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# Matrizenmultiplikation ## Definition Seien $A = (a_{ij}) \in K^{m \times n}$ und $B = (b_{jk}) \in K^{n \times p}$. Dann ist das Produkt $C = A \cdot B = (c_{ik}) \in K^{m \times p}$ definiert durch $$ c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk} \text{ für } i = 1, \dots, m \text{ und } k = 1,...

# Matrizenmultiplikation ## Definition Seien $A = (a_{ij}) \in K^{m \times n}$ und $B = (b_{jk}) \in K^{n \times p}$. Dann ist das Produkt $C = A \cdot B = (c_{ik}) \in K^{m \times p}$ definiert durch $$ c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot b_{jk} \text{ für } i = 1, \dots, m \text{ und } k = 1, \dots, p $$ ## Beispiel $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} $$ $$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 11 & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 10 + 6 \cdot 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix} $$ ## Eigenschaften - **Assoziativität:** $(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$ - **Distributivität:** $A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$ und $(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$ - **Nicht kommutativ:** Im Allgemeinen ist $A \cdot B \neq B \cdot A$ ## Bemerkung Die Matrizenmultiplikation ist nur definiert, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist.