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Construcción de polígonos regulares Saber cómo utilizar los diferentes instrumentos del juego de geometría (transportador, compás y regla) para construir polígonos regulares con...

Construcción de polígonos regulares Saber cómo utilizar los diferentes instrumentos del juego de geometría (transportador, compás y regla) para construir polígonos regulares con base en algunos datos proporcionados (número de lados y ángulos que tienen) es importante para conocer las relaciones que existen entre los elementos que conforman a estas figuras geométricas. 2DO_SEC_SPC.indb 14 11/04/24 22:14  15 Construcción de polígonos regulares a partir de las medidas de sus lados y ángulos Un polígono es una figura geométrica cerrada cuyos lados son segmentos rec- tos; los hay regulares e irregulares. Un polígono regular tiene todos los lados y ángulos iguales, como el triángulo equilátero, porque sus tres lados comparten la misma medida, y sus ángulos, la misma abertura. En cambio, un polígono irregular tiene uno o más lados o ángulos de diferente medida. La siguiente tabla muestra cuatro características que deben ser consideradas para elaborar polí- gonos regulares: Nombre Número de Número de Número de Medida de cada lados vértices ángulos ángulo interior Triángulo equilátero 3 3 3 60° Cuadrado 4 4 4 90° Pentágono regular 5 5 5 108° Hexágono regular 6 6 6 120° Eneágono regular 9 9 9 140° Dodecágono regular 12 12 12 150° Para construir un polígono regular, por ejemplo, que tenga cinco lados, hay que seguir los siguientes pasos: 1. Trazar una circunferencia de radio cualquiera con centro en el punto A. 2. Ubicar los vértices del polígono sobre la A circunferencia. Para ello, es necesario rea- lizar una división. En este caso, como es un pentágono regular (polígono de cinco lados de igual medida), se dividirá la am- plitud del mayor ángulo central de la cir- cunferencia, el cual mide 360°, entre 5, lo que da como resultado 72°. 2DO_SEC_SPC.indb 15 11/04/24 22:14  16 3. Trazar un radio de la circunferencia, es decir, un segmento que inicie desde el centro A hasta tocar un punto B de ésta. B A 4. Ubicar el transportador sobre el radio, medir 72° y poner una marca sobre la circunferencia. Llevar a cabo este paso hasta tener cinco marcas que correspon- den a los cinco vértices del pentágono (72°, 144°, 216°, 288° y 360°). 5. Unir las marcas que se acaban de trazar sobre la circunferencia de tal forma que el resultado sea un polígono regular denominado pentágo- no regular. B A A 6. Finalmente, usar el transportador para comprobar que cada ángulo interior mide 108º. Como puede observarse en la tabla de la página anterior, existe una relación entre las cuatro características de los polígonos enlistados: el número de lados, de vértices, y el número y medida de ángulos en cada figura. Estas características tienen correspondencia de valores. Además, cada polígono regular posee tantos ángulos interiores de igual medida como este valor. Para construir un polígono regular es recomendable apoyarse en una circunferencia para que el polígono quede inscrito en ella. Con la finalidad de facilitar el trazo, an- tes de iniciar es importante conocer sus características (número de lados y medida de sus ángulos). 2DO_SEC_SPC.indb 16 11/04/24 22:14  Representación algebraica de áreas Apoyarse en expresiones algebraicas para representar el área de cuadrados y rectángulos permite conocer las medidas de sus lados. Ello facilita resolver problemas que pueden representarse, por ejemplo, en una operación de compra o venta de un terreno. Estos tipos de situaciones se resuelven con ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 1 bx 1 c 5 0, donde las literales a, b, y c son cantidades conocidas y la incógnita x representa un valor arbitrario. 2DO_SEC_SPC.indb 17 11/04/24 22:14  18 Comprensión de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 Para usar la ecuación cuadrática es necesario conocer lo que representa cada símbolo que la conforma, así como las dife- rentes maneras en que puede escribirse. Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquélla que tiene el valor 2 como mayor exponente de la incógnita. En una ecuación de este tipo, el primer término es cuadrático, de la forma ax 2, por ejemplo. El segundo término de la ecuación es lineal y su exponente es 1; por ejemplo, bx es un término lineal. Al tercer término se le llama independiente, y es un valor numérico que se representa con la literal c. Lo anterior se une en una ecuación de la forma: a x 2 + bx + c = 0 Las literales a, b, y c pueden tomar cualquier valor de la recta numérica (números negativos, positivos o cero) y modificar la estructura de la ecuación de segundo grado. Por ejemplo, si c 5 0 y a y b toman cualquier otro valor diferente de cero, la ecuación sigue siendo cuadrática, pero con la forma ax 2 1 bx 5 0, es decir, es una ecuación de segundo grado, pero incompleta. Otro ejemplo es el siguiente: si b 5 0 y a y c toman cualquier otro valor diferente a cero, se obtiene otra ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 1 c 5 0. Recuerda: una ecuación es cuadrática cuando tiene al número 2 como mayor exponente de la incógnita x. Si el valor de a es 0, el término cuadrático ax 2 también lo será y la ecuación deja de ser cuadrática. Entonces, la expresión co- rresponde a una ecuación lineal de la forma bx 1 c 5 0. Para identificar si una ecuación es cuadrática, una vez simplifica- dos los términos comunes y ordenados de mayor a menor, el valor del exponente de la incógnita debe ser 2. 2DO_SEC_SPC.indb 18 11/04/24 22:14  19 Ejemplos de uso de la expresión ax 2 + bx + c para representar áreas de figuras geométricas Para determinar el área de un cuadrado o rectángulo, se debe multiplicar la base de la figura por su altura. En caso de desconocer las medidas de los lados, puede em- plearse una literal para representar el lado más corto y, en función de esta medida, representar el largo del otro lado. Así, en este caso el producto será una expresión algebraica de segundo grado. En la siguiente tabla se muestra la representación geométrica de un cuadrado y su ecuación para indicar el área (A). Cuadrado Área (A) A=x x=x2 El área se relaciona con las medidas desconocidas de los lados. Si se conoce x su área, es posible determinar la longitud de los lados. Si los lados de un cuadrado miden el doble de la longitud de x, el área aumenta. x 2x 2x El cuadrado verde cabe cuatro veces en el azul, es decir, el área del cuadrado azul es cuatro veces la del cuadrado verde. La ecuación que relaciona el área y las medidas de los lados se expresa como: A = 2x 2x = 4x 2 2DO_SEC_SPC.indb 19 11/04/24 22:14  20 Al incrementar la longitud de dos lados opuestos del cuadrado en una cantidad b, se obtiene un rectángulo. Es decir, al incre- mentar la base del cuadrado, su área también incrementa. Rectángulo Área (A) b A = x(x + b) = x 2 + bx A = x 2 + bx x El producto de la base por la altura relaciona las medidas de los lados con el área del rectángulo. Se logra relacionar la longitud (x) x+b y el incremento (b) con el área en una ecuación cuadrática. Con base en el aumento de las áreas, se presen- tan los siguientes cuadrados y rectángulos: Cuadrados y rectángulos Área (A) A = x2 x Al sumarse las longitudes x, x y 1, se establece el largo de la figura: 2x + 1 x El área total de la figura se calcula como: A = (2x + 1)(1) A = 2x + 1 También es posible determinar el área de cada figura, es decir, el área de cada rectángulo es: x x 1=x Por su parte, el área del cuadrado es 1. 1 Al sumar las áreas de los rectángulos y el cuadrado, se determina el área total de la 1 figura: A = 2x + 1 2DO_SEC_SPC.indb 20 11/04/24 22:14  21 Cuadrados y rectángulos Área (A) Al usar el cuadrado y los rectángulos previos, es posible presentar otro cuadrado y determinar el área total como la suma x de sus áreas. x2 x A = x 2 + 2x + 1 La suma de las áreas forma una ecuación 1 x 1 cuadrática que representa el área total de la figura presentada. x 1 En las tablas anteriores se mostró que el área de cuadrados y rectángulos puede representarse con una expresión cuadrática. Una expresión de la forma ax2 1 bx 1 c representa geométrica- mente el área de figuras planas, lo cual ocurre cuando la incógnita está asociada a la medida de alguno de los lados desconocidos. En ocasiones se conoce el área y se usa la ecuación para determinar el valor desconocido x. Se mostraron representaciones algebraicas de áreas en cuadrados y rectángulos. Ade- más, fue posible construir con los cuadrados y rectángulos una figura cuya expresión algebraica es de la forma: ax2 1 bx 1 c La expresión relaciona el área total de la figura construida con las medidas desconoci- das de sus lados. 2º_SECU-SPC-P-014-111.indd 21 11/04/24 23:37  Propiedades de los exponentes para la resolución de operaciones algebraicas Las leyes de los exponentes son propiedades importantes del álgebra que permiten resolver las operaciones de multiplicación y división de expresiones algebraicas de uno o más términos. Es importante reconocer los elementos de la potenciación y sus aplicaciones. 2DO_SEC_SPC.indb 22 11/04/24 22:14  23 Comprensión de las operaciones algebraicas mediante propiedades de los exponentes La potenciación se puede pensar como la abreviatura de una multi- plicación, es decir, es una simplificación de una multiplicación reite- rada, cuya base corresponde al factor que se multiplica por sí mismo las veces que indique el exponente. an 5 a × a × …×a5b n veces Los elementos de la potenciación son base, exponente y potencia, don- de a es la base, n el exponente y el resultado b se denomina potencia. Exponente Base an = b Potencia Después de multiplicar a consigo misma n veces, el resultado es b. Ejemplos: 2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32  3 4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 En la siguiente tabla se muestran las propiedades de los expo- nentes, la expresión que describe a cada una y algunos ejemplos. Propiedad Expresión Explicación Ejemplos Al multiplicar potencias con la Multiplicación misma base, el resultado es una y23y35y2+35y5 an3 am5an + m potencia que conserva la base. de potencias Su exponente es la suma de los 31 3 34 5 31 + 4 5 35 5 243 exponentes de las potencias. Al dividir potencias con la an 5an –m a 8 5 a 8  –  6 5 a 2 misma base, el resultado es una División am a6 potencia que conserva la base. de potencias Su exponente es la diferencia de Con a distinto de 75 5 75 – 3 5 72 5 49 los exponentes de la potencia del cero 73 numerador y del denominador. Al elevar una potencia a otra ( y n )m 5 yn 3 m Potencia de potencia, el resultado conserva la (a n) m 5 a n 3m una potencia base y el exponente es el producto ( 42 )3 5 42 3 3 5 46 de los exponentes. 5 4 096 a051 Toda potencia con exponente cero 90 5 1 Potencia con Con a distinto es igual a uno, siempre y cuando la exponente cero base sea diferente de cero. x0 5 1, con x Þ 0 de cero 2DO_SEC_SPC.indb 23 11/04/24 22:14  24 Propiedad Expresión Explicación Ejemplos La potencia de una multiplicación Potencias ( 235 ) 4 5 2 435 4 es igual a la multiplicación de las (a 3  b ) n 5 a n 3 bn 5 16 3 625 de producto potencias, es decir, se distribuye la 5 10 000 potencia sobre el producto. n n Potencias ( ab ) 5 ba n La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias, 2 4 4 5 2 5 16 de cocientes Con b distinto es decir, se distribuye la potencia ( )3 3 4 81 de cero sobre la división. La potencia negativa es igual Potencias con a – n 5 1n x –2 5 1 2 a al inverso multiplicativo de la x exponente Con a distinto cantidad. Su potencia cambia negativo 5 5 1 –1 de cero de signo. 5 Enseguida se muestran ejemplos para comprender con más deta- lle cómo se aplican las propiedades de las potencias. Ejemplo 1 Realizar la siguiente operación aplicando las propiedades de las potencias x 2(x + x 3). Obsérvese que se tiene un producto de dos factores: el pri- mero es x 2 y el segundo, x 1 x 3. Entonces se aplica la pro- piedad distributiva y la multiplicación de potencia: primero con x 2 y x, después x 2 con x 3: x 2 x + x 2 x 3 = x 2 + 1 + x 2 + 3 = x 3+ x 5 En este ejemplo se utilizó dos veces la multipli- cación de potencias. Ejemplo 2 Utilizar las propiedades de las potencias para resolver la siguiente expresión: y10  y5 y2 Para resolverla se aplicarán dos propiedades de las potencias: en el numerador se multiplicarán las potencias y después el resulta- do se dividirá entre el denominador. Se inicia por el numerador. y10y5 y10 + 5 y15 = = y2 y2 y2 2DO_SEC_SPC.indb 24 11/04/24 22:14  25 Ahora se aplica la división de potencias: y15 = y15 – 2 = y13 y2 Finalmente, se llega al resultado: y10 y5 = y13 y 2 Este proceso también se conoce como simplificación; con éste se reduce la operación algebraica a su mínima expresión. Ejemplo 3 Desarrollar el siguiente producto: x5(x2  y4)3 En este ejemplo se aplicarán dos propiedades de las poten- cias: el producto de potencias, donde el primer factor es x 5 y el segundo factor es (x2  y4)3, y la potencia de productos al último factor. Se comienza con la potencia de productos: x5 (x2  y4)3 = x5 (x2 × 3 y4 × 3) = x5(x6y12) Ahora se realiza el producto de potencias. En este caso es impor- tante notar que no todas las bases son iguales, de manera que sólo se aplica la propiedad en las expresiones con base x: x5(x6y12) = x5 + 6y12 = x11y12 En este ejemplo se evidencia que, para realizar de forma correcta las opera- ciones de potenciación, en primer lugar se debe identificar que la propiedad de los exponentes efectivamente se pueda aplicar. En segundo lugar, se debe trabajar la propiedad realizando de forma correcta las operaciones en los ex- ponentes. En tercer lugar, si es necesario, se debe simplificar la expresión y así se encontrará el resultado final. 2DO_SEC_SPC.indb 25 11/04/24 22:14  26 Ejemplo 4 Una bacteria se reproduce rápidamente. Cada segundo se duplica la cantidad de microorganismos existentes, es decir, después de un segundo ya se tendrán dos bacterias; habrá cuatro bacterias des- pués de dos segundos; después de tres segundos se tendrán ocho bacterias, y así sucesivamente (ver tabla). La expresión que permite determinar el número de bacterias según los segundos transcurridos t es 2t. Segundos Número de bacterias 0 20 5 1 1 21 5 2 2 22 5 4 Otra bacteria se reproduce atendiendo la expresión 3t; al mul- tiplicar las cantidades se utiliza la propiedad de potencias de productos para determinar la reproducción de ambas: 2t × 3t = (2 × 3)t = 6t Las leyes de los exponentes son esenciales para comprender y resolver las operaciones algebraicas e identificar cada propiedad de los exponentes. Saber cómo aplicarlas es esencial para resolver operaciones algebraicas. Las leyes de los exponentes son útiles para resolver operaciones algebraicas en pro- blemas de aplicación en distintos ámbitos de las ciencias, como la física, en la que se utilizan para expresar cantidades muy pequeñas o muy grandes; en computación, para crear algoritmos y el conteo binario; en biología, para estudiar el crecimiento exponencial de algunas bacterias y virus; en economía y finanzas, para hacer proyec- ciones de ganancias y pérdidas, así como estimar el comportamiento del mercado financiero. 2DO_SEC_SPC.indb 26 11/04/24 22:14  Desigualdades con expresiones algebraicas En algunas ocasiones, encontrar un rango de valores posibles de una situación es más conveniente que encontrar una solución individual. Por ejemplo, en una carretera la velocidad máxima permitida para transitar es de 80 km/h; es decir, para que un conductor evite ser multado debe ir en un rango de velocidad que sea menor o igual a 80 km/h. Las desigualdades de expresiones algebraicas se caracterizan por tener como solución un rango de valores. 2DO_SEC_SPC.indb 27 11/04/24 22:14  28 Comprensión de la desigualdad algebraica Para comparar dos cantidades se usa la relación de orden “mayor que”, “menor que” o “igual que”; por ejemplo, si a es un número mayor que otro número b, entonces se dice que a es mayor que b y se representa como a > b. A esta expre- sión se le llama desigualdad, la cual indica que una cantidad es mayor que la otra. Los símbolos para representar las desigualdades son los siguientes: Símbolos de desigualdad Mayor que. Mayor o igual que $ Menor que , Menor o igual que # Las expresiones algebraicas contienen al menos una variable o incógnita en sus componentes. Así, las expresiones 3x 2 2 ≥ 5 y 6x < 2x 1 4 son desigualdades algebraicas de una variable, tam- bién llamadas inecuaciones. El conjunto solución de una desigualdad algebraica es un con- junto de valores (o rango de valores) tal que si cada elemento de ese conjunto se sustituye en la variable de la expresión, resulta una desigualdad cierta. Por ejemplo, para la desigualdad algebraica 5 1 x < 7, el conjun- to solución lo conforman todos los valores tales que tienen que ser x, el punto donde inicia la gráfica será sin desigualdad. relleno, pues no pertenece a la desigualdad. Por el contra- rio, si es ≤ o ≥   , el punto es con relleno, pues pertenece a la desigualdad. 2º_SECU-SPC-P-014-111.indd 28 22/04/24 11:57  29 Ejemplos de resolución de desigualdades algebraicas Las desigualdades son distintas a las ecuaciones, pero el conocimiento de las últimas puede ayudar a comprender la resolución de desigualdades algebrai- cas. Por ello, es útil conocer las propiedades de las desigualdades que per- miten solucionar expresiones algebraicas de una variable. Variable Variable Al resolver una desigualdad algebraica, la meta es reescribirla en la forma: x>3 x b + c. Si a > b, entonces a − c > b − c. Esta propiedad se cumple para todas las repre- sentaciones de desigualdad. Propiedad de la multiplicación y la división. Cada lado de la desigualdad se puede multiplicar o dividir por el mismo número positivo sin cambiar el conjunto solución de la desigualdad. Si a < b y c es un número positivo, entonces ac < bc. Si a < b y c es un número positivo, entonces a < b. c c 2DO_SEC_SPC.indb 29 11/04/24 22:14  30 Pero si cada lado de la ecuación se multiplica o divide por un número negativo entonces el símbolo se invierte y cambia el conjunto solución. Si a > b y c es un número negativo, entonces ac < ab. Si a < b y c es un número negativo, entonces a > b. c c Esta propiedad se cumple para todas las re- presentaciones de desigualdad. A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo hallar el conjunto solución de desigualdades usando las propiedades mencionadas y enmarcadas en diferentes contextos. Ejemplo 1 Un estudiante debe tener por lo menos 95 puntos de 100 en cinco exámenes para obtener una calificación de 10. Los resultados del estudiante en cuatro exá- menes anteriores fueron 19.3, 17.3, 20 y 18.6. Hallar la calificación del último examen que permita obtener 10 de calificación. Para solucionar, primero se reescribe el problema en términos de una desigualdad. Se representa la calificación faltante como la variable x y se suma con las cuatro calificaciones anteriores. 19.3 1 17.3 1 20 1 18.6 1 x Como la suma de las calificaciones debe ser igual o mayor a 95, entonces se expresa: 75.2 1 x ≥ 95 Para solucionar la desigualdad se usa la propiedad de la resta, y en ambos lados de la desigualdad se resta 75.2: 75.2 2 75.2 1 x ≥ 95 2 75.2 Se simplifica: x ≥ 19.8 De esta manera el conjunto solución es x ≥ 19.8, es decir, el es- tudiante debe obtener un puntaje mayor o igual que 19.8 en el siguiente examen para obtener 10 de calificación. Ejemplo 2 Un bote tiene una capacidad máxima de 300 kg de carga. Su conductor decide transportar cajas de 13 kg. Hallar el número de cajas que puede transportar el conductor en el bote, si el con- ductor pesa 79 kg. 2DO_SEC_SPC.indb 30 11/04/24 22:14  31 Para solucionar el ejemplo, primero se reescribe el problema en términos de una desigualdad. La variable n representará la cantidad de cajas que se pueden transportar. Se multiplica el número de cajas por la masa correspon- diente a cada caja y se le suma la masa corporal del conductor. 13n 1 79 Como la cantidad anterior debe ser menor o igual que 300, entonces se escribe: 13n 1 79 ≤ 300 Para solucionar la desigualdad se usa la propiedad de la resta. En ambos lados de la desigualdad se resta 79 y se simplifica. 13n 1 79 2 79 ≤ 300 2 79 13n ≤ 221 El siguiente paso es usar la propiedad de la división, ambos lados de la desigualdad se dividen entre 13 y se simplifica: 13n ≤ 221 13 13 n ≤17 De esta manera, el conjunto solución es n ≤ 17, es decir, las cajas que se pueden transportar en el bote son 17 o menos, para evitar que el bote se hunda por superar la capacidad máxima de carga. Ejemplo 3 Se quiere construir un triángulo que tenga una base de 8 m y su altura esté limitada por la expresión (22 x 1 3), siempre y cuan- do su área sea menor a 36 m2. Encontrar las alturas que debe tener el triángulo. Para solucionar el ejemplo se reescribe el problema en términos de una des- bh igualdad, al emplear la expresión para calcular el área de un triángulo A 5. 2 Al sustituir los datos del problema, se obtiene: 8 (22x 1 3 ) < 36 2 2DO_SEC_SPC.indb 31 11/04/24 22:14  32 A continuación, se presentan los pasos para simplificar la desigualad, una vez realizada la multiplicación del numerador. 216x 24 1 < 36 2 2 28x 1 12 < 36 Para solucionar la desigualdad, primero se usa la propiedad de la resta: en ambos lados de la des- igualdad se resta 12 y se simplifica: 28x 1 12 2 12 < 36 2 12 28x < 24 El siguiente paso es usar la propiedad de la división y ambos lados de la desigualdad se dividen entre 28. Se va a dividir por un número negati- vo; por tanto, el símbolo de desigualdad debe invertirse: 28x 24 > 28 28 x > 23 El conjunto solución es x > 23, es decir, si se sustituye cualquier valor mayor que 23 en la expresión algebraica de la altura, la desigualdad que expresa el área del triángulo se cumple. Obsérvese que, para que este ejemplo tenga sentido, el valor de x debe estar entre 23 ≤ x ≤ 1, porque si se agrega un valor mayor que 1, por ejemplo 2, al sustituirlo en la expresión 28(2) 1 12 5 216 1 12 5 24, el resultado estaría expresando un área negativa, y en este caso esa área no tiene una interpretación física. Resolver una desigualdad algebraica con una sola variable implica hallar el conjunto de valores correspondientes a la variable. Para lograr esto se utilizan las propiedades de la suma, la resta, la multi- plicación y la división. Recuérdese que cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por cualquier número nega- tivo, el símbolo de desigualdad se invierte. Las desigualdades algebraicas de una variable modelan situaciones en las que la solu- ción es un conjunto de posibles valores que validan la desigualdad. Para dar solución a una desigualdad se aplican ciertas propiedades. Los ejemplos muestran cómo utili- zar las propiedades de la desigualdad para la resolución de desigualdades algebraicas de una variable. 2DO_SEC_SPC.indb 32 11/04/24 22:14  Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es de la forma: ax 1 by 5 c dx 1 ey 5 f donde a, b, c, d, e y f son valores conocidos llamados constantes, mientras que x y y son valores desconocidos llamados incógnitas. Para resolver este sistema se buscan los pares ordenados (x, y) tales que, al sustituirlos en ambas ecuaciones, se satisfagan simultáneamente. Para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, existen tres métodos de resolución: reducción, igualación y sustitución. 2DO_SEC_SPC.indb 33 11/04/24 22:14  34 Método de reducción para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Aplicar el método de reducción a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en multiplicar ambas ecuaciones de manera que, al su- marlas o restarlas, una de las incógnitas se elimine y resulte una ecuación con una sola incógnita sencilla de resolver. Enseguida se ejemplifica el método de reducción mediante una situación de compra. Ejemplo María y Laura se fueron de compras. María compró un par de pantalones de mezclilla y tres camisas con $2 300. Laura se com- pró tres pantalones de mezclilla y dos camisas con $2 450. Si ambas compraron los mismos pantalones de mezclilla y camisas, hallar el costo de cada pantalón de mezclilla y de cada camisa. Para saber el costo de cada pantalón de mezclilla y camisa, se plantea un sis- tema de ecuaciones de 2 3 2, es decir, dos ecuaciones con dos incógnitas. La primera incógnita, representada con la literal x, simbolizará el costo de cada pantalón de mezclilla, y la segunda, representada con y, el costo de cada cami- sa. Al modelar el sistema de ecuaciones de este problema, se tiene: 2x 1 3y 5 2 300 3x 1 2y 5 2 450 Ahora se busca el valor de las incógnitas que satisfacen el sistema anterior, como sigue: 2x 1 3y 5 2 300 (Ecuación 1) 3x 1 2y 5 2 450 (Ecuación 2) 1. Se suman ambas ecuaciones y se obtiene: 2x 1 3y 5 2 300 1 3x 1 2y 5 2 450 5x 1 5y 5 4 750 2º_SECU-SPC-P-014-111.indd 34 22/04/24 13:23  35 El resultado obtenido indica que, al sumar los términos con las mismas incógni- tas, ninguna se cancela. Entonces se elige eliminar una de ellas; por ejemplo, la incógnita x. Para ello, los coeficientes de dicha incógnita deberán ser el mismo número, pero de signo contrario. Una manera de lograrlo es tomar el valor del coeficiente de x de la primera ecuación, que es 2, y multiplicarlo por la segunda ecuación; después tomar el coeficiente de x de la segunda ecuación que es 3, y multiplicarlo por la primera ecuación. a) b) (3) por 2x + 3y 5 2 300 6x + 9y 5 6 900 + + (2) por 3x + 2y 5 2 450 6x + 4y 5 4 900 ________________________________________ _________________________________________ 12x + 13y 5 11 800 En b), la incógnita x no se cancela al sumar ya que ambos térmi- nos son positivos. Para cancelar, basta con cambiar el signo del 3 que multiplica a la ecuación 1. c) d) (23) por 2x + 3y 5 2 300 26x 2 9y 5 26 900 + + (2) por 3x + 2y 5 2 450 6x + 4y 5 4 900 _____________________________________________ _________________________________________ 0x – 5y 5 ­– 2 000 En d), la incógnita x se eliminó, y se obtiene una ecuación lineal con una incógnita: 25y 5 2 2 000, la cual se resuelve como sigue: El coeficiente de la incógnita es —5. Se usa la propiedad del inverso multiplicativo para tener un 2 5y 5 2 2 000 coeficiente de 1. La ecuación se multiplica por — 1. 5 e) ( ) Se aplican las propiedades (– 51 ) 3 1 ( – 5y ) 5 – 5 3 (2 2 000) de la igualdad, el producto 2 5y 2 2 000 se realiza en cada lado de 5 25 25 la ecuación. y 5 400 2º_SECU-SPC-P-014-111.indd 35 11/04/24 23:46  36 2. De acuerdo con e), y 5 400. Ahora se busca que el coeficiente de la incógnita sea cero, para obtener el valor de la incógnita x. f) g) (—2) por 2x + 3y 5 2 300 —4x — 6y 5 —4 600 1 1 (3) por 3x + 2y 5 2 450 9x + 6y 5 7 350 _____________________________________________ _______________________________________ 5x + 0y 5 2 750 En g), se obtiene una ecuación con una incógnita: 5x 5 2 750, la cual se resuelve como sigue: El coeficiente de la incógnita x es 5. Usando la propiedad del inverso 5x 5 2 750 multiplicativo, se multiplica por 1 para tener un coeficiente de 1. 5 () h) ( 15 ) 3 ( ) ( 5x ) 5       1 5 3 (2 750) Se aplican las propiedades de la igualdad, el producto se realiza en cada 5x 5 2 750 lado de la ecuación. 5 5    x 5 550 3. Por h), se concluye que el valor de x es 550. Entonces la solución del sistema de ecuaciones es x 5 550 y y 5 400. Para verificar el resultado obtenido, es necesario sustituir los valores de x y y en el sistema de ecuaciones, y comprobar que se cumple la igualdad en ambas ecuaciones. i) j) 2(550) + 3(400) 5 2 300 3(550) + 2(400) 5 2 450 1 100 + 1 200 5 2 300 1 650 + 800 5 2 450 2 300 5 2 300 2 450 5 2 450 4. Con base en i) y j) se comprueba que los valores obtenidos son correctos; por tanto, para responder el problema se dice que el costo de cada pantalón de mezclilla es de $550, y el de cada camisa es de $400. El método de reducción para resolver un sistema de dos ecuacio- nes lineales con dos incógnitas consiste en sumar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. 2DO_SEC_SPC.indb 36 11/04/24 22:14  37 Método de igualación para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Además del método de reducción para dar solución a un sis- tema de ecuaciones con dos incógnitas, se puede utilizar otro método denominado igualación. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de igua- lación consiste en elegir una incógnita que debe despejarse en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Esta acción construye una ecuación con una incógnita por resolver. En la selección de la incógnita se debe evitar, en la medida de lo posible, la que tenga un coeficiente con fracciones. Ejemplo María tiene un taller de estampado de tazas por sublimación. Debido al alza de los pedidos, compró dos máquinas de sublimación, una pequeña y otra grande, y pagó por ellas $3 500. Después de una semana la máquina chica se descompuso, así que regresó a la tienda donde la compró y solicitó un reemplazo del producto. En el local le dijeron que podían hacer válida la garantía, pero que ya no tenían ese modelo en existencia y no hacían devoluciones en efectivo. Debido a que los clientes de los pe- didos más grandes le adelantaron los pagos, decidió comprar dos máquinas grandes y al hacer válida la garantía pagó únicamente la diferencia, que fue de $4 000. Calcular el costo de ambas máquinas de sublimación. Para conocer el costo de cada una de las máquinas, es necesario plan- tear un sistema de ecuaciones de 2 3 2. Se asignará la literal x al costo de la máquina de sublimación grande y y al costo de la máquina de sublimación chica. La primera ecuación que plantea el enunciado es la igualdad entre la suma de los costos de la máquina grande y la máquina chica y el primer monto pagado: x 1 y 5 3 500. La segunda ecuación se expresa como la resta del doble del costo de la máquina grande menos el de la máquina chica igualada a la diferen- cia que pagó: 2x 2 y 5 4 000. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que modela el problema de María es el siguiente: x 1 y 5 3 500 2x 2 y 5 4 000 2DO_SEC_SPC.indb 37 11/04/24 22:14  38 Este sistema se resolverá por el método de igualación, el cual con- siste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones dadas y posteriormente realizar la igualación de ambas incógnitas. Se elige la incógnita x, por tanto, se despeja a x de ambas ecuaciones: Ecuación 1 Ecuación 2 a) b) 4 000 1 y x5 2 x 5 3 500 — y Al obtener las expresiones para la incógnita x de ambas ecuaciones, se procede a igualarlas: 4 000 1 y 3 500 2 y 5 2 La expresión anterior es una ecuación con una incógnita. Se re- suelve simplificando las cantidades constantes para despejar y. (2) 3 (3 500 2 y) 5 (2) 3 ( 4 000 1 y 2 ) 7 000 2 2y 5 4 000 1 y 7 000 2 2y 1 (– y) 5 4 000 1 y 1 (– y) 7 000 2 3y 5 4 000 (–7 000) 1 7 000 2 3y 5 (–7 000) 1 4 000 23y 5 2 3 000 1 1 – 3 (23y) 5 – 3 (23 000) 3 3 y 5 1 000 Se obtuvo el valor de una de las incógnitas. Enseguida se reem- x 1 y 5 3 500 plaza este valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones origi- x 1 (1 000) 5 3 500 nales. Se elige la primera ecuación para determinar el valor de x 5 3 500 21 000 la incógnita x: x 5 2 500 Entonces la solución del sistema es x 5 2 500 y y 5 1 000. Por tanto, el costo de la máquina grande es de $2 500 y el de la máquina chica, $1 000. El procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones de 2 3 2 por el método de sustitución puede diferir debido a la elección de la incógnita que se va a despejar, pero esto no perjudica el resultado del sistema, siem- pre y cuando se resuelva de manera apropiada. 2º_SECU-SPC-P-014-111.indd 38 22/04/24 11:56