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# Chapitre 2 : Suites numériques ## I. Généralités ### 1. Définitions **Définition 1:** Une suite numérique réelle est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)$. $u_n$ est le terme général de la suite et $n$ est l'indice. **Exemples:**...

# Chapitre 2 : Suites numériques ## I. Généralités ### 1. Définitions **Définition 1:** Une suite numérique réelle est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)$. $u_n$ est le terme général de la suite et $n$ est l'indice. **Exemples:** * $u_n = n^2 - 1$ * $v_n = \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$ * $w_n = (-1)^n$ **Définition 2:** Une suite peut être définie de manière explicite ou par récurrence. * **Forme explicite:** $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$. * **Forme récurrente:** $u_{n+1} = f(u_n)$ avec la donnée de $u_0$. **Exemple:** * $u_n = 2n + 1$ est définie de manière explicite. * $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 3u_n - 2$ est définie par récurrence. ### 2. Représentation graphique Chaque terme $u_n$ est représenté par un point de coordonnées $(n; u_n)$ dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$. ### 3. Suites majorées, minorées, bornées **Définition 3:** * $(u_n)$ est majorée si ∃ $M \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq M$. * $(u_n)$ est minorée si ∃ $m \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \geq m$. * $(u_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée. **Remarque:** $(u_n)$ est bornée si ∃ $k \in \mathbb{R}^+$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_n| \leq k$. ### 4. Suites croissantes, décroissantes, monotones **Définition 4:** * $(u_n)$ est croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geq u_n$. * $(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} > u_n$. * $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leq u_n$. * $(u_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} < u_n$. * $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante. **Méthodes:** * Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. * Si $u_n > 0$, on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $1$. * Si $u_n = f(n)$, on peut étudier le sens de variation de $f$. **Exemple:** Soit $u_n = \frac{3n - 1}{n + 2}$. Étudier le sens de variation de $(u_n)$. $u_{n+1} - u_n = \frac{3(n+1) - 1}{(n+1) + 2} - \frac{3n - 1}{n + 2} = \frac{3n + 2}{n + 3} - \frac{3n - 1}{n + 2} = \frac{(3n + 2)(n + 2) - (3n - 1)(n + 3)}{(n + 3)(n + 2)} = \frac{7}{(n + 3)(n + 2)} > 0$. Donc $(u_n)$ est strictement croissante. ## II. Limites ### 1. Définitions **Définition 5:** $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang. **Définition 6:** $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ si tout intervalle de la forme $]A; +\infty[$ contient toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang. **Définition 7:** $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty; A[$ contient toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang. ### 2. Opérations sur les limites | $\lim u_n$ | $\lim v_n$ | $\lim (u_n + v_n)$ | $\lim (u_n \times v_n)$ | $\lim (\frac{u_n}{v_n})$ | | :----------: | :----------: | :------------------: | :----------------------: | :----------------------: | | $l$ | $l'$ | $l + l'$ | $l \times l'$ | $\frac{l}{l'}$ | | $l$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ si $l > 0$ | $0$ | | $l$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ si $l > 0$ | $0$ | | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | Forme | | $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | indéterminée | | $+\infty$ | $l'$ | $+\infty$ | $+\infty$ si $l' > 0$ | $+\infty$ | ### 3. Limites et comparaison **Théorème 1:** (Théorème de comparaison ou des gendarmes) Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = l$, alors $\lim_{n \to +\infty} v_n = l$. **Théorème 2:** Si $u_n \leq v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$. Si $u_n \leq v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$. ### 4. Suites et fonctions **Théorème 3:** Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$ et $u_n = f(n)$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = l$. **Exemple:** $u_n = \frac{1}{n}$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$, donc $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. ### 5. Formes indéterminées Les formes indéterminées sont : * "$\infty - \infty$" * "$0 \times \infty$" * "$\frac{\infty}{\infty}$" * "$\frac{0}{0}$" ### 6. Limites à connaître * $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ * $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$ * $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ * $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ * $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$ * $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ * Si $q > 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ * Si $-1 < q < 1$, $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ ### 7. Suites convergentes, divergentes **Définition 8:** * Une suite est convergente si elle admet une limite finie. * Une suite est divergente si elle n'est pas convergente. ### 8. Suites adjacentes **Définition 9:** Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si : * $(u_n)$ est croissante * $(v_n)$ est décroissante * $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$ **Théorème 4:** Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.