محاضرات الكم PDF

 ‫نظرية الكم القديمة‬ ‫‪-1‬أشعاع الجسم االسود‬ ‫في مطلع القرن العشرين نتيجة لظهور المصباح الكهربائي ظهرت حاجة لوضوع قانون يصف‬ ‫الطريقة التي بواسطتها يمكن أن نحصل على اكبر شدة ضوئية للمصباح مقابل اقل قدرة...

 ‫نظرية الكم القديمة‬ ‫‪-1‬أشعاع الجسم االسود‬ ‫في مطلع القرن العشرين نتيجة لظهور المصباح الكهربائي ظهرت حاجة لوضوع قانون يصف‬ ‫الطريقة التي بواسطتها يمكن أن نحصل على اكبر شدة ضوئية للمصباح مقابل اقل قدرة مستهلكة‬ ‫وفي البدء كانت المحاوالت األساسية لحل هذه المسألة مستندة على العلوم االساسية التي كانت‬ ‫معروفة في ذلك الوقت وهي الميكانيك الكالسيكي لنيوتن و الميكانيك األحصائي والنظرية‬ ‫الكهرومغناطسية لماكسويل أضافة الى الثروديناميك وكانت بداية القوانين التجريبية هو قانون‬ ‫ستيفان بولتزمان الذي يربط بين درجة حرارة خويط المصباح مع شدة الطاقة األشعاعية المنبعثة‬ ‫لوحدة المساحة وينص هذا القانون‪:‬‬ ‫)‪W= σ T4 …………………………………………………………………………………… (1-1‬‬ ‫حيث أن ‪:‬‬ ‫‪ W‬تمثل كثافة الطاقة األشعاعية لوحدة المساحة بوحدة ‪watt.m-2‬‬ ‫‪ T‬درجة الحرارة المطلقة بوحدة ‪k‬‬ ‫‪ σ‬ثابت ستيفان بولتزمان وقيمته ‪56.7*10-9 watt.m-2.k-1‬‬ ‫س‪/‬أحسب كثافة الطاقة األشعاعية المنبعثة من جسم درجة حرارته ‪ 1000C‬حسب قانون ستيفان‬ ‫بولتزمان‬ ‫من الواضح ان هذا القانون يصف الطاقة األشعاعية المنبعثة بصورة عامة بغض النظر التوزيع‬ ‫الطيفي لها (تبرز اهمية هذا الجانب من معرفة أن الكثير من األطوال الموجية تعطي تأثير حراري‬ ‫فقط وال تعطي طاقة ضوئية) لذلك من المهم معرفة توزيع طاقة الطيف على األطوال الموجية‬ ‫اوترددات لألشعاع المنبعث من الجسم الساخن وقد وجدت حقيقتين تجريبتين يمكن وصفها بالمخطط‬ ‫األتي‬  ‫‪ -1‬تصل كثافة الطاقة االشعاعية الى نقطة نهاية عظمى عند طول موجي معين )‪(λmax‬‬ ‫‪ -2‬يزاح ‪ λmax‬بأتجاه الطول الموجي األقصر بزيادة درجة الحرارة‬ ‫وعمليا َ فأن الشكل السابق يمكن مالحظته بصورة واضحة عند تسخين قطعة من الحديد حيث يتحول‬ ‫لونها بعد فترة وجيزة الى اللون االحمر ومن ثم تتحول الى اللون االبيض مع زيادة شدة الضؤ‬ ‫المنبعث‪.‬كان ‪ Wien‬اول من حاول ان يضع قانون يتناول هذه الظاهرة ويسمى قانون ‪Wien‬‬ ‫لالزاحة‬ ‫)‪𝜆𝑚𝑎𝑥. 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 1.44 ∗ 10−2 𝑚. 𝑘 … … … … … … (2 − 1‬‬ ‫س) احسب درجة حرارة سطح الشمس أذا علمت أن ‪ λmax‬لطيف األشعاع الشمسي هو ‪2600‬‬ ‫‪nm‬‬ ‫بعدها قام رايلي و جينز بوضع معادلة تدمج قانوني ستيفان بولتزمان مع قانون وين لالزاحة‬ ‫أستنادا على مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة و الذي ينص‬ ‫𝑇𝑘𝜋‪8‬‬ ‫= 𝜆𝑑 )𝜆(𝑃‬ ‫)‪𝑑𝜆 … … … … … … … … … … … … … … … … … … (3 − 1‬‬ ‫‪𝜆4‬‬ ‫اذ )𝜆(𝑃 هي كثافة الطاقة االشعاعية عند الطول الموجي ‪ k ,λ‬ثابت بولتزمان ∗ ‪(1.38‬‬ ‫) ‪10−23 𝐽. 𝑘 −1‬‬ ‫أن قانون التوزيع الطيفي السابق ينطبق مع النتيجة العملية ألشعاع الجسم األسود في الشكل السابق‬ ‫ضمن األطوال الموجية الطويلة الكنه اليفسر حقيقة وجود نقطة نهاية عظمى في الطيف كذلك فانه‬ ‫ال يتطابق اطالقا في منطقة االطوال الموجية القصيرة‪.‬في عام ‪ 1011‬افترض بالنك أن الطاقة‬ ‫الألشعاعية للجسم األسود التبعث وال تمتص بصورة مستمرة وأنما بحزم سماها كمات الطاقة وأن‬ ‫كل حزمة تكون ذات طاقة محددة تعطى بالعالقة‬ ‫)‪𝐸 = ℎ𝜈 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. (4 − 1‬‬ ‫)‪𝑜𝑟 𝐸 = ℎ. 𝐶/𝜆 … … … … … … … … … … … … … … … … … (5 − 1‬‬ ‫حيث أن‪ E‬طاقة األشعاع‪ h ,‬ثابت بالنك )‪ C ,(6.63*10-34 J.sec‬سرعة الضوء‪(3*108m.sec-‬‬ ‫)‪ ν ,1‬تردد االشعاع‪ λ ,‬الطول الموجي‪.‬‬ ‫س‪ /‬أحسب طاقة الفوتون ذو الطول الموجي ‪320 nm‬‬ ‫عند أشتقاق قانون توزيع الطاقة لكل نمط أهتزازي (حسب الثرموديناميك األحصائي)حصل بالنك‬ ‫على العالقة‬ ‫𝐶‪8𝜋ℎ‬‬ ‫= 𝜆𝑑 )𝜆(𝑃‬ ‫)‪𝑑𝜆 … … … … … … … … … … (6 − 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝐶‪ℎ‬‬ ‫( 𝑃𝑋𝐸[ 𝜆‬ ‫]‪) − 1‬‬ ‫𝑇𝑘𝜆‬ ‫والذي يتطابق مع النتائج العملية آلشعاع الجسم األسود وكألتي ‪:‬‬ ‫‪ -1‬في منطقة األطوال الموجية القصيرة ذات التردد العالي والطاقة العالية يكون الحد‬ ‫𝐶‪ℎ‬‬ ‫( 𝑃𝑋𝐸[ كبير جدا يقترب من االنهاية لذلك فأن )‪ P(λ‬تؤل الى الصفر بمعنى‬ ‫]‪) − 1‬‬ ‫𝑇𝑘𝜆‬ ‫ان عدد الجسيمات يقترب من الصفر عند زيادة مستوى الطاقة‪.‬‬ ‫‪ -2‬في منطقة االطوال الموجية الطويلة (الطاقة الواطئة) يكون ‪ ℎ𝐶/𝜆𝑘𝑇 = ℏ𝜔 ∗ ℋ‬‬ ‫𝐻‬ ‫)‪̂ + 1) ℏ𝜔 |𝑛 > … … … ….. (39 − 11‬‬ ‫𝑁( => 𝑛| ̂‬ ‫‪2‬‬ ‫و حيث ان المؤثر ̂‬ ‫𝑁 يعطي رقم الحالة الكمي فيكون‬ ‫)‪̂ |𝑛 > = 𝐸𝑛 |𝑛 >= (𝑛 + 1) ℏ𝜔|𝑛 > ⋯ … … … … … … … (40 − 11‬‬ ‫𝐻‬ ‫‪2‬‬ ‫و بذلك تكون القيمة الذاتية للطاقة الكلية لنظام المهتز التزافقي‬  ‫‪1‬‬ ‫)‪𝐸𝑛 = (𝑛 + ) ℏ𝜔 … … … … … … … … … … … … … … (41 − 11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫لمعرفة تاثير المؤثرات †𝑎 ‪ 𝑎 ,‬على دالة الموجة الناتجة > 𝑛| سنحاول معرفة رتبة دالة الموجة الناتجة من هذه‬ ‫المؤثرات باستخدام مؤثر العدد‬ ‫من تعريف مؤثر العدد )‪̂ 𝑎|𝑛 >= 𝑎† 𝑎𝑎|𝑛 > … … … … …. (42 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫من تبادلية المؤثرات المترافقة هرميتيا )‪̂ 𝑎|𝑛 >= ( 𝑎𝑎† − 1)𝑎|𝑛 > … …. (43 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫)‪̂ 𝑎|𝑛 >= ( 𝑎𝑎† 𝑎 − 𝑎)|𝑛 > … … … … … … … … … … …. (44 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫)‪̂ 𝑎|𝑛 >= 𝑎( 𝑎† 𝑎 − 1)|𝑛 > … … … … … … … … ….... …. (45 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑁 (𝑎 => 𝑛|𝑎 ̂‬ ‫𝑁‬ ‫)‪̂ − 1)|𝑛 > … ….. … … … … … … ….... …. (46 − 11‬‬ ‫)‪̂ 𝑎|𝑛 >= ( 𝑛 − 1)𝑎|𝑛 > … ….. … … … … … … ….... …. (47 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫ان النتيجة اعاله تبين ان رتبة الدالة > 𝑛|𝑎 اقل من رتبة الدالة االصلية > 𝑛| بمقدار واحد اي ان المؤثر 𝑎‬ ‫عمل على تقليل رتبة الدالة > 𝑛| و تحويلها الى الدالة > ‪ |𝑛 − 1‬ويمكن كتابة هذه العملية‬ ‫)‪𝑎|𝑛 > = 𝐶𝑛 |𝑛 − 1 > … … … … … … … … …. (48 − 11‬‬ ‫اذا كررنا العمليات السابقة للمؤثر †𝑎 ايضا‬ ‫من تعريف مؤثر العدد )‪̂ 𝑎† |𝑛 >= 𝑎† 𝑎𝑎† |𝑛 > … … … … …. (49 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫من تبادلية المؤثرات المترافقة هرميتيا )‪̂ 𝑎† |𝑛 >= 𝑎† ( 𝑎† 𝑎 + 1)|𝑛 > …. (50 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫𝑁( †𝑎 => 𝑛| †𝑎 ̂‬ ‫𝑁‬ ‫)‪̂ + 1)|𝑛 > … … … … … … … … … … …. (51 − 11‬‬ ‫)‪̂ 𝑎† |𝑛 >= ( 𝑛 + 1)𝑎† |𝑛 > … ….. … … … … … … ….... …. (52 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫ان النتيجة اعاله تبين ان رتبة الدالة > 𝑛| †𝑎 اكبر من رتبة الدالة االصلية > 𝑛| بمقدار واحد اي ان المؤثر‬ ‫†𝑎 عمل على زيادة رتبة الدالة > 𝑛| و تحويلها الى الدالة > ‪ |𝑛 + 1‬و تكتب هذه العملية‬ ‫)‪𝑎† |𝑛 > = 𝐶𝑛† |𝑛 + 1 > … … … … … … … … …. (53 − 11‬‬ ‫لهذا السبب تسمى المؤثرات †𝑎 ‪ 𝑎 ,‬بمؤثرات الخفض و الرفع او مؤثرات الفناء و التخليق‪ ,‬ان المعادالت ‪(48 −‬‬ ‫)‪ 11‬و )‪ (53 − 11‬و االن يمكن الوصول الى الحالة االرضية لنظام المهتز التوافقي (اي اقل قيمة ممكنة‬ ‫ياخذها العدد الكمي 𝑛) من حقيقة ان التاثير بمؤثر الخفض على دالة الحالة االرضية سيكون صفر‬ ‫)‪𝑎|𝑛𝑚𝑖𝑛 > = 0 … … … … … … … … … … ….. (54 − 11‬‬ ‫ثم نؤثر بمؤثر الرفع على المعادلة اعاله‬ ‫)‪𝑎† 𝑎|𝑛𝑚𝑖𝑛 > = 0 … … … … … … … … … … ….. (55 − 11‬‬ ‫)‪̂ |𝑛𝑚𝑖𝑛 > = 0 … … … … … … … … … …. … ….. (56 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫نضرب طرفي المعادلة بالدالة المرافقة | 𝑛𝑖𝑚𝑛 = 𝐸𝑛 |𝑛 >= (𝑛 + 1) ℏ𝜔|𝑛 > … … … … … … … … (40 − 11‬‬ ‫𝐻‬ ‫‪2‬‬ ‫و ضربها بالدالة |𝑛 𝑛|‬ ‫)‪̂ |𝑛 > = 𝑛 ∗|𝑛 > … … … … … … … … … … … ….. (62 − 11‬‬ ‫𝑁‬ ‫كذلك نضرب طرفي المعادلة بالدالة > 𝑛|‬ ‫)‪̂|𝑛⟩ = ⟨𝑛|𝑛|𝑛⟩ … … … … … … … ….. … … … … (63 − 11‬‬ ‫𝑁|𝑛⟨‬ ‫و حيث ان 𝑎 †𝑎 = ̂‬ ‫𝑁‬ ‫)‪⟨𝑛|𝑎† 𝑎|𝑛⟩ = ⟨𝑛|𝑛|𝑛⟩ … … … … … … … ….. … … … … (64 − 11‬‬ ‫من معرفة ان المؤثر 𝑎 يعمل على تحويل الدالة > 𝑛| الى الدالة > ‪ |𝑛 − 1‬لذلك سوف نستعمل العالقة الواحدية‬ ‫للدالة > ‪ |𝑛 − 1‬و التي تنص‬ ‫)‪|𝑛 − 1 > < 𝑛 − 1| = 1 … … … … … … … … … … …. (65 − 11‬‬ ‫)‪⟨𝑛|𝑎† ∗ 1 ∗ 𝑎|𝑛⟩ = ⟨𝑛|𝑛|𝑛⟩ … … … … … … … ….. … … … … (66 − 11‬‬ ‫)‪⟨𝑛|𝑎† |𝑛 − 1⟩⟨𝑛 − 1|𝑎|𝑛⟩ = 𝑛 ∗ ⟨𝑛|𝑛⟩ = 𝑛 … … … …. … … … … (67 − 11‬‬  ‫†‬ ‫)‪𝑎(𝑛,𝑛−1‬‬ ‫)‪∗ 𝑎(𝑛−1,𝑛) = 𝑛 … … … … … … … … … … … … … … … ….. (68 − 11‬‬ ‫و بما ان المؤثرين 𝑎 ‪ 𝑎† ,‬احدهما مرافق هرميتي لالخر لذلك فان حاصل ضربهما يعطي المربع المطلق الي‬ ‫منهما‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫†‬ ‫)‪|𝑎(𝑛,𝑛−1‬‬ ‫)‪| = |𝑎(𝑛−1,𝑛) | = 𝑛 … … … … … … … … …. (69 − 11‬‬ ‫لذلك‬ ‫)‪𝑎(𝑛−1,𝑛) = √𝑛 … … … … … … … … … … … … … … (70 − 11‬‬ ‫†‬ ‫)‪𝑎(𝑛,𝑛−1‬‬ ‫)‪= √𝑛 … … … … … … … … … …. … … …. (71 − 11‬‬ ‫اي ان المصفوفات المقابلة لها تكون‬ ‫‪0 √1 0‬‬ ‫)‪𝑎(𝑛−1,𝑛) = [0 0 √2] … … … … … … … … … … … … (72 − 11‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫†‬ ‫‪√1 0 0‬‬ ‫)‪𝑎(𝑛,𝑛−1‬‬ ‫[=‬ ‫)‪] … … … … … … … … … … … ….. (73 − 11‬‬ ‫‪0 √2 0‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬  ‫المحاضرة الثانية عشر‬ ‫ذرة الهيدروجين‬ ‫يعتبر نظام ذرة الهيدروجين ابسط نظام ذري اذ تتكون ذرة الهيدروجين من بروتون واحد والكترون واحد و‬ ‫بسبب كون كتلة البروتون اكبر بكثير من كتلة االلكترون فيمكننا كتقريب اولي اعتبار ان مركز ثقل النظام هو‬ ‫نواة ذرة الهيدروجين و بذلك تكون الحركة الدورانية لاللكترون حول النواة هي التي تساهم بالجزء االكبر من‬ ‫طاقة ذرة الهيدروجين ومن جهة اخرى فان نمط الحركة هذا يحمل المفاهيم االساسية لتكميم نظام الدوار الصلد‬ ‫و بذلك يكون المؤثر الهاملتوني الذي يصف الطاقة الكلية لذرة الهيدروجين مكون من مؤثر طاقة حركية اللكترون‬ ‫يتحرك حركة دورانية حول نواة تمثل مركز ثقل النظام اما مؤثر الطاقة الكامنة فيمثل طاقة التجاذب الكهربائي‬ ‫بين االلكترون و النواة‪.‬‬ ‫)‪̂ 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸 ∗ 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) … … … … … … … … … … … … …. (1 − 12‬‬ ‫𝐻‬ ‫)‪(𝑇̂ + 𝑉̂ )𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸 ∗ 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) … … … … … … … … ….. (2 − 12‬‬ ‫و بما ان حركة االلكترون حول النواة حركة دائرية في ثالثة ابعاد لذلك تكون مؤثرات ̂𝑉 ‪ 𝑇̂,‬معتمدة على ثالثة‬ ‫ابعاد لذلك يحسب حد الطاقة الكامنة من حاصل ضرب شحنتي االلكترون و النواة مقسوما على المسافة بينهما‬ ‫التي تكون حسب قانون البعد بين نقطتين ‪ √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2‬على فرض ان البروتون يقع في نقطة االصل‪.‬‬ ‫اما المؤثر التفاضلي الموجود في حد الطاقة الحركية فيعطى بالمعادلة‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫= )𝑧‪∇2(𝑥,𝑦,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪… … … … … … … … … …. (3 − 12‬‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫‪𝜕𝑧 2‬‬ ‫اي ان معادلة القيمة الذاتية للمؤثر الهملتوني تاخذ الشكل ادناه في الفضاء الثالثي البعد لنظام ذرة الهيدروجين‬ ‫‪−ℏ2‬‬ ‫‪−𝑒 2‬‬ ‫‪(2𝑚 ∇2(𝑥,𝑦,𝑧) +‬‬ ‫)‪) 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸 ∗ 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) … … … …. (4 − 12‬‬ ‫𝑒‬ ‫‪√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2‬‬ ‫او‬ ‫‪−ℏ2‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝑒2‬‬ ‫‪(2𝑚 (𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧 2 ) −‬‬ ‫)‪) 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸 ∗ 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧). (4 − 12‬‬ ‫𝑒‬ ‫‪√𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2‬‬ ‫لحل المعادلة السابقة يتوجب فصل المتغيرات )𝑧 ‪ (𝑥, 𝑦,‬كل منها في حد ال يتضمن المتغيرات الباقية من خالل‬ ‫استعمال عمليات الضرب و القسمة و الجمع و الطرح و لكن اليمكن فصل متغيرات هذه المعادلة مهما حاولنا‬ ‫با لطرق االعتيادية لذلك سنقوم بتحويل النظام االحداثي لهذه المعادلة معتمدين على نظام احداثي يحقق شروط‬ ‫تماثل نمط الحركة لهذا النظام و بما ان نمط حركة االلكترون حول النواة ذو شكل كروي لذلك سوف نحول‬ ‫النظام الديكارتي المستعمل للتعبير عن هذه المعادلة الى النظام الكروي لالحداثيات من خالل‬ ‫)𝜙‪∇2(𝑥,𝑦,𝑧) → ∇2(𝑟,𝜃,‬‬  ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫𝜕 ‪1 𝜕 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫→‬ ‫𝑟(‬ ‫‪)+ 2‬‬ ‫‪(𝑠𝑖𝑛𝜃 ) + 2 2‬‬ ‫𝑟𝜕 ‪𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝑟 2‬‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 𝜃 ‪𝑟 sin‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫‪𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜙 2‬‬ ‫)‪… … … … … … … … … ….. (5 − 12‬‬ ‫)‪√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 → 𝑟 … … … … … … … … … …. (6 − 12‬‬ ‫)‪𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧) → 𝛹(𝑟, 𝜃, 𝜙) … … … … … … … … … … … (7 − 12‬‬ ‫س‪ /‬اذا علمت ان‬ ‫𝜃𝑠𝑜𝑐 ‪𝑥 = 𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜙 , 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑠𝑖𝑛𝜙 & 𝑧 = 𝑟.‬‬ ‫اثبت ان‬ ‫𝑟 = ‪√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2‬‬ ‫و االن تتحول المعادلة )‪ (4 − 12‬الى الشكل الكروي‬ ‫‪−ℏ2‬‬ ‫𝜕 ‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪𝑒2‬‬ ‫‪(2𝑚 (𝑟 2 𝜕𝑟 (𝑟 2 𝜕𝑟) + 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕𝜃 (𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃) + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕𝜙2 ) −‬‬ ‫𝑟‬ ‫∗ 𝐸 = )𝜙 ‪) 𝛹(𝑟, 𝜃,‬‬ ‫𝑒‬ ‫)‪𝛹(𝑟, 𝜃, 𝜙) … … … … … … … ….. (8 − 12‬‬ ‫𝑒𝑚‪−2‬‬ ‫ثم نصفر المعادلة‬ ‫و االن نجعل الحد التفاضلي خالي من المعامالت و ذلك بضرب المعادلة اعاله بالمقدار‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫المتبقية‬ ‫𝜕 ‪1 𝜕 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫𝑟( ‪(( 2‬‬ ‫‪)+ 2‬‬ ‫‪(𝑠𝑖𝑛𝜃 ) + 2 2‬‬ ‫‪)+ 2‬‬ ‫)𝜙 ‪) 𝛹(𝑟, 𝜃,‬‬ ‫𝑟𝜕 𝑟‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 𝜃 ‪𝑟 sin‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫‪𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜙 2‬‬ ‫𝑟 ‪ℏ‬‬ ‫𝑒𝑚‪−2‬‬ ‫=‬ ‫)‪𝐸 ∗ 𝛹(𝑟, 𝜃, 𝜙) … … … … … ….. (9 − 12‬‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫𝜕 ‪1 𝜕 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫(‬ ‫𝑟(‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪𝛹(𝑟,‬‬ ‫‪𝜃,‬‬ ‫)𝜙‬ ‫‪+‬‬ ‫)𝜙 ‪( + 𝐸) 𝛹(𝑟, 𝜃,‬‬ ‫𝑟𝜕 ‪𝑟 2‬‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 𝜃 ‪𝑟 2 sin‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫‪𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕𝜙 2‬‬ ‫𝑟 ‪ℏ2‬‬ ‫)‪= 0 … … … … … … … … …. (10 − 12‬‬ ‫لغرض تجزئة المتغيرات الموجودة في المعادلة )‪ (10 − 12‬نفرض ان دالة الموجة المعتمدة على ثالث‬ ‫متغيرات )𝜙 ‪ 𝛹(𝑟, 𝜃,‬مكونة من حاصل ضرب ثالث دوال موجة كل منها معتمد على متغير و احد فقط‬ ‫)‪𝛹(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝑅(𝑟). Θ(𝜃). Φ(𝜙) … … … … … … … … … ….. (11 − 12‬‬ ‫𝜕 ‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜕‬ ‫𝜕‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝜕2‬‬ ‫‪( 2 (𝑟 2 ) + 2‬‬ ‫‪(𝑠𝑖𝑛𝜃 ) + 2 2‬‬ ‫)𝜙(‪) 𝑅(𝑟). Θ(𝜃). Φ‬‬ ‫𝑟𝜕 𝑟‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 𝜃 ‪𝑟 sin‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫‪𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜙 2‬‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫)‪+ 2 ( + 𝐸) 𝑅(𝑟). Θ(𝜃). Φ(𝜙) = 0 … … … … … … … … …. (12 − 12‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫و عند فتح االقواس في هذه المعادلة فان الدوال التي تتضمن متغير الحد التفاضلي هي التي تبقى داخله و تخرج‬ ‫الدوال االخرى بدون تاثر بالحد التفاضلي‬ ‫𝜕 )𝜙(‪Θ(𝜃). Φ‬‬ ‫𝑅𝜕‬ ‫‪2‬‬ ‫𝜕 )𝜙(‪𝑅(𝑟). Φ‬‬ ‫‪𝜕Θ‬‬ ‫‪𝑅(𝑟). Θ(𝜃) 𝜕 2 Φ‬‬ ‫(‬ ‫𝑟(‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫‪)+ 2 2‬‬ ‫)‬ ‫‪𝑟2‬‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 𝜃 ‪𝑟 2 sin‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫‪𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜙 2‬‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫)‪+ 2 ( + 𝐸) 𝑅(𝑟). Θ(𝜃). Φ(𝜙) = 0 … … … … … … … … …. (13 − 12‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫نحاول ان نجعل الحد االول ذو المقدار التفاضلي المعتمد على 𝑟 يحتوي على الدالة 𝑅 فقط كذلك الحدود التفاضلية‬ ‫الثاني و الثالث و ذلك بقسمة المعادلة )‪ (13 − 12‬على )𝜙(‪ 𝑅(𝑟). Θ(𝜃). Φ‬فتحذف الحدود المضروبة و‬ ‫تتبقى الحدود التفاضلية‬ ‫𝑅𝜕 ‪1 1 𝜕 2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫𝜕‬ ‫‪𝜕Θ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 𝜕 2 Φ 2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫𝑟(‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫)‬ ‫‪+‬‬ ‫)𝐸 ‪+ 2 ( +‬‬ ‫𝑟𝜕 ‪𝑅 𝑟 2‬‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 𝜃 ‪Θ 𝑟 2 sin‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫‪Φ 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝜕𝜙 2‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫)‪= 0 … … … … … … … … …. (14 − 12‬‬ ‫ان المعادلة الناتجة االن انفصلت فيها الدوال االساسية عن بعضها و بذلك يمكن اجراء عمليات التكامل لحلها و‬ ‫الحد االبسط فيها هو الحد الثالث (حد ‪ )Φ‬و لكنه ال يزال يحتوي على المتغيرات )𝜃 ‪ (𝑟,‬و التي ال تنتمي الى‬ ‫الدالة ‪ Φ‬لذلك نضرب المعادلة )‪ (14 − 12‬بالمقدار 𝜃 ‪𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2‬‬ ‫𝜕 𝜃 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬ ‫𝑅𝜕‬ ‫𝜕 𝜃𝑛𝑖𝑠‬ ‫‪𝜕Θ‬‬ ‫‪1 𝜕 2 Φ 2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑟(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝜃 𝑛𝑖𝑠 ‪+ 2 ( + 𝐸) 𝑟2‬‬ ‫𝑅‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 ‪Θ‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫𝜙𝜕 ‪Φ‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫)‪= 0 … … … … … … … … …. (15 − 12‬‬ ‫ان الحد الثالث في هذه المعادلة حد خاص بالدالة ‪ Φ‬يحتوي على المتغير 𝜙 فقط لغرض اجراء عملية التكامل‬ ‫على هذا الحد نفترض ان باقي اجزاء المعادلة ثابتة بالنسبة الى هذا الحد كذلك يمكن تحويل تفاضله الجزئي الى‬ ‫تفاضل تام الن دالته معتمدة على متغيرها فقط‬ ‫‪1 𝑑2Φ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑚2 … … … … … … … … … … … … … … … (16 − 12‬‬ ‫𝜙𝑑 ‪Φ‬‬ ‫ان اختيار الحرف 𝑚 للتعبير عن الثابت في المعادلة االخيرة يعود الى ان القيمة الذاتية الناتجة عن حلها تكون‬ ‫متعلقة بعدد الكم المغناطيسي لذلك فان اختيارهذا الحرف في هذه المعادلة هو اجراء معتمد عند حل معادلة‬ ‫شرودنكر لذرة الهيدروجين‪.‬‬ ‫عند تعويض المعادلة )‪ (16 − 12‬في المعادلة )‪ (15 − 12‬نحصل على‬ ‫𝜕 𝜃 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬ ‫𝑅𝜕‬ ‫𝜕 𝜃𝑛𝑖𝑠‬ ‫‪𝜕Θ‬‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑟(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫𝜃 𝑛𝑖𝑠 ‪) + 𝑚 + 2 ( + 𝐸) 𝑟2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑅‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 ‪Θ‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫)‪= 0 … … … … … … … … …. (17 − 12‬‬ ‫و التي تحتوي على المتغيرين )𝜃 ‪ (𝑟,‬مع حدودها التفاضلية و لكننا نجد ان المقادير المتغيرة ما تزال ممتزجة‬ ‫مع بعضها حيث ان الحد االول الخاص بالمتغير 𝑟 يحتوي على الدالة 𝜃 ‪ 𝑠𝑖𝑛2‬لذلك نقسم المعادلة )‪(17 − 12‬‬ ‫على هذه الدالة‬ ‫𝜕‪1‬‬ ‫𝑅𝜕‬ ‫𝜕 ‪1 1‬‬ ‫‪𝜕Θ‬‬ ‫‪𝑚2‬‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫‪(𝑟 2‬‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫‪)+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( + 𝐸) 𝑟2‬‬ ‫𝑟𝜕 𝑅‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫𝜃𝜕 𝜃𝑛𝑖𝑠 ‪Θ‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫𝜃 𝑛𝑖𝑠‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫)‪= 0 … … … … … … … … …. (18 − 12‬‬ ‫نالحظ ان الحدين االول و الرابع في المعادلة اعاله خاصة بالمتغير 𝑟 مع دالته و حده التفاضلي اما الحدين الثاني‬ ‫و الثالث فهي خاصة للمتغير 𝜃 مع دالته و حده التفاضلي لذلك من المالئم ترتيب المعادلة بالشكل‬ ‫𝜕‪1‬‬ ‫𝑅𝜕‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫𝜕 ‪1 1‬‬ ‫‪𝜕Θ‬‬ ‫‪𝑚2‬‬ ‫‪(𝑟 2‬‬ ‫‪) + 2 ( + 𝐸) 𝑟2 +‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫‪)+‬‬ ‫𝑟𝜕 𝑅‬ ‫𝑟𝜕‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝜃𝜕 𝜃𝑛𝑖𝑠 ‪Θ‬‬ ‫𝜃𝜕‬ ‫𝜃 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬ ‫)‪= 0 … … … … … … … … …. (19 − 12‬‬ ‫و الجل فصل المتغيرين لغرض التكامل نثبت احدهما و ليكن المتغير 𝑟 اي ان كل حدود هذا المتغير ذات قيمة‬ ‫ثابتة و لتكن 𝛽‬ ‫𝑑 ‪1‬‬ ‫𝑅𝑑‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫𝑟𝑑 𝑅‬ ‫‪(𝑟 2 𝑑𝑟 ) +‬‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫)‪( 𝑟 + 𝐸) 𝑟2 = 𝛽 … … … … … (20 − 12‬‬ ‫حيث نالحظ ان التفاضل الجزئي تحول الى تفاضل تام الن الدالة 𝑅 معتمدة على المتغير 𝑟 فقط وهو المتغير‬ ‫الوحيد الموجود في المعادلة‪.‬عند تعويض المعادلة )‪ (20 − 12‬في معادلة )‪ (19 − 12‬نحصل على‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑑‬ ‫‪𝑑Θ‬‬ ‫‪𝑚2‬‬ ‫‪𝛽+‬‬ ‫)‪(𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃 ) + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 0 … … … … … … … … …. (21 − 12‬‬ ‫𝜃𝑑 𝜃𝑛𝑖𝑠 ‪Θ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫𝑑‬ ‫𝛩𝑑‬ ‫‪𝑚2‬‬ ‫𝑟𝑜‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫‪)+‬‬ ‫)‪= −𝛽 … … … … … … … … …. (22 − 12‬‬ ‫𝜃𝑑 𝜃𝑛𝑖𝑠 𝛩‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫𝜃 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬ ‫تمثل المعادالت )‪ (16 − 12‬و)‪ (20 − 12‬و)‪ (22 − 12‬ثالث معادالت تفاضلية من الدرجة الثانية كل منها‬ ‫بمتغير واحد فقط و كما ذكرنا سابقا فان المعادلة االبسط بينها و التي يمكن حلها بالتكامل المباشر هي معادلة ‪Φ‬‬ ‫حيث يكون حلها‬ ‫‪1‬‬ ‫= )𝜙( ‪Φm‬‬ ‫)‪𝑒 𝑖𝑚𝜙 … … … … … … … … … … … … … ….. (23 − 12‬‬ ‫𝜋‪√2‬‬ ‫حيث تاخذ قيم 𝑚 االعداد ∞‪ 0, ±1, ±2, ±3 … ….. , ±‬ويسمى بعدد الكم المغناطيسي لذرة الهيدروجين‪.‬‬ ‫المعادلة )‪ (22 − 12‬معادلة تفاضلية غير خطية تحل بطريقة المتسلسالت من خالل تحويلها الى الشكل القياسي‬ ‫𝑑 ‪1‬‬ ‫‪𝑑Θ‬‬ ‫‪𝑚2‬‬ ‫‪(𝑠𝑖𝑛𝜃 ) +‬‬ ‫)‪Θ + 𝑙(𝑙 + 1)Θ = 0 … … … … … …. (24 − 12‬‬ ‫𝜃𝑑 𝜃𝑛𝑖𝑠‬ ‫𝜃𝑑‬ ‫𝜃 ‪𝑠𝑖𝑛2‬‬ ‫حيث ان )‪ 𝛽 = 𝑙(𝑙 + 1‬وان 𝑙 ياخذ القيم ∞ ‪ 𝑙 = 0,1,2,3 … ,‬مع شرط ان 𝑙 ≤ |𝑚| ويكون الحل‬ ‫العام للمعادلة اعاله هو‬  ‫|𝑚|‬ ‫|𝑚|‬ ‫|𝑚|‬ ‫)‪Θ𝑙 (𝜃) = 𝑁𝑙 ∗ 𝑃𝑙 (𝑐𝑜𝑠𝜃) … … … … … … … … …. (25 − 12‬‬ ‫|𝑚|‬ ‫𝑙𝑁 هو ثابت معايرة الدالة وهو يعتمد على االعداد الكمية 𝑙 ‪ |𝑚|,‬و يعطى بالمعادلة‬ ‫|𝑚|‬ ‫!)|𝑚| ‪(2𝑙 + 1) (𝑙 −‬‬ ‫𝑙𝑁‬ ‫√=‬ ‫∗‬ ‫)‪… … … … … … … ….. (26 − 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!)|𝑚| ‪(𝑙 +‬‬ ‫|𝑚|‬ ‫اما )𝜃𝑠𝑜𝑐( 𝑙𝑃 فتسمى متعددة حدود ليجندر عندما تاخذ ‪ |𝑚| = 0‬و تسمى متعددة حدود ليجندر‬ ‫المرافقة عندما تكون قيمة |𝑚| غيرها من االعداد و تعطى بالمعادلة‬ ‫|𝑚|‬ ‫‪1‬‬ ‫|𝑚|‬ ‫)|𝑚|‪𝑑 (𝑙+‬‬ ‫𝑙𝑃‬ ‫= )𝜃𝑠𝑜𝑐(‬ ‫∗‬ ‫)𝜃𝑛𝑖𝑠(‬ ‫∗‬ ‫)‪(𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 1)𝑙 … (27 − 12‬‬ ‫!𝑙 ∗ 𝑙‪2‬‬ ‫)|𝑚|‪𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑙+‬‬ ‫و لتسهيل التعامل مع الدالة المذكورة نقوم بتعويض 𝜃𝑠𝑜𝑐 = 𝑢 فتاخذ المعادلة )‪ (27 − 12‬الشكل‬ ‫|𝑚|‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 |𝑚|/2‬‬ ‫)|𝑚|‪𝑑 (𝑙+‬‬ ‫𝑙𝑃‬ ‫= )𝑢(‬ ‫∗‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫𝑢‬ ‫)‬ ‫∗‬ ‫)‪(𝑢2 − 1)𝑙 … (28 − 12‬‬ ‫!𝑙 ∗ 𝑙‪2‬‬ ‫)𝑢(𝑑‬ ‫)|𝑚|‪(𝑙+‬‬ ‫وبعد الحل نعيد 𝜃𝑠𝑜𝑐 = 𝑢 اي بداللة 𝜃‬ ‫|𝑚|‬ ‫مثال ‪ /‬اوجد قيمة الدالة )𝜃( 𝑙‪ Θ‬عندما تكون ‪𝑙 = 2, 𝑚 = −1‬‬ ‫|‪|−1‬‬ ‫‪Θ2‬‬ ‫)𝜃𝑠𝑜𝑐( ‪(𝜃) = 𝑁2|−1| ∗ 𝑃2|−1| (𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝛩21 (𝜃) = 𝑁21 ∗ 𝑃21‬‬ ‫!)‪(2 ∗ 2 + 1) (2 − 1‬‬ ‫!)‪5 (1‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫√ = ‪𝑁21‬‬ ‫∗‬ ‫∗ √=‬ ‫√= ∗ √=‬ ‫‪2‬‬ ‫!)‪(2 + 1‬‬ ‫!)‪2 (3‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪𝑑 (3‬‬ ‫)𝑢( ‪𝑃21‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪2 1/2‬‬ ‫∗ ) 𝑢 ‪∗ (1 −‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪(𝑢2 − 1)2‬‬ ‫!‪2 ∗ 2‬‬ ‫)𝑢(𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪𝑑 (3‬‬ ‫)𝑢( ‪𝑃21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∗ ‪= ∗ (1 − 𝑢 )2‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫)‪(𝑢4 − 2𝑢2 + 1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)𝑢(𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )𝑢( ‪𝑃21‬‬ ‫𝜃𝑠𝑜𝑐 ∗ 𝜃𝑛𝑖𝑠‪∗ (1 − 𝑢2 )2 ∗ 24𝑢 ⟹ 𝑃21 (𝑐𝑜𝑠𝜃) = ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∗ 24𝑐𝑜𝑠𝜃 = 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝜃𝑠𝑜𝑐 ∗ 𝜃𝑛𝑖𝑠‪∴ 𝛩21 (𝜃) = 𝑁21 ∗ 𝑃21 (𝑐𝑜𝑠𝜃) → √ ∗ 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫|𝑚|‬ ‫|𝑚|‬ ‫𝑙𝑁 لبعض قيم االعداد الكمية 𝑚 ‪𝑙,‬‬ ‫𝑙𝑃&‬ ‫و الجدول ادناه يبين قيم )𝜃𝑠𝑜𝑐(‬ ‫االن تم اكمال حل معادلتي )𝜙(‪ Θ(𝜃)& Φ‬و هي الدوال التي تعطي االعتماد الزاوي في حل مسالة ذرة‬ ‫الهيدروجين لذلك فان حاصل ضرب هاتين الدالتين يعطي الدالة الزاوية الكلية لهذا النظام اي ان‬ ‫|𝑚|‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑙𝑌‬ ‫∗ )𝜃𝑠𝑜𝑐( |𝑚|𝑙𝑃 ∗ |𝑚|𝑙𝑁 = )𝜙( ‪(𝜃, 𝜙) = Θ𝑙|𝑚| (𝜃). Φm‬‬ ‫)‪𝑒 𝑖𝑚𝜙. (29 − 12‬‬ ‫𝜋‪√2‬‬ ‫ان هذه المعادلة تمثل الحل الي نظام يتحرك حركة دائري يكون فيها نصف قطر الدوران مقدار ثابت اي انها‬ ‫تمثل الدالة الذاتية لمسالة الدوار الصلد ايضا و لحساب القيمة الذاتية للطاقة لمسالة الدوار الصلد نذهب الى‬ ‫المعادلة‬ ‫𝑑‪1‬‬ ‫𝑅𝑑‬ ‫‪2𝑚 𝑒 2‬‬ ‫𝑟(‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪) + 2 ( + 𝐸) 𝑟2 = 𝛽 … … … … … (20 − 12‬‬ ‫𝑟𝑑 𝑅‬ ‫𝑟𝑑‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫ب سبب وجود حد القيمة الذاتية للطاقة فيها‪.‬في هذه المعادلة بالنسبة للدوار الصلد يكون الحد االول التفاضلي‬ ‫يساوي صفر بسبب ثبوت نصف القطر و حد الجهد يساوي صفر لسببين االول ان الجهد بين نقطتين البعد بينهما‬ ‫ثابت مقدار ثابت يمكن اهماله و الثاني ان حالة التجاذب الحاصلة هي لحالة البروتون و االلكترون في ذرة‬ ‫الهيدروجين و عند التعويض يجب التذكر ان )‪ 𝛽 = 𝑙(𝑙 + 1‬لذلك تصبح المعادلة‬ ‫‪2𝑚𝑟2‬‬ ‫‪0+‬‬ ‫)‪(0 + 𝐸) = 𝑙(𝑙 + 1) … … … … … (30 − 12‬‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫ان المقدار ‪ 𝑚𝑟2‬يمثل عزم القصور الذاتي للدوار الصلد بسبب ثبوت نصف القطر ويرمز له 𝐼 وبعد‬ ‫ترتيب المعادلة‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫)‪𝐸𝑙 = 𝑙(𝑙 + 1) … … … … … … … … ….. (31 − 12‬‬ ‫𝐼‪2‬‬ ‫و التي تمثل معادلة القيمة الذاتية للطاقة لمسالة الدوار الصلد‬ ‫𝑔𝐾 ‪1 ∗ 10−30‬‬ ‫مثال‪ /‬احسب الطاقة الالزمة النتقال جزيئة خطية نصف قطرها 𝑚𝑛‪ 0.5‬و كتلتها‬ ‫من حالتها الدورانية االرضية الى حالتها الدورانية الثانية‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫‪𝐸0 = 0(0 + 1) = 0‬‬ ‫𝐼‪2‬‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫‪𝐸2 = 2(2 + 1) = 𝐸𝑙 = 6‬‬ ‫𝐼‪2‬‬ ‫𝐼‪2‬‬ ‫‪(6.63 ∗ 10−34 )2‬‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⁄‬‬ ‫‪(2 ∗ 3.14)2‬‬ ‫∗ ‪Δ𝐸 = 𝐸2 − 𝐸0 = 3 = 3‬‬ ‫𝐽 ‪= 4.46 ∗ 10−20‬‬ ‫𝐼‬ ‫‪1 ∗ 10−30 ∗ (0.5 ∗ 10−9 )2‬‬  ‫الجدول )‪ (1 − 12‬يبين حلول متعددة حدود ليجيندر المرافقة و االعتيادية مع ثابت المعايرة لها‬ ‫|𝒎|‬ ‫𝒍‬ ‫|𝒎|‬ ‫|𝒎|‬ ‫𝒍𝑵‬ ‫)𝜽𝒔𝒐𝒄( 𝒍𝑷‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪√2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜃𝑠𝑜𝑐‬ ‫‪3‬‬ ‫√‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 1‬‬ ‫√‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)𝜃𝑠𝑜𝑐 ‪( 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 −‬‬ ‫√‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠‬ ‫‪3‬‬ ‫√‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝜃𝑠𝑜𝑐 ‪3𝑠𝑖𝑛𝜃.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫√‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪𝑠𝑖𝑛𝜃. (5𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 1‬‬ ‫√‬ ‫‪2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝜃 ‪3𝑠𝑖𝑛2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫√‬ ‫‪48‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝜃𝑠𝑜𝑐 ‪15𝑠𝑖𝑛2 𝜃.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫√‬ ‫‪240‬‬  ‫الدالة المتبقية االن هي الدالة النصف قطرية لذرة الهيدروجين و التي يمكن كتابتها بالشكل‬ ‫𝑑‪1‬‬ ‫𝑅𝑑‬ ‫‪2𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫𝑟(‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪) + 2 ( + 𝐸) 𝑟2 − 𝑙(𝑙 + 1) = 0 … … … … … (31 − 12‬‬ ‫𝑟𝑑 𝑅‬ ‫𝑟𝑑‬ ‫‪ℏ‬‬ ‫𝑟‬ ‫و التي يكون الحل العام لها بالشكل‬ ‫‪𝑅𝑛,𝑙 (𝜌) = 𝑁𝑛,𝑙 ∗ 𝜌𝑙 ∗ 𝐿2𝑙+1‬‬ ‫𝑒 ∗ )𝜌( 𝑙‪𝑛+‬‬ ‫‪−𝜌/2‬‬ ‫)‪… … … … … … … … …. (32 − 12‬‬ ‫𝑟‪2‬‬ ‫= 𝜌 و يكون ‪ 𝑎0‬هو المدار االوطاء رتبة في ذرة الهيدروجين و يعرف بنصف قطر بور و‬ ‫حيث ان‬ ‫‪𝑛𝑎0‬‬ ‫‪ℏ2‬‬ ‫= ‪ 𝑎0‬و يمكن الحصول عليه من نضرية بور من خالل حساب قيمة 𝑟 عندما تكون قيمة ‪𝑛 = 1‬‬ ‫يساوي‬ ‫‪𝑚𝑒 𝑒 2‬‬ ‫‪ 𝑁𝑛,𝑙.‬هو ثابت التناسق لالعداد الكمية 𝑙 ‪ 𝑛,‬يحسب من المعادلة‬ ‫!)‪𝜌 3 (𝑛 − 𝑙 − 1‬‬ ‫∗ ) (√‪𝑁𝑛,𝑙 = −‬‬ ‫)‪… … … … … … …. … … (32 − 12‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪2𝑛[(𝑛 + 𝑙)!]3‬‬ ‫‪ 𝐿2𝑙+1‬تعرف بانها متعددة حدود الوكري عندما يكون فيها ‪ 𝑙 = 0‬و متعددة حدود الوكري المرافقة عند‬ ‫)𝜌( 𝑙‪𝑛+‬‬ ‫القيم االخرى لعدد الكم االوربتالي و تعطى بالمعادلة‬ ‫)𝑙‪(𝑛+‬‬ ‫𝑑 𝜌 )‪𝑑 (2𝑙+1‬‬ ‫‪𝐿2𝑙+1‬‬ ‫)𝜌( 𝑙‪𝑛+‬‬ ‫) (=‬ ‫) ( ‪[𝑒.‬‬ ‫)‪(𝜌(𝑛+𝑙) 𝑒 −𝜌 )] … …. (33 − 12‬‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫مثال‪ /‬اوجد )𝜌( ‪𝑅1,0‬‬ ‫‪𝜌 3‬‬ ‫!)‪(1 − 0 − 1‬‬ ‫‪𝜌 3 1‬‬ ‫‪𝑁1,0‬‬ ‫∗ ) (√‪= −‬‬ ‫√‬ ‫∗ ) ( ‪=−‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪2 ∗ 1[(1 + 0)!]3‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1+0‬‬ ‫𝑑 𝜌 )‪𝑑 (0+1‬‬ ‫𝑑 𝜌 𝑑‬ ‫‪𝐿0+1‬‬ ‫)𝜌( ‪1+0‬‬ ‫) (=‬ ‫) ( ‪[𝑒.‬‬ ‫= ]) 𝜌‪(𝜌(1+0) 𝑒 −‬‬ ‫]) 𝜌‪[𝑒. (𝜌. 𝑒 −‬‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌 𝑑‬ ‫𝑑‬ ‫= )𝜌( ‪𝐿11‬‬ ‫= ]) 𝜌‪[𝑒. (−𝜌. 𝑒 −𝜌 + 𝑒 −‬‬ ‫‪[−𝜌 + 1] = −1‬‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫‪𝜌 3 1‬‬ ‫‪𝜌 3 1‬‬ ‫‪∴ 𝑅1,0 (𝜌) = −√( ) ∗ ∗ 𝜌0 ∗ −1 ∗ 𝑒 −𝜌/2 = √( ) ∗ ∗ 𝑒 −𝜌/2‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪2‬‬ ‫ويمكن الحصول على الدالة ‪ 𝑅1,0‬بداللة 𝑟 اي )𝑟( ‪ 𝑅1,0‬بتعويض قيمة 𝜌‬  ‫‪3‬‬ ‫‪2𝑟⁄‬‬ ‫𝑟 ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑎0‬‬ ‫𝑟‬ ‫(√ = )𝑟( ‪𝑅1,0‬‬ ‫‪) ∗ ∗ 𝑒 ⁄𝑎0 = 2 ∗ √ 3 ∗ 𝑒 ⁄𝑎0‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑎0‬‬ ‫س‪ /‬اوجد )𝑟( ‪ 𝑅2,0‬و )𝑟( ‪𝑅2,1‬‬ ‫نالحظ في حل الدالة القطرية ان الدالة )𝑟( 𝑙‪ 𝑅𝑛,‬تكون معتمدة على االعداد الكمية 𝑙 ‪ 𝑛,‬و ان القيم التي تاخذها‬ ‫هذه االعداد يجب ان تحقق الشرط 𝑙 > 𝑛 و بما ان مجال االعداد المسموح الى 𝑙 ان ياخذها هي ∞ ‪0,1,2 ….‬‬ ‫لذلك فان القيم الممكن ان ياخذها العدد الكمي 𝑛 تكون ∞ … ‪ 1,2,‬لذلك فان اوطاء حالة ياخذها العدد الكمي‬ ‫االساسي 𝑛 هي ‪. 1‬‬ ‫كذلك من حل الدالة القطرية نحصل على معادلة تكميم الطاقة الكلية لذرة الهيدروجين‬ ‫‪𝑚𝑒 𝑒 4‬‬ ‫)‪𝐸𝑛 = 2 2 … … … … … … … … … … … (34 − 12‬‬ ‫‪𝑛 ℏ‬‬ ‫ان هذه المعادلة هي المعادلة نفسها التي حصل عليها بور من نموذجه لذرة الهيدروجين‬ ‫االن يمكننا الحصول على دالة الموجة الكلية لذرة الهيدروجين من اعادة ضرب المعادالت المحلولة ذات المتغير‬ ‫الواحد‬ ‫|𝑚|‬ ‫|𝑚|‬ ‫)‪Ψ𝑛,𝑙,𝑚 (𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝑅𝑛,𝑙 (𝑟). Θ𝑙 (𝜃). Φm (𝜙) = 𝑅𝑛,𝑙 (𝑟). 𝑌𝑙 (𝜃, 𝜙) … (35 − 12‬‬ ‫مثال‪ /‬اكتب دالة الموجة الكلية لذرة الهيدروجين في المدار 𝑝‪ 2‬عند ادنى مستوى طاقة له؟‬ ‫العدد الكمي االساسي لاللكترون في هذا االوربتال هو ‪ 𝑛 = 2‬و العدد الكمي االوربتالي ‪ 𝑙 = 1‬اما العدد الكمي‬ ‫المغناطيسي فيمكن الحصول عليه من الشكل‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫↑‬ ‫لذلك يكون ‪ 𝑚 = −1‬اي ان دالة الموجة تكون‬ ‫|‪|−1‬‬ ‫‪Ψ2,1,−1 (𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝑅2,1 (𝑟). Θ1‬‬ ‫)𝜙( ‪(𝜃). Φ−1‬‬ ‫𝜙𝑖‪1 −‬‬ ‫√ = )𝜙( ‪Φ−1‬‬ ‫𝜋‪2‬‬ ‫𝑒‬ ‫|‪|−1‬‬ ‫|‪|−1‬‬ ‫|‪|−1‬‬ ‫‪Θ1‬‬ ‫‪(𝜃) = 𝑁1‬‬ ‫)𝜃𝑠𝑜𝑐( ‪∗ 𝑃1 (𝑐𝑜𝑠𝜃) = 𝑁11 ∗ 𝑃11‬‬ ‫يمكن معرفة قيمة متعددة حدود ليجندر المرافقة و ثابت معايرتها بالحل كما مر سابقا او من اخذ قيمها من الجدول‬ ‫مباشرة‬ ‫|‪|−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Θ1‬‬ ‫𝜃𝑛𝑖𝑠 ∗ √ = )𝜃(‬ ‫‪4‬‬  ‫و تكون الدالة )𝜌( ‪𝑅2,1‬‬ ‫‪𝑅2,1 (𝜌) = 𝑁2,1 ∗ 𝜌1 ∗ 𝐿33 (𝜌) ∗ 𝑒 −𝜌/2‬‬ ‫‪𝜌 3‬‬ ‫!)‪(2−1−1‬‬ ‫‪𝜌 3‬‬ ‫!)‪(0‬‬ ‫‪𝜌 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∗ ) (√‪𝑁2,1 = −‬‬ ‫∗ ) (√‪= −‬‬ ‫∗ ) (√‪= −‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪2∗2[(2+1)!]3‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪4[(3)!]3‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪4∗216‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‪𝑁2,1 = −‬‬ ‫‪3 ∗ 4 ∗ 216 = −‬‬ ‫‪8 ∗ 𝑎0‬‬ ‫‪√864𝑎03‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫𝑑 𝜌 )‪𝑑 (3‬‬ ‫)𝜌( ‪𝐿33‬‬ ‫) ( ‪= ( ) [𝑒.‬‬ ‫= ]) 𝜌‪(𝜌(3) 𝑒 −‬‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫)‪(2‬‬ ‫𝑑 𝜌 )‪𝑑 (3‬‬ ‫) ( ‪( ) [𝑒.‬‬ ‫]) ‪(−𝜌(3) 𝑒 −𝜌 + 𝑒 −𝜌. 3𝜌2.‬‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫)‪(1‬‬ ‫𝑑 𝜌 )‪𝑑 (3‬‬ ‫) ( ‪( ) [𝑒.‬‬ ‫]) 𝜌‪((𝜌3 − 12𝜌2 + 6𝜌)𝑒 −‬‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫𝜌 )‪𝑑 (3‬‬ ‫]] 𝜌‪( ) [𝑒. [−(𝜌3 − 12𝜌2 + 6𝜌)𝑒 −𝜌 + (3𝜌2 − 24𝜌 + 6)𝑒 −‬‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫)‪𝑑 (3‬‬ ‫‪( ) [−𝜌3 + 15𝜌2 − 30𝜌 + 6] = −6‬‬ ‫𝜌𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪𝑅2,1 (𝜌) = −‬‬ ‫= ‪∗ 𝜌1 ∗ −6 ∗ 𝑒 −𝜌/2‬‬ ‫‪∗ 𝜌 ∗ 𝑒 −𝜌/2‬‬ ‫‪√864𝑎03‬‬ ‫‪√864𝑎03‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫‪−‬‬ ‫= )𝑟( ‪𝑅2,1‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫‪∗ ∗𝑒 0‬‬ ‫‪3 𝑎0‬‬ ‫𝑎‪√864‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫𝑟‬ ‫𝑟‬ ‫‪3‬‬ ‫𝜙𝑖‪1 −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫= )𝜙 ‪Ψ2,1,−1 (𝑟, 𝜃,‬‬ ‫∗‬ ‫∗ 𝜃𝑛𝑖𝑠 ∗ √ ∗ ‪∗ 𝑒 2𝑎0‬‬ ‫𝑒‬ ‫‪√864𝑎03‬‬ ‫‪𝑎0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝜋‪√2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫𝑟‬ ‫‪−‬‬ ‫√ = )𝜙 ‪Ψ2,1,−1 (𝑟, 𝜃,‬‬ ‫∗‬ ‫𝑟‬ ‫∗‬ ‫𝑒‬ ‫𝜙𝑖‪2𝑎0 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ∗ 𝑒 −‬‬ ‫‪376𝜋. 𝑎05‬‬  ‫س‪ /‬اوجد دالة الموجة الكلية لاللكترون في حالته االرضية في ذرة الهيدروجين؟‬ ‫ان الحاالت الكمية التي ذكرت سابقا تناولت ثالث اعداد كم و العدد الكمي االخير الخاص ببرم االلكترون اليمكن‬ ‫الحصول عليه من معادلة شرودنكرثالثية االبعاد السالفة الذكر و انما من الصياغة النسبية لمعادلة شرودنكر حيث‬ ‫يدخل الزمن كبعد رابع و ان وجود الزمن كبعد رابع يحتم وجود اربعة اعداد كمية لوصف حالة االلكترون في‬ ‫ذرة الهيدروجين لذلك و كتقريب يتم وصف برم االلكترون كدالة مستقلة في اشتقاق ذرة الهيدروجين ثالثية البعد‪.‬‬