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Introduction à la physique des particules L. Marleau  Introduction à la physique des particules L. Marleau Département de physique F Université Laval F Québec F Canada Cet ouvrage a été ré...

Introduction à la physique des particules L. Marleau  Introduction à la physique des particules L. Marleau Département de physique F Université Laval F Québec F Canada Cet ouvrage a été rédigé avec Scientific WorkPlace et composé avec LATEX 2ε °c 1998-2003 L. Marleau. Département de physique Université Laval, Québec,Canada. Tous droits réservés. Aucun extrait de cet ouvrage ne peut être reproduit, sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit (machine électronique, mécanique, à photocopier, à enregistrer ou tout autre) sans l’autorisation écrite préalable de l’auteur.  Avant-propos Avant-Propos Il n’existe présentement que très peu de livres — à peine cinq ou six — qui introduisent les fondements de la physique des particules dans un langage qui reste au niveau du 1er cycle universitaire (B.Sc.) et malheureusement, ceux-ci sont tous en anglais. Cet ouvrage répond donc à un besoin réel, c’est-à-dire une référence, en français, de niveau du 1er cycle qui introduit toutes les facettes de la physique des particules. Il se veut aussi un bon point de départ pour les étudiants des 2e et 3e cycles (M.Sc. et Ph.D. respectivement) qui poursuivent les études et recherches dans le domaine. Cet ouvrage contient l’essentiel du matériel couvert dans le cadre du cours de Physique des particules (PHY-10518) offert aux étudiants de dernière année du B.Sc. au Département de physique de l’Université Laval. Il requiert des notions élémentaires de relativité restreinte et de mécanique quantique. Les chapitres 1, 2 et 3 portent respectivement sur les notions de base, les techniques expérimentales et la dynamique des collisions. Les chapitres 4 et 5 couvrent les symétries et lois de conservation observées alors que dans le chapitre 6 on introduit le modèle des quarks. Les interactions électromagnétiques, faibles et fortes sont traitées aux chapitres 7, 8 et 9. On termine par un survol des différentes tentatives d’unification ou d’extension du modèle standard. Les annexes contiennent un résumé des notations, des tables de propriétés, un aide-mémoire et une liste assez complète de références complémentaires. De plus, dans un but essentiellement pédagogique, cet ouvrage contient: une table des matières un bref historique au-delà de 163 graphiques et illustrations plus de 85 tableaux 19 exemples ou exercices avec solutions 49 problèmes 37 références complémentaires (sur support papier ou sur Internet) un résumé des notations des tables de propriétés des particules un aide-mémoire des compléments en annexe une liste des prix Nobel de physique un index complet Bonne lecture! Québec Luc Marleau Janvier 2000 Département de Physique Université Laval v  NOTIONS DE BASE Chapitre 1 1.1 Un bref historique 1.2 Survol rapide 1.3 Système d’unités naturelles 1.1 Un bref historique 1.4 Relativité et formalisme quadridimensionnel 1.5 Notions de physique quantique 1.6 Échelle des interactions 1.7 Exercices Année Événement 1927 Découverte de la désintégration β. P.A. Dirac propose son équation d’onde 1928 relativiste pour l’électron. 1930 W. Pauli suggère l’existence du neutrino. Particules élémentaires incluent: - électron, proton, neutron 1930 (dans le noyau), neutrino dans la désintégration β, photon, le quantum de champ électromagnétique. Découverte du positron e+ (Anderson). Dirac réalise 1931 que le positron est aussi décrit par son équation. 1932 Découverte du neutron n (Chadwick). Théorie de Fermi de la désintégration β (interaction faible): 1933/4 ex. n → p + e− + ν̄ e. Hypothèse de Yukawa sur les mésons: La force nucléaire 1935 est due à l’échange de particules massives, les mésons. Découverte du lepton µ (muon). Interprété initialement, 1937 à tort,comme le méson de Yukawa, le muon s’avère trop “pénétrant”. 1938 Énoncé de la loi de conservation du nombre baryonique. Découverte du méson chargé π ± , le pion (Powell). Le µ 1946/47 est produit par le processus π+ → µ+ + ν µ. Théorie quantique de l’électromagnétisme (QED) 1946/50 (Feynman, Schwinger and Tomonaga). 1948 Production artificielle du π +. 1949 Découverte du K +. 1950 Découverte du pion neutre, π 0 → γ + γ. Découverte d’événements en ‘V’ à Brookhaven, New York. 1951 Particules K 0 et Λ ayant une vie moyenne “étrangement” longue et nouveau nombre quantique “l’étrangeté”. 1952 Découverte du ∆ (état excité du nucléon). Yang et Mills proposent les théories de jauge 1954 non-abéliennes. 1  Chapitre 1 NOTIONS DE BASE Année Événement 1955 Découverte de l’antiproton p̄ (Chamberlain etSegre). Lee et Yang suggèrent que la force faible peut générer une 1956 violation P (parité). Découverte de la violation de P dans les atomes de 60 Co. 1956 par Wu et Amber. Découverte de centaines de particules “élémentaires” 1960/70 (ρ, ω, K ∗ , ∆, Ξ,....) — une vraie jungle! 1961 Gell-Mann propose la voie octuple SU (3). 1962 Découverte de ν µ et ν e. 1964 Existence des quarks u, d, s proposée (Gell-mann and Zweig). 1964 Le quark c est suggéré. Découverte de la violation de CP dans les systèmes K 0 − K̄ 0 1964 par Cronin, Fitch, Christianson et Turlay. Le nombre quantique de la couleur est proposée: 1965 toutes les particules observées sont de couleur neutre. Glashow-Salam-Weinberg proposent l’unification des forces 1967 électromagnétique et faible. Prédiction de l’existence du Higgs. 1968-69 SLAC détecte une structure ponctuelle du nucléon. QCD: la théorie des interactions fortes entre particules 1973 colorées. Prédiction de l’existence des gluons. 1973 Liberté asymptotique postulée. Découverte du J/ψ et du quark charmé c, 1974 à Stanford et Brookhaven, USA. 1976 Découverte d’un troisième lepton chargé, le τ −. 1976 Découverte du D0 et confirmation de l’existence du quark c. Découverte d’un cinquième quark, le bottom b, à 1978 Fermilab, USA. 1979 Découverte d’un gluon à DESY, Hambourg. 1983 Découverte du Z 0 et du W ± au CERN. Mesure au LEP (CERN) impliquant que le nombre de 1990 neutrinos “légers” (m < 45GeV) est limité à 3. 1995 Découverte d’un sixième quark, le top t, à Fermilab, USA. 1998 Évidence de neutrinos massifs à Super-Kamiokande, Japon. 2  Survol rapide Chapitre 1 1.2 Survol rapide Matière La description de la matière a depuis toujours intrigué l’humanité. Vu l’immense diversité des formes que prend la matière à l’échelle humaine, il est tentant de penser qu’à une échelle plus petite, elle existe sous une forme plus fondamentale voire plus simple. À tort ou à raison, l’approche scientifique s’est laissée guider par ce concept en espérant qu’une fois les briques fondamentales obtenues, il serait possible de reconstruire l’édifice jusqu’à notre échelle et même au-delà. Dans les faits, une telle reconstruction nous échappe encore... La première notion d’éléments fondamentaux nous vient des Grecs. On pensait que la Nature était composée de quatre éléments: l’air, le feu, l’eau et la terre (voir figure 1.1). Ces éléments (toujours chez les Grecs) furent ultérieurement remplacés par une notion simplificatrice, celle de l’atome. Il faut toutefois mentionner que cette approche n’a pas tou- A ir jours fait l’unanimité. La philosophie arabe suggérait que les propriétés d’un objet devaient être décrites globalement et non à partir de ses constituants. Malheureusement, cette ap- proche s’est avérée être un trop grand obstacle au progrès scientifique. Le dernier siècle a vu Fe u Ea u la physique, et notamment la physique des particules, faire un bond phénoménal. Une ver- sion plus moderne de l’atome a vu le jour dans laquelle celui-ci est formé de constituants plus T e rre fondamentaux. Notre perception de la matière est en constante évolution mais, pour le moment, elle révèle une structure passablement riche dont voici une description sommaire: Commençons Figure 1.1 N par illustrer de façon simplifiée la structure interne de l’atome à la figure 1.2. On peut dès Les quatre éléments fondamentaux de la Nature lors identifier certaines des particules fondamentales comme l’électron et le quark. Mais il (selon les Grecs). existe d’autres particules toutes aussi fondamentales: -18 Échelle Échelle en unités de 10 m -10 atome 100,000,000 Leptons 10 m -14 Les leptons (ainsi nommés parce que leurs masses étaient relativement petites) sont car- 10 m noyau 10,000 actérisés par les propriétés suivantes: -15 10 m 1,000 1. Ce sont des particules qui n’interagissent pas fortement (aucune interaction forte1 ). nucléon -18 électron 0 (1.53) 4πr où 1 R = : portée des interactions m g = constante d’intégration. Exemple 1.2 Interaction électromagnétique. Le photon est le quantum d’échange dans une interaction électromagnétique mais la masse du photon 12  Notions de physique quantique Chapitre 1 étant nulle ∇2 U (r) = 0, r>0 (1.54) d’où g Q U (r) = =. (1.55) 4πr 4πr Si on interprète U(r) comme le potentiel électrostatique alors Q est la charge électrique à une constante multiplicative près. Donc g, la constante d’intégration, joue le rôle de charge. La portée des interactions nucléaires (interactions fortes) est de R ' 10−15 m, ce qui poussa Yukawa à prédire une particule d’échange de masse m = R 1 ' 100 MeV et sans spin pour les interactions fortes. g En 1947, le pion (spin 0, m = 140 MeV) fut découvert. 1 L’approche de Yukawa est toutefois trop naïve pour expliquer le reste des phénomènes forts de façon adéquate. p g 2 Propagateur du boson Il est approprié de décrire une collision entre deux particules en terme d’opérateurs. L’approche perturbative de la théorie des champs suppose que les particules se propagent Figure 1.6 N librement sauf en certains points où il y a émission ou absorption de quanta. Il s’agit d’écrire Exemple de diagramme de Feynman: deux par- la solution des équations de mouvement couplées comme une série perturbative autour des ticules (lignes pleines) interagissent par l’échange solutions des équations de mouvement pour des champs quantiques libres (aucun potentiel d’un quanta (ligne ondulée). d’interaction implique des solutions libres). La méthode utilise les fonctions de Green aux- quelles R.P. Feynman a donné son interprétation d’opérateur. L’équation de mouvement d’un boson libre (équation de Klein-Gordon) s’écrit (p2 − m2 )ψ(p) = 0 (1.56) où ψ(p) est une fonction scalaire. La fonction de Green G(p), dans l’espace des impulsions, obéit à (p2 − m2 )G(p) = δ 4 (p) (1.57) ou encore δ 4 (p) G(p) = 2. (1.58) (p − m2 ) 4 4 avec la fonction delta de Dirac δ (p) définie comme δ (p) = δ(p0 )δ(p1 )δ(p2 )δ(p3 ). Feyn- man interprète cet opérateur comme une amplitude de probabilité associée au boson qui se propage avec une quadri-impulsion p i Propagateur = 2. (1.59) p − m2 De la même façon, Feynman définit un opérateur de sommet décrivant l’émission d’un boson par la particule 1 (et/ou absorption par la particule 2). Cette opérateur est proportionnel à la force de l’interaction et dépend directement de la constante de couplage Sommet = g1 (et g2 ). (1.60) Cette interprétation a permis de développer une méthode graphique simple pour illustrer et calculer la probabilité de certains processus: les diagrammes et règles de Feynman. Exemple 1.3 L’interaction électromagnétique entre deux particules chargées via l’échange d’un boson (voir figure 1.6) est décrite par une amplitude de probabilité qui correspond au produit d’opérateurs (opérateurs de sommet avec couplage g1 (et g2 ) et propagateur): i Amplitude ∝ g1 · 2 · g2 (1.61) p − m2 2 g1 g2 Probabilité ∝. (1.62) p2 − m2 13  Chapitre 1 NOTIONS DE BASE En QED, la masse du photon est nulle et le couplage est proportionnel à la charge e. La section efficace pour la collision de particules chargées est 2 d2 σ e2 e4 2 ∝ 2 = 4, (1.63) dp p p un résultat qui a aussi été obtenu par Rutherford à l’aide de méthodes plus rudimentaires. 1.6 Échelle des interactions Interactions électromagnétiques La force du couplage (aux sommets) est déterminée par la constante adimensionnelle e2 e2 1 αem = = = (1.64) 4π~c 4π 137.0360 Par exemple, la formule de Rutherford (éq. (1.63)) pourrait s’exprimer comme d2 σ α2 2 ∝ em. (1.65) dp p4 Les interactions électromagnétiques (voir figure ??) sont alors caractérisées par les pro- priétés suivantes: mettent en jeu des particules chargées électriquement; e2 couplage électromagnétique: αem = 4π = 1 137.0360 ; temps d’interaction et/ou vie moyenne typique de ∼ 10−20 s; section efficace typique de ∼ 10−33 m2 ; échange de photons (γ); mγ = 0, donc portée R = ∞. Figure 6.2 JI Exemples d’interactions électromagnétiques: (a) e - e- effet photoélectrique (γ + e → e), (b) diffusion de e- γ Rutherford (e + e → e + e), (c) rayonnement de e- γ freinage (e + N → e + N ∗ + γ) et (d) diagrammes e - e- e- γ à plusieurs boucles pour la self-énergie. e- γ (a) (b) (c) + + + (d) Interactions faibles Les principales manifestations des interactions faibles sont: 1. La désintégration β du neutron, ex. n → p + e− + ν̄ e. 14  Échelle des interactions Chapitre 1 2. La capture d’antineutrinos, ex. p + ν̄ e → n + e+. 3. Les réactions hadroniques pures, ex. la désintégration des Σ, peuvent passer par le mode faible ou le mode électromagnétique mais les caractéristiques diffèrent suivant le mode de désintégration: int. faibles int. e.m. Σ− → n + π Σ0 → Λ + γ | {z } | {z } ∆S = 1 ∆S = 0 τ ' 10−10 s τ ' 10−19 s où ∆S est le changement du nombre quantique d’étrangeté et τ est la vie moyenne ou durée des interactions. Figure 1.8 JI Exemples d’interaction faibles: (a) désintégration { d } d νe e n u u du neutron (n → p + e− + ν̄ e ) et (b) capture de p d u W neutrinos (p+ν̄ e → n+e+ ). Le contenu en quark q du proton et du neutron, p = (uud) et n = (ddu) { } u d W e p u u n est illustré clairement. d d νe (a) (b) Les interactions faibles (voir figure 1.8) sont alors caractérisées par les propriétés suiv- antes: mettent en jeu des neutrinos ou des quarks qui changent de saveur, c’est-à-dire des partic- ules ayant une charge faible; GF m2p couplage faible (entre protons): αFermi = 4π ≈ 10−6 ; temps d’interaction et/ou vie moyenne typique de ∼ 10−8 s; section efficace de ∼ 10−44 m2 ; échange de bosons W ± (courants chargés) et Z 0 (courant neutre); mW = 80 GeV, donc portée R = 10−18 m. Les interactions électromagnétiques et faibles (électrofaibles) sont unifiées dans le modèle de Glashow-Weinberg-Salam (1967). Mais à basse énergie, la symétrie est brisée et les deux forces semblent distinctes. Les interactions faibles mettent en jeu un couplage faible gW et l’échange des bosons de jauge W ± et Z0. Les réactions faibles sont caractérisées par une amplitude de probabilité de la forme 2 gW Amplitude ∝ 2. (1.66) q2 − MW,Z où q 2 est le transfert de quadri-impulsion porté dans l’échange du quantum. Figure 1.9 JI La théorie de Weinberg-Salam versus théorie de Fermi: L’interaction faible selon la théorie de Wein- GF berg-Salam (a) procède par l’échange de bosons W massif W ± ou Z 0. Le même phénomène perçu à des échelles d’énergies plus faible (ou de dis- tance plus grande) ressemble à une interaction (a) (b) ponctuelle entre quatre particules conforme avec la théorie de Fermi. Dans la limite q 2 → 0, la théorie de Glashow-Weinberg-Salam se ramène à la théorie des interactions faibles de Fermi (1935) où les interactions impliquant quatre particules sont 15  Chapitre 1 NOTIONS DE BASE ponctuelles et de force GF , la constante de Fermi (voir figure 1.9). 2 gW Amplitude ∝ 2 (1.67) q 2 − MW,Z 2 gW ∼ −5 GeV−2. −→ 2 ≡ GF = 10 (1.68) q →0 MW 2 Le modèle de Glashow-Weinberg-Salam a l’avantage sur la théorie de Fermi d’être renor- malisable. C’est aussi un exemple d’unification de forces (faible et e.m.). Interactions fortes uR Les interactions fortes sont fréquentes dans les collisions de hadrons à haute énergie. Elles uB impliquent, au niveau fondamental, les interactions entre quarks et gluons. On les retrouve gluon RB par exemple dans la collision K − + p → Σ0 uR uB dont la durée est d’environ τ ' 10 −23 s. Les interactions fortes (voir figure 1.10) sont caractérisées par les propriétés suivantes: mettent en jeu des particules portant une charge colorée (quarks et/ou gluons); Figure 1.10 N couplage très fort: αs ' 1; Exemple de diagramme de Feynman pour une in- teraction forte entre quarks: Ici, on note que le temps d’interaction et/ou vie moyenne typique de ∼ 10−23 s; quark up bleu, uB , se transforme en quark up rouge, uR , et inversément, que le quark up rouge, section efficace typique de ∼ 10−30 m2 ; uR ,se transforme en quark up bleu, uB suite à échange de gluons; un échange de gluon rouge-antibleu, gRB̄. La couleur est conservée dans le processus. confinement des quarks et gluons; liberté asymptotique; portée effective de R = 10−15 m en raison du confinement. Interactions fortes résiduelles p n Les interactions fortes résiduelles se situent à l’échelle nucléaire. Il s’agit de forces effi- caces entre hadrons qui persistent malgré le confinement des quarks et des gluons. Elles sont + π responsables de la cohésion des noyaux et se manifestent dans les collisions hadroniques à basses énergies. La portée des interactions efficaces est finie ce qui correspond, selon n p l’approche de Yukawa, à des masses non-nulles pour les bosons d’échange, les mésons (voir figure 1.11). Figure 1.11 N Exemple d’interactions fortes résiduelles: À basses énergies, les états liés de quarks (hadrons) in- teragissent entre eux globalement via les interac- Interactions gravitationnelles tions fortes résiduelles. Il n’existe pas actuellement une théorie quantique gravitationnelle satisfaisante bien que la supergravité, les cordes ou les supercordes soient de bons candidats. Par contre, une théorie quantique gravitationnelle devrait posséder les caractéristiques suivantes: implique tout ce qui possède une énergie-masse et qui modifie la métrique (tenseur éner- gie-impulsion); couplage très faible au niveau subatomique: le couplage typique entre deux protons est GN m2p αG = 4π ' 4.6 × 10−40 ; le graviton, boson d’interaction de spin 2 correspond à une fluctuation quantique de la métrique: masse nulle du graviton, la gravitation ayant une portée infinie. 16  Échelle des interactions Chapitre 1 Tableau récapitulatif Interactions Gravité Électromagnétique Faibles Fortes Échange 10 gravitons photon Z 0, W ± 8 gluons SpinParité 2+ 1− 1− , 1+ 1− Masse (GeV) 0 0 90, 81 0 Portée (m) ∞ ∞ 10−18 ∞, ≤ 10−15 Source masse-énergie charge élec. charge faible couleur Couplage 4.6 × 10−40 1 137 8.1169 × 10−7 '1 τ typique(s) 10 −20 10−8 10−23 σ typique (m2 ) 10−33 10−44 10−30 17  Chapitre 1 NOTIONS DE BASE 1.7 Exercices 1. Champs et particules Laquelle de ces affirmations est la plus conforme à la théorie quantique des champs : (a) chaque particule (comme l’électron) produit un champ (comme le champ électro- magnétique) qui rempli l’espace, transporte l’énergie et communique les interactions entre les particules; (b) ce sont les quanta des champs (d’interaction) qui transportent l’énergie et l’impulsion d’une particule à une autre, celles-ci étant elles-mêmes des états quantifiés de champs (de matière). 2. Tableau des particules les plus stables Voici la liste des 23 particules les plus stables avec leur durée de vie approximative (en secondes): ν e (stable), ν µ (stable), ν τ (stable), e− (stable), p(stable), ldots Dans un tableau, classez ces particules ainsi que leur antiparticule en fonction de leur famille (leptons, hadrons, mésons et baryons). Indiquez également leur temps de vie, leur masse, leur charge électrique ainsi que leur spin. Indiquez si la particule est bosonique ou fermionique. Pour ce faire, vous devez utiliser les tableaux disponibles à la fin des notes de cours. 3. Un peu de réflexion (a) Si l’interaction gravitationnelle a une portée infinie, quelle est la masse du graviton ? Pourquoi ? (b) Quelle particule élémentaire serait la plus abondante dans l’univers ? (c) Quelles interactions agissent sur leurs propres quanta ? (d) Quel type de particules constitue la matière : les bosons ou les fermions ? Comment ce fait à l’aide du principe d’exclusion de Pauli ? 4. Types d’interaction Identifiez le type d’interaction (faible, forte ou électromagnétique) qui intervient dans les réactions suivantes : (a) le rayonnement α (émission de noyaux d’hélium) ; (b) le rayonnement β (flux d’électrons) ; (c) le rayonnement γ (photons de grande énergie) ; (d) la désintégration du muon µ− → e− + ν µ + ν̄ e ; (e) l’annihilation de l’électron et du positon e+ + e− → γ; (f) l’attraction entre les neutrons et protons ; (g) la désintégration d’un antipion π+ → µ+ + ν µ ; (h) la désintégration d’un lambda Λ0 → p+ + π − ; (i) la répulsion de 2 protons; (j) K − + p → Π− + K − + K 0 ; (k) l’attraction de 2 électrons. 5. Diagrammes de Feynmann Représentez les processus suivants à l’aide de diagrammes de Feynmann et précisez aussi la nature des interactions en cause (électromagnétique, faible, forte): (a) 2 protons se repoussent par l’échange d’un photon virtuel ; (b) un neutron se transforme en un proton par l’émission d’un W − virtuel qui se désin- tègre ensuite en un électron et un antineutrino électronique ; (c) un électron et un antineutrino électronique deviennent respectivement un antineutrino électronique et un électron via l’échange d’un W − virtuel; 18  Exercices Chapitre 1 (d) un électron et un antineutrino électronique de diffusent par l’échange d’un Z 0 virtuel. 6. Unités naturelles (a) Convertissez les quantités suivantes en unités naturelles : (i) l’unité de force 1N = 1kgm/s2 ; (ii) la masse du proton mp = 1, 672 × 10−27 kg; (iii) constante de Coulomb k = 1/(4πε0 ) = 9 × 109 N m2 /C 2 ; (iv) constante de structure fine α = ke2 /(~c) ≈ 1/137; (v) constante de Boltzmann kB = 1, 381 × 10−23 J/K. (b) Les expressions suivantes sont écrites en unités naturelles. Retournez aux unités SI en réintroduisant les symboles ~ et c: 1 ∂2 (i) équation de Schrödinger − 2m ∂ ∂x2 Ψ(x, t) + V (x)Ψ(x, t) = i ∂t Ψ(x, t); (ii) onde plane Ψ(x, t) = e−i(px−Et) ; (iii) énergies relativistes E 2 = p2 + m2 , E = γm = √ 1 1−v 2 m; (iv) longueur d’onde λ = 2π p = √ 1 E 2 −m2 ; (v) portée maximale d’une interaction R ≈ ∆t ≈ 2m. 1 7. Dynamique relativiste (a) Quel est le momentum d’un proton dont l’énergie cinétique est de 1 Mev ? (b) Le temps de vie moyen du méson µ au repos est de 2 × 10−6 s. Dans une expérience, on mesure un temps de vie moyen de 4 × 10−6 s. Quelle est la vitesse moyenne des particules µ dans le laboratoire ? (c) Un proton passe du repos à une vitesse de 0, 9c. Quel est son changement en énergie ? (d) Un électron a une vitesse de 0, 3c. Quelle est l’énergie nécessaire pour tripler cette vitesse ? (e) Près d’un noyau massif, un photon de 2M eV est absorbé par un électron quasi- stationnaire. Si l’énergie de recul du noyau est négligeable, quelle est la vitesse finale de l’électron ? (f) Quelle doit être la vitesse d’une particule pour que son énergie cinétique soit égale à son énergie de masse ? 8. L’équation de Klein-Gordon On considère une particule relativiste de masse m se déplaçant sur une ligne (axe des x) avec un moment linéaire p. (a) Montrez que, si la particule est décrite par une onde plane de de Broglie Ψ(t, x) = ei(px−Et)/~ et par la relation de dispersion relativiste E 2 = m2 c4 + p2 c2 , l’équation d’onde de la particule est la suivante: · 2 ³ mc ´2 ¸ ∂ 1 ∂2 − − Ψ(t, x) = 0. ∂x2 c2 ∂t2 ~ C’est l’équation de Klein-Gordon en une dimension. (b) On sait que l’interprétation probabiliste de l’équation de Schrödinger provient de l’équation de continuité : ∂ ∂ ρ(t, x) + J(t, x) = 0 ∂t ∂x où la densité de probabilité ρ et le courant de probabilité J sont donnés par i~ ρ(t, x) = Ψ∗ Ψ et J(t, x) = − (Ψ∗ ∂x Ψ − Ψ∂x Ψ∗ ). 2m Montrez que l’équation de Klein-Gordon implique aussi une équation de continuité avec : i~ i~ ρ(t, x) = (Ψ∗ ∂t Ψ − Ψ∂t Ψ∗ ) et J(t, x) = − (Ψ∗ ∂x Ψ − Ψ∂Ψ∗ ). 2m 2m 19  Chapitre 1 NOTIONS DE BASE Par contre, on ne peut plus interpréter ρ comme étant une densité de probabilité. Pourquoi ? 9. L’équation de Dirac Le problème précédant montre que l’équation de Klein-Gordon est relativiste mais qu’elle est aussi quadratique en énergie (E = i~∂t ) et sans interprétation probabiliste possible. Le but de ce problème est d’obtenir une équation d’onde relativiste qui corrige ces deux problèmes. (a) Démontrez qu’il est impossible de trouver une paire de nombres complexes a et b telle que : C = aA + bB et C 2 = A2 + B 2 où A, B et C sont des opérateurs qui commutent entre eux. (b) Montrez que les 2 expressions précédentes sont possibles si : µ ¶ µ ¶ 0 1 1 0 a = σx et b = σ z 1 0 0 −1 (c) Utilisez les résultats précédents pour justifiez le fait que l’équation de Dirac, HΨ(t, x) = EΨ(t, x) où H = −i~cσx ∂x + mc2 σ z et E = i~∂t , soit qualifiée de relativiste et linéaire en énergie. (d) Décomposez l’équation de Dirac en un système de 2 équations aux dérivées partielles du premier ordre en posant µ ¶ Φ(t, x) Ψ(t, x) =. X(t, x) (e) Obtenez l’équation de Dirac indépendante du temps en utilisant la séparation de vari- ables suivante: µ ¶ −iEt/~ φ(x) Ψ(t, x) = ψ(x)e = e−iEt/~. χ(x) (f) Prenez la limite non relativiste (faible énergie) et montrez que la (petite) composante ξ devient négligeable alors que la (grande) composante φ obéit à l’équation de Schrödinger suivante: ~2 d2 φ(x) = (E − mc2 )φ(x). 2m dx2 (g) Montez qu’un interprétation probabiliste est possible en vérifiant que l’équation de Dirac implique une équation de continuité, ∂ ∂ ρ(t, x) + J(t, x) = 0 ∂t ∂x où ρ(t, x) = Ψ† Ψ i~ J(t, x) = − (Ψ† ∂x Ψ − ∂x Ψ† Ψ) , 2m puis que la densité ρ est toujours positive. (h) Montrez enfin que les vecteurs µ ¶ µ ¶ + 1 − 0 ψ(x) = , ψ(x) = 0 1 sont des solutions de l’équation des états stationnaires. Quelle est leur énergie re- spective ? Interprétez ce dernier résultat. 10. Initiation à la théorie quantique des champs : bosons non relativistes Ce problème s’adresse aux personnes ayant de solides bases en mécanique quantique. On présente ici l’idée de la seconde quantification en une dimension. La première quan- tification consiste essentiellement à élever les variables de position xj et de momentum pj au rang d’opérateurs hermitiens dont la relation de commutation est [xj , pk ] = i~δ jk ; la première quantification donne ainsi l’équation d’onde de Schrödinger dans le cas non rel- 20  Exercices Chapitre 1 ativiste. La seconde quantification consiste à quantifier la fonction d’onde, c’est-à-dire, la considérer la fonction d’onde ψ(x, t) comme étant un opérateur satisfaisant les relations de commutation (en temps égal) suivantes : [ψ(x, t), ψ † (x0 , t)] = δ(x − x0 ), [ψ(x, t), ψ(x0 , t)] = 0 = [ψ † (x, t), ψ † (x0 , t)] (1.69) Montrez que, si l’hamiltonien est défini par Z µ ¶ † ~2 ∂ 2 H(t) = dxψ (x, t) − + V (x) ψ(x, t) , 2m ∂x2 alors l’équation du mouvement de l’opérateur ψ est la suivante: d ~2 ∂ 2 i~ ψ(x, t) = [ψ(x, t), H(t)] = − ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) dt 2m ∂x2 Il en va de même pour l’opérateur conjugué ψ †. 21  SOURCES ET DÉTECTEURS Chapitre 2 2.1 Sources Avant d’aborder les modèles sur lesquels est basée notre vision de la physique des partic- 2.2 Détecteurs ules, il est essentiel de comprendre comment on arrive à percevoir ces particules, à mesurer 2.3 Les principales expériences en leur propriétés physiques et quels sont les défis techniques qu’il faut relever pour y parvenir. cours 2.4 Exercices Le but de ce chapitre est donc de donner un aperçu des méthodes expérimentales utilisées en physique des particules. On peut les regrouper sous deux grandes fonctions: (1) les méthodes qui visent à fournir des sources de particules ayant des énergies de plus en plus grandes3 et (2) les détecteurs qui servent à mettre en évidence les différentes manifestations physiques des particules et à mesurer leur propriétés physiques. 2.1 Sources Radioactivité La radioactivité provient de la désintégration spontanée (relevant de l’interaction faible) de noyaux lourds. Elle est caractérisée par l’émission d’une ou plusieurs des particules légères suivantes e− , e+ , p, n et α(He++ ) dont les énergies sont de l’ordre de grandeur des énergies de liaison nucléaire (environ 10 MeV). Rayons cosmiques Les rayons cosmiques sont des particules très stables (principalement des protons, des neutrons et des photons) qui se propagent à des distances astronomiques avant d’entrer dans l’atmosphère terrestre. Dès lors, ils interagissent avec les particules qui s’y trouvent et peu- vent générer une multitude de sous-produits. Cette source a le désavantage d’être incon- trôlable. En effet, on ne connaît a priori ni la nature, ni l’énergie, ni la trajectoire de la particule. De plus, les rayons cosmiques sont absorbés par l’atmosphère de sorte que seule- ment une fraction de ceux-ci arrive jusqu’à la surface de la Terre. Par ailleurs, l’énergie des rayons cosmiques est beaucoup plus grande que celle associée à la radioactivité. On leur identifie deux sources principales: une source stellaire associée aux basses énergies et une source galactique caractérisée par des énergies pouvant aller jusqu’à 103 TeV. Accélérateurs Outre les sources naturelles, les physiciens des hautes énergies se sont donné des outils pour étudier les phénomènes subatomiques: les accélérateurs de particules. Ces appareils 3 Selon le principe d’incertitude ∆p · ∆x ≥ ~, plus l’inpulsion des particules est grande lors d’une collision plus il est possible de sonder profondément à l’intérieur de la matière (courte distance) 23  Chapitre 2 SOURCES ET DÉTECTEURS ont mené à un progrès phénoménal notamment en physique des particules en permettant de sonder la matière à des distances de plus en plus petites. On doit ce progrès en grande partie à l’accroissement constant de l’énergie des particules projectiles. Cet accroissement répond à deux objectifs: 1. La production de nouvelles réactions ou de nouvelles particules finales souvent plus mas- sives, ce qui n’est possible que si l’énergie initiale dans le centre de masse est suffisante. 2. Sonder la matière de plus en plus profondément pour découvrir des sous-structures, en diminuant la longueur d’onde des particules incidentes (λ = p1 ) pour obtenir un plus grand pouvoir séparateur au cours de diffusions à hautes énergies (exemple : diffusion très inélastique d’électrons très énergétiques sur des protons). La physique de l’accélérateur Pour accélérer une particules à l’énergie voulue, on utilise ses propriétés électromagné- tiques. Une particule de charge q placée dans les appareillages qui produisent des champs E et B subira une force F(t) = qE + qv × B (2.1) (conséquence des équations de Maxwell). Cette relation tient pour des systèmes relativistes si on définit: dp dẋ d F(t) ≡ =m = γmv (2.2) dt dt dt D’autre part, le taux de travail accompli sur une particule chargée ou le gain d’énergie par unité de temps de la particule s’écrit dW dp0 = = F · v = qE · v. dt dt Notons que le champ B n’effectue aucun travail sur la particule. Donc de façon générale, le champ électrique est nécessaire pour accélérer les particules tandis que les champs magné- tiques sont utilisés pour contrôler leur trajectoire. Un champ magnétique perpendiculaire à la vitesse des particules permet de maintenir celles-ci sur une trajectoire circulaire si nécessaire. Des aimants quadripolaires (et quelques fois sextupolaires) tiennent le faisceau de particules chargées focalisé sinon le faisceau aurait tendance à se disperser étant formé de particules avec des charges électriques de même signe. 24  Sources Chapitre 2 Accélérateur linéaire (Linacs) : Dans un tube cylindrique sous vide sont alignées des électrodes cylindriques. On alterne la parité électrique des électrodes en les connectant à une source de radiofréquences (voir figure 2.1). Les particules chargées sont accélérées pendant leur court passage entre deux électrodes successives puisque soumises à une différence de potentiel, V. Une fois que les particules sont dans les électrodes cylindriques et pendant la durée de leur trajet, il s’opère une inversion de polarité des électrodes avoisinantes si bien qu’à la sortie elles sont soumises à la même différence de potentiel, V , et sont accélérées dans le même sens. Les électrodes sont conçues pour que le passage des particules à l’intérieur de chacune d’elles ait une durée correspondant à la moitié de la période de la radiofréquence. Figure 2.1 JI Accélérateur linéaire: Des électrodes avoisinantes sont soumises à une différence de potentiel oscil- lant à haute fréquence. La longueur de chaque RF ~ électrode est ajustée pour qu’il ait toujours ac- S ource d'ions célération des particules lors du passage entre deux électrodes. Cette contrainte est toutefois moins importante pour une particule légère puisque dès qu’elle atteint une énergie cinétique comparable à sa masse, sa vitesse s’approche de c. Elle peut alors être accélérée par une onde électromagnétique produite dans une cavité réson- nante. Les particules chargées, qui sont en général accélérées en paquets, se propagent alors en phase avec cette onde. Les accélérateurs linéaires à électrons permettent d’accélérer simul- tanément des positrons en alternant les paquets d’électrons et de positrons. Les positrons sont accélérés dans le même sens puisque soumis à une différence de potentiel, −V , à leur sor- tie des électrodes. Il est ensuite possible de séparer les faisceaux à la sortie de l’accélérateur grâce à un champ magnétique. Le plus grand de ces accélérateurs à électrons est encore celui de Stanford (U.S.A.) qui atteint une énergie de 20 GeV avec une longueur de 3 km. Puis pendant plusieurs années, il fut utilisé comme injecteur pour un projet plus ambitieux, le SLC. On y séparait les faisceaux électrons-positrons pour les orienter sur des trajectoires distinctes et, tout en continuant de les accélérer, on les guide vers une collision face-à-face (50 GeV sur 50 GeV) (voir figure 2.2). Depuis peu, il sert à alimenter une manufacture de mésons “beaux”, B et B̄, dans les anneaux de storage de PEP-II (projet BaBar). Accélérateurs circulaires (Synchrotrons) L’ancêtre de ces appareils est le cyclotron, une invention due à Lawrence (1930). Il est basé sur l’idée de contenir la particule dans une région limitée en y appliquant un champ magnétique. L’accélération est obtenue au moyen d’un champ électrique. Figure 2.2 N La source de particules est placée au centre d’une enceinte cylindrique sous vide. Les Le collisionneur SLC du SLAC (Stanford Linear particules se propagent entre les deux pièces polaires d’un électro-aimant et sont donc con- Accelerator Center) à Stanford, USA. Les premières étapes de l’accélération se produisent dans la par- stamment soumises à un champ magnétique uniforme B. L’appareil ressemble à un sandwich tie linéaire originale de l’accélérateur du SLAC cylindrique coupé en deux le long de son diamètre (voir figure 2.3). Les électro-aimants ont (gracieuseté de SLAC, Stanford, USA). une forme de D (d’où le nom de “dee” qui les caractérise). Deux électrodes entre lesquelles est appliquée une tension variable à haute fréquence (HF) sont disposées dans l’espace sé- parant les deux D. Puisque le champ électrique est nul à l’intérieur d’un D, l’équation de mouvement s’écrit dp d = γm v = qv × B dt dt la vitesse |v| étant constante. Pour un champ uniforme et constant, si la vitesse initiale est perpendiculaire à la direction de B, la trajectoire sera circulaire tout en demeurant dans le plan perpendiculaire à B puisque dp d B· = (B · p) = B· (qv × B) = 0 dt dt 25  Chapitre 2 SOURCES ET DÉTECTEURS Le rayon de la trajectoire entre les D est donné par γm |v| |p| ρ= = (2.3) |q| |B| |q| |B| avec une fréquence ω = |q||B| γm. Le cyclotron atteint rarement des vitesses relativistes à cause des contraintes sur les dimensions de l’appareil et la grandeur de champ magnétique requis (voir éq. (2.3)). Dans ce cas, γ ' 1 et ω ne dépend pas de v alors |q| |B| ω'. m Il est possible d’accélérer la particule à chaque passage d’un D à l’autre, en appliquant une tension haute fréquence bien synchronisée. Il en suit un accroissement d’impulsion de d |q| ∆p = |q| |E| ∆t = |q| |E| = V |v| |v| où d est la distance entre les D et V, la tension appliquée. Puisque le rayon de la trajectoire dépend de l’impulsion, le tout se traduit par un ac- croissement correspondant du rayon ρ, et la trajectoire ressemble globalement à une spirale faite de demi-cercles. Pour un rayon, un champ magnétique et une impulsion exprimés en mètre, Tesla et GeV respectivement, (2.3) s’écrit (|q| = 1), |p| = 0.3 |B| ρ. Par ailleurs, la direction de la courbure permet en général de déterminer le signe de la charge. Aires d'interaction Lorsque la vitesse devient relativiste, la fréquence de rotation ω = |q||B| γm est modifiée à chaque passage. Il est donc nécessaire de modifier la fréquence du champ électrique pour le Aimaint dipolaire Aimaint quadrupolaire synchroniser aux passages d’un paquet de particules au centre de la machine. C’est sur ce principe que sont construits les synchro-cyclotrons. Cavités résonnantes Toutefois, on atteint vite les limites raisonnables pour la dimension des électroaimants si on persiste à utiliser les synchro-cyclotrons pour des protons de plus de 1 GeV. ~RF ~RF Finalement, dans les synchrotrons, on ajuste le champ magnétique B pendant l’accélération de façon à maintenir le rayon de courbure du faisceau à peu près constant (voir figure 2.4). L’accélérateur consiste en une série d’aimants dipolaires qui servent à courber la trajectoire, intercalés à des endroits stratégiques des aimants quadripolaires pour focaliser le faisceau, des cavités résonnantes à haute fréquence pour accélérer les particules et finalement des aires Figure 2.4 N d’interactions où sont logés les détecteurs. Le faisceau lui-même est sous un vide presque Schéma élémentaire d’un synchrotron. Il faut noter parfait pour éviter des dispersions inutiles et des pertes d’intensité et d’énergie. qu’en général, un accélérateur est composé de beaucoup plus d’éléments (aimants sextupolaires, L’un des plus grands défis techniques dans la conception de ces appareils réside dans la systèmes de refroidissement et de contrôle,...) et focalisation optimale du faisceau. Puisque le faisceau est composé de particules de charges leur disposition est complexe. identiques, ces dernières ont tendance à s’éloigner les unes des autres causant une disper- sion du faisceau de plus en plus grande. En plaçant un champ magnétique non homogène (quadripôles), il est toutefois possible de focaliser le faisceau en ramenant les particules dans la direction principale. Accélérateurs de particules dans le monde La conception optimale d’un accélérateur dépend d’un certain nombre de paramètres im- portants tels que ses dimensions, sa luminosité, son cycle de vie, la nature des particules accélérées et, non le moindre, le coût. De façon générale, le collisionneur qui consiste en deux anneaux concentriques (syn- chrotrons) où sont accélérées les particules en sens inverses est un des plus performants puisque l’énergie disponible dans le centre de masse est très grande. Cependant, la prob- abilité d’une interaction lorsque deux faisceaux arrivent face-à-face est beaucoup plus faible que dans le cas d’une collision sur cible fixe à cause de la densité des faisceaux notamment. Cette probabilité est paramétrisée par une quantité appelée luminosité, L. Le taux de réaction 26 Figure 2.5 N  Sources Chapitre 2 T pour un processus ayant une section efficace σ est alors T = Lσ. La luminosité dépend uniquement de la conception de l’accélérateur et non du processus: N1 N2 L=f ·n· A où f est la fréquence de révolution des particules, n, le nombre de paquets dans les faisceaux, N1 et N2 , le nombre de particules par paquet dans chaque faisceau et finalement, A est la section efficace des faisceaux dans le cas simple où ceux-ci se recouvrent complètement. La luminosité s’exprime en unités de pb−1 ·s−1 où pb dénote une unité de surface appelée le picobarn ( 1 pb = 10−36 cm2 = 10−40 m2 ). Figure 2.6 N Projet pour la prochaine génération de collision- neurs linéaires électron-positron, NLC ou Next Lin- ear Collider (gracieuseté de SLAC, Stanford, USA). La nature des particules accélérées joue aussi un rôle important dans le choix du design. Par exemple, on sait que des particules chargées en mouvement accéléré émettent un rayon- nement électromagnétique. Lorsque l’accélération est normale à la direction de propagation, comme c’est le cas pour une trajectoire circulaire, il est appelé rayonnement synchrotron. Il y a donc perte d’énergie même si on ne fait que maintenir les particules chargées sur leur trajectoire circulaire. L’énergie perdue par tour est donnée par 4π e2 v 2 γ 4 ∆E = 3 ρ ¡ ¢− 1 où v est la vitesse des particules, γ = 1 − v 2 2 est le facteur relativiste et ρ le rayon de courbure du faisceau. Cependant, on voit aisément que la perte d’énergie est d’autant plus grande que la masse des particules est petite pour des faisceaux de même énergie. En effet E γ= , m et, par exemple, si on compare des faisceaux d’électrons et de protons de mêmes énergie et courbure, µ ¶4 (∆E)e mp = ' 1013. (∆E)p me En fait, les derniers grands accélérateurs ont tous été construits sur le principe du collision- neur. La prochaine génération d’accélérateurs d’électrons (au-delà du TeV) devra être basée 27  Chapitre 2 SOURCES ET DÉTECTEURS sur le principe des machines linéaires (voir figure 2.6). Collisionneurs Énergie Circonférence Projet/Laboratoire (GeV) (km) CESR (1979) e+ e− 6+6 0.768 Cornell–Ithaca,USA KEKB 8 + 3.5 3.016 Tsukuba–KEK,Japon PEP-II (1999) 12 + 4 2.2 SLAC–Stanford,USA PETRA (1992-) 23 + 23 DESY–Hambourg,All. TRISTAN (1999) 30 + 30 Tsukuba–KEK,Japon SLC (1989) 50 + 50 1.45 + 1.47 SLAC–Stanford,USA LEP I et II (1990-1999) I: 45 + 45 26.66 CERN–Genève,Suisse II: 105 + 105 SppS (1981–1990) pp̄, pp 315 6.91 CERN–Genève,Suisse Tevatron (1987-) 1000 + 1000 6.28 Fermilab–Batavia,USA LHC (~2005) 7000 + 7000 26.66 CERN–Genève,Suisse SSC (Annulé) 20000 + 20000 87.12 SSC–Waxahachie,USA HERA (1992-) ep e: 30 + p: 820 6.33 DESY–Hambourg,All. Outre leur utilisation en physique des particules, les accélérateurs s’avèrent maintenant essentiels dans l’étude de la rayonnement synchrotron, pour des expériences en physique nucléaire, en physique atomique, en physique du solide, en physique des surfaces, en métal- lurgie, en biologie et pour étalonner certains instruments d’astrophysique. Notons qu’ils se révèlent des instruments de vérification très efficaces de la théorie de la relativité restreinte. 28 Sources Chapitre 2 Figure 6.2 JI Vue aérienne du Tevatron de Fermilab à Batavia, USA (gracieuseté de Fermilab, Batavia, USA).. Figure 2.8 JI Plan des accélérateurs (PS, SPS et LEP) et des sites d’interactions (ALEPH, OPAL, L3 et DEL- PHI) du CERN à Genève, Suisse (gracieuseté du CERN, Genève, Suisse). 29  Chapitre 2 SOURCES ET DÉTECTEURS 2.2 Détecteurs Un détecteur sert à identifier les caractéristiques des particules en jeu dans une réaction. De manière plus générale, les détecteurs peuvent remplir de nombreuses fonctions. I Décrire dans la mesure du possible la trajectoire de chacune des particules. À cet effet, on utilise plusieurs méthodes soit des petits compteurs dont la position et l’alignement per- mettent de déterminer la direction d’une particule, soit des détecteurs entrecroisés et empilés formant une matrice pouvant identifier les directions de plusieurs particules, ou bien encore tout simplement un détecteur à trace, qui comme son nom l’indique, trace la trajectoire des particules qui le traversent. Mais ce n’est pas tout de “voir” la particule, il faut aussi être en mesure de: I Déterminer l’impulsion et la charge électrique des particules chargées. Dans bien des cas, ces informations sont obtenues en observant la trajectoire de la particules dans un champ magnétique appliqué sur une partie du trajet; I Identifier chaque particule en mesurant sa masse. Pour les particules chargées, la mesure simultanée de leur impulsion et de leur vitesse par l’ionisation d’un milieu mène à ce résultat; I Finalement, la sélection d’événements par ce qu’on appelle “triggers” ou déclencheurs est une fonction cruciale dans les détecteurs pour éviter un cumul inutile d’événements qui ne sont pas pertinents dans l’étude en cours. Cette sélection doit s’effectuer très rapidement. Elle est en général effectuée par des détecteurs possédant un temps de réponse très court. Ce ne sont pas les seules contraintes auxquelles sont confrontés les expérimentateurs. Le détecteur parfait devrait être aussi efficace quelque soit le type de particules, devrait prendre ses mesures sans influencer le système ou sans être affecté par le faisceau, devrait avoir une précision illimitée, devrait offrir une couverture totale de tout l’angle solide (soit de 4π stéradians) malgré les faisceaux de particules incidentes, etc... Dans la pratique, on fait appel à une combinaison de détecteurs différents, chacun spécialisé à des tâches bien précises afin d’optimiser la quantité et la qualité des mesures effectuées. Ces dernières sont alors mises en commun et analysées. Mais avant de décrire les principaux détecteurs, examinons quels principes physiques sont exploités dans la construction de ces appareils. La physique du détecteur Pour qu’il y ait détection, il faut qu’il y ait interaction. La très grande majorité des dé- tecteurs se basent sur les interactions électromagnétiques des particules avec la matière. C’est pourquoi, à quelques exceptions près, seules les particules chargées sont détectées directe- ment. Les photons, bien que neutres, se manifestent par leurs interactions avec ces particules chargées. Les autres particules neutres n’ont aucune interaction électromagnétique. Elles ne peu- vent être “vues” qu’à la suite de collisions, désintégrations ou tout autre processus produisant des particules chargées secondaires. Ionisation Le processus le plus courant est l’ionisation. Le champ électromagnétique d’une partic- ule chargée en mouvement accélère les électrons des atomes avoisinant sa trajectoire et les ionisent. L’ion est alors détectable soit chimiquement, soit électriquement (voir figure 2.9). e- Dans le processus, la particule chargée continue sa trajectoire mais une partie de son e- énergie est absorbée par le milieu. La théorie permet de très bien prédire le taux de ces pertes qui sont principalement dues à la diffusion coulombienne par des électrons atomiques (à ne γ e- pas confondre avec la diffusion coulombienne avec les noyaux). Les calculs de Bethe, Bloch et autres chercheurs dans les années ’30 mènent à la formule de Bethe-Bloch qui exprime le 30 Figure 2.9 N  Détecteurs Chapitre 2 taux de perte en fonction de la longueur de pénétration x, · µ ¶ ¸ dE DZ 2 ne 2mv 2 γ 2 2 δ − = ln −v − (2.4) dx v2 I 2 où m, Z et v sont respectivement la masse, la charge et la vitesse de la particule (} = c = 1). ¡ ¢− 1 γ est le facteur de Lorentz 1 − v 2 2. La constante D est donnée par 4παem D= m alors que I est le potentiel d’ionisation moyen (I = 10Z eV pour Z > 20). Le facteur δ paramétrise l’effet d’écran diélectrique et introduit une correction due à la densité du milieu. Finalement, ne est la densité électronique du milieu. En principe, la formule ci-dessus s’applique seulement aux particules de spin-0 mais les e- corrections pour les particules de spin- 12 sont faibles et à toutes fins pratiques négligeables. e- À petite vitesse, le comportement de − dE dx est dominé par le facteur v −2 dans l’expression γ (2.4). Toutes les particules chargées passent par un minimum d’ionisation pour des valeurs vγ d’environ 3 ou 4. Finalement, pour de très grande impulsion, v est pratiquement l’unité et l’expression augmente logarithmiquement jusqu’à ce qu’elle soit contrebalancée par l’effet d’écran. Une connaissance approfondie du milieu ionisé permet alors de déterminer la vitesse et la charge de la particule chargée. Figure 2.10 N Diffusion de Colomb: La particule chargée est diffusée électromagnétiquement au passage près Diffusion de Coulomb d’un noyau lourd. La particule chargée peut aussi interagir électromagnétiquement avec des noyaux lourds. C’est ce qu’on appelle la diffusion de Coulomb.(Voir figure 2.10) La réaction est en général plus brutale pour la particule incidente à cause de la masse comparativement plus élevée du noyau. Ce processus est caractérisé par: une cible immobile ou presque; une diffusion transverse ou un angle de diffusion appréciable; une collision élastique ou quasi-élastique (conservation de l’énergie). Rayonnement de freinage Dans ce processus, la collision particule-noyau est accompagnée de l’émission d’un pho- ton et donc se distingue de la diffusion de Coulomb par son inélasticité (voir figure 2.11). Des calculs détaillés mènent à un taux de perte d’énergie pour des électrons relativistes (avec E À m 1 ) de αem Z 3 dE E γ − = dx λ où λ est la longueur de rayonnement e- µ ¶ e- Z (Z + 1) 3 183 λ−1 = 4 α em na ln 1 m2 Z3 γ avec la densité atomique na et les autres quantités sont définies plus haut. Contrairement à l’ionisation, le rayonnement de freinage dépend fortement de la masse de la particule chargée (∝ m−2 ) et sera dominant pour des particules peu massives (électrons et positrons). Absorption de photons par la matière Figure 2.11 N Rayonnement de freinage: Une collision particule- Les photons ont une forte probabilité d’être absorbés ou diffusés à de plus ou moins noyau est accompagnée de l’émission d’un pho- grands angles suivant leur énergie par les atomes dans un matériau. La densité I de photons ton. Il en résulte un perte d’énergie (ou un freinage) monochromatiques d’un faisceau (ou l’intensité d’un faisceau) varie selon de la particule. dI I =− dx λ 31  Chapitre 2 SOURCES ET DÉTECTEURS où λ est le chemin libre moyen. λ est inversement proportionnel à la densité du milieu na et à la section efficace d’absorption ou de diffusion σγ : λ−1 = na σ γ. Intégrant l’équation précédente, on trouve γ e- I(x) = I(x0 )e−(x−x0 )/λ , ce qui indique une diminution exponentielle de l’intensité du faisceau en fonction de la dis- tance de pénétration. L’absorption de photons par la matière passe par trois processus qui contribuent tous à la section efficace totale σ γ : Figure 2.12 N Effet photoélectrique: Un photon absorbé libère un électron des couches plus ou moins Effet photoélectrique: Un photon est absorbé par profondes. Le spectre d’absorption du milieu dépend de l’énergie des photons mais est un électron atomique et s’échappe pour créer un ion. surtout caractérisé par des pics correspondant aux énergies de liaisons des électrons (voir figure 2.12). Effet Compton: L’effet Compton décrit le processus de diffusion d’un photon par la matière. Ce processus est inélastique (voir figure 2.13). Figure 2.13 JI Effet Compton: Un photon est absorbé puis réémis par une particule chargée. L’impulsion et l’énergie γ γ γ γ du photon est modifiée dans le processus. e- e- e- e- Création de paires: Au-delà d’un certain seuil d’énergie E = 2me c2 , les photons peu- vent, en présence d’un champ externe, induire la création d’une paire particule-antiparticule dont les masses sont me (voir figure 2.14). On identifie deux contributions distinctes à la section efficace: une première où le champ externe est celui des électrons atomiques et une seconde où les photons interagissent avec le champ du noyau. À très haute énergie, la création de paires domine les effets photoélectrique et Compton dans l’expression de la section efficace totale σ γ. e+ γ γ e- Instruments de détection Figure 2.14 N Un photon crée une paire particule-antiparticule. On note que le processus nécessite la participa- Chambre d’ionisation, compteur proportionnel et compteur de Geiger- tion d’un deuxième photon pour que l’énergie-im- Müller pulsion soit conservée. Ces trois détecteurs sont en quelque sorte le même appareil qui fonctionne à trois régimes différents. Il consiste en un tube métallique rempli d’un gaz et traversé en son axe central par un fil de métal. Le fil d’anode et le cylindre sont soumis à une différence de potentiel V > 0 (voir figure 2.15). Lorsqu’une particule chargée traverse l’enceinte, le gaz est ionisé. Électrons et ions positifs se dirigent alors vers le fil ou la paroi du tube provoquant une impulsion électrique détectable aux bornes du détecteur. La tension V détermine le mode de fonctionnement de la chambre et donc la hauteur du signal généré. En deçà d’un certain seuil, V < Vseuil , l’ion et l’électron se recombinent avant même de pouvoir atteindre les bornes. Alors aucun signal et aucune ionisation ne sont détectables. Pour V > Vseuil , trois régimes sont possibles: Figure 2.15 JI 32 Chambre à ionisation: Le gaz dans l’enceinte est ionisé au passage d’une particule chargée tra- verse l’enceinte. La tension entre le tube et le Détecteurs Chapitre 2 33  Chapitre 2 SOURCES ET DÉTECTEURS particule ionisante gaz fil V 1. Le régime de la chambre d’ionisation où Vseuil < V < Vion : Les ions primaires pro- duits par la particule chargée sont recueillis. La hauteur du signal est alors proportionnelle à l’énergie des particules. 2. Le régime du compteur proportionnel où Vion < V < VGM : Pour un potentiel suff- isamment grand, les ions sont accélérés à des énergies telles qu’ils ionisent eux-mêmes les autres atomes du gaz. Il en découle une amplification du signal via la formation d’une avalanche d’électrons/ions autour du fil d’anode. Il en résulte une hauteur du signal qui est proportionnelle à l’énergie des particules incidentes. 3. Le régime du compteur de Geiger-Müller où V > VGM : Dans ce régime, une particule chargée déclenche l’ionisation complète du gaz. Le signal consiste alors en une brève impulsion dont l’intensité est indépendante de l’énergie de la particule incidente.