Διανυσματική έκφραση της Ροπής PDF

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς σημείο O: z...

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς σημείο O: z 𝚳𝟎 𝐅Ԧ Ορίζεται το διανυσματικό (εξωτερικό) γινόμενο της διανυσματικής απόστασης 𝒓 τυχαίου σημείου Α του Α 𝒓 Ԧ φορέα της δύναμης από το σημείο Ο επί τη δύναμη 𝐅: O y κέντρο ροπών 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 x 𝚳𝟎 Μονάδα μέτρησης της ροπής στη Στατική συνήθως είναι Νm , kNm O 𝐅Ԧ 𝐌𝟎 : κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από 𝒓 φορέα της F και το κέντρο ροπών Ο A (ελεύθερο διάνυσμα-ανεξάρτητη της θέσης του κέντρου ροπών) Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς σημείο O: z 𝐅Ԧ 𝚳𝟎 = 0 Ορίζεται το διανυσματικό (εξωτερικό) γινόμενο της διανυσματικής απόστασης 𝒓 τυχαίου σημείου Α του 𝒓=𝟎 Ԧ φορέα της δύναμης από το σημείο Ο επί τη δύναμη 𝐅: O y κέντρο ροπών 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 x Α≡Ο Μονάδα μέτρησης της ροπής στη Στατική 𝚳𝟎 =𝚳0𝟎 𝒓=𝟎 συνήθως είναι Νm , kNm O 𝐅Ԧ 𝐌𝟎 : κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από φορέα της F και το κέντρο ροπών Ο (ελεύθερο διάνυσμα-ανεξάρτητη της θέσης του κέντρου ροπών) 1  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς σημείο O: z 𝚳𝟎 𝐅Ԧ 𝒊 𝒋 𝒌 Α 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 = 𝒓𝒙 𝒓𝒚 𝒓𝒛 𝒓 𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛 O y κέντρο ροπών Διανυσματική έκφραση της δύναμης F : x 𝐅Ԧ = 𝑭𝒙 𝒊 + 𝑭𝒚 𝒋 + 𝑭𝒁 𝒌 𝚳𝟎 Διανυσματική απόσταση 𝑟: Ԧ 𝒓 = 𝑶𝑨 = 𝒓𝑨 − 𝒓𝑶 = 𝐫𝒙 𝒊 + 𝐫𝒚 𝒋 + 𝒓𝒛 𝒌 O 𝐅Ԧ 𝒓 A Διάνυσμα 𝒓: αρχή το κέντρο ροπών Ο και πέρας τυχαίο σημείο Α του φορέα της δύναμης. Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς σημείο O: z 𝚳𝟎 𝐅Ԧ 𝒊 𝒋 𝒌 Α 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 = 𝒓𝒙 𝒓𝒚 𝒓𝒛 𝒓 𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛 O y x κέντρο ροπών 𝚳𝟎 = (𝒓𝒚 ∙ 𝑭𝒛 − 𝒓𝒛 ∙ 𝑭𝒚 ) 𝒊 − (𝒓𝒙 ∙ 𝑭𝒛 − 𝒓𝒛 ∙ 𝑭𝒙 ) 𝒋 + (𝒓𝒙 ∙ 𝑭𝒚 −𝒓𝒚 ∙ 𝑭𝒙 ) 𝒌 𝚳𝟎 = (𝒓𝒚 ∙ 𝑭𝒛 − 𝒓𝒛 ∙ 𝑭𝒚 ) 𝒊 + (𝒓𝒛 ∙ 𝑭𝒙 − 𝒓𝒙 ∙ 𝑭𝒛 ) 𝒋 + (𝒓𝒙 ∙ 𝑭𝒚 −𝒓𝒚 ∙ 𝑭𝒙 ) 𝒌 𝚳𝟎 O 𝐅Ԧ 𝒓 A 2  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς σημείο O: z 𝚳𝟎 𝐅Ԧ 𝒊 𝒋 𝒌 Α 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 = 𝒓𝒙 𝒓𝒚 𝒓𝒛 𝒓 𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛 O y x κέντρο ροπών 𝚳𝟎 = (𝒓𝒚 ∙ 𝑭𝒛 − 𝒓𝒛 ∙ 𝑭𝒚 ) 𝒊 − (𝒓𝒙 ∙ 𝑭𝒛 − 𝒓𝒛 ∙ 𝑭𝒙 ) 𝒋 + (𝒓𝒙 ∙ 𝑭𝒚 −𝒓𝒚 ∙ 𝑭𝒙 ) 𝒌 𝚳𝟎 = (𝒓𝒚 ∙ 𝑭𝒛 − 𝒓𝒛 ∙ 𝑭𝒚 ) 𝒊 + (𝒓𝒛 ∙ 𝑭𝒙 − 𝒓𝒙 ∙ 𝑭𝒛 ) 𝒋 + (𝒓𝒙 ∙ 𝑭𝚳 𝒚 −𝒓 𝟎 𝒚 ∙ 𝑭𝒙 ) 𝒌 𝑴𝒚 ┴ zx 𝑴𝒛 ┴ xy 𝚳𝟎 𝑴𝒙 ┴ yz O 𝐅Ԧ 𝒓 𝚳𝟎 = 𝑴𝒙 𝒊 + 𝑴𝒚 𝒋 + 𝑴𝒛 𝒌 A 𝑴 κάθετη στο επίπεδο των 𝑭 𝜿𝜶𝜾 𝒓 Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς σημείο O: 𝚳𝟎 Γεωμετρικά 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 O 𝐅Ԧ 𝒓 φ A 𝚳𝟎 = 𝐫 ∙ 𝐅 ∙ sin 𝛗 ∙ 𝒏 φ, η μικρότερη γωνία μεταξύ των 𝑟Ԧ × 𝐹Ԧ 𝒓 × 𝑭≠ 𝑭 ×𝒓 𝑛, μοναδιαίο διάνυσμα (στρέφουμε το 𝑟Ԧ προς το F) 3  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς σημείο O: 𝚳𝟎 Γεωμετρικά 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 O 𝒓 A 𝐅Ԧ φ 𝚳𝟎 = 𝐫 ∙ 𝐅 ∙ sin 𝛗 ∙ 𝒏 φ, η μικρότερη γωνία μεταξύ των 𝑟Ԧ × 𝐹Ԧ 𝒓 × 𝑭≠ 𝑭 ×𝒓 𝑛, μοναδιαίο διάνυσμα (στρέφουμε το 𝑟Ԧ προς το F) Διανυσματική έκφραση της Ροπής - Συνισταμένη Δύναμη 𝑹 : 𝒏 𝑹 = ෍ 𝑭𝒊 = 𝑹𝒙 𝒊 + 𝑹𝒋 𝒋Ԧ + 𝑹𝒛 𝒌 𝒊=𝟏 𝑛 𝑛 𝑛 𝑅𝑥 = ෍ 𝐹𝑖𝑥 , 𝑅𝑦 = ෍ 𝐹𝑖𝑦 , 𝑅𝑧 = ෍ 𝐹𝑖𝑧 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 - Συνισταμένη Ροπή 𝚳 στο σημείο Ο: 𝒌 𝜧 = ෍ 𝑴𝒋 = 𝜧𝒙 𝐢 + 𝜧𝒚 𝐣 + 𝜧𝒛 Ԧ𝐤 𝒋=𝟏 𝑘 𝑘 𝑘 𝑀𝑥 = ෍ 𝑀𝑗𝑥 𝑀𝑦 = ෍ 𝑀𝑗𝑦 𝑀𝑧 = ෍ 𝑀𝑗𝑧 𝑗=1 𝑗=1 𝑗=1 4  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς άξονα: 𝚳𝟎 άξονας λ 𝝀𝟎 Ροπή δύναμης ως προς άξονα λ 𝐅Ԧ ονομάζουμε την O 𝒓 A προβολή του διανύσματος της ροπής 𝚳𝟎 της 𝐹Ԧ πάνω στον άξονα λ. 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 𝑴𝝀 = 𝝀𝟎 ∙ 𝒓 × 𝑭 𝝀𝟎 : μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα λ Μεικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων Βαθμωτό μέγεθος (καθαρός αριθμός) Διανυσματική έκφραση της Ροπής Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς άξονα: 𝚳𝟎 άξονας λ 𝝀𝟎 Ι 𝝀𝟎𝒙 𝝀𝟎𝒚 𝝀𝟎𝒛 𝚳𝝀 = [𝝀𝟎 𝒓 𝑭] = 𝒓𝒙 𝒓𝒚 𝒓𝒛 𝐅Ԧ O 𝒓 𝑭𝒙 𝑭𝒚 𝑭𝒛 Θ A Διανυσματική έκφραση της δύναμης F : 𝑴𝝀 = 𝝀𝟎 ∙ 𝒓 × 𝑭 𝐅Ԧ = 𝑭𝒙 𝒊 + 𝑭𝒚 𝒋 + 𝑭𝒁 𝒌 Διανυσματική απόσταση 𝑟: Ԧ 𝝀𝟎 : μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα λ 𝒓 = 𝑶𝑨 = 𝒓𝑨 − 𝒓𝑶 = 𝐫𝒙 𝒊 + 𝐫𝒚 𝒋 + 𝒓𝒛 𝒌 Έστω άξονας λ που ορίζεται από τα σημεία Θ και Ι: Μοναδιαίο διάνυσμα 𝜆0 : 𝚯𝚰 𝝀𝟎 = 𝝀𝟎 = 𝝀𝟎𝒙 𝒊 + 𝝀𝟎𝒚 𝒋 + 𝝀𝟎𝒛 𝒌 𝚯𝚰 5  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματική έκφραση της Ροπής άξονας λ → άξονας x Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς άξονα: 𝚳 𝟎 = 𝑴𝝀 = 𝑴𝒙 𝝀𝟎𝒙 𝟏 𝝀𝟎𝟎𝒚 𝟎𝝀𝟎𝒛 𝝀𝟎 = 𝒊 𝚳𝚳 𝝀 = [𝝀𝟎 𝒓𝟎 𝑭] 𝝀 = [𝝀 = = 𝒙𝟎 𝒓𝒓𝒚𝒚 𝒓𝒛𝒓𝒛 𝒓 𝑭] 𝒓 𝐅Ԧ O 𝒓 𝑭𝟎𝒙 𝑭𝑭𝒚𝒚 𝑭𝑭𝒛𝒛 𝒚𝒛 A (0, yA, zA) Διανυσματική έκφραση της δύναμης F : 𝐅Ԧ = 𝑭𝒙 𝒊 + 𝑭𝒚 𝒋 + 𝑭𝒁 𝒌 𝑴𝝀 = 𝝀𝟎 ∙ 𝒓 × 𝑭 Διανυσματική απόσταση 𝑟: Ԧ 𝝀𝟎 : μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα λ 𝒓 = 𝑶𝑨 = 𝒓𝑨 − 𝒓𝑶 = 𝐫𝒙 𝒊 + 𝐫𝒚 𝒋 + 𝒓𝒛 𝒌 Ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο Μοναδιαίο διάνυσμα 𝜆0 : 𝝀𝟎 = 𝝀𝟎𝒙 𝒊 + 𝝀𝟎𝒚 𝒋 + 𝝀𝟎𝒛 𝒌 που περιέχει τη δύναμη Ως προς άξονα κάθετο στο Διανυσματική έκφραση της Ροπής επίπεδο που περιέχει τη δύναμη άξονας λ → άξονας x Ροπή δύναμης 𝑭 ως προς άξονα: 𝚳𝟎 = 𝑴𝝀 Γεωμετρικά 𝝀𝟎 = 𝒊 1 𝑴𝝀 = 𝝀𝟎 ∙ 𝒓 × 𝑭 O 𝐅Ԧ 3 𝒓 Μοχλοβραχίονας 𝒅 φ 2 𝚳𝟎 = 𝒓 × 𝑭 A 1 𝑴𝝀 = 𝝀𝟎 ∙ 𝑴𝟎 = |𝝀𝟎 | ∙ |𝚳𝟎 | ∙ cos 𝜽 θ, η γωνία μεταξύ των 𝝀𝟎 𝜿𝜶𝜾 𝚳𝟎 𝜽 = 𝟎0 , cosθ = 1. 2 𝚳𝟎 = |𝒓| ∙ |𝑭| ∙ sin 𝛗 ∙ 𝒏 φ, η μικρότερη γωνία μεταξύ των 𝒓 × 𝑭 Ԧ 𝒏, μοναδιαίο διάνυσμα (στρέφουμε το 𝒓 προς το 𝐅) 𝑴𝝀 = 𝚳𝟎 𝒏 ≡ 𝝀𝟎 , | 𝝀𝟎 | = 1 𝑴𝝀 = |𝒓| ∙ |𝑭| ∙ sin 𝛗 𝑴𝝀 = |𝚳𝟎 |= 𝑭 ∙ 𝒅 6  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματική έκφραση της Ροπής Εφαρμογές (συνέχεια)! Διανυσματικές εκφράσεις δυνάμεων 𝐅𝒊 : 𝑭𝟏 = 𝟐𝟓 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟓 𝒋 𝑭𝟐 = −𝟓𝟎 𝒊 − 𝟓𝟎 𝟑 𝒋 𝑭𝟑 = −𝟐𝟎 𝒊 + 𝟒𝟎 𝒋 𝑭𝟒 = 𝟔𝟎 𝒊 + 𝟒𝟓 𝒋 Συνισταμένη Δύναμη 𝐑 : 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑𝟎 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔𝟎 𝒋 Διανυσματικές εκφράσεις ροπών 𝚳𝒊 ως προς Ο 𝚳𝒐 = 𝒓 × 𝑭 Συνισταμένη ροπή 𝚳 ως προς Ο 7  ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Επικ. Καθηγήτρια Μ. Φαββατά Διανυσματικές εκφράσεις δυνάμεων 𝐅𝒊 : 𝑭𝟏 = 𝟐𝟓 𝟑 𝒊 − 𝟐𝟓 𝒋 𝑭𝟐 = −𝟓𝟎 𝒊 − 𝟓𝟎 𝟑 𝒋 𝑭𝟑 = −𝟐𝟎 𝒊 + 𝟒𝟎 𝒋 𝑭𝟒 = 𝟔𝟎 𝒊 + 𝟒𝟓 𝒋 Συνισταμένη Δύναμη 𝐑 : 𝑹 = 𝟑𝟑. 𝟑𝟎 𝒊 − 𝟐𝟔. 𝟔𝟎 𝒋 𝚳𝒐 = 𝒓 × 𝑭 Διανυσματικές εκφράσεις ροπών 𝚳𝒊 ως προς Ο Συνισταμένη ροπή 𝚳 ως προς Ο 𝑴𝟏 = −𝟕𝟓 𝟑 𝒌 𝑴𝟐 = −𝟐𝟓𝟎 𝟑 𝒌 𝑴 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐 + 𝑴𝟑 + 𝑴𝟒 = (−𝟑𝟐𝟓 𝟑 +𝟏𝟑𝟓) 𝒌 𝑴𝟑 = 𝟏𝟖𝟎 𝒌 𝑴𝟒 = −𝟒𝟓 𝒌 𝑴 = −𝟒𝟐𝟕. 𝟗𝟐 𝒌 8