Libro de Matemática I Versión 2024 (4) - PDF

**\ ** Tabla de contenido {#tabla-de-contenido.TtuloTDC} ================== [[PREFACIO.] 3](#prefacio.) [[REPASO DE CONCEPTOS FUNDAMENTALES.] 4](#repaso-de-conceptos-fundamentales.) [[FACTORIZACION DE POLINOMIOS.] 7](#factorizacion-de-polinomios.) [[CASO I. FACTOR COMUN.] 8](#caso-i.-factor-comun.) [[CASO II: AGRUPACION.] 9](#caso-ii-agrupacion.) [[CASO III. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DIFERENCIA DE CUADRADOS.] 9](#caso-iii.-trinomio-cuadrado-perfecto-y-diferencia-de-cuadrados.) [[CASO IV. INSPECCION] 10](#caso-iv.-inspeccion) [[CASO V. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS:] 10](#caso-v.-suma-y-diferencia-de-cubos) [[CASO VI. COMBINACION DE METODOS:] 11](#caso-vi.-combinacion-de-metodos) [[ECUACIONES E INECUACIONES.] 16](#ecuaciones-e-inecuaciones.) [[RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS.] 17](#resolucion-de-ecuaciones-cuadraticas.) [[ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS] 17](#ecuaciones-cuadraticas-completas) [[RESOLUCION POR FORMULA GENERAL.] 17](#resolucion-por-formula-general.) [[RESOLUCION POR FACTORIZACION.] 19](#resolucion-por-factorizacion.) [[ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS.] 20](#ecuaciones-cuadraticas-incompletas.) [[ECUACIONES CON RADICALES.] 21](#ecuaciones-con-radicales.) [[RESOLUCION DE PROBLEMAS.] 31](#resolucion-de-problemas.) [[1. PRINCIPIOS GENERALES] 31](#principios-generales) [[2. PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS.] 31](#pautas-a-seguir-en-la-resolucion-de-problemas.) [[PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRATICAS.] 40](#problemas-con-ecuaciones-cuadraticas.) [[APLICACIÓN EN LA ADMINISTRACION DE EMPRESAS.] 42](#aplicaci%C3%B3n-en-la-administracion-de-empresas.) [[INTERES SIMPLE.] 42](#interes-simple.) [[COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES.] 43](#costos-ingresos-y-utilidades.) [[PUNTO DE EQUILIBRIO EN EL MERCADO.] 45](#punto-de-equilibrio-en-el-mercado.) [[INECUACIONES LINEALES.] 52](#inecuaciones-lineales.) [[PASOS PARA RESOLVER INECUACIONES LINEALES.] 52](#pasos-para-resolver-inecuaciones-lineales.) [[INECUACIONES POLINOMIALES Y RACIONALES.] 54](#inecuaciones-polinomiales-y-racionales.) [[PROBLEMAS DE APLICACION.] 57](#problemas-de-aplicacion.) [[INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.] 66](#inecuaciones-con-valor-absoluto.) [[ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.] 68](#ecuaciones-con-valor-absoluto.) [[FUNCIONES Y GRAFICAS.] 70](#funciones-y-graficas.) [[CONCEPTOS BÁSICOS.] 70](#conceptos-b%C3%A1sicos.) [[VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE.] 70](#variable-dependiente-y-variable-independiente.) [[CONCEPTO DE FUNCIÓN REAL] 71](#concepto-de-funci%C3%B3n-real) [[DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN Y PREIMAGEN DE UNA FUNCIÓN.] 72](#dominio-codominio-%C3%A1mbito-imagen-y-preimagen-de-una-funci%C3%B3n.) [[EL DOMINIO MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN REAL] 74](#el-dominio-m%C3%A1ximo-de-una-funci%C3%B3n-real) [[REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL] 82](#representaci%C3%B3n-gr%C3%A1fica-de-una-funci%C3%B3n-real) [[ESTUDIO DE LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN.] 83](#estudio-de-la-grafica-de-una-funci%C3%B3n.) [[INTERVALOS DE MONOTONIA O REGIMEN DE VARIACION.] 83](#intervalos-de-monotonia-o-regimen-de-variacion.) [[ESTUDIO DE LA FUNCION LINEAL.] 106](#estudio-de-la-funcion-lineal.) [[Rectas paralelas y rectas perpendiculares] 108](#_Toc156157654) [[PROBLEMA DE APLICACIÓN.] 111](#problema-de-aplicaci%C3%B3n.) [[SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES] 126](#sistemas-de-ecuaciones-lineales-en-dos-variables) [[MÉTODO DE SUMA Y RESTA O REDUCCION.] 128](#m%C3%A9todo-de-suma-y-resta-o-reduccion.) [[MÉTODO DE IGUALACIÓN] 128](#m%C3%A9todo-de-igualaci%C3%B3n) [[LA FUNCION CUADRATICA. GRÁFICA Y CARACTERISTICAS.] 132](#la-funcion-cuadratica.-gr%C3%A1fica-y-caracteristicas.) [[LA FUNCION INVERSA.] 148](#la-funcion-inversa.) [[CALCULO DE LA FUNCION INVERSA] 149](#calculo-de-la-funcion-inversa) [[LA FUNCION EXPONENCIAL.] 158](#la-funcion-exponencial.) [[ECUACIONES EXPONENCIALES.] 159](#ecuaciones-exponenciales.) [[LA FUNCION LOGARITMICA] 172](#la-funcion-logaritmica) PREFACIO. ========= Es un placer presentar esta obra de Matemática, meticulosamente creada para los estudiantes de Administración y Economía. Este volumen se sumerge en conceptos matemáticos esenciales, aplicables directamente en los ámbitos de administración y economía, estableciendo una base robusta para el análisis y solución de problemas en estos sectores. Exploramos una amplia gama de temas, desde factorización de polinomios hasta la introducción al análisis de diversas funciones elementales. Cada capítulo se ha estructurado de forma clara y concisa, asegurando una comprensión y aprendizaje efectivo de los conceptos matemáticos. En los capítulos iniciales, nos centramos en la factorización de polinomios y la resolución de ecuaciones e inecuaciones, competencias cruciales en administración y economía. Indagamos en diversos métodos para factorizar polinomios y resolver ecuaciones cuadráticas, destacando su utilidad en situaciones empresariales reales. Progresando en la materia, nos adentramos en el estudio de funciones y gráficas, abarcando conceptos como dominio, codominio, y las características de funciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, enfatizando en su representación gráfica y peculiaridades. Finalmente, examinamos algunas funciones trascendentales, destacando propiedades de las expresiones exponenciales y logarítmicas. Esta obra incluye numerosos ejercicios y problemas dirigidos a la administración y economía, permitiendo a los estudiantes aplicar lo aprendido en contextos prácticos. Se proporcionan soluciones detalladas, facilitando el proceso educativo. Confiamos en que este texto será una herramienta invaluable para los estudiantes de estas disciplinas, ofreciéndoles confianza y habilidades para abordar retos matemáticos en sus futuras carreras. Aspiramos a que este material sirva como un recurso útil y accesible para fortalecer la comprensión y el dominio de la Matemática aplicada. REPASO DE CONCEPTOS FUNDAMENTALES. ================================== Antes de iniciar en el intrigante mundo de las ecuaciones, es esencial fortalecer la comprensión de ciertos conceptos matemáticos clave. Estos conceptos forman la base sobre la cual descansan las ecuaciones y nos permiten manipularlas con precisión y eficacia. En esta sección, se revisarán los fundamentos críticos que incluyen: algunas propiedades vitales del sistema de los números reales, el uso de las leyes de exponentes, radicales entre otros. El sistema de los números reales es un concepto fundamental en matemáticas, representando una extensión de los números racionales (fracciones) e incluyendo tanto los números irracionales como los racionales. A continuación, se presentan algunas de las propiedades del sistema de los números reales (), así como un ejemplo de cada caso: 1. **Adición:** 1. Propiedad Conmutativa: 2. Propiedad Asociativa: 3. Elemento neutro: 4. Número opuesto: 2. **Sustracción:** 5. No es Conmutativa: 6. No es Asociativa: 3. **Multiplicación:** 7. Propiedad Conmutativa: 8. Propiedad Asociativa: 9. Elemento neutro: 10. Elemento Inverso: 4. **División:** 11. No es Conmutativa: 12. No es Asociativa: A continuación, se refrescan algunas leyes fundamentales de potencias y radicales para trabajar con expresiones algebraicas. 5. **Leyes de Potencias:** 13. Producto de potencias con la misma base: ; (se conserva la base y se suman los exponentes). 14. División de potencias con la misma base: ;(se conserva la base y se restan los exponentes). 15. Potencia de una potencia: ; (se conserva la base y se multiplican los exponentes). 16. Potencia con exponente negativo: ; con b \> 0. 6. **Propiedades de los radicales:** 17. La expresión. 18. Potencia de radicales: 19. Ejemplo: 7. Multiplicación de radicales con el mismo índice: 20. Ejemplo: 8. División de radicales del mismo índice: 21. Ejemplo: 9. Radicales anidados: 22. Ejemplo: Ejercicios. Simplifique las siguientes expresiones y no deje ningún exponente negativo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1. 2. 3. 4. 5. 6. FACTORIZACION DE POLINOMIOS. ============================ En el mundo de las matemáticas, los polinomios desempeñan un papel fundamental. Estas expresiones algebraicas, formadas por la suma o resta de términos que contienen variables elevadas a diferentes exponentes, se utilizan ampliamente en diversos campos, incluyendo la administración y la economía. La factorización de polinomios es una poderosa herramienta que nos permite descomponer un polinomio en factores más simples. Esta técnica nos ayuda a comprender mejor la estructura y las propiedades de los polinomios, lo que a su vez nos permite resolver ecuaciones, simplificar expresiones y analizar situaciones reales con mayor facilidad. Factorizar un polinomio es expresar dicho polinomio como el producto de dos o más términos llamados factores, los cuales son más simples y de grado inferior a él. Por ejemplo: Existen varios métodos para factorizar polinomios por lo que su manejo es esencial para los próximos temas. Los principales métodos de factorización, en orden de complejidad son**: Factor Común, Agrupación, Formula Notable, Inspección y Suma y diferencia de cubos**. Cuando se trate de factorizar es conveniente que se lleve la factorización en ese orden hasta encontrar un método que, si funcione, además es conveniente recordar que factorizar completamente un polinomio implica la posibilidad de aplicar uno o varios métodos a la vez. CASO I. FACTOR COMUN. --------------------- La factorización por factor común se puede aplicar para cualquier polinomio siempre que sea posible hallar un término común o bien si todos los coeficientes numéricos y términos constantes tienen divisores comunes. Pasos: Primero se procede a obtener el Factor Común sacando el máximo común divisor de los coeficientes de los monomios y los términos constantes si los hay. Se determinan entre los factores literales aquellas variables que se encuentren repetidas, escogiéndose las que tengan menor exponente. El factor común se obtiene juntando el máximo común divisor y las variables repetidas y de menor exponente. Los otros factores se obtienen al dividir cada término del polinomio entre el Factor Común. **Ejemplo 1:** Factorice completamente. Solución El factor común podría no ser un monomio sino un polinomio. **Ejemplo 2:** Factorice completamente el polinomio Solución CASO II: AGRUPACION. -------------------- Este método consiste en realizar grupos entre los términos del polinomio de manera tal que en cada grupo se localice un factor común. A cada grupo se le aplicará factor común por separado **Ejemplo 3**: Factorice completamente el polinomio CASO III. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DIFERENCIA DE CUADRADOS. --------------------------------------------------------------- Este método es muy útil y rápido para factorizar polinomio, aunque algunos estudiantes no piensan lo mismo ya que hay que memorizan dichas fórmulas. A continuación, aparecen las tres primeras formulas notables: Trinomio cuadrado perfecto caso 1: Trinomio cuadrado perfecto caso 2: Diferencia de cuadrados: ------------------------------------ ------------------------------------ -------------------------- Ahora podemos usarlas para factorizar, cuando reconocemos en un polinomio una de ellas. **Ejemplo 4:** Factorice completamente los siguientes polinomios: Solución -- -- -- -- -- -- CASO IV. INSPECCION ------------------- Este método es útil para trinomios y se basa en la siguiente regla: En los términos y se deben descomponer en dos factores de modo que la suma del producto en cruz de esos factores sea igual al término. Entonces el trinomio es factorizable de la siguiente forma: y se cumple que ; y **Ejemplo 5:** Factorice completamente Solución CASO V. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS: ----------------------------------- De igual forma que en la factorización de trinomios cuadrados perfectos, es posible factorizar dos términos cúbicos. Vemos los siguientes ejemplos: **1. SUMA DE CUBOS: a^3^ + b^3^ = (a + b)(a^2^ -- ab + b^2^**) **[Ejemplo 6]** : 27a^3^ + 1 = (3a + 1)(9a^2^ -- 3a + 1) **2. DIFERENCIA DE CUBOS : a^3^ -- b^3^ = (a -- b)(a^2^ + ab + b^2^)** **[Ejemplo 7]**: 8 -- x^3^ = (2 -- x)(4 + 2x + x^2^) Práctica: Factorice los siguientes polinomios: 1. 27m^3^ + 6n^6^ = 2. 64 -- x^3^ = 3. = 4. 8a^3^b^3^ + 27 = 5. x^6^ -- y^6^ = 6. = CASO VI. COMBINACION DE METODOS: -------------------------------- **Ejemplo 8:** Factorice por completo la expresión 32 a^2^b^4^ + 112 a^3^b^3^ + 98 a^4^b^2^ **Solución:** 32 a^2^b^4^ + 112 a^3^b^3^ + 98 a^4^b^2^ = 2 a^2^b^2^ ( 16 b^2^ + 56 ab + 49 a^2^ ) = Factor común R/ 2 a^2^b^2^ ( 4b + 7a ) ^2^ Trinomio Cuadrado Perfecto +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Resuelva los siguientes | | | ejercicios aplicando | | | factorización completa | | +===================================+===================================+ | Ejercicio \#1 | Ejercicio \#2 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Al factorizar 9a^2^ -- 24b^2^ + | Un factor de x^3^ -- 3x^2^ -- 4x | | 6ab uno de los factores es | + 12 es | | | | | A. 3ab | A. x -- 2 | | | | | B. 3a + 4b | B. x -- 4 | | | | | C. 3a -- 4b | C. x + 3 | | | | | D. 3a -- 8b | D. x^2^ + 4 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#3 | Ejercicio \#4 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Un factor de 81 -- (m -- 3)^2^ es | En la factorización de 5a(5a -- | | | 4b) + 4b^2^, uno de los factores | | A. 6 -- m | es | | | | | B. 84 -- m | A. 5a | | | | | C. 12 -- m | B. 5a -- 2b | | | | | D. 78 -- m | C. 5a -- 4b | | | | | | D. 5a + 4b^2^ | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#5 | Ejercicio \#6 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Un factor de 63 -- 2y^2^ -- y^4^ | Uno de los factores de 27ax + | | es | 45bx -- 3ay^2^ -- 5by^2^ es | | | | | A. y + 9 | A. 3x -- y | | | | | B. 7 -- y | B. 3x + y^2^ | | | | | C. y^2^ + 7 | C. 3a -- 5b | | | | | D. 7 -- y^2^ | D. 3a + 5b | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#7 | Ejercicio \#8 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Uno de los factores de 9a^2^ -- | Uno de los factores de es | | 25a^2^ -- 4a + 6 es | | | | A. x -- 2 | | A. 2a -- 1 | | | | B. x -- 3 | | B. 4a -- 3 | | | | C. x + 2 | | C. 2a + 1 | | | | D. 2x + 3 | | D. 3 -- 4a | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#9 | Ejercicio \#10 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Uno de los factores de a^2^c^2^b | Uno de los factores de 4x^2^ -- | | -- c^3^ + a^2^c -- a^4^b es | 2x + 3(1 -- 2x) es | | | | | A. c^2^b + c | A. 2x -- 3 | | | | | B. a^2^b + c | B. 1 + 2x | | | | | C. a^2^b -- c | C. 2x + 3 | | | | | D. c^2^ + a^2^ | D. -2x -- 1 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#11 | Ejercicio \#12 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Uno de los factores de 6x (x -- | Uno de los factores de x^2^ -- | | 1) -- 12 es | y^2^ -- 2y -- 1 es | | | | | A. x -- 1 | A. x + y | | | | | B. x + 2 | B. 2y + 1 | | | | | C. 3x -- 1 | C. x -- y + 1 | | | | | D. 2x + 2 | D. x + y + 1 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#13 | Ejercicio \#14 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Considere las siguientes | Uno de los factores de x^3^ -- 5x | | proposiciones. | -- 4x^2^ + 20 es | | | | | **I.** | A. x + 4 | | | | | **II.** | B. x^2^ -- 4 | | | | | ¿Cuáles de ellas son | C. x^2^ -- 5 | | **VERDADERAS**? | | | | D. x^2^ + 5 | | A. Ambas. | | | | | | B. Ninguna. | | | | | | C. Solo la I. | | | | | | D. Solo la II. | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#15 | Ejercicio \#16 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Uno de los factores de es | Uno de los factores de es | | | | | A. x -- 4 | A. 2p | | | | | B. x + 2 | B. 2p^2^ | | | | | C. 3x -- 2 | C. k^2^ -- p^2^ | | | | | D. x^2^ + 4 | D. | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#17 | Ejercicio \#18 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Uno de los factores de 8a^3^ -- | Uno de los factores de 6a^2^ + | | 50ab^2^ es | 2ab -- 3a -- b es | | | | | A. 2ab | A. 3ab | | | | | B. 2a + 5b | B. 2a + 1 | | | | | C. 2a^2^ -- 5b^2^ | C. 3a + b | | | | | D. 4a^2^ + 25b^2^ | D. 3a -- b | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#19 | Ejercicio \#20 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Uno de los factores de x^2^ -- x | En la factorización completa de , | | -- a^2^ -- a es | uno de los factores es | | | | | A. x -- 1 | A. B. C. x + 3y -- 3 | | | | | B. a + 1 | D. x -- 3y + 3 | | | | | C. x -- a | | | | | | D. a + x | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#21 | Ejercicio \#22 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | En la factorización completa de , | En la factorización completa de | | uno de los factores es | --3n + n^2^ -- 6m + 2mn, uno de | | | los factores es | | A) | | | | A\) 3 + n | | B) | | | | B\) n + m | | C) | | | | C\) n -- m | | D) | | | | D\) n + 2m | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#23 | Ejercicio \#24 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | En la factorización completa de , | En la factorización completa de | | uno de los factores es | 9(x + 1)^3^ -- 4(x + 1), uno de | | | los factores es | | A\) x -- 4 | | | | A\) 3x + 1 | | B\) y + 2 | | | | B\) 3x -- 1 | | C\) y -- x -- 2 | | | | C\) (x + 1)^3^ | | D\) y -- x + 2 | | | | D) | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#25 | Ejercicio \#26 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Uno de los factores de es | Uno de los factores dees | | | | | A\) x-1 | A\) x+4 | | | | | B\) 3x-1 | B\) x-4 | | | | | C) | C\) x+2 | | | | | D) | D\) x-2 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ ECUACIONES E INECUACIONES. ========================== 1. **Ecuación.** **Definición:** Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones o miembros. Estas ecuaciones se pueden clasifican de acuerdo con la cantidad de variables y de acuerdo con su grado; así una ecuación puede ser: de primer grado con una incógnita, de segundo grado con una incógnita, de dos incógnitas, de radicales, fraccionarias, etc. Por ejemplo: y. Una solución o raíz de una ecuación es cualquier número que satisfaga la ecuación, es decir, que sustituido en la ecuación, la convierte en una proposición verdadera. Por otra parte, resolver una ecuación significa hallar sus soluciones o raíces. **Ejemplo 9** : El 2 es una solución de la ecuación ya que 1. **Ecuaciones lineales**. Una ecuación de la forma con donde a y b son números reales, se llama ecuación lineal. Por ejemplo: es una ecuación lineal. 2. **Resolución de ecuaciones lineales.** Resolver una ecuación lineal es obtener el valor de la variable con cual se cumple una igualdad verdadera. La obtención de dicho valor se realiza mediante el despeje de la variable x a través de procedimientos algebraicos y aritméticos. **Ejemplo 10:** Resuelva: **Ejemplo 11:** Resuelva: Se puede observar que no es solución de la ecuación ya que indefine el denominador. Se indica entonces que -1 es una solución extraña, por lo tanto, la ecuación no tiene solución real. RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS. ------------------------------------- ### ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS La ecuación de segundo grado , donde los tres coeficientes *a*, *b* y *c* son distintos de cero es llamada ecuación cuadrática completa. Para su resolución existen tres maneras distintas: **Resolución por Fórmula General, Resolución por Factorización y Resolución por medio de la calculadora científica.** ### RESOLUCION POR FORMULA GENERAL. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales (un número real *doble*), o no hay solución en *IR*, dependiendo del valor que tome el [discriminante](http://es.wikipedia.org/wiki/Discriminante): sea positivo, cero o negativo; veamos: *\> 0* *2 soluciones distintas* -------- ------------------------------------------------ *= 0* *1 única solución* *\< 0* ***No** hay solución real (números complejos)* La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas [***raíces***](http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_(matem%C3%A1tica)), que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general: , donde el símbolo \"±\" indica las dos raíces: y las cuales son soluciones de la ecuación cuadrática. **Ejemplo 12:** Determine el conjunto solución de la ecuación 2x^2^ -- 14x + 20=0, mediante fórmula general **Solución:** Tenemos que a= 2 , b = --14 , c = 20. Primero se calcula el discriminante = b^2^ -- 4 ∙a ∙ c = ( --14 ) ^2^ -- 4 ∙ 2∙ 20 ) = 196 -- 160 = 36 Luego se utiliza la fórmula general para determinar y. R/ S : 2 , 5 RESOLUCION POR FACTORIZACION. ----------------------------- Esta forma de resolver ecuaciones es muy conveniente ya que es más rápida que la anterior, lo que si es necesario recordar son los métodos de factorización de trinomios cuadrados perfectos e inspección. **Ejemplo 13:** Determine el conjunto solución de la ecuación =0, mediante factorización **Solución:** **Ejemplo 14:** Determine el conjunto solución de la ecuación Solución: ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS. ----------------------------------- Si la ecuación cuadrática no aparece de la forma , entonces se deben realizar las operaciones necesarias para determinar su solución. Es necesario determinar las formas de dichas ecuaciones: **Ecuación de la forma :** En este caso se aplican las fórmulas:. Cabe destacar que una de las soluciones de la ecuación es siempre 0. **Ejemplo 15**: Determine el conjunto solución de la ecuación. Solución: **Ecuación de la forma :** En este otro caso se aplicará la fórmula. Hay que recordar que por ejemplo si entonces la raíz no es un número real sino complejo, ante lo cual se establece la solución vacía **S: { }.** **Ejemplo 16**: Determine el conjunto solución de la ecuación. **Solución:** ECUACIONES CON RADICALES. ------------------------- Las ecuaciones con radicales son aquellas en donde pueden aparecer uno o más radicales en los miembros de la ecuación. Para su resolución será necesario elevar o aplicar potencias a ambos lados de la ecuación como veremos en los siguientes ejemplos: **Ejemplo 17**: Resuelva la siguiente ecuación Solución: Ahora se prueban los valores 2 y 9 en la ecuación Por lo tanto, la única solución es x = 9. **Ejemplo 18**: Resuelva la siguiente ecuación Solución: Luego se prueban los valores 2 y 10 en la ecuación Se tienen entonces Por lo tanto **Práctica**: Resuelva las siguientes ecuaciones. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. **Práctica**: Lea cada uno de los siguientes enunciados y marque con una "x" la opción correcta. +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#1 | Ejercicio \#2 | +===================================+===================================+ | El conjunto solución de la | El conjunto solución de 3x^2^ -- | | ecuación x(x -- 2) = 3 es | 5x + 2 = 0 corresponde a | | | | | A. B. C. D. | A. B. C. D. | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#3 | Ejercicio \#4 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Una solución de 3x(5 -- x) = 5 es | Una solución de es | | | | | A. 5 | A. B. C. D. | | | | | B. C. D. | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#6 | Ejercicio \#7 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Una solución de es | El conjunto solución de es | | | | | A. 1 + | A. { 3 } | | | | | B. C. D. | B. { 4 } | | | | | | C. { 1, 3 } | | | | | | D. { 1, 4 } | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#8 | Ejercicio \#9 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | El conjunto solución de = es | Una solución de = es | | | | | A. B. C. D. | A. 1 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#10 | Ejercicio \#11 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Una solución de es | El conjunto solución de es | | | | | A. 2 | A. B. C. D. | | | | | B. 3 | | | | | | C. 2 | | | | | | D. | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#12 | Ejercicio \#13 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Una solución de es | Una solución de es | | | | | A. B. C. D. | A. B. C. 2 | | | | | | D. | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#14 | Ejercicio \#15 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | El conjunto solución de = es | El conjunto solución de = es | | | | | A. B. C. D. | A. B. C. D. | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#16 | Ejercicio \#17 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image254.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#18 | Ejercicio \#19 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image256.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#20 | Ejercicio \#21 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image258.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#22 | Ejercicio \#23 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image260.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#24 | Ejercicio \#25 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image262.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#26 | Ejercicio \#27 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image264.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#28 | Ejercicio \#29 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image266.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#30 | Ejercicio \#31 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image268.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#32 | Ejercicio \#33 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image270.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#34 | Ejercicio \#35 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image272.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#36 | Ejercicio \#37 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ![](media/image274.png) | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ RESOLUCION DE PROBLEMAS. ======================== 1. PRINCIPIOS GENERALES ----------------------- La palabra problema proviene del griego (pro-:delante) y (blema: lanzamiento), que se podría decir "lanzar adelante". Un problema es un obstáculo arrojado ante la inteligencia para ser resuelto, una cuestión que reclama ser aclarada. Todos vivimos resolviendo problemas, desde el más básico que es asegurar la subsistencia: comida, vestido, refugio, etc., hasta los más complejos desafíos planteados por la ciencia y la tecnología. Es de esperarse entonces que la resolución de problemas se haya convertido en un objeto de estudio de muchas disciplinas incluida las matemáticas; pero lamentablemente es común ver que muchos alumnos son expuestos a resolver problemas sin un conocimiento pleno ni mucho menos de poner a prueba la curiosidad, la inventiva y el encanto del descubrimiento. Es por todo lo anterior que me es imperativo dar a conocer en este texto una serie de recomendaciones y estrategias al alumno lector de cómo enfrentarse a problemas matemáticos de una manera más dinámica, entusiasta y hasta retadora. 2. PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS. ------------------------------------------------- La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática, mediante la resolución de problemas los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las matemáticas en el mundo que les rodea. Es importante aclarar que para resolver problemas no existen "fórmulas mágicas"; no hay un solo proceso para resolver cualquier problema, más bien lo que se busca es el mejoramiento de nuestra capacidad para resolverlos. Por otra parte, es evidente que hay personas que son más "ágiles" que otras para resolver problemas siendo de la misma edad y con la misma formación. Aquí en este punto es necesario que cada uno comprenda que el conocimiento viene de la mano con la práctica y una buena dosis de paciencia e inventiva. Para mejorar esta habilidad de resolver problemas es necesario conocer la formulación de pasos y aplicarlos de forma planificada. **2.a.** LAS CUATRO ETAPAS FUNDAMENTALES PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS. EL METODO POLYA. ![](media/image278.png) George Polya (1887-1985) matemático austrohúngaro realizó un estudio exhaustivo de la resolución de problemas e identificó cuatro etapas fundamentales: **Comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la solución.** A continuación, se detalla cada etapa: **1. Comprender el Problema.** Esta es la parte más importante y necesaria para resolver un problema. Comprender un problema implica: a\. Realizar una lectura del enunciado de forma completa y despacio. b\. Determinar cuáles son los datos (lo que conocemos). c\. Determinar cuáles son las incógnitas (lo que buscamos). d\. Encontrar la relación entre los datos y las incógnitas (relación entre lo que se tiene y lo que se pide). e\. Si es posible hacer un esquema o un dibujo de la situación (visualizar el problema). **2. Trazar un Plan para Resolverlo.** En este punto es necesario contestar las siguientes preguntas. a\. ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos? b\. ¿Se puede plantear el problema de otra forma? c\. ¿Podemos imaginar un problema parecido a este, pero más sencillo? d\. ¿Cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida? e\. ¿se utilizan todos los datos cuando se hace el plan? **3. Poner en Práctica el Plan**. Una vez trazado el plan es necesario ponerlo en práctica tomando en consideración lo siguiente. a\. Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. b\. ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto? c\. Antes de hacer algún paso se debe pensar ¿qué se consigue con esto?; (no se trata de hacer cálculos por hacer algo, más bien hay que hacer cálculos que nos lleven a la solución; no dar vueltas y vueltas ni llegar a callejones sin salida). d\. Si es posible acompañar cada operación matemática con una explicación contando lo que se hace y para que se hace; (expresar cada paso nos ayuda a ir comprendiendo mejor el problema, nos permite repasar el proceso de principio a fin y nos facilita la valoración y también la del profesor). e\. Si hay tropiezos en algún momento que nos deje bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo; (recuerde que de nuestros errores también aprendemos). **4. Comprobar los Resultados.** Esta parte supone la confrontación entre el resultado obtenido y el problema planteado y el contexto en que se planteó. a\. Debemos leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado. b\. Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógica? c\. ¿Se puede comprobar la solución? d\. ¿Hay otro modo de resolver el problema? ¿y si lo hay es más sencillo? e\. ¿Se puede hallar otra solución? f\. Es necesario acompañar la solución con una explicación clara de lo hallado. g\. ¿Se puede utilizar el resultado obtenido y el proceso para nuevos problemas? **2b.** METODOS ALTERNATIVOS. Otros autores utilizan algunos pasos un poco más técnicos e interesantes para resolver problemas; por ejemplo, Jesús Escudero Martín profesor de matemáticas de Salamanca menciona las siguientes estrategias: 1\. Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil. 2\. Hacer conjeturas y demostrarlas. 3\. Dibujar una figura, un esquema o un diagrama. 4\. Aplicar Inducción. 5\. Suponga que no es así 6\. Suponga que el problema está resuelto. Para terminar este apartado es necesario considerar que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas; es muy bueno conocer técnicas y procedimientos, pero vistos en acción, no solo a nivel teórico si no práctico, ya que de lo contrario será un conocimiento vacío. A continuación, realizaremos distintos problemas tomando en cuenta las estrategias anteriores: ***1. En un edificio de 5 pisos viven en pisos diferentes las siguientes familias: Arias, Bustamante, Rodríguez, López y Vargas.*** ***a. La familia Vargas vive sobre los Bustamante,*** ***b. Los Arias viven totalmente alejados de los Rodríguez,*** ***c. Los Rodríguez no suben escalones ni ascensores para ir a su vivienda,*** ***d. Los López no viven en el quinto piso, pero si colindan con los Rodríguez.*** ***¿Qué familia vive en el tercer piso?*** **Solución:** Son muchas las indicaciones que se dan en este problema, pero debemos hacer como primer paso una lectura detallada del mismo. Nuestro plan sería, por ejemplo, visualizar un edificio enumerado del uno al cinco y de abajo hacia arriba: 5 --- -- 4 3 2 1 Ahora bien, analicemos cada situación comprobando cada paso que demos. Empecemos con lo más sencillo: La familia Rodríguez viven en el primer piso ya que no suben escalones ni ascensores. Luego en el quinto piso viven los Arias ya que viven totalmente alejados de los Rodríguez. Los López viven en el segundo piso ya que colindan con los Rodríguez. Finalmente nos quedan por colocar a los Vargas y Bustamante, lo cual es sencillo determinar ya que según el enunciado los Vargas viven sobre los Bustamante. Completamos el cuadro como sigue: 5 Arias --- ------------ 4 Vargas 3 Bustamante 2 López 1 Rodríguez **Por lo tanto, en el tercer piso vive la familia Bustamante.** Analizando las etapas aplicadas podemos notar que se leyó el problema detenidamente, se ideó una estrategia que consistió en elaborar un cuadro simulando los pisos del edificio; y se puso en práctica dicho plan llenando cada espacio de acuerdo con el enunciado del problema y una dosis de "lógica" a la hora de ubicar las familias. Finalmente se obtuvo lo deseado saber cuál de las familias vive en el tercer piso. **3.** EL ALGEBRA COMO HERRAMIENTA PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS. El famoso matemático y Físico **Isaac Newton** mencionó que ***"para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico".*** El Algebra ha sido una de las ramas de las matemáticas que más se ha aplicado a la resolución de problemas, incluso se sabe que hay procedimientos algebraicos muy antiguos que datan del año 1900 a.C. Newton utiliza el término "traducir" para indicar que a una cantidad desconocida se le puede representar con un término algebraico, por ejemplo, la x. Es a partir de esta idea que se inicia el estudio de las ecuaciones y la aplicación de éstas en la resolución de problemas. La solución de una ecuación es, con frecuencia, una tarea fácil; en cambio plantear una ecuación con base en la información de un problema no suele ser fácil al principio ya que esto depende de la destreza de transformar frases del lenguaje común al lenguaje algebraico. **Por ejemplo:** **Diofanto de Alejandría,** matemático griego nacido alrededor del (http://es.wikipedia.org/wiki/200) a. C. Muchos autores consideran a Diofanto como el padre del Álgebra moderna. Una historia cuenta que en la lápida de su tumba había una inscripción que explicaba, en forma de problema, la edad que tenía el sabio cuando murió: ![](media/image280.png) **Solución:** Llamemos x a la edad de Diofanto: **R// Diofanto murió a los 84 años. (es solo una especulación con base en datos no históricos).** **PROBLEMAS SOBRE EDADES.** Es común observar problemas algebraicos en donde intervienen: edades, tiempos y condiciones. Consideremos dos casos particulares: **1. Cuando se pregunta por la edad de un sujeto en distintos tiempos:** En este caso se debe considerar las siguientes tres variables: +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ | **PERSONAS:** | **TIEMPOS:** | **CONDICIONES:** | +=======================+=======================+=======================+ | **Edad**: x | **Pasado:** Tenía, | **Relaciones entre | | | Tenías, Tuve | las edades**: | | | | | | | **Presente**: Tiene, | Doble, triple, quinta | | | Tienes, Tengo | parte, etc. | | | | | | | **Futuro**: Tendrá, | | | | Tendrás, Tendré | | +-----------------------+-----------------------+-----------------------+ Una vez considerado lo anterior es recomendable establecer un cuadro de tiempo para tener una idea más clara de las edades. Por ejemplo: Si la edad actual de un sujeto es "x" años, entonces dentro de "n" años y hace "m" años su edad se expresará así: **Pasado:** **Presente:** **Futuro:** ------------- --------------- ------------- **x-m** **x** **x+n** **Ejemplo: Hace 2 años tenía la quinta parte de la edad que tendré dentro de 22 años. ¿Qué edad tenía hace tres años?** Solución: Como primer paso construyamos un cuadro con la información básica suponiendo que mi edad actual es "x": **Pasado:** **Presente:** **Futuro:** ------------- --------------- ------------- **x-2** **x** **x+22** Seguidamente planteamos la ecuación tomando en cuenta las condiciones del problema y la relación entre el pasado y el futuro: R// Luego la edad que tenía hace tres años era años. **2. Cuando se pregunta por la edad de dos o más sujetos en distintos tiempos:** Para resolver este tipo de problemas es recomendable utilizar un cuadro de doble entrada con el propósito de ordenar y relacionar convenientemente todos los datos. **Ejemplo: La edad de Juan es el doble de la edad de Pedro, pero hace 15 años era el triple. Hallar las edades actuales.** **Solución:** Se elabora un cuadro de doble entrada y se ingresa la información tomando en cuenta que "x" representa la edad actual de Pedro: **Pasado:** **Presente:** ----------- ------------- --------------- **Juan** **2x-15** **2x** **Pedro** **x-15** **x** Luego, R//. La edad de Pedro es 30 años y la de Juan es 60 años. PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRATICAS. ===================================== Resolver problemas es una habilidad que se adquiere con la práctica y una buena dosis de paciencia y calma, lo que significa que al resolver un problema correctamente estamos mejorando esa habilidad. Por otra parte, una buena interpretación y uso del lenguaje algebraico es esencial para poder plantear la ecuación que queremos. No se debe olvidar que los problemas que aquí se proponen serán resueltos por medio de ecuaciones cuadráticas, esto significa que para obtener una expresión cuadrática de la forma será necesario multiplicar o elevar dos expresiones con x; es decir debemos estar atentos a señales como **"el producto de"** o " **el cuadrado de**" para interpretar que es ahí donde encontraremos nuestro término. A continuación, aparece un cuadro con algunos ejemplos de lenguaje común o verbal y el respectivo lenguaje algebraico: **LENGUAJE COMUN:** **LENGUAJE ALGEBRAICO:** -------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------- Un número x Un número aumentado en tres x+3 El duplo de un número 2x El cuadrado de un número x^2^ El triple de un número aumentado en cinco 3x+5 Un número disminuido en dos x-2 La quinta parte de un número Las dos terceras partes de un número Tres números enteros consecutivos x,x+1,x+2 (x número menor) La suma de tres números consecutivos es 18 x+x+1+x+2=18 (x número menor) La edad de María es los tres cuartos de la edad de Rosa y ambas edades suman 14 años (x edad de Rosa) **Sugerencias para resolver problemas con ecuaciones cuadráticas:** Comprender el problema haciendo una lectura detallada. Interpretar las relaciones entre lo que se tiene y lo que se pide recordando incluir la incógnita para así establecer la ecuación cuadrática. 1. **Plantear la ecuación cuadrática.** 2. **Resolver la ecuación cuadrática.** 3. **Determinar la validez de la respuesta.** Una vez encontrada la solución determinar la validez de ésta a la luz del problema. Tener claro en esta parte la importancia del uso de la lógica para descartar soluciones que no van con el problema. Y recuerde "**La práctica hace al maestro".** **Ejemplo:** **Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcule la edad de Pedro.** **Solución:** **Pasado:** **Presente:** **Futuro:** ------------- --------------- ------------- **x-13** **x** **x+11** R/ La edad actual de Pedro es de 21 años. (El número 7 se descarta porque no es válido para este problema). APLICACIÓN EN LA ADMINISTRACION DE EMPRESAS. -------------------------------------------- INTERES SIMPLE. --------------- **El interés simple es un concepto fundamental en el ámbito financiero que nos permite entender cómo funciona el dinero cuando se presta o se invierte. Se refiere al pago o ganancia adicional que se realiza sobre una cantidad de dinero inicial, conocida como capital, durante un período de tiempo determinado.** **El cálculo del interés simple se basa en tres variables principales: el capital inicial, la tasa de interés y el tiempo en años. El capital inicial es la cantidad de dinero que se presta o se invierte, la tasa de interés es el porcentaje que se aplica sobre el capital y el tiempo es el período de duración en el que se aplica el interés.** **La fórmula básica para calcular el interés simple es:** **Interés = Capital inicial(c) x Tasa de interés (r) x Tiempo(t)** **El resultado obtenido representa el monto adicional que se debe pagar o se puede ganar sobre el capital inicial. Es importante destacar que, en el interés simple, el cálculo del interés se realiza únicamente sobre el capital inicial y no se considera la acumulación de intereses en periodos anteriores.** **El interés simple se utiliza en una variedad de situaciones financieras, como préstamos, inversiones, cuentas de ahorro o depósitos a plazo fijo.** **Por otra parte, la cantidad acumulada A está determinada por la suma del capital c y el interés después de t años. La fórmula está dada por:** **Ejemplo: Un banco paga un interés simple del 8% anual por año para ciertos depósitos en dólares. Si un cliente deposita 1000 dólares y no realiza retiros durante tres años, ¿cuál es la cantidad total depositada al final de tres años y qué ganó en ese periodo?** **Solución:** **La cantidad depositada durante tres años está dada por** **La cantidad total depositada durante 3 años es \$1240.** **El interés ganado durante ese tiempo está dado por** **EL interés ganado es de \$240** COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES. ------------------------------ **En el ámbito empresarial, es fundamental comprender los conceptos de costo, ingreso y utilidad, ya que permiten evaluar la viabilidad financiera y el rendimiento de un negocio. Estos términos son parte de la estructura financiera de una empresa y reflejan la relación entre los recursos invertidos, los ingresos generados y el beneficio obtenido.** **El Costo (C):** Se llama costo de una actividad a la cantidad de dinero que se invierte para llevar a cabo dicha actividad. Los costos de una empresa pueden distribuirse en dos grandes grupos: a. **Costos Fijos (CF):** Son aquellos que no dependen del nivel de actividad de la empresa, sino que son una cantidad determinada. **Ejemplo:** El alquiler de las oficinas. La empresa tendrá que pagar todos los meses el mismo alquiler con independencia del comportamiento de sus ventas. Otros costos fijos son: el sueldo de los empleados, el costo de los equipos informáticos, los honorarios del contador, etc. **b. Costos Variables (CV)**: Son los que cambian de acuerdo con el nivel de producción de la empresa. **Ejemplo**: En un hotel se venden desayunos a todos los huéspedes. Si determinamos que cada desayuno tiene un costo de ₡2000 para el hotel, entonces si la ocupación del hotel es de "x" personas, entonces el Costo Variable está dado por la fórmula CV **= 2000x** Otros costos variables son: el costo de fabricar "x" sillas plásticas por día, el costo de fabricar cierta cantidad de pantalones. Hay que tener claro que los costos variables aumentan o disminuyen de forma proporcional a lo producido por una empresa, lo cual quiere decir que por ejemplo si una fábrica no labora durante un mes entonces el costo variable sería nulo. **c. Costo Total (CT):** El Costo Total se determina como la suma de los Costos Variables y los Costos Fijos: **CT = CV + CF.** **El Ingreso:** Se define Ingreso como la cantidad de dinero que obtiene una persona, una empresa o una institución por concepto de cierta actividad durante un periodo de tiempo. El ingreso es variable ya que depende de la oferta, la demanda, el márquetin de la empresa y del precio del producto entre otros. **Ejemplo**: En una fábrica la fórmula de ingreso por venta de cierto pantalón durante un día es **I = 15000x** donde x representa la cantidad de pantalones vendidos a un precio de ₡15000 la unidad. **La Utilidad:** La utilidad es la diferencia entre el ingreso y el costo total de producción. La fórmula es U **= I -- CT.** En esta fórmula es conveniente aclarar que el valor de U puede tomar tres tipos de valores: **Utilidad:** **Interpretación:** --------------- ----------------------------------------------------- La empresa no tiene utilidades (pérdidas) No hay utilidades ni pérdidas (Punto de Equilibrio) La empresa tiene utilidades (ganancias) PUNTO DE EQUILIBRIO EN EL MERCADO. ---------------------------------- **En el contexto económico, el punto de equilibrio en el mercado se refiere al nivel de actividad en el cual la oferta y la demanda se igualan, es decir, la cantidad de bienes o servicios que se producen y se venden coincide con la cantidad que los consumidores desean adquirir. En este punto, no hay presiones ni excedentes en el mercado, lo que implica que no hay tendencia hacia el alza o la baja en los precios.** **Ejemplo 1: Una empresa fabrica y vende camisetas. Los costos fijos mensuales de producción son de \$2000, mientras que los costos variables por camiseta fabricada son de \$5. El precio de venta de cada camiseta es de \$15. Encuentre el punto de equilibrio, es decir, la cantidad de camisetas que la empresa debe vender para cubrir sus costos y no obtener pérdidas ni ganancias.** **Solución:** **Denotemos la cantidad de camisetas fabricadas y vendidas como \"x\". Para determinar el punto de equilibrio, igualaremos los ingresos y los costos totales.** **Ingresos:** **El ingreso total se calcula multiplicando el precio de venta por la cantidad de camisetas vendidas:** **Ingreso = Precio de venta \* Cantidad de camisetas vendidas** **Costos totales:** **Los costos totales se componen de los costos fijos y los costos variables:** **Costo Total = Costos Variables + Costos Fijos.** **Punto de equilibrio:** **En el punto de equilibrio, los ingresos son iguales a los costos totales:** **Ingreso = Costo Total** **Para resolver esta ecuación se despeja "x":** **R// El punto de equilibrio se alcanza cuando se fabrican y venden 200 camisetas. Esto significa que la empresa necesita vender al menos 200 camisetas para cubrir sus costos y no obtener pérdidas ni ganancias.** **Ejemplo 2:** ***Una fábrica de juguetes tiene costos fijos de ₡80000 por día; y el costo de fabricar un juguete es de ₡1600*.** ***Determine el costo total de producir x juguetes diarios.*** **Establezca la variable dependiente y la variable independiente en el problema.** **¿Cuánto cuesta producir 500 juguetes diarios?** **Solución:** La ecuación que modela esta situación se le conoce como ecuación de costo y se determina así:. La variable dependiente sería el costo total de producción por día, en este caso se representa por la letra C; mientras que la variable independiente es x. El costo de producir 500 juguetes diarios se obtiene así **R//. Para producir 500 juguetes diarios es necesario ₡880000.** **Ejemplo 3: *En una fábrica de lapiceros, la ecuación I=200x nos da la cantidad de ingresos "I" (en colones) obtenidos por la venta de "x" cantidad de lapiceros, y la ecuación C=25x+100 nos da el costo "C" (en colones) de producir "x" cantidad de lapiceros. Si el costo de producción* *fue de 5100 colones*, *¿de cuánto fue el ingreso, en colones, que obtuvo la empresa por la venta de esos lapiceros?*** ***Solución*:** **R// El ingreso de la empresa por la venta de 200 lapiceros es de ₡40000.** **Práctica. Resuelva los siguientes problemas aplicando ecuaciones lineales.** **Problemas de interés simple:** 1. **Juan deposita ₡500,000 en una cuenta de ahorros que paga un interés anual del 5%. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 3 años?** 2. **María deposita ₡800,000 en una cuenta de ahorros que paga un interés anual del 4%. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de 2 años?** **Problemas de tasa de interés:** 3. **Carlos solicita un préstamo de ₡1,200,000 a una tasa de interés anual del 8%. Si el interés acumulado al final de 2 años es de ₡192,000, ¿cuál es el monto del préstamo?** 4. **Juan solicita un préstamo de ₡1,500,000 a una tasa de interés anual del 6%. Si el interés acumulado al final de 3 años es de ₡270,000, ¿cuál es el monto del préstamo?** **Problemas de tiempo:** 5. **María invierte ₡800,000 a una tasa de interés del 6%. Si al cabo de cierto tiempo el monto acumulado es de ₡896,000, ¿cuántos años estuvo invertido el dinero?** 6. **Luis invierte ₡1,200,000 a una tasa de interés del 7%. Si al cabo de cierto tiempo el monto acumulado es de ₡1,548,000, ¿cuántos años estuvo invertido el dinero?** **Problemas de capital acumulado:** 7. **Pedro desea acumular ₡2,500,000 en 4 años mediante una inversión con un interés anual del 7%. ¿Cuánto dinero debe invertir inicialmente?** 8. **Pedro desea acumular ₡3,000,000 en 5 años mediante una inversión con un interés anual del 5%. ¿Cuánto dinero debe invertir inicialmente?** **Problemas de tasa de interés desconocida:** 9. **Sara obtiene ₡3,000,000 de interés al cabo de 5 años por una inversión inicial de ₡15,000,000. ¿Cuál fue la tasa de interés anual?** 10. **Ana obtiene ₡2,400,000 de interés al cabo de 4 años por una inversión inicial de ₡12,000,000. ¿Cuál fue la tasa de interés anual?** **Problemas de tiempo desconocido:** 11. **Laura invierte ₡500,000 a una tasa de interés del 6%. Si al cabo de cierto tiempo el monto acumulado es de ₡575,000, ¿cuánto tiempo estuvo invertido el dinero?** 12. **María invierte ₡500,000 a una tasa de interés del 8%. Si al cabo de cierto tiempo el monto acumulado es de ₡560,000, ¿cuánto tiempo estuvo invertido el dinero?** **Problemas de monto:** 13. **Javier necesita ₡2,500,000 en 2 años y decide invertir su dinero a una tasa de interés del 4%. ¿Cuánto dinero debe invertir inicialmente?** 14. **Doña Luisa necesita ₡1,800,000 en 3 años y decide invertir su dinero a una tasa de interés del 3%. ¿Cuánto dinero debe invertir inicialmente?** **Problemas de tasa de interés desconocida:** 15. **Ana invierte ₡1,000,000 y obtiene un interés acumulado de ₡160,000 al cabo de 3 años. ¿Cuál fue la tasa de interés anual?** 16. **Don Luis invierte ₡800,000 y obtiene un interés acumulado de ₡128,000 al cabo de 2 años. ¿Cuál fue la tasa de interés anual?** **Problemas de tiempo desconocido:** 17. **Una persona invierte ₡2,000,000 a una tasa de interés del 5%. Si al cabo de cierto tiempo el monto acumulado es de ₡2,500,000, ¿cuánto tiempo estuvo invertido el dinero?** 18. **Una persona invierte ₡1,500,000 a una tasa de interés del 6%. Si al cabo de cierto tiempo el monto acumulado es de ₡1,875,000, ¿cuánto tiempo estuvo invertido el dinero?** **Problemas de interés acumulado:** 19. **Don Esteban desea acumular ₡1,500,000 en 3 años mediante una inversión con un interés anual del 6%. ¿Cuánto dinero debe invertir inicialmente?** 20. **El cliente de un banco desea acumular ₡2,500,000 en 4 años mediante una inversión con un interés anual del 4%. ¿Cuánto dinero debe invertir inicialmente?.** **Problemas varios:** 21. Julia es 5 años menor que Pedro. La edad de Julia más el cuadrado de la edad de Pedro aumentada en 30 equivale a 265 años. ¿Cuál es la edad en años de Julia? 22. Considere el siguiente enunciado. Dados dos números pares consecutivos, el cuadrado del mayor sumado al menor equivale a 154 ¿Cuáles son los números? 23. Si el perímetro de un rectángulo es 40 y su área es 96, entonces ¿cuál es la medida de uno de los lados del rectángulo? 24. Considere el siguiente enunciado. La longitud de un terreno rectangular excede en 7 m a la del ancho. Si el área del terreno es 120m^2^, ¿cuáles son sus dimensiones? 25. Si Rosa es 4 años mayor que Carlos y la suma de los cuadrados de sus edades es 346, entonces, ¿cuál es la edad de Carlos? 26. A la edad de José se le suma el cuadrado de esta y luego al disminuirle 58, se obtiene 124. ¿Cuál es la edad de José? 27. Un vendedor de teléfonos celulares tiene dos ofertas de empleo. -La compañía A le ofrece un sueldo de 200.000 colones mensuales más 3.000 colones por cada teléfono vendido. -La compañía "B" le ofrece un sueldo de 250.000 colones mensuales más 2.000 colones por teléfono vendido. ¿Cuántos teléfonos debería vender para recibir el mismo sueldo en ambas compañías? 28. Se sabe que una computadora nueva tiene un costo de ₡350.000, y su valor decrecerá a razón de ₡20.000 por año. De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La ecuación que modela el precio por año "x" después de comprada la computadora es II. En un término de 5 años la computadora costará cien mil colones menos que el precio original. De ellas, ¿Cuáles son verdaderas? 29. Una fábrica de espuma para colchones tiene un costo fijo de ₡5000 y un costo variable de ₡3000 por unidad. Cada espuma se vende a ₡4000. I. El ingreso y el costo son iguales a producirse 5 espumas. II. La ecuación que modela el costo de producir "x" artículos está modelada por la función De ellas, ¿Cuáles son verdaderas? 30\. Considere el siguiente enunciado, modelado por una ecuación lineal de costo: Si en una fábrica de relojes, en un mes no se produce reloj alguno, entonces, el costo total es de \$2400, pero si se producen 20 relojes en un mes, entonces, el costo total es de \$2600.Con base en el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones: I. El costo total de producir 30 relojes en un mes es de \$3000, II. La ecuación que determina el costo total es , donde "x" representa la cantidad de relojes producidos. De ellas, ¿cuáles son verdaderas? 31\. Considere el siguiente enunciado: El salario "s" de un operario de una grúa está en función de la cantidad de horas "h" trabajadas. Por cada hora laborada el operario recibe ¢4500. De acuerdo con el enunciado anterior, considere las siguientes proposiciones: I. El salario del operario que labora "h" horas está dada por s = 4500h. II. Si el operario trabaja 80 horas en, entonces, el salario que debe percibir por su labor, es superior a ¢350 000. De ellas, ¿cuáles son verdaderas? 31. Una empresa paga los sueldos a sus empleados mediante una escala que consiste en un sueldo fijo y una cantidad adicional que varía por año de antigüedad (anualidad). Un administrativo cobra ₡100.000 de sueldo y ₡6.000 por anualidad; mientras que un técnico cobra ₡140.000 de sueldo y ₡2.000 por anualidad. ¿Cuántas anualidades deberán acumular ambos para que los sueldos sean iguales? 32. Considere el siguiente enunciado: El costo mensual "C" por producir "x" unidades de cierta mercancía está dada por C =10x+5200. Si se sabe que en el mes de febrero el costo de producción fue de 6000 y 12000 en marzo del mismo año, ¿cuántas unidades se produjeron en febrero y marzo juntos? 33. En una fábrica de zapatos se invierten ₡3200 en los materiales por cada par de zapatos que se elaboran. Además, hay un gasto fijo de producción por día de ₡120000. ¿Cuál es la función que relaciona la cantidad de zapatos x con el costo de producción C de la fábrica por día? 34. Considere el siguiente enunciado: Dos talleres de tv. tienen las siguientes tarifas: I. II. INECUACIONES LINEALES. ====================== Las inecuaciones son desigualdades algebraicas que establecen una relación entre dos expresiones o cantidades. A diferencia de las ecuaciones, que buscan encontrar valores que las satisfagan de manera exacta, las inecuaciones permiten describir un conjunto de valores que cumplen ciertas condiciones. En una inecuación, los símbolos de desigualdad que se utilizan son: \"\" (menor que): indica que el valor de la expresión de la izquierda es menor que el de la expresión de la derecha. \"\" (mayor que): indica que el valor de la expresión de la izquierda es mayor que el de la expresión de la derecha. \"\" (menor o igual que): indica que el valor de la expresión de la izquierda es menor o igual que el de la expresión de la derecha. \"\" (mayor o igual que): indica que el valor de la expresión de la izquierda es mayor o igual que el de la expresión de la derecha. PASOS PARA RESOLVER INECUACIONES LINEALES. ------------------------------------------ Para resolver inecuaciones lineales, se siguen algunos pasos generales que se describen a continuación: 1. Simplifique la inecuación si es necesario: Se deben reducir los términos semejantes y reduce a ambos lados de la inecuación de ser posible y exprese cada miembro de la forma más simple posible. 2. Aísle la variable en un solo lado de la inecuación: Mueva todos los términos que contienen la variable a un lado de la inecuación y los términos constantes al otro lado. Recuerde que, si cambia el lado de la inecuación, debes invertir el signo del término. 3. Resuelva la inecuación como una ecuación lineal: Si la inecuación es del tipo \"\\", simplemente resuelva la ecuación lineal y encuentre el valor de la variable. Si la inecuación es del tipo \"\" o \"\", resuelve la ecuación lineal y obtén el valor de la variable, pero considere que el valor encontrado también se incluye en la solución. 4. Represente la solución en la recta numérica o en cualquiera de las otras formas. **Ejemplos** **1)** Resolver 2*x* - 3 \> *x* + 5 Pasando *x* al primer miembro y 3 al segundo se tiene: 2*x* - *x* \> 5 + 3 Reduciendo: *x* \> 8 S= **2) Resolver** (*x* + 3)(*x* - 1) \< (*x* - 1)^2^ + 3*x* Efectuando las operaciones indicadas: *x* ^2^ + 2*x* - 3 \< *x* ^2^ - 2*x* + 1 + 3*x* Suprimiendo *x* ^2^ en ambos miembros y transponiendo: 2*x* + 2*x* - 3*x* \< 1 + 3 *x* \< 4 S= 3\) Dada la siguiente inecuación. Halle el conjunto solución Sumando 2 y a ambos miembros de la inecuación se obtiene: Sumando -7 a ambos miembros de la inecuación se obtiene: Note que se multiplicó por un número negativo y se invirtió el sentido de la inecuación. El conjunto solución es entonces; S= INECUACIONES POLINOMIALES Y RACIONALES. ======================================= Las inecuaciones no lineales no se pueden resolver despejando la incógnita como se vio anteriormente. En su lugar se procede a agrupar todos los términos en un solo lado de la desigualdad, dejando al cero en el lado opuesto, para después factorizar y analizar los signos según los signos de los factores. Esto último por de medio de una tabla de signos. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo \#27. Resuelva Solución: Luego ubicamos los puntos críticos en donde el signo del producto puede cambiar. Ahora se elabora la tabla de signos: 1 **+** **-** **-** -- ------- ------- ------- **-** **-** **+** **-** **+** **-** La respuesta es Ejemplo \#28. Resuelva Solución: Ubicación de los puntos críticos Tabla de signos: -5 3 **-** **+** **+** -- ------- ------- ------- **-** **-** **+** **+** **-** **+** La respuesta es Ejemplo \#29: Resuelva Solución: Ubicación de los puntos críticos Tabla de signos: -3 -2 **-** **-** **+** -- ------- ------- ------- **-** **+** **+** **+** **-** **+** La respuesta es Ejemplo \#30: Resuelva Solución Ubicación de los puntos críticos: PROBLEMAS DE APLICACION. ------------------------ Las inecuaciones son una herramienta poderosa en matemáticas que nos permiten modelar y resolver problemas del mundo real donde existen restricciones o condiciones de desigualdad. Estas desigualdades nos ayudan a representar situaciones en las que se establecen límites, rangos o restricciones sobre las cantidades involucradas. Las aplicaciones de las inecuaciones son diversas y se encuentran en campos como la economía, la administración, la física, la ingeniería, entre otros. Por ejemplo, en el ámbito empresarial, las inecuaciones pueden utilizarse para determinar la producción óptima que maximice las ganancias, considerando restricciones como el costo de producción, la demanda del mercado o la capacidad de recursos disponibles. En problemas de optimización, las inecuaciones permiten establecer rangos de valores que cumplen con ciertos criterios, como encontrar el rango de valores de una variable que maximice o minimice una función objetivo. A continuación, se presentan varios problemas que se resolverán por medio de inecuaciones. **Ejemplo 1:** Para una empresa que fabrica calentadores de agua para acuarios, el costo combinado de la mano de obra y el material es de \$21 por calentador. Los costos fijos son de \$70 000. Si el precio de venta de un calentador es de \$35, ¿cuántos calentadores debe vender la empresa para que se genere utilidades? Solución: Se sabe que U = I -- C entonces se define x como el número de calentadores que deben venderse. El costo total es 21x+70 000, luego el ingreso total por las ventas se representa como 35x. Luego, Por lo tanto, se deberán producir y vender al menos 5000 calentadores para que la empresa genere utilidades. Ejemplo 2: Se invierten ₡1 000 000 a 10% anual. ¿Cuánto más debe invertirse a 12% anual para que el interés total en un año sea mayor que ₡150 000? Solución: Sea x el monto adicional a invertir a 12% anual. El interés obtenido con la inversión inicial de ₡1 000 000 a 10% anual es: Interés 1 = ₡1 000 000 ∙ 0.10 = ₡100 000 El interés obtenido con la inversión adicional de x a 12% anual es: Interés 2 = x ∙ 0.12 Queremos que el interés total en un año sea mayor que ₡150 000. Entonces, podemos plantear la siguiente inecuación: Interés 1 + Interés 2 \> ₡150 000 Sustituyendo los valores conocidos, tenemos: Por lo tanto, se debe invertir más de ₡46666.67 a 12% anual para que el interés total en un año sea mayor que ₡150 000. Ejemplo 3: Un negocio de café desea mezclar dos tipos de granos. El primer tipo de grano cuesta ₡1,000 por kilo y el segundo tipo cuesta ₡1,500 por kilo. Desea obtener 100 kilos de una mezcla que no cueste más de ₡1,200 por kilo. ¿Cuántos kilos del primer tipo de grano y del segundo tipo de grano debe utilizar en la mezcla? Solución: Sea x el número de kilos del primer tipo de grano. El costo total de la mezcla se calcula multiplicando el costo por kilo de cada tipo de grano por la cantidad de kilos utilizados, y debe ser menor o igual a ₡1,200 por kilo para obtener una mezcla que cumpla con el requisito establecido. El costo total del primer tipo de grano es 1000x colones. Queremos obtener una mezcla de 100 kilos, por lo tanto, tenemos la siguiente inecuación: x ≤ 100 Además, queremos que el costo total de la mezcla sea menor o igual a ₡1,200 por kilo, por lo que tenemos la siguiente inecuación: Por lo tanto, se deben utilizar 60 kilos del primer tipo de grano y 40 kilos del segundo tipo de grano en la mezcla. **PRACTICA**: ![Interfaz de usuario gráfica, Texto Descripción generada automáticamente](media/image363.png) Texto Descripción generada automáticamente con confianza media Práctica Adicional: ![Interfaz de usuario gráfica, Aplicación Descripción generada automáticamente](media/image365.png) **Práctica de inecuaciones fraccionarias:** Inecuaciones: Respuestas: ---- ----------------------------------------------- a) R. IR - \[ 0 , 1 \] b) R. IR - \[ -6 , 3 \] c) R. \[ 5 , 10 \] d) R. \] - ∞ , -5 \[ e) R. \] -11 , -5 \[ f) R. \] -∞ , 3 \[ g) R. IR - \[ -1 , 1 \[ h) R. \] - 1/2 , 0 \[ i) R. \] - ∞ , -1 \[ ∪ \[ 0. 5\[ j) R. IR - \[ - 2/3 , 3 \] k) R. IR - \]-3/2 , 3 \] l) R. \] - 6, -2 \] ∪ \[ 2 , +∞ \[ m) R. \] -3, -1 \[ ∪ \] 1 , 6 \[ ∪ \] 7 , + ∞ \[ n) R. IR - \] -2 , 2 \[ ñ) R. \] - ∞ , 5 \[ o) R. \] -2 , -1/3 \] ∪ \] 0, + ∞ \[ p) R. \] - ∞ , -1 \[ ∪ \] 0. 5 \[ q) R. \] 0 , 3 \[ ∪ \[5 , + ∞ \[ r) R. \] 0 , + ∞ \[ s) R. \] - ∞ , -3 \[ ∪ \] 0 , 1/5 \[ t) R. \] - ∞ , - 1\[ ∪ \] 0 , 1 \[ u) R. \] -12 , -7 \[ ∪ \] 0 , + ∞ \[ v) R. \] - ∞ , 0 \[ w) R. \] 0 , + ∞ \[ ∪ -3 x) R. \] -1 /2 , 0 \[ ∪ \] 2 , + ∞ \[ ---- ----------------------------------------------- **Práctica sobre problemas aplicando inecuaciones:** Resuelva cada uno de los siguientes problemas aplicando inecuaciones. 1. Juan invierte ₡500,000 a una tasa de interés del 8% anual. ¿Cuánto más debe invertir a una tasa de interés del 10% anual para que el interés total en un año sea mayor que ₡60,000? 2. Una tienda de electrodomésticos tiene costos fijos de ₡3,000,000 al mes y costos unitarios de ₡500 por producto. Si cada producto se vende por ₡1,200, ¿cuántos productos deben vender en un mes para tener utilidades de al menos ₡4,000,000? 3. Se dispone de ₡500,000 para invertir. Una cuenta paga el 15% de interés anual, y otra paga el 18%. ¿Cuánto debe invertirse en cada cuenta para ganar más de ₡60,000 en intereses en un año? 4. Una panadería produce pan con un costo unitario de ₡200 y un precio de venta de ₡500. Si los costos fijos son ₡2,000,000, ¿cuántas unidades deben producir y vender para tener utilidades de al menos ₡1,000,000? 5. Un agricultor desea mezclar dos tipos de frutas. El primer tipo de fruta cuesta ₡300 por kilo y el segundo tipo cuesta ₡500 por kilo. Desea obtener 50 kilos de una mezcla que no cueste más de ₡400 por kilo. ¿Cuántos kilos del primer tipo de fruta y del segundo tipo de fruta debe utilizar en la mezcla? 6. Se invierten ₡2,500,000 a 9% anual. ¿Cuánto más debe invertirse a 11% anual para que el interés total en un año sea mayor que ₡200,000? 7. Una empresa de muebles tiene costos fijos de ₡4,000,000 al mes y costos unitarios de ₡1,500 por mueble. Si cada mueble se vende por ₡5,000, ¿cuántos muebles deben vender en un mes para tener utilidades de al menos ₡3,000,000? 8. Se dispone de ₡1,200,000 para invertir. Una cuenta paga el 20% de interés anual, y otra paga el 25%. ¿Cuánto debe invertirse en cada cuenta para ganar más de ₡150,000 en intereses en un año? 9. Un restaurante prepara platos con un costo unitario de ₡2,500 y los vende a ₡6,000 cada uno. Si los costos fijos mensuales son de ₡1,500,000, ¿cuántos platos deben vender en un mes para tener utilidades de al menos ₡1,000,000? 10. Un estudiante está ahorrando para comprar un nuevo teléfono. Tiene ₡400,000 ahorrados y desea ganar ₡100,000 en intereses en un año. Una cuenta paga el 15% de interés anual y otra paga el 18%. ¿Cuánto debe invertir en cada cuenta para alcanzar su objetivo? 11. Se invierten ₡3,000,000 a 12% anual. ¿Cuánto más debe invertirse a 15% anual para que el interés total en un año sea mayor que ₡400,000? 12. Una empresa de tecnología tiene costos fijos de ₡5,000,000 al mes y costos unitarios de ₡1,000 por producto. Si cada producto se vende por ₡3,000, ¿cuántos productos deben vender en un mes para tener utilidades de al menos ₡4,000,000? 13. Se dispone de ₡800,000 para invertir. Una cuenta paga el 16% de interés anual, y otra paga el 20%. ¿Cuánto debe invertirse en cada cuenta para ganar más de ₡100,000 en intereses en un año? 14. Una fábrica de zapatos produce cada par a un costo unitario de ₡1,200 y los vende a ₡2,500 por par. Si los costos fijos son ₡4,000,000, ¿cuántos pares deben producir y vender para tener utilidades de al menos ₡2,000,000? 15. Un negocio de helados desea mezclar dos tipos de sabores. El primer tipo de helado cuesta ₡500 por litro y el segundo tipo cuesta ₡800 por litro. El negocio desea obtener 50 litros de una mezcla que no cueste más de ₡700 por litro. ¿Cuántos litros del primer tipo de helado y del segundo tipo de helado debe utilizar en la mezcla? 16. Se invierten ₡2,000,000 a 8% anual. ¿Cuánto más debe invertirse a 10% anual para que el interés total en un año sea mayor que ₡180,000? 17. Una empresa de joyería tiene costos fijos de ₡6,000,000 al mes y costos unitarios de ₡500 por joya. Si cada joya se vende por ₡1,500, ¿cuántas joyas deben vender en un mes para tener utilidades de al menos ₡5,000,000? 18. Se dispone de ₡1,500,000 para invertir. Una cuenta paga el 17% de interés anual, y otra paga el17%. ¿Cuánto debe invertirse en cada cuenta para ganar más de ₡120,000 en intereses en un año? 19. Una fábrica de chocolates produce tabletas con un costo unitario de ₡500 y las vende a ₡1,200 cada una. Si los costos fijos mensuales son de ₡3,000,000, ¿cuántas tabletas deben vender en un mes para tener utilidades de al menos ₡2,000,000? 20. Un estudiante está ahorrando para un viaje. Tiene ₡800,000 ahorrados y desea ganar ₡200,000 en intereses en un año. Una cuenta paga el 13% de interés anual y otra paga el 16%. ¿Cuánto debe invertir en cada cuenta para alcanzar su objetivo? INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. -------------------------------- Muchas aplicaciones de las inecuaciones también incluyen valores absolutos. Por lo que se estudiarán a continuación tomando en cuenta las siguientes propiedades. Sea a un número positivo se cumple que Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplos \#31: Resuelva Solución: Se procede a despejar el valor absoluto: Estamos en el primer caso ( i ) pasamos entonces a la forma La respuesta es Ejemplo \#32: Resuelva Solución: Respuesta Ejemplo \#33: Resuelva Solución: Respuesta **Práctica:** Calendario Descripción generada automáticamente ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. ============================== En la recta numérica, la distancia desde el cero hasta un número x se le llama valor absoluto de x y se denota como. Por ejemplo, el y. Definición. El valor absoluto de un número real x, escrito como , se define como a. si b. si **Resolución de ecuaciones con valor absoluto.** Ejemplo \# 34: Resuelva Solución: En esta ecuación se establece que x-3 es un número que está a dos unidades en la recta numérica del cero, por lo tanto Ejemplo \# 35: Resuelva Solución: Práctica: Resuelva 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. FUNCIONES Y GRAFICAS. ===================== CONCEPTOS BÁSICOS. ------------------ **De igual forma que en una recta numérica en donde a cada punto le corresponde un valor real, se puede afirmar que en un plano real se establece una correspondencia uno a uno entre los puntos del plano y los elementos de los pares ordenados de los números reales. Esto se puede hacer mediante un sistema de coordenadas cartesianas.** **Para formar un sistema de coordenadas cartesianas se seleccionan dos rectas reales, una horizontal y otra vertical, de tal forma que se intersequen entre si en el punto (0,0) y estableciéndose cuatro cuadrantes como se observa en la siguiente figura:** ![](media/image436.png) VARIABLE DEPENDIENTE Y VARIABLE INDEPENDIENTE. ---------------------------------------------- En matemática hay muchas fórmulas en las que se establece una dependencia entre dos variables o más variables, las cuales se clasifican en variables dependientes e independientes. Una forma de identificar en la fórmula la variable dependiente, es porque es la que está despejada; por ejemplo, el perímetro de un cuadrado está dado por la fórmula , donde P es la variable dependiente y l es la independiente. Se le llama a P dependiente porque ésta depende del valor de. Otro ejemplo es la fórmula del volumen de un cilindro: donde V es la variable dependiente mientras que r y h son variables independientes. CONCEPTO DE FUNCIÓN REAL ------------------------ -- -- La relación existente entre dos magnitudes suele venir dada por medio de una fórmula o ley matemática llamada **función**. Una **función real de variable real** es una correspondencia según la cual, a cada elemento de un subconjunto de R, llamado **dominio de la función**, , le corresponde uno y sólo un elemento de otro subconjunto de R, llamado **conjunto imagen o recorrido de la función**,. Una función real de variable real se puede expresar de la siguiente forma: La función se llama real porque el conjunto final es R y se llama de variable real porque el conjunto inicial es R. También es posible representar correspondencias entre estos conjuntos mediante [Diagramas de Venn-Euler], así : **A = { 1 , 2 , 3, 4 } B = { -6,-4,-3,-2,-1,0}** **Características de las funciones** En una función real de variable real se cumplen las siguientes condiciones: El conjunto de partida "A" y el conjunto de llegada "B" NO son vacíos. A cada elemento del conjunto de partida "A" se le relaciona con un ÚNICO elemento del conjunto de llegada "B". DOMINIO, CODOMINIO, ÁMBITO, IMAGEN Y PREIMAGEN DE UNA FUNCIÓN. -------------------------------------------------------------- Algunos términos básicos de una función son: ***DOMINIO**:* es el conjunto de salida. ***CODOMINIO**:* es el conjunto de llegada. ***PREIMÁGENES:*** son todos los elementos del dominio. ***IMÁGENES**:* son aquellos elementos del codominio que están asociados a una preimagen. ***ÁMBITO o RANGO*:** es el subconjunto de todas las imágenes. ***GRÁFICO ( G~f~ ):*** es el conjunto de todos los pares ordenados ( x, y ) que establece la función. ***GRÁFICA:*** es la representación de todos los pares ordenados en el plano cartesiano. **CALCULO DE PREIMAGENES E IMÁGENES.** Para calcular la imagen de un valor en una función solo es necesario evaluar dicho valor en el criterio de la función. Por ejemplo: Sea , entonces el valor de es A. --10 B. 17 C. 11 D. 7 Solución: Se procede a evaluar -2 en el criterio así ![](media/image446.png) **R// La opción D.** Por otra parte, para calcular el valor de la preimagen se procede a igualar el criterio al valor de la preimagen y luego se despeja la variable independiente. Por ejemplo Para la función dada por , la preimagen de 2 es A. -1 B. C. D. Solución: Se procede a igualar a 2 **R// La opción A.** **Práctica:** 1. **Sea la función definida por** **. Calcule:** **; ; ;** 2. **Sea** **la función definida por. Calcule:** **; ; ;** 3. **Sea la función definida por. Calcule:** **; ; ;** 4. **Sea la función definida por. Calcule:** **; ; ; ;** 5. **Sea la función definida por. Calcule:** **; ; ;** 6. **Para la función dada por, calcule las imágenes de:** **; ; ; ;** EL DOMINIO MÁXIMO DE UNA FUNCIÓN REAL ------------------------------------- Recuerde que, si se tiene una función f definida de un conjunto *A* en un conjunto *B*, entonces *A* se llama el dominio de esta función. Ahora bien, se le llama dominio máximo de una función aquel conjunto de valores reales para los cuales la función está bien definida. A continuación, se estudian diferentes casos: ***[CASO 1]*. Función Polinomial** El de una función polinomial es siempre IR. ***[EJEMPLO:]*** Determine el dominio máximo de. **Solución:** ***[CASO 2]*. Función Racional (fracción)** Si la función tiene la forma ó , donde p(x) y q(x) son polinomios y k una constante, entonces el ***[EJEMPLO:]*** Determine el dominio máximo de la función. **Solución:** ***[CASO 3]*. Función que contiene Expresión Radical con índice par.** Estas son funciones de la forma con n entero positivo y par. El dominio máximo de la función es un intervalo real tal que cumpla con la inecuación. Esto se debe a que las raíces de índice par están definidas solamente para todos aquellos valores del subradical que sean mayores o iguales a cero. ***[EJEMPLO]*** Determine el dominio máximo de la función. **Solución:** ***[CASO 4]*. Función que contiene Expresión Radical con índice impar.** Estas son funciones de la forma con n entero positivo e impar. Este tipo de funciones admiten cualquier valor ya que las raíces de índice impar siempre están definidas para cualquier valor del subradical; por lo tanto ***[EJEMPLO]*** Determine el dominio máximo de la función. Solución: **[CASO 5.] Función que contiene Expresión Radical de Índice Par en el Denominador** Para este caso se debe realizar una variante en el dominio resolviendo la inecuación ***[EJEMPLO]*** Determine el dominio máximo de la función. **Solución:** +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Determine el dominio máximo de | | | cada función: | | +===================================+===================================+ | Ejercicio \#69 | Ejercicio \#70 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | ¿Cuál es el dominio máximo de la | El dominio máximo de la función f | | función f con f(x) = ? | dada por f(x) = es | | | | | A. IR -- | A. IR | | | | | B. IR -- | B. IR -- | | | | | C. IR -- | C. IR -- | | | | | D. IR -- | D. IR -- | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#71 | Ejercicio \#72 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | El dominio máximo de la función f | Para la función f dada por f(x) = | | dada por f(x) = es | el dominio máximo es | | | | | A. IR -- {1} | A. IR -- { 0 } | | | | | B. IR -- {-- 1} | B. IR -- { 3 } | | | | | C. \] -- ∞, 1 \[ | C. IR -- { 0, 3 } | | | | | D. \] 1, + ∞ | ID) R -- | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#73 | Ejercicio \#74 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | El dominio máximo de la función f | El dominio máximo de la función f | | dada por es | dada por es | | | | | A) | A) | | | | | B) | B) | | | | | C) | C) | | | | | C) | C) | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#75 | Ejercicio \#76 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Para la función f dada por f(x) = | El dominio máximo de la función | | el dominio máximo es | dada por es | | | | | A. B. C. D. | A. IR -- { -- 3 } | | | | | | B. \] -- 3, + ∞ \[ | | | | | | C. \[ -- 3, + ∞ \[ | | | | | | D. \] -- ∞, -- 3 \[ | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#77 | Ejercicio \#78 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Considere las funciones cuyo | El dominio máximo de la función f | | criterio se da a continuación. | dada por es | | | | | ¿Cuáles de ellas tienen por | A) | | dominio máximo--? | | | | B) | | A\) Solo f y g. | | | | C) | | B\) Solo f y h. | | | | D) | | C\) Solo h y g. | | | | | | D\) f , g y h. | | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#79 | Ejercicio \#80 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | El dominio máximo de la función f | El dominio máximo de la función f | | dada por es | dada por f(x) = es | | | | | A) | A) | | | | | B) | B\) -- | | | | | C) | C\) -- | | | | | D) | D\) -- | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | Ejercicio \#81 | Ejercicio \#82 | +-----------------------------------+-----------------------------------+ | El dominio máximo de la función f | El dominio máximo de la función | | dada por es | definida por f(x) = (x -- 2)^--2^ | | | corresponde a | | A) | | | | A. IR | | B) | | | | B. IR -- { 2 } | | C) |

Libro de Matemática I Versión 2024 (4) - PDF

Document Details

Tags

Related

Summary

Full Transcript

Upgrade to continue