ondes sinusoïdales.......................................... 59 4.1 Représentation réelle..................................... 59 4.2 Représentation complexe.................................. 60 5 L’équation des ondes......................................... 60 5.1 Equation aux dérivées partielles............................... 60 5.2 Forme générale de la solution................................ 61 5.3 Théorème de superposition (ou de Helmholtz)....................... 61 6 Annexes................................................ 62 6.1 Résolution de l’équation des ondes à une dimension................... 62 6.2 Dérivées partielles et changements de variable....................... 63 6.3 Valeur moyenne du produit de deux grandeurs sinusoïdales............... 64 TD 2 Ondes à une dimension : représentations graphiques et mathématiques 65 1 En séance............................................... 65 2 Entraînement hors séance...................................... 66 Ondes et Vibrations — Avant-propos 1 1 Organisation de l’UE Calendrier Programme Date 2nd Programme Programme Programme Date 1er cours Semaine débutant le... Cours 1er cours cours 2nd cours TD 1er TD 2nd cours Épreuves écrites hebdomadaire hebdomadaire hebdomadaire hebdomadaire hebdomadaire hebdomadaire 1 27 janv. C1, C2 29 janv. Chap. 1 31 janv. Chap. 1 2 3 févr. C3, C4 5 fév. Chap. 1 7 fév. Chap. 1 S1, S2 TD1 TD1 3 10 févr. C5, C6 12 fév. Chap. 2 14 fév. Chap. 2 S3, S4 TD1 TD1 4 17 févr. C7, C8 19 fév. Chap. 3 21 fév. Chap. 3 S5, S6 TD2 TD2 24 févr. Congés d'hiver 5 3 mars CC1, C9 5 mars CC1 7 mars Chap. 3 S7, S8 TD3 TD3 CC1 mer. 5 mars 8h30-10h30 6 10 mars C10, C11 12 mars Chap. 3&4 14 mars Chap. 4 S9, S10 TD3 TD3/TD4 7 17 mars C12, C13 19 mars Chap. 4 21 mars Chap. 5 S11, S12 TD4 pas de TD * 8 24 mars C14, C15 26 mars Chap. 5 28 mars Chap. 5&6 S13 TD4 TD5 9 31 mars C16, C17 2 avr. Chap. 6 4 avr. Chap. 6 S14,S15 TD5 pas de TD * 10 7 avr. CC2, C18 9 avr. CC2 11 avr. Chap. 6&7 S16 TD5/TD6 TD6 CC2, mer. 9 avril 8h30-10h30 14 avr. Congés de printemps 21 avr. Congés de printemps 11 28 avr. C19, C20 30 avr. Chap. 7 2 mai Chap. 7 S17, S18 TD6/TD7 TD7 12 5 mai S19, S20 TD7 TD7 13 12 mai Semaine "rattrapage jours fériés" 14 19 mai Semaine révisions 26 mai Examens session 1 CT entre 26 mai et 6 juin 23 juin Examens session 2 CT2 entre 23 et 30 juin * sauf MedPhy Modalités du contrôle des connaissances Session 1 L’évaluation consiste en deux épreuves de contrôle continu (CC1, CC2) et une épreuve terminale (CT). Chaque épreuve donne lieu à une note sur 20. Seules les notes de contrôle continu supérieures ou égales à 8/20 sont comptabilisées. Chaque CC pris en compte a un poids de 25% dans la note finale. Le poids des CC non comptabilisés, quelle qu’en soit la raison (absence justifiée ou non, note inférieure à 8, cas de force majeure, etc) est reporté sur le CT. La note à l’UE est enfin définie comme le maximum entre la note calculée avec les résultats de toutes les épreuves (CC et CT) et la note de l’épreuve terminale seule. Ainsi : Si les deux CC sont comptabilisés : Note UE = max( (CC1 + CC2 + 2 CT)/4, CT) Si un seul CC est comptabilisé : Note UE = max( (CC + 3 CT)/4, CT) Si aucun CC n’est comptabilisé : Note UE = CT Pour les étudiants du parcours CUPGE, la note à l’UE est calculée comme 95% du résultat précédent + 5% de la moyenne des notes aux trois interrogations orales. Session 2 La deuxième session consiste en une épreuve écrite unique, dont le résultat constitue la note de session 2. Régime des absences L’absence à l’une des épreuves de CC ou de CT, quel qu’en soit le motif, conduit à la note 0/20 pour cette épreuve. Les absents à l’épreuve de deuxième session sont considérés comme défaillants, quel que soit le motif de l’absence. Réclamations En cas de contestation, le jury de licence est la seule instance d’appel. 2 Ondes et Vibrations — Avant-propos Contacts Groupe Enseignant Email CUPGE1 Caroline Derec caroline.derec@u-paris.fr CUPGE2 Raphaël Raynaud raphael.raynaud@cea.fr Cours, DLPC-EPC Adrien Borne adrien.borne@u-paris.fr DLPM Antonio Condorelli condorelli@apc.in2p3.fr MEDPHY Christophe Barrière christophe.barriere@espci.fr PHY1 Kristina Davitt kristina.davitt@lps.ens.fr PHY2 Laurent Ménard laurent.menard@ijclab.in2p3.fr PHY3 Yann Gallais yann.gallais@u-paris.fr 2 Comment travailler efficacement ? Que retenir ? Ce poly est votre document de référence. Il a été conçu comme complémentaire du cours magistral donné en amphi. Il est essentiel pour progresser de façon durable (i) d’être assidu, attentif et intellectuellement actif lors des séances de cours, (ii) de reprendre à votre rythme entre chaque séance de cours ce qui aura été vu en vous aidant du poly, (iii) d’être moteur dans votre travail en séances de TD, et (iv) de ne jamais hésiter à poser des questions en cours et en TD. C’est ainsi que vous gagnerez en compréhension des concepts physiques, en savoir-faire technique, en rigueur, en démarche scientifique, que saurez démarrer un exercice, etc. Apprendre le cours : travail personnel entre chaque séance Pas de panique : apprendre le cours ne signifie en aucune façon apprendre par cœur la soixantaine d’équations que contient par exemple le premier chapitre. Cela ne signifie pas non plus le survoler 10 minutes la veille d’une interrogation. Vous devez prendre le temps d’étudier ce document attentivement, petit à petit, crayon à la main. Vérifiez que vous comprenez les étapes de chaque raisonnement : hypothèses physiques, traduction mathématique, conclusions et commentaires. Vérifiez que vous êtes en mesure de refaire les calculs, passages d’une équation à l’autre, etc. Notez ce qui vous pose problème. Faites ce travail et préparez vos questions pour les séances de cours. Utilisez les séances de cours et de TD pour obtenir des éclaircissements : elles sont là pour ça ; ainsi tous vos collègues pourront bénéficier de vos questions, et de nos réponses. En procédant ainsi, vous faites progresser l’ensemble du groupe, et vous bénéficiez des éclairages et des erreurs de chacun, car on apprend davantage de ses erreurs que de ses succès. Mais pour comprendre vos éventuelles erreurs, il faut que vous les exprimiez : n’ayez donc jamais peur de vous tromper, que ce soit en cours ou en TD. Que faut-il retenir par cœur ? En physique, il y a peu de choses à connaître par cœur, il faut d’abord comprendre. Apprendre par cœur des résultats sans en comprendre le contexte est anti-scientifique ; les sacro-saintes « for- mules » comme U = RI, F = ma, E = 1/2mv 2 , c = 3.108 m/s, etc. perdent tout leur sens si elles ne sont pas interprétées dans leur contexte. Ceci étant précisé, pour vous guider dans vos révisions et vous rassurer avec quelques béquilles (les fameuses « formules »), dites-vous que vous devez connaître par cœur toutes les parties encadrées de ce cours, et bien sûr maîtriser le contexte associé. Pour le premier chapitre par exemple, cela représente moins de dix « formules » et quelques définitions ou propriétés, auxquelles j’ajoute les rappels du début du chapitre. Le travail en TD Vos enseignants de TD sont là pour vous aider au cours de la séance : ils pourront vous mettre le pied à l’étrier, vous expliquer la méthode... mais ils ne feront pas le travail à votre place si vous restez passifs. Des corrigés écrits vous seront systématiquement fournis pour vous servir de filet de sécurité, pour vous rassurer au cas où vous n’auriez pas pu participer à la séance de TD. Mais attention : se contenter de lire le corrigé sans se mettre en situation de faire l’exercice seul n’est pas une bonne méthode. A l’issue des séances de TD consacrées à un chapitre, vous devrez être en mesure de faire seuls et sans corrigé tous les exercices de TD correspondants. Entraînez-vous ! Ondes et Vibrations — Avant-propos 3 Des exercices supplémentaires sont donnés à la fin de chaque feuille de TD : ils sont facultatifs, non destinés à être traités en séance ; vous pouvez les considérer si vous en ressentez le besoin et bien sûr poser des questions à leur sujet à vos enseignants. Une majorité de ces exercices sont issus d’anciennes épreuves d’examen et donc représentatifs de ce qu’on pourra vous demander cette année. Introspection Après l’étude d’un chapitre et des TD associés, soyez en mesure de vous auto-évaluer : que savez-vous faire ? que ne savez-vous pas faire ? Aidez-vous de la liste données en début de chaque chapitre. Posez sans crainte ni honte vos questions en cours et en TD, demandez de l’aide à vos enseignants et même à vos collègues sur les points pour lesquels vous vous sentez fragiles. Faites cela tout le long du semestre, et pas seulement la veille de l’épreuve terminale ! Notre disponibilité vous est acquise, mais pendant 12 semaines seulement : sachez en faire bon usage ! Voilà ! Ce poly est à vous : emparez-vous de lui, lisez, soulignez, relisez, débattez, trompez-vous, questionnez, ne craignez pas de dire ou d’écrire des bêtises publiquement, trébuchez : c’est ainsi que vous progresserez et que vous engrangerez des savoirs durables. Si on reste assis en attendant que ça se passe... on n’en sait pas plus au début qu’à la fin, et on se prépare un destin d’ilote. Nous sommes là pour vous aider à vous en affranchir, avec bienveillance et exigeance. Bonne lecture, et bon travail ! 4 Ondes et Vibrations — Prologue 3 Quelques – très modestes – dérouillages mathématiques Trigonométrie Relations trigonométriques de base exp(jx) = ejx = cos(x) + j sin(x) cos2 (a) + sin2 (a) = 1 ejx + e≠jx cos(x) = cos(a + b) = cos(a) cos(b) ≠ sin(a) sin(b) 2 ejx ≠ e≠jx sin(x) = sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) 2j avec j l’unité imaginaire (j 2 = ≠1). Ces relations permettent de retrouver toutes les autres 1 , en particulier : 3 4 3 4 x+y x≠y cos(x) + cos(y) = 2 cos cos , etc. 2 2 Parité et symétrie des fonctions trigonométriques cos(≠x) = cos(x) cos(ﬁ/2 ≠ x) = sin(x) sin(≠x) = ≠ sin(x) sin(ﬁ/2 ≠ x) = cos(x) Valeurs courantes des fonctions trigonométriques cos(0) = sin(ﬁ/2) = 1 Ô cos(ﬁ/6) = sin(ﬁ/3) = 3/2 ¥ 0, 866 Ô cos(ﬁ/4) = sin(ﬁ/4) = 2/2 ¥ 0, 707 cos(ﬁ/3) = sin(ﬁ/6) = 1/2 cos(ﬁ/2) = sin(0) = 0 Valeurs moyennes ÈcosÍ = 0 ÈsinÍ = 0 e f e f 2 cos = 1/2 sin2 = 1/2 en notant È.Í la valeur moyenne 2. Dérivées f Õ désignant la fonction dérivée de f ,. la multiplication et ¶ la composition 3 , on a (f.g)Õ = f Õ.g + f.g Õ (g ¶ f )Õ = f Õ.(g Õ ¶ f ) 1. En posant par exemple x = a + b et y = a ≠ b, ce qui revient à a = (x + y)/2 et b = (x ≠ y)/2. 2. Voir définition ci-après. 3. https://lexique.netmath.ca/composition-de-fonctions/. Ondes et Vibrations — Prologue 5 Développements limités Si la fonction f admet un développement limité au voisinage de x0 , on peut écrire : f (x) = f (x0 ) + 1 (x ≠ x0 ) f Õ (x0 ) + (x ≠ x0 )2 f ÕÕ (x0 ) +.... Au voisinage de 0, quelques développements limités à l’ordre 2 1 sont à connaître absolument : cos(x) ¥ 1 sin(x) ¥ x tan(x) ¥ x exp(x) ¥ 1 + x ln (1 + x) ¥ x Ô (1 + x)– ¥ 1 + –x (donc 1 + x ¥ 1 + x/2) Valeur moyenne et valeur efficace 4 d’une fonction Soit f une fonction du temps t à valeurs réelles, étudiée sur un intervalle [t1 , t2 ]. Sur cet intervalle, la valeur moyenne au cours du temps de f (valeur aussi appelée « DC » en électrocinétique, ou « composante continue » ) est : ˆt2 1 Èf Í = f (t)dt (1) t2 ≠ t 1 t1 On appelle valeur efficace (« AC+DC », en terminologie électrocinétique) la quantité feff calculée sur le même intervalle : ı̂ Ò ı ˆt2 ı 1 feff = Èf Í = Ù 2 ı f 2 (t)dt (2) t2 ≠ t1 t1 En d’autres termes, la valeur efficace d’une fonction réelle est la racine carrée de la moyenne temporelle du carré de cette fonction. Dans le cas général, la valeur moyenne Èf Í et la valeur efficace feff dépendent de l’intervalle [t1 , t2 ] considéré. En revanche, dans le cas (assez fréquent) où la fonction f est périodique de période T et où l’intervalle choisi correspond à un nombre entier de périodes (donc, si t2 ≠ t1 = nT avec n un nombre entier) alors Èf Í et feff sont constantes au cours du temps. Deux cas particulièrement simples sont à connaître ou à savoir retrouver très vite : - si ’t œ [t1 , t2 ], f (t) = A (constante) alors Èf Í = A et feff = |A| ; |A| - si ’t œ [t1 , t1 + n 2ﬁ Ê ], f (t) = A cos(Êt + Ï) alors Èf Í = 0 et feff = Ô. 2 4. Si vous êtes à l’aise avec les notions statistiques, cela vous aidera peut-être de remarquer que la variance (au cours 2 du temps) d’un signal f est égale à la différence feff ≠ Èf Í2 , ce qui revient à écrire feff 2 = variance + carré de la moyenne. Mais si les statistiques vous effraient, vous pouvez oublier cette analogie. 6 Ondes et Vibrations — Prologue 4 Autres bricoles utiles Quelques approximations utiles à connaître pour les applications numériques sans cal- culette Ô 2 ¥ 1, 4 Ô Ô 2/2 = 1/ 2 ¥ 0, 7 Ô 3 ¥ 1, 7 Ô 5 ¥ 2, 2 Ô 10 ¥ ﬁ et ﬁ 2 ¥ 10 exp(3) ¥ 20, et exp(≠3) ¥ 0, 05 3 4 1 20 log10 Ô ¥ ≠3 2 Alphabet grec – alpha ‹ nu — bêta ›, ksi “, gamma o omicron ”, delta ﬁ, pi ‘ epsilon ﬂ rhô ’ zêta ‡, sigma ÷ êta · tau ◊ thêta ‚, upsilon ÿ iota Ï/„, phi Ÿ kappa ‰ khi ⁄, lambda Â, psi µ mu Ê, oméga Chapitre I Oscillateurs libres et forcés Mécaniques, acoustiques et électriques Synthèse des connaissances relatives au chapitre I À l’issue de ce premier chapitre et des séances de cours et TD correspondantes, voici les sept points que vous devrez maîtriser, et sur lesquelles vous serez interrogés lors des évaluations. Chapitre I : les 7 savoirs fondamentaux 1. Savoir mener à bien rapidement une application numérique, évaluer un ordre de grandeur, et toujours présenter vos résultats numériques munis d’unités correctes ; 2. Savoir esquisser un graphe en y indiquant les paramètres importants ; savoir interpréter un graphe en y trouvant les paramètres pertinents ; 3. Etablir l’équation différentielle d’un oscillateur quelconque (mécanique, acoustique, électrique ; flotteur, pendule, etc) en utilisant vos connaissances (lois de Newton, lois de Kirchhoff) ; 4. Mettre l’équation sous sa forme canonique, identifier la pulsation propre Ê0 et le facteur de qualité Q ; 5. Exprimer sa solution, en régime libre comme en régime forcé ; 6. La représenter graphiquement, en régime libre (courant, tension, position, vitesse, énergie, etc. en fonction du temps) comme en régime sinusoïdal forcé (amplitude et phase en fonction de la fréquence) ; 7. Déterminer le temps caractéristique de décroissance et la pseudo-période (en régime libre), la fréquence de résonance et la largeur à -3 dB (en régime sinusoïdal forcé) à partir de valeurs numériques (données d’un exercice) ou graphiques (courbes d’oscillations en fonction du temps, courbes de gain en fonction de la fréquence). 8 Ondes et Vibrations — Chapitre I Chapitre I : fiche de synthèse Oscillateur Deux paramètres caractérisent un oscillateur : sa pulsation propre Ê0 = 2ﬁf0 et son facteur de qualité Q. L’équation I.4 donne la forme canonique de l’ED d’un oscillateur. Régime libre La contribution libre de la solution de l’ED diffère selon la valeur de Q (cf. Eqs. I.19 Ò à I.24). 1 Si Q > 1/2, elle présente des oscillations pseudo-périodiques, de pulsation = Ê0 1 ≠ 4Q 2, atténuées exponentiellement avec un temps caractéristique 2Q/Ê0. Si Q > 3, l’étude du régime libre se simplifie de façon appréciable : – on peut faire l’approximation ¥ Ê0 ; – à partir d’un graphe de la solution libre, on peut estimer Ê0 et Q en mesurant la pseudo- période des oscillations, et en considérant la décroissance exponentielle des extrema au cours du temps (cf. TD). En particulier, on peut retenir qu’au bout de Q pseudo-périodes, l’amplitude des oscillations a décru de 95% (en d’autres termes ·95 ¥ Q Ê2ﬁ0 ) ; – le temps caractéristique de décroissance de l’énergie moyenne d’un oscillateur est Q/Ê0 , la moitié de celui de l’amplitude des oscillations (2Q/Ê0 ) ; Régime sinusoïdal forcé Dans le cas d’un forçage sinusoïdal de fréquence f : en régime permanent, la réponse de l’oscil- lateur est une sinusoïde de même fréquence f. Dans ce cas, on appelle gain le rapport amplitude de la réponse de l’oscillateur / amplitude du forçage ; on appelle déphasage la différence phase de la réponse - phase du forçage. Si Q > Ô12 , il existe une fréquence de forçage non nulle pour laquelle le gain présente un maximum Gmax. Cette fréquence est appelée fréquence de résonance, fres. On appelle bande Ô passante à -3 dB l’intervalle de fréquences [f≠ ; f+ ] pour lequel le gain est supérieur à Gmax / 2. Si Q > 3, l’étude du régime sinusoïdal forcé se simplifie de façon appréciable : on peut raison- nablement écrire fres = f0 et la bande passante à -3 dB est [f0 ≠ f0 /2Q; f0 + f0 /2Q], sa largeur est donc f0 /Q. Vous voyez que la liste des points fondamentaux du premier chapitre n’est pas si longue. Cette liste est là pour vous aider progressivement à discerner vous-mêmes ce qui est essentiel de ce qui est accessoire, et c’est un exercice de vous devrez, au fil du temps, faire seuls dans toutes les matières. Toutefois, attention : la présence de cette fiche de synthèse ne saurait évidemment vous soustraire au devoir d’étudier ce chapitre dans son intégralité. Ondes et Vibrations — Chapitre I 9 1 Piqûres de rappel 1.1 Lois et conventions de l’électrocinétique et de la mécanique 1.1.1 Rappels d’électrocinétique Les deux grandeurs fondamentales de l’électrocinétique sont l’intensité du courant (un débit de charges électriques, exprimé en Ampère) et la tension (une différence de potentiels électriques, exprimée en Volt). Ces deux grandeurs sont orientées et portent donc des signes, qui dépendent des conventions d’orientation que vous aurez préalablement choisis. Ainsi, si vous choisissez d’appeler i l’intensité du courant circulant dans une branche d’un point A vers un point B (convention choisie en Fig. I.1a), i sera positive si les électrons se déplacent dans le sens opposé à la flèche, alors que i sera négative si les électrons se déplacent dans le sens de la flèche. Egalement, si vous choisissez d’appeler u la tension entre les points A et B (convention choisie en Fig. I.1b), cette tension sera positive si le potentiel électrique VA au point A est supérieur au potentiel électrique VB au point B et négative dans le cas contraire. Ces signes dépendent des choix que vous aurez fait lors des définitions de i et de u (ou qui vous auront été imposées dans un exercice), toutes autant valables les unes que les autres : la réalité physique reste inchangée. Figure I.1 – Conventions d’orientation (a) d’un courant i le long d’une branche, (b) d’une tension u aux bornes d’un dipôle. Lois de Kirchhoff La conservation de la charge électrique impose que la somme algébrique 1 des courants arrivant sur un nœud est égale à la somme algébrique des courants quittant ce nœud. C’est la loi des nœuds. L’additivité des potentiels électriques 2 impose que la somme algébrique 3 des tensions orientées dans un même sens de parcours d’une maille fermée est nulle. C’est la loi des mailles. Relations courant-tension de dipôles usuels idéaux Lors de l’étude d’un dipôle électrique, deux conventions possibles découlent du choix de l’orientation du courant le parcourant et de la tension à ses bornes : (i) la convention récepteur lorsque le courant est défini de A vers B et la tension comme VA ≠ VB (voir Fig. I.2a) ou bien lorsque le courant est défini de B vers A et la tension comme VB ≠ VA , et (ii) la convention générateur lorsque le courant est défini de B vers A et la tension comme VA ≠ VB (voir Fig. I.2b) ou bien lorsque le courant est défini de A vers B et la tension comme VB ≠ VA. Figure I.2 – Conventions d’orientation (a) récepteur et (b) générateur d’un dipôle électrique. En convention récepteur (voir Fig. I.3) 4 , les lois courant-tension des dipôles idéaux usuels sont : - Résistor idéal 5 de résistance R (exprimée en Ohm) : u(t) = Ri(t) 1. Ces courants pouvant être positifs ou négatifs suivant les conventions d’orientation choisies, voir paragraphe précédent. 2. VA ≠ VB = VA ≠ VM + VM ≠ VB quels que soient les trois potentiels VA , VB et VM considérés. 3. Ces tensions pouvant être positives ou négatives suivant les conventions d’orientation imposées par le sens de parcours de la maille, voir paragraphe précédent. 4. Vous pouvez très bien faire le choix d’une étude en convention générateur ! Dans ce cas, les relations données prennent un signe moins. 5. Sauf mention explicite, tous ces objets seront présumés idéaux. Le résistor idéal, le condensateur idéal, le générateur idéal, le ressort idéal etc. sont des abstractions auxquelles ont a recours pour modéliser la réalité des phénomènes physiques. 10 Ondes et Vibrations — Chapitre I du - Condensateur idéal5 de capacité C (exprimée en Farad) : i(t) = C (t) dt di - Bobine idéale5 d’inductance L (exprimée en Henry) : u(t) = L (t) dt Figure I.3 – (a) Résistor, (b) condensateur, et (c) bobine orientés en convention récepteur. Egalement : - Fil idéal : u(t) = 0, ’i - Source idéale de tension de force électromotrice E (exprimée en Volt) : u(t) = E, ’i - Interrupteur ouvert idéal : i(t) = 0, ’u - Source idéale de courant de courant électromoteur I (exprimée en Ampère) : i(t) = I, ’u. Aspects énergétiques et relations de continuité Les énergies stockées dans les composants présentés précédemment s’expriment de la manière suivante : - Résistor idéal : ER (t) = Ri2 (t) = u2 (t)/R. - Condensateur idéal : EC (t) = Cu2 (t)/2. La continuité dans le temps de l’énergie (dite électrostatique) stockée dans un condensateur impose la continuité dans le temps de la tension aux bornes d’un condensateur. - Bobine idéale : EL (t) = Li2 (t)/2. La continuité dans le temps de l’énergie (dite magnétique) stockée dans une bobine impose la continuité dans le temps du courant circulant dans une bobine. 1.1.2 Rappels de mécanique Principe fondamental de la dynamique Dans un référentiel galiléen, la somme des forces exercées sur un point matériel M de masse inertielle m est égale à la dérivée temporelle de sa quantité de mouvement p˛ = m˛v : d˛ p ÿ = m˛a = F˛i,æM (I.1) dt i avec ˛v sa vitesse et ˛a son accélération. Pour traiter un problème de mécanique, la démarche logique est toujours la même : choisir un système d’axes, une origine et des conventions d’orientation ; nommer les variables pertinentes ; exprimer les forces en présence compte tenu des conventions et des noms choisis ; appliquer le principe fondamental de la dynamique. Objets idéaux de la mécanique et forces usuelles Rappelons ici les objets idéaux et forces usuelles que nous rencontrerons ce semestre : - Une masse M (kg) dans un champ de pesanteur uniforme ˛g (m · s≠2 ) est soumise à son poids P˛ (ou force de pesanteur, en N) du fait de l’attraction gravitationnelle de la Terre : P˛ = M˛g. - La force de frottement fluide F˛f auquel est soumise un objet est proportionnelle et opposée à la vitesse ˛v de cet objet lorsque celle-ci reste faible : F˛f = ≠–f ˛v avec –f un coefficient réel positif caractérisant l’importance du frottement (appelé coefficient de frottement). Ondes et Vibrations — Chapitre I 11 - Un ressort idéal5 est caractérisé par sa raideur K (que l’on supposera constante quelque soit la force appliquée) et sa longueur à vide ¸0. Un ressort n’a pas de masse propre. Il exerce une force de rappel F˛r dont la norme est ÎF˛r Î = K ◊ |longueur du ressort ≠ longueur à vide| , la direction est colinéaire à celle du ressort et le sens est opposé à l’étirement (F˛r tend à le ramener à sa longueur à vide). Notez que le signe et l’expression de la force de rappel dépendent des conventions d’orientations et des notations choisies, qu’il faut donc toujours préciser. Il est donc inutile et dangereux d’apprendre par cœur que « F = ≠Kx ». Soyons toujours précis dans le choix des termes pour éviter toute confusion dans les esprits ; en particulier lorsqu’on évoque la longueur d’un ressort idéal, il faut bien distinguer : - la longueur à vide ¸0 : il s’agit de la distance entre les deux extrémités du ressort lorsque celui-ci n’est soumis à aucune force ; - la longueur à un instant quelconque : on pourra la noter ¸(t). Il s’agit de la distance entre les deux extrémités du ressort, à un instant t donné ; ces extrémités peuvent être en mouvement l’une par rapport à l’autre, aussi cette distance dépend-elle de l’instant considéré ; - la longueur à l’équilibre : on pourra la noter ¸éq. Exemple : un ressort est suspendu verticalement au plafond, on accroche une masse M à son extrémité inférieure ; sa longueur à l’équilibre est ¸éq = ¸0 + M g/K (pourquoi ?) ; - enfin, on appelle élongation ou allongement la différence ¸(t) ≠ ¸0. Celle-ci peut être positive ou négative, selon que le ressort est dilaté ou comprimé par rapport à la situation à vide. Prenons l’exemple du système masse-ressort représenté sur la figure I.4 sur lequel nous aurons l’occasion de revenir au paragraphe 3.1.1, et exprimons les forces en présence. Figure I.4 – Représentation schématique d’un dispositif masse – ressort (artiste inconnu, École française, début XXIe s.). Orientation et nom des variables. L’axe est déjà orienté sur la figure, et son origine choisie. Notons xA et xB les abscisses des deux extrémités du ressort. Ici, xB (t) = 0 quel que soit t, en revanche xA (t) varie au cours du temps. À vide, xA = ¸0. Notons uA le déplacement algébrique du point A par rapport à sa position à vide, c’est-à-dire uA (t) = xA (t) ≠ ¸0. Détermination de la force de rappel. À l’équilibre, le ressort étant horizontal sa longueur est égale à sa longueur à vide ¸0. Lorsque la masse est en mouvement, à un instant t quelconque, xB (t) = 0 et xA (t) = ¸0 + uA (t). La norme de la force de rappel F˛r est donc égale à K ◊ |uA (t)|. Quel est son sens ? À tout instant, le ressort exerce une force qui tend à lui faire retrouver sa longueur à vide : ainsi lorsque uA (t) < 0, la force de rappel est dirigée selon +e˛x , compte tenu de l’orientation du vecteur ˛ex et de l’axe ; au contraire, lorsque uA (t) > 0, la force de rappel est dirigée selon ≠˛ex. Donc quel que soit le signe de uA (t), la force de rappel s’exprime comme F˛r (t) = ≠KuA (t)˛ex 6. Détermination de la force de frottement. L’abscisse xA (t) de la masse étant égale à ¸0 +uA (t) à tout instant t, vA = dxA /dt = duA /dt (qu’on pourra aussi noter u̇A ) est donc la valeur algébrique de la vitesse de la masse : si elle est positive, c’est que le vecteur vitesse est dirigé selon ˛ex ; si elle est négative, c’est que le vecteur vitesse est dirigé selon ≠˛ex. Le frottement visqueux est caractérisé par une constante positive –f duA et génère une force opposée et proportionnelle à la vitesse de la masse : F˛f (t) = ≠–f˛vA (t) = ≠–f (t)˛ex. dt 6. Il serait également correct, mais beaucoup moins pratique, d’écrire que la force de rappel vaut K|uA (t)|˛ex si uA (t) < 0 et ≠K|uA (t)|e˛x si uA > 0. On voit ici l’avantage d’utiliser des quantités algébriques comme uA (t)) pour exprimer l’état du système physique étudié, plutôt que des grandeurs toujours positives (comme la distance |uA (t)|, ou la norme de la force de rappel). 12 Ondes et Vibrations — Chapitre I 1.2 Calcul complexe Soit le nombre complexe z = a + jb avec (a, b) œ R2 appelés parties réelle et imaginaire respectivement, et j l’imaginaire pur unité 7 tel que j 2 = ≠1. La figure I.5 donne la représentation d’un point M d’affixe z dans le plan complexe de centre O. Figure I.5 – Représentation du point M d’affixe z = a + jb dans le plan complexe. Le complexe conjugué de z, conventionnellement noté z ú est défini comme z ú = a ≠ jb. Ô Le module de z, noté |z|, est défini comme la distance OM et s’exprime donc |z| = a2 + b2 (Py- thagore). Notez que le module |z| est égal à celui de son complexe conjugué, que le module du produit (ou du rapport) de deux nombres complexes est égal au produit (ou au rapport 8 ) des modules de ces nombres complexes, mais que le module de la somme (ou de la différence) de deux nombres complexes n’est pas égal à la somme (ou à la différence) des modules de ces nombres complexes ! 9 z a b Le module du nombre complexe = c + js vaut 1, avec c = Ô et s = Ô deux |z| a2 + b2 a2 + b2 réels qui vérifient donc c2 + s2 = 1. Ainsi, il existe un angle ◊ œ I =] ≠ ﬁ, ﬁ] tel que c = cos(◊) et s = sin(◊). Cet angle ◊ est appelé argument de z et nous le définirons modulo 2ﬁ dans l’intervalle I 10. Le nombre complexe considéré ici peut être donc écrit sous la forme dite exponentielle complexe suivante : z = |z| ◊ (cos(◊) + j sin(◊)), notée |z|ej◊. L’argument représente l’angle orienté de la demi-droite des réels ≠≠æ positifs du plan complexe au vecteur OM. Notez que l’argument de z ú est égal à l’opposé de l’argument de z, que l’argument du produit (ou du rapport8 ) de deux nombres complexes est égal à la somme (ou à la différence) des arguments de ces nombres complexes 9. Mais alors, l’argument de z serait-il donc égal à arccos(c) et à arcsin(s) ? NON ! Du moins, pas nécessairement ! La fonction arccos est bijective de [≠1, 1] vers [0, ﬁ]. L’équation cos(◊) = c possède donc deux solutions dans I : ◊ = arccos(c) et ◊ = ≠ arccos(c). De même, arcsin est bijective de [≠1, 1] vers [≠ﬁ/2, ﬁ/2]. L’équation sin(◊) = s possède donc deux solutions dans I : ◊ = arcsin(s) et ◊ = ﬁ ≠ arcsin(s). Quelle est donc la solution correcte ? Considérez le signe de b, la partie imaginaire de z : si b Ø 0, ◊ est forcément compris dans [0, ﬁ] et on a donc bien ◊ = arccos(c) ; si b Æ 0, ◊ est maintenant forcément compris dans [≠ﬁ, 0] et on a dans ce cas ◊ = ≠ arccos(c). Faites un petit dessin, ça aide et vous n’aurez rien à apprendre par cœur ! De manière complètement équivalente, vous pouvez également considérer le signe de a, la partie réelle de z : si a Ø 0, ◊ est forcément compris dans [≠ﬁ/2, ﬁ/2] et on a alors bien ◊ = arcsin(s) ; si a Æ 0, ◊ est maintenant forcément compris dans [≠ﬁ, ≠ﬁ/2] ﬁ [ﬁ/2, ﬁ] et on a dans ce cas ◊ = ﬁ ≠ arcsin(s). Vous avez fait un petit dessin ? 7. Choisissons ici la notation j pour l’imaginaire pur unité (que vous avez sans doute l’habitude de noter i) pour éviter toute confusion avec l’intensité du courant électrique. Egalement, nous soulignerons le nom les quantités complexes, ici z. 8. Le nombre complexe au dénominateur doit bien entendu être non nul. 9. Savez-vous le démontrer ? 10. Tout autre intervalle dont la largeur est 2ﬁ serait également convenable. Ondes et Vibrations — Chapitre I 13 Enfin, une troisième méthode, toute aussi valide et équivalente aux deux précédentes, est possible en utilisant la fonction arctan, bijective de ] ≠ Œ, +Œ[ sur [≠ﬁ/2, ﬁ/2]. L’équation tan(◊) = b/a possède donc aussi deux solutions dans I. Considérez le signe de a : si a Ø 0, ◊ est forcément compris dans [≠ﬁ/2, ﬁ/2] et on a alors bien ◊ = arctan(b/a) ; si a Æ 0, ◊ est maintenant forcément compris dans [≠ﬁ, ≠ﬁ/2] ﬁ [ﬁ/2, ﬁ] et on a dans ce cas ◊ = ﬁ + arctan(b/a). Voyez les deux exemples de la figure I.6 : l’argument de z A = 1 + j vaut ﬁ/4 11 , celui de z B = ≠1 ≠ j vaut ﬁ/4 + ﬁ = 5ﬁ/4 = ≠3ﬁ/4 12. Ils ont pourtant la même tangente, n’est-ce pas ? Figure I.6 – Représentation graphique des arguments des nombres complexes 1 + j et ≠1 ≠ j. 1.3 Équations différentielles à coefficients constants En physique, on est fréquemment amené à devoir résoudre des équations différentielles. Une équation est un « renseignement », un indice dont on dispose pour démasquer l’inconnue ; dans le cas d’une équation différentielle (ED), cet indice est une relation entre la fonction inconnue et ses dérivées : d2 s 5 (z) ≠ 11s(z) = ¸˚˙˝ 16 dz 2 second membre 1 dh (t) + h2 (t) = 3 cos (Ê0 t) 2 dt2 ¸ ˚˙ ˝ second membre d4 g d3 g d2 g dg - - 28x5/2 3 5 - - (x) + ﬁ (x) + cos(kx) (x) + 11 (x) + 8g(x) = 5 ln - arctan(x + x )- dx4 dx3 dx2 dx ¸ ˚˙ ˝ second membre sont trois exemples d’ED plus ou moins compliquées. Dans ce type d’équation, l’inconnue est une fonction ; tous les termes faisant apparaître l’inconnue ou ses dérivées ont été regroupés dans le membre de gauche ; tout ce qui ne dépend pas explicitement de l’inconnue est placé dans le membre de droite (on l’appelle second membre ou terme source ou terme de forçage). Le terme de forçage peut prendre des formes très diverses : il peut être nul (cas très sympathique), constant (cf. le premier exemple ci-dessus) ou plus ou moins compliqué (cf. les deux derniers exemples), mais quoi qu’il en soit, ce terme est présumé connu. La seule inconnue est la fonction, quel que soit le nom (s, h ou g dans les trois exemples ci-dessus) qu’on lui donne, et quel que soit le nom de la variable (z, t ou x dans les trois exemples ci-dessus) : résoudre une équation différentielle, c’est trouver la (ou les) fonction(s) obéissant à cette équation. 11. Graphiquement, ou bien par calcul en observant que la partie réelle de z A est positive donc que son argument vaut ◊A = arctan(1/1) = ﬁ/4. 12. Graphiquement, ou bien par le calcul en observant que la partie réelle de z B est négative donc que son argument vaut ◊B = ﬁ + arctan(≠1/ ≠ 1) = 5ﬁ/4 = ≠3ﬁ/4 [2ﬁ]. 14 Ondes et Vibrations — Chapitre I Pas de panique ! Dans ce chapitre, nous ne considérerons que des ED linéaires à coefficients constants 13 (EDLCC) d’ordre 1 et 2, c’est-à-dire : ds a1 (t) + a0 s(t) =... Ω ceci est une EDLCC d’ordre 1 (I.2) dt d2 s ds a2 2 (t) + a1 (t) + a0 s(t) =... Ω ceci est une EDLCC d’ordre 2 dt dt 1.3.1 Écriture canonique Il s’avère très pratique d’écrire les ED sous leur forme canonique 14 : celle-ci consiste à ranger les termes selon l’ordre de dérivation décroissant de gauche à droite, et à faire en sorte (en divisant l’équation par a0 ) que le coefficient multiplicatif devant le terme d’ordre 0 soit égal à l’unité 15. Ainsi, sous forme canonique toute ED linéaire d’ordre 1 s’écrit : ds · (t) + s(t) = second membre (I.3) dt Le membre de gauche de l’équation (I.3) ne présente qu’un seul coefficient non trivial : il est ici noté · et a la dimension d’un temps : on l’appellera temps caractéristique associé à l’équation. Et à l’ordre 2 ? Écrite sous forme canonique, toute ED linéaire d’ordre 2 prend la forme : 1 d2 s 1 ds 2 (t) + (t) + s(t) = second membre (I.4) Ê0 dt 2 QÊ0 dt Le membre de gauche de l’équation (I.4) possède deux paramètres non triviaux, tous deux positifs : Ê0 est appelée pulsation propre (dimension T ≠1 , unité rad/s) et Q est appelé facteur de qualité (il est sans dimension). Nous y reviendrons en détail dans la suite et donnerons une interprétation physique à ces quantités. 1.3.2 Résolution La solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants, quel que soit son ordre, peut toujours s’écrire comme la somme de deux termes appelés contribution libre 16 et contribution forcée : s(t) = slib (t) + sfor (t) = Solution générale de l’équation sans second membre (I.5) ¸ ˚˙ ˝ Contribution libre, slib (t) + Une solution particulière de l’équation avec second membre ¸ ˚˙ ˝ Contribution forcée, sfor (t) Pour résoudre complètement une ED, il faut donc déterminer la contribution libre ET la contribution forcée ; c’est seulement ensuite qu’on se préoccupe des conditions initiales. - Expression de la contribution libre. Dans le cas d’une équation du premier ordre comme (I.3), la contribution libre est toujours slib (t) = Ae≠t/· , avec A une constante. Dans le cas d’une équation du deuxième ordre comme (I.4), l’expression de la contribution libre est plus compliquée nous la donnerons plus tard pour ne pas déclencher de tempête sous nos dreadlocks, ou nos bigoudis, dès maintenant. 13. De plus, nous nous limiterons aux cas où les coefficients (les an des Eqs. I.2 et ??) sont tous réels et positifs. 14. Canonique est ici un synonyme (tellement plus élégant !) de standardisée, officielle, réglementaire... 15. Cette forme a le mérite de présenter des termes tous homogène à la fonction d’intérêt s(t). 16. Ou solution homogène, pour les mathématiciens. Ondes et Vibrations — Chapitre I 15 - Expression de la contribution forcée. Contrairement à la contribution libre, l’expression de la contribution forcée sfor (t) dépend intimement de celle du second membre, or celui-ci peut être atro- cement compliqué. Deux résultats particulièrement intéressants sont à retenir, valables quel que soit l’ordre de l’ED :. si le second membre de l’équation canonisée est une constante, la contribution forcée est égale à cette constante (c’est évident si l’équation a bien été écrite sous forme canonique) ;. si le second membre est une fonction sinusoïdale de fréquence f alors sfor (t) est aussi une fonction sinusoïdale du temps, et de même fréquence f 17. Vous, jeunes padawans, avez déjà rencontré des systèmes physiques gouvernés par ce type d’équation. Par exemple en S3, vous avez étudié des circuits élémentaires associant un résistor et un condensateur (circuits de type « RC »), ou un résistor et une bobine (circuits de type « RL ») ; et en mécanique en L1 vous avez calculé la vitesse d’un objet massif soumis à une force de frottement. Circuit électrique RC, RL, chute avec frottements sont des exemples de systèmes physiques dits d’ordre 1, car ils obéissent à une équation différentielle à un seul paramètre, de type I.3. Avant de passer aux oscillateurs (qui sont des sytèmes d’ordre 2) rafraîchissons-nous la mémoire à l’aide de quelques exemples d’ordre 1. 1.3.3 Exemples de systèmes physiques d’ordre 1 1.3.3.1 Circuit RC Dans les divers circuits représentés sur la figure I.7, les valeurs de R, C et la tension e(t) imposée par le générateur (s’il est présent) sont connues, de même que la condition initiale (état du circuit à un instant t = 0 pris pour origine) ; ce qui est inconnu, et que l’on cherche à calculer, est l’état du circuit (valeur des courants, des tensions) à un instant t > 0 quelconque. Figure I.7 – Deux exemples de circuits du premier ordre, de type RC série. Dans le cas (a), le condensateur a emmagasiné de l’énergie à t < 0, l’interrupteur est basculé en position fermée à t = 0, et on laisse évoluer le circuit : il s’agit d’un système libre. Dans le cas (b), on fournit continûment de l’énergie au circuit par l’intermédiaire d’un générateur : il s’agit d’un système forcé. Considérons le circuit représenté sur la figure I.7 (b) et supposons qu’on souhaite calculer la tension uC (t) aux bornes du condensateur, à un instant t quelconque. Pour cela il faut établir puis résoudre l’équation différentielle à laquelle obéit la fonction uC. Vos connaissances en électrocinétique (lois de Kirchhoff + relations courant-tension de divers dipôles, cf. section 1.1.1) vous permettent d’écrire, compte tenu des conventions d’orientation indiquées sur le schéma, quel que soit l’instant t considéré : Y _uR (t) = Ri(t) _ Y _ ] ]u (t) = RC duC (t) _ duC (t) + uC (t) = e(t) duC RC dt (I.6) R i(t) = C (t) ∆ ¸˚˙˝ ∆ temps dt ¸˚˙˝ _ _ _ dt _ [ uR (t) + uC (t) = e(t) carac. second [ membre uR (t) + uC (t) = e(t) Donc uC , qui est notre inconnue, obéit à une équation différentielle de type I.3, avec RC dans le rôle du temps caractéristique et la tension e dans le rôle du second membre. 17. Jetons pour le moment un voile pudique sur l’origine physique de cette propriété, ne divulgâchons rien avant la fin de l’épisode 4 de cette saison. 16 Ondes et Vibrations — Chapitre I Avec le même circuit, on pourrait s’intéresser la tension uR plutôt qu’à uC : à quelle équation différentielle obéit-elle ? Partant des mêmes équations, on obtient : Y Y du _ duC duR de 18 _ ]u (t) = RC C (t) ]uR = RC _ RC + uR = RC dt ∆ temps dt ¸˚˙˝ ¸ ˚˙dt˝ (I.7) R dt ∆ _ [u (t) + u (t) = e(t) _ _ du du de + = [ R C carac. second R C dt dt dt membre Il s’agit à nouveau d’une équation différentielle du même type que I.3, avec le même temps caractéristique (RC), mais un second membre différent du cas précédent 19. Et si nous étudiions plutôt le courant i(t) : à quelle équation obéit-il ? En utilisant la loi d’Ohm uR (t) = Ri(t), à partir de I.7 on obtient aisément : d(Ri) de di de RC + Ri = RC ∆ ¸˚˙˝ RC +i= C (I.8) dt dt temps dt dt˝ ¸ ˚˙ carac. second membre À nouveau : même circuit = même type d’équation et même temps caractéristique ; mais expression du second membre différant selon la grandeur étudiée dans le circuit. 1.3.3.2 Chute libre avec frottement visqueux Changeons de domaine, faisons un peu de mécanique. Un objet de masse M dans un champ gravitationnel supposé uniforme ˛g = g˛ez est soumis à la force de pesanteur P˛ = M˛g. Supposons sa chute ralentie par une force de frottements F ˛f = ≠–f˛v , avec –f œ R+. Le principe fondamental de la dynamique, appliqué à l’objet en chute, se traduit mathématiquement par la relation : d˛v M d˛v M M˛g ≠ –f˛v =M donc + ˛v = ˛g ¸ ˚˙ ˝ dt ¸˚˙˝ –fr dt –f somme des forces appliquées à l’objet accél. En coordonnées cartésiennes, les trois composantes vx , vy , vz du vecteur vitesse obéissent respectivement aux équations différentielles suivantes : M dvx M dvy M dvz M (t) + vx (t) = 0 (t) + vy (t) = 0 (t) + vz (t) = g –f dt –f dt –f dt –f On reconnaît là trois équations différentielles de type I.3, avec le même temps caractéristique (ici · = M/–f ), et des seconds membres différents : nuls pour vx et vy , constant et égal à M g/–f pour vz. Et si nous intéressions à l’accélération plutôt qu’à la vitesse, quel type d’équation obtiendrions-nous ? Vous me donnerez la réponse en amphi, je vous laisse y réfléchir d’ici là. 18. Les lecteurs attentifs auront remarqué que, pour éviter d’alourdir les écritures, nous ne mentionnerons pas toujours explicitement la dépendance temporelle ; par exemple ici, les tensions uR et e dépendent bien sûr du temps t. duC 19. Notons qu’on aurait pu obtenir I.7 à partir de I.6, en utilisant la relation uR (t) = RC (t) et en dérivant I.6 par dt rapport à t. Ondes et Vibrations — Chapitre I 17 2 Oscillateurs : généralités En physique, un oscillateur 20 est un système qui, lorsqu’on le laisse libre après lui avoir apporté de l’énergie, voit son état varier de façon (quasi) périodique au cours du temps autour d’une position d’équilibre. L’oscillation serait perpétuelle et rigoureusement périodique s’il n’y avait aucune perte d’énergie au cours du temps. La vie courante nous montre clairement que tel n’est pas le cas : en réalité toute oscillation s’amortit au fil du temps et ainsi une balançoire, un pendule, un ressort, une porte battante, une corde de guitare, un gong etc. tous finissent par cesser d’osciller. Cela se produit lorsque l’oscillateur a épuisé toute l’énergie qu’on lui avait initialement fournie. D’après ce que nous avons rappelé au paragraphe 1, aucun système d’ordre 1 n’est un oscillateur car la réponse libre d’un système d’ordre 1 décroît exponentiellement de façon monotone, sans osciller. Pour modéliser mathématiquement un système oscillant, nous allons voir au paragraphe suivant qu’il nous faudra aller chercher du côté des équations différentielles d’ordre 2. Oscillateur libre ou forcé ? Dans les problèmes de physique que vous rencontrerez, les oscillateurs pourront être libres ou forcés. Quèsaco ? Si, après avoir reçu un apport initial d’énergie, le système est abandonné à lui-même sans intervention extérieure, il est dit libre. Exemples : - on tape (= apport d’énergie) sur un diapason, puis on le laisse osciller ; - on comprime un ressort (= apport d’énergie) hors de sa position d’équilibre, puis on le laisse évoluer tout seul ; - on utilise un générateur pour charger (= apport d’énergie) un condensateur, puis on retire le générateur et on connecte les bornes du condensateur à celles d’une bobine. Mais on peut aussi exciter l’oscillateur par un apport d’énergie continuel au cours du temps : le système est alors dit forcé (ou entretenu). Exemples : - on tape sans arrêt (= apport continuel d’énergie) sur un diapason ; - on prend un ressort dans la main, et on le secoue sans arrêt de haut en bas (= apport continuel d’énergie) ; - on fabrique un circuit avec un condensateur, une bobine (et éventuellement d’autres bipoles passifs), et on l’alimente avec un générateur réglé pour délivrer un signal périodique (= apport continuel d’énergie). 20. Le dictionnaire de l’Académie française définit le verbe osciller comme « se mouvoir alternativement en deux sens contraires ». 18 Ondes et Vibrations — Chapitre I 3 Oscillateurs libres 3.1 Modélisations physiques : établissement d’ED d’ordre 2 Commençons notre étude en examinant trois exemples modèles d’oscillateurs libres : mécanique, électrique et acoustique. Bien que de natures différentes, nous verrons que leurs modélisations nous conduiront à une unique description formelle. 3.1.1 Oscillateur mécanique Considérons le système mécanique représenté sur la figure I.8, déjà rencontré dans les rappels précédents (cf. 1.1.2). Un objet de masse M peut rouler sur un plan horizontal. Il est attaché, au point A, à un ressort idéal de raideur K et de longueur à vide ¸0. L’autre extrémité du ressort, B, est attachée à un mur fixe. Pour mettre le problème en équations, effectuons un bilan des forces s’exerçant sur la masse. Il y a deux forces verticales qui se compensent (le poids et la réaction normale de la table) et deux forces horizontales : la force de rappel F˛r due au ressort et la force de frottement F˛f. Dans cette approche simplificatrice, nous faisons l’hypothèse que la force de frottement, due à l’air, F˛f qui s’exerce sur la masse M est proportionnelle et opposée à la vitesse ; la constante de proportionnalité est notée –f. Figure I.8 – Le dispositif masse – ressort – amortisseur étudié (à gauche, figure extraite de l’ouvrage Super manuel de physique, Majou et Komilikis, ed. Bréal) et sa représentation schématique à droite. Nous avons déjà exprimé ces forces au paragraphe 1.1.2 avec la même convention d’orientation de l’axe, le même choix d’origine O, et les mêmes notations pour les abscisses des deux extrémités duA A et B du ressort (xA (t) = x(t) et xB (t) = 0, ’t). Ainsi 21 , F˛r = ≠KuA (t)˛ex et F˛f = ≠–f ˛ex , avec uA dt le déplacement algébrique du point A par rapport à sa position à vide, c’est-à-dire uA (t) = xA (t) ≠ ¸0. d˛vA d2 uA L’accélération de la masse est ˛aA = = ˛ex (qu’on pourra aussi noter üA˛ex ). dt dt2 Le principe fondamental de la dynamique nous donne donc F˛r + F˛f = M˛a, d’où : ≠ KuA˛ex ≠ –f u̇A˛ex = M üA˛ex … (M üA + –f u̇A + KuA ) ˛ex = ˛0 … M üA + –f u̇A + KuA = 0 ce qui conduit, après division par K, à une équation différentielle canonique d’ordre 2 du type I.4 dont le second membre est nul : M d2 uA –f duA + + uA = 0 (I.9) K dt2 K dt L’équation ayant été mise sous la forme canonique, il est aisé d’introduire les deux paramètres pulsation propre Ê0 et facteur de qualité Q : M d2 uA –f duA + + uA = 0 (I.10) K ¸˚˙˝ dt 2 K dt ¸˚˙˝ 1/Ê02 1/QÊ0  Ô On en déduit ainsi que Ê0 = K/M et Q = KM /–f. 21. Et seulement parce que nous avons déjà fait le travail dans ces conventions et avec ces notations. Assurez-vous que vous savez déterminer ces forces par vous-même, et au besoin reportez-vous au paragraphe 1.1.2 ! Ondes et Vibrations — Chapitre I 19 3.1.2 Oscillateur électrique Considérons à présent le circuit électrique représenté sur la figure I.9. Les lois de Kirchhoff 22 donnent uR + uL + uC = 0, et compte tenu des conventions d’orientation indiquées, les relations courant-tension aux bornes des trois bipôles sont : uR = Ri, uL = Ldi/dt et i = CduC /dt. Figure I.9 – Circuit RLC série en régime libre. À t = 0, on bascule l’interrupteur en position fermée. On en déduit aisément 23 que la tension uC vérifie de nouveau une ED d’ordre 2 dont le second membre est nul : d2 uC duC LC + ¸˚˙˝ RC + uC = 0, (I.11) ¸˚˙˝ dt2 dt 1/Ê02 1/QÊ0 L’équation ayant été mise sous la forme canonique I.4, on identifieÛ facilement ses deux paramètres : ici, la 1 1 L pulsation propre Ê0 est Ô et le facteur de qualité Q est. Je vous laisse vérifier par vous-même LC R C que le courant i et les tensions uR et uL obéissent aussi à cette même équation. 3.1.3 Oscillateur acoustique Étudions à présent un troisième montage, schématisé sur la figure I.10, et suivons la même démarche logique. Un piston de masse M peut coulisser dans un tube cylindrique de section S, emprisonnant dans une petite chambre une certaine quantité d’air, à la pression Pint , comme le ferait une seringue hermétique. À l’extérieur de la chambre fermée hermétiquement par le piston, la pression atmosphérique P0 est la même en tout point et en tout temps 24. Examinons les forces s’exerçant sur le piston. Il y a deux forces verticales qui se compensent (le poids et la réaction normale du support) et deux forces horizontales : la force de frottement F˛f , et la force de rappel 25 F˛r. Partons d’une situation d’équilibre établi : initialement (t = 0≠ ), il y a donc égalité des pressions intérieure et extérieure ; puis perturbons cet état d’équilibre, en cognant, tirant ou poussant le piston avant de le laisser évoluer librement. Figure I.10 – Tube de section S dans lequel coulisse un piston de masse M. Le piston est étanche : l’extérieur et l’intérieur ne communiquent pas. 22. Cf. section 1.1.1, ici seule la loi des mailles est nécessaire. 23. Combinez ces équations pour le démontrer ! 24. Rappelons que dimensionnellement, une pression est une force par unité de surface, et s’exprime en Pascals dans le Système International (1 Pa = 1 N/m2 ). 25. On l’a appelée ici force de rappel, comme s’il s’agissait d’un ressort, car la différence de pression joue un rôle similaire : elle tend à rappeler le piston vers sa position d’équilibre. 20 Ondes et Vibrations — Chapitre I x(t) est l’abscisse du piston au temps t, u(t) = x(t) ≠ x(0≠ ) désigne l’élongation de la chambre au temps t par rapport à la situation d’équilibre ; l’axe des abscisses (x) est ici orienté vers la droite, comme le vecteur unitaire ˛ex. Exprimons les deux forces horizontales en présence : - Force de rappel. Si Pint > P0 , l’air contenu dans la chambre pousse le piston : la force de rappel est dirigée selon +e˛x ; au contraire, lorsque Pint < P0 , la force de rappel est dirigée selon ≠e˛x. Compte tenu de l’orientation du vecteur ˛ex , on a donc F˛r = S ◊ (Pint ≠ P0 ) ˛ex. - Force de frottement. Le frottement du piston sur la paroi est caractérisé par la constante positive du –f ; la force de frottement est supposée proportionnelle à la vitesse du piston : F˛f = ≠–f e˛x. dt d˛v 2 d u L’accélération du piston est ˛a = = 2 ˛ex. dt dt Dans le cadre de ce modèle, le principe fondamental de la dynamique nous donne donc : F˛r + F˛f = M˛a ∆ S ◊ (Pint ≠ P0 ) ˛ex ≠ –f u̇˛ex = M ü˛ex ¸ ˚˙ ˝ forces appliquées au piston donc : S ◊ (Pint ≠ P0 ) = –f u̇ + M ü (I.12) Attention, contrairement aux apparences, le travail d’établissement de l’équation différentielle à laquelle obéit u n’est pas encore terminé. En effet P0 et S, de même que M et –f , sont des grandeurs constantes et indépendantes de u, mais pas Pint qui, comme u, est une inconnue dans l’équation (I.12). En effet on conçoit aisément que lorsque u varie, donc lorsque le piston se déplace, la pression intérieure Pint varie aussi ; mais comment ? en obéissant à quelle loi ? Pour établir une équation différentielle à laquelle obéit u, et dans laquelle u serait la seule inconnue, il nous manque cette information cruciale : comment la différence de pression Pint ≠ P0 est-elle liée à u ? Pour pouvoir l’exprimer, il nous faut rappeler (ou introduire) ce qu’est la compressibilité d’un fluide. 3.1.3.1 Compressibilité d’un fluide Pour introduire la notion de compressibilité, imaginons une se- ringue (de volume initial V0 ) contenant une quantité de fluide (gaz ou liquide) donnée, initialement à la pression P0. Comprimons ou dilatons ce fluide : son volume est à présent V = V0 + V , et sa pression P = P0 + P. P est appelée surpression ; la variation relative de volume est V /V0. Logiquement, si P > 0, V devrait être négatif et inversement ; toutefois la relation exacte entre pression P et volume V n’est pas forcément simple 26 , mais en première approximation, il est logique de supposer (et c’est vérifié par l’expérience) que si la variation relative de volume est suffisamment petite, alors V /V0 est proportionnelle et opposée à P 27 , ce qui se traduit mathématiquement par : V 1 V = ≠‰ P soit P =≠ (I.13) V0 ‰ V0 avec ‰ un coefficient positif, appelé compressibilité du fluide, ainsi définie : V 1 Variation relative de volume Compressibilité ‰ = ≠ =≠ (I.14) V0 P surpression La compressibilité ‰ a donc les dimensions de l’inverse d’une pression. On utilise aussi son inverse, 1/‰, qui est appelé incompressibilité pour des raisons évidentes : plus ‰ est faible, donc plus 1/‰ est élevé, plus le fluide « refuse »de changer de volume ; il faut exercer une surpression plus élevée pour obtenir une même variation relative de volume V /V0. Le tableau I.1 donne l’ordre de grandeur de 1/‰ pour certains milieux. 26. Si vous avez fait un peu de thermodynamique dans votre vie : pour un gaz parfait P = Const ◊ V ≠1 si le processus est isotherme, P = Const ◊ V ≠“ avec “ une constante s’il est adiabatique ; et s’il s’agit d’un gaz réel ou d’un liquide, la relation P (V ) peut être atrocement compliquée. 27. Cette relation de proportionnalité supposée entre la variation de pression et la variation de volume qui en résulte s’appelle loi de Hooke. C’est l’analogue du comportement d’un ressort idéal : l’allongement est proportionnel à la force de rappel. C’est bien sûr une idéalisation de la réalité. Ondes et Vibrations — Chapitre I 21 Air Eau Béton Acier Diamant 140 kPa 2,2 GPa ≥ 20 GPa ≥ 200 GPa ≥ 500 GPa Table I.1 – Incompressibilité adiabatique de certains milieux. La valeur donnée pour l’air est valable au voisinage de la pression atmosphérique. Exemple : L’incompressibilité de l’air est de 140 kPa : cela signifie qu’il faut exercer une surpression de 1400 Pa sur une seringue contenant de l’air (initialement à la pression atmosphérique, 105 Pa) pour faire diminuer son volume de 1%. Cela ne demande pas beaucoup d’effort : pour une seringue de section 1 cm2 , il faut appliquer une force de norme 0, 14 N ce qui peut se faire en la plaçant sous un objet de masse de 14 grammes. Piece of cake ! En revanche, pour obtenir la même variation relative de volume avec une seringue contenant de l’eau, il faudrait une masse supérieure à 200 kilogrammes. L’eau n’est donc pas incompressible ; elle est simplement environ 15000 fois moins compressible que l’air. Nous aurons l’occasion d’en reparler lorsque nous étudierons les ondes acoustiques. 3.1.3.2 Oscillations du piston Ayant défini la compressibilité de l’air ‰air , nous reprenons donc l’étude du piston (Fig. I.10). À tout instant, le volume de la chambre intérieure s’écrit V (t) = V0 + S ◊ u(t), la variation de ce volume par rapport à la situation initiale est donc V (t) = V (t) ≠ V0 = Su(t), et la variation de pression P (t) = Pint ≠ P0. D’après I.13, on a : 1 Su Pint (t) ≠ P0 = ≠ (I.15) ¸ ˚˙ ˝ ‰air V0 P ¸˚˙˝ V /V0 Cette relation est le lien qui nous manquait entre la pression Pint et le déplacement u ! En injectant I.15 dans l’équation I.12, on obtient alors l’équation différentielle à laquelle obéit le déplacement u du piston au cours du temps, et on la met aisément sous sa forme canonique : 1 S2u M V0 ‰air –f V0 ‰air ≠ = –f u̇ + M ü donc 2 ü + 2 u̇ + u = 0 (I.16) ‰air V0 ¸ S˚˙ ˝ ¸ S ˚˙ ˝ 1/Ê02 1/QÊ0 On y reconnaît encore une fois une équation différentielle d’ordre 2 dont le secondÔ membre est nul. On identifie facilement ses Û deux paramètres : la pulsation propre Ê0 égale à S/ M V0 ‰air , et le S M facteur de qualité Q égal à. –f V0 ‰air 3.2 Expression des solutions Les oscillateurs libres que nous venons d’étudier sont donc tous trois modélisés par la même équation différentielle d’ordre 2 (cf. I.10, I.11 et I.16) dont la forme canonique est : 1 d2 s 1 ds + +s=0 (I.17) Ê02 dt2 QÊ0 dt où nous rappelons que Ê0 est la pulsation propre et Q est le facteur de qualité. Souvenons-nous des rappels mathématiques du paragraphe 1.3.2 : le second membre de cette équation différentielle étant nul, la solution particulière ou contribution forcée sfor (t) est donc nulle aussi. La solution de l’ED se réduit alors à la contribution libre s(t) = slib (t) dont l’expression est plus compliquée que pour une ED d’ordre 1. Bien qu’au programme de L1, on rappelle sa résolution mathématique en annexe (§ 6.1). On retiendra que quatre cas se présentent selon la valeur du paramètre Q, et dans tous les cas on 22 Ondes et Vibrations — Chapitre I aura avantage, pour simplifier les expressions, à poser : Û- - - 1 -- = Ê 0 -1 ≠ - (I.18) 4Q2 - 3.2.1 Premier cas : Q < 1/2 Dans ce cas, la solution est : 3 4 Ë È Ê0 t slib (t) = exp ≠ ◊ Ae t + Be≠ t (I.19) 2Q A et B sont deux constantes réelles, dont les valeurs sont déterminées par les conditions initiales. L’équation I.19 est une combinaison linéaire de deux exponentielles décroissantes 28 : selon les signes de A et B elle peut éventuellement présenter un extrémum pour un certain temps text > 0 mais il n’y a pas d’oscillation dans cette réponse libre. Cette situation est appelée régime apériodique ou sous-critique (voir le cas représenté Fig. I.11, en bas à droite), il ne s’agit donc pas à proprement parler d’un oscillateur. 3.2.2 Deuxième cas : Q = 1/2 Cette situation particulière est appelée régime critique. Dans ce cas, la réponse libre est : 3 4 Ê0 t slib (t) = (A + Bt) ◊ exp ≠ (I.20) 2Q A et B sont deux constantes réelles, dont les valeurs sont déterminées par les conditions initiales. L’équation I.20 est le produit d’une fonction affine de t par une exponentielle strictement décroissante : à nouveau, selon les valeurs prises par A et B, elle peut éventuellement présenter un extrémum pour un certain temps text > 0, mais pour t æ Œ elle tend nécessairement vers 0, l’exponentielle l’emportant toujours sur une fonction linéaire (voir le cas représenté Fig. I.11, en bas à gauche). Et là encore, il n’y a pas d’oscillation dans cette réponse libre. 3.2.3 Troisième cas : 1/2 < Q < +Œ Le troisième cas, appelé régime pseudo-périodique, est physiquement le plus intéressant : c’est en effet dans cette situation que la réponse libre va manifester à la fois un comportement oscillant (présence d’une fonction sinusoïdale) et amorti 29 (présence d’une exponentielle décroissante). En effet la solution de notre équation différentielle sans second membre s’écrit alors : 3 4 Ê0 t slib (t) = A exp ≠ ◊ cos ( t + „) (I.21) 2Q ¸ ˚˙ ˝ ¸ ˚˙ ˝ oscillation amortissement A et „ sont deux constantes réelles dont les valeurs sont déterminées par les conditions initiales. On peut parfois trouver plus pratique une autre expression : 3 4 Ê0 t slib (t) = exp ≠ ◊ [B cos ( t) + C sin ( t)] (I.22) 2Q avec B et C deux autres constantes réelles. Ces deux formulations de la réponse libre sont équivalentes 30 , liées par B = A cos „ et C = ≠A sin „. 28. En effet e(≠Ê0 t/2Q≠ t) et e(≠Ê0 t/2Q+ t) tendent toutes les deux vers 0 pour t æ Œ, car Q < 1/2 donc < Ê0 /2Q. 29. En physique amorti est synonyme de s’atténuant, perdant de l’énergie au cours du temps. 30. Ne me croyez pas sur parole : vérifiez-le ! Ondes et Vibrations — Chapitre I 23 Ces expressions de slib (t) appellent plusieurs commentaires : - Contrairement aux deux cas précédents (régimes critique et sous-critique), l’équation I.21 (ou I.22) décrit bien une oscillation au cours du temps (présence d’une fonction sinusoïdale) 31. est alors appelée pseudo-pulsation (et TP = 2ﬁ/ pseudo-période) des oscillations, et peut donc se calcu- ler facilement grâce à (I.18) à partir des deux seuls coefficients indépendants caractérisant l’oscillateur : Ê0 et Q. - On pourra légitimement 32 faire l’approximation ¥ Ê0 si Q > 3 ; cette simplification sera souvent très appréciable. - La contribution libre slib (t) n’est pas parfaitement périodique, car l’amplitude de ses extrema successifs diminue progressivement au cours du temps à cause de l’exponentielle décroissante (I.21 ou I.22) : c’est pourquoi on parle d’oscillations pseudo-périodiques (voir les cas représentés sur les trois premières lignes de la fig. I.11). - · = 2Q/Ê0 est le temps caractéristique de décroissance de cette exponentielle. En physique, la phrase « cette exponentielle a un temps caractéristique de 10 secondes » signifie que la fonction étudiée est Cste ◊ e±t/10 (avec t en secondes) : ainsi en dix secondes, sa valeur est divisée (ou multipliée, s’il s’agit d’une exponentielle croissante) par exp(1) ¥ 2,7. Dans le cas d’une exponentielle décroissante, au bout de cinq ou dix fois le temps caractéristique il ne reste plus grand chose de la valeur initiale car exp(≠5) ¥ 1/150, et exp(≠10) ¥ 4, 5 ◊ 10≠5. Dans le cas où Q > 1/2, l’expression de la contribution libre slib (t) fait apparaître deux para- mètres temporels pertinents : d’une part TP = 2ﬁ/ la pseudo-période des oscillations, d’autre part · = 2Q/Ê0 le temps caractéristique d’amortissement (= d’atténuation, de diminution) de l’amplitude des oscillations. 3.2.4 Quatrième cas : Q æ +Œ Dans ce dernier cas, nous avons 1/Q æ 0 : le terme en dérivée première dans l’équation I.17 disparaît, elle devient alors : 1 d2 s +s=0 (I.23) Ê02 dt2 La réponse libre est donc : slib (t) = A cos (Ê0 t + „) (I.24) Les deux constantes réelles à déterminer sont ici notées A et „. Physiquement, cette solution décrit un mouvement oscillant perpétuel, d’amplitude constante (tel est le cas d’un circuit LC, ou d’une porte battante sans frottement ; voir le cas représenté en haut à gauche de la figure I.11). On parle ici d’oscillateur harmonique. 31. Wait a second ! Cette affirmation n’est vraie que si le temps caractéristique de décroissance exponentielle n’est pas plus court que la période temporelle des oscillations des sinusoïdes : est-ce bien le cas ici ? 32. À moins de 1,5% près : vérifiez-le ! 24 Ondes et Vibrations — Chapitre I Figure I.11 – Graphes de la réponse libre en fonction du temps t pour différentes valeurs de Q où les conditions initiales sont ici slib (0) ”= 0 et ṡlib (0) = 0. Le temps t est exprimé en unité de T0 = 2ﬁ/Ê0 , et slib (t) est rapportée à sa valeur initiale, slib (0). En haut à gauche, cas non amorti (Q æ Œ) ; en bas à gauche, régime critique (Q = 1/2) ; en bas à droite, régime sous-critique (Q < 1/2) ; tous les autres cas correspondent à des régimes oscillants plus ou moins amortis (1/2 < Q < Œ). Ondes et Vibrations — Chapitre I 25 3.2.5 Signification physique de Ê0 et de Q Ê0 et Q ne dépendent que des paramètres physiques constitutifs de l’oscillateur : K, M et –f dans le cas mécanique étudié (cf. I.10) ; R, L et C dans le cas électrique étudié (cf. I.11) ; S, V0 , ‰air , M et –f dans le cas acoustique étudié (cf. I.16). Ê0 et Q, et en conséquence (cf. I.18), sont donc des paramètres intrinsèques de l’oscillateur et ne dépendent pas des conditions expérimentales. L’analyse précédente des solutions générales nous indique leurs significations physiques : - La pulsation propre Ê0 est la pulsation à laquelle oscillerait le système s’il n’y avait pas d’amortis- sement (cf. I.24). - La pseudo-pulsation est la pulsation d’oscillation du système en régime pseudo-périodique ou oscillant (cf. I.21). - Le facteur de qualité Q décrit le degré d’amortissement de l’oscillateur : celui-ci oscille d’autant plus que Q est élevé. 3.2.6 Solutions à nos situations physiques La connaissance des valeurs numériques des paramètres physiques des oscillateurs examinés précédem- ment (K, M et –f ; ou R, L et C ; ou S, V0 , ‰air , M et –f ) nous permet de calculer la valeur numérique de Q et donc de choisir l’expression de la réponse libre pertinente parmi I.19, I.20, I.21 et I.24 selon que Q est plus petit, égal ou plus grand que 1/2. Enfin, pour déterminer complètement l’expression de la solution slib (t) (c’est-à-dire la position xA (t) = ¸0 + uA (t) pour l’oscillateur mécanique ; la tension uC (t) pour l’oscillateur électrique ; la position x(t) = x(0) + u(t) pour l’oscillateur acoustique), il nous faut prendre en compte les conditions initiales, c’est-à- dire la valeur de slib (0) et de sa dérivée ṡlib (0). On en déduit alors les valeurs des deux constantes pertinentes (celles qui sont notées A et B dans le cas Q 6 1/2 cf. éq. I.19 ou I.20, ou A et „ dans les cas Q > 1/2 cf. éq. I.21 ou I.24). Vous aurez l’occasion de le faire en TD. Sur la figure I.11, les conditions initiales considérées sont slib (0) ”= 0 et ṡlib (0) = 0. Dans le cas méca- nique, ceci correspond à la situation d’une masse écartée de sa position d’équilibre d’une distance slib (0) puis relâchée sans vitesse initiale ; d’un point de vue énergétique, cela correspond à un apport initial d’énergie potentielle élastique (on déforme le ressort) sans apport d’énergie cinétique (la vitesse initiale de la masse est nulle). Même chose dans le cas acoustique avec le piston plutôt que la masse. Dans le cas électrique, ceci correspond à la situation d’un condensateur initialement chargé sous la tension slib (0) 33, 34 ; c’est-à-dire avec apport initial d’énergie électrostatique sans apport d’énergie magnétique. Nous aurions pu faire des choix différents pour ces conditions initiales : par exemple, en mettant en mou- vement la masse ou le piston par un apport d’énergie cinétique (en lui donnant un choc instantané, sans l’écarter de sa position d’équilibre), en apportant initialement au circuit RLC de l’énergie sous forme magné- tique (en faisant circuler un courant dans la bobine) ; ou encore en apportant les deux types d’énergie à la fois (cinétique+potentielle, électrostatique+magnétique). Ces choix viendraient modifier les représentations graphiques de la figure I.11 : comment ? 33. Pourquoi a-t-on u̇C (0) = 0 ? 34. Attention : bien évidemment slib (t), et donc slib (0), n’ont pas les mêmes dimensions pour les différents oscillateurs ! Il s’agit d’une distance pour les oscillateurs mécanique et acoustique, et une tension pour l’oscillateur électrique. 26 Ondes et Vibrations — Chapitre I 3.3 Aspects énergétiques 3.3.1 Oscillateur mécanique : bilan d’énergie Examinons de nouveau notre archétype d’oscillateur mécanique (figure I.8) en utilisant le prisme de l’énergie, concept universel en physique. À tout instant, l’énergie mécanique totale EM se décompose en deux contributions : 1 - l’énergie dite cinétique de l’objet massif, EC (t) = M u̇2A (t), utilisée pour le mouvement ; 2 - l’énergie EP dite potentielle élastique du ressort, c’est-à-dire celle qui à un instant donné est « sto- ckée » dans le ressort, autrement dit potentiellement utilisable, susceptible d’être libérée par la détente (ou le retour) du ressort. La force de rappel exercée par le ressort sur la masse (F˛r = ≠KuA˛ex ) est ≠≠æ 1 telle que F˛r = ≠gradEP = ≠dEP /duA˛ex , d’où EP (t) = Ku2A (t)+constante. L’énergie potentielle est 2 toujours définie à une constante arbitraire près. Prenons comme référence (EP (tú ) = 0) la situation où le ressort passe par la position d’équilibre (uA (tú ) = 0), ce qui amène à choisir la constante nulle. 1 On a donc EP (t) = Ku2A (t). 2 À t = 0, le système dispose d’une certaine quantité d’énergie mécanique EM (t = 0) sous forme cinétique (si u̇(0) ”= 0) ou potentielle (si u(0) ”= 0) ou les deux : 1 1 1 1 EC (0) = M u̇2A (0), EP (0) = Ku2A (0) et EM (0) = M u̇2A (0) + Ku2A (0) 2 2 2 2 1 Que devient ensuite cette énergie ? À tout instant t > 0, elle vaut EM (t) = EC (t) + EP (t) = M u̇2A (t) + 2 1 2 KuA (t). L’expression de uA et u̇A pouvant être assez lourde (Eqs. I.19, I.20, I.21 ou I.24 selon la valeur de 2 Q), nous n’allons pas écrire ici l’expression exacte de EM (t). On peut toutefois, sans calculs lourds, déter- miner le sens de variation de l’énergie mécanique : va-t-elle rester constante au cours du mouvement, diminuer, augmenter ? Pour le savoir, évaluons sa dérivée temporelle 35 : 1 2 1 2 dEM d 12 M u̇2A d 12 Ku2A = + = M u̇A üA + KuA u̇A = u̇A [M üA + KuA ]. (I.25) dt dt dt Or d’après l’équation différentielle de notre oscillateur (Eq. I.9), on doit avoir M üA + KuA = ≠–f u̇A , ’t > 0. (I.26) Il résulte de l’équation I.25 que dEM = ≠–f u̇A u̇A = ≠–f (u̇A )2 , ?

Ondes et Vibrations Licence 2 Physique PDF 2024-2025

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