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# Algèbre Linéaire ## Espaces vectoriels ### Définition Un espace vectoriel est un ensemble $E$ non vide muni de deux lois: - Loi interne: $+: E \times E \rightarrow E$ - $(x, y) \mapsto x + y$ - Loi externe: $\cdot: \mathbb{K} \times E \rightarrow E$ - $(\lambda, x) \mapsto \lambda \cdo...

# Algèbre Linéaire ## Espaces vectoriels ### Définition Un espace vectoriel est un ensemble $E$ non vide muni de deux lois: - Loi interne: $+: E \times E \rightarrow E$ - $(x, y) \mapsto x + y$ - Loi externe: $\cdot: \mathbb{K} \times E \rightarrow E$ - $(\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x$ Vérifiant les propriétés suivantes: 1. $(E, +)$ est un groupe abélien (commutatif) - Associativité: $\forall x, y, z \in E, (x + y) + z = x + (y + z)$ - Élément neutre: $\exists 0_E \in E, \forall x \in E, x + 0_E = 0_E + x = x$ - Élément opposé: $\forall x \in E, \exists y \in E, x + y = y + x = 0_E$. On note $y = -x$ - Commutativité: $\forall x, y \in E, x + y = y + x$ 2. La loi externe vérifie: - $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall x \in E, (\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$ - $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x, y \in E, \lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$ - $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}, \forall x \in E, (\lambda \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)$ - $\forall x \in E, 1_{\mathbb{K}} \cdot x = x$ ### Exemples * $\mathbb{R}^n$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. * $\mathbb{C}^n$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. * L'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, noté $C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. * L'ensemble des polynômes à coefficients réels, noté $\mathbb{R}[X]$, est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. ### Sous-espace vectoriel Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Un sous-ensemble $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si: - $F \neq \emptyset$ - $\forall x, y \in F, x + y \in F$ - $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in F, \lambda \cdot x \in F$ #### Caractérisation $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si: - $0_E \in F$ - $\forall x, y \in F, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \lambda x + y \in F$ ### Combinaisons linéaires Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. - Soient $x_1,..., x_n \in E$. On appelle combinaison linéaire de $x_1,..., x_n$ tout vecteur de la forme $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i$ où $\lambda_i \in \mathbb{K}$. - Soit $A \subset E$. On appelle espace vectoriel engendré par $A$, noté $Vect(A)$, l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies d'éléments de $A$. C'est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $A$. ### Somme de sous-espaces vectoriels Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. - On appelle somme de $F$ et $G$, noté $F + G$, l'ensemble des vecteurs de la forme $x + y$ où $x \in F$ et $y \in G$. C'est un sous-espace vectoriel de $E$. $$F + G = \{x + y \mid x \in F, y \in G \}$$ - On dit que la somme de $F$ et $G$ est directe, notée $F \oplus G$, si tout vecteur de $F + G$ s'écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$. Cela équivaut à $F \cap G = \{0_E\}$. - On dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = F \oplus G$.