ملخص التحليل التوافقي PDF

‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫‪1‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫مالحظة‪:‬عزٌزي الطالب إنّ هذا الملخص ال ٌغنً عن الكتاب المدرسً‬...

‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫‪1‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫مالحظة‪:‬عزٌزي الطالب إنّ هذا الملخص ال ٌغنً عن الكتاب المدرسً‬ ‫الذي ٌبمى النبع الصافً واألمثل‬ ‫محتوٌات الملخص_أفكار نظرٌة _ تمارٌن داعمة‬ ‫‪2‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫تعارٌف ‪:‬‬ ‫المائمة‪ :‬مجموعة من العناصر المرتبة ‪.‬‬ ‫المجموعة‪ :‬مجموعة من العناصر غٌر مهم الترتٌب فٌها‪.‬‬ ‫بعض طرائك التعداد‪1:‬‬ ‫𝒏𝒏 ‪𝒏𝟏. 𝒏𝟐. 𝒏𝟑 ….‬‬ ‫والمطلوب ‪:‬‬ ‫{‬ ‫تمرٌن نتأمل المجموعة }‬ ‫‪ -1‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل عدد مؤلف من منزلتٌن من عناصر‬ ‫‪ -2‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل عدد مختلفا مؤلف من منزلتٌن من عناصر‬ ‫‪ -3‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل عددا ً زوجٌا مؤلفا ً من ثالث منازل من عناصر‬ ‫‪ -4‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل عددا ً فردٌا مختلفا مؤلف من ثالث منازل عناصر‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ -5‬بكم طرٌمة ٌمكن تشٌل عددا ً مختلفا مؤلف من ثالث منازل من مضاعفات العدد ‪ 5‬وأصغر تماما من ‪ 555‬وأرلامه مأخوذة من‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ٌ )1‬تم اختٌار اآلحاد ب ‪ 5‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار العشرات ب ‪ 5‬طرق‬ ‫بحسب المبدأ األساسً بالعد ٌكون عدد طرق تشكٌل العدد‪:‬‬ ‫‪5×5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ٌ )2‬تم اختٌار اآلحاد ب ‪ 5‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار العشرات ب ‪ 4‬طرق‬ ‫بحسب المبدأ األساسً بالعد ٌكون عدد طرق تشكٌل العدد‪:‬‬ ‫‪5×4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ٌ )3‬تم اختٌار اآلحاد ب ‪ 2‬طرٌمة‪:‬‬ ‫ٌتم اختٌار العشرات ب ‪ 5‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار المئات ب ‪ 5‬طرق‬ ‫بحسب المبدأ األساسً بالعد ٌكون عدد طرق تشكٌل العدد‪:‬‬ ‫‪5×5×2‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪ٌ )4‬تم اختٌار اآلحاد ب ‪ 3‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار العشرات ب ‪ 4‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار المئات ب ‪ 3‬طرق‬ ‫بحسب المبدأ األساسً بالعد ٌكون عدد طرق تشكٌل العدد‪:‬‬ ‫‪3×4×3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪ٌ )5‬تم اختٌار اآلحاد ب ‪ 1‬طرٌمة‬ ‫ٌتم اختٌار المئات ب ‪ 2‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار العشرات ب ‪ 3‬طرق‬ ‫بحسب المبدأ األساسً بالعد ٌكون عدد طرق تشكٌل العدد‪:‬‬ ‫‪2×3×1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫ٌوجد لبعض أنواع السٌارات لفل رلمً مضاد للسرلة ٌفتح عند ادخال كود رلمً مكون من ثالث‬ ‫تمرٌن(د‬ ‫خانات ٌمكن ألي منها أن ٌأخذ المٌم ‪0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 :‬‬ ‫‪ -1‬ما هو عدد الرمازات التً تصلح للمفل ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ما هو عدد الرمازات التً تصلح للمفل مكونة من خانات مختلفة مثنى مثنى ‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ٌ )1‬تم اختٌار الخانة األولى ب ‪ 6‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار الخانة الثانٌة ب ‪ 6‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار الخانة الثالثة ب ‪ 6‬طرق‬ ‫بحسب المبدأ األساسً بالعد ٌكون عدد طرق تشكٌل المفل‪:‬‬ ‫‪6×6×6‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪ٌ )2‬تم اختٌار الخانة األولى ب ‪ 6‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار الخانة الثانٌة ب ‪ 5‬طرق‬ ‫ٌتم اختٌار الخانة الثالثة ب ‪ 4‬طرق‬ ‫بحسب المبدأ األساسً بالعد ٌكون عدد طرق تشكٌل المفل‪:‬‬ ‫‪4×5×6‬‬ ‫‪120‬‬ ‫انشاء لوائم من عناصر مجموعة‪:‬‬ ‫اكتب تبادٌل المجموعة‬ ‫{‬ ‫تمرٌن ‪ :‬نتأمل المجموعة }‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫اكتب تبادٌل المجموعة‬ ‫{‬ ‫تمرٌن وظٌفة ‪ :‬نتأمل المجموعة }‬ ‫تعرٌف ‪ :‬عدد تبادٌل مجموعة 𝑬 تضم 𝒏 عنصرا مختلفا ٌساوي 𝒏‬ ‫جد عدد تبادٌل المجموعة‬ ‫{‬ ‫تمرٌن ‪ :‬نتأمل المجموعة }‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪4×3×2×1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫مالحظات مهمة ‪:‬‬ ‫أهم التبادٌل التً نحتاج الٌها فً حل المسائل ‪:‬‬ ‫{ٌساوي ‪2‬‬ ‫}‬ ‫(‪ -)1‬عدد تبادٌل المجموعة‬ ‫{ٌساوي ‪3‬‬ ‫}‬ ‫(‪ -)2‬عدد تبادٌل المجموعة‬ ‫{ٌساوي ‪3‬‬ ‫}‬ ‫(‪ -)3‬عدد تبادٌل المجموعة‬ ‫{ٌساوي ‪1‬‬ ‫‪…..‬‬ ‫}‬ ‫(‪ -)4‬عدد تبادٌل المجموعة‬ ‫{ٌساوي ‪6‬‬ ‫}‬ ‫(‪ -)5‬عدد تبادٌل المجموعة‬ ‫‪4‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫حٌث‪:‬‬ ‫وفً الحالة العامة ٌكون عدد تبادٌل مجموعة ما ٌعطى بالعاللة‬ ‫×‬ ‫×…×‬ ‫العدد الكلً للعناصر المسحوبة‬ ‫عدد العناصر المسحوبة من النوع ‪1‬‬ ‫عدد العناصر المسحوبة من النوع ‪2‬‬ ‫‪........‬‬ ‫‪.........‬‬ ‫عدد العناصر المسحوبة من النوع‬ ‫مالحظة‪ :‬نستخدم الضرب بالتبادٌل لتغطٌة جمٌع الحاالت الممكنة اثناء عملٌة السحب (مع إعادة أو دون إعادة أو حاالت‬ ‫أخرى )‬ ‫تمرٌن‪ :‬دورة رٌاضٌات افتتحت فً بلدة تلذهب تتألف من أربعة طلبة و ثالثة طالبات والمطلوب‪:‬‬ ‫‪ -1‬بكم طرٌمة ٌمكن للطالب الجلوس كما ٌشاؤون‪.‬‬ ‫‪ -2‬بكم طرٌمة ٌمكن الجلوس اذا كان الطلبة جنبا ً الى جنب والطالبات جنبا الى جنب‬ ‫‪ -3‬بكم طرٌمة ٌمكن الجلوس اذا كان الطلبة فً الممدمة والطالبات فً المماعد الخلفٌة‬ ‫‪ -4‬بكم طرٌمة ٌمكن الجلوس للطلبة فمط جنبا ً الى جنب‬ ‫ً‬ ‫‪ -5‬بكم طرٌمة ٌمكن للطالب الجلوس اذا كان هنا طالبان متخاصمان ال ٌمكنهم الجلوس جنبا الى جنب‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ٌمكن للطالب الجلوس كما ٌشاؤون بطرق عددها‬ ‫‪)1‬‬ ‫طلبة‬ ‫طالبات‬ ‫ومنه عدد طرق الجلوس‪:‬‬ ‫) الترتٌب غٌر مهم تبادٌل هذه المجموعة‬ ‫لدٌنا (‬ ‫‪)2‬‬ ‫𝟐× 𝟑× 𝟒‬ ‫‪288‬الجلوس‪:‬‬ ‫) الترتٌب مهم ال نضرب بالتبادٌل ومنه عدد طرق‬ ‫طلبة‬ ‫طالبات‬ ‫‪ )3‬لدٌنا (‬ ‫𝟑× 𝟒‬ ‫‪144‬جنبا الى جنب ‪:‬‬ ‫ومنه عدد طرق جلوس الطلبة‬ ‫{ تبادٌل هذه المجموعة‬ ‫‪ )4‬الطلبة (}‬ ‫𝟒× 𝟒‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ )5‬نعتبر هذان الطالبان شخص واحد ٌصبح لدٌنا ‪ 3‬طلبة و‪ 3‬طالبات ٌمكنهم‪576‬‬ ‫الجلوس بطرق عددها ‪720‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لكن هذان الطالبان ٌمكنهم الجلوس جنب بعضهما بطرق ‪2‬‬ ‫ومنه ٌكون عدد طرق جلوس الطلبة والطالبات مع جلوس الطالبان المتخاصمان جنب بعضهما بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪2 ×6‬‬ ‫‪1440‬‬ ‫ومنه عدد طرق جلوس الطلبة والطالبات مع عدم جلوس الطالبان المتخاصمان جنب الى جنب ٌساوي عدد الطرق الكلٌة مطروحا منه عدد طرق‬ ‫جلوسهما جنب بعضهما ‪:‬‬ ‫‪5040 − 1440‬‬ ‫‪3600‬‬ ‫‪5‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫تمرٌن‪ :‬اشترى الطالب سنمر ‪ 3‬كتب فٌزٌاء ‪ 2‬كتابا ً رٌاضٌات و‪4‬كتب علوم ٌرٌد سنمر ترتٌب الكتب على الرف المطلوب‪:‬‬ ‫‪ )1‬ما هً عدد الطرق الممكنة لترتٌب هذه الكتب‪.‬‬ ‫‪ )2‬ما هو عدد طرق ترتٌب الكتب بحٌث ترتب كتب كل مادة جنب بعضها‪.‬‬ ‫‪ )3‬ما هو عدد طرق ترتٌب الكتب بحٌث ترتب كتب العلوم فمط جنب بعضها‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪362880‬‬ ‫الحل‪ )1 :‬عدد الطرق الممكنة لترتٌب الكتب‪:‬‬ ‫رٌاضٌات‬ ‫فٌزٌاء‬ ‫علوم‬ ‫ومنه عدد طرق الترٌتب‪:‬‬ ‫) تبادٌل هذه المجموعة‬ ‫لدٌنا (‬ ‫‪)2‬‬ ‫𝟑× 𝟒× 𝟑× 𝟐‬ ‫) تبادٌل هذه المجموعة ‪1728‬‬ ‫ومنه عدد طرق الترٌتب‪:‬‬ ‫فٌزٌاء‪:‬رٌاضٌات‬ ‫علوم‬ ‫لدٌنا (‬ ‫‪)3‬‬ ‫𝟐× 𝟒× 𝟓‬ ‫‪11520‬‬ ‫تمرٌن ‪ٌ :‬رٌد طالب أن ٌدرس مواده الستة بشكل متتابع والمطلوب ‪:‬‬ ‫‪ _1‬بكم طرٌمة ٌمكن للطالب أن ٌرتب مواده للدراسة ‪.‬‬ ‫‪ _2‬بكم طرٌمة ٌمكن للطالب أن ٌرتب مواده إذا كانت األولى هً الرٌاضٌات ‪.‬‬ ‫‪ _3‬بكم طرٌمة ٌمكن أن ٌرتب مواده إذا كانت األولى هً العلوم واألخٌرة الكٌمٌاء ‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪720 _1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪120 _2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪24 _3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫‪)2‬التراتٌب } الموائم دون تكرار{ ‪:‬‬ ‫المؤلفة من عنصر‪:‬‬ ‫نسمً ترتٌبا ً ل من المجموعة‬ ‫كل لائمة بدون تكرار او كل اختٌار ل عنصر مرتبة ومختلفة‬ ‫تعرٌف ‪:‬‬ ‫ٌعطى عدد تراتٌب لائمة طول كل منها 𝑟 من مجموعة مكونة من 𝑛 عنصر بالعاللة ‪:‬‬ ‫𝒏𝒓𝑷‬ ‫𝟏 ‪𝒏 𝒏− 𝟏 𝒏− 𝟐 ……. 𝒏 − 𝒓 +‬‬ ‫;‬ ‫𝟏‬ ‫𝒓‬ ‫𝒏‬ ‫𝒏‬ ‫𝒏𝒓𝑷‬ ‫أو‬ ‫𝒓‪𝒏−‬‬ ‫ٌستخدم الثبات العاللات الرٌاضٌة‬ ‫مالحظات‪:‬‬ ‫‪ٌ )1‬تمٌز التراتٌب بأهمٌة الترتٌب وعدم التكرار‬ ‫و‬ ‫‪ )2‬حالة خاصة‪:‬‬ ‫‪ )3‬نتٌجة لعدم التكرار ٌكون‬ ‫‪ٌ )4‬ستخدم التراتٌب فً حال ‪:‬‬ ‫تشكٌل لجان المهام محدد‬ ‫‪‬‬ ‫سحب من صندوق على التتالً دون إعادة‬ ‫‪‬‬ ‫تشكٌل أعداد األرلام ال ٌمكن أن تتكرر‬ ‫‪‬‬ ‫ترتٌب أشٌاء‬ ‫‪‬‬ ‫تمرٌن ‪ :‬فً بلدة تلذهب دورة رٌاضٌات مؤلفة من ‪ 18‬طالب و‪12‬طالبة نرٌد تشكٌل لجنة تضم رئٌس ونائب وأمٌنا ً والمطلوب‪:‬‬ ‫‪ )1‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل اللجنة ‪.‬‬ ‫‪ )2‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل اللجنة بحٌث الرئٌس طالب واألمٌن طالبة‬ ‫‪)3‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬تشكٌل لجان_ المهام محدد _نستخدم التراتٌب ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑃30‬‬ ‫‪30 × 29 × 28‬‬ ‫‪24360‬‬ ‫‪ )2‬الرئٌس شخصا ً من ‪ 11‬طالب – األمٌن طالبة من بٌن ‪ 12‬طالبة – النائب لٌس له شرط ٌتم أختٌاره من بٌن ال‪ 21‬فرداً المتبمٌة (ألننا‬ ‫أنمصنا شخصٌن األمٌن والرئٌس)‬ ‫𝑃×‪𝑃 ×𝑃8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12 × 18 × 28‬‬ ‫‪6048‬‬ ‫‪7‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫والمطلوب‪:‬‬ ‫وأربعة كتب للمؤلف‬ ‫تمرٌن وزاري‪ :‬رف ٌحوي ‪ 7‬كتب لمؤلفٌن ثالثة كتب للمؤلف‬ ‫‪ )1‬بكم طرٌمة ٌمكن ترتٌب الكتب على الرف‪.‬‬ ‫‪ )2‬بكم طرٌمة ٌمكن ترتٌب الكتب على الرف اذا كانت الكتب الثالثة األولى للمؤلف‬ ‫فً البداٌة ‪.‬‬ ‫‪ )3‬بكم طرٌمة ٌمكن ترتٌب الكتب على الرف اذا اشترطنا ان ٌكون كتابا معٌنا للمؤلف للمؤلف‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ٌ )1‬تم ترتٌب على الرف بطرق عددها ‪5040‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بطرق عددها‬ ‫‪ٌ )2‬تم ترتٌب الكتب الثالثة األولى للمؤلف‬ ‫) بطرق عددها‬ ‫وكتابا َ للمؤلف‬ ‫ٌتم ترتٌب الكتب المتبمٌة( ثالثة للمؤلف‬ ‫ومنه ٌمكن ترتٌب الكتب على الرف وفك الشرط بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪𝑃 × 𝑃3‬‬ ‫‪576‬‬ ‫‪ٌ )3‬مكن ترتٌب الكتب على الرف وفك الشرظ بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪1. 𝑃66‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪720‬‬ ‫تمرٌن(اختبارات)‪ :‬نرٌد تألٌف لجنة تضم (مدٌر و نائب وأمٌن ) من مجموعة تضم خمسة أعضاء والمطلوب ‪:‬‬ ‫‪_1‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل اللجنة ‪.‬‬ ‫ً‬ ‫‪_2‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل اللجنة علما أن هنان شخصان متحابان البد من وجودهما فً اللجنة ‪.‬‬ ‫‪_3‬بكم طرٌمة ٌمكن أختٌار اللجنة علما َ أن هنان شخصان متخالفان ال ٌجتمعان فً اللجنة ذاتها ‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ _1‬تشكٌل لجان_ المهام محدد _نستخدم التراتٌب ‪:‬‬ ‫‪𝑃3‬‬ ‫‪5×4×3‬‬ ‫‪ٌ_2‬تم أختٌار اللجنة شخصٌن متحابٌن مع شخص من األشخاص ‪60‬‬ ‫االخرٌن بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪3. 𝑃 𝑃3‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪_3‬طرٌمة أولى ‪ٌ :‬تم تشكٌل اللجنة وفك الشرط ‪:‬‬ ‫اما من ثالثة أشخاص غٌر متخاصمٌن بطرق عددها‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫عددها‬ ‫بطرق‬ ‫متخاصمٌن‬ ‫أو شخص من المتخاصمٌن مع شخصٌن من غٌر‬ ‫ومنه عدد طرق أختٌار اللجنة مع عدم أجتماع الشخصٌن المتخاصمٌن بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪𝑃33 + 3. 𝑃 𝑃3‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪3‬‬ ‫طرٌمة ثانٌة‪:‬عدد الطرق الكلٌة الختٌار اللجنة من ثالثة أشخاص هو‬ ‫‪3.‬‬ ‫عدد طرق أختٌار اللجنة التً تضم الشخصٌن المتخاصمٌن هو ‪3‬‬ ‫ومنه ٌكون عدد طرق تألٌف اللجنة التً ال تضم الشخصٌن المتخاصمٌن هو عدد الطرق الكلٌة مطروحا منه عدد طرق وجود الشخصٌن‬ ‫المتخاصمٌن فً اللجنة أي‪:‬‬ ‫‪𝑃3 − 3. 𝑃 𝑃3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪42‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫تمرٌن ‪ :‬صندوق ٌحوي ‪ 5‬كرات ‪ 3‬حمراء ‪ 2‬بٌضاء نسحب من الصندوق ‪ 3‬كرات على التتالً دون إعادة المطلوب‪:‬‬ ‫‪ )1‬كم عدد النتائج الممكنة لهذا السحب‪.‬‬ ‫‪ )2‬ما عدد النتائج الممكنة التً نحصل فٌها كرة أولى حمراء وثانٌة حمراء وثالثة بٌضاء ‪.‬‬ ‫‪ )3‬ما عدد النتائج التً نحصل فٌها على كرتٌن حمراوتٌن و كرة بٌضاء ‪.‬‬ ‫‪ )4‬ما عدد النتائج الممكنة التً نحصل فٌها على ثالث كرات بضاء ‪.‬‬ ‫‪ )5‬ما عدد النتائج الممكنة التً نحصل فٌها على كرة بٌضاء على األلل‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬السحب من صندوق على التتالً دون إعادة نستخدم التراتٌب ‪:‬‬ ‫‪𝑃3‬‬ ‫‪5×4×3‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ال‬ ‫الترتٌب مهم ال نضرب بالتبادٌل ‪:‬‬ ‫‪ )2‬لدٌنا‬ ‫𝑃 ‪𝑃3.‬‬ ‫‪3×2×2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫الترتٌب غٌر مهم نضرب بالتبادٌل ‪:3‬‬ ‫‪ )3‬لدٌنا‬ ‫𝑃 ‪3. 𝑃3.‬‬ ‫‪3×3×2×2‬‬ ‫‪36‬‬ ‫غٌر ممكن ألن عدد الكرات البٌضاء ‪2‬‬ ‫‪ )4‬لدٌنا‬ ‫الترتٌب غٌر مهم نضرب بالتبادٌل ‪:3‬‬ ‫أو‬ ‫‪ )5‬لدٌنا‬ ‫𝑃 ‪3. 𝑃3. 𝑃 + 3. 𝑃3.‬‬ ‫‪3×3×2×2+3×3×2×1‬‬ ‫‪54‬‬ ‫طرٌمة ثانٌة‪:‬‬ ‫عدد النتائج للحصول على كرة بٌضاء على األلل ٌساوي عدد النتائج الكلً مطروحا ً منه عدد نتائج الحصول على ثالث كرات حمراء ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪60 − 6‬‬ ‫‪54‬‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫(و) تعنً تماطع‬ ‫َ‬ ‫(و) تعنً ضرب __بلغة االحتماالت ‪( :‬أو) تعنً اجتماع‬ ‫بلغة التوافٌك ‪( :‬أو) تعنً جمع َ‬ ‫تمرٌن‪ :‬صندوق ٌحوي ‪ 15‬كرات ‪ 6‬حمراء و‪ 3‬بٌضاء وكرة سوداء نسحب من الصندوق ثالث كرات دون إعادة الكرة المسحوبة فً كل مرة‬ ‫‪)1‬ما عدد النتائج الممكنة لهذا السحب‪.‬‬ ‫‪)2‬ما عدد النتائج الممكنة التً نحصل فٌها على ثالث كرات من نفس اللون‪.‬‬ ‫‪)3‬ما عدد النتائج الممكنة التً تحوي على كرتٌن فمط من نفس اللون‬ ‫‪)4‬ما عدد النتائج الممكنة التً تشمل على كرات مختلفة اللون‪.‬‬ ‫‪)5‬ما عدد النتائج المختلفة للحصول على كرات لٌست جمٌعها من لون واحد‪.‬‬ ‫‪)6‬ما عدد النتائج المختلفة التً تشمل على كرة حمراء واحدة على األلل‪.‬‬ ‫‪)7‬ما عدد النتائج المختلفة التً تشمل على كرة سوداء واحدة على األلل‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬السحب من صندوق _ على التتالً دون إعادة _نستخدم التراتٌب ‪:‬‬ ‫‪𝑃30‬‬ ‫‪10 × 9 × 8‬‬ ‫‪720‬‬ ‫ألنه ال ٌمكن الحصول على كرة سوداء الترتٌب غٌر مهم التبادٌل ‪1‬‬ ‫أو‬ ‫‪ )2‬لدٌنا‬ ‫‪𝑃63 + 𝑃33‬‬ ‫‪6×5×4+3×2×1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪126‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫بٌضاء أو سوداء‬ ‫حمراء أو سوداء‬ ‫الترتٌب غٌر مهم نضرب بالتبادٌل ‪:3‬‬ ‫⏞‬ ‫أو‬ ‫⏞‬ ‫‪ )3‬لدٌنا‬ ‫‪3𝑃. 𝑃6 + 3𝑃3. 𝑃7‬‬ ‫‪486‬‬ ‫الترتٌب غٌر مهم نضرب بالتبادٌل !‪:3‬‬ ‫‪ )4‬لدٌنا‬ ‫‪𝟑 𝑃. 𝑃6. 𝑃3‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪ )5‬نستخدم طرٌك المتمم ‪:‬‬ ‫عدد النتائج التً تشمل ثالث كرات لٌست جمٌعها من لون واحد ٌساوي عدد الطرق الكلٌة مطروحا ً منه عدد النتائج للحصول على ثالث‬ ‫كرات من نفس اللون ‪:‬‬ ‫‪720 − 126‬‬ ‫‪ )6‬عدد النتائج للحصول على كرة حمراء على اإللل ٌساوي عدد‪594‬‬ ‫الطرق الكلٌة للسحب مطروحا عدد نتائج الحصول على كرات‬ ‫بٌضاء وسوداء‬ ‫‪3‬‬ ‫‪720 −‬‬ ‫‪696‬‬ ‫تذكر نضرب بالتبادٌل عندما‬ ‫الٌكون أهمٌة للترتٌب‬ ‫الترتٌب غٌر مهم نضرب بالتبادٌل ‪: 3‬‬ ‫‪ )7‬لدٌنا‬ ‫‪𝟑𝑃. 𝑃9‬‬ ‫‪216‬‬ ‫الموائم (مع التكرار) ‪:‬‬ ‫ٌعطى عدد الموائم مع التكرار التً طول كل منها 𝑟 من مجموعة 𝐸تضم 𝑛عنصرا ً مختلفا ً بالعاللة‬ ‫𝒓‬ ‫𝒏‬ ‫مالحظات‪:‬‬ ‫نتٌجة أمكانٌة التكرار‬ ‫‪ٌ.1‬مكن أن ٌكون‬ ‫‪.2‬تستخدم تعرٌف المائمة فً حال ‪:‬‬ ‫‪ ‬تشكٌل أعداد ٌمكن أن تتكرر‬ ‫‪ ‬سحب من صندوق على التتالً مع اإلعادة‬ ‫والمطلوب ‪:‬‬ ‫{‬ ‫}‬ ‫تمرٌن ‪ :‬نتأمل المجموعة‬ ‫‪ )1‬ما عدد الموائم مع التكرار التً طول كل منها ‪ 2‬مؤخوذة من‬ ‫‪ )2‬ما عدد الموائم مع التكرار التً طول كل منها ‪ 4‬مأخوذة من‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9 _1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪81 _2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫تمرٌن ‪ :‬صندوق ٌحوي ‪ 5‬كرات ‪ 3‬حمراء ‪ 2‬بٌضاء نسحب من الصندوق ‪ 3‬كرات على التتالً مع األعادة المطلوب‪:‬‬ ‫‪ )1‬كم عدد النتائج الممكنة لهذا السحب‪.‬‬ ‫‪ )2‬ما عدد النتائج الممكنة التً نحصل فٌها كرة أولى حمراء وثانٌة حمراء وثالثة بٌضاء ‪.‬‬ ‫‪ )3‬ما عدد النتائج التً نحصل فٌها على كرتٌن حمراوتٌن و كرة بٌضاء ‪.‬‬ ‫‪ )4‬ما عدد النتائج الممكنة التً نحصل فٌها على ثالث كرات بضاء ‪.‬‬ ‫‪ )5‬ما عدد النتائج الممكنة التً نحصل فٌها على كرة بٌضاء على األلل‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ _1‬السحب من صندوق _ مع األعادة _نستخدم المائمة ‪:‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪125‬‬ ‫الترتٌب مهم ال نضرب بالتبادٌل ‪:‬‬ ‫‪ _2‬لدٌنا‬ ‫‪3 ×2‬‬ ‫‪18‬‬ ‫الترتٌب مهم نضرب بالتبادٌل ‪: 3‬‬ ‫‪_3‬لدٌنا‬ ‫‪3×3 ×2‬‬ ‫‪54‬‬ ‫التبادٌل ‪: 1‬‬ ‫‪_4‬لدٌنا‬ ‫‪23‬‬ ‫‪ _ 5‬طرٌمة أولى‪:‬‬ ‫تذّكر بأنّ هنالن ٌوم مرتمب‬ ‫‪8‬‬ ‫بالتعوٌض‬ ‫‪ 3‬أو‬ ‫ت‬ ‫‪ 3‬او‬ ‫ت‬ ‫لدٌنا‬ ‫‪.......‬ز‪.‬ززز‬ ‫‪23 + 3 × 2 × 3 + 3 × 2 × 3‬‬ ‫‪98‬‬ ‫طرٌمة ثانٌة ( المتمم)‪:‬‬ ‫عدد نتائج الحصول على كرة بٌضاء واحدة على األلل ٌساوي ‪:‬‬ ‫عدد النتائج الكلً مطروحا ً منه نتائج الحصول على ثالث كرات حمراء ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪125 − 3‬‬ ‫‪98‬‬ ‫تمرٌن‪ :‬صندوق ٌحوي ‪ 15‬كرات ‪ 6‬حمراء و‪ 3‬بٌضاء وكرة سوداء نسحب من الصندوق ثالث كرات مع إعادة الكرة المسحوبة فً كل مرة‬ ‫والمطلوب ‪:‬‬ ‫‪_1‬ما عدد النتائج الممكنة لهذا السحب‪.‬‬ ‫‪_2‬ما عدد النتائج الممكنة التً نحصل فٌها على ثالث كرات من نفس اللون‪.‬‬ ‫‪_3‬ما عدد النتائج الممكنة التً تحوي على كرتٌن فمط من نفس اللون‬ ‫‪_4‬ما عدد النتائج الممكنة التً تشمل على كرات مختلفة اللون‪.‬‬ ‫‪_5‬ما عدد النتائج المختلفة للحصول على كرات لٌست جمٌعها من لون واحد‪.‬‬ ‫‪_6‬ما عدد النتائج المختلفة التً تشمل على كرة حمراء واحدة على األلل ‪.‬‬ ‫‪_7‬ما عدد النتائج المختلفة التً تشمل على كرة سوداء واحدة على األلل ‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ _1‬السحب من صندوق_ على التتالً مع اإلعادة _نستخدم المائمة ‪:‬‬ ‫‪103‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫او‬ ‫‪.‬‬ ‫أو ‪:‬‬ ‫‪ -2‬لدٌنا‬ ‫‪63 + 33 + 13‬‬ ‫‪244‬‬ ‫ت‪:3‬‬ ‫أو‬ ‫ت‪3‬‬ ‫ت‪ 3‬او‬ ‫‪_3‬لدٌنا‬ ‫‪3×3 ×7‬‬ ‫‪+3×1 ×9‬‬ ‫‪+3×6 ×4‬‬ ‫‪648‬‬ ‫ت‬ ‫‪6 ×3 ×1 ×3‬‬ ‫‪ 3‬الترتٌب غٌر مهم نضرب بالتبادٌل ‪108 :‬‬ ‫‪ _4‬لدٌنا‬ ‫‪11‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫‪ _5‬نستخدم طرٌمة المتمم ‪:‬‬ ‫عدد نتائج الحصول على كرات لٌست جمٌعها من لون واحد ٌساوي عدد النتائج الكلٌة مطروحا منه عدد النتائج للحصول على كرات جمٌعها من‬ ‫لون واحد ( نفس اللون ) ‪:‬‬ ‫‪1000 − 63 + 33 + 13‬‬ ‫‪766‬‬ ‫‪ _6‬عدد النتائج للحصول على كرة حمراء واحدة على األلل ٌساوي عدد النتائج الكلً مطروحا منه عدد نتائج الحصول على كرات( بٌضاء أو‬ ‫سوداء) ‪:‬‬ ‫‪1000 − 43‬‬ ‫‪936‬‬ ‫‪ _7‬عدد النتائج للحصول على كرة سوداء على األلل ٌساوي عدد النتائج الكلً مطروحا منه عدد نتائج الحصول على كرات( بٌضاء أو حمراء)‬ ‫‪:‬‬ ‫‪1000 − 93‬‬ ‫‪271‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬‫‪14‬‬ ‫تمرٌن جد لٌمة المحممة للمعادلة‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪− 2 ……..‬‬ ‫‪− +1‬‬ ‫الحل دستور التراتٌب‬ ‫شرط الحل ‪3‬‬ ‫المعادلة تكافئ ‪:‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪− 11 + 30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ممبول‬ ‫ممبول‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫𝟏𝒓‬ ‫𝟐𝒓‬ ‫‪:‬‬ ‫‪4 :‬‬ ‫تمرٌن جد لٌمة المحممة للمعادلة‬ ‫‪𝑃𝑛11‬‬ ‫‪𝑃𝑛22‬‬ ‫⇔‬ ‫𝟏𝒏‬ ‫‪𝒏𝟐 NOTE‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪− 2 ……..‬‬ ‫‪− +1‬‬ ‫الحل دستور التراتٌب‬ ‫شرط الحل ‪1‬‬ ‫المعادلة تكافئ ‪:‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪4 +1‬‬ ‫ممبول‬ ‫‪: 3:‬‬ ‫‪2 :‬‬ ‫تمرٌن جد لٌمة المحممة للمعادلة‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪− 2 ……..‬‬ ‫‪− +1‬‬ ‫الحل دستور التراتٌب‬ ‫شرط الحل ‪2‬‬ ‫المعادلة تكافئ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫ممبول‬ ‫مرفوض ‪−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪:‬‬ ‫جد لٌمة المحممة للمعادلة‬ ‫وزاري‬ ‫تمرٌن‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪− 2 …….. − + 1‬‬ ‫الحل دستور التراتٌب‬ ‫شرط الحل ‪3‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪45 + 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪45‬‬ ‫ممبول‬ ‫مرفوض ‪−7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫مالحظة ‪ :‬وظٌفة السؤال رلم ‪ 3‬من تمرٌنات ومسائل الوحدة‬ ‫التوافٌك ‪:‬‬ ‫تعرٌف‪ :‬نسمً توفٌما ل 𝒓 عنصر من مجموعة 𝑬‪ ,‬كل مجموعة جزئٌة من 𝑬 تضم 𝒓 عنصر‬ ‫ٌعطى عدد توافٌك مجموعة مكونة من 𝒓 عنصرا من بٌن 𝒏 عنصرا بالعاللة ‪:‬‬ ‫𝐧‬ ‫𝒏‬ ‫𝐧‬ ‫𝒏𝒓𝑷‬ ‫) (‬ ‫أو‬ ‫) (‬ ‫𝒓‬ ‫𝒓‪𝒓 𝒏−‬‬ ‫𝒓‬ ‫𝒓‬ ‫تمرٌن ‪ :‬أحسب فً كل حالة ناتج ما ٌلً ‪:‬‬ ‫) (‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6.5.4.3‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 6−3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪3.3.2.1‬‬ ‫) (‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7.6.5‬‬ ‫) (‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 7−5‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪5.2‬‬ ‫) (‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8.7.6.5‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 8−3‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3.5‬‬ ‫𝒏‬ ‫𝒏‬ ‫𝒏‬ ‫) (‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝒏‬ ‫) (‬ ‫𝟏‬ ‫نتٌجة‬ ‫𝟎‬ ‫𝟏‬ ‫𝐧‬ ‫مبرهنة‬ ‫( ) (‬ ‫)‬ ‫‪−‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫( ) ( مثال‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10 − 9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أو‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫⇔‬ ‫{‬ ‫إما‬ ‫‪+‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫التً تحمك المعادلة)‬ ‫‪:3‬‬ ‫جد لٌمة‬ ‫تمرٌن (‬ ‫الحل ‪ :‬شرط الحل لٌم التً تحمك المتراجحتٌن ‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫و‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪:0‬‬ ‫ومنه شرط الحل ‪7‬‬ ‫طرٌمة أولى ‪:‬‬ ‫بحسب تساوي توفٌمٌن‪:‬‬ ‫أما‬ ‫‪+‬‬ ‫{‬ ‫ممبول‬ ‫ممبول‬ ‫أو‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪13‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫طرٌمة ثانٌة ‪:‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15 − 2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪15 −‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15 − 2‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪12 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12 −‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪15 − 2‬‬ ‫‪;3‬‬ ‫‪;3‬‬ ‫;‬ ‫بحسب تساوي ترتٌبٌن ‪:‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ممبول‬ ‫ممبول‬ ‫‪−‬‬ ‫مالحظات‪:‬‬ ‫‪ٌ )1‬تمٌز التوافٌك بعدم الترتٌب وعدم التكرار‬ ‫‪ٌ )2‬ستخدم التوافٌك ‪:‬‬ ‫‪ ‬السبحب من صندوق معا ( دفعة واحدة _آن واحد )‬ ‫‪ ‬تشكٌل لجان( المهام محدد )‬ ‫‪ ‬أجزاء مجموعات ( تشكٌل مجموعة جزئٌة من مجموعة )‬ ‫‪ :‬فً إحدى مراكز الخدمة ثالثة مهندسٌن وخمسة عمال كم لجنة لوامها مهندس واحد وعامالن ٌمكن تشكٌلها لمتابعة أعمال‬ ‫تمرٌن‬ ‫الخدمة ‪.‬‬ ‫الحل ‪ :‬تشكٌل لجان _المهام غٌر محدد_ نستخدم توافبك ‪:‬‬ ‫ٌتم أختٌار المهندس بطرق عددها )‪(3‬‬ ‫ٌتم أختٌار العامالن بطرق عددها ) (‬ ‫ومنه ٌكون عدد طرق تشكٌل اللجنة التً تضم مهندس واحد وعامالن بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) () (‬ ‫‪3.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪:‬فً إحدى مراكز اإلمتحان ٌطلب من الطالب اإلجابة عن خمسة أسئلة من ثمانٌة والمطلوب‪:‬‬ ‫تمرٌن‬ ‫‪ )1‬بكم طرٌمة ٌمكن للطالب أن ٌختار األسئلة‬ ‫‪ )2‬بكم بطرٌمة ٌمكن أن ٌختار األسئلة إذا كانت األسئلة الثالثة األخٌرة إجبارٌة‬ ‫إضافً بكم طرٌمة ٌمكنه األختٌار إذا كان من اإلجبار اإلجابة عن ثالثة أسئلة من الخمسة األولى ‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ )1‬جزء من مجموعة _نستخدم توافٌك ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪ )2‬إذا أجاب الطالب عن األسئلة الثالثة األخٌرة ٌبمى له إختٌار السؤالٌن المتبمٌٌن من بٌن األسئلة الخمسة األولى بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) (‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫)‪(3‬‬ ‫ٌمكنه أختٌار األسئلة اإلجبارٌة األولى بطرق عددها ‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وٌبمى له سؤالٌن ٌتم أختٌارهما من بٌن األسئلة الثالثة المتبمٌة بطرق عددها‬ ‫ومنه ٌكون إجمالً طرق أختٌار األسئلة الخمسة مع اإلجبار اإلجابة عن ثالثة من الخمسة األولى بطرق عددها‪:‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪( ) ( ) 3 × 10‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪30‬‬ ‫تمرٌن‪ٌ :‬لتمً عشرة أصدلاء فً حفل ٌصافح كل منهم األشخاص الستعة اآلخرٌن مرة واحدة فمط‬ ‫ما عدد المصافحات التً جرت فً الحفل ‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫كل شخصٌن ٌتصافحان مرة واحدة إذا ً عدد المجموعات الجزئٌة ‪ 2‬ومنه عدد المصافحات التً جرت فً الحفل‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫) (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 8‬‬ ‫‪45‬‬ ‫تمرٌن‪ :‬فً بلدة تلذهب أراد مختار المرٌة تشكٌل لجنة تضم ‪ 5‬أعضاء ٌتم أختٌارهم من بٌن ‪ 5‬رجال و‪ 6‬نساء والمطلوب‪:‬‬ ‫‪ )1‬ما هو عدد اللجان التً ٌمكن تشكٌلها‪.‬‬ ‫‪ )2‬ما هو عدد اللجان التً ٌمكن تشكٌلها فً كل حالة إذا علمت ‪:‬‬ ‫‪(A‬بٌن األعضاء رجل واحد فمط‬ ‫‪(B‬من بٌن األعضاء ٌجب أن ٌكون إمرأتٌن على األكثر‬ ‫‪(C‬من بٌن األعضاء ٌجب أن ٌكون رجلٌن وإمرأتٌن على األلل ‪.‬‬ ‫‪(D‬من بٌن األعضاء امرأة على األكثر‬ ‫‪ )3‬ما هو عدد اللجان اذا كانت تضم سائك ومعاون سائك وطباخا‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬تشكٌل لجان _ المهام غٌر محدد_نستخدم توافٌك ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪462‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪ٌ (A‬تم أختٌار الرجل بطرق عددها ) (‬ ‫ٌتم أختٌار النساء بطرق عددها )‪(6‬‬ ‫ومنه ٌكون عدد طرق تشكٌل اللجنة وفك الشرط‪:‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫) () (‬ ‫‪75‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪ (B‬أعضاء اللجنة ( ‪ 2‬امرأة َو ‪ 3‬رجال) أو ( ‪ 1‬امرأة َو ‪ 4‬رجال ) أو (‪ 5‬معلمة َو ‪ 5‬رجال) وعلٌه ٌكون‪:‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 181‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪0 5‬‬ ‫‪ )C‬أعضاء اللجنة (‪ 2‬رجل َو ‪ 3‬نساء ) أو( ‪ 3‬رجال َو ‪ 2‬إمرأة ) ‪:‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫) () ( ‪( )( ) +‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪ (D‬أعضاء اللجنة ( ‪ 1‬امرأة َو ‪4‬رجال ) أو ( ‪ 5‬امرأة َو ‪ 5‬رجال) ‪:‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫) () ( ‪( )( ) +‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪5 0‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫‪ )3‬تشكٌل لجان _ المهام محدد_ نستخدم تراتٌب‪:‬‬ ‫‪𝑃3‬‬ ‫‪11 × 10 × 9‬‬ ‫‪990‬‬ ‫تمرٌن ‪ :‬فً صف ‪ 25‬طالب من بٌنهم طالب أسمه شحادة نرٌد تألٌف لجنة من طالبٌن والمطلوب ‪:‬‬ ‫‪ )1‬بكم طرٌمة ٌمكن تألٌف اللجنة ‪.‬‬ ‫‪ )2‬بكم طرٌمة ٌمكن تألٌف اللجنة شرط عدم وجود شحادة فً اللجنة‬ ‫‪ )3‬بكم طرٌمة ٌمكن تألٌف اللجنة شرط وجود شحادة فً اللجنة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪_1‬تشكٌل لجان المهام غٌر محدد_ نستخدم توافٌك‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫) (‬ ‫‪190‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 18‬‬ ‫‪_2‬عدم وجود شحادة فً اللجنة أصبح ٌمكننا أختٌار طالبٌن من بٌن ال‪ 11‬طالب المتبمٌٌن بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫) (‬ ‫‪171‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 17‬‬ ‫‪_3‬شحادة موجود أصبح ٌمكننا اختٌار طالب اآلخر من بٌن ال‪ 11‬طالب المتبمٌن بطرق عددها )‪ ( 9‬ومنه طرق أختٌار اللجنة وفك الشرط‬ ‫‪19‬‬ ‫(×‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪19‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تمرٌن(اختبارات)‪ :‬نرٌد تألٌف لجنة تضم ثالثة أعضاء من مجموعة تضم خمسة أعضاء والمطلوب ‪:‬‬ ‫‪_1‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل اللجنة ‪.‬‬ ‫‪_2‬بكم طرٌمة ٌمكن تشكٌل اللجنة علما ً أن هنان شخصان متحابان البد من وجودهما فً اللجنة ‪.‬‬ ‫‪_3‬بكم طرٌمة ٌمكن أختٌار اللجنة علما َ أن هنان شخصان متخالفان ال ٌجتمعان فً اللجنة ذاتها ‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ _1‬تشكٌل لجان _ المهام غٌر محدد_ نستخدم توافٌمال ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ _2‬الشخصان المتحابان فً اللجنة _ٌبمى شخص ٌتم أختٌاره من بٌن الثالثة أشخاص االخرٌن _ فٌكون طرق أختٌار اللجنة وفك الشرط ط‪:‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫) () (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪ٌ -3‬تم تشكٌل اللجنة ‪:‬‬ ‫)‪(33‬‬ ‫إما ثالثة أشخاص ال ٌوجد بٌنهم متخاصمن بطرق عدد ‪1‬‬ ‫)‪( )(3‬‬ ‫أو شخص من المتخالفٌن مع شخصٌن من غٌر المتخاصمٌن بطرق عددها ‪6 :‬‬ ‫ومنه طرق تشكٌل اللجنة وفك الشرط ٌكون بطرق عددها ‪:‬‬ ‫‪6+1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪16‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫تمرٌن ‪ :‬صندوق ٌحوي ‪ 1‬كرات ‪ 4‬حمراء و‪ 3‬خضراء و‪ 1‬بٌضاء نسحب من الصندوق ثالث كرات معا والمطلوب‪:‬‬ ‫‪ )1‬ما عدد النتائج الممكنة لهذا السحب ‪.‬‬ ‫‪ )2‬ماعدد النتائج للحصول على كرات من نفس اللون‪.‬‬ ‫‪ )3‬ما عدد النتائج للحصول على كرة حمراء على األلل ‪.‬‬ ‫‪ )4‬ما عدد النتائج للحصول على كرتٌن من نفس اللون‪.‬‬ ‫‪ )5‬ماعدد النتائج للحصول على كرتٌن خضراوتٌن على األكثر ‪.‬‬ ‫‪ )6‬ما عدد النتائج للحصول على كرات مختلفة اللون ‪.‬‬ ‫‪ )7‬ما عدد النتائج للحصول على كرات لٌست جمٌعها من لون واحد‪.‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫َ‬ ‫‪ _1‬السحب معا نستخدم توافٌك ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪56‬‬ ‫ومنه ٌكون ‪:‬‬ ‫أو‬ ‫‪ _2‬لدٌنا ‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) (‪( )+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ومنه ٌكون ‪:‬‬ ‫أو‬ ‫أو‬ ‫‪ _3‬لدٌنا ‪,‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) ( ‪( )( ) + ( )( ) +‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ومنه ٌكون ‪:‬‬ ‫أو‬ ‫‪_4‬لدٌنا ‪,‬‬ ‫‪4 4‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫) () ( ‪( )( ) +‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫ومنه ٌكون ‪:‬‬ ‫أو‬ ‫أو‬ ‫‪ _5‬لدٌنا ‪,‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫) () ( ‪( )( ) + ( )( ) +‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪0 3‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫ومنه ٌكون ‪:‬‬ ‫‪ _6‬لدٌنا ‪,‬‬ ‫‪3 4 1‬‬ ‫) () () (‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪ _7‬نستخدم طرٌمة المتمم ‪:‬‬ ‫عدد نتائج الحصول على كرات لٌست جمٌعها من لون واحد ٌساوي عدد النتائج الكلٌة مطروحا منه عدد النتائج للحصول على كرات جمٌعها من‬ ‫لون واحد ( نفس اللون ) ‪:‬‬ ‫‪56 − 5‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪17‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫عدد متوازٌات األضالع ‪:‬‬ ‫ُ‬ ‫نتأمل ‪ n‬مستمٌما َ متوازٌا ً ٌمطع ‪ m‬مستمٌما متوازٌا عندئذ عدد متوازٌات األضالع المحددة بالمستمٌمات ‪ m‬و ‪ٌ n‬عطى بالعاللة ‪:‬‬ ‫ً‬ ‫𝒎 𝒏‬ ‫) () (‬ ‫𝟐 𝟐‬ ‫فً الشكل المجاور نتأمل شبكة منتظمة من‬ ‫تمرٌن د‬ ‫المستمٌمات المتوازٌة تشكل فٌما بٌنها متوازٌات أضالع والمطلوب‪:‬‬ ‫أحسب عدد متوازٌات األضالع فً الشبكة ‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫عدد المستمٌمات المتوازٌة األفمٌة ٌعطى ) (‬ ‫عدد المستمٌمات المتوازٌة الشالولٌة ٌعطى ) (‬ ‫ومنه عدد متوازٌات االطالع المحدد بالمستمٌمات ٌعطى ‪:‬‬ ‫‪( )( ) 60‬‬ ‫عدد مثلثات وألطار من ‪ n‬نمطة و ضعت على محٌط دائرة ‪:‬‬ ‫نمطة على محٌطها عندئ ٍذ ‪:‬‬ ‫نتأمل دائرة وضعت علٌها‬ ‫‪ _1‬عدد المثلثات ‪:‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫ٌعطى ‪:‬‬ ‫‪ _2‬عدد نماط تماطع ألطار مضلع مؤلف من ‪ n‬ضلع حٌث‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ٌعطى ‪:‬‬ ‫‪ _3‬عدد ألطار مضلع محدب رؤوسه ‪ n‬حٌث‬ ‫‪( )−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫موزعة على دائرة بحٌث تشكل مسدس منتظم والمطلوب ‪:‬‬ ‫تمرٌن‪ :‬فً الشكل المرسوم جانبا ً لدٌنا ست نماط‬ ‫‪ _1‬ما عدد المثلثات المكونة من النماط المتوضعة على الدائرة ( رؤوس المسدس )‬ ‫‪_2‬ما عدد المثلثات المائمة الزاوٌة‬ ‫‪ _3‬ما عدد المثلثات المنفرجة الزاوٌة‬ ‫‪ _4‬ما عدد نماط تماطع ألطار المسدس‬ ‫‪ _5‬ما عدد ألطار المسدس‬ ‫‪ _6‬ما عدد الرباعٌات التً ٌمكن تشكٌلها ‪.‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪ _1‬لدٌنا أي مجموعة جزئٌة مؤلفة من ثالث نماط تؤلف مثلثا‬ ‫اذا ً عدد المثلثات ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( 3 ) (3) 20‬‬ ‫‪ _2‬كل لطر ٌمر بمركز الدائرة وتر ألربع مثلثات لائمة رؤوسها هً رؤوس المسدس عدا طرفً المطر المختار ولدٌنا ثالثة ألطار عندئ ٍذ عدد‬ ‫المثلثات المائمة ٌعطى ‪:‬‬ ‫‪4 × 3 12‬‬ ‫‪ _3‬لدٌنا كل رأس فً المسدس ٌعٌن مثلثا ً منفرج الزاوٌة إذا ً عدد المثلثات المنفرجة الزاوٌة ٌساوي ‪6‬‬ ‫‪ _4‬عدد نماط تماطع ألطار مضلع هو ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( )+‬‬ ‫‪( )+6‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ _5‬عدد ألطار مضلع ٌعطى ‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( )−‬‬ ‫‪( )−6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ _6‬لدٌا كل مجموعة جزئٌة مؤلفة من أربعة نماط تؤلف مضلع رباعً إذا عدد المطلعات الرباعٌة ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( ) ( ) 15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫{‬ ‫‪.‬رسمنا فٌها ستة ألطار مختلفة لتكن }‬ ‫‪ :‬لتكن دائرة مركزها‬ ‫تمرٌن‬ ‫مجموعة أطراف هذه األلطار والمطلوب ‪:‬‬ ‫‪ _1‬ما عدد المثلثات اللتً رؤوسها من‬ ‫‪ _2‬ما عدد المضلعات الرباعٌة اللتً رؤوسها من‬ ‫‪ _3‬كم مستطٌل رؤوسه من عناصر‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫×‬ ‫‪× 0‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪220 _1‬‬ ‫‪39‬‬ ‫× ×‪3‬‬ ‫×‬ ‫‪× 0×9‬‬ ‫) (‬ ‫‪495 _2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫× ×‪×3‬‬ ‫‪ _3‬لتشكٌل مستطل نحتاج الى لطرٌن من ألطار الدائرة ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( ) 15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وظٌفة ‪ :‬نجد جانبا الشكل المجاور والمطلوب ‪:‬‬ ‫‪ )1‬ماعدد المثلثات المجودة فً الشكل المجاور‬ ‫‪ )2‬ما عدد المطع المسمٌمة‬ ‫‪)3‬ما عدد المستطٌالت فً الشكل المجاور‬ ‫‪19‬‬ ‫حمص ‪ -‬تلذهب ‪0991104972 :‬‬ ‫المدرس‪ :‬بالل السلٌمان‬ ‫منشور ذي الحدٌن ‪:‬‬ ‫مبرهنة لٌكن 𝑹 ∈ 𝒃 𝒂 و 𝑵 ∈ 𝒏 فإن‬ ‫𝒏‬ ‫𝒏‬ ‫𝒏‬ ‫𝒃‪𝒂+‬‬ ‫𝒏𝒃 ⋯ ‪𝒂𝒏 + ( ) 𝒂𝒏;𝟏 𝒃 + ⋯ … … … …. + ( ) 𝒂𝒏;𝒓 𝒃𝒓 +‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝒓‬ ‫نتٌجة ‪:‬‬ ‫ٌساوي ‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ _1‬عدد حدود‬ ‫بالعاللة ‪:‬‬ ‫‪ٌ _2‬عطى الحد العام ذي الدلٌل‬ ‫الحد األول الحد الثانً ‪….‬‬ ‫𝒏‬ ‫𝒓𝑻‬ ‫𝒓𝒃 𝒓;𝒏𝒂 ) (‬ ‫𝒓‬ ‫متناوبة ‪.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ ‬إن‬ ‫‪ ‬الحد العام ٌعطى ‪:‬‬ ‫𝒏‬ ‫𝒓𝑻‬ ‫𝒃‪( ) 𝒂𝒏;𝒓 −‬‬ ‫𝒓‬