Módulo de Matemáticas Compilado PDF

CIVU MATEMÁTICA Esp. Ezequiel Roberto Lamas  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas...

CIVU MATEMÁTICA Esp. Ezequiel Roberto Lamas  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas Índice 1. Introducción................................................................................................................................................................................................3 2. Conjuntos numéricos..................................................................................................................................................................................4 2.1. Conjunto de los Números Naturales (ℕ)......................................................................................................................4 2.1.1. Propiedades de ℕ.....................................................................................................................................................4 2.2. Conjunto de los Números Enteros (ℤ)..........................................................................................................................4 2.2.1. Propiedades de ℤ......................................................................................................................................................4 2.3. Conjunto de los Números Racionales (ℚ)....................................................................................................................5 2.3.1. Propiedades de ℚ.....................................................................................................................................................5 2.3.2. Fracciones equivalentes...........................................................................................................................................7 2.3.3. Operaciones en ℚ:....................................................................................................................................................7 2.4. Conjunto de los Números Irracionales (𝕀)....................................................................................................................8 2.4.1. Propiedades de 𝕀.......................................................................................................................................................8 2.5. Conjunto de los Números Reales (ℝ)...........................................................................................................................8 2.5.1. Representación Gráfica de ℝ:..................................................................................................................................9 2.5.2. Orden en Reales........................................................................................................................................................9 2.5.3. Ley de Tricotomía......................................................................................................................................................9 2.5.4. Operaciones en los Reales. Propiedades.................................................................................................................9 2.5.5. Potencia en ℝ......................................................................................................................................................... 11 2.5.6. Radicación en ℝ..................................................................................................................................................... 12 2.5.7. Operaciones Combinadas...................................................................................................................................... 14 3. Notación Científica................................................................................................................................................................................... 16 3.1. Definición..................................................................................................................................................................... 16 4. Logaritmo.................................................................................................................................................................................................. 17 4.1. Definición..................................................................................................................................................................... 17 4.2. Propiedades................................................................................................................................................................. 17 4.3. Cambio de Base........................................................................................................................................................... 18 5. Funciones.................................................................................................................................................................................................. 19 5.1. Definición de función.................................................................................................................................................. 19 5.2. Gráfica de una función................................................................................................................................................ 19 6. Función Lineal........................................................................................................................................................................................... 20 6.1. Definición..................................................................................................................................................................... 20 6.2. Interpretación Gráfica................................................................................................................................................. 20 7. Función cuadrática................................................................................................................................................................................... 23 7.1. Definición..................................................................................................................................................................... 23 7.2. Propiedades de la Parábola........................................................................................................................................ 23 7.3. Concavidad................................................................................................................................................................... 24 8. Bibliografía................................................................................................................................................................................................ 27 Matemática 2  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 1. Introducción La aplicación de la matemática en las ciencias veterinarias es fundamental para comprender y optimizar procesos biológicos, clínicos y productivos en el ámbito animal. Las matemáticas permiten modelar fenómenos complejos, como el crecimiento poblacional de especies, la propagación de enfermedades, la dosificación de medicamentos y la valoración nutricional, proporcionando herramientas esenciales para la toma de decisiones informadas en la práctica veterinaria. Además, conceptos de probabilidad y estadística son cruciales en la epidemiología veterinaria, ayudando a evaluar riesgos y a diseñar estrategias de prevención y control de enfermedades. Así, la matemática no solo apoya la investigación y la innovación en el campo veterinario, sino que también contribuye a mejorar la salud y el bienestar animal de manera eficiente y precisa. Matemática 3  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 2. Conjuntos numéricos 2.1. Conjunto de los Números Naturales (ℕ) Los números que se emplean para contar: 1, 2, 3, 4, … constituyen el conjunto de los Números Naturales (o enteros positivos). Lo simbolizamos con ℕ y podemos escribirlo como: ℕ = {1, 2, 3, 4, … } 2.1.1. Propiedades de ℕ El conjunto ℕ es infinito. Tiene primer elemento (el 1) y no tiene último elemento. Todo natural tiene un sucesor: ∀ 𝑛 ∈ ℕ, ∃ 𝑛 + 1 ∈ ℕ, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 + 1 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 Todo número natural tiene un antecesor excepto el 1: ∀ 𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ≠ 1 ∃ 𝑛 − 1 ∈ ℕ, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 − 1 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑛 Entre dos números naturales hay un número finito de números naturales. Se dice que ℕ es discreto. En este conjunto la suma de dos números naturales da como resultado otro natural (Ley de cierre para la suma), pero no ocurre lo mismo para la diferencia (no vale la ley de cierre), por ejemplo 3 – 5 no tiene solución en este conjunto, por lo tanto, ecuaciones del tipo 5+x=3 no tienen solución en el conjunto ℕ, de allí la necesidad de introducir un nuevo conjunto de números. 2.2. Conjunto de los Números Enteros (ℤ) Si al conjunto ℕ se agrega el número 0 y los enteros negativos se obtiene un nuevo conjunto llamado Enteros. Lo simbolizamos con ℤ. ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1,2, 3, … } ℤ = ℕ ∪ {0} ∪ ℤ− 2.2.1. Propiedades de ℤ El conjunto ℤ es infinito. El conjunto ℤ no tiene ni primero ni último elemento. Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor. Entre dos números enteros hay un número finito de números enteros. Se dice que ℤ es discreto. Matemática 4  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas La suma y diferencia de dos números enteros es otro entero (valen las leyes de cierre para suma, diferencia y producto) pero no ocurre lo mismo con la división de dos números enteros, por ejemplo 2:5 no tiene solución en este conjunto (no vale la ley de cierre para la división), por lo tanto, ecuaciones del tipo 4𝑥 + 1 = 6 no tienen solución en ℤ, de allí la necesidad de introducir un nuevo conjunto de números. 2.3. Conjunto de los Números Racionales (ℚ) Es el conjunto de números formado por aquellos números que pueden expresarse como cociente de dos números enteros, como una fracción. Es decir: 𝑏 𝑎 ∈ ℚ, 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑐 ≠ 0 𝑐 ℚ = ℤ ∪ 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 Los números naturales y enteros son racionales con denominador 1. 2.3.1. Propiedades de ℚ ℚ es infinito El conjunto ℚ no tiene ni primero ni último elemento Entre dos números racionales existen infinitos números racionales, entonces se dice que ℚ es denso. Transformación de una Fracción en una Expresión Decimal Se divide numerador por denominador. Si el resto es 0, la expresión será decimal exacta (por ejemplo 3/5=0,6), caso contrario, la expresión será periódica, en la cual se repiten indefinidamente alguna o algunas cifras decimales llamadas “período” (por ejemplo 2/3= 0,6666…, se expresa 0, 6̂). El conjunto de los números racionales puede definirse también como el conjunto de los números decimales periódicos. Existen dos tipos de expresiones decimales periódicas: ▪ Expresión decimal periódica pura: el período aparece inmediatamente después de la coma. 2,77777... = 2, 7̂ ▪ Expresión decimal periódica mixta: el período aparece luego de una parte no periódica que también está detrás de la coma. ̂ 1,25666666.... = 1,256 Matemática 5  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas Transformación de una Expresión Decimal en una Fracción A continuación, se presenta algunos ejemplos del procedimiento que se realiza para determinar la fracción correspondiente a una expresión decimal: 1. Sea 𝑥 = 0, 6̂ 𝑥 = 0,666 … Multiplicando por 10 10𝑥 = 6,666 … Restando 𝑥 = 0,666 … 6 2 9𝑥 = 6 ⟹ 𝑥 = ⟹𝑥= 9 3 2. Sea 𝑦 = 3,128 ̂ 𝑦 = 3,1282828 … Multiplicando por 1000 ̂ 1000𝑦 = 3128, 28 Restando ̂ 10𝑦 = 31, 28 3097 990𝑦 = 3097 ⟹ 𝑦 = 990 Para facilitar esta transformación podemos ocupar la siguiente regla: Toda expresión decimal periódica pura se puede transformar en una fracción tal que: El numerador se obtiene restando al número sin la coma la parte entera. El denominador se obtiene colocando tantos 9 como cifras periódicas tenga. Ejemplos: 23 − 2 21 7 2, 3̂ = = = 9 9 3 436 − 4 432 ̂= 4, 36 = 99 99 Toda expresión decimal periódica mixta se puede transformar en una fracción tal que: El numerador se obtiene restando al número decimal sin la coma la parte entera seguida de la parte no periódica. El denominador se obtiene con tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. Matemática 6  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas Ejemplos: 354 − 35 319 3,54̂ = = 90 90 413678 − 4136 409542 ̂= 4,13678 = 99000 99000 2.3.2. Fracciones equivalentes 1 2 5 Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número, por ejemplo 4 , 8 y 20 son equivalentes porque todas representan al número 0,25. 2.3.3. Operaciones en ℚ: ➔ Adición o Sustracción 𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑±𝑏∙𝑐 ± = 𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑 Fracciones de igual denominador: se pone el mismo denominador y se suman o restan numeradores. 3 4 7 + = 5 5 5 Fracciones de distinto denominador: se obtienen fracciones equivalentes de igual denominador antes de sumar o restar. 3 5 3 ∙ 3 5 ∙ 2 9 10 1 3 5 3 ∙ 3 − 2 ∙ 5 9 − 10 1 − = − = − =− ⟺ − = = =− 2 3 2∙3 3∙2 6 6 6 2 3 2∙3 6 6 ➔ Multiplicación 𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐 × = 𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑 Es conveniente simplificar las fracciones a su mínima expresión y recién realizar el producto. La simplificación se hace entre numerador y denominador ➔ División Matemática 7  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 𝑎 𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑 : = 𝑏 𝑐 = 𝑏 𝑑 𝑏∙𝑐 𝑑 En este caso la simplificación se hace entre numeradores o bien entre denominadores. El conjunto de los números racionales no es cerrado para la radicación, por ejemplo √2 = 1,414213.. no es un número racional porque es un número decimal no periódico, no se puede expresar como una fracción, por lo tanto, ecuaciones del tipo 𝑥 2 – 2 = 0 no tienen solución en ℚ. De allí la necesidad de introducir un nuevo conjunto de números. 2.4. Conjunto de los Números Irracionales (𝕀) Es el conjunto formado por los números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Lo simbolizamos con 𝕀. √2 = 1,414213 … ; 𝜋 = 3,14 … ; √3 = 1,7320508 … 2.4.1. Propiedades de 𝕀 𝕀 es infinito El conjunto 𝕀 no tiene ni primero ni último elemento Entre dos números irracionales existen infinitos números irracionales, entonces se dice que 𝕀 es denso. 2.5. Conjunto de los Números Reales (ℝ) Es el conjunto formado por la unión de los racionales y los irracionales: ℝ=ℚ∪𝕀 Matemática 8  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 2.5.1. Representación Gráfica de ℝ: Los números reales se pueden representar sobre una recta, llamada recta real, de modo que a todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta le corresponde un número real. 2.5.2. Orden en Reales Si 𝑎 y 𝑏 ∈ ℝ, a es menor que 𝑏 si se cumple que 𝑏 – 𝑎 es positivo. 𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑏 − 𝑎 ∈ ℝ+ 2.5.3. Ley de Tricotomía Para cada 𝑥 ∈ ℝ se verifica una, y sólo una, de las tres afirmaciones siguientes: 𝑥 = 0, 𝑥 > 0, o bien, 𝑥 < 0. 2.5.4. Operaciones en los Reales. Propiedades Las operaciones binarias usuales en ℝ son la adición, producto, diferencia y división. ➔ Propiedades de la adición Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. 1. Ley de Cierre ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ 2. Ley Conmutativa ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 3. Ley Asociativa ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 4. Existencia del elemento neutro para la suma ∃ 0 ∈ ℝ, ∀ 𝑎 ∈ ℝ: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 5. Existencia del elemento opuesto (inverso aditivo) ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∃ − 𝑎 ∈ ℝ; 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0 Matemática 9  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas ➔ Propiedades de la multiplicación Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. 1. Ley de cierre ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℝ 2. Ley Conmutativa ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 3. Ley Asociativa ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 4. Existencia del elemento neutro del producto ∃ 1 ∈ ℝ, ∀ 𝑎 ∈ ℝ: 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎 5. Existencia del elemento inverso ∀ 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 ∃ 𝑎−1 ∈ ℝ; 𝑎 ∙ 𝑎−1 = 𝑎−1 ∙ 𝑎 = 1 6. Distributiva ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 Observación: Si el producto de dos números reales es cero entonces uno de los dos números es cero. 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑠𝑖 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 ⟹ 𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 Todo conjunto que cumple con las propiedades anteriores se denomina “Campo”, por lo tanto, el conjunto de los Reales con las operaciones de suma y producto usuales constituye un campo numérico. Otros campos numéricos son los Racionales y los Complejos. Reglas para la resolución de ejercicios Reglas de supresión de paréntesis: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 − (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 𝑎 − (𝑏 − 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 Regla de signos para el producto y la división + ∙ += + − ∙ += − + ∙ −= − − ∙ −= + Matemática 10  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas Leyes cancelativas y uniformes 1. De la adición 2. De la multiplicación 𝑎+𝑏 =𝑐+𝑏 ⟹𝑎 =𝑐 cancelativa 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐 ⟹ 𝑎 = 𝑏, 𝑐 ≠ 0 cancelativa 𝑎 =𝑐 ⟹ 𝑎+𝑏 =𝑐+𝑏 uniforme 𝑎 =𝑏 ⟹𝑎∙𝑐 =𝑏∙𝑐 uniforme 2.5.5. Potencia en ℝ Sean 𝑎 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ, definimos 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … 𝑎 Donde: 𝑎: base de la potencia ∈ ℝ 𝑛: exponente ∈ ℕ 1 1 1 Si 𝑎 ≠ 0, 𝑎0 = 1; 𝑎−1 = 𝑎 𝑦 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 Por ej. (5)−3 = 53 ➔ Propiedades de la potencia 1. Producto de potencias de igual base 1. 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 Ej 22 ∙ 25 = 27 2. Cociente de potencias de igual base 2. 𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0 Ej 27 : 23 = 24 3. Potencia de potencia 3. (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚 Ej (22 )6 = 212 4. Distributiva de la potencia respecto del producto 4. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 Ej (2 ∙ 3)5 = 25 ∙ 35 5. Distributiva de la potencia respecto del cociente 5. (𝑎: 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 : 𝑏 𝑛 𝑠𝑖 𝑏 ≠ 0 3 5 Ej ( ) = 35 5 55 La potenciación no es distributiva respecto a la suma o la diferencia. Es decir (𝑎 ± 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 ± 𝑏 𝑛 Matemática 11  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 2.5.6. Radicación en ℝ La raíz enésima de un número real "𝑎" es otro número "𝑏" cuya potencia enésima es "𝑎". 𝑛 √𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑏 𝑛 = 𝑎, 𝑛 ∈ ℕ Donde: 𝑎: se denomina radicando. 𝑛: se denomina índice del radical. ▪ 𝑆𝑖 𝑎 > 0 ∧ 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟹ 𝑛√𝑎 > 0 (resultado positivo). Por ejemplo, 4√16 = 2 ▪ 𝑆𝑖 𝑎 < 0 ∧ 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ⟹ √𝑎 ⟹ ∄ (no existe solución real). Por ejemplo, √−4 ∉ ℝ 𝑛 ▪ 𝑆𝑖 𝑎 > 0 ∧ 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟹ √𝑎 > 0 (resultado positivo). Por ejemplo, √8 = 2 𝑛 3 ▪ 𝑆𝑖 𝑎 < 0 ∧ 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ⟹ √𝑎 < 0 (resultado negativo). Por ejemplo, √−32 = −2 𝑛 5 1 La radicación puede expresarse como potencia de exponente fraccionario: √𝑎 = 𝑎𝑛 𝑛 ➔ Propiedades de la radicación 1. Raíz de un producto es igual al producto de sus raíces 𝑛 𝑛 𝑛 √𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 2. Raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces 𝑛 𝑛𝑎 √𝑎 √ =𝑛 𝑏 √𝑏 3. Raíz de raíz es igual a la raíz del número cuyo índice es el producto de los índices dados: 1 𝑚 𝑛 1 𝑚 1 1 1 = 𝑎𝑛∙𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚 𝑛∙𝑚 √ √𝑎 = √𝑎 𝑜 (𝑎𝑛 ) 𝑚 1 1 𝑚 4. √𝑎𝑚 = ( √𝑎) 𝑛 𝑛 𝑜 (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 = 𝑎 𝑛 Estas propiedades se cumplen siempre que todas las raíces existan. La radicación no es distributiva respecto a la suma o la diferencia. Es decir: 𝑛 𝑛 √𝑎 ± 𝑏 ≠ 𝑛√𝑎 ± √𝑏 ¡Cuidado al simplificar! Si tenemos una potencia, como radicando en una raíz de índice par, podemos escribir: √(−2)2 = (−2)2∙1/2 = −2 que es equivalente a simplificar índice con exponente y esto no es correcto porque si operamos sin simplificar, el resultado obtenido es 2 (positivo). Matemática 12  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas Operaciones con Radicales 1. Extracción de Factores fuera del Radical: Para extraer un factor fuera del radical se divide el exponente del factor por el índice, el resultado es el exponente del factor fuera del radical y el resto de la división es el exponente del factor que queda dentro del radical. Ejemplos: 3 √𝑝10 ∙ 𝑞 9 = 𝑞 3 ∙ 𝑝3 3√𝑝 5 5 √𝑎16 ∙ 𝑏 3 = 𝑎3 √𝑎 ∙ 𝑏 3 Si se quiere introducir un factor dentro del radical se realiza el proceso inverso: se multiplica el exponente del factor por el índice, el resultado es el exponente del factor dentro del radical 2. Racionalización de Denominadores: Dada una fracción cuyo denominador sea un radical, racionalizar dicho denominador es transformar la fracción dada en otra equivalente a la primera, en cuyo denominador no figuren radicales. 1º Caso: Cuando figura un solo radical en el denominador, se multiplica y divide por una raíz con el mismo índice, y el exponente del radicando es la diferencia entre el índice y el exponente del radical original. Ejemplos: 𝑥 𝑥 ∙ √2 𝑥 ∙ √2 𝑥 ∙ √2 = = 2 = √2 √2 ∙ √2 (√2 ) 2 8 8 8 8 𝑥 𝑥 √𝑚3 𝑥 ∙ √𝑚3 𝑥 ∙ √𝑚3 𝑥 ∙ √𝑚3 8 = 8 ∙8 =8 = 8 = √𝑚5 √𝑚5 √𝑚3 √𝑚5 ∙ 𝑚3 √𝑚8 𝑚 2º Caso: Cuando se tiene un binomio con radicales en el denominador de la fracción, se multiplica y divide por el binomio conjugado (cambia el signo). Ejemplos: 5 5(√3 + 𝑎) 5(√3 + 𝑎) 5(√3 + 𝑎) = = 2 = √3 − 𝑎 (√3 − 𝑎)(√3 + 𝑎) (√3) − 𝑎2 3 − 𝑎2 3 3(√6 + √2) 3(√6 + √2) 3(√6 + √2) 3(√6 + √2) 3 3 = = 2 2 = = = √6 + √2 √6 − √2 (√6 − √2)(√6 + √2) (√6) − (√2) 6−2 4 4 4 Matemática 13  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 2.5.7. Operaciones Combinadas En matemáticas, las operaciones combinadas se resuelven siguiendo un orden específico conocido como el orden de las operaciones. El orden de las operaciones establece la secuencia en la que se deben realizar las diferentes operaciones en una expresión matemática para obtener el resultado correcto. Este orden se representa mediante el acrónimo PEMDAS o PEDMAS, que son las iniciales de las operaciones que deben realizarse en orden: 1. Parántesis: Realizar las operaciones dentro de los paréntesis primero. 2. Exponentes: Calcular las potencias o raíces. 3. Multiplicación y División: Realizar estas operaciones de izquierda a derecha. 4. Adición y Sustracción: Realizar estas operaciones de izquierda a derecha. Siguiendo este orden, se garantiza que las operaciones se realicen de manera consistente y que la expresión se evalúe correctamente. Es importante señalar que, dentro de una misma categoría (por ejemplo, multiplicación y división), las operaciones se realizan de izquierda a derecha. Ejemplos: a. 36: 2 + 28: 22 − 3 ∙ √16 4 Matemática 14  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas b. (18 + 3): 7 + √√81 ∙ 6 − (102 − 34 ) c. √52 + 39 − (15: 3 − 3)2 + 12 Matemática 15  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 3. Notación Científica 3.1. Definición La notación científica, es un sistema que permite expresar cualquier cantidad como el producto de un número entre 1 y 10 (1 ≤a< 10) multiplicado por una potencia de base 10 y exponente entero. La notación científica permite trabajar con números muy grandes (como 123 450 000 000) o muy pequeños (como 0,000 000 000 212). Esta notación, utiliza potencias de base 10 para señalar la posición de la coma o punto decimal sin tener que manejar una gran cantidad de ceros. En notación científica, expresamos cualquier cantidad como el producto de un número mayor igual a 1 y menor a 10, multiplicado por una potencia de base 10 y exponente entero. Ejemplos de números en notación científica: 3.105 1,3.10−8 5,32.10−24 8.10−7 2,9324.1012 Ejemplos de números que no están en notación científica: 30.105 No se encuentra en notación científica, porque el valor de “a”, no se encuentra entre 1 y 10, recordemos que en notación científica 1 ≤a< 10. 8.100−7 No se encuentra en notación científica, porque la potencia tiene base 100. En notación científica, se emplean potencias de base 10. 1,3.10−8,2 No se encuentra en notación científica, porque el exponente no es un número entero. Matemática 16  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 4. Logaritmo 4.1. Definición Sea 𝑎 un número real positivo distinto de 1, y sea 𝑥 también un número real positivo. Se llama logaritmo en base 𝑎 de un número 𝑥, al número 𝑦 tal que 𝑎 elevado a la potencia 𝑦 resulta 𝑥. En símbolos: log 𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 > 0, 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 Donde: El número 𝑥 es el argumento. El número 𝑎 es la base. El número 𝑦 es el logaritmo. Ejemplo: 𝑖) log 1000 = 3 ⟺ 103 = 1000 1 1 6 1 𝑖𝑖𝑖) log 1 ( ) = 6 ⟺ ( ) = 2 64 2 64 𝑖𝑖) log 3 81 = 4 ⟺ 34 = 81 1 1 𝑖𝑣) log 2 ( ) = −7 ⟺ 2−7 = 128 128 ◆ Se llama logaritmo decimal a aquel logaritmo que tiene por base el número diez. Al ser estos muy habituales es frecuente no escribir la base: log 𝑎 = log10 𝑎 ◆ Se llama logaritmo natural (también llamado neperiano) a aquel logaritmo que tiene por base el número irracional 𝑒 = 2,718281828459 …, y se denotan como 𝑙𝑛 : ln 𝑎 = log 𝑒 𝑎 4.2. Propiedades Sean 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ+ , 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1: 1) log 𝑎 (𝐴 ∙ 𝐵) = log 𝑎 𝐴 + log 𝑎 𝐵 𝐴 2) log 𝑎 (𝐵) = log 𝑎 𝐴 − log 𝑎 𝐵 3) log 𝑎 𝐴𝑛 = 𝑛 ∙ log 𝑎 𝐴 Matemática 17  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 1 4) log 𝑎 𝐴 = log 𝑎 𝐴−1 = − log 𝑎 𝐴 5) log 𝑎 1 = 0 6) log 𝑎 𝑎 = 1 4.3. Cambio de Base Sean 𝑎, 𝑏 dos números reales positivos con 𝑎 ≠ 1 y 𝑏 ≠ 1 y sea 𝑥 un número real positivo, entonces: log 𝑎 𝑥 log 𝑏 𝑥 = log 𝑎 𝑏 Ejemplo: log(15) ln(15) 𝑖) log 5 15 = 𝑖𝑖) log 4 15 = log(5) ln(4) Matemática 18  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 5. Funciones 5.1. Definición de función Dada 𝑓 una relación de 𝐴 en 𝐵, tal que si todo elemento 𝑥 ∈ 𝐴 está relacionado con único elemento 𝑦 ∈ 𝐵, se dice que 𝑓 es una función total (o simplemente función). 5.2. Gráfica de una función Dada la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵, la gráfica de la función 𝑓 se define como el conjunto de puntos del plano que verifican: 𝑔𝑟𝑎𝑓(𝑓) = {(𝑥, 𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐴)} Dicho de otro modo, la gráfica de la función 𝑓 es el conjunto de pares ordenados del plano (𝑥, 𝑦), tales que 𝑦 = 𝑓(𝑥), siendo 𝑥 algún punto del dominio. La gráfica de una función da una idea del comportamiento que tiene la misma. Ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , representarla gráficamente utilizando una tabla de valores. 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 Par ordenado 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 Par ordenado −3 𝑓(−3) = 9 (−3,9) 3 𝑓(3) = 9 (3,9) −2 𝑓(−2) = 4 (−2,4) 2 𝑓(2) = 4 (2,4) −1 𝑓(−1) = 1 (−1,1) 1 𝑓(−1) = 1 (1,1) La gráfica de la función se puede apreciar en la siguiente imagen. Matemática 19  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 6. Función Lineal 6.1. Definición Una función lineal tiene la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 0. Donde: 𝑎 es la pendiente o tasa de cambio de 𝑦 con respecto a 𝑥. 𝑏 es la ordenada al origen. 6.2. Interpretación Gráfica 𝑦1 − 𝑦0 Δ𝑦 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎= = = = 𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑥1 − 𝑥0 Δ𝑥 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 El parámetro 𝑎 representa la variación de la variable dependiente "𝑦" en una unidad de la variable independiente "𝑥". Cada vez que 𝑥 aumenta una unidad, 𝑦 sufre una variación (aumento o disminución) en 𝑎 unidades. La característica fundamental de este tipo de funciones es que dicha variación es constante. El parámetro 𝑎 nos proporciona información acerca de la inclinación de la recta respecto al eje horizontal 𝑥, y que, a mayor pendiente, mayor es la inclinación. Matemática 20  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas Ejemplo 1: En una granja de producción lechera, se estima que el rendimiento diario de leche en litros 𝐿 producido por cada vaca depende de la cantidad de alimento suplementario que se les proporciona. Cada vaca produce de base 10 litros de leche al día sin suplemento, y cada kilogramo de alimento suplementario aumenta la producción en 2 litros. a) Escribe una función lineal que exprese la producción diaria de leche 𝐿(𝑥) en función de la cantidad de alimento suplementario 𝑥 (en kilogramos). b) ¿Cuántos litros de leche producirá una vaca si se le dan 4 kilogramos de alimento suplementario? Resolución a) Escribimos la función lineal que expresa la producción diaria de leche en función de 𝑥. Sabemos que: La producción base de leche es de 10 litros sin suplemento. Cada kilogramo de suplemento aumenta la producción en 2 litros. La función lineal es: 𝐿(𝑥) = 2𝑥 + 10 donde: 𝑥 es la cantidad de alimento suplementario en kilogramos, 2𝑥 representa el aumento de producción por el suplemento, 10 es la producción base. b) Calculamos la producción si 𝑥 = 4 kilogramos de suplemento. 𝐿(4) = 2 ∙ 4 + 10 𝐿(4) = 18 La vaca producirá 18 litros de leche al día si se le dan 4 kilogramos de alimento suplementario. Ejemplo 2: En un centro veterinario, el costo de esterilización de gatos depende de la cantidad de gatos que se esterilizan en una sola visita. El costo inicial es de 100 unidades monetarias, más 30 unidades monetarias por cada gato adicional. a) Escribe la función lineal que describe el costo total 𝐶(𝑥) de la esterilización en función del número de gatos 𝑥. Matemática 21  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas b) Calcula el costo total si se esterilizan 5 gatos en una sola visita. Resolución a) Escribimos la función lineal que describe el costo total en función de 𝑥. Sabemos que: El costo inicial es 100 unidades monetarias. Cada gato adicional tiene un costo de 30 unidades monetarias. La función lineal es: 𝐶(𝑥) = 30𝑥 + 100 donde: 𝑥 es el número de gatos, 30𝑥 representa el costo variable por gato adicional, 10 es el costo fijo. b) Calculamos el costo si 𝑥 = 5 gatos son esterilizados. 𝐶(5) = 30 ∙ 5 + 100 𝐶(5) = 250 El costo total para esterilizar 5 gatos en una sola visita es de 250 unidades monetarias. Matemática 22  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 7. Función cuadrática 7.1. Definición Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 constantes reales con 𝑎 ≠ 0. La función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se llama función cuadrática. La representación gráfica de 𝑓(𝑥) es una parábola, con un vértice que en general denotamos con 𝑉 = (ℎ, 𝑘) y un eje de simetría vertical de ecuación 𝑥 = ℎ. 7.2. Propiedades de la Parábola Vértice El vértice de la parábola es 𝑉 = (ℎ, 𝑘). Donde: 𝑏 −𝑏2 + 4𝑎𝑐 ℎ=− 𝑘= ∨ 𝑘 = 𝑓(ℎ) 2𝑎 4𝑎 Eje de simetría La parábola presenta simetría con respecto a la recta: 𝑏 𝑥=ℎ=− 2𝑎 Corte con los ejes ▪ Corte con el eje 𝑦, hacemos 𝑥 = 0, por lo que resulta: 𝑦 = 𝑎 ∙ 02 + 𝑏 ∙ 0 + 𝑐 = 𝑐 (ordenada al origen) ▪ Corte con el eje 𝑥, hacemos 𝑦 = 0, por lo que resulta: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Para sacar los ceros de esta ecuación se debe resolver la formula cuadrática: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 ± √Δ 𝑥1;2 = = 2𝑎 2𝑎 Donde Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 es el discriminante de la ecuación. Las soluciones de la ecuación cuadrática (si existe) se corresponden con los puntos donde la parábola asociada corta al eje 𝑥. La parábola puede cortar al eje 𝑥 en dos puntos (Δ > 0), en uno solo (Δ = 0) o en ninguno (Δ < 0); según esta ecuación tenga -respectivamente- dos soluciones distintas, una única solución o ninguna solución. Matemática 23  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 1. Si 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tiene soluciones reales 𝑥1 y 𝑥2 con 𝑥1 ≠ 𝑥2 , el gráfico corta al eje 𝑥 en (𝑥1 , 0) 𝑦 (𝑥2 , 0). 2. Si 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tiene única solución o raíz doble 𝑥1 = 𝑥2 , el gráfico es tangente al eje 𝑥 en 𝑥1 = 𝑥2. 3. Si 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 no tiene solución real, el gráfico no corta al eje 𝑥. En la siguiente imagen se ilustran los tres casos antes descriptos. Si la función corta al eje 𝑥 el vértice de la función se puede obtener como: 𝑥1 + 𝑥2 ℎ= 𝑘 = 𝑓(ℎ) 2 7.3. Concavidad La concavidad de una parábola dada por la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 depende del valor del coeficiente 𝑎, que es el número que acompaña a 𝑥 2 : Si 𝑎 > 0 (es decir, 𝑎 es positivo): la parábola tiene una concavidad hacia arriba (se abre como una "U") y su vértice es un mínimo. Si 𝑎 < 0 (es decir, 𝑎 es negativo): la parábola tiene una concavidad hacia abajo (se abre como una "∩") y su vértice es un máximo. Ejemplo 1: En una granja, la población de conejos crece de manera cuadrática en función del tiempo debido a las condiciones controladas de reproducción. La población de conejos 𝑃(𝑡) en función de los meses 𝑡 desde el inicio del estudio está dada por la ecuación cuadrática Matemática 24  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 𝑃(𝑡) = −3𝑡 2 + 24𝑡 + 50. a) ¿Cuántos conejos había al inicio del estudio (cuando 𝑡 = 0)? b) ¿Cuándo alcanzará la población su valor máximo y cuál será ese valor? Resolución a) Cantidad de conejos al inicio (𝑡 = 0) 𝑃(0) = −3(0)2 + 24(0) + 50 = 50 Al inicio, había 50 conejos. b) Momento en el que la población alcanza su valor máximo Dado que la función es cuadrática y el coeficiente de 𝑡 2 es negativo, la parábola tiene un máximo. Para encontrar el punto máximo, usamos la fórmula del vértice 𝑏 𝑡=− 2𝑎 24 𝑡=− =4 2 ∙ (−3) Sustituyendo 𝑡 = 4 en la función para obtener la población máxima: 𝑃(4) = −3(4)2 + 24(4) + 50 = 98 La población de conejos alcanzará su valor máximo de 98 conejos después de 4 meses. Ejemplo 2: El consumo diario de alimento en kilogramos, 𝐶(𝑥), de un grupo de cerdos en función de su número, 𝑥, sigue la función cuadrática 𝐶(𝑥) = 0,5𝑥 2 + 3𝑥 + 10 a) ¿Cuánto alimento consumirán si hay 10 cerdos? b) Si el consumo alcanza 50 kg, ¿cuántos cerdos hay en la granja? Resolución a) Consumo con 10 cerdos (𝑥 = 10) 𝐶(10) = 0,5(10)2 + 3(10) + 10 = 90 Si hay 10 cerdos, el consumo será de 90 kg diarios. b) Número de cerdos para un consumo de 50 kg (𝐶(𝑥) = 50) Matemática 25  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas Resolviendo la ecuación 0,5𝑥 2 + 3𝑥 + 10 = 50 0,5𝑥 2 + 3𝑥 − 40 = 0 Multiplicando por 2 para eliminar el decimal: 𝑥 2 + 6𝑥 − 80 = 0 Usamos la fórmula cuadrática: −6 ± √62 − 4 ∙ (−80) −6 ± √356 𝑥1;2 = = 2∙1 2 Obteniendo dos soluciones: 𝑥 ≈ 6,44 (aproximadamente 6 o 7 cerdos, redondeando) Para un consumo aproximado de 50 kg, se requerirían alrededor de 6 o 7 cerdos. Matemática 26  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias Esp. Ezequiel Roberto Lamas 8. Bibliografía Allen, R. G., & Hughes-Hallett, D. (2021). Matemáticas básicas para ciencias (3ra ed.). Editorial Reverté. Zill, D. G., & Dewar, S. (2018). Matemáticas para ciencias y aplicaciones: Álgebra y precálculo. Cengage Learning. Stewart, J. (2020). Pre-cálculo (7ma ed.). Cengage Learning. Bittinger, M. L., Beecher, J. A., & Ellenbogen, D. J. (2020). Fundamentos de Matemáticas y Álgebra para Ciencias. Pearson Educación. Blitzer, R. (2017). Álgebra y trigonometría para ciencias (6ta ed.). Pearson. Matemática 27  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU Trabajo Práctico 1: Operaciones Combinadas 1. Hallar el resultado aplicando las operaciones básicas. [(−8): (−2) − 6: (2 − 5)]: [(10): (−2) − 3: (1 − 2)] [3(10 − 5) − 10: 2]. [5(1 − 4) − (3 − 7)] 2 1 1 3 2 ( − 4 ) : (3 + ). 11 3 5 3 7 7 4 3 ( − 0,8 + 0,2 + ) 5 4 2 3 5 3 3 [(. ( − 0.25) + ) − ( − 0.25)]. 3 5 6 8 5 2. Indicar en qué conjunto numérico se ubican los siguientes números reales Z, Q ,I.  0,15=  -4=  0, 3̂ =  √25 =  8,12349067 … ….. =  0,1212121212 … … = 9  − 5= 3. Resolver los siguientes ejercicios combinados aplicando propiedades cuando lo requiera: 𝑎. −22 (3 − 5) + 2[32 − 4(−2) + 9: (−3)] − (−4)3 : (−2 − 6) 𝑏. (1 + 3)2 − 5 + √22 + 15 − (3 + 2 − 1) 3 𝑐. −(−4)2 : (−8) − (5 − 3 ∙ 2 + 1)12 − √(−4)(−2) 𝑑. (−2)2 (−2)(−2)3 + (−3)6 : (−3)3 + [(−1)3 ]2 𝑒. (−5)7 : (−5)3 : (−5) + {[(−5)2 ]0 }4 𝑓. [(−1)7 ]3 : [(−1)3 ]5 + {[(−1)3 ]5 }8 − [(−1)3 ]9 𝑔. 25 : (−2)3 + (−1)7 ∙ 19 ∙ (−1)5 − (−3)2 ∙ 32 4 5 3 ℎ. √23 ∙ 2 − √(−2)6 : (−2) + √(−4)2 (−4) 1 ( − 0, 1̂) 𝑖. 5 0. 5̂ Matemática 1  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU 1 1 19 2 5 1 17 −1 2+2 1−4 𝑗. √ − + (0, 4̂ + − ) ∙ ( ) 𝑘. + 5 5 6 3 18 1 1 3+3 1 5− 5 1 3 2 1 1 1 2 ( + ) 7 + 4+ 𝑙. 2 4 + 𝑚. [2 3 − 5] 1 2 1 14 3 (1 − ) 9 3−2 12 52 2 2 1 (3 − 1) √16 ∙ (1) 𝑛. ∙ (−12) 25 5 𝑜. 11 1 √ +1 25 1 2 (3 + 3) 3 −7 √(2) (2) + 5 22 1 3−2 3 3 4 √ ∙ 3 ∙ (−2)3 ∙ −1 𝑝. 3 (−3) 2 10 1 −2 1 3 𝑞. 1 − √(4) : (4) 1 1 2 2 (2: 2 + 3) (1 − 3) 2 5 1 3 2 1 2 √(0,6 + 0,32̂ + 1) : 0,02̂ [4 : 2 + (2) − 3 : 9] 6 𝑟. 𝑠. 53 3+4 1 0,23̂ + 30 −1 1 0,03̂ 𝑡. √1,4 + 0,04 + √(1, 5̂ − 1, 2̂): (1 − ) − ( ) 3 0,5 Problemas 2 1- Un ternero recién nacido debe recibir de la dosis total por cuatro semanas y 3 en la quinta lo que resta para completar la dosis. Escribe la expresión algebraica que representa el problema y responde: - ¿En la cuarta semana cuanto habrá recibido de la dosis? - ¿Cuánto se administra en la quinta semana? 3 7 2- Una fuente da 5 de agua por minuto, otra fuente da litros en el mismo ¿qué 8 cantidad de agua dan las dos fuentes juntas en dos minutos? Matemática 2  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU 2 3- Una vaquillona en un día normal ha comido 9 de los fardos de alfalfa 1 disponibles en el establo, una vaca ha comido más. Si se guardaron 45 fardos 3 para los días siguientes. ¿Cuántos fardos se tenían al principio en stock? Matemática 3  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU Trabajo Práctico 2: Notación Científica 1- Completar para en el casillero para llegar al resultado.  2,3 ∙ 10 = 0,000023  3,55 ∙ 10 = 35.500.000  4. 10 = 0,0004  9,001 ∙ 10 = 900.100  1,21 ∙ 10 = 0,000000121 2- Expresar las siguientes cantidades en notación científica: a. 43.000.000 𝑔 b. 0,0023 𝑚𝑙 c. 0,000000000000000016 𝑘𝑔 d. 18.000 𝑘𝑚 e. 602.300.000.000.000.000.000.000 moléculas 3- Realizar las siguientes operaciones: 4 ∙103 I. = 10−3 4 ∙ 105 −7 ∙104 II. = 3 ∙ 106 +7 ∙ 106 3,5 ∙ 10−3 −4,5 ∙10−4 III. 5 ∙ 10−12 3 3 3 IV. ∙ 10−7 ∙ ( ∙ 10−7 + ∙ 10−7 ) 2 2 2 4- Expresar en metros el tamaño de las siguientes especies y utilizar la notación científica para expresar el resultado: a) Una bacteria (tamaño medio: 0,19 μm). b) Un virus (49 nm). Matemática 1  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU 5- Resolver:  El ojo humano es sensible a las radiaciones electromagnéticas de longitudes de onda comprendidas entre 0,0004 y 0,00075 milímetros. Escribir las cifras en notación.  Una estrella de mar pone en promedio 2.520.000 huevos al año. ¿Cuántos huevos colocara en promedio durante 3 años? Expresar el resultado en notación científica. Matemática 2  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU Trabajo Práctico 3:Logaritmo 1- Calcular el valor de los siguientes logaritmos aplicando propiedades. 𝑎. log 6 216 = 𝑏. log 100 + log 2 8 − ln 𝑒 3 = −1 𝑐. (log 1 √√ √8) 3 = 2 8 1 −1 5 2 𝑑. [(− log 1 )] = 𝑒. [log 1 64 − log 5 ] 12 22 4 125 𝑓. log 45 5 + 2 log 45 3 = 16 ∙ 2 𝑔. log 4 22 √8 2- Escribe las siguientes expresiones como el logaritmo de una sola expresión. 3 5 𝑎. 3 log 𝑎 + 2 log 𝑏 − log 𝑐 + log 𝑑 = 2 2 1 1 1 𝑏. log(𝑥 2 + 4) + log(𝑥 + 3) + log(𝑥 + 3) = 2 2 2 𝑐. 2 log 5 𝑥 8 + log 5 𝑦 5 = Matemática 1  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU 3- Desarrollar los siguientes logaritmos utilizando propiedades:  log 𝑚 [𝑐. 𝑑. (𝑎2 + 𝑏 2 )] = 𝑥+𝑦 2  ln √(𝑚−𝑛)2 = 3 √𝑚3. √𝑝2  log 𝑏 3 √𝑞5.𝑛 4- Utilizar las propiedades de logaritmo para calcular el valor de las siguientes expresiones, teniendo en cuenta que log 𝑘 = 1,2: √𝑘 i. log 1000 = ii. log(100𝑘 3 ) = 100 iii. log = 𝑘2 5- calcular utilizando la definición de logaritmo: 1  log 2 8 + log 3 √27 − ln 1= 1  3 log 2 31 + log 3 √81 − ln 𝑒 2 = 1  log 3 81 + log 2 √8 − ln 𝑒 = 6- Sabiendo que log 7 = 0,85 , calcular (sin utilizar calculadora): a) log 700 = b)log 49 = 3 c)log √7 = Matemática 2  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU Trabajo Práctico 4: Función lineal y cuadrática 1. Determinar cuánto vale la pendiente y la ordenada al origen en cada función 𝑎)𝑦 = 2𝑥 − 3 𝑏) 𝑦 = 0,5𝑥 − 1 3x + 5 𝑐)𝑦 = 2 1−𝑥 𝑑)𝑦 = 4 7 𝑒)𝑦 = −𝑥 + 8 2. Partiendo de la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , representa: I. 𝑦 = 𝑥2 + 2 II. 𝑦 = 𝑥2 − 2 III. 𝑦 = (𝑥 + 2)2 3. Averigua cual es la pendiente de cada una de las siguientes rectas: Matemática 1  Universidad Católica de Salta Ciencias Veterinarias CIVU 4.Hallar el vértice de las siguientes parábolas, especificar si es un mínimo o máximo analice concavidad y representa gráficamente.  𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 5  𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥  𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 6𝑥 + 1  𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 1 5.Resolver  Un químico tiene 10 ml de una solución que contiene un ácido a la concentración del 30%. ¿Cuántos ml de ácido puro se deben agregar para aumentar la concentración al 50%, al 80% y al 90%? Representa en una tabla y luego grafica la función correspondiente.  Un grupo de reconocidos bioquímicos estudio los efectos nutricionales en ratas alimenticias con una dieta que contenía 0.10 de proteínas. La proteína estaba compuesta de levadura y harina de maíz. Al cambiar el porcentaje P (expresado en decimales) de levadura en una mezcla proteica, el grupo estimo el promedio de aumento de peso en gr de una rata, durante cierto periodo, estaba dado por: 𝑔 = −200𝑃2 + 200𝑃 + 20 ¿Cuál es el porcentaje de levadura que proporciona un aumento de peso de 60 gr y de 100gr? Grafica la función con los datos proporcionados. Matemática 2