Werkcollege 1 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 PDF

Werkcollege 1 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 Meting, grootheden, eenheden, schatting, modellen. Dimensionele analyse. Bewegingen in één dimensie Opgave 1: Grootheden en eenheden. Meting en onzekerheid, significante cijfers. Modellen en schattingen. Dimensionele ana...

Werkcollege 1 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 Meting, grootheden, eenheden, schatting, modellen. Dimensionele analyse. Bewegingen in één dimensie Opgave 1: Grootheden en eenheden. Meting en onzekerheid, significante cijfers. Modellen en schattingen. Dimensionele analyse (a) Grootheden, systemen van eenheden en conversiefactoren mv 2 De kinetische energie van een puntmassa wordt gegeven door K  , waarin m de massa en v de 2 snelheid van deze puntmassa zijn. 1) Wat is de eenheid van energie in termen van de fundamentele SI-eenheden? 2) Geef de eenheid van energie in het CGS-systeem waarin de centimeter, de gram en de seconde de standaard eenheden van respectievelijk lengte, massa en tijd zijn. (CGS=Centimeter Gram Seconde). Wat is de conversiefactor tussen de eenheid van energie in het CGS-systeem en in het SI-systeem? 3) De impuls van een puntmassa wordt gegeven door p  mv , waarin m de massa en v de snelheid van deze puntmassa zijn. Schrijf de uitdrukking van de kinetische energie K van een puntmassa in termen van de massa m en de impuls p. (b) Significante cijfers en onzekerheid Een rechthoekige plaat heeft een lengte van 21,3  0,2 cm en een breedte van 9,8  0,1 cm. Bereken de oppervlakte van deze plaat, inclusief de onzekerheid. (c) Gemiddelde afstand tussen naburige atomen in vaste stoffen g kg De molaire massa van koper is M  63,5. De dichtheid van koper is gelijk aan 8920 3. mol m 1) Bepaal de massa van het koperatoom. 2) Bepaal het aantal atomen in 1 cm3 koper. 3) Schat de afstand tussen naburige atomen in koper. (d) Schattingen op basis van gezond verstand (problemen van Fermi) Een bekende uitspraak is dat er meer sterren in het heelal zijn dan zandkorrels in de Sahara. Maar is dat wel zo? Reken eens uit hoeveel sterren er in het heelal zijn, uitgaande van ongeveer 100 miljard sterrenstelsels zoals de Melkweg met elk zo'n 200-400 miljard sterren en een Sahara met afmetingen van 3000 kilometer bij 1000 kilometer en 10 meter diep zand. (e) Dimensies van fysische grootheden Fysische grootheden hebben dimensies. De dimensie van een fysische grootheid Q wordt genoteerd als Q. Lengte, tijd en massa zijn de fundamentele fysische grootheden van de mechanica, die we aangeven met, respectievelijk, L , T en M. Dan wordt de dimensie van een oppervlak gegeven als A  L2 , de dimensie van een volume als V   L3 , de dimensie van dichtheid als    M  ML3 , L3 de dimensie van snelheid als v   L  LT 1 , etc. T 1) Moeten twee grootheden dezelfde dimensies hebben als ze 1a) bij elkaar opgeteld worden, 1b) met elkaar vermenigvuldigd worden, 1c) van elkaar afgetrokken worden, 1d) op elkaar gedeeld worden, 1e) aan elkaar gelijk gesteld worden? 2) Geef de dimensies van versnelling, kracht, druk, impuls en energie in termen van L , T en M. (f) Toepassing van dimensionale analyse voor de afleiding van formules Een speld, die uit een klein hard bolletje met massa m en een massaloze staaf met lengte l bestaat, roteert met lineaire snelheid v in een cirkelvormige baan (zie Figuur 1.1). Bepaal met behulp van de dimensionele analyse, of, en zo ja hoe, de centripetale versnelling van het bolletje afhangt van de massa, de lengte en lineaire snelheid. l m  v Figuur 1.1 Opgave 2: Basisbegrippen van de kinematica: positie, baan, afgelegde afstand, verplaatsing, gemiddelde en momentane snelheid, gemiddelde en momentane versnelling (a) De avonturen van één schildpad 1) Een schildpad kruipt op een ronde tafel. Teken een mogelijke baan van de schildpad, indien 1a) de afgelegde afstand drie keer groter is dan de absolute waarde van de verplaatsing;  1b) de afgelegde afstand keer groter is dan de absolute waarde van de verplaatsing; 2 1c) de afgelegde afstand 2 keer groter is dan de absolute waarde van de verplaatsing. 2) Deze ronde tafel wordt met een constante hoeksnelheid gedraaid. De schildpad beweegt met een constante snelheid van het centrum van de roterende tafel langs zijn straal naar de rand. Schets de baan van de schildpad in het referentieframe verbonden met de aarde en in het referentieframe verbonden met de tafel. 3) Figuur 1.2 toont de opeenvolgende posities A, B, C , D van de schildpad op een vlak oppervlak na gelijke tijdsintervallen. y, cm 2 C 1 A -2 -1 0 1 2 x, cm -1 B D Figuur 1.2 3a) Teken de verplaatsingsvectoren voor elk van deze tijdsintervallen.  3b) Wat zijn de absolute waarden van de verplaatsingsvector s  s en de projecties s x , s y voor elk tijdsinterval en voor gehele duur van de beweging? 3c) Wat is de afstand die door de schildpad afgelegd wordt? 4) De schildpad beweegt langs een rechte lijn in één richting. In Figuur 1.3 wordt een grafiek van de afgelegde afstand S versus tijd gegeven. Bepaal met behulp van deze grafiek: 4a) de gemiddelde snelheid van de schildpad gedurende het tijdsinterval 0s,24 s  ; 4b) de maximale instantane snelheid. S, m 2 1 0 t, s 10 20 Figuur 1.3 5) De schildpad start vanuit rust en beweegt langs een rechte lijn. Een grafiek van v x versus t wordt in Figuur 1.4 getoond. Bepaal met behulp van deze grafiek: 5a) de gemiddelde versnelling van de schildpad voor het tijdsinterval 0, 6 s  ; 5b) de grootste positieve waarde van de versnelling; 5c) de tijdstippen waarop de versnelling gelijk aan nul is. m vx , s 0,20 0,12 0,04 t, s 0 2 4 6 8 10 Figuur 1.4 6) De schildpad loopt van punt O langs een rechte lijn, zodat haar snelheid omgekeerd evenredig met de afstand tot punt O is. In het punt A , waarin de schildpad zich op de afstand van l1  2 m tot cm punt O bevindt, is haar snelheid gelijk aan v1  20. Hoeveel tijd heeft de schildpad nodig om s van het punt A naar het punt B , dat op een afstand l2  4 m tot punt O ligt, te komen. (b) Gemiddelde snelheid km Een bus rijdt de eerste helft van de afgelegde afstand met een snelheid v1  50 en de tweede helft h km van de afgelegde afstand met een snelheid van v2  70. Een tweede bus rijdt gedurende de h km eerste helft van de bewegingstijd met een snelheid v1  50 en gedurende de tweede helft van de h km bewegingstijd met een snelheid van v2  70. Bepaal de gemiddelde snelheid van elk van deze h twee bussen. (c) Optellen van snelheden Indien een persoon op een bewegende roltrap stil staat dan duurt de beklimming naar boven t1  1 minuut. Indien de roltrap niet beweegt en de persoon zelf naar boven loopt, dan duurt het t 2  3 minuten. Hoeveel tijd zou de beklimming duren indien de persoon op de bewegende roltrap zelf ook naar boven loopt? Opgave 3: Eenparig versnelde lineaire beweging, verticale beweging dichtbij het aardoppervlak, vrije val (a) Een bal die verticaal omhoog gegooid wordt m Een bal wordt verticaal omhoog vanaf de grond gegooid met een snelheid van v y  8,00. s Onder verwaarlozing van de luchtweerstand, bepaal zonder berekening te doen: 1) de snelheid en de versnelling van de bal indien de bal zijn hoogste punt bereikt, 2) de snelheid en de versnelling van de bal bij landing. (b) Beweging met een constante versnelling Een puntmassa beweegt langs de x - as en de positie als functie van de tijd (in secondes) wordt gegeven door xt   4,5  10t  2t 2 , m. 1) Schrijf de formule volledig uit met alle eenheden voor de coëfficiënten. 2) Onderzoek de functie x  xt  en beschrijf de baan van de puntmassa. 3) Bepaal de positie op t  0 s en t  2 s. Wanneer is de positie gelijk aan nul? 4) Bepaal de afgelegde afstand s en de verplaatsing x in het tijdsinterval 0 s,5s . 5) Bepaal vx  vx t . Bepaal v x op de tijdstippen t  0 s , t  2 s en t  4 s. 6) Bepaal de gemiddelde snelheid v xavg en “de langs het pad gemiddelde snelheid” vavg tussen t  0 s en t  5 s. 7) Bepaal a x  a x t . Bepaal a x op de tijdstippen t  0 s , t  2 s en t  4 s. (c) De eerste en de laatste meter van de vrije val, de eerste en de laatste seconde van de vrije val Een lichaam valt van een hoogte van 100 m zonder beginsnelheid. Hoe lang doet dit lichaam over de eerste meter en hoe lang doet dit lichaam over de laatste meter van de vrije val? Welke afstand heeft dit lichaam afgelegd gedurende de eerste seconde en welke afstand heeft dit lichaam afgelegd gedurende de laatste seconde van de beweging? Vind de gemiddelde snelheid van het vallen voor het laatste kwart van de afgelegde afstand. (d) Verticale beweging dichtbij het aardoppervlak Twee ballen worden tegelijkertijd van een toren van een hoogte van h0 gegooid: de eerste bal recht naar boven met beginsnelheid v01 , de tweede bal recht naar beneden met beginsnelheid v02. Bepaal: 1) de afstand tussen deze twee ballen als functie van de tijd; 2) het tijdsinterval t tussen de momenten van de vallen van de ballen op de grond. Opgave 4: Grafische analyse van lineaire beweging (a) Grafische analyse van eenparige lineaire beweging Een puntmassa beweegt langs de x - as. De snelheid v x van de puntmassa verandert met de tijd zoals in Figuur 1.5 wordt getoond. Op tijdstip t0  0 is de positie van de puntmassa x0  1 m. 1) Geef de bewegingsvergelijking voor deze puntmassa. 2) Teken de grafieken van de positie x en de afgelegde afstand s versus de tijd. 3) Vind de grootte van de verplaatsing x en de afgelegde afstand s tijdens de eerste twee seconden van de beweging. m vx , s 2 1 t, s 0 1 2 3 4 5 -1 Figuur 1.5 (b) Grafische analyse van eenparig versnelde lineaire beweging Een puntmassa beweegt langs de x - as met een snelheid v x die van de tijd afhangt zoals in Figuur 1.6 wordt aangegeven. m vx , s 4 2 0 t, s 1 3 5 7 9 -2 Figuur 1.6 Aangenomen dat op tijdstip t  0 s de positie x0  x0  2 m is, 1) schrijf de bewegingsvergelijking van deze puntmassa;  2) teken de grafieken van de versnelling a x  a x t  , de grootte van de snelheid v  v  vt  , de positie x  xt  en de afgelegde afstand s  st  als functie van de tijd. Marina Katsnelson  Werkcollege 2 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 Vectoren en bewerkingen met vectoren. Bewegingen in twee dimensies: normale en tangentiële versnelling. Projectiel beweging. Cirkelbeweging. Relatieve beweging Opgave 1: Vectoren en bewerkingen met vectoren (a) Coördinatenstelsels 1) De rechthoekige coördinaten van een punt worden gegeven door (x, 3 ) en de polaire coördinaten van hetzelfde punt zijn (2,  . Bepaal: a) de waarde van x ; b) de waarde van . 2) Twee punten in een vlak hebben polaire coördinaten (2,50 m; 30,0) en (3,80 m; 120,0). Bepaal: a) de Cartesische coördinaten van deze punten, b) de afstand tussen deze punten. (b) Sommige eigenschappen van vectoren. Eenheidsvectoren en componenten van een vector     1) Een vector wordt gegeven door R  4i  6 j  3k. Bepaal:  1a) de grootte van de x, y en z componenten; 1b) de grootte van R ;  1c) de hoeken die deze vector R maakt met de x, y en z assen.       2) Gegeven de vectoren A  2,00i  6,00 j en B  3,00i  2,00 j.       2a) Teken de somvector C  A  B en het verschil van de twee vectoren D  A  B.   2b) Druk C en D uit in termen van eenheidsvectoren.   2c) Bereken C en D in termen van polaire coördinaten met de polaire hoeken gemeten ten opzichte van de positieve x -as. (c) Scalair product of inproduct van vectoren     1) Laat zien dat A  B  Ax B x  Ay B y  Az B z voor elke twee vectoren A en B.             2) Gegeven de drie vectoren A  2i  4 j  3k , B  3i  2 j  5k en C  4i  6 j  2k. Bepaal             2a) A  B ; 2b) C  A  B ; 2c) de hoek tussen A en B ; 2d) de hoek tussen C en A  B.  3) Beschouw de vector B met een lengte van 5,00 m die een hoek van 60,0 maakt met de positieve   x -as. De vector C heeft dezelfde lengte als vector A en maakt een hoek met de positieve x -as die    25 groter is dan de hoek die vector A maakt met de positieve x -as. Laat A  B  30,0 m2 en    B  C  35,0 m 2. Vind de lengte en de richting van de vector A. Opgave 2: De positie-vector, snelheidsvector en versnellingsvector. Tangentiële en radiale (normale) versnelling km (a) De snelheidsmeter van een auto geeft permanent de snelheid van 60 aan. Kunnen we h concluderen dat de versnelling van de auto gelijk aan nul is? (b) De positie-vector van een puntmassa is afhankelijk van de tijd volgens de uitdrukking    r t   3ti  2t 2 j , m. 1) Bepaal: 1a) de baanvergelijking y  f x  van de puntmassa;     1b) de snelheidsvector en de versnellingsvector als functies van de tijd: v  v t  , a  a t . 2) Bereken: 2a) de radiale, tangentiële en totale versnellingen van de puntmassa op tijdstip t  1 s ; 2b) de kromtestraal van de baan op tijdstip t  1 s ; 2c) de hoek tussen snelheidsvector en de versnellingsvector op tijdstip t  1 s. Opgave 3: Projectiel beweging (a) Een projectiel vliegt uit een kanon, dat zich op de hoogte h0 bevindt. De beginsnelheid van het projectiel is gelijk aan v0 en maakt en hoek  met het horizontale vlak. Onder verwaarlozing van de luchtweerstand, bepaal: 1) de valtijd van het projectiel; 2) de afgelegde afstand in x - richting (het horizontale bereik); 3) de snelheid van het projectiel bij het neerkomen en de hoek tussen de snelheidsvector en de positieve richting van de x -as (invalhoek); 4) de maximale hoogte van het projectiel; 5) de baanvergelijking; 6) de kromtestraal van de baan op het hoogste punt van de baan en op het punt van landing. (b) Een object dat horizontaal wordt geworpen m Een steen, die vanaf de berg horizontaal met een initiële snelheid v0  15 gegooid wordt, landt op s de grond onder een hoek   60 met het horizontale vlak. 1) Bepaal de hoogte van de berg. 2) Op welk tijdstip maakt de snelheidvector van de steen een hoek   45 met het horizontale vlak? Bepaal de grootte van de snelheidsvector op dit tijdstip. 3) Bepaal de kromtestraal van de baan van de steen op dit moment. 4) Bepaal de normale en tangentiële versnelling van de steen op dit tijdstip? Luchtweerstand kan verwaarloosd worden. Opgave 4: Cirkelbeweging (a) Snelheid en versnelling van de punten op het aardoppervlak Bepaal de snelheid en versnelling van de punten op het aardoppervlak in Nijmegen door de rotatie van de Aarde. De geografische coördinaten van Nijmegen zijn: de noorderbreedte is 52 , de oosterlengte is 6. De straal van de Aarde is gelijk aan R  6400 km. (b) Een cirkelvormige baan cm Een puntmassa begint met een tangentiële versnelling a  2 te bewegen langs een cirkelbaan s2 van de straal R  10 cm. Bepaal: 1) het tijdstip vanaf het begin van de beweging waarop de radiale versnelling n  3 keer groter is dan de tangentiële versnelling; 2) de snelheid van de puntmassa op dit tijdstip; 3) de totale versnelling van de puntmassa op dit tijdstip; 4) de hoek tussen de vector van de totale versnelling en de radiale richting op dit moment. Opgave 5: Relatieve beweging (a) Het kruispunt   Twee schildpadden kruipen met constante snelheden v1 en v2 op paden die loodrecht op elkaar staan. Op t  0 s , wanneer de eerste schildpad het kruispunt bereikt, is de afstand van de tweede schildpad tot aan het kruispunt gelijk aan l (zie Figuur 2.1). Op welke tijd t is de afstand tussen de schildpadden het kleinst? Vind deze afstand smin.  v1  v2 l Figuur 2.1 (b) Een hoepel die met slippen rolt Een hoepel rolt met slippen op een horizontaal oppervlak (zie Figuur 2.2). Op een bepaald moment m m zijn de snelheden van het bovenste punt A v A  9 en van het laagste punt B vB  3 ten s s opzichte van een stilstaande waarnemer. Bepaal op dit tijdstip de snelheden (grootte en richting) van de punten C en D. De lijn CD gaat door het centrum van de hoepel en staat loodrecht op de lijn AB.  A  vA C D  vB B Figuur 2.2 (c) Een schijf die zonder slippen rolt  Een massieve schijf met straal R rolt zonder slippen met een constante snelheid v op een horizontaal oppervlak (zie Figuur 2.3). Bepaal de grootte en de richting van de snelheidsvector en van de versnellingsvector voor de punten A, B, C, D ten opzichte van een stilstaande waarnemer. C  B O v D A Figuur 2.3 Marina Katsnelson  Werkcollege 3 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 Basisbegrippen van dynamica. De wetten van Newton. De wet van Hooke. Statische en kinetische wrijving Opgave 1: De begrippen kracht, gravitatiekracht en gewicht, de eerste wet van Newton (traagheidswet) en inertiële referentiesystemen, de tweede wet van Newton, de derde wet van Newton (a) Wat geeft de veerschaal (dynamometer) aan? 5,00 kg 5,00 kg 5,00 kg 5,00 kg (a) (b) 5,00 kg 30 5,00 kg 5,00 kg (c) (d) Figuur 3.1 De systemen in Figuur 3.1 zijn in evenwicht. De veerschalen worden gekalibreerd in newtons. Wat geef de veerschaal (dynamometer) aan in elk van de gevallen die in Figuur 3.1 zijn getoond? Negeer de massa van de katrollen en de koorden. De katrollen en de helling zijn wrijvingsloos. (b) De traagheidswet Het referentiesysteem is vast verbonden met een lift. In welke gevallen kan dit referentiesysteem als inertiëel worden beschouwd? De lift 1) is in vrije val; 2) beweegt eenparig naar boven; 3) beweegt naar boven met een constante versnelling; 4) beweegt naar beneden met een constante versnelling; 5) beweegt eenparig naar beneden; 6) blijft in rust. (c) Waarom trekt het paard de slee vooruit, en niet de slee het paard achteruit? Een paard trekt een slee met een horizontale kracht. Volgens de derde wet van Newton oefent de slee een gelijke en tegengestelde kracht op het paard uit. Waarom trekt toch het paard de slee vooruit, en niet de slee het paard achteruit (zie Figuur 3.2)? Figuur 3.2 (d) Gravitatiekracht en gewicht Bepaal het gewicht van de koffer van de massa m  20 kg die op de bodem van de lift staat (zie Figuur 3.3) indien 1) de lift ten opzichte van de grond in rust is; m 2) de lift met snelheid v  2 verticaal naar boven beweegt; s m 3) de lift met versnelling a  2,8 2 verticaal naar boven beweegt; s 4) de lift met versnelling a  2,8 2 verticaal naar beneden beweegt a  g  ; m s m 5) de lift met versnelling g  9,8 2 verticaal naar beneden beweegt. s     v 0 v a a  g 1) 2) 3) 4) 5) Figuur 3.3 (e) Basis begrippen van de dynamica 1) De drie krachten die op een object met een massa m  0,50 kg uitgeoefend worden, worden gegeven door        F1  3,00i  3,00 j N , F2   2,00i  4,00 j  N en F3  6,00i  N.    1a) Wat is de grootte en de richting van de versnelling? 1b) Wat is de grootte van de snelheid van het object op t  3,0 s indien het object aanvankelijk in rust is? 1c) Wat zijn de componenten van de snelheidsvector van het object op t  3,0 s ? 2) Een deeltje beweegt langs de x -as en de positie van het deeltje verandert met de tijd volgens xt   t 2  t 3 , waarin  en  positieve constanten zijn. Op het tijdstip t  0 is de kracht die op het deeltje uitgeoefend wordt, gelijk aan Fx 0  F0. Bepaal de grootte van de kracht Fx in de omkeerpunten en op het tijdstip wanneer het deeltje wederom het punt x  0 zal passeren. Opgave 2: Toepassing van de tweede wet van Newton wanneer wrijving afwezig is (a) Objecten op een horizontaal oppervlak, verbonden door een draad Drie lichamen met de massa's m1 , m2 en m3 , verbonden door massaloze starre draden, bewegen op  een glad horizontaal oppervlak onder invloed van de kracht F (zie Figuur 3.4). Vind de spanning in de draden en de versnelling van de lichamen. m1 m2 m3  F Figuur 3.4 (b) De Atwood machine Aan de uiteinden van een draad die over een katrol hangt zijn twee lichamen met massa's m1  m2  m  96 g bevestigd (zie Figuur 3.5). Oorspronkelijk hangen de massa’s stil op dezelfde hoogte. Als een kleine massa m op het lichaam m2 wordt gezet dan begint het systeem te bewegen, en na de tijd t  3 s is de afstand tussen de lichamen gelijk aan h  1,8 m. Bepaal de versnelling van de lichamen, de spanning in de draad, de drukkracht die de kleine massa m op het lichaam m2 uitoefent, en de drukkracht op de as van de katrol. De draad is massaloos en niet rekbaar, de katrol is massaloos. Wrijving in de katrol kan verwaarloosd worden.  m1 m1 m2 m m2 Figuur 3.5 Opgave 3: Veerconstante, de wet van Hooke (a) Veerconstante 1) De veerconstante van een veer is gelijk aan k. Wat is de veerconstante van de helft van deze veer? 2) De veerconstanten van twee veren zijn k1 en k 2. Wat is de veerconstante van het systeem van deze twee veren indien 2a) deze veren in serie verbonden worden (zie Figuur 3.6 (a)); 2b) deze veren parallel verbonden worden (zie Figuur 3.6 (b)). k1 k2 k2 k1 (a) (b) Figuur 3.6 (b) De wet van Hooke Op een ondersteuning staat een object met de massa m , dat door een lichte veer met veerconstante k aan het plafond is vastgemaakt. Op het beginmoment is de veer niet uitgerekt. De ondersteuning begint te vallen met een versnelling a. Op welk tijdstip  zal het object los van de ondersteuning komen? Opgave 4: Toepassing de tweede wet van Newton wanneer wrijving aanwezig is (a) Statische en kinetische wrijving Een object met massa m ligt op een vlak, waarvan de hellingshoek  kan worden gevarieerd van 0 tot 90. Als het object glijdt dan is de wrijvingscoëfficiënt gelijk aan . Teken een schets van de wrijvingskracht als functie van de hellingshoek van het vlak. Neem aan dat de kinetische wrijvingscoëfficiënt gelijk is aan de maximale waarde van de statische wrijvingscoëfficiënt. (b) Bepaal de versnelling van de lichamen met de massa's m1  1,5 kg en m2  0,5 kg in het systeem dat in Figuur 3.7 wordt weergegeven. De wrijvingscoëfficiënt tussen het lichaam m1 en het oppervlak is gelijk aan   0,1. Wrijving in de katrol kan worden genegeerd en zowel de katrol als de draad zijn massaloos. De grootte van de kracht is F  10 N. De hoek  is gelijk aan 30.  F m1  m2 Figuur 3.7 (c) Objecten op een hellend oppervlak Een massa m1 die zich op een hellend oppervlak bevindt wordt door een massaloze, niet rekbare draad verbonden met een massa m2 via twee katrollen zoals in Figuur 3.8 getoond. De hellingshoek van het hellende oppervlak is gelijk aan . De wrijvingscoëfficiënt tussen de massa m1 en het hellende oppervlak is gelijk aan . Wrijving in de katrollen kan verwaarloosd worden. Het systeem beweegt “naar rechts”, dat wil zeggen dat de massa m1 langs het hellend oppervlak naar boven beweegt terwijl de massa m2 omlaag getrokken wordt. 1) Teken de krachtendiagrammen voor de massa’s m1 en m2. 2) Bepaal de versnelling van beide massa’s en de spanning in de draad. m2 3) Waaraan moet de massaverhouding voldoen zodat het systeem “naar rechts” beweegt? m1 m1  m2 Figuur 3.8 Marina Katsnelson  Werkcollege 4 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 Dynamica van cirkelbeweging. Beweging in versnelde referentiesystemen: schijnkrachten. Weerstandskrachten Opgave 1: Uniforme cirkelbeweging (a) Een conische slinger Een bolletje met massa m hangt aan een massaloze, niet rekbare draad van lengte l in een uniform gravitatieveld (Figuur 4.1). Het bolletje beweegt langs een cirkelbaan in het horizontale vlak met een constante snelheid v waarbij de draad een constante hoek  met de verticaal maakt (een conische slinger). Bepaal de bewegingsperiode van het bolletje langs de cirkelbaan in termen van de draadlengte l , de hoek  die de draad met de verticaal maakt, en de valversnelling g. Geef ook de uitdrukking voor de bewegingsperiode in het geval van een kleine hoek .   l g m Figuur 4.1 (b) Op een horizontale schijf met een straal van R  50 cm die om een verticale as kan roteren ligt de puck met een massa van m  200 g. De puck wordt door een lichte veer van de onvervormde lengte van l0  25 cm verbonden met de as van de schijf (Figuur 4.2). Bepaal de veerconstante wanneer de veer tot l0  l  27 cm uitgerekt wordt als de snelheid van een punt op de rand van de schijf gelijk m aan v  1,8 is. De wrijvingscoëfficiënt tussen de puck en het oppervlak van de schijf is gelijk aan s   0,25. R m Figuur 4.2 Opgave 2: Niet-uniforme cirkelbeweging (a) Een auto op een convexe (concave) brug km Een auto met een massa van m  3,3 ton rijdt met een snelheid van v  54 langs een convexe h brug die de vorm heeft van een boog van een cirkel met een straal R  75 m. Bepaal de kracht die de auto op het midden van de brug uitoefent. Welke kracht zou de auto uitoefenen op het midden van een concave brug met dezelfde kromtestraal? (b) Een rollercoaster Een rollercoaster in het Six Flags Great America pretpark in Gurnee, Illinois, maakt gebruik van slimme ontwerptechnologie en van de basiswetten van de natuurkunde. Elke verticale lus heeft de vorm van een traan in plaats van een cirkel (Figuur 4.3). De wagens die aan de binnenzijde van de lus rijden moeten snelheden hebben die groot genoeg zijn om ook in het bovenste punt van de lus in de baan te kunnen blijven. De grootste lus is 40,0 m hoog. Stel dat de snelheid en de overeenkomstige m centripetale versnelling van de wagens in de top van de lus gelijk zijn aan 12,0 en 2g , s respectievelijk. 1) Bepaal de straal van de boog van de traanvormige baan in de top van de lus. 2) Indien de totale massa van de wagen plus de inzittenden gelijk is aan M , wat is dan de grootte van de kracht die het spoor uitoefent op de wagen in het bovenste punt van de lus? 3) Stel dat de rollercoaster een cirkelvormige lus met een radius van 24,0 meter heeft. Indien de m wagens dezelfde snelheid, 12,0 in het hoogste punt hebben, vind de centripetale versnelling in het s bovenste punt van de lus. 4) Beschouw de normaalkracht in het bovenste punt van de lus in de situatie die in deel 3) beschreven wordt. Welk voordeel hebben de traanvormige lussen? Figuur 4.3 Opgave 3: Beweging in versnelde referentiesystemen: schijnkrachten in lineaire beweging, centrifugale krachten (a) De slinger in een rijdende wagon Een klein bolletje met massa m hangt aan het einde van een massaloze staaf die aan het plafond van  een wagon bevestigd is. De wagon beweegt met een constante versnelling a langs een hellingsoppervlak met hellingshoek  naar beneden (Figuur 4.4). De hoek die de staaf met de verticaal maakt is gelijk aan . De wrijving tussen de wagon en het hellingsoppervlak kan worden genegeerd. 1) Schrijf de tweede wet van Newton voor het bolletje vanuit een inertiëel referentiesysteem dat met de Aarde verbonden is. Laat zien dat de hoek  gelijk is aan de hellingshoek . Teken het krachtendiagram voor het bolletje in dit geval. 2) Teken het krachtendiagram en schrijf de tweede wet van Newton voor het bolletje vanuit een niet- inertiëel referentiesysteem dat met de wagon verbonden is. 3) Bepaal de grootte van de spankracht door de staaf.  a  m  Figuur 4.4 (b) Een blokje van massa m1 op een horizontale tafel wordt door een massaloze, niet rekbare draad en een veer verbonden met een ander blokje van massa m2 zoals in Figuur 4.5 wordt getoond. Bepaal de uiteindelijke verandering in de lengte van de veer wanneer de tafel verticaal omhoog beweegt met een  versnelling a. De wrijvingscoëfficiënt tussen het blokje en het tafeloppervlak is gelijk aan  , de veerconstante is gelijk aan k. Beschouw het probleem vanuit een niet-inertiëel referentiesysteem. m1  a m2 Figuur 4.5 (c) Een centrifugale kracht Beschouw het probleem van Opgave 1(b) vanuit een niet-inertiëel referentiesysteem. Opgave 4: Weerstandskrachten (a) Een bal valt vrij van een grote hoogte. Hoe verandert de versnelling van de bal gedurende de beweging? Wat is de versnelling van de bal meteen na de rebound van de grond? De luchtweerstand neemt toe als de snelheid toeneemt.  (b) Een deeltje beweegt onder invloed van de weerstandskracht R , die evenredig met de snelheid van    het deeltje is: R  bv. Op het tijdstip t  0 is de snelheid van het deeltje gelijk aan v0. Bepaal: 1) de bewegingstijd van het deeltje onder invloed van deze kracht; 2) de snelheid van het deeltje als functie van de afgelegde afstand; 3) de afstand die het deeltje aflegt voordat het stilstaat. (c) De snelheid van een kogel wordt veranderd van v0 tot v door doorgang van deze kogel door een plaat met de dikte h. Bepaal de doorgangstijd van de kogel binnen de plaat indien de weerstandskracht evenredig is met het kwadraat van de snelheid van de kogel. Marina Katsnelson  Werkcollege 5 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 Arbeid. Kinetische en potentiële energieën. Conservatieve en niet- conservatieve krachten. Het arbeid- kinetische energie theorema Opgave 1: De begrip arbeid, arbeid van een constante kracht (a) De begrip arbeid 1) Wat is de arbeid die verricht wordt door de radiële kracht tijdens een eenparige cirkelbeweging? 2) Waarom is de arbeid die de kinetische wrijvingskracht verricht altijd negatief?           3) Een kracht F  6i  2 j N werkt op een deeltje dat een verplaatsing r  3i  j m ondergaat. Bepaal  3a) de arbeid die door de kracht F verricht wordt;   3b) de hoek tussen de vectoren F en r. (b) Arbeid van een constante kracht: verplaatsing van een object langs een horizontaal oppervlak Een object met massa m  10 kg beweegt langs een horizontaal oppervlak onder invloed van de kracht F  100 N , die de hoek   30 met het horizontale oppervlak maakt. Bepaal de arbeid van elke kracht die op het object werkt en de totale arbeid van alle krachten bij verplaatsing van het object over de afstand van S  10 m langs het oppervlak. De wrijvingscoëfficiënt tussen het object en het horizontale oppervlak is gelijk aan   0,1. (c) Arbeid van een constante kracht: verplaatsing van een object langs een hellingsoppervlak Een blokje met massa m , dat op het aanvangsmoment zich onderaan de helling op de grond bevindt,  wordt met een constante snelheid met behulp van een constante kracht F naar boven getrokken langs  een helling met hellingshoek  (Figuur 5.1). De kracht F is parallel aan het hellingsoppervlak.    1) Bepaal de reactiekracht R  N  Fwrijving die op het blokje door het hellingsoppervlak uigeoefend wordt. 2) Bepaal voor het tijdstip waarop het blokje zich op de hoogte h vanaf de grond bevindt:  2a) de arbeid die de kracht F heeft verricht; is deze arbeid positief of negatief?  2b) de arbeid die de zwaartekracht Fg heeft verricht; is deze arbeid positief of negatief?  2c) de arbeid die de reactiekracht R heeft verricht; is deze arbeid positief of negatief?  F m h  h Figuur 5.1 Opgave 2: Arbeid van een variabele kracht (a) De grafische manier van berekening van totale arbeid De kracht uitgeoefend op een deeltje varieert zoals getoond in Figuur 5.2. Bepaal de arbeid die door deze kracht verricht wordt bij verplaatsing van het deeltje 1) van x  0,00m naar x  8,00m ; 2) van x  8,00m naar x  10,00m ; 3) van x  0,00m naar x  10,00m. Fx , N 4 2 0 2 4 6 8 10 x, m -2 Figuur 5.2 (b) Arbeid door een variabele kracht: een ketting die van een platform glijdt Een uniforme ketting heeft een totale massa van 5,00 kg en een lengte van 8,00 m. Aanvankelijk ligt deze ketting uitgestrekt op een horizontaal platform. 1) Laat zien dat, uitgaande van een statische wrijvingscoëfficiënt van 0,600 tussen de ketting en het platform, de ketting van het platform begint te glijden indien er tenminste 3,00 m over de rand van het platform hangt. 2) Bepaal de arbeid die door de resulterende kracht is verricht totdat de laatste schakel van de ketting het platform verlaat, uitgaande van een kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen de ketting en het platform van 0,400. Opgave 3: Kinetische en potentiële energieën, conservatieve en niet-conservatieve krachten (a) De begrippen kinetische en potentiële energieën 1) Een object met massa m valt vrij (zonder beginsnelheid) van de hoogte h. Wat is de arbeid die door de zwaartekracht verricht wordt? Wat is de verandering van de kinetische energie van het object? Wat is de verandering van de potentiële energie van het object? Wat is de verandering van de mechanische energie van het object? 2) Een steen met massa m  0,1 kg wordt vanaf de toren van een hoogte H  50 m horizontaal met m een initiële snelheid v0  12 gegooid. Bepaal de kinetische en potentiële energie van de steen op s het tijdstip t  3 s vanaf van het begin van de beweging. Luchtweerstand kan verwaarloosd worden. 3) Welke arbeid - positief of negatief - verrichten we om een veer uit te rekken? Welke arbeid wordt door de spankracht daarbij verricht? (b) Conservatieve en niet-conservatieve krachten. Relatie tussen arbeid van conservatieve krachten en potentiële energie 1) Wat is het verschil tussen conservatieve en niet-conservatieve krachten? 2) Stel dat je een koffer van de vloer optilt en op een tafel zet. Is de arbeid die je hiervoor moet verrichten afhankelijk van 2a) de manier van het optillen (recht omhoog of op een meer complexe manier); 2b) de tijd van het optillen; 2c) de hoogte van de tafel; 2d) de massa van de koffer? 3) Laat zien dat de spankracht van een ideale veer Fs   kx conservatief is.     4) De spankracht van een veer wordt gegeven door F   kx  ax  bx i. 2 4 Is deze kracht conservatief? Indien ja, geef een uitdrukking voor de potentiële energie. Opgave 4: Kinetische energie en het arbeid-kinetische energie theorema (a) Een object met massa m  3,00 kg heeft een snelheid v1  6,00i  2,00 j .    m s 1) Wat is de kinetische energie van het object op dit moment? 2) Wat is de totale arbeid gedaan op het object indien de snelheid ervan verandert naar v2  8,00i  4,00 j . (Let op: v 2  v  v ).    m   s (b) Een kogel die door een bord gaat Een kogel penetreert in een dik bord tot de diepte H  0,15 m. De snelheid van de kogel op het m moment van botsing met het bord is gelijk aan v0  500. Bepaal de snelheid van de kogel na het s doorgaan via een ander bord van hetzelfde materiaal maar met dikte h  0,05 m. De weerstandkracht van het materiaal van het bord wordt als constant beschouwd, en de beweging van de kogel is rechtlijnig. (c) Een wand die loodrecht op het hellingsoppervlak staat Een blokje met massa m  0,5 kg beweegt vanaf een hoogte van H  4 m langs een helling met de hellingshoek   45 (Figuur 5.3). De wrijvingscoëfficiënt tussen het blokje en het hellingsoppervlak is gelijk aan   0,1. Beneden aangekomen botst het blokje volkomen elastisch op een wand die loodrecht op het hellingsoppervlak staat. 1) Bepaal de kinetische energie van het blokje onmiddellijk vóór de botsing. 2) Bereken de hoogte waarop de massa tot stilstand komt. m H  Figuur 5.3 Marina Katsnelson  Werkcollege 6 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 De wet van verandering van mechanische energie. De vet van behoud van mechanische energie. Vermogen Opgave 1: De wet van verandering van mechanische energie (a) Een blokje op het hellingsoppervlak Een blokje bevindt zich op de onderkant van het hellingsoppervlak. Het blokje krijgt een snelheid gericht langs het hellengsoppervlak naar boven. Op de hoogte van h  0,5 m heeft het blokje de m snelheid van v1  9. (Zie Figuur 6.1(a)). Na de volkomen elastische botsing met een wand, die op s de hoogte van H  1,5 m loodrecht op het hellingsoppervlak staat, beweegt het blokje naar beneden m en heeft de snelheid van v2  6 op dezelfde hoogte h. (Zie Figuur 6.1(b)). Bepaal de snelheid van s het blokje op het moment van de botsing met de wand.   v1 v2 H H h h (a) (b) Figuur 6.1 (b) Twee identieke blokjes die door een veer worden verbonden Twee identieke blokjes met massa’s m1  m2  m zijn verbonden door een massaloze veer met veerconstante k en liggen op een horizontale tafel. Oorspronkelijk is de veer niet vervormd en zijn de blokjes in rust. Het linkse blokje ligt tegen een verticale wand (Figuur 6.2(a)). De wrijvingscoëfficiënt tussen elk blokje en het tafeloppervlak gelijk is aan .  v m2 k m1 Figuur 6.2(a) Op een bepaald moment begint het blokje m1 met snelheid v naar links te bewegen. 1) Geef een uitdrukking (in termen van m , k ,  , g en v ) voor de maximale afstand x1 (Figuur 6.2(b)) waarover de veer kan worden gecomprimeerd in dit geval. 2) Na de maximale compressie gaat het blokje m1 weer naar rechts te bewegen. Teken het krachtendiagram voor het blokje m2. Wat is de minimale uitrekking x2 (Figuur 6.2(c)) die nodig is om het blokje m2 te laten bewegen? 3) Hoe groot moet de snelheid v waarmee het rechtse blokje begon te bewegen zijn om dit te bereiken? x1 x2 m2 k m1 m2 k m1 Figuur 6.2(b) Figuur 6.2(c) Opgave 2: Cirkelbeweging en behoud van mechanische energie (a) Het bolletje dat aan een draad hangt Een bolletje met massa m die vast zit aan een massaloze, niet rekbare draad roteert in een verticaal vlak in een uniform gravitatieveld (Figuur 6.3). Bepaal het verschil tussen de spankracht in de draad in het onderste punt van de baan en de spankracht in de draad in het bovenste punt van de baan.  g m Figuur 6.3 (b) Een karretje, dat langs de helling en de cirkelvormige baan beweegt Een karretje met massa m beweegt zonder wrijving langs de helling en de cirkelvormige baan die in Figuur 6.4 wordt getoond. Het karretje begint in stilstand. De straal van de lus is R. 1) Wat is de arbeid die de zwaartekracht verricht bij verplaatsing van het karretje van het onderste punt van de lus naar het bovenste punt van de lus? Wat is de arbeid die de normaalkracht verricht bij verplaatsing van het karretje van het bovenste punt van de lus naar het onderste punt van de lus? 2) Bepaal de minimale beginhoogte hmin waarbij het karretje gedurende de hele beweging nog juist contact houdt met de baan. 3) Bepaal de kracht F die het karretje op de baan uitoefent als functie van de hoek  tussen de straalvector en de verticaal (zie Figuur 6.4). 4) Indien het karretje vanaf een hoogte h h  hmin  begint te bewegen legt het karretje na het maken van de lus een afstand s af langs het horizontale oppervlak alvorens tot stilstand te komen. Bepaal de wrijvingscoëfficiënt  tussen het karretje en het horizontale oppervlak. m  g h  R s Figuur 6.4 Opgave 3: Gecombineerde problemen Een speld, die uit een klein hard bolletje met massa m en een massaloze staaf met lengte l bestaat, staat verticaal op de rand van een tafel van hoogte H. Het uiteinde van de staaf maakt contact met de rand van de tafel en glijdt niet (zie Figuur 6.5). Het bolletje van de speld begint vanuit deze verticale positie te bewegen langs een cirkelbaan met de straal l. Op een bepaald moment komt de speld los van de tafel. De luchtweerstand kan worden verwaarloosd. 1) Welke krachten werken op de speld tot het moment waarop de speld los van de tafel komt? Geef de uitdrukking voor de projecties van deze krachten op de richting langs de staaf van de speld. 2) Welke krachten werken op de speld op het moment waarop de speld los van de tafel komt? Bepaal de hoek  , die de staaf van de speld met de verticaal maakt, en de snelheid van het bolletje van de speld op het tijdstip waarop de speld los van de tafel komt. Hint: gebruik de tweede wet van Newton en de wet van behoud van mechanische energie. 3) Geef de kinematische vergelijkingen voor het bolletje van de speld vanaf het moment waarop de speld los van de tafel komt. Gebruik de resultaten van het deel 2). 4) Bepaal hoe ver vanaf de tafel het bolletje op de grond zal komen, d.w.z. bepaal de horizontale afstand S die het bolletje van de speld aflegt. Voor de eenvoud mag je aannemen dat l  H en l  S. m l H Figuur 6.5 Opgave 4: Vermogen (a) De begrip vermogen Hoeveel tijd is nodig om een object met massa M  2000 kg naar een hoogte H  20 m te heffen met behulp van een lift, indien het vermogen van de motor van de lift gelijk is aan P  10 kW. De lift beweegt eenparig. (b) Het gemiddelde en instantané vermogen Een object met massa m valt van hoogte h zonder beginsnelheid. Bepaal: 1) het gemiddelde vermogen dat door de zwaartekracht verricht wordt gedurende het proces van het vallen; h 2) het instantané vermogen dat door de zwaartekracht verricht wordt op de hoogte. 2 (c) Het motorvermogen m Een vliegtuig moet een snelheid van v  25 hebben om op te kunnen stijgen. De aanwezige vrije s weglengte voor het opstijgen is gelijk aan s  100 m. Wat is het minimale benodigde vermogen van de motoren, indien de massa van het vliegtuig gelijk aan m  1000 kg en de wrijvingscoëfficiënt met de startbaan gelijk aan   0,02 zijn? Behandel de beweging van het vliegtuig tijdens het opstijgen als een eenparig versnelde beweging. Marina Katsnelson  Werkcollege 7 Mechanics and Mechanics Lab 2024-2025 Impuls en stoot. Het impuls - stoot theorema. Het massamiddelpunt. De wet van behoud van impuls. Botsingen Opgave 1: Impuls en stoot, het impuls-stoot theorema (a) Verklaar op basis van het impuls-stoot theorema het functioneren van “airbags” die bedoeld zijn om letselschade tijdens een botsing te voorkomen. (b) De duur van de interactie Een bal met een massa van m  100 g valt vrij vanaf een hoogte van H  4 m op de grond en stuitert terug tot de hoogte van h  2 m. Hoe lang duurt de interactie tussen de bal en de grond indien de gemiddelde kracht die de bal op de grond uitoefent tijdens de botsing gelijk is aan Favg  4 N ? De luchtweerstand kan verwaarloosd worden. (c) Impuls en stoot De grootte van de resulterende kracht die in de x - richting op een deeltje met een massa van 2,00 kg wordt uitgeoefend verandert in de tijd zoals in Figuur 7.1 getoond. Bepaal: 1) de stoot gedurende de tijdsintervallen 0,00 s, 3,00 s  en 3,00 s, 5,00 s  ; 2) de eindsnelheid (grootte en richting) van het deeltje indien het deeltje oorspronkelijk in rust is; m 3) de eindsnelheidsvector van het deeltje indien de beginsnelheidsvector gelijk is aan 2,00i ; s 4) de gemiddelde kracht die op het deeltje uitgeoefend wordt in het tijdsinterval 0,00 s, 5,00 s . Fx , N 4,0 2,0 0 2 5 t, s Figuur 7.1 Opgave 2: Het massamiddelpunt (a) Het massamiddelpunt van een uniforme plaat Uit een uniforme cirkelvormige plaat met straal R  5,00 cm wordt een cirkel gesneden met straal r  3,00 cm , zoals in Figuur 7.2 is getekend. Bepaal het massamiddelpunt van deze gemodificeerde plaat.  R r Figuur 7.2 (b) Het massamiddelpunt van een massief lichaam Stel dat de staaf van de speld met lengte l niet massaloos is, maar een lineaire massa-dichtheid (massa per lengte-eenheid) heeft die gegeven wordt door  x   ax  b , kg , m waarbij x de afstand vanaf het “scherpe” uiteinde in meters is. De massa van het bolletje van de speld is gelijk aan m. Bepaal de positie van het massamiddelpunt van de speld vanaf het “scherpe" uiteinde met x  0 (Figuur 7.3). l m x 0 Figuur 7.3 (c) De positie, de snelheid en de versnelling van een systeem van puntmassa’s De positie van een deeltje met een massa van m1  1,00 g als functie van de tijd wordt gegeven door    r1  3i  4 j t  5 j t 2 , cm  terwijl de positie van ander deeltje met een massa van m2  2,00 g als functie van de tijd gegeven     wordt door r2  4i  5 j t  i t 2 , cm. Bepaal op het tijdstip t  1,0 s : 1) de positie van het massamiddelpunt van het twee-deeltjes systeem; 2) de totale impuls van het systeem; 3) de snelheidsvector van het massamiddelpunt; 4) de versnelling van het massamiddelpunt; 5) de resulterende kracht die op het systeem uitgeoefend wordt. (d) Kinetische energie van een systeem van twee bewegende puntmassa’s Laat zien dat de kinetische energie K van een systeem van twee bewegende puntmassa’s (massa m1   en m2 , snelheidsvectoren v1 en v2 ) geschreven kan worden als MVCM v 2 2 K  rel , 2 2 waarin M  m1  m2 de totale massa van de puntmassa’s, VCM de snelheid van het massamiddelpunt m1m2 van het systeem van puntmassa’s,   de zogenaamde gereduceerde massa, en vrel de grootte M    van de relatieve snelheidsvector vrel  v2 v 1 zijn. Opgave 3: De wet van behoud van impuls (a) Explosie van een projectiel Een kanon staat in een kuil (Figuur 7.4). De loop van het kanon bevindt zich op de hoogte van het m grond oppervlak. Een projectiel verlaat de loop met beginsnelheid v0  100 die de hoek   45 s maakt met het grond oppervlak.  v0  het grond oppervlak g  de bodem van de kuil Figuur 7.4 Op het hoogste punt van de baan valt het projectiel uiteen in twee fragmenten van gelijke massa. Eén m fragment beweegt vervolgens verticaal naar beneden met beginsnelheid v1  97. Bepaal de s snelheid (grootte en richting) van het andere fragment meteen na het uiteen vallen. De luchtweerstand kan worden verwaarloosd. (b) Een kogel die een glijdende zandbak stopt Een zandbak met massa M begint zonder wrijving te glijden langs een helling die een hoek  met het horizontale oppervlak maakt (Figuur 7.5). Er wordt een kogel met massa m uit een pistool geschoten met een snelheid die naar beneden gericht is en die een hoek  ten opzichte van het horizontale oppervlak heeft. De kogel treft de zandbak nadat deze een afstand l heeft afgelegd. De kogel blijft in de zandbak steken, en hierdoor stopt de zandbak. Bepaal de snelheid v0 van de kogel.  l m M   v0  Figuur 7.5 (c) Twee vissers Een boot met een lengte van l  3 m en met een massa van M  120 kg is in rust op het oppervlak van een meer. Op de boeg en de achtersteven van de boot bevinden zich twee vissers met massa's m1  90 kg en m2  60 kg. Hoe groot is de verplaatsing van de boot ten opzichte van het wateroppervlak indien de vissers hun plaatsen met elkaar verwisselen. De waterweerstand kan verwaarloosd worden. Opgave 4: Botsingen (a) Een vliegende kogel (volkomen inelastische botsing) Een blok met massa M ligt stil op een horizontaal oppervlak. Een kogel met massa m wordt horizontaal met snelheid v in het blok geschoten en blijft daarin steken (Figuur 7.6). 1) Welke fractie van de mechanische energie van vóór de botsing wordt in interne energie (warmte) omgezet tijdens deze volledige inelastische botsing? 2) Bepaal de afstand die het blok na deze interactie aflegt indien de wrijvingscoëfficiënt tussen het blok en het horizontale oppervlak gelijk aan  is. M  m v Figuur 7.6 (b) Een vliegende kogel (volkomen elastische botsing) Een elastische kogel met massa m , die horizontaal met snelheid v beweegt, botst met een stilstaand hellingsprisma met massa M. Na de volkomen elastische botsing beweegt de kogel verticaal naar boven en het hellingsprisma beweegt horizontaal (Figuur 7.7). De wrijving en de luchtweerstand kunnen worden verwaarloosd. 1) Bepaal de grootte van de snelheid van het hellingsprisma na de botsing. 2) Welke maximale hoogte zal de elastische kogel bereiken?  M  m v Figuur 7.7 (c) Elastische niet-centrale botsing Een bal met een massa van m1  2m botst volkomen elastisch met een stilstaande bal met een massa van m2  m (Figuur 7.8). Wat is de maximale hoek  die de bal met massa m1 na de botsing kan maken met de aanvankelijke bewegingsrichting?  v1 m1 m1   v1 m2 v2 Figuur 7.8 Marina Katsnelson