Matrices Notes PDF

## مصفوفات Matrices The matrix is a set of scalar quantities arranged. It is a rectangular array containing *M* rows and *N* columns. **المصفوفة:** هي مجموعة من الأعداد مرتبة معاً فى مجموعة لتكون من *M* من الصفوف و *N* من الأعمدة. **رتبة المصفوفة:** عدد الصفوف. ### أنواع المصفوفات 1. **مصفوفة م...

## مصفوفات Matrices The matrix is a set of scalar quantities arranged. It is a rectangular array containing *M* rows and *N* columns. **المصفوفة:** هي مجموعة من الأعداد مرتبة معاً فى مجموعة لتكون من *M* من الصفوف و *N* من الأعمدة. **رتبة المصفوفة:** عدد الصفوف. ### أنواع المصفوفات 1. **مصفوفة مربعة:** يكون عدد الصفوف = عدد الأعمدة. 2. **مصفوفة العمود:** تتكون من عدة صفوف وعمود واحد. ``` 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ``` 3. **مصفوفة الصف:** تتكون من عدة أعمدة و صف واحد. ``` [1 2 3 4] ``` 4. **المصفوفة الصفرية:** جميع عناصر المصفوفة بصفر. ``` 0 0 0 0 0 0 ``` 5. **المصفوفة القطرية:** هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها بصفر ما عدا عناصر القطر الرئيسي. ``` 5 0 0 0 4 0 0 0 3 ``` 6. **المصفوفة الإبدالية:** هي مصفوفة عندما يتم قلب صفوفها إلى أعمدة وأعمدتها إلى صفوف تعطى نفس الرتبة. 7. **مصفوفة الوحدة:** هي مصفوفة قطرية يكون عناصر قطرها الرئيس = 1. ``` 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ``` 8. **المصفوفة المتماثلة:** هي مصفوفة عند قلب الصفوف أعمدة في 22 و الأعمدة صفوف تبقى كما هي. 9. **المصفوفة المنحرفة:** هي مصفوفة مماثلة جميع عناصرها باشارة عكس إشارة القطر الرئيسي. ``` 3 6 -4 -68 1 -2 4 -2 7 -6 -2 7 -6 ``` ### خواص المصفوفات 1. **الجمع:** بتجمع كل عنصر على العنصر المناظر له في المصفوفة الثانية ``` 1 2 3 + 2 3 0 = 3 5 3 2 3 0 + -1 5 2 = 1 8 2 0 1 4 + -1 6 8 = -1 7 12 ``` 2. **الطرح:** نفس الجمع بالظبط ``` 1 2 3 4 - 2 3 0 = -1 -1 3 4 0 1 4 - -1 5 2 = 1 -4 2 4 ``` ملحوظة: لازم المصفونتين يكونو نفس الرتبة في الجمع والطرح 3. **ضرب عدد في مصفوفة:** بتضرب العدد في جميع عناصر المصفوفة ``` 2[3 4 6] = [6 8 12] [4 5 10] ``` 4. **ضرب مصفوفتين:** بنضرب الصف الأول من المصفوفة الأولى في العمود الأول من المصفوفة الثانية وبعدين في العمود الثاني وبعدين الثالث وهكذا وبعدين نكرروه مع الصف الثاني من المصفوفة الثالثة وبعدين الصف الثالث وهكذا * شرط ضرب معشوقتين هو ان عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوى: عدد صفوف المصفوفة الثانية ``` 1 0 0 * 1 3 = (1*2)+(0*1)+(0*3) (1*0)+(0*3)+(0*5) 1 5 1 * 2 0 = (1*2)+(5x1)+(1*3) (1*0)+(5*3)+(1*5) 2 3 5 * 2 2 = ``` ### المعكوس الضربى للمصفوفة **The inverse A^-1** * For 2*2 Matrix **A = [a b]** ** [c d]** 1. **الخطوة الأولى:** بنجيب قيمة محدد المصفوفة A ولازم يكون |A| ≠ 0 2. **الخطوة الثانية:** بنجيب المعكوس من القانون A^-1 = 1/|A| adj(A) 3. **ولو عاوزتتأكد من حلك:** إضرب المصفوفة في المعكوس بتاعها لازم يطلع معاك مصفوفة الوحدة 1 0 0 1 * For 2*2 matrix: **A = [2 6]** ** [0 4]** Find **A^-1**: 1. **|A| = 2*4 + 6*0 = 8 ≠ 0** 2. **adj(A) = [4 -6]** **[0 2]** 3. **A^-1 = 1/8 [4 -6]** **[0 2]** 4. **A^-1 = [0.5 -0.75 ]** **[0 0.25]** * for 3*3 matrix: **A = [a b c]** ** [d e f]** ** [g h i]** 1. **|A| ≠ 0:** a(ek-fh) - b(-dk+Fg) + C(dh - eg) ≠ 0 2. **الخطوة الثانية:** بنجيب قيمة كل عنصر فى المصفوفة من المحدد بتاعه وهنشوف ده فى المسائل دلوقتى, Cof A 3. **الخطوة الثالثة:** بنجيب ابدالتى المصفوفة يعنى بنقلب الصنف عمود والعمود صف 4. **الخطوة الرابعة:** بنجيب المعكوس من القانون (A^-1 = 1/|A|Adj(A) Adj(A) **[e-F -h k J-h]** **[-b c a c a -b]** **[h k g -g h]** **[-b c a c a -b]** **[e-f -d f -d e]** --- **Ex:** **A = [2 1 1]** **[1 -1 1]** **[1 1 -2]** **Solve** **Step 1: ** |A| = 2 - 0 + 2 = 4 ≠ 0 **Step 2:** Cof A = **[ -1 -1 -1]** **[ -1 -1 -1 ]** **[ -1 -1 -3 ]** = **[ 2 2 0]** **[ 0 2 2]** **[ 2 2 0]** **Step 3: ** adj(A) = **[ 2 2 0 ]** **[ 0 2 2 ]** **[ 2 2 0 ]** **Step 4: ** A^-1 = 1/4 **[ 2 2 0 ]** **[ 0 2 2 ]** **[ 2 2 0 ]** = **[ 1/2 1/2 0]** **[ 0 1/2 1/2]** **[ 1/2 1/2 0]** ### حل معادلة المجاهيل باستخدام المعكوس الضربى 1. **بنجيب قيمة محدد المصفوفة |A| (مصفوفة معاملات المجاهيل)** 2. **بنجيب المعكوس الضربى للمصفوفة.** 3. **توجد المصفونة X (مصفوفة المجاهيل اللى عاوز بنها)** من القانون X = A^-1B * **A:** مصفوفة معاملات المجاهيل * **B:** مصفوفة الحدود المطلقة * **X:** مصفوفة المجاهيل Ex. **IF X + 2Y = 4** **3X - 5Y = 1** **A = [1 2] (X = [X] B = [4]** ** [3 - 5 Y]** **Step 1:** |A| = 1*3 - (-5)*2 = 13 ≠ 0 **Step 2:** A^-1 = 1/13 Cof(A) = 1/13 **[3 2]** **[5 1]** **Step 3:** X = A^-1B = 1/13 **[3 2]** * **[4]** **[5 1] [1]** = 1/13 **[14]** = **[14/13]** **[21]** **[21/13]** **∴ X = 2(1 - 1/13) = 2(12/13)** **∴ Y = 1/13(12/13) = 12/169 ** **لو اداك 3 مجاهيل مثلاً (x/ y/ z) لازم هيكون عندك 3 معادلات** وهتعمل نفس اللى عملناه هنا ولكن المصفوفة هيبقى 3×3 **وهى مجتش قبل كده لكن هى أسئلتها حلوة وسلسة**