Tekniikan matematiikka 1 PDF

Tekniikan matematiikka 1 2 Markku Kuosa [email protected] Pistetulo, determinantti ja ristitulo Vektori, skalaari pistetulo ja ristitulo Vektori Vektori on käsite, jolla on sen suur...

Tekniikan matematiikka 1 2 Markku Kuosa [email protected] Pistetulo, determinantti ja ristitulo Vektori, skalaari pistetulo ja ristitulo Vektori Vektori on käsite, jolla on sen suuruus (koko tai pituus) ja suunta. Esimerkiksi, liikkuvalla esineellä on nopeus ja suunta, joita voidaan kuvata vektorin avulla. Geometrisesti tällaisia vektoreita kuvataa nuolien avulla. Esimerkiksi, vektori on nuoli. jonka alkupää on kohdassa A and loppupää kohdassa B. Piirretyissä kuvissa vektorit usein esitetään yhdellä kirjaimella (lihavoituna). v Vektori 𝒗 = 𝐴𝐵 Yksikkövektori Yksikkövektorit kaksidimensioisessa avaruudessa ovat  vektori i origosta pisteeseen (1,0) (x-akselin suunnassa)  vektori j origosta pisteeseen (0,1) (y-akselin suunnassa) joten, i :llä on komponentit 1 and 0, ja j:llä on komponentit 0 and 1. Näitä vektoreita kutsutaan tason yksikkövektoreiksi. Vektorilla r origosta pisteeseen (x,y) on komponentit x ja y, ja se voidaan esittää muodossa r = r(x,y)= xi + yj Kuva Yksikkövektorit ja niiden lineaarikombinaatiovektori r.  y y B(p,q) 𝑞−𝑏 u+v v 𝑝−𝑎 u A(a,b) x 𝐴𝐵 = 𝑝 − 𝑎, 𝑞 − 𝑏 x = 𝑝−𝑎 𝑖+ 𝑞−𝑏 𝑗 Jos vektori on u = 𝑢 𝒊 + 𝑢 𝒋 On sen pituus 2D avaruudessa │ u│ = 𝑢 + 𝑢 → 𝒊 𝒋 yksikkövektori suunnassa 𝑢 on =  Vektorien summat ja ja niiden skalaaritulot voidaan helposti esittää komponenttien termeillä. Jos u = u1i + u2j ja v = v1i + v2j ja jos t on skalaari (t.s. reaaliluku), niin u + v = (u1 + v1)i + (u2 + v2)j ja tu = t(u1i + u2j) = (tu1)i + (tu2)j Esimerkki Kaksidimensioisessa avaruudessa on pisteet A = (2,-1), B = (-1, 3) and C = (0,1). Esitä seuraavat vektorit yksikkövektoreiden lineaarikombinaatioina. a) 𝐴𝐵, b) 𝐵𝐶, c) 𝐴𝐶, d) 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶, e) 2𝐴𝐶 − 3𝐶𝐵 f) yksikkövektori suunnassa 𝐴𝐵. Kun on pisteet A(a,b) ja B(p,q) a) 𝐴𝐵 = (-1 – 2)i + (3 – (-1))j = -3i + 4j 𝐴𝐵 = 𝑝 − 𝑎, 𝑞 − 𝑏 b) 𝐵𝐶= (0 –(-1)i + (1 – 3)j = i – 2j = 𝑝−𝑎 𝑖+ 𝑞−𝑏 𝑗 c) 𝐴𝐶= (0 – 2)i + (1 – (-1))j = -2i + 2j d) 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = (-3 + 1)I + (4 + (-2))j = -2i + 2j = 𝐴𝐶 e) 2𝐴𝐶 − 3𝐶𝐵= 2(-2i + 2j) – 3(-i + 2j) = -i - 2j 𝐢 𝐣 𝐢 𝐣 f) yksikkövektori suunnassa 𝐴𝐵 on = = = (-3i + 4j)= - i + j ( ) ( )  a) 𝐴𝐵 = (-1 – 2)i + (3 – (-1))j = -3i + 4j x y b) 𝐵𝐶 = (0 –(-1)i + (1 – 3)j = i – 2j A 2 -1 c) 𝐴𝐶 = (0 – 2)i + (1 – (-1))j = -2i + 2j B -1 3 d) 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = (-3 + 1)i + (4 + (-2))j = -2i + 2j = 𝐴𝐶 C 0 1 e) 2𝐴𝐶 −3𝐶𝐵 = 2(-2i + 2j) – 3(-i + 2j) = -4i + 4j +3i-6j = -i - 2j 𝐢 𝐣 𝐢 𝐣 f) yksikkövektori suunnassa 𝐴𝐵 on = = = (-3i + 4j)= - i + j ( ) ( ) y 4 A = (2,-1), B = (-1, 3) ja C = (0,1). B=(-1, 3) 3 2 4j C=(0, 1) 1 0 -2 -1 0 1 2 3 -1 A=(2, -1) -3i -2 Vektorit 3d-avaruudessa Jokainen vektori 3-d avaruudessa voidaan kirjoitaa yksikkövektorien lineaarikombinaationa. Esimerkiksi paikkavektori pisteelle (x,y,z) annetaan muodossa r=xi + yj + zk 𝑃 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑃 (0,0,0) Kuva r:llä on komponentit x, y and z.  Jos vektori on u = 𝑢 𝒊 + 𝑢 𝒋 + 𝑢 𝒌 On sen pituus 3D avaruudessa │u│ = 𝑢 + 𝑢 +𝑢 Jos P1 = (x1, y1, z1) ja P2 = (x2, y2, z2) ovat kaksi pistettä 3d avaruudessa, niin vektorilla joka on muodostettu pisteistä P1 and P2 on komponentit x2 – x1, y2 – y1 and z2 – z1 ja esitetään yksikkövektorien termeillä v= = (x2 – x1)i + , (y2 – y1)j + (z2 – z1)k Esimerkki jos u = 2i + j - 2k and v = 3i – 2j – k, laske u + v, u – v, 3u – 2v, │u│, │v│, sekä yksikkövektori 𝒖 suunnassa u. Ratkaisu u + v = (2 + 3)i + (1 – 2)j + (-2 – 1)k = 5i -j -3k u – v = (2 – 3)i + (1 –(-2)j + (-2 –(-1))k = (2 – 3)i + (1 + 2)j + (-2 + 1))k = -i + 3j - k 3u – 2v = 3(2i + j - 2k) – 2(3i – 2j – k) = (6 – 6)i + (3 + 4)j + (-6 + 2)k = 7j - 4k │u│ = (2) +(1) +(−2) = 4 + 1 + 4 = 3 │v│ = (3) + (−2) +(−1) = 9 + 4 + 1 = 14 𝟏 𝒖= u =𝟑(2i + j - 2k) = i + j + k │𝐮│ Pistetulo Jos on annettuna vektorit u = u1i + u2j + u3k and v = v1i + v2j + v3k. Niiden pistetulo on u v = u1v1 + u2v2 + u3v3 Pistetulolla on seuraavat algebralliset ominaisuudet (jotka voidaan helposti tarkistaa). u v=v u u (v + w) = u v + u w (tu) v = v (tu) = t(u v) (reaaliluvulle t) u u = │u│2 jos θ on kulma suuntien u and v välillä (0 ≤ θ ≤ ᴨ), niin u θ u v = │u││v│ cos θ v u v = 0, jos ja vain jos u ja v ovat kohtisuorat. Esimerkki Laske vektorien u = 2i + j -2k and v = 3i - 2j - k välinen kulma. Ratkaisu: Lasketaan kulma θ yhtälöllä u v = │u││v│ cos θ 𝐮 𝐯 ( )( ) θ = cos -1 = cos -1 = │𝐮││𝐯│ ( ) ( ) cos -1 = ≈ 57.69˚  Skalaari- ja vektoriprojektio Vektorin u skalaariprjojektio s vektorin v suunnassa on u:n pistetulo v suuntaisen yksikkövektorin kanssa. Joten se on numeroarvo eli sakalaari jossa on u:n ja v:n välinen kulma. 𝐮 u:n vektoriprojektio uv vektorin v suunnassa on yksikkövektorin 𝜃 skalaarimoninkerta v:n suunnassa, eli eli skalaariprojektio 𝒗 𝒖𝒗 kerrottuna :llä eli Vektoriprojektio vektorille u pitkin vektoria v on 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝒗 𝒗 𝒗 │𝒗│ 𝒗 𝟐 Esimerkki 3i + j = u+v, kun u on samansuuntainen vektorin i+j kanssa ja v poikittaisuuntainen u:n kanssa. Kirjoita u ja v käyttäen i ja j yksikkövektoreita. Ratkaisu:(käytetään vektoriprojektiota) Huomaa että u:n täytyy olla 3i + j :n 𝒖 𝒗 vektoriprojektio i+j suunnassa, joten 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝒖𝒗 = 𝒗= 𝒗 𝒗= 𝒗 𝟐 𝒗 𝒗 │𝒗│ Toinen tapa: Koska u on samansuuntainen kuin i+j ja v on poikittaissuuntainen u:n suhteen, saadaan u = t(i+j) ja v (i+j) = 0 Halutaan että u+v = 3i+j. Otetaan pistetulo tälle yhtälölle i+j:n kanssa: u (i+j)+v (i+j) = (3i+j) (i+j) t(i+j) (i+j) + 0 = 4 joten 2t = 4, eli t = 2 joten U = 2i+2j ja v = 3i+j-u = i - j  y u 𝒗 i+j 3i + j x z  Ristitulo 3d-avaruudessa Matematiikassa ristitulo tai vektoritulo on kahden vektorin operaatio 3 dimensioisessa avaruudessa(R3). Se esitetään merkinnällä ×. Kahdelle annetulle vektorille u and v, ristitulo, u × v ( “u risti v”), on vektori, joka on kohtisuora kummankin vektorin suhteen, eli kohtisuora näiden muodostamaan tasoon nähden. Sillä on monia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa, insinööritieteissä ja ohjelmoinnissa Kuva u × v on kohtisuora vektoreihin u ja v nähden ja sillä on yhtä suuri pituus kuin on pinta-ala │ u × v │.  Kaikille vektoreille u and v, R2:ssa, ristitulo on vektori, jolle ovat seuraavat riippuvuudet voimassa: (i) (u × v) u = 0 ja (u × v) v = 0. (ii) │ u × v │ = │u││v│ sin θ, jossa θ on kulma välillä u ja v. (iii) u, v ja u × v muodostavat oikean käden säännön. Oikean käden sääntö esittää vektoreita A, B and A × B.  Ristitulon komponentit jos u = u1i + u2j + u3k ja v = v1i + v2j + v3k, niin u × v = (u2v3 – u3v2)i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2 – u2v1)k Etusormi i keskisormi j Esimerkki Lasketaan ristitulot ja peukalo k eli k=i x j a) i×i=0 i × j = k j × i = -k k j×j=0 j × k = i k × j = -i j k×k=0 k × i = j i × k = -j i b) u × v = (2i + j – 3k) × ( -2j + 5k) = (1)(5) – (-3)(-2))i + ((-3)(0) – (2)(5))j + ( (2)(-2) – (1)(0))k = (5-6)i +(0-10)j + (-4-0)k =-i -10j - 4k Etusormi ensimmäisen vektorin Ruuvi ensimmäisen vektorin positiiviseen suuntaan. - Merkki positiiviseen suuntaan (etusormi × tarkoittaa että ruuvataan auki päin. keskisormi) Ristitulon ominaisuudet Jos u and v ovat vektoreita R2 :ssa, ja t on reaaliluku (skalaari), niin 1) u × u = 0 2) u × v = - v × u 3) (u + v) × w = u × w + v × w 4) u × (v + w) = u × v + u × w 5) (tu) × v = u × (tv) = t(u × v) 6) u (u × v) = v (u × v) Determinantit Determinanteilla voidaan yksinkertaistaa sellaisten kaavojen laskentaa, joita on hankala muistaa. Nyt käsitellään 2 ja 3 determinantteja. Yleisiä n determinantteja käsitellään myöhemmin kurssilla. Determinatti on esitys jonka alkiot(elementit) ovat neliömatriisin osia. 2 matriisi on Sen arvo on ad – bc : = ad – bc Tämä on alaspäin diagonaalin jonon tulo miinus (-) ylöspäin diagonaalin jonon tulo. = (1)(4) – (2)(3) = -2  3 3 determinantti määritellään matriisilla Huomaa että determinantin laskennassa auttaa se että siirretään kaksi vasemmanpuoleista saraketta determinantin oikealle puolelle. Tästä saadaan diagonaalisten elementtien tulot: tulot alaspäin miinus tulot ylöspäin. Jos otetaan tekijöiksi determinantin ensimmäinen rivi saadaan 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑑 𝑒 𝑑 𝑒 𝑓 = a ei − fh − b di − fg + c dh − eg = a 𝑒 𝑓 −𝑏 +𝑐 ℎ 𝑖 𝑔 𝑖 𝑔 ℎ 𝑔 ℎ 𝑖 2 alideterminantit (3 determinantin alideterminantit) saadaan poistamalla rivi ja sarake joka sisältää vastaavan alkion 3 determinantissa. Tätä voi kutsua 3 determinantin laajentamiseksi alideterminanteiksi ensimmäisen rivin suhteen. Tämän voi tehdä minkä tahansa rivin tai sarakkeen suhteen. Huomaa että miinusmerkki tulee niihin termeihin jonka alideterminantti on saatu poistamalla i:s rivi ja j:s sarake, jossa i + j on pariton luku. Esimerkiksi edellinen determinantti voidaan laskea seuraavasti: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 = −𝑏 +𝑒 𝑔 𝑖 − ℎ 𝑑 𝑓 = −bdi + bfg + eai − ecg − haf + hcd 𝑔 𝑖 𝑔 ℎ 𝑖 Tulos on tietysti sama kuin edellä.  Esimerkki Laske seuraaavan determinantin arvo =3 +1 = 3((4)(-3) – (2)(-2)) + 1((1)(-3)-(2)(-2)) =3(-8) + 1(1) = -23 Tässä laajennus tehtiin toisen rivin suhteen. Kolmas sarake olisi ollut myös hyvä vaihtoehto. Mitä tahansa riviä tai saraketta voidaan pitää vektrorin komponentteina. Tällöin determinantti on kyseisen vektorin lineaari funktio. Esimerkiksi a b c a b c a b c d e f =s d e f +t d e f sx + tl sy + tm sz + tn x y z l m n koska determinantti on sen kolmannen rivin lineaari funktio. Tämä ja muut ominaisuudet seuraavat suoraan määritelmästä. Seuraavassa on koottuna muutamia ominaisuuksia. Nämä on esitetty 3 matriiseilla, mutta samat ominaisuudet pätevät muunkin kokoisiin matriiseihin. (i) Jos matriisin kahden rivin paikkaa vaihdetaan niin determinantin merkki vaihtuu: d e f a b c a b c =− d e f g h i g h i (ii) Jos matriisin kaksi riviä ovat samat niin matriisin arvo on nolla: a b c a b c =0 g h i (iii) Jos yhden rivin monikerta lisätään toiseen riviin, niin determinantin arvo ei muutu: a b c a b c d + ta e + tb f + tc = d e f g h i g h i Ristitulo determinanttina Determinantin rivien ja sarakkeiden alkiot ovat yleensä numeroita, ja niillä täytyy kertoa että determinantin arvo saadaan laskettua. On myös mahdollista käyttää vektoreita determinantin rivin tai sarakkeen alkioina. Kun laajennetaan alideterminanteiksi kyseisen rivin tai sarakkeen suhteen , niin kunkin vektorin alkiota vastaava alideterminantti on luku joka määrittelee skalaarikertoimen vektorille. Ristitulo vektoreille u = u1i + u2j + u3k ja v = v1i + v2j + v3k joka aiemmin esitettiin yhtälönä voidaan esittää symbolisesti determinanttina jossa yksikkövektorit muodostavat ensimmäisen rivin: 𝒊 𝒋 𝒌 𝒖 𝒖𝟑 𝒖𝟏 𝒖𝟑 𝒖𝟏 𝒖𝟐 u × v = 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 = 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒊 − 𝒗𝟏 𝒗𝟑 𝒋 + 𝒗𝟏 𝒗𝟐 k 𝟐 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 Esimerkki: Laske kolmion pinta-ala jonka kärjet ovat pisteissä A = (1, 1, 0) , B = (3, 0, 2) ja C = (0, - 1, 1). Ratkaisu: Kolmion kaksi sivua saadaan (ks. aikaisemmasta = = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k) (3-1)i+(0-1)j+(2-0)k = 2i – j + 2k (0-1)i+(-1- 1)j+(1-0)k = -i – 2j + k Kolmion pinta-ala on puolikas n ja :n muodostaman suunnikkaan alasta. Kolmion pinta-ala on siten = │= k│ = │= C = (0, -1, 1). = 𝐴𝐶 A = (1, 1, 0) 𝐴𝐵 B = (3, 0, 2) Esimerkki: Suunnikassärmiö on kolmidimensioinen analogia suunnikkaasta. Siinä on kolme paria samansuuntaisia sivuja. Laske suunnikassärmiön tilavuus joka muodostuu kuvan mukaisesti u, v ja w vektoreista. Ratkaisu: Suunnikasärmiön tilavuus saadaan suunnikassivun pinta-ala v kerrottuna suunnikassärmiön sivujen välisellä etäisyydellä h. Suunnikassivun pinta-ala on. Koska on h kohtisuora suunnikassivuun nähden niin u 𝒘 suunnikassärmiön korkeus on u:n 𝜃 skalaariprojektio pitkin :tä. Jos v on kulma u:n ja :n välillä, niin tilavuus saadaan yhtälöstä V= = (h = ) Suuretta u ( ) sanotaan u:n , v:n ja w:n skalaarikolmituloksi. Skalaarikolmitulo voidaan helposti esittää determinanteilla. Jos u = + + ,v= + + ja w = + + , niin u ( )= - + = Suunnikassärmiön tilavuus on tämän determinantin itseisarvo. Käyttämällä determinantin ominaisuuksia voidaan helposti todeta että u ( ) = (w )= w (u ) Huomaa että nämä vektorit u, v ja w ovat samassa syklisessä järjestyksessä. Järjestyksen muuttaminen tuo kertoimen -1. u ( )= (w ) Vektorit u, v ja w ovat samassa tasossa jos suunnikassärmiön tilavuus on nolla, u, v ja w ovat samassa tasossa u ( )=0 =0 Kolme vektoria on samassa tasossa jos yksikin niistä on nollavektori (0), tai jos kaksi niistä on samansuuntaisia. Jos nämä ehdot eivät toteudu ne ovat samassa tasossa niin mikä tahansa niistä voidaan esittää kahden muun lineaarikombinaationa. Ristitulon sovelluksia Ristitulolla on tärkeitä sovelluksia mekaniikassa ja elektromagneettisessa teoriassa, sekä yleensä liikeen laskennassa. Esimerkkejä: Partikkelin lineaarinen nopeus joka on kohdassa r pyörivässä kappaleessa kulmanopeudella 𝜴 origon ympäri voidaan lskea yhtälöstä v = 𝜴 × 𝒓 Planeetan pyörimismäärä eli kiertoliikemäärä eli kulmaliikemäärä eli liikemäärämomentti eli impulssimomentti (tunnus L) on pyörimisliikettä kuvaava suure. Tämä voidaan laskea yhtälöstä L = r × 𝑚 𝒗. r on paikkavektori origosta (Aurinko). Jos partikkeli jonka sähkövaraus on q kulkee nopeudella v magneettikentän läpi jonka voimakkuus ja suunta annetaan vektorilla B, niin partikkeliin kohdistuva voima on F = q v× 𝑩. Elektrodisuihku tyhjiöpukessa noudattaa tätä periaatetta. Voiman F momentti T joka kohdistetaan pisteeseen P ja jolla on asemavektori r toisen pisteen 𝑃 suhteen jolla on asemavektori 𝒓 On määritelty T = 𝑃 P × 𝑭= (r - 𝒓 ) × 𝑭 Tämä momentti mittaa voiman F tehokkuutta aiheuttamaan pyörimisliike 𝑃 suhteen. T:n suunta on x-akselin suuntainen 𝑃 :n kautta jonka suhteen F vaikuttaa pyörittääkseen P:tä.  Voiman momentti T pisteen suhteen Kappale on kiinni nivelellä pisteessä 𝑃 𝑧 T= P = (r - r 𝑂 P 𝑦 𝑥 P Voiman momentti T pisteen 𝑃 suhteen kun voima 𝐹 kohdostuu pisteeseen P.  Esimerkki: Auton pyörän keskus on origossa ja sen akseli on y-akseli. Yksi pyörän kiinnitysmuttereista on positiossa. Työkaluna on taivutettu mutterin väännin, jonka on 25cm pitkä. Työkalun kulma mutterin akseliin ja kahvaan nähden on 60˚. Mutterin väännin on ylöspäin asennossa kuten Kuvassa. k 60˚ Jos vaakasuora voima F = 500 i N (Newtonia) kohdistetaan vääntimen kahvaan, niin paljonko on mutteriin kohdistuva momentti? Paljonko 25 cm momenttia kohdistuu pyörän kääntämiseksi vaakasuoran (y-) akselin sihteen? Mikä on tehollinen momentti joka yrittää pyörittää pyörää? 10 cm Ratkaisu: Nyt etäisyyden metreinä: Mutterin position(asema) on 𝒓𝟎 = 0.1 y k. Kahva on positiossa r = 0.25 cos 60˚ 𝒋 + (0.1+0.25 sin 60˚ ) k ≈ O 0.125 𝒋 + 0.3165𝒌 F:n momentti mutteriin on T = (r - 𝐫𝟎 )× 𝑭 ≈ (0.125𝒋 + 0.3165 k – 0.10 k) × 500 i = (0.125𝒋+ 0.2165 k) × 500 i Jos r - 𝐫𝟎 =u = 0i +0.125j + 0.2165k ja F=v = 500i + 0j + 0k T = (r - 𝐫𝟎 )× 𝑭 =u × v = ((0.2165) (500 ))j + ((0.125) (500)) k =108.25j – Kuva 62.50 k jos u = u1i + u2j + u3k ja v = v1i + v2j + v3k, niin u × v = (u2v3 – u3v2)i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2 – u2v1)k Ristitulo 𝒊 𝒋 𝒌 𝒖 𝒖𝟑 𝒖𝟏 𝒖𝟑 𝒖𝟏 𝒖𝟐 determinantin u × v = 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 = 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒊 − 𝒗𝟏 𝒗𝟑 𝒋 + 𝒗𝟏 𝒗𝟐 k 𝟐 avulla: 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 Jos u = 0i + 0.125j + 0.2165k ja v = 500i + 0j + 0k u v= k = (500) (0.2165) – (500) (0.125) k =108.25 – 62.50 k Vain vaakasuora komponentti momentista on tehollinen kääntämään mutteria joka on 108.25 Nm. Kun lasketaan tehollista momenttia joka kohdistuu itse pyörään täytyy 𝟎 vaihtaa 𝟎 = 0 :ksi. T = (r )× 𝑭 ≈ (0.125 𝒋 + 0.3165 k) × 500 i 𝒊 𝒋 𝒌 𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟓 𝟎 𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟓 𝟎 𝟎. 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎 𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟓 = 𝒊− 𝒋+ k 𝟎 𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟎 𝟎 = (500) (0.3165) - (500) (0.125) k = 158.25 - 62.50 k jonka pyörää pyörittävä komponentti (y-akseli) on 158.25 eli 158.25 Nm  Esimerkki Määritä voimien aiheuttama resultanttimomentti Kuvan pisteen O suhteen Momenttien summavektori (resultanttimomentti) on Kuva