Mécanique du point - Past Paper - 03/01/2024 - Marrakech Faculty of Sciences

# كلية العلوم ## السملالية - مراكش **MARRAKECH FACULTE DES SCIENCES** **CAR SEMLALIA MARRAKECH** **Filières:** * MIP & PC-S1 **Nom:** **Nº Apogée:** **Note:** **Nº de table:** **Prénom:** **Epreuve de:** **Mécanique du point** **Date:** 03/01/2024 Travailler au brouillon et reporter les réponse...

# كلية العلوم ## السملالية - مراكش **MARRAKECH FACULTE DES SCIENCES** **CAR SEMLALIA MARRAKECH** **Filières:** * MIP & PC-S1 **Nom:** **Nº Apogée:** **Note:** **Nº de table:** **Prénom:** **Epreuve de:** **Mécanique du point** **Date:** 03/01/2024 Travailler au brouillon et reporter les réponses sur l'espace réservé **Exercice:** (8 points) Un point matériel M de masse m est en mouvement dans le référentiel R (O, X, Y, Z) fixe, supposé Galiléen. M est repéré dans R par ses coordonnées polaires (p, φ). Dans le référentiel R, le point matériel M est soumis à la seule force F = - k/p^2, k est une constante positive. **1) Définir une force centrale.** - Une force centrale est une force constamment dirigée vers un print fixe (ou toute def conecte). **2) Exprimer le moment cinétique de M au point O dans R en fonction des données en posant C = p^2** * **Ona** (MIR) = OMA MỸ (MIR) $$C = p^2 $$ * **Ona** **Jom** = **je** + **si ce** * **&fre** $$(MIR) = \frac{Jom}{g} = \frac{je + sice}{g} = mck $$ **3) Montrer que ce moment cinétique est constant.** * **D'apré le théorème du moment Cinétique:** $$\frac{d}{dt} (MIR) = OMAF = \frac{d}{dt}(je) = \frac{d}{dt}(si ce) = 0$$ * **&fwdarr;** $$(MIR) = cte$$ **4) En faisant le changement u = 1/p, démontrer la 1ere formule de Binet qui donne V²(M/R).** * **On a** * $$V^2 = je^2 + (si ce)^2 $$ * $$C = p^2 \ \ \ je = Cu $$ * **&ona** * $$d(a) = \frac{du}{de} \ \ \ dp = - \frac{du}{u^2} \ \ \ de = - \frac{du}{u^2 \ de} \ \ \ \frac{du}{de} = -u^2 \ \ de$$ * **&et** * $$je = \frac{du}{de} = -u^2 de$$ * **&et** $$\frac{d}{dt} (a) = \frac{d}{dt} ( \frac{1}{p} ) = \frac{d}{dt} (-u^2 de) = ( -u^2 ( \frac{du}{de} + \frac{du}{de} (u) $$ **5) Démontrer que la 2eme formule de Binet s'écrit sous la forme:** $$(MIR) = - C^2 ( \frac{d}{du} (\frac{1}{u}) + \frac{1}{u} )^2$$ * **On a:** * **C = p^2 & je = p^2 & si ce = 0 ** * **& se^2 + je^2 = 0 & se^2 = -je^2 & se = 0 & je = 0 ** * **&Ona:** * $$ \frac{ (MIR)}{ (MIR)} = - \frac{C^2( (\frac{du}{u^2 de})^2 }{ ( - \frac{C^2(du)^2}{(u^2 de)^2} ) } = ( \frac{d}{du} (\frac{1} {u}) ) + \frac{1}{ (u) }$$ **6) En appliquant le PFD, déterminer l'équation différentielle en "u" du mouvement de M dans R.** * **D'apr's le PFD:** **m(MIRI) = F** $$m\frac{d^2}{dt^2} (\frac{du}{de} + u )^2= - ku^2 $$ $$ m\frac{d^2}{dt^2} (\frac{du}{de} + u )^2= - \frac{k}{m} u^2 $$ **7) Montrer que l'équation de la trajectoire de M dans R s'écrit sous la forme suivante** $$p = \frac{d}{1+ ecos(p)} $$ **(Conique), en donnant les expressions de p (paramètre de la conique) et de e (excentricité de la conique).** * **Solution de l'équation différentielle sans second membre est** * ... * **Up = a Cos e & a solution particulière** * **dou** * $$p = a Cos e + K \ & mce \ st \ la \ solution \ de \ l'équation \ différentielle$$ * **p = \frac{d}{1+ecos(p)} & avec & mc^2 = d \ et \ e = a \frac{mc^2}{d} $$ # Problème: (12 points) Soit R(O, X, Y, Z) un référentiel galiléen muni de la base (i,j,k) et R₁(01,X1,Y1, Z₁) est un référentiel relatif muni de la base (ep, e,k),. Le point O₁ est repéré par 00₁ = pep. Un triangle (01AB) rigide situé dans le plan (X₁01Z₁), rectangle en O₁ glisse sur une tige horizontal (T) située dans le plan (ΧΟΥ) et confondue avec l'axe (OX₁) du repère R₁ (voir figure). Cette tige tourne autour de l'axe (OZ) avec la vitesse de rotation constante φ = w = cte > 0. Un anneau M assimilé à un point matériel de masse m glisse sans frottement sur l'hypoténuse [AB], à chaque instant le point matériel M est repéré par AM = x u. On donne l'angle a = (0₁BA) = cte et O₁A = h = cte. ## 說明 Dans tout le problème, on prend : * φ = wt = (i, j) = (i, j, 0) = (i, j. k) * a = (up) et R = Rpe + Red + Rze est la réaction de l'hypoténuse [AB] sur le point matériel M. ## 問題 Il est demandé d'exprimer toutes les grandeurs vectorielles dans la base(ēρ, ἔφ, k). **1) Exprimer le vecteur u dans la base relative (ep, ê, k) en fonction de a.** * **u = (cos(a) & sin(a) & 0 )** T **2) Exprimer les vecteurs 01M dans la base relative (ep, ê, κ).** * **01M = 01A + AM = x cos a ēρ + (x sin a) k ** **3) Montrer que le vecteur rotation de R₁ par rapport à R est: Ω (R₁/R) = ωκ** * **d(ēρ)/dt = ωκΛēρ** * **d(ēφ)/dt = ωκΛēφ** * **&fwdarr; (R₁/R) = ωκ** **4) Déterminer la vitesse relative V(M).** * **V(M)= d(01M)/dt = ωκΛ01M = 0 + (ω + xω cos a) ēφ** **5) Déterminer la vitesse a entraînement Ve(M).** * **Ve(M) = d(01M)/dt + Ω (R₁/R) Λ01M = ω + (ω + xω cos a) ēφ** **6) Déterminer l'accélération relative ŷr(M).** * **ŷr(M) = d(V(M))/dt = -xω² cos a ēρ -xω² sin a k** **7) Déterminer l'accélération d'entraînement a(M).** * **a (M) = d²(01M)/dt² = -xω² cos a ēρ** **8) Déterminer l'accélération de Coriolis a(M).** * **a(M) = 2Ω (R₁/R)ΛV(M) = 2ω²x cos a ēφ** **9) Donner le bilan de forces appliquées à M dans R₁ en les exprimant dans la base (ēρ, ἔφ, k).** * **P = -mg R** * **F₁ = -mω²x cos a ēρ - 2mω²x cos a ēφ** * **Fic = - 2mω²x cos a ēφ** **10) Écrire l'expression vectorielle du PFD appliquée à M dans R₁.** * **P - R + Fi + Fic = m(M) ** * **[Rρ - m(g - ω²x cos a) + [Rφ - 2mω²x cos a]ēφ + [Rz - mg] k = mx cos a ēφ - mx sin a k ** **11) En projetant le PFD dans la base (ēρ, ēφ, k). Déterminer les expressions des composantes Rp, R et Rz de la réaction R.** * **Rp = m [g - ω² (3 + x cos a)] - 2mω²x cos a** * **Rφ = 2mω (ω + x cos a)** * **Rz = m (g - x sin a)**