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# Funciones Vectoriales de Variable Real ### Motivación Las funciones vectoriales de variable real nos permiten describir curvas y superficies en el espacio. **Ejemplo:** La posición de un objeto en el espacio en función del tiempo. $\qquad r(t) = (x(t), y(t), z(t)), \quad t \in I \subseteq \ma...

# Funciones Vectoriales de Variable Real ### Motivación Las funciones vectoriales de variable real nos permiten describir curvas y superficies en el espacio. **Ejemplo:** La posición de un objeto en el espacio en función del tiempo. $\qquad r(t) = (x(t), y(t), z(t)), \quad t \in I \subseteq \mathbb{R}$ ### Definición Una función vectorial de variable real es una función que asigna a cada número real $t$ un vector en $\mathbb{R}^n$: $\qquad \begin{aligned} r: I &\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n \\ t &\mapsto r(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t)) \end{aligned}$ donde $f_i: I \to \mathbb{R}$ son funciones reales de variable real, llamadas **funciones componentes** de $r$. ### Límite El límite de una función vectorial $r(t)$ cuando $t$ tiende a $t_0$ es el vector cuyos componentes son los límites de las funciones componentes de $r(t)$, siempre que estos límites existan: $\qquad \lim_{t \to t_0} r(t) = (\lim_{t \to t_0} f_1(t), \lim_{t \to t_0} f_2(t),..., \lim_{t \to t_0} f_n(t))$ ### Continuidad Una función vectorial $r(t)$ es continua en $t_0$ si y solo si: * $r(t_0)$ está definido. * $\lim_{t \to t_0} r(t)$ existe. * $\lim_{t \to t_0} r(t) = r(t_0)$. Equivalentemente, $r(t)$ es continua en $t_0$ si y solo si todas sus funciones componentes son continuas en $t_0$. ### Derivada La derivada de una función vectorial $r(t)$ se define como: $\qquad r'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{r(t+h) - r(t)}{h}$ Si existen las derivadas de las funciones componentes de $r(t)$, entonces: $\qquad r'(t) = (f_1'(t), f_2'(t),..., f_n'(t))$ **Notación:** $\qquad r'(t) = \frac{dr}{dt}$ ### Propiedades de la Derivada Sean $r(t)$ y $u(t)$ funciones vectoriales derivables, $f(t)$ una función escalar derivable y $c$ un escalar. Entonces: 1. $\frac{d}{dt} [r(t) + u(t)] = r'(t) + u'(t)$ 2. $\frac{d}{dt} [c r(t)] = c r'(t)$ 3. $\frac{d}{dt} [f(t) r(t)] = f'(t) r(t) + f(t) r'(t)$ 4. $\frac{d}{dt} [r(t) \cdot u(t)] = r'(t) \cdot u(t) + r(t) \cdot u'(t)$ 5. $\frac{d}{dt} [r(t) \times u(t)] = r'(t) \times u(t) + r(t) \times u'(t)$ 6. $\frac{d}{dt} [r(f(t))] = r'(f(t)) f'(t)$ (Regla de la cadena) ### Integral La integral de una función vectorial $r(t)$ se define como: $\qquad \int r(t) dt = (\int f_1(t) dt, \int f_2(t) dt,..., \int f_n(t) dt) + C$ donde $C$ es un vector constante de integración. **Integral Definida:** $\qquad \int_a^b r(t) dt = (\int_a^b f_1(t) dt, \int_a^b f_2(t) dt,..., \int_a^b f_n(t) dt)$ ### Longitud de Arco La longitud de arco de una curva descrita por la función vectorial $r(t)$ desde $t = a$ hasta $t = b$ es: $\qquad L = \int_a^b ||r'(t)|| dt = \int_a^b \sqrt{(f_1'(t))^2 + (f_2'(t))^2 +... + (f_n'(t))^2} dt$ ### Parametrización con Longitud de Arco La parametrización con longitud de arco es una forma de parametrizar una curva de tal manera que la longitud del vector tangente unitario sea siempre 1. Si $r(t)$ es una parametrización de una curva, entonces la parametrización con longitud de arco es: $\qquad r(s) = r(t(s))$ donde $s$ es la longitud de arco y $t(s)$ es la función inversa de: $\qquad s(t) = \int_a^t ||r'(u)|| du$