L2-4 KvantIntro PDF

Grundläggande Kvantmekanik Huvudmoment L2-4 (Atkins: kap. 4-8) - våg-partikel dualismen: elektromagnetisk strålning & fotoner - kvantmekanikens postulat - Schrödinger-ekvationen och vågfunktioner - villkor på vågfunktionen - superpositionstillstånd - operatorer och kommutering - observatione...

Grundläggande Kvantmekanik Huvudmoment L2-4 (Atkins: kap. 4-8) - våg-partikel dualismen: elektromagnetisk strålning & fotoner - kvantmekanikens postulat - Schrödinger-ekvationen och vågfunktioner - villkor på vågfunktionen - superpositionstillstånd - operatorer och kommutering - observationer i kvantmekanik; väntevärde - energi-kvantisering - Heisenbergs osäkerhetsrelation elektron- diffraktions- stråle mönster  Vad är kvantmekanik? En matematisk formalism för att beskriva små partiklar (atomer, molekyler) och fysikaliska förlopp; inom kemin är kvantmekaniken fundamental för att beskriva ”kemisk bindning” och strukturer av molekyler. Bygger på s.k. ”postulat”, som är en serie antaganden; jämför med ”reglerna” för addition och multiplikation som utgör ”postulat” inom matematik (kallas där ”axiom”). Postulaten kan inte bevisas, men den kvantmekaniska teorin som bygger på dem har hittills aldrig motbevisats experimentellt. 2  3 viktiga skillnader mellan kvantmekanik och klassisk fysik 1. Kvantmekanik: små partiklar har vågors egenskaper, och vågor har partiklars egenskaper: våg-partikel-dualismen Klassiskt: vågor och partiklar är helt olika ting! 2. Kvantmekanik: vissa storheter kan inte mätas samtidigt med godtycklig noggrannhet. Klassiskt: Alla storheter kan mätas hur precist som helst! 3. Kvantmekanik: tillåter endast diskreta energier (något förenklat—förklaras senare) Klassiskt: alla storheter kan varieras kontinuerligt FöR MAKROSKOPISKA OBJEKT: 3 INGA SKILLNADER KVANT vs KLASSISK!  Våglängd (l) och Frekvens (n) vågor är periodiska l1 n1 = 4 Hz amplitud: avstånd mellan 0 och vågens max/min-värde l2 n2 = 8 Hz våglängd (l) = ”avståndet mellan två maxima (alt. minima) av vågen” enhet: m frekvens (n) = ”antalet svängningar per sekund” enhet: 1/s = s-1 = Hz 4  ~ Vågtal (n) Vågtal: n~ = 1/l = ”antal våglängder per enhetslängd” → SI-enhet: m-1 vanligtvis används ”reciproka centimeter” [1/cm = cm-1]. OBS! 1 cm-1 = 100 m-1 l ~ n = 4 cm-1 1 cm Samband mellan vågtal, frekvens & energi: n~ = n/c (1) E = hcn~ (2) 5  Elektromagnetiskt fält (elektromagnetisk strålning) Oscillerande elektriskt & magnetiskt fält som rör sig genom rummet med ljusets hastighet. De två fälten (”vågorna”) är vinkelräta mot varandra. ”Ljus” är ett exempel på elektromagnetisk strålning Viktiga samband: 1. ln=c våglängd * frekvens = ljushastighet 2. E=hn energi = Plancks konstant * frekvens c=2.9979*108 m/s h=6.626*10-34 Js 6  7 Ljus: frekvens, våglängd & energi lång våglängd: kort våglängd: låg frekvens hög frekvens låg energi hög energi n E l 7  8 Ljus har partiklars egenskaper: Fotoner Ljus (elektromagnetisk strålning) har våg-egenskaper. Men det har OCKSÅ partiklars egenskaper. Dessa partiklar kallas fotoner. Ljuset utgör en ”ström” av fotoner, var och en med energi E=hn Övning: Visa att fotonens massa kan uttryckas m = h / (lc) genom att kombinera följande samband: 1. E=mc2 (Einsteins formel) 2. E=hn 8 3. ln=c  9 Fotoelektriska effekten I ett experiment som visar att ljus har partikel-egenskaper: Om ljusets (fotonernas) energi (hn) är för låg händer ingenting, oavsett ljusets intensitet (=antal foton-träffar per sekund) Fotoner med hög energi (t.ex UV ljus) slår bort elektroner från metallytan. Följande samband gäller: hn = F + Ek F = ”arbetsfunktion”: en material- beroende konstant, motsvarande energimängden som krävs för att avlägnsa 1 elektron EK = elektronens kinetiska energi  10 Fotoelektriska effekten II tolkning av formeln hn = F + Ek För låg energi: E= hn > F: ingen elektron resterande energi blir frigörs rörelseenergi för elektronen  11 Små partiklar har våg-egenskaper diffraktionsmönster är en typisk egenskap hos vågor; det uppkommer genom interferens mellan flera vågor. Exempel: en liten sten som faller genom en vattenyta ger ”ringar” på vattnet elektron- diffraktions- stråle mönster små partiklar (t.ex elektroner) har vågors egenskaperer och kan också ge diffraktionsmönster Röntgen- (”XRD”), eletron-, & neutron- diffraktion används för att bestämma strukturen av fasta föerningar/material 11  12 en (liten) partikel har en våglängd de Broglie’s formel: l = h/(mv) = h/p m = massa; v = hastighet; mv = p = rörelsemängd jämför med uttrycket för (ljus)fotonens massa: m = h/(lc)→ l = h/(mc) kort våglängd: stor p=mv lång våglängd: liten p=mv Summering: ”våg-partikel dualismen” (1) små partiklar har vågors egenskaper (2) elektromagnetisk strålning (vågor) har partikel- egenskaper 13  Kvantmekanikens 5 Postulat Postulaten sammanfattas här och kommer att konkretiseras & diskuteras i följande slides… Postulat 1: ”Tillståndet” av ett kvantmekaniskt system (t.ex positionen eller energin av en partikel) beskrivs av en vågfunktion. Postulat 2: Borntolkningen: Om en partikels vågfunktion är y(x), är sannolikheten att finna partikeln i punkten x proportionell mot |y(x) |2 dx. Postulat 3: Varje mätbar storhet representeras av en hermitesk operator. Postulat 4: Om systemet är i ett egen-tillstånd/funktion yj av operatorn  → motsvarande egenvärde aj mäts Postulat 5: Om systemet är i ett superpositions-tillstånd uttyckt som en linjärkombination av operatorns  egenfunktioner (y = σ𝒋 𝒄𝒋 y𝒋 ) → ETT av operatorns egenvärden { a1, a2, … } mäts, där |cj|2 = cjcj* utgör sannolikheten att mäta aj. 14  Postulat 1: Vågfunktion (y) Postulat 1: ”Tillståndet” av ett kvantmekaniskt system (t.ex positionen eller energin av en partikel) beskrivs av en vågfunktion. Varför y? En partikels vågegenskaper beskrivs inom kvantmekaniken med en ”vågfunktion”, som fås genom att lösa den s.k. Schrödinger-ekvationen (diskuteras senare). Vad säger oss y? Vågfunktionen i sig har ingen direkt fysikalisk tolkning, men med dess uttryck kan vi få all information ”vi tillåts veta” (d.v.s. restriktioner finns!) om partikeln: t.ex. dess position och energi. ”Restriktionerna” uppkommer t.ex från Heisenbergs osäkerhets-relation som medför att vi aldrig kan säga exakt var en elektron befinner sig. Vi måste acceptera att vi inom kvantmekaniken endast kan tala i termer av sannolikheter, t.ex. var det är mer/mindre sannolikt att elektronen finns! 15  Villkor på vågfunktionen Följande villkor ställs på alla vågfunktioner (annars är y ofysikalisk och olämplig för beskrivningar av kvantmekaniska system) 1. y måste vara en kontinuerlig funktion—se (a) i figur 2. Derivatan av y måste vara kontinuerlig—se (b) i figur [exempel: för partikel längs linje med koordinat x → kontinuerlig dy/dx] 3. y får endast ha ett värde för varje variabel-värde (”single-valued”)—se (c) i figur 4. y får inte anta oändligt stora positiva/negativa värden—se (d) i figur [mer precist: y(x)= kan vara OK om det enbart gäller i EN punkt x, men då inte för någon annan intillligande punkt, oavsett hur nära värdet x den ligger; y(x)= och y(x+dx)= → ej OK! ] funktionens derivata (=lutning) är diskoninuerlig OACCEPTABLA FUNKTIONER 16  17 Normaliserad vågfunktion Om inte annat sägs, kommer alla vågfunktioner framöver att vara normaliserade, d.v.s. uppfylla villkoret (där * = komplexkonjugat) t = (x, y, z) ∗ dt =dxFdyFdz ‫ 𝝉𝒅 ׬‬y y = 1 [generellt uttryck] FRAMÖVER om inga integrationsgränser anges: integrera över hela området y är definierad! Variabeln ”𝜏” (se Atkins) används för att kollektivt (och kort) beteckna alla variabler vågfuntionen beror på. dt är ett litet volymselement; se bilden för ett 3D fall med {x, y, z} variabler/koordinater. Nedan följer exempel på normaliseringsvillkoret i mer konkreta fall. Exempel 1: Partikel som kan röra sig längs en oändlig linje (koordinat x): ∞ ∞ ‫׬‬−∞ 𝒅𝒙 y(𝒙) ∗ y(𝒙) = ‫׬‬−∞ 𝒅𝒙 y(𝒙) 𝟐 =1 OBS! y*y = |y |2 Exempel 2: Partikel som kan röra sig i 3D rummet: ∞ ∞ ∞ න 𝒅𝒙 න 𝒅𝒚 න 𝒅𝒛 y(𝒙, y, z) ∗ y(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 1 −∞ −∞ −∞ න 𝒅𝝉  Postulat 2: Borntolkningen 18 Emedan uttycket för en normaliserad vågfunktion,y —som här antas beskriva tillståndet av en partikel—inte har någon direkt fysikalisk tolkning eftersom det generellt utgör komplexa tal, har uttycket y*y = |y |2 [sannolikhetstäthet] en direkt tolkning genom att |y(x) | är sannolikhetstätheten att finna partikeln i punkten 2 x. Mer generellt: Postulat 2 = Borntolkningen: För en partikel med vågfunktionen y (t) är sannolikheten att finna partikeln i punktent proportionell mot |y(t) |2 dt [Som vi kommer att se senare gäller Borntolkningen också för andra kvantmekaniska system, även om informationen inte gäller en partikels position utan t.ex en avståndet mellan två kemiskt bundna atomer] t = (x, y, z) dt =dxFdyFdz OBS! Även om y kan anta negativa eller t.o.m komplexa funktionsvärden, är |y |2 alltid positv, vilket tillsammans med villkoret att y är normaliserad ger oss möjligheten att få information om sannolikheten att finna partikeln i en viss punkt  Sannolikhet & Sannolihetstäthet Relationen mellan ”sannolikhetstätheten” och ”sannolikheten” är densamma som mellan ”massa” och ”densitet” (vars äldre svenska benämning var just ”täthet”), där vi måste veta ett materials volym för att kunna beräkna massan: Obs! r säger ingenting om vikten: en mycket stor mängd m = r FV bomull kan väga mer än en liten mängd bly! Uttycket ovan kan formuleras som en integrering—d.v.s en summering över många små volymselement (dV=d𝝉) r = konst integrera över hela ‫ 𝑽𝒅 ׬‬r(V) r ‫ = 𝑽𝒅 ׬‬rV objektets volym =V sambandet mellan sannolikhet och sannolikhetstäthet för 1D rörelse med koordinat x Sannolikheten P(x1, x2) att finna en partikel inom ett intervall x1→ x2 : 𝒙 P(x1, x2) = ‫ 𝒙𝒅 𝟐 𝒙׬‬y(𝒙) 𝟐 𝟏 OBS! Jämför med normaliseringsvillkoret av y: detta måste gälla eftersom det är 100% sannolikhet att hitta partikeln NÅGONSTANS längs linjen → om vågfunktionen inte är normaliserad ”tappar man” den fysikaliska innebörden av |y |2. Övning: Antag att en partikel kan röra sig i 3D rummet. Hur formulerar vi sannolikheten att hitta19 partikeln inom en godtycklig rumsvolym?  Schrödinger-ekvationen 20 Schrödinger-ekvationen är exempel på en s.k. differential-ekvation. Dess exakta uttryck beror på vilket typ av kvantmekaniskt problem man studerar. Vågfunktionen y fås genom att lösa Schrödinger-ekvationen! −i𝟐 d𝟐y(x) Schrödinger-ekvationen för + V(x)y(x) = Ey(x) en partikel längs en linje 𝟐𝒎 d𝒙𝟐 (koordinat x) I ett tidigare exempel på en differentialekvation (”Matte-slides”) x6[df(x)/dx] = 26f(x) → f(x) = c6x2 uppkom parametern ”c”, som är ett godtyckligt tal. Analogt uppkommer parametrar i lösningarna till Schrödinger-ekvationen, d.v.s vågfunktionerna: dessa kallas kvanttal och kan endast anta heltalsvärden. t.ex: n= 0, 1, 2,.... Begränsningen till heltalsvärden utgör grunden till energi-kvantiseringen (jämför med ”Bohr-energierna”).  Operatorer I Begreppet ”operator” är fundamentalt inom kvantmekaniken. En operator utför ”en operation”, som kan uttrycks en operator betecknas Ây = y med “en hatt”;  ෡ i Atkins och betyder: ”operatorn  förändrar en vågfunktion y till en ny vågfunktion y ” Några konkreta/enkla exempel: 1. Funktionen f(x)=5x betyder ”multiplicera talet x med talet 5”. Detta kan även tolkas som att ”operatorn  = 5× tillämpas på talet x”, vilket ger Âx = 5x ෡’ och ’ 𝟎 2. Specialfall: operatorerna ’𝟏 ෡’ multiplicerar med de respektive talen 1 och 0. 3. Operationerna i kvantmekanik är oftast mer komplexa än multiplikation/division av vågfunktionen. En ”operation” kan t.ex utgöra en rotation: “rotationsoperator”: i detta fall en rotation av ett objekt runt 21 koordinatsystemets z-axel  Operatorer II En tolkning av vad  Ây = y kan betyda! ~ ~ ~ 𝒂 𝒅 ~ ~ ~ 𝒃 = 𝒆 ~ ~ ~ 𝒄 𝒇 En rotation av en vektor uttrycks matematiskt genom en matris-vektor multiplikation (både inom klassisk fysik och kvantmekanik). Här representeras “operatorn” av en “matris”, och exakt “vad operatorn gör” bestäms av elementen/talen i matrisen! Inom vår kurs är “vågfunktionerna” just “funktioner”, men ofta utgör de VEKTORER inom kvantmekaniken. Följande identifieringar blir då naturliga: “vågfunktion” = “vektor” & “operator”=“matris” (se figur) 22  23 Superpositions-tillstånd Begreppet “superpositionstillstånd” är fundamental inom kvant-mekaniken. “superpositionstillstånd” = skapa ny vågfunktion genom linjär-kombination av andra vågfunktioner. Exempel: konstruktionen av molekylorbitaler från atomorbitaler y(1s*) fA(1s) - fB(1s) anti-bindande MO (s*): LÅG elektron-täthet y(1s) fA(1s) + fB(1s) bindande MO (s): HÖG elektron-täthet Vanligtvis används egenfunktionerna {y1, y2 , …} (egenvektorerna) av en given operator: (komplext) tal som anger “bidraget” av yj superpositionstillstånd y = ෍ 𝒄𝒋 y𝒋 som linjärkombination 𝒋  Egen(värdes)ekvation (A) (B) y y   y y Ây = y Ây = ay Â𝒗 = 𝒗 Â𝒗 =1𝒗 Generellt: En operator ÄNDRAR vågfunk- Viktigt specialfall: Vågfunktionen är en tionen; här illustrerat i fallet ”rotation av en egenfunktion till operatorn → vågfunktionen vektor”. ändras INTE, men multipliceras med egenvärdet a. P.s.s: rotation av en vektor längs dess axel ändrar INTE vektorn (egenvärdet är 1). Vågfunktioner (vektorer) uttrycks alltid i egenbasen av en given operator (matris). Operatorns (matrisens) egenbas utgör en uppsättning av egenvärden {a1, a2, … , aj, …} och respektive egenfunktioner {y1 , y2,... , yj...} [eller I fallet vektorer: egenvektorer, {𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , … 𝒗𝒋 , …}]. (B) ovan är ett mycket viktigt fall, som kallas egen(värdes)ekvation. OM vågfunktionen är en egenfunktion (=egentillstånd) till operatorn, d.v.s y = yk , gäller OBS! Eftersom vågfunktionen Ây = Âyk = akyk k = 1, 2,... j,... anger “tillstånd”: egenfunktion = där indexet “k“ specificerar ETT av operatorns egen-värden/funktioner. egentillstånd  Egenbas av Operator 25 Superpositionstillstånd genom linjärkombination av egen-funktionerna/vektorerna av en viss operator kräver att dess egenbas är ortonormal, d.v.s att operatorns egen- funktioner/vektorer är normaliserade och ortogonala. ”vågfunktionen” utgör en vektor är konceptet ”ortonormal” identiskt med vad som gäller för 2D/3D vektorer (se ”Matte-slides”!). Vanligast är dock att y är en funktion. Även om det kan tyckas mindre abstrakt än en vektor, blir matematiken i praktiken betydligt mer komplex! För N egenvektorer { 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐, 𝒗𝟑,..., 𝒗𝑵}, av operatorn gäller 𝒗j 𝒗𝒌 = d jk med {j, k} = {1, 2, 3..., N} För N egenfunktioner {y1,y2,y3,..., yN} av operatorn gäller integrera över hela området ‫׬‬yj∗ yk dt = d jk med {j, k} = {1, 2, 3..., N} där y är definierad Exempel 1: Partikel som kan röra sig längs en linje (koordinat x): ∞ ‫׬‬−∞ 𝒅𝒙 y𝒋(𝒙) ∗ y𝒌(𝒙) = d jk Exempel 2: Partikel i 3D utan begränsningar: ∞ ∞ ∞ න 𝒅𝒙 න 𝒅𝒚 න 𝒅𝒛 y𝒋(𝒙, y, z) ∗ y𝒌(𝒙, 𝒚, 𝒛) = d jk −∞ −∞ −∞  26 Hermitesk Operator HERMITESK operator:  = (Â) Kom ihåg: hermitesk konjugering = adjoint adjoint “” betyder 2 operationer: (Â) = Â∗ T komplexkonjugering + transponering En hermitesk operator representeras av en hermitesk matris, vars matriselement uppfyller Praktiskt att veta! Âjk = (Âkj)* Adjoint av summa: ෢ = 𝐀 ෡ +𝐁) (𝐀 ෡ + 𝐁෡ Adjoint av produkt: ෡𝐁 (𝐀 ෡ ) = 𝐁 ෡ 𝐀 ෡ En operator vars egenbas används för att konstruera superpositions-tillstånd är i praktiken hermitesk, p.g.a. att alla hermiteska operatorer har två mycket viktiga egenskaper: 1. deras egenvärden är reella (konsekvensen diskuteras senare....) 2. deras egenfunktioner/vektorer är ortogonala! ”Hermitesk” gäller operatorn. Om vi vill blanda in vågfunktioner gäller (Atkins; ek. (6.7) ∗ ‫ 𝝉𝒅 ׬‬y𝒋 ∗ Âyk = ‫ 𝝉𝒅 ׬‬yk ∗ Ây𝒋 integrera över hela området där y är definierad Övningar: 1. Reflektera över relationen mellan /; likheter och skillnader? 2. Se ”Kvantmekaniska reflektioner” för hur enkelt kan visas (överkurs)  Linjära Operatorer & Kommutering 27 Matris/vektor beskrivningen inom kvantmekaniken bygger på matematikens “linjär algebra”. Alla sådana operatorer är linjära: Â(y1 + y2 ) = Ây1 + Ây2 Â(cy) = cÂy Jämför med “vanliga tal”: a(b+c) = ab + ac & a(cb) = cab Men! Multiplikation av tal är “kommutativ”: ab = ba Detta gäller inte generellt för matrismultiplikation och därmed inte för produkter av operatorer: 𝑨෡ ∙ 𝑩 ෡ ≠𝑩 ෡∙𝑨 ෡ Exempel: 𝟏 𝟐 𝟓 𝟔 𝟏𝟗 𝟐𝟐 𝟓 𝟔 𝟏 𝟐 𝟐𝟑 𝟑𝟒 = = 𝟑 𝟒 𝟕 𝟖 𝟒𝟑 𝟓𝟎 𝟕 𝟖 𝟑 𝟒 𝟑𝟏 𝟒𝟔 A B AB B A BA Praktisk betydelse: ORDNINGEN av två operationer har betydelse. Varje operation uförs från höger till vänster: 𝑩෡ 𝑨෡ y → “utför först operation A, sedan B” 𝑨෡ 𝑩෡ y → “utför först operation B, sedan A”  28 Kommutator Kommutator: 𝑨෡ , 𝑩 ෡ = 𝑨෡ ∙𝑩 ෡ −𝑩 ෡∙𝑨 ෡ Generellt: 𝑨෡ , 𝑩 ෡ ≠ 0 → “operatorerna kommuterar inte” → “ordningen av två operationer har betydelse” 𝑨෡ , 𝑩 ෡ = 0 → “operatorerna kommuterar” → “ordningen av två operationer har INTE betydelse” Kommutatorn är en LINJÄR operation → praktiska samband för beräkningar: 𝑨෡ , 𝑩 ෡ =−𝑩෡, 𝑨 ෡ 𝑨෡ , 𝑩 ෡ = 𝑨෡ , 𝑩 ෡ +𝑪 ෡ samt 𝑨෡ + 𝑩 ෡ + 𝑨෡ , 𝑪 ෡ = 𝑨෡ , 𝑪 ෡, 𝑪 ෡ + 𝑩 ෡ ෡, 𝑪 𝑐 𝑨෡ , 𝑩 ෡ = 𝑐𝑨෡ , 𝑩 ෡ = 𝑨෡ , 𝑐𝑩 ෡ för komplext/reellt tal 𝑐 Övningar: 1. Rotationer kommuterar normalt inte, vilket gör att resultatet beror på ordningen de utförs. Verifiera detta genom att utföra två konsekutiva rotationer på ett 3D objekt. 2. Ge ett (enkelt) exempel på när två rotationer alltid kommuterar. 3. Visa sambanden -; se RÖ2!  Postulat 3-5: 29 ”Observationer” i Kvantmekanik Vi övergår nu till ”observationer” = ”mätningar” av storheter—såsom energi, position, och rörelsemängd—i kvantmekaniska system. Från detta kommer möjligheter & begränsningar att framkomma, samt vad som egentligen menas med begreppet ”kvantisering”, vilket INTE betyder att ett kvantmekaniskt system (såsom en elektron) endast kan anta ”diskreta” energier, och INTE att ett elektronspinn endast kan peka ”upp” eller ”ner”! (diskuteras senare). Emedan FUNDAMENTALA SKILLNADER KVARSTÅR mellan klassisk fysik och kvantmekanik, uppkommer dessa i vad vi kan mäta från respektive system. En konsekvens av detta är också ”Heisenbergs osäkerhetsrelation” Postulat 3: Varje mätbar storhet representeras av en hermitesk operator. Att applicera operatorn (”Ây ”) betyder ”mäta värdet av observabeln”. Den mätningen ger ett egenvärde aj av operatorn (och det värdet är representativt för tillståndet yj EFTER mätningen...) → den fundamentala orsaken till ”kvantisering” Alla operatorer som kan användas till att mäta storheter är hermiteska, och har alltså REELLA EGENVÄRDEN (vi kan inte mäta komplexa tal, d.v.s. en ”komplex” energi eller position, eftersom ett sådant resultat saknar mening).  30 Viktiga Operatorer & Observabler Samtliga operatorer nedan är hermiteska. Var och en representerar en viktig observabel/storhet för en partikel. Operator Beteckning Observabel Innebörd (men: restriktioner) ෢ Hamiltonoperator 𝓗 E (energi) ෢ y mäter partikelns energi 𝓗 positions- 𝒙ෝ , 𝒚ෝ , 𝒛ෝ 𝒙ෝ y / 𝒚ෝ y / 𝒛ෝ y ger partikelns position: x, y, z operator Insert table here with operators! position längs x/y/z rörelsemängds- p ෞx , p ෞy , pෝz rörelsemängd ෞxy / p p ෞyy / pෝzy ger partikelns operator px = mvx (etc...) rörelsemängd längs x/y/z Den överlag viktigaste operatorn är Hamiltonoperatorn, som vi kan skriva som en summa av två operatorer vars observabler är ”kinetisk” respektive ”potentiell ” energi, precis som vi gör i klassisk fysik/mekanik. ”k” = kinetisk Klassisk fysik ”p” = potentiell Kvantmekanik E = Ek + Ep ෢=𝓗 𝓗 ෢k + 𝓗 ෢p = V(x) ”V” betecknar en ”potential” som beror på rumskoord- inater (här: enbart x)  Övergång: klassisk→ kvant 31 Klassisk fysik Kvantmekanik storhet(variabel) → storhetens värde operator × vågfunktion → egenvärde av operator Ek(𝒗𝒙 ) = m𝒗𝟐𝒙 /2 ෢ ky = Ejyj 𝓗 OBS! ”j” är index & ”k” = kinetisk Många operatorer i kvantmekanik skapas genom att starta från motsvarande ”klassiska” samband och därefter ersätta storheter med motsvarande operator. Principen illustreras i tabellen nedan för rumsvariabeln ”y” ; operatorerna för “x” och “z” formuleras analogt! y ingår inte i tabellen storhet storhet = ”uttryck” operator (appliceras som Â×y) position 𝒚 𝒚ෝ = 𝒚× rörelsemängd py = mvy p ෞ𝒚 = −𝒊i d × d𝒚 i=h/(2p) kinetisk energi 𝒑𝟐𝒚 𝒎𝒗𝟐𝒚 𝑝ො𝒚 𝟐̂ −i 2 d𝟐 Ek = = ෢ k= 𝓗 = × 𝟐𝒎 𝟐 𝟐𝒎 𝟐𝒎 d𝒚𝟐 ෢ p)y = Ey ger uttrycket för Schrödingerekvationen! ෢k + 𝓗 Viktigt! (𝓗 Övning: ෢ p=0). Härled Schrödingerekvationens uttryck för en dimension med koordinaten x (𝓗  32 Postulat 4 & 5: Postulat 4: systemet är i ett egen-tillstånd/funktion yj av operatorn  (d.v.s. y = yj) → motsvarande egenvärde aj mäts Postulat 5: systemet är i ett superpositions-tillstånd, så att dess vågfunktion är en (normaliserad) linjärkombination av operatorns egenfunktioner {y1, y2, …}: y = ෍ 𝒄𝒋 y𝒋 𝒋 → ETT av operatorns egenvärden {a1, a2,...} mäts, där sannolikheten att mäta aj är |cj|2 = cjcj* OBS! resultatet av varje enskild mätning utgörs av slumpen och kan inte förutsägas (annat än att sannolikheten av utfallet är känd). Övning: 1. Jämför grafiska representationer för 2D vektorn 𝒗 = (𝒙 + 𝟓𝒚)/ 𝟐𝟔 och vågfunktionen y =(y1 + 5y2)/ 𝟐𝟔, där {y1, y2} är operatorns  egentillstånd med respektive egenvärden {a1, a2}. Ge uttrycken för sannolikheten att mäta a1 samt a2. 2. Samma frågor, men nu för 𝒗 = 𝒚 och vågfunktionen y =y2.  Exempel: Energi 33 ෢ = Hamiltonoperator = operatorn för energi 𝓗 Energi-egenvärderna för en partikel i en 1D låda (detaljer senare…): Fall 1: egentillstånd Fall 2: superpositionstillstånd y = y8 y = c8y8 + c9y9 Förenklat exempel: normalt bidrar alla yj En Partikeln har exakt energin E8 Partikeln har en energi emellan ෢ y → E8 Enligt Postulat 4: 𝓗 E8 och E9. Enligt Postulat 5: ෢ y → E8 med sannolikhet |c8|2 𝓗 → E9 med sannolikhet |c9|2 Övningar på Fall 2: 1. Beräkna sannolikheterna att mäta resp. energi E8 och E9 om y = (y8 +2y9)/ 𝟓 2. Antag att en mätning av partikelns energi gav E9. Vad ger nästa mätning?  Väntevärde (Expectation value) 34 a = väntevärde = medelvärde—observabelns (”a”) medelvärde över flera mätningar över en stor ensembel av ”system”, vart och ett givet av samma vågfunktion y = ෍ 𝒄𝒋 y 𝒋 𝒋 d.v.s. ett (normaliserat) superpositiionstillstånd av egenfunktionerna {y1, y2, …} av operatorn Â. Väntevärdet a ges av FIX RESTafrom = ෍ |cj| aj 2 PAPER!!!! 𝒋 bidraget av aj beror på “andelen” yj i superpositions-tillståndet, d.v.s. ”𝒄𝒋 y𝒋 “ Övningar 1. Uttrycket för a följer direkt från postulat 5. Visa detta! 2. ymynt = (ykrona +yklave)/ 𝟐 är ett superpositionstillstånd av två egenfunktioner av operatorn ෡ med respektive egenvärden Kkrona=1 och Kklave=−1. Visa att K = 0. 𝑲,  35 Mer om väntevärden Det generella—men inte särskilt praktiskt användbara—uttrycket för väntevärdet av observabeln a är (Atkins; ek. 7.2b): a = ‫𝝉𝒅 ׬‬y ∗ Ây Obs! Här är y oftast en linjärkombination av funktioner som generellt INTE är egenfunktioner till Â. Uttrycket för a ovan är inte lätt att beräkna, även om det kan göras numeriskt på en dator. FIX REST from PAPER!!!! Men: formeln på föregående slide kan alltid används för att beräkna a även i allmänna fall; den enda skillnaden är att för att kunna tillämpa den, måste vi först utrycka y som linjärkombination av egenfunktionerna {y1, y2, …} till operatorn Â!  Heisenbergs osäkerhetsrelation 36 För ett makroskopiskt objekt: vi kan samtidigt bestämma dess position (x) och rörelsemängd (p=mv) med hög precision (som endast är begränsat av vår mätteknik). Hesienbergs osäkerhetsrelation: för en liten partikel, t.ex. en elektron, kan vi inte samtidigt (med godtycklig precision) bestämma dess position (x) och rörelsemängd (px=mvx) längs samma riktning : Dx 6 Dpx / i/2 (*) Dx = osäkerhet i positionen. Formellt: Dx = ⟨𝒙𝟐 ⟩ − 𝒙 𝟐 (överkurs) Dpx = osäkerhet i rörelsemängden. Formellt: Dpx = ⟨𝒑𝒙 𝟐 ⟩ − 𝒑𝒙 𝟐 (överkurs) Obs! (*) gäller för varje godtycklig riktning q = {x, y, z} —se Tabell! Dq 6 Dpq / i/2 superpositionstillstånd y där partikels position är känd exakt … y och py KAN INTE mätas noggrant tillsammans …till priset av att rörelsemängden är helt okänd: varje yj har ett visst värde (pj), x och py KAN mätas men totala värdet är okänt noggrant tillsammans  Generaliserad osäkerhetsrelation 37 Heisenbergs osäkerhetsrelation är ett specialfall av en mer generell osäkerhetsrelati. Principen är att eftersom ett kvantmekaniska system normalt utgör ett superpositionstillstånd, ändras vågfunktionen då vi mäter en observabel (Postulat 4/5) → om vi mäter en annan observabel efteråt kommer den mätningen INTE göras på den ursprungliga vågfunktionen. Av detta kan man förstå varför två olika observabler inte kan mätas med godtycklig noggrannhet. Se utdelat material ”Kvantmekaiska Reflektioner” för mer info. Nu blir kommutatorn av de två operatorerna 𝑨෡ & 𝑩෡ viktig: 𝑨෡ , 𝑩 ෡ ≠ 0 → de två observablerna a & b kan INTE mätas “exakt” tillsammans → dessa observabler är “komplementära” 𝑨෡ , 𝑩 ෡ = 0 → de två observablerna a & b KAN mätas “exakt” tillsammans Generaliserad osäkerhetsrelation: För två observabler a och b med 𝑨෡ , 𝑩 ෡ ≠0→ Da 6 Db / 1/2 𝑨෡ , 𝑩 ෡ = 1/2 𝑪 ෡ (**) ෡ =𝑪 Övning Visa från operatorernas definitioner att [𝒒ෝ , p ෞq] = ii för för godtycklig q = {x, y, z}.