Materiaalkunde Schakel 2020-2021 PDF

Materiaalkunde Schakel 2020-2021 Onderwijsteam: Albert Van Bael (coördinerend verantwoordelijke) Koen Libens MATS Inhoudsopgave Inhoudsopgave I. Materialen en processen volgens Ashby............................................................ I-1 I.1 Inleiding.............

Materiaalkunde Schakel 2020-2021 Onderwijsteam: Albert Van Bael (coördinerend verantwoordelijke) Koen Libens MATS Inhoudsopgave Inhoudsopgave I. Materialen en processen volgens Ashby............................................................ I-1 I.1 Inleiding................................................................................................. I-1 I.2 Materiaaleigenschappen........................................................................... I-3 I.3 Materialen.............................................................................................. I-5 I.4 Processen............................................................................................. I-15 I.5 Referenties........................................................................................... I-17 II. ELASTICITEIT........................................................................................... II-1 II.1 Toepassingen......................................................................................... II-1 II.2 Meting van elastische eigenschappen........................................................ II-2 II.2.1. Trekproef (elastisch gebied).............................................................. II-2 II.2.2. De buigproef.................................................................................... II-6 II.3 Materiaalselectie:................................................................................... II-8 II.4 Referenties:......................................................................................... II-11 MATS Hoofdstuk 1 I-1 I. Materialen en processen volgens Ashby I.1 Inleiding Ingenieurs ontwerpen en maken producten. Hierbij moeten ze niet alleen de functie van het product vastleggen, maar ook geschikte materialen en aangepaste productieprocessen kiezen. In dit deel van de cursus staat materiaaltechnologie centraal. Een cursus materiaalkunde kan op verschillende manieren gestructureerd worden, zoals geïllustreerd in Figuur 1.1. De wetenschappelijk gedreven aanpak vertrekt van de inwen- dige materiaalstructuur. Men vertrekt dan van atomen als kleinste bouwstenen waaruit technische materialen zijn opgebouwd. De atoomstructuur wordt vaak beschreven op basis van het eenvoudige atoommodel van Bohr. Volgens dit model bestaan atomen uit een kern met daarin een aantal protonen (of positief geladen deeltjes) en een aantal neutronen (of neutrale deeltjes). Rond deze kern zweven dan net evenveel elektronen (of negatief ge- laden deeltjes) als er protonen in de kern zitten. Vervolgens behandelt men de verschil- lende soorten bindingen die tussen de atomen kunnen optreden. Zoals aan bod zal komen in het vak scheikunde gaat het dan over (1) de metallische, (2) de covalente en (3) de ionische binding als de drie sterke, primaire bindingen. Daarnaast beschouwt men de zwakkere, secundaire bindingen zoals permanente en wisselende dipolen. Op basis van de bindingseigenschappen wordt dan verklaard waarom het ene materiaal meer elastisch doorbuigt dan een ander, of waarom het op een andere manier uitzet wanneer het ver- warmd wordt. Daarna bespreekt men hoe atomen ruimtelijk geordend kunnen zijn in mate- rialen, en welke onvolmaaktheden kunnen optreden in deze ordeningen. Hiermee verklaart men dan bijvoorbeeld of en hoe vaste materialen al dan niet kunnen blijvend vervormd worden. Er wordt ook verklaard hoe de materialen kunnen breken onder bepaalde mecha- nische en thermische belastingen. Daartegenover staat de ontwerpmatig gedreven aanpak waarbij voor een gegeven productontwerp gezocht wordt naar gepaste materiaaleigenschappen. Pas daarna wordt gekeken naar een verklaring van het materiaalgedrag op basis van de inwendige structuur. Wetenschappelijk gedreven aanpak Ontwerpmatig gedreven aanpak Figuur I-1 Verschillende lengteschalen bij materialen [CES EduPack] MATS Hoofdstuk 1 I-2 Deze cursus zal sterk aanleunen bij de ontwerpmatig gedreven aanpak. In elk van de hoofdstukken wordt een bepaald aspect van materiaalgedrag behandeld dat belangrijk is voor concrete ingenieursontwerpen. Daarbij wordt bijzondere aandacht geschonken aan de manier waarop de materiaaleigenschappen worden gemeten, met verwijzing naar de praktijklabo’s bij dit vak. Daarna zal telkens toegelicht worden hoe het materiaalgedrag kan verklaard worden vanuit de inwendige materiaalstructuur. Elk hoofdstuk wordt afgesloten met een voorbeeld van materiaalselectie voor een relevante ingenieurs- toepassing. In dit hoofdstuk wordt kort een globaal beeld geschetst van de gebruikte materialen doorheen de geschiedenis en van de voornaamste mechanische materiaaleigenschappen. Er zal ook getoond worden hoe gedetailleerde informatie over “alle” beschikbare materialen en productieprocessen is gestructureerd in de CES EduPack software. De aanpak in CES werd ontwikkeld door Prof. Asbhy aan de Universiteit van Cambridge om ingenieurs te helpen om op gestructureerde manier een keuze te kunnen maken uit het zeer grote aantal beschikbare materialen. Op het einde van de 19de eeuw bestonden maar enkele honderden technische materialen. Er waren nog geen synthetische polymeren, nu meer dan 45000. Er waren ook geen lichte metalen zoals aluminium, nu duizenden. Hoogperformante composieten bestonden evenmin, nu zijn er honderden. Figuur 1.2 toont de globale evolutie van materialen doorheen de geschiedenis van de mens. De tijdsas bestrijkt meer dan 10000 jaar. Bemerk dat de tijdsschaal niet lineair is: bijna alle materialen werden in de voorbije 100 jaar ontwikkeld, en vandaag kan een ingenieur uit meer dan 150000 materialen kiezen. In [Aernoudt, 2003] vindt men boeiend verhaal van de millennialange geschiedenis van de materialen, en inzichten in de verworvenheden van de moderne materiaalwetenschap en in de verbanden tussen de structuur en de eigenschappen van materialen. Figuur I-2 Materialen doorheen de geschiedenis van de mens [Ashby, 2013] MATS Hoofdstuk 1 I-3 I.2 Materiaaleigenschappen Algemene eigenschappen Belangrijke algemene eigenschappen zijn de massadichtheid en de kostprijs. De massadichtheid is de massa per eenheid van volume. Een gebruikelijk eenheid is kg/dm3. (Bemerk: 1 ton/m3 = 1 kg/dm3 = 1 g/cm3) De kostprijs van een materiaal kan worden uitgedrukt per eenheid volume (bv. euro/m 3) of per eenheid massa (bv. euro/kg). Mechanische eigenschappen Elasticiteit heeft te maken met vervormingen die weer verdwijnen wanneer de belasting weggenomen wordt. Een voorbeeld hiervan is een veer die uitgerekt wordt wanneer er een massa aan hangt of ingedrukt wordt als er een massa op staat en die terugveert zodra de massa wordt weggenomen. Het elastisch gedrag wordt gekarakteriseerd door de elasticiteitsmodulus E (of Young’s modulus) die verder besproken wordt in hoofdstuk II. De stijfheid geeft aan in welke mate een materiaal zich verzet tegen elastische vervorming. Het gevolg van een te lage stijfheid wordt getoond in figuur I.3(b). De sterkte (strength) van een materiaal beschrijft de weerstand tegen plastische (d.i. blijvende) vervormingen. Afhankelijk van het type vervormingen gebruikt men andere materiaaleigenschappen. Zo verwijst de vloeispanning y (yield strength) naar de weer- stand die moet overwonnen worden om een metaal plastisch (d.i. blijvend) te vervormen. Voorbeelden hiervan zijn een staalplaat die tot een koetswerkonderdeel geperst wordt of een dikke gewalste staaldraad die tot een dunne draad getrokken wordt. Het gevolg van een te lage sterkte is geïllustreerd in figuur I.3(c). Wanneer metalen plastisch vervormen neemt hun weerstand tegen verdere vervorming in regel toe: men spreekt dan van koud- versteviging. Maar er is een limiet aan deze sterktetoename: bij een zekere belasting breekt het metaal. Men spreekt dan van de treksterkte (tensile strength, of ultimate tensile strength). Sommige materialen, zoals PMMA (plexiglas), kunnen niet plastisch vervormd worden. Ze breken bros bij bereiken van een zekere belasting. Dergelijke materialen hebben een lage breuktaaiheid K1c (fracture toughness). Staalsoorten hebben normaal een hoge waarde van K1c, wat niet wegneemt dat ze zich in bepaalde omstandigheden toch bros kunnen gedragen. Het gevolg van een te lage breuktaaiheid is geïllustreerd in figuur I.3(d). Thermische eigenschappen De eigenschappen van materialen wijzigen in functie van de temperatuur. Zo kunnen metalen kruip vertonen: onder invloed van een constante, lage belasting waarbij ze nor- maal alleen elastisch zouden vervormen, gaan ze in de loop van de tijd toenemende blij- vende vervormingen vertonen (figuur I-4(a)). Bij metalen treedt dit alleen op bij zeer hoge temperaturen, maar bij kunststoffen kan dit al bij lagere temperaturen het geval zijn. Men zegt dat materialen een bepaalde maximale gebruikstemperatuur hebben. MATS Hoofdstuk 1 I-4 De meeste materialen zetten uit bij toenemende temperatuur. De mate waarin wordt uit- gedrukt door de thermische uitzettingscoëfficient (figuur I-4(b)). Hierdoor kunnen struc- turen vervormen en zullen inwendige spanningen ontstaan indien de vervormingen geheel of deels verhinderd worden. Soms maakt men nuttig gebruik van verschillen in thermische uitzettingscoëfficiënten, zoals in smeltzekeringen waar een bimetaal bij opwarming kromtrekt en het elektrisch contact onderbreekt. Thermische geleidbaarheid heeft te maken met de snelheid waarmee warmte door een materiaal geleid wordt wanneer één zijde een hogere temperatuur heeft dan de andere zijde (figuur I-4(c)). In sommige toepassingen is een hoge waarde van de thermische geleidbaarheid wenselijk (bv. kookpannen, verwarmingstoestellen, warmtewisselaars), in andere net een lage waarde (bv. isolatie van woningen, koelkasten, diepvriezers). Figuur I-3 Mechanische eigenschappen [Ashby, 2013]: (b) stijfheid (weerstand tegen elastische vervorming, elasticiteitsmodulus), (c) sterkte (weerstand tegen plastische vervorming, vloeispanning), (d) taaiheid (weerstand tegen scheurgroei, breuktaaiheid). MATS Hoofdstuk 1 I-5 Figuur I-4 Thermische eigenschappen [Ashby, 2013]: (a) maximale gebruikstemperatuur, (b) thermische uitzettingscoëfficiënt, (c) thermische geleidbaarheid. I.3 Materialen Het enorme aantal beschikbare materialen stelt de ingenieur voor het probleem om een geschikte combinatie van materiaal en productieproces te vinden voor een bepaalde toe- passing. Een mogelijke ontwerpgebaseerde benadering om een geschikt materiaal te kiezen maakt gebruik van zogenaamde ‘materiaalselectie kaarten’ of ‘Ashby diagrammen’. Hierin worden materiaaleigenschappen zodanig voorgesteld dat ze verbanden tussen de eigenschappen van materialen duidelijk maken met het oog op materiaalselecties. Voorbeelden van dergelijke diagrammen en de werkwijze om ze te gebruiken voor materiaalselecties zullen worden gegeven aan het einde van elk van de volgende hoofdstukken. Tijdens de praktijklabo’s zal ook gebruik gemaakt worden van catalogi van individuele fabrikanten en leveranciers, en van naslagwerken zoals de Stahlschlüssel. Materialen kunnen op verschillende manieren gegroepeerd worden in grote materiaal- families. De onderverdeling van alle materialen is in CES EduPack georganiseerd in vier families, en alle materiaalgegevens zijn op hiërarchische manier gestructureerd zoals getoond in Figuur I-5:  Keramische materialen en glassoorten  Metalen en legeringen  Polymeren en elastomeren  Hybride materialen: composieten, schuimen en natuurlijke materialen Voorbeelden van alle materiaalfamilies in “Level 1” van CES EduPack worden getoond in de figuren I-6 tot I-11. MATS Hoofdstuk 1 I-6 Figuur I-5 Hiërarchische structuur van materiaalgegevens in CES EduPack Figuur I-6 toont voorbeelden van glassoorten en keramische materialen. Ondanks hun verschillen worden deze materialen vaak in één adem vernoemd omwille van een aantal gelijkaardige eigenschappen.  Glassoorten en keramische materialen zijn niet-metallische, anorganische vaste stoffen. Ze zijn stijf, hard en goed bestand tegen slijtage en corrosie. De meeste zijn goede elektrische isolatoren. Een minpunt is hun brosheid. Keramische materialen en glas breken gemakkelijk. Keramische materialen behouden hun sterkte tot hoge temperaturen, maar glas kan gesmolten worden bij hoge tempe- raturen. Figuur I-7 toont voorbeelden van metalen en metaallegeringen.  Metalen en hun legeringen zijn metallische, anorganische vaste stoffen met een tamelijk hoge stijfheid. Zuivere metalen zijn eerder zacht: ze hebben een lage vloeispanning en kunnen hierdoor gemakkelijk plastisch vervormd worden. Ze kunnen sterker gemaakt worden door ze te legeren, of via geschikte mechanische en warmtebehandelingen. De mate waarin ze nadien nog plastisch vervormd kunnen worden neemt hierdoor wel af. Bij hoge temperaturen smelten ze, zodat ze door gieten in een gewenste vorm kunnen gebracht worden. Figuren I-8 en I-9 tonen voorbeelden van polymeren.  Polymeren zijn organische vaste stoffen. Ze bestaan uit lange ketens van koolstof- atomen. Voornamelijk hierdoor hebben ze een lagere massadichtheid dan de lichtste metalen. Hun stijfheid (de elasticiteitsmodulus) is ongeveer 50 keer lager dan die van metalen, maar hun sterkte per eenheid van gewicht is vergelijkbaar met die van metalen. De maximale gebruikstemperatuur is vrij laag: weinig kunst- stoffen hebben nog een nuttige sterkte boven 150°C. Bovendien zijn hun eigenschappen vaak sterk temperatuursafhankelijk. Het is bijvoorbeeld mogelijk dat een polymeer hard en bros is bij vriestemperatuur, flexibel en taai bij kamer- temperatuur, en zacht en kleverig bij 100°C. MATS Hoofdstuk 1 I-7 Figuur I-10 toont voorbeelden van elastomeren.  Elastomeren hebben een elasticiteitsmodulus die 500-5000 keer lager is dan die van metalen. Ze kunnen zeer sterk uitgerekt worden en toch naar hun oorspron- kelijke vorm terugveren. Ondanks hun lage stijfheid kunnen ze sterk en taai zijn. Figuur I-11 toont voorbeelden van hybride materialen.  Hybride materialen zijn combinaties van twee of meer materialen, en hun eigen- schappen combineren die van de samenstellende bestanddelen. Vezelversterkte polymeren zijn de best gekende composietmaterialen: in GFRP gebruikt men glas- vezels, en in CFRP gaat het om koolstofvezels. Natuurlijke materialen (hout, kurk, leer) zijn ook hybride materialen. Schuimen bestaan gedeeltelijk uit polymeren, en gedeeltelijk uit lucht. De eigenschappen van schuimen worden bepaald door de eigenschappen van het polymeer en de vorm en hoeveelheid van de luchtholtes. In “Level 1” van CES EduPack is er voor elk van deze materialen informatie opgenomen informatie zoals getoond in figuren I-12 en I-13 voor het thermoplast ABS. Figuur I-12 toont “ongestructureerde” informatie met ondermeer een algemene beschrijving van het materiaal, ontwerprichtlijnen en typische gebruiksvoorbeelden. In de “gestructureerde” informatie (figuur I-13) vindt men getalwaarden voor een reeks algemene, mechanische, thermische en elektrische materiaaleigenschappen. Deze numerieke materiaalgegevens laten bijvoorbeeld toe om na te gaan of zelf experi- menteel bepaalde materiaaleigenschappen realistisch zijn, dan wel of er een meet- of berekeningsfout gemaakt werd. CES kan ook nuttig gebruikt worden om een idee te krijgen van de grootteordes van een bepaalde eigenschap in de verschillende materiaalfamilies. Vooruitlopend op hoofdstuk II over elasticiteit worden bij wijze van voorbeeld de typische waardes van de elasticiteits- modulus getoond in figuur I-14. Bemerk dat een logaritmische schaal gebruikt wordt voor de elasticiteitsmodulus, wat nodig is om de getalwaardes voor alle materialen duidelijk in één figuur weer te geven. CES maakt het ook mogelijk om zogenaamde Ashby diagrammen te maken. Daarin worden langsheen de horizontale en de verticale assen twee andere materiaaleigenschappen uit- gezet. Een voorbeeld hiervan vindt men in figuur I-15. Voor beide assen wordt hierin een logaritmische schaal gebruikt. De materialen van de verschillende families kunnen omlijnd worden, wat toelaat om snel algemene kwalitatieve uitspraken te formuleren over de verschillen of overeenkomsten tussen de materiaalfamilies. MATS  Hoofdstuk 1 I-8 Pyrexglas (o.a. 15% B2O3) Kwartsglas (99% SiO2) Natronkalkglas (o.a. 5-10%CaO) Chemische toepassingen Hoogvermogen lampen Flessen, lampen, vensters Steen Bakstenen Versterkt beton _ Siliciumcarbide (SiC) Aluminiumoxide (Al2O3) Silicium Hoge T, elektrische isolatie Zonnecel WC deeltjes in 15-20% kobalt Cermet snijgereedschappen Figuur I-6 Glassoorten en keramische materialen [CES EduPack] MATS  Hoofdstuk 1 I-9 Hoog koolstofstaal (0,7-1,7%C) Laag koolstofstaal (0,02-0,3%C) Medium koolstofstaal (0,3-0,7%C) Lagers, verende klemmen Paperclips, bouwconstructie Goedkope gereedschappen Laag gelegeerd staal Roestvast staal (RVS) Koper en messing Hoge kwaliteitsgereedschappen Broodrooster,scharen Kookpot, muziekinstrument _ Aluminium Magnesium Titanium Koffiepot, drankblikje Fietsframe Brillenframe Nikkel Wolfraam Zink Muntstukken, turbine Gloeidraad, elektrode Complexe gegoten zinklegeringen Figuur I-7 Metalen en legeringen [CES EduPack] MATS  Hoofdstuk 1 I-10 ABS (acrylonitril butadieen styreen) Polyamide (nylon) PMMA (polymethylmethacrylaat) legoblokjes tandwielen plexiglas PC (polycarbonaat) PE (polyethyleen) POM (polyoxymethyleen) valhelm verpakkingen ritssluitingen _ PP (polypropyleen) PET (polyethyleentereftalaat) PS (polystyreen) huishoudproducten drankflessen bics en potjes PTFE (teflon/polytetrafluoroethyleen) tpPUR (thermoplast. polyurethaan) tpPVC (thermopl. polyvinylchloride) deklaag in aluminium pan (TEFAL) wieltjes van skateboards vinyl Figuur I-8 Thermoplastische polymeren [CES EduPack] MATS  Hoofdstuk 1 I-11 _ _ Epoxy Fenol (bakeliet) Polyester lijm verdelerkap in stroomverdeler matrix in glasvezelversterkte ligstoel Figuur I-9 Thermohardende polymeren [CES EduPack] Butylrubber Styreen butadieen rubber (SBR) Silicone elastomeer binnenband autobanden rekker aan zwembrilletje Figuur I-10 Elastomeren [CES EduPack] MATS  Hoofdstuk 1 I-12 _ Hout CFRP -carbon fibre reinforced plastic GFRP -glass fibre reinforced plastic Epoxy met continue koolstofvezels Epoxy met continue glasvezels Kurk Leer Papier en karton Flexibel polymeerschuim Flexibel polymeerschuim Flexibel polymeerschuim Zeer lage dichtheid (latex/PUR) Lage dichtheid (latex/PUR) Gemiddelde dichtheid (latex/PUR) Vast polymeerschuim Vast polymeerschuim Vast polymeerschuim Gemiddelde dichtheid (warme drank) Hoge dichtheid (kern tussen GFRP) Lage dichtheid (PS voor isolatie) Figuur I-11 Hybride materialen [CES EduPack] MATS Hoofdstuk 1 I-13 Figuur I-12 Ongestructureerde informatie over ABS [CES EduPack] Figuur I-13 Gestructureerde informatie over ABS [CES EduPack] MATS Hoofdstuk 1 I-14 Figuur I-14 Elasticiteitsmodulus in alle materiaalklassen [CES EduPack] Figuur I-15 Ashby diagram met elasticiteitsmodulus en dichtheid [CES EduPack] MATS Hoofdstuk 1 I-15 I.4 Processen CES bevat ook heel wat informatie over processen om materialen vorm te geven (shaping), ze met elkaar te verbinden (joining) en om de oppervlaktetoestand ervan te wijzigen (surface treating) (figuur I-16). Dit maakt CES een nuttige informatiebron in aansluiting bij een aantal andere vakken uit de opleidingen van Bachelor en Master in de Industriële Wetenschappen. De informatie over de processen is op gelijkaardige manier gestructureerd als die voor materialen. Figuur I-16 toont o.a. een schematische voorstelling van het spuitgieten (injection moulding). Dit is een veelgebruikte techniek om complexe kunststof- producten in grote series te produceren. Momenteel wordt bijvoorbeeld door de onder- zoeksgroep “Cel Kunststoffen” van KU Leuven, Campus Diepenbeek, onderzoek uitgevoerd over het spuitgieten van vezelversterkte producten en het spuitgieten van twee-component producten die bestaan uit een rubber deel en een thermoplast deel. Figuur I-16 De wereld van productietechnieken [CES EduPack]: vormgeving, verbindingen en oppervlaktebehandeling Verschillende vormgevingstechnieken (shaping) kunnen gehanteerd worden om materialen hun uiteindelijke vorm te geven. De onderzoeksgroep van het Verpakkingscentrum van UHasselt onderzochten bijvoorbeeld de impact van het materiaal, de procesparameters en het design op de zuurstofdoorlaatbaarheid van gethermoformeerde verpakkingen. Bij het thermovormen van kunststoffen gaat men een voorverwarmde kunststofplaat of -folie met een mal (of in het Engels ‘mold’) de juiste vorm geven. Dit kan gebeuren door ‘Vacuum forming’, ‘Pressure forming’ of ‘Mechanical forming’ zoals getoond in Figuur I-17. MATS Hoofdstuk 1 I-16 (a) (b) (c) Figuur I-17 (a) ‘Vacuum forming’; (b) ‘Pressure forming’ en (c) ‘Mechanical forming’ [http://www.custompartnet.com/wu/thermoforming] MATS Hoofdstuk 1 I-17 I.5 Referenties [Aernoudt, 2003] E. Aernoudt: “Materialen maken geschiedenis: mysteries uit ons dagelijks leven”, Antwerpen Werkgroep Cultuur en Wetenschap (2003). [Ashby, 2013] M. Ashby, H. Shercliff en D. Cebon: “Materials: Engineering, Science, Processing and Design”, 3rd edition, Butterworth-Heinemann (2013). [Callister, 2015] W.D. Callister, D.G. Rethwisch, “Materials Science and Engineering: An Introduction, 9th Edition”, John Wiley & Sons (2015) [CES EduPack] CES EduPack, Granta Design Limited, Cambridge, United Kingdom (2018). http://www.custompartnet.com/wu/thermoforming MATS Hoofdstuk 5 II-1 II. ELASTICITEIT II.1 Toepassingen Elasticiteit verwijst naar vervormingen die ontstaan ten gevolge van een mechanische belasting, en die weer verdwijnen wanneer de belasting wordt weggenomen. Draagrekken in magazijnen buigen wat door zolang er zware producten op liggen. Bruggen vervormen wanneer er zwaar verkeer over passeert. Wieken van windmolens buigen een beetje bij sterke wind, enz. Voor een aantal toepassingen ligt het voor de hand dat men het elastische gedrag van de ganse structuur in de ontwerpfase uitrekent. Denk bijvoorbeeld aan de verende ophanging van een wagen of een springplank in een zwembad. Bij andere toepassingen denkt men in eerste instantie aan sterkte: constructies mogen niet breken of plastisch vervormen bij de te verwachten belastingen. De stijfheid van een constructie wordt echter niet altijd correct doorgerekend. Wanneer men bijvoorbeeld bij het ontwerp de werkelijke belastingen niet correct inschat, bestaat het risico op ontoelaatbare vervormingen. Zo is de Tacoma Narrows Bridge, een prestigieuze hangbrug in de Verenigde Staten, enkele maanden na ingebruikname in 1940 zeer sterk gaan trillen door de wind en uiteindelijk ingestort. In 2000 werd de London Millennium Bridge, een voetgangersbrug over de rivier de Theems, al na enkele dagen gesloten omdat ze onaangenaam heen en weer schommelde wanneer er gelijktijdig veel voetgangers over wandelden. Dit bezorgde haar de bijnaam van Wobbly Bridge. Na analyse van het probleem en na ontwerp en installatie van gepaste systemen om de horizontale en verticale bewegingen onder controle te houden, werd de brug pas twee jaar later succesvol heropend. De globale stijfheid van een constructie bij een bepaalde belasting wordt deels bepaald door de gebruikte materialen en deels door de vorm en afmetingen van de structuur. De voornaamste materiaaleigenschap die het aandeel van het materiaal beschrijft in de stijf- heid van een voorwerp is de zogenaamde elasticiteitsmodulus of E-modulus. In II.2 zal worden toegelicht hoe deze in de praktijk kan gemeten worden. In het eerste hoofdstuk werd in figuur I-14 al getoond hoe met behulp van CES de grootteorde van de elasticiteitsmodulus in de verschillende materiaalklassen kan worden nagegaan. Om de grote verschillen tussen de materialen te kunnen begrijpen wordt in II.3 ingegaan op de belangrijkste aspecten van de inwendige materiaalopbouw die het elastisch gedrag bepalen. In II.4 worden tenslotte voorbeelden gegeven om, afhankelijk van de belasting en de globale vorm van een constructie, die materialen te selecteren die toelaten om een zo licht mogelijke uitvoering te realiseren met de vereiste stijfheid. Volgens de ontwerpvereisten mag de maximale doorbuiging bij een gekende belasting dan niet groter zijn dan een gekende kritische waarde. MATS Hoofdstuk 5 II-2 II.2 Meting van elastische eigenschappen II.2.1. Trekproef (elastisch gebied) Bij het uitvoeren van een trekproef wordt een proefstaaf met genormeerde vorm en afmetingen (Figuur II.1a) opgerekt tot breuk. De proefstaaf is dunner gemaakt in het middendeel. Voor het starten van de proef wordt ze aan de bredere uiteinden vastgepakt met twee klemmen. Vervolgens wordt de proefstaaf opgerekt (Figuur II.1b). De staaf zal alleen in het dunnere middendeel vervormen. Bovendien zorgen de bredere uiteinden er- voor dat de staaf niet breekt ter hoogte van de inklemming ten gevolge van spannings- concentraties. De proefstaaf wordt in een trektoestel (Figuur II-1.b) op trek belast door krachten die zo goed mogelijk in de hartlijn vallen. Dikwijls heeft een proefstuk een ronde doorsnede, maar ook proefstaven met een rechthoekige doorsnede worden gebruikt. Tijdens het uitrekken worden gelijktijdig de ogenblikkelijke trekkracht en de verlenging van een referentiegedeelte van de proefstaaf gemeten. Figuur II-1 Trekproef: (a) Een standaard proefstuk met cirkelvormige doorsnede dat gebruikt wordt bij de trekproef. (b) Schematische voorstelling van een trekbank. Het standaard proefstuk wordt uitgerekt door de beweging van de dwarsbalk. Met de krachtcel wordt de grootte van de aangewende belasting (m.a.w. de aangelegde kracht F) gemeten, en met (c) de ‘extensometer’ wordt de verlenging van een deel van de staaf bepaald. Figuur aangepast op basis van [Callister, 2015] MATS Hoofdstuk 5 II-3 Het referentiegedeelte van de proefstaaf waarvan een extensometer de verlenging meet tijdens de proef is schematisch voorgesteld in figuur II.2. Bij de start van de proef heeft het een dwarsdoorsnede Ao en een lengte lo. De gecontroleerde verplaatsing van de dwars- balk zorgt ervoor dat de proefstaaf langer wordt. Men meet op elk moment de nodige kracht F en de verlenging van het referentiegedeelte. Zolang het materiaal elastisch vervormt kan de verlenging l = l – lo (met l de ogenblikkelijke lengte en lo de oorspron- kelijke lengte van het referentiegedeelte van de proefstaaf) berekend worden als: 𝑭𝒍𝒐 ∆𝒍 = ( II-1) 𝑨𝒐 𝑬 De bijdrage van het materiaal in de grootte van de verlenging wordt beschreven door de zogenaamde elasticiteitsmodulus E, ook wel E-modulus of Young’s modulus genoemd. Vergelijking (II.1) drukt uit dat verlenging evenredig is met de aangelegde kracht en met de beginlengte, en omgekeerd evenredig met de dwarsdoorsnede en met de elasticiteits- modulus. In goede benadering neemt de verlenging bij metalen in het begin van de trek- proef lineair toe met de aangelegde kracht, en is E dus een constante. Uit vergelijking (II.1) volgt dat de elasticiteitsmodulus de dimensie heeft van een kracht per eenheid van oppervlakte. Vaak gebruikte eenheden zijn N/mm2 en GPa. Deze eenheden verschillen met een factor duizend: 1 MPa = 106 Pa = 106 N/m2 = 1 N/mm2 en 1 GPa =109 Pa. Bij praktische berekeningen van de elastische vervormingen van een constructie is het dan ook erg belangrijk goed op te letten voor de gebruikte eenheden. Zo is de E modulus van staal ongeveer 210 in GPa of 210000 in N/mm2. De E modulus van aluminium is ongeveer een factor drie kleiner: 70 GPa of 70000 N/mm2. In oudere handboeken vindt men nog wel eens de waarden 21000 en 7000: die zijn dan nog uitgedrukt in kgf/mm 2. F Ao lo l  F Figuur II-2 Verlenging l van het staafgedeelte met lengte lo en dwarsdoor- snede Ao onder invloed van een kracht F. De stijfheid S van het referentiegedeelte van de proefstaaf is gedefinieerd als: 𝑭 𝑆= ( II-2) ∆𝑙 Per definitie is de staaf stijver naarmate er een grotere kracht nodig is voor een zekere verlenging, of nog: naarmate de verlenging kleiner is voor een bepaalde kracht. Uit (II.1) en (II.2) volgt dat de stijfheid S hier gelijk is aan: 𝑨𝒐 𝐸 𝑆= ( II-3) 𝒍𝒐 MATS Hoofdstuk 5 II-4 De stijfheid is dus groter naarmate de staaf dikker of korter is, of de elasticiteitsmodulus groter. Voor een dikkere staaf (d.i. een grotere dwarsdoorsnede A0) wordt een grotere belasting (een grotere kracht F) gemeten voor een bepaalde verlenging. Omdat de dwarsdoorsnede geen materiaalparameter is, wordt er gewerkt met een spanning  i.p.v. de belasting F. De spanning  is gedefinieerd als de kracht per eenheid van oppervlakte van de oorspron- kelijke dwarsdoorsnede van de staaf: 𝐹 𝜎= ( II-4) 𝑨𝒐 De kracht F wordt typisch uitgedrukt in Newton en de oppervlakte van de begindoorsnede Ao in mm2 zodat de spanning typisch gegeven is in N/mm2. Bij het omzetten van gemeten krachten naar spanningen moet men uiteraard goed opletten voor de gebruikte eenheden. Indien de beginlengte lo van de staaf groot is, wordt een grotere verlenging l gemeten bij een bepaalde kracht F. Omdat lengte ook geen materiaalparameter is, wordt er gewerkt met een rek  i.p.v. de verlenging. De rek  is gedefinieerd als de lengteverandering l gedeeld door de oorspronkelijke lengte: ∆𝑙 𝜀= ( II-5) 𝒍𝒐 Uit vergelijkingen (II.1), (II.4) en (II.5) volgt dat de spanning  en de rek  met mekaar in verband staan als: 𝜎 𝜀= of ook: 𝜎 = 𝐸𝜀 ( II-6) 𝐸 Deze uitdrukkingen zijn gekend als de wet van Hooke. Men noemt de spanning ook de “technische” spanning (engineering stress) omdat de kracht wordt gedeeld door de oorspronkelijke dwarsdoorsnede en niet door de werkelijke doorsnede. Zo ook benoemt men de rek  als de “technische” rek (engineering strain) omdat de verlenging gedeeld wordt door de oorspronkelijk lengte van de staaf. Door het uitrekken wordt de staaf dunner, en om de “ware” spanning te kennen zou men moeten delen door de ogenblikkelijke doorsnede. Dit laatste doet men alleen indien men de ver- steviging van een materiaal nauwkeurig wiskundig wil beschrijven voor berekeningen die te maken hebben met omvormprocessen. De manier waarop de technische spanning en rek kunnen worden omgerekend in ware spanning en rek zal worden toegelicht in het hoofdstuk over plasticiteit. Een materiaal waaraan in één richting getrokken wordt, zal niet alleen verlengen in de trekrichting, maar ook wat samentrekken volgens de richting loodrecht hierop. Deze rek in de dwarsrichting wordt dan gegeven door: 𝜀𝑑 = −𝜈𝜀 ( II-7) Hierin is (de Griekse letter uitgesproken als ‘nu’) de zogenaamde coëfficiënt van Poisson. Voor de meeste metalen heeft een waarde van ongeveer 0,3; voor kurk is deze nul en voor rubber ongeveer 0,5. Het minteken geeft aan dat het materiaal elastisch samentrekt (d.i. negatief rekt). Bij een drukproef zou het materiaal volgens een richting dwars op de drukrichting elastisch uitzetten (d.i. positief rekken). MATS Hoofdstuk 5 II-5 In de continue trekproef wordt een proefstaaf continu gerekt tot hij breekt en worden de kracht en de bijhorende verlenging doorlopend gemeten. Op basis hiervan wordt de technische spanning berekend in functie van de technische rek. Dit verband noemt men de trekkromme. Figuur II.3 toont een schematische voorstelling van een trekkromme. Figuur II-3 Technische spanning-rek kromme afgeleid uit een trekproef Aanvankelijk verloopt de kromme ongeveer rechtlijnig en keert de proefstaaf terug naar de oorspronkelijke afmetingen wanneer de belasting wordt weggenomen Dit is het zogenaamd elastisch gebied. Vanaf een zekere spanning daalt de helling van de kromme. Een metalen proefstaaf zal dan typisch plastisch vervormen, d.w.z. niet meer naar de oorspronkelijke afmetingen terugkeren bij wegnemen van de belasting. In het hoofdstuk over plasticiteit zal erop ingegaan worden hoe men bij conventie het kritische spanningsniveau bepaalt waarbij plastische vervorming begint. Het verdere verloop van de trekkromme wordt dan ook besproken, maar nu wordt al opgemerkt dat die typisch stijgt tot een maximum waarna de gemeten kracht daalt tot op het moment dat de staaf breekt. Voor het bepalen van de elasticiteitsmodulus is alleen het begin van de trekkromme nodig. Het lineaire deel van de kromme in figuur II.3 in het eerste deel van de proef wordt de moduluslijn genoemd. Indien metalen (of andere materialen) worden blootgesteld worden aan relatief lage vervormingen en bijhorende spanningen dan geldt in veel gevallen de wet van Hooke in vergelijking (II.6). Die wet drukt uit dat de elasticiteitsmodulus gelijk is aan de verhouding tussen spanning en rek in het elastisch gebied. Hoe groter de elasticiteits- modulus, des te meer spanning er vereist is om het materiaal elastisch te laten oprekken. Zoals getoond in figuur II.3 kan de modulus van Young geschreven worden als: ∆𝜎 𝐸= = tg𝛼 ( II-8) ∆𝜀 In de praktijk moet men de spanningsniveaus opgeven waartussen de trekkromme benaderd wordt door een rechte voor de bepaling van de elasticiteitsmodulus. De elasticiteitsmodulus is de maat voor de stijfheid van een materiaal. Als E groot is, spreekt men van een stijf materiaal. Als de elasticiteitsmodulus van een materiaal klein is dan is dan gaat het over een slap materiaal. MATS Hoofdstuk 5 II-6 Een praktisch probleem is dat de verlengingen van een proefstaaf in het elastisch gebied zeer klein en hierdoor moeilijk nauwkeurig te meten zijn. Men heeft er zeer nauwkeurige extensometers voor nodig. Als de trekbank hiermee niet is uitgerust en er alleen informatie beschikbaar is over de verplaatsing van de dwarsbalk, kan de elasticiteitsmodulus niet nauwkeurig bepaald worden. Er bestaan evenwel ook andere methoden die toelaten om de elasticiteitsmodulus nauwkeurig te bepalen met behulp van eenvoudigere en goedkopere metingen. Men zorgt er dan namelijk voor dat de elastische rekken aanleiding geven tot beter meetbare vervormingen van een proefstaaf (zie verder). II.2.2. De buigproef Bij buigproeven wordt de relatie bestudeerd tussen de kracht, die wordt uitgeoefend op een staaf, en de doorbuiging die hiermee gepaard gaat. Dergelijke buigproeven worden typisch toegepast voor de bepaling van de elasticiteits- modulus van materialen voor zover zij de wet van Hooke volgen (en bij benadering voor de elastische eigenschappen van materialen die dat niet doen). Mogelijke uitvoeringen van de buigproef maken gebruik van een ingeklemde staaf die aan het uiteinde belast wordt (figuur II-4) of van een op twee punten opgelegde staaf die in het midden belast wordt (figuur II-5). Figuur II-4 Effect van elasticiteitsmodulus op elastische doorbuiging. Alle balken hebben dezelfde lengte en doorsnede. [Budinski, 2014] MATS Hoofdstuk 5 II-7 l Figuur II-5 Buigproef op opgelegde staaf, met F de aangelegde belasting, l de afstand tussen de steunpunten en  de doorbuiging. In het geval van de buigproef in figuur II-5 geldt volgende uitdrukking voor de maximale doorbuiging  in het midden van de staaf: 𝐹𝑙 3 𝛿= ( II-9) 48𝐸𝐼 Hierin is F de aangelegde belasting, l de afstand tussen de steunpunten, E de elastici- teitsmodulus en I het buigtraagheidsmoment. Gebruikelijke eenheden zijn: [mm] voor  en l, [N] voor F, [N/mm2] voor E en [mm4] voor I. Het buigtraagheidsmoment hangt af van de vorm en afmetingen van de dwarsdoorsnede van de staaf, zoals bijvoorbeeld: - voor een rechthoekige balk met breedte b en hoogte h: 𝑏ℎ3 𝐼= ( II-10) 12 - voor een volle cilinder met diameter d: 𝜋𝑑 4 𝐼= ( II-11) 64 - voor een holle cilinder met buitendiameter d1 en binnendiameter d2: 𝜋(𝑑14 −𝑑24 ) 𝐼= ( II-12) 64 Voor de berekening van de E modulus volgt uit vergelijking (II.9) dat: 𝐹𝑙 3 𝐸= ( II-13) 48𝐼𝛿 Bemerk dat de spanningsverdeling bij een buigproef complexer is dan bij een trekproef. De spanning verloopt lineair van een maximale drukspanning aan de binnenkant van de gekromde staaf tot een maximale trekspanning aan de buitenkant. MATS Hoofdstuk 5 II-8 II.3 Materiaalselectie: Figuur II.17 toont drie structuren waarin een kracht F verantwoordelijk is voor een elas- tische vervorming : (a) een staaf die verlengt door een trekkracht volgens de staafrichting, (b) een balk met vierkante dwarsdoorsnede die doorbuigt door een te dragen last, en (c) een plaat die eveneens op buiging belast is. (a) (b) (c) Figuur II-6 (a) Op trek belaste staaf, (b) op buiging belaste balk en (c) op buiging belaste plaat. [Ashby, 2013] De stijfheid van elke structuur is gedefinieerd als: F S  ( II-14)  Stel dat de stijfheid van elke structuur volgens de ontwerpvereisten minstens een zekere waarde S* moet bedragen. Veronderstel dat in deze structuren de volgende afmetingen op voorhand vastliggen: de lengte Lo van de staaf, de lengte Lo van de vierkante balk (met zijde b) en de breedte b en lengte L van de plaat. De andere afmetingen (de zogenaamde vrije variabelen van het ontwerp) moeten nog bepaald worden door de ontwerper: de dwarsdoorsnede A van de staaf, de afmeting b van de vierkante balkdoorsnede en de dikte h van de plaat. Deze afmetingen moeten telkens voldoende groot genomen worden om de structuren de vereiste stijfheid te geven. Hierin speelt de E modulus van het gekozen materiaal uiteraard mee. Voor een gegeven materiaal (d.w.z. voor een gekende waarde van E) kan men de waarde berekenen die de vrije variabele minstens moet hebben om de gevraagde stijfheid van de structuur te garanderen. Eenmaal alle afmetingen vastliggen, kan men het volume van de structuur uitrekenen, en via de dichtheid  van het gekozen materiaal ook de uiteindelijke massa van elke structuur. Dit leidt tot volgende uitdrukkingen voor de massa’s: (a) van de staaf:    m  S * l o2   E ( II-15) MATS Hoofdstuk 5 II-9 (b) van de balk: 1/2  S * L3     m  L  ( II-16)  4   E1 / 2    (c) van de plaat: 1/3  S*  m   4b  bL  E  2 1/3   ( II-17)     De afleiding van bovenstaande uitdrukkingen vindt men bijvoorbeeld in [Ashby, 2013]. In het kader van deze cursus is het belangrijk om de vergelijkingen te kunnen interpreteren. Uit deze uitdrukkingen volgt dat een constructie met de gewenste stijfheid lichter is naar- mate de dichtheid van het gebruikte materiaal lager is en de E modulus hoger. Het verlagen van de dichtheid of het verhogen van de E modulus heeft evenwel niet steeds hetzelfde effect. Als men alleen kijkt naar materialen met eenzelfde E modulus neemt de massa van de structuren recht evenredig af met de dichtheid van het materiaal. Voor materialen met eenzelfde dichtheid is het effect van het verhogen van de E modulus anders voor elke toepassing. Daar waar de massa van de staaf kan gehalveerd worden door een materiaal te nemen dat eens zo stijf is, is dat voor de balk alleen mogelijk met een materiaal dat vier maal zo stijf is. Voor de plaat moet de E modulus zelfs acht maal groter zijn. Stel dat men voor elk van bovenstaande toepassingen zou kunnen kiezen tussen staal, aluminium, polypropyleen (PP) en een glasvezel versterkt polymeer (GFRP). Om telkens dat materiaal te kiezen waarmee een zo licht mogelijke structuur kan gerealiseerd worden die toch voldoet aan de vereiste stijfheid, volstaat het de factoren uit te rekenen die in vergelijkingen (II.27)-(II.28) functie zijn van de dichtheid en de E modulus: Tabel II-1 Materiaal E     1/2 1/3 E E E in GPa in kg/m3 Staal 210 7,8 x 103 37 538 1312 Aluminium 70 2,6 x 103 37 311 631 PP 1,5 0,9 x 103 600 735 786 GFRP 25 1,8 x 103 72 360 616 Op basis van de waarden in Tabel II-1kan men o.a. besluiten dat staal en aluminium de lichtste staven mogelijk maken, aluminium de lichtste balk (iets lichter dan GFRP) en GFRP de lichtste plaat (iets lichter dan aluminium). Het kiezen van het meest geschikte materialen had ook gekund door de inverse waarde van bovenstaande factoren te berekenen en daarvan het maximum te zoeken: (a) voor de staaf: E M  ( II-18)  MATS Hoofdstuk 5 II-10 (b) voor de balk: E1 / 2 ( II-19) M   (c) voor de plaat: E1 / 3 ( II-20) M   Men noemt bovenstaande waardes ook wel materiaalindices. Het selecteren van het meest geschikte materiaal voor een gegeven toepassing komt dan neer op het zoeken naar het materiaal met de grootste waarde van de betreffende materiaalindex. Het spreekt voor zich dat men bij elke materiaalkeuze ook zal moeten rekening houden met andere materiaaleigenschappen. Zo zal het voor de beschouwde toepassingen in figuur II.17 bij- voorbeeld belangrijk zijn dat het materiaal een minimale breuktaaiheid bezit. Het Ashby diagram dat reeds werd getoond in figuur I.15 vormt een handig grafisch hulp- middel om materialen te selecteren voor lichte, stijve constructies. Vermits er logarit- mische schalen gebruikt worden voor zowel de E modulus als de dichtheid, vindt men alle materialen met eenzelfde waarde van een welbepaalde materiaalindex terug op één rechte in dit diagram. Door van de linker- en de rechterleden in de vergelijkingen (II.30)-(II.32) de logaritme te nemen, bekomt men immers volgende uitdrukkingen: log E  log   log M ( II-21) log E  2 log   2 log M ( II-22) log E  3 log   3 log M ( II-23) De helling van deze rechten (leidlijnen genoemd) in een logE – logdiagram is verschillend voor elke materiaalindex: 1 voor de staaf, 2 voor de balk en 3 voor de plaat. Dergelijke leidlijnen worden getoond in figuur II.18. Het zoeken naar een materiaal voor een zo licht mogelijke, stijve constructie gebeurt door een leidlijn met gepaste helling naar links of naar boven te verschuiven. Alle materialen die op één leidlijn liggen geven aanleiding tot een even zware constructies met de vereiste stijfheid. Om een zo goedkoop mogelijke constructie te realiseren met een minimaal vereiste stijf- heid kan men gebruik maken van een gelijkaardig Ashby diagram, met volgens de ene as nog steeds de E-modulus, maar volgens de andere as de kost per eenheid van volume [euro/m3] in plaats van de massadichtheid [kg/m3]. Die kost per eenheid van volume kan men in CES bekomen door de massadichtheid te vermenigvuldigen met de kost per eenheid van massa [euro/kg]. MATS Hoofdstuk 5 II-11 Figuur II-7 E- diagram met leidlijnen (guidelines) voor drie materiaalindi- ces voor stijve, lichte constructies. [CES EduPack] II.4 Referenties: [Ashby, 2013] M. Ashby, H. Shercliff and D. Cebon: “Materials: Engineering, Science, Processing and Design”, 3rd edition, Butterworth-Heinemann (2013). [Budinski, 2014] K.G. Budinski, M.K. Budinski, “Materiaalkunde, 9e editie”, Nederlandse bewerking W. Wei, Pearson Education Benelux (2014) [Callister, 2015] W.D. Callister, D.G. Rethwisch, “Materials Science and Engineering: An Introduction, 9th Edition”, John Wiley & Sons (2015) [CES EduPack] CES EduPack, Granta Design Limited, Cambridge, United Kingdom (2018). MATS