Φυσική: Κρούσεις - Κινητική, Ενέργεια 2018 PDF

154 5.1. Εισαγωγή Η ταχύτητα και η επιτάχυνση των σωμάτων, καθώς και τα μεγέθη που ορίζονται με βάση αυτά, όπως η κινητική ενέργεια και η ορμή, ανή- κουν στην κατηγορία των μεγεθών που δεν έχουν μια μόνο τιμ...

154 5.1. Εισαγωγή Η ταχύτητα και η επιτάχυνση των σωμάτων, καθώς και τα μεγέθη που ορίζονται με βάση αυτά, όπως η κινητική ενέργεια και η ορμή, ανή- κουν στην κατηγορία των μεγεθών που δεν έχουν μια μόνο τιμή. Η τιμή τους εξαρτάται από το πού βρίσκε- ται εκείνος που τα μετράει. Έτσι, ο επιβάτης του τρένου νομίζει ότι ο συνεπιβάτης του είναι ακίνητος, όμως ένας παρατηρητής στην απο- βάθρα του σταθμού τον βλέπει να κινείται με την ταχύτητα του τρέ- νου. Όταν αναφερόμαστε στα μεγέ- θη αυτά, χωρίς άλλη διευκρίνηση, θα εννοούμε τις τιμές που βρίσκει ένας παρατηρητής ακίνητος πάνω στη Γη. Εκ τ ό ξ ε υ σ η δ ι α σ τ η μ ι κ ο ύ λ ε ω - Οι παρατηρητές, που περιγράφουν με διαφορετικό τρόπο την κίνη- φ ο ρ ε ί ο υ. ση των σωμάτων, πρέπει να συνεννοούνται μεταξύ τους. Σ’ αυτή την Ει κ ό ν α 5 -1. ανάγκη ανταποκρίθηκε ο Γαλιλαίος με τους μετασχηματισμούς του, που επιτρέπουν να μετατρέψουμε τα δεδομένα της κίνησης σε ένα σύστημα αναφοράς σε δεδομένα για ένα άλλο σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το πρώτο (αδρανειακό σύ- στημα). Στη μελέτη των προβλημάτων μας μπορούμε να επιλέξουμε το σύ- στημα αναφοράς της κίνησης, με στόχο να κάνουμε τους υπολογι- σμούς μας όσο γίνεται απλούστερους. Συχνά, ως σύστημα αναφοράς παίρνουμε αυτό που συνδέεται με το κέντρο μάζας του συστήματος. Ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς, λ.χ. θα διευκόλυνε τη μελέτη της κί- νησης των πυραύλων, που χωρίς αυτούς οι γνώσεις μας για το ηλιακό σύστημα θα ήταν πολύ φτωχότερες. Τέλος, όχι μόνο η ταχύτητα των σωμάτων αλλά και η ταχύτητα των κυμάτων εξαρτάται από τη σχετική κίνηση πηγής - παρατηρητή. Αυτό σημαίνει ότι διαφορετικοί παρατηρητές αντιλαμβάνονται με διαφο- ρετικό τρόπο το ίδιο κύμα. Το φαινόμενο Doppler, όπως είναι γνωστό, το αξιοποιούν για τη μέτρηση της ταχύτητας των αυτοκινήτων ή των αεροπλάνων με το ραντάρ, οι αστρονόμοι για να παρακολουθήσουν την κίνηση πολύ μακρινών ουράνιων σωμάτων, αλλά και οι γιατροί για να παρακολουθήσουν τη ροή του αίματος. 5.2. Κρούσεις Κρούση ανάμεσα σε δύο μπά- Όταν δύο σώματα συγκρούονται, για παράδειγμα όταν χτυπάνε λ ε ς μ π ι λ ι ά ρ δ ο υ. δύο μπάλες του μπιλιάρδου (σχ. 5.1), η κινητική κατάστασή τους ή Σ χ ήμ α 5 -1. τουλάχιστον ενός από αυτά μεταβάλλεται απότομα. Οι απότομες αυτές αλλαγές της κίνησης προκαλούνται από τις ισχυρές δυνάμεις 22-0183.indd 154 1/2/2018 1:40:57 µµ  155 που αναπτύσσονται ανάμεσα στα σώματα που συγκρούονται, κατά τη διάρκεια της επαφής τους. Η έννοια της κρούσης έχει επεκταθεί και στο μικρόκοσμο όπου συ- μπεριλαμβάνει και φαινόμενα όπου τα «συγκρουόμενα» σωματίδια δεν έρχονται σε επαφή. Για παράδειγμα όταν ένα σωματίδιο α (πυ- ρήνας He) κινείται προς ένα άλλο πυρήνα (Π), οι αλληλεπιδράσεις τους, που είναι πολύ ασθενείς όταν βρίσκονται μακριά, γίνονται πολύ ισχυρές όταν τα σωματίδια πλησιάσουν με αποτέλεσμα την απότομη αλλαγή στην κινητική τους κατάσταση. Η χρονική διάρκεια μεταβο- λής της κινητικής τους κατάστασης είναι πολύ μικρή. Αν μπορούσαμε να κινηματογραφήσουμε το φαινόμενο θα βλέπαμε ότι μοιάζει με τη σύγκρουση δύο σωμάτων, μόνο που εδώ τα σώματα δεν έρχονται σε επαφή. Ονομάζουμε, λοιπόν, κρούση και κάθε φαινόμενο του μικρό- κοσμου, στο οποίο τα «συγκρουόμενα» σωματίδια, αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. Το φαινόμενο αυτό στη σύγχρονη φυσική ονομάζεται και σκέδαση (σχ. 5.2). Κρούση ενός σωματίου α, με αρχικά ακίνητο πυρήνα. Σ χ ή μ α 5 -2. Ανάλογα με τη διεύθυνση που κινούνται τα σώματα πριν συγκρου- στούν οι κρούσεις διακρίνονται σε κεντρικές, έκκεντρες και πλάγιες. Κεντρική, (ή μετωπική) ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα δι- ανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των σωμάτων που συ- γκρούονται βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Αν τα σώματα που συγκρούονται είναι σφαίρες και η κρούση τους είναι κεντρική, οι τα- χύτητές τους μετά την κρούση θα βρίσκονται επίσης στην ίδια (αρχι- κή) διεύθυνση (σχ. 5.3). (α) έ κ κ ε ν τ ρ η κ ρ ο ύ σ η. ( β) π λ ά γ ι α κ ρ ο ύ σ η. Σ χ ήμ α 5 - 4. πριν την κρούση μετά την κρούση Κ ε ν τ ρ ι κ ή κ ρ ο ύ σ η μ ε τ α ξ ύ δ ύ ο σ φ α ι ρ ών. Σχήμα 5 -3. Έκκεντρη, ονομάζεται η κρούση στην οποία οι τα- χύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συ- γκρούονται είναι παράλληλες (σχ. 5.4α). Πλάγια ονομάζεται η κρούση αν οι ταχύτητες των σωμάτων βρίσκονται σε τυχαίες διευθύνσεις (σχ. 5.4β). Πλάγια κρούση Ει κ ό ν α 5 -2. 22-0183.indd 155 1/2/2018 1:40:57 µµ  156 Η διατήρηση της ορμής στις κρούσεις Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμενο που διαρκεί πολύ λίγο χρόνο, οι ωθήσεις των εξωτερικών δυνάμεων - αν υπάρχουν - είναι αμελητέ- ες κατά τη διάρκεια της κρούσης. Το σύστημα των σωμάτων που συ- γκρούονται μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο, για τη χρονική διάρκεια της κρούσης, επομένως η ορμή του συστήματος διατηρείται. Η ορμή ενός συστήματος σωμάτων, κατά τη διάρκεια της κρού- σης, διατηρείται. Αν pπριν η ορμή του συστήματος αμέσως πριν την κρούση και pμετά η ορμή του συστήματος αμέσως μετά την κρούση, ισχύει: pπριν= pμετά Η ενέργεια στις κρούσεις Κατά τη σύγκρουση δύο σωμάτων ένα μέρος της μηχανικής τους ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα. Στην ιδανική περίπτωση που Δύ ο σ ω μ ά τ ι α α σ υ γ κ ρ ο ύ ο ν τ α ι. Το έ ν α , π ρ ι ν τ η ν κ ρ ο ύ σ η, ή τ α ν η μηχανική ενέργεια των σωμάτων δε μεταβάλλεται με την κρούση, π ρ α κ τ ι κ ά α κ ί ν η τ ο. η κρούση ονομάζεται ελαστική. Επειδή η κρούση είναι ένα φαινόμε- Ει κ ό ν α 5 - 3. νο αμελητέας χρονικής διάρκειας, η δυναμική ενέργεια των σωμάτων -που εξαρτάται από τη θέση τους στο χώρο- δε μεταβάλλεται. Επο- μένως : Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέρ- γεια του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων. Στο μακρόκοσμο η ελαστική κρούση αποτελεί μια εξιδανίκευση. Προσεγγιστικά ελαστική μπορεί να θεωρηθεί η κρούση ανάμεσα σε δύο πολύ σκληρά σώματα, όπως ανάμεσα σε δύο μπάλες του μπι- λιάρδου. Στο μικρόκοσμο όμως έχουμε κρούσεις απολύτως ελαστικές όπως αυτή που περιγράψαμε προηγουμένως ανάμεσα στο σωμάτιο α και τον πυρήνα. Ανελαστική, ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρ- χικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμό- τητα. Η κρούση ανάμεσα στα αυτο- Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι εκείνη που οδη- κ ί ν η τ α τ ης ε ι κ ό ν α ς ε ί ν α ι σ χε - γεί στη συγκόλληση των σωμάτων - στη δημιουργία συσσωματώμα- δ ό ν π λ α σ τ ι κ ή. τος. Αυτή η κρούση ονομάζεται πλαστική. Ει κ ό ν α 5 - 4. 5.3. Κεντρική Ελαστική Κρούση Δύο Σφαιρών Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 κινούνται με ταχύτητες υ1 και υ2, όπως στο σχήμα 5.5. Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά και μετά την κρούση έχουν ταχύτητες υ΄1 και υ΄2. Εάν γνωρίζουμε τις ταχύτητες των σφαιρών πριν την κρούση π ρ ι ν τ η ν κ ρ ο ύ σ η μετά την κρούση και τις μάζες τους μπορούμε να υπολογί- Σ χ ήμ α 5 - 5. σουμε τις ταχύτητές τους μετά την κρούση. 22-0183.indd 156 1/2/2018 1:40:58 µµ  157 Για την κρούση ισχύουν : ΄ ΄ (διατήρηση της ορμής) 5.1 ΄ ΄ (διατήρηση της κινητικής ενέρ- γειας) 5.2 η (5.1) γράφεται και ΄ ΄ 5.3 ενώ η (5.2) γράφεται ΄ ΄ 5.4 Διαιρούμε τις (5.4) και (5.3) κατά μέλη και βρίσκουμε ΄ ΄ 5.5 Επιλύοντας το σύστημα των (5.1) και (5.5) ως προς υ1΄ και υ2΄ βρίσκου- με ΄ 5.6 και ΄ 5.7 Στην περίπτωση όπου m1 = m2 Σημείωση : Κα τ ά τ ο ν υ π ολ ο γ ι - οι (5.6) και (5.7) γίνονται σ μ ό τ ων τ α χ υ τ ή τ ων τ ων σ φ α ι - ρ ών υ π ο θ έ σ α μ ε ό τ ι ο ι σ φ α ί ρ ε ς υ΄1 = υ2 και υ΄2= υ1 μ ε τ ά τ η ν κ ρ ο ύ σ η σ υν ε χ ί ζο υν να κινούνται προς την ίδια κα- Δηλαδή οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες. τ ε ύ θ υν σ η. Αν μ ε τ ά τ ι ς π ρ ά ξ ε ι ς π ρ ο κ ύ ψ ε ι α ρν η τ ι κ ή τ ι μ ή γ ι α Στην περίπτωση που η Σ2 ήταν ακίνητη πριν την κρούση (υ2=0) τ η ν υ'1 θ α σ υ μ π ε ρ ά ν ο υ μ ε ό τ ι η οι (5.6) και (5.7) γίνονται Σ1 ά λ λ α ξ ε φ ο ρ ά κ ί ν η σ ης μ ε τ ά τ η ν κ ρ ο ύ σ η. ΄ 5.8 και ΄ 5.9 5.4. Ελαστική Κρούση Σώματος με άλλο Ακίνητο Πολύ Μεγάλης Μάζας Αν η σφαίρα Σ2 της προηγούμενης παραγράφου έχει πολύ μεγαλύ- τερη μάζα από τη Σ1 και είναι ακίνητη πριν την κρούση οι σχέσεις (5.8) και (5.9) δίνουν υ΄1 = -υ1 και υ΄2 = 0 Αν η κ ρ ο ύ σ η ε ί ν α ι ε λ α σ τ ι κ ή η Δηλαδή η σφαίρα μικρής μάζας ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου σφαίρα ανακλάται με ταχύτη- και αντίθετης φοράς από αυτήν που είχε πριν την κρούση. Το σώμα τ α ί δ ι ο υ μ έ τ ρ ο υ. μεγάλης μάζας παραμένει πρακτικά ακίνητο. Σ χ ήμ α 5 - 6. 22-0183.indd 157 1/2/2018 1:40:58 µµ  158 Σύμφωνα με τα παραπάνω όταν μια σφαίρα μικρής μάζας προ- σκρούει ελαστικά και κάθετα στην επιφάνεια ενός τοίχου ή στο δά- πεδο ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς (σχ. 5.6). Στην περίπτωση που η σφαίρα προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε έναν τοίχο αναλύουμε την ταχύτητά της σε δύο συνιστώσες, τη μία (υx) κάθετη στον τοίχο και την άλλη (υy) παράλληλη με αυτόν (σχ. 5.7). Σύμφωνα με τα παραπάνω η κάθετη στον τοίχο συνιστώσα της τα- χύτητας θα αλλάξει φορά και θα διατηρήσει το μέτρο της (υ΄x = -υx). Η δύναμη που ασκείται στη σφαίρα κατά την κρούση είναι κάθε- τη στον τοίχο, άρα η y συνιστώσα της ταχύτητας δε μεταβάλλεται (υ΄y = υy). Το μέτρο της ταχύτητας μετά την κρούση είναι ΄ ΄ ΄ Αν η κ ρ ο ύ σ η ε ί ν α ι ε λ α σ τ ι κ ή η δηλαδή το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας δε μεταβάλλεται. σφαίρα ανακλάται με ταχύτη- τ α ί δ ι ο υ μ έ τ ρ ο υ κ α ι η γ ων ί α Αν π και α οι γωνίες που σχηματίζουν η υ και η υ΄, αντίστοιχα, με την π ρ ό σ π τ ω σ ης ε ί ν α ι ί σ η μ ε τ η κάθετη στον τοίχο ισχύει γ ων ί α α ν ά κ λ α σ ης. ΄ Σ χ ήμ α 5 -7. και ΄ όμως ΄ και οπότε και Δηλαδή η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανά- κλασης. Παράδειγμα 5.1 Βλήμα μάζας m = 0,02 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 200 m/s και σφηνώνεται σε ακίνητο ξύλο μάζας Μ = 0,98 kg που βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Να βρεθεί α) η ταχύτητα του συσσωμα- τώματος μετά την κρούση, β) η μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση, γ) το διάστημα που θα διανύσει το συσσωμάτωμα μέ- χρι να σταματήσει. Ο συντελεστής τριβής του συσσωματώματος με το οριζόντιο επίπεδο είναι μκ = 0,5 και η επιτάχυνση της βαρύτητας m/s2. Απάντηση : α) Έστω V η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Σχήμα 5 - 8. 22-0183.indd 158 1/2/2018 1:40:58 µµ  159 Συμβολίζουμε με pπριν την ορμή του συστήματος αμέσως πριν την κρούση και με pμετά την ορμή αμέσως μετά την κρούση. pπριν= pμετά Επιλέγοντας θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά (σχ. 5.8), η αρχή διατή- ρησης της ορμής γράφεται αλγεβρικά: άρα β) Η μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση είναι γ) Εφαρμόζοντας το θεώρημα έργου - ενέργειας για το συσσωμάτωμα έχουμε ή άρα Παράδειγμα 5.2 Δύο σώματα με μάζες m1= 2 kg και m2= 3 kg κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες υ1= 10 m/s και υ2= 5 m/s και κάποια στιγμή συγκρούονται πλαστικά. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώμα- τος που δημιουργείται από την πλαστική κρούση των δύο σωμάτων. Απάντηση : Έστω V η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Αν pπριν η ορμή του συστήματος αμέσως πριν την κρούση και pμετα η ορμή αμέσως μετά την κρούση θα είναι pπριν= pμετά Αναλύουμε το διάνυσμα V σε δύο συνιστώσες τη Vx κατά την διεύ- θυνση x και τη Vy κατά τη διεύθυνση y (σχ. 5.8). Όταν δύο διανύσματα είναι ίσα, είναι ίσες και οι συνιστώσες τους, επομένως pxπριν= pxμετά Σ χ ήμ α 5 - 8. pπριν= pμετά ή pyπριν= pyμετά από όπου βρίσκουμε και και και 5.5. Αδρανειακά και Μη Αδρανειακά Συστήματα Η κίνηση ενός ανθρώπου ο οποίος μετακινείται πάνω σε ένα πλοίο που πλέει κατά μήκος της ακτής δε γίνεται αντιληπτή με τον ίδιο τρό- 22-0183.indd 159 1/2/2018 1:40:58 µµ  174 μπας, σαν αυτές που χρησιμοποιούμε για να φουσκώσουμε τις μπά- λες, ένα πλαστικό μπουκάλι του λίτρου από αναψυκτικό, ένα φελλό, ένα λεπτό τρυπάνι. Ανοίξτε μια τρύπα στο φελλό με το τρυπάνι, τέτοιας διαμέτρου ώστε να περνάει η βελόνα της τρόμπας και να σφηνώνει. Γεμίστε το μπουκάλι κατά το ένα τέταρτο με νερό, κλείστε το με τον φελλό και συνδέστε το με την τρόμπα όπως στο σχήμα 5.30. Αρχίστε να τρομπά- ρετε. Ο φελλός γρήγορα θα εκτιναχθεί προς τα κάτω, ενώ το μπουκά- λι θα εκτοξευτεί προς τα πάνω. Κάντε το πείραμα σε ανοιχτό χώρο, μακριά από κτίρια και καλώδια Σ χ ήμ α 5 - 3 0. της ΔΕΗ. Την ώρα που τρομπάρετε κρατήστε μια απόσταση ασφαλεί- ας. 3. Φαινόμενο Doppler Θα χρειαστείτε : ένα ποδήλατο μια σφυρίχτρα, και.... ένα φίλο σας. Ζητήστε από το φίλο σας να περάσει από μπροστά σας οδηγώντας αργά το ποδήλατο και σφυρίζοντας συνέχεια. Παρατηρείτε κάποια μεταβολή στη συχνότητα του ήχου; Ζητήστε τώρα από το φίλο σας να επαναλάβει το ίδιο οδηγώντας όσο μπορεί πιο γρήγορα. Παρατηρείτε τώρα κάποια αυξομείωση στη Πολ ύ ε ν δ ι α φ έ ρ ο ν τ ο φ α ι ν ό μ ε - συχνότητα του ήχου; Πού οφείλεται η διαφορά ανάμεσα στην πρώτη ν ο D o p p l e r! παρατήρηση και τη δεύτερη; Ει κ ό ν α 5 - 9. Ερωτήσεις Κρούσεις 5.1 Μπορεί ένα σύστημα σωμάτων να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να έχει ορμή; Ισχύει το ίδιο και στην περίπτωση ενός σώματος; 5.2 Συμπληρώστε τα κενά: Δύο σφαίρες με μάζες m1= 2 kg και m2= 3 kg, που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις και συγκρούονται πλαστικά, έχουν πριν τη σύγκρουσή τους ταχύτητες υ1= 3 m/s και υ2= 3 m/s. Η ορμή της πρώτης σφαίρας πριν τη σύγκρουση έχει μέτρο................kg m/s και της δεύτερης................ kg m/s. Η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών πριν την κρούση έχει μέτρο................kg m/s και μετά την κρούση................kg m/s. 5.3 Ποιο από τα παρακάτω μεγέθη διατηρείται σε κάθε κρούση; α) Η κινητική ενέργεια συστήματος. β) Η μηχανική ενέργεια. γ) Η ορμή του. Επιλέξτε το σωστό. 5.4 Κατά την ελαστική κρούση δύο σωμάτων α) η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή. β) η κινητική ενέργεια κάθε σώματος παραμένει σταθερή. 22-0183.indd 174 1/2/2018 1:41:06 µµ  175 γ) η κινητική ενέργεια του συστήματος αυξάνεται. δ) η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 5.5 Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια του συστήματος α) παραμένει σταθερή. β) αυξάνεται. γ) μειώνεται. Επιλέξτε το σωστό. 5.6 Δύο σφαίρες ίσων μαζών κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία και κατά την ίδια φορά με ταχύτητες και. Αν μετά την κρούση η σφαίρα 1 έχει ταχύτητα ΄ τι συμπέ- ρασμα βγάζεται για την κρούση; Είναι ελαστική ή όχι; 5.7 Μια σφαίρα Α συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β, ίσης μάζας. Η ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση α) θα είναι ίση με την ταχύτητα που είχε πριν την κρούση. β) θα είναι αντίθετη της ταχύτητας που είχε πριν την κρούση. γ) θα είναι ίση με την ταχύτητα που θα αποκτήσει η σφαίρα Β. δ) θα μηδενιστεί. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση. 5.8 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α) Στις μετωπικές κρούσεις δύο σφαιρών οι ταχύτητες των σω- μάτων πριν και μετά την κρούση έχουν την ίδια διεύθυνση. β) Κατά την ελαστική κρούση δύο σφαιρών η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται σταθερή. γ) Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η ενέργεια του συ- στήματος μεταβάλλεται. δ) Αν η μετωπική κρούση δύο σφαιρών με ίσες μάζες είναι ελα- στική, οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες. 5.9 Σώμα μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ. Στην πορεία του συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο τοίχο. Η μεταβολή στην ορμή του σώματος έχει μέτρο: α) 0; β) mυ/2; γ) mυ; δ) 2mυ; Συστήματα αναφοράς 5.10 Ένας άνθρωπος που είναι ακίνητος μέσα σε τρένο το οποίο κι- νείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα, ρίχνει κατακόρυφα προς τα πάνω ένα μικρό αντικείμενο. Περιγράψτε την τροχιά του σώ- ματος όπως την αντιλαμβάνεται ο άνθρωπος που το έριξε και όπως την αντιλαμβάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής που βρί- σκεται στο σταθμό. 5.11 Εάν θεωρήσουμε τη Γη αδρανειακό σύστημα ποια από τα παρα- κάτω συστήματα αναφοράς είναι επίσης αδρανειακά; α) Ένα τρένο που κινείται ευθύγραμμα ομαλά. β) Ένας δίσκος που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτη- τα γύρω από άξονα που περνάει από το κέντρο του. 22-0183.indd 175 1/2/2018 1:41:06 µµ  177 β) στο σύστημα αναφοράς του παρατηρητή. γ) στο σύστημα αναφοράς του μέσου διάδοσης. Επιλέξτε το σωστό. 5.20 Στο σχήμα 5.31 το γράμμα Π αναφέρεται σε μια πηγή αρμονι- κού ήχου και το γράμμα Α στον παρατηρητή. Να συγκρίνετε σε κάθε περίπτωση τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής με τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή. Σ χ ή μ α 5 - 31. 5.21 Ένα τρένο εκπέμπει ήχο και κατευθύνεται προς τούνελ που βρί- σκεται σε κατακόρυφο βράχο. Ο ήχος που εκπέμπεται από το τρένο ανακλάται στο βράχο. α) Ο μηχανοδηγός του τρένου ακούει τον ήχο που προέρχεται από ανάκλαση με συχνότητα μεγαλύτερη μικρότερη ή ίση με τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει το τρένο; β) Ένας παρατηρητής που βρίσκεται μεταξύ του τρένου και του εμποδίου ακούει τον ήχο που προέρχεται από το τρένο και τον ήχο που φτάνει από ανάκλαση. Οι συχνότητες των δύο ήχων όπως τους αντιλαμβάνεται είναι ίσες; Αν όχι, ποιος από τους ήχους που ακούει έχει μεγαλύτερη συχνότητα; γ) Ένας παρατηρητής που βρίσκεται κοντά στις γραμμές και πίσω από το τρένο ακούει και αυτός δύο ήχους. Οι συχνό- τητες των δύο ήχων που ακούει είναι ίσες; Αν όχι, ποιος από τους ήχους έχει μεγαλύτερη συχνότητα; Ασκήσεις Κρούσεις 5.22 Βλήμα μάζας m = 0,4 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ1 = 400 m/s. Το βλήμα στην πορεία του συναντάει σώμα μάζας Μ = 2 kg που ήταν ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο, το διαπερνά και βγαίνει με ταχύτητα υ2 = 300 m/s. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του σώματος Μ, με το οριζόντιο επίπεδο είναι 0,5. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του σώματος Μ, αμέσως μετά την κρούση. β) τη μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση. 22-0183.indd 177 1/2/2018 1:41:06 µµ  178 γ) το διάστημα που θα διανύσει το Μ μέχρι να σταματήσει. Δίνεται m / s2. [Απ: ] 5.23 Σώμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ = 12 m/s συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα τριπλάσιας μάζας. Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. [Απ: 6 m/s, 6m/s αντίθετων κατευθύνσεων ] 5.24 Δύο σφαίρες με μάζες m1= 10 kg και m2= 20 kg κινούνται με αντίθετη φορά πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες και , αντίστοιχα, και συγκρούονται πλαστικά. Να βρείτε την ταχύτητα του συσσωματώματος και το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρού- ση. [Απ: 0,33 m/s, 98% ] 5.25 Σφαίρα (1) μάζας προσπίπτει με ταχύτητα σε ακίνη- τη σφαίρα (2) και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με αυτή. Μετά την κρούση η (1) κινείται με ταχύτητα μέτρου ΄. Ποια πρέπει να είναι η μάζα m2 της σφαίρας (2) ώστε α) Η ΄να είναι ομόρροπη της. β) Η ΄να είναι αντίρροπη της. [Απ: 0,5 kg, 2 kg ] 5.26 Σφαίρα μάζας που κινείται με ταχύτητα συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλη σφαίρα μάζας που κινείται αντίθετα με ταχύτητα. Να υπολογίσετε τις ταχύτητες των σωμάτων μετά τη σύγκρουση. [Απ: 8 m/s, 1 m/s ] 5.27 Σφαίρα μάζας m1 πέφτει με ταχύτητα υ1 σε ακίνητη σφαίρα μά- ζας m2 και συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με αυτή. Ποια πρέπει να είναι η σχέση μεταξύ των m1 και m2 ώστε μετά την κρούση η σφαίρα m2 να έχει μέγιστη κινητική ενέργεια; [Απ: m1 = m2 ] 5.28 Όταν ένα κινούμενο νετρόνιο συγκρουστεί με ακίνητο πυρήνα χάνει μέρος της κινητικής του ενέργειας και επιβραδύνεται. Τι ποσοστό της κινητικής του ενέργειας χάνει το νετρόνιο αν συ- γκρουστεί α) με πυρήνα πρωτίου , β) με πυρήνα δευτερίου και γ) με πυρήνα ηλίου ; Οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές. [Απ: 100%, 88,9%, 64% ] 5.29 Δύο σφαίρες με μάζες και , κινούνται στο οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες και κάθε- τες μεταξύ τους, και συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογίσετε: α) την κοινή τους ταχύτητα μετά την κρούση. β) τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος. 22-0183.indd 178 1/2/2018 1:41:06 µµ  179 [Απ: ] 5.30 Ξύλινη πλάκα με μάζα Μ = 5 kg είναι δεμένη από σκοινί και κρέμεται κατακόρυφα. Ένα βλήμα με μάζα m =50 g και οριζό- ντια ταχύτητα , χτυπά την πλάκα στο κέντρο της τη διαπερνά και βγαίνει με ταχύτητα. Η απόσταση του κέντρου της πλάκας από το σημείο όπου είναι δεμένο το σκοινί είναι l = 2 m. Πόσο θα εκτραπεί το σκοινί από την κατακόρυφη θέση; Δίνεται m / s2. Θεωρήστε ότι η πλάκα αρχίζει να κινείται όταν την έχει διαπεράσει το βλήμα. [Απ: περίπου 60ο] Κινήσεις σε αδρανειακά συστήματα 5.31 Ένα ποταμόπλοιο κινείται με ταχύτητα υ = 20 km/h ως προς το νερό. Το ρεύμα του ποταμού έχει ταχύτητα 5 km/h. Σε πόσο χρό- νο θα κάνει το ποταμόπλοιο τη διαδρομή ΑΒΑ, όπου Α και Β δυο πόλεις που απέχουν 24 km μεταξύ τους; [Απ: 2,56 h ] 5.32 Ο πιλότος ενός αεροπλάνου που κινείται βόρεια με ταχύτητα 400 m/s, αντιλαμβάνεται με το ραντάρ του ένα άλλο αεροπλά- νο που κινείται ανατολικά με ταχύτητα 300 m/s. Ποια είναι η ταχύτητα του δεύτερου αεροπλάνου ως προς τη Γη; [Απ: ] 5.33 Σε αδρανειακό σύστημα Σ ένας παρατηρητής παρατηρεί το φαι- νόμενο της κρούσης ενός σώματος μάζας m = 2 kg που κινείται κατά τη διεύθυνση x, με ταχύτητα υ = 6 m/s και συγκρούεται πλαστικά με άλλο ακίνητο σώμα μάζας Μ = 4 kg. α) Υπολο- γίστε την ταχύτητα του συσσωματώματος που προκύπτει από την κρούση, όπως τη μετράει ο παρατηρητής στο Σ. β) Δείξτε ότι και ένας παρατηρητής που κινείται κατά την διεύθυνση x με ταχύτητα u = 2 m/s, παρόλο που αντιλαμβάνεται διαφορετικά τις ταχύτητες των σωμάτων πριν και μετά την κρούση, συμφω- νεί με τον πρώτο ότι η ορμή διατηρείται. [Απ: 2 m/s ] Κέντρο μάζας - Σχετικές κινήσεις 5.34 Τρεις ομογενείς σφαίρες έχουν μάζες 20 kg, 20 kg , και 30 kg και τα κέντρα τους στα σημεία (1,1), (2,2) και (3,1) του επιπέδου xy. Να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας του συστήματος των σφαιρών. [Απ: ] 5.35 Λέμε συχνά ότι η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο. Το ακρι- βές είναι ότι η Γη και ο Ήλιος περιστρέφονται γύρω από το κέ- ντρο μάζας τους. Να βρείτε σε πόση απόσταση από το κέντρο 22-0183.indd 179 1/2/2018 1:41:07 µµ  181 αρχικά ηρεμεί. Δείξτε ότι αν η κρούση δεν είναι κεντρική, μετά την κρούση οι σφαίρες θα κινηθούν σε διευθύνσεις κάθετες με- ταξύ τους. 5.42 Ένα βλήμα με μάζα m = 50 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 200 m/s και σφηνώνεται σε ξύλο με μάζα Μ = 950 g που είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο τραπέζι (σχ. 5.32). Η σταθερά του ελα- τηρίου είναι Κ = 10000 Ν/m. Να υπολογίσετε: Σ χ ήμ α 5 - 32. α) τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου β) το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που χάθηκε. [Απ: 0,1 m, 95% ] 5.43 Ένα βλήμα με μάζα m = 20 g κινείται οριζόντια και σφηνώνεται σε κομμάτι ξύλου με μάζα Μ = 1 kg το οποίο είναι δεμένο σε κατακόρυφο σκοινί μήκους 1 m. Μετά τη σύγκρουση το νήμα εκτρέπεται από την κατακόρυφο κατά γωνία θ = 60ο. Να υπο- λογιστεί η μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση. Δίνεται m / s2. [Απ: 255 J ] 5.44 Ένα σώμα με μάζα m1 = 20 kg ισορροπεί σε πλάγιο επίπεδο με κλίση φ = 30°. Ένα δεύτερο σώμα με μάζα m2 = 30 kg που ανε- βαίνει στο πλάγιο επίπεδο, συγκρούεται πλαστικά με το πρώτο έχοντας ταχύτητα υ = 10 m/s. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ συσσωματώματος και επιπέδου είναι. Να υπο- λογίσετε το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα μέχρι να σταματήσει. Θα επιστρέψει το συσσωμάτωμα στη βάση του πλάγιου επιπέδου; Δίνεται m / s2. [Απ: 1,8 m, όχι ] 5.45 Από την κορυφή πλάγιου επιπέδου, που έχει μήκος s = 4,2 m και σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ = 30ο αφήνεται να ολισθήσει σώμα με μάζα m = 1 kg, χωρίς τριβή. Κατά την κάθο- δό του και ενώ έχει διανύσει διάστημα s1 = 1,6 m συναντά ακί- νητο σώμα της ίδιας μάζας και συγκρούεται πλαστικά με αυτό. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται από την κρούση ολισθαί- νει στο πλάγιο επίπεδο και φτάνει στη βάση του με μηδενική ταχύτητα. Να υπολογίσετε: α) το συντελεστή τριβής ολίσθησης του συσσωματώματος με το πλάγιο επίπεδο. β) τη συνολική θερμότητα που παράχθηκε κατά τη διάρκεια του φαινομένου. Δίνεται m / s2. [Απ: ] 5.46 Αερόστατο μάζας Μ αιωρείται (ισορροπεί) σε ύψος Η από το έδαφος. Από το αερόστατο κρέμεται μια ανεμόσκαλα που φτά- 22-0183.indd 181 1/2/2018 1:41:07 µµ  182 νει μέχρι το έδαφος. Στο κάτω άκρο της ανεμόσκαλας στέκει ένας άνθρωπος με μάζα m. Αν ο άνθρωπος αρχίσει να σκαρ- φαλώνει, υπολογίστε πόσο θα κατέβει το αερόστατο μέχρι να φτάσει σ’ αυτό. Δίνονται Μ, m, Η. [Απ: ] 5.47 Σώμα μάζας m1 έχει ταχύτητα υo και προσκρούει σε ακίνητο σώμα μάζας m2 = 2m1 που βρίσκεται σε απόσταση x = 1 m (σχ. 5.33). Μετά την κρούση, που είναι ελαστική, το πρώτο σώμα επιστρέφει και σταματά στην αρχική του θέση. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των δυο σωμάτων με το δάπεδο είναι μ = 0,5. Σ χ ήμ α 5 - 33. Να υπολογίσετε: α) την αρχική ταχύτητα υο του πρώτου σώματος. β) το διάστημα που θα διανύσει το δεύτερο σώμα μέχρι να στα- ματήσει. Δίνεται m / s2. [Απ: 10 m/s, 4 m ] 5.48 Ελατήριο σταθεράς Κ = 200 N/m βρίσκεται πάνω σε λείο πλά- γιο επίπεδο, με κλίση φ = 30o όπως στο σχήμα 5.34 Στο πάνω άκρο του ελατηρίου ισορροπεί σώμα με μάζα m2 = 1 kg ενώ το κάτω άκρο του είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Από το σημείο Α που απέχει απόσταση l = 4 m από το m2 αφήνε- ται να ολισθήσει σώμα μάζας m1 = m2/3. Το m1 κατεβαίνοντας Σ χ ήμ α 5 - 3 4. συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το m2. Να υπολογιστεί σε πόση απόσταση από το σημείο της σύγκρουσης οι ταχύτητες των m1 και m2 στιγμιαία θα μηδενιστούν. Δίνεται m / s2. [Απ: , ] 5.49 Το σώμα Σ2 του σχήματος 5.35 έχει μάζα m2 = 4 kg και βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο Σ2 βρίσκεται δεύτε- ρο σώμα Σ1 που έχει μάζα m1 = 950 g. Το επίπεδο επαφής των σωμάτων Σ1, Σ2 είναι οριζόντιο και ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι μ = 0,5. Στο Σ1 σφηνώνεται ένα βλήμα, μάζας mB = 50 Σ χ ήμ α 5 - 3 5. g που κινείται με οριζόντια ταχύτητα υΒ = 100 m/s. Η χρονική διάρκεια της κρούσης του βλήματος με το σώμα Σ1 θεωρείται αμελητέα. α) Ποια είναι η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα σώματα Σ1, Σ2; β) Πόση, συνολικά, θερμότητα μεταφέρεται στο περιβάλλον; γ) Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή της κρούσης τα σώματα Σ1 και Σ2 αποκτούν κοινή ταχύτητα; δ) Πόσο μετακινήθηκε το Σ1 πάνω στο σώμα Σ2 μέχρι τη στιγμή αυτή; Δίνεται m / s2. [Απ: 1 m/s, 247,5 J, 0,8 s, 2 m ] 5.50 Σε οριζόντιο δρόμο κινείται άνθρωπος με ταχύτητα υ1 κρατώ- 22-0183.indd 182 1/2/2018 1:41:07 µµ