Geometric Theorems - Arabic PDF

‫‪١٩‬‬ ‫ﺣﻜﻢ ‪ :‬ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎ ي ﻫﻤﻪ ي ﺿﻠﻊ ﻫﺎ ي آن در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﻤﺮﺳﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ‪ :‬ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ و ﻓﺮض واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪ ي ﻫﻤﺔ رأس ﻫﺎي ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﺗﺎ ﻣﺮﻛﺰ داﻳﺮه ﺑﻪ ﻳﻚ اﻧﺪازه‬ ‫اﺳﺖ )ﺷﻌﺎع داﻳﺮه( در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺎ ﺑﺮﺧﺎﺻﻴﺖ ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻓ...

‫‪١٩‬‬ ‫ﺣﻜﻢ ‪ :‬ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎ ي ﻫﻤﻪ ي ﺿﻠﻊ ﻫﺎ ي آن در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﻤﺮﺳﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ‪ :‬ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ و ﻓﺮض واﺿﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪ ي ﻫﻤﺔ رأس ﻫﺎي ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﺗﺎ ﻣﺮﻛﺰ داﻳﺮه ﺑﻪ ﻳﻚ اﻧﺪازه‬ ‫اﺳﺖ )ﺷﻌﺎع داﻳﺮه( در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺎ ﺑﺮﺧﺎﺻﻴﺖ ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻓﺎﺻﻠﺔ ﻣﺮﻛﺰ داﻳﺮه از دوﺳﺮ ﻫﺮ ﺿﻠﻊ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻓﺎﺻﻠﻪ ) ﺷﻌﺎع داﻳﺮه ( اﺳﺖ ‪،‬‬ ‫ﭘﺲ ﻣﺮﻛﺰ داﻳﺮه روي ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ اﻳﻦ اﺿﻼع ﻗﺮار دارد‪.‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎ ي ﻫﻤﻪ ي ﺿﻠﻊ ﻫﺎ ي آن در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ) ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫داﻳﺮه ( ﻫﻤﺮﺳﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺣﻜﻢ ‪ :‬ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ‪ :‬ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎ ي ﻫﻤﻪ ي ﺿﻠﻊ ﻫﺎ ي ﭼﻨﺪﺿﻠﻌﻲ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﻤﺮﺳﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻓﺮض و ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﻤﻪ ي رأس ﻫﺎي ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ از ﻧﻘﻄﻪ ي ﻫﻤﺮﺳﻲ ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻓﺎﺻﻠﻪ اﻧﺪ‬ ‫و در ﻧﺘﻴﺠﻪ اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﺑﻨﺎ ﺑﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ داﻳﺮه ‪ ،‬روي داﻳﺮه اي ﺑﻪ ﺷﻌﺎع اﻳﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ ي ﺛﺎﺑﺖ ﻗﺮار داردﻧﺪ و ﺑﻨﺎ ﺑﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ‬ ‫ﻣﺤﺎﻃﻲ اﻳﻦ ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢٠‬‬ ‫ﺷﻌﺎع ﻫﺎي داﻳﺮه اﻧﺪ‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ ‪.‬زﻳﺮا ﺷﻌﺎع ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻤﺎس ﺑﺮ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس ﻋﻤﻮد اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ ‪ ،‬اﺿﻼع ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﺑﺮ داﻳﺮه ﻣﻤﺎس ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﺷﻌﺎع درﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس ﺑﺮ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس‬ ‫ﻋﻤﻮد اﺳﺖ ‪ ،‬ﭘﺲ اﻳﻦ ﺷﻌﺎع ﻫﺎ ﻫﻤﺎن ﻓﺎﺻﻠﻪ ي ﻣﺮﻛﺰ داﻳﺮه از اﺿﻼع ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﻫﻤﮕﻲ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ ‪.‬ﺑﻨﺎ ﺑﺮﺧﺎﺻﻴﺖ‬ ‫ﻧﻴﻤﺴﺎز ﻣﺮﻛﺰ اﻳﻦ داﻳﺮه روي ﻧﻴﻤﺴﺎز ﻫﺮ ﻳﻚ از زاوﻳﻪ ﻫﺎي داﺧﻠﻲ ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻲ ﻣﺮﻛﺰ داﻳﺮه ﻣﺤﻞ ﺑﺮﺧﻮرد ﻧﻴﻤﺴﺎز‬ ‫ﻫﺎي داﺧﻠﻲ ﭼﻨﺪ ﺿﻠﻌﻲ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪H1‬‬ ‫‪H2‬‬ ‫‪H3‬‬ ‫‪H4‬‬ ‫‪OH  OH1  OH2  OH3  OH4‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬روي ﻧﻴﻤﺴﺎز زواﻳﺎي داﺧﻠﻲ اﺳﺖ ﭘﺲ ﺑﻨﺎ ﺑﺮ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻧﻴﻤﺴﺎز ﻫﺎ‪:‬‬ ‫ﻫﻤﮕﻲ ﺑﺮ اﺿﻼع ﻋﻤﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ وﻗﺘﻲ داﻳﺮه اي ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ‪ OH‬رﺳﻢ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ‬ ‫‪OH4‬‬ ‫و‬ ‫‪OH 2‬و ‪OH3‬‬ ‫و‬ ‫‪OH 1‬‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ‬ ‫ﺷﻌﺎع ﻫﺎ ﺑﺮ اﺿﻼع ﻋﻤﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ ﭘﺲ اﺿﻼع ﺑﺮ داﻳﺮه در ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎﺳﺸﺎن ﻋﻤﻮدﻧﺪ ﻳﻌﻨﻲ داﻳﺮه ﺑﺮ اﺿﻼع ﭼﻨﺪﺿﻠﻌﻲ ﻣﻤﺎس اﺳﺖ در‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ داﻳﺮه ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S  r.A1A2  r.A2A3  r.A3A4  r.A4A5 ....  r.A n 1A n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ r(A1A2  A2A3 ...  A n 1A n )  r  2P  S  rp‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢١‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬روي ﻧﻴﻤﺴﺎز زاوﻳﻪ ‪ A‬اﺳﺖ ﭘﺲ ‪(1) OT  OT‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬روي ﻧﻴﻤﺴﺎز زاوﻳﺔﺧﺎرﺟﻲ ‪ C‬اﺳﺖ ﭘﺲ ‪(2) OT  OT‬‬ ‫از )‪ (1‬و )‪ (2‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ‪ OT  OT :‬ﭘﺲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬روي ﻧﻴﻤﺴﺎز زاوﻳﺔ ﺧﺎرﺟﻲ ‪B‬‬ ‫ﻧﻴﺰ ﻫﺴﺖ ‪.‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻲ اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ از ﺧﻂ ‪ BC‬و ﺧﻂ ﻫﺎي ‪ AC‬و ‪ AB‬ﺑﻪ ﻳﻚ ﻓﺎﺻﻠﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢٢‬‬ ‫‪a  b  c  2a  b  c  a‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪pb‬‬ ‫‪pc‬‬ ‫‪18 ‬‬ ‫‪18 ‬‬ ‫زﻳﺮا ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎي اﺿﻼع ﻳﻚ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻤﺮﺳﻨﺪ و ﻣﺮﻛﺰ داﻳﺮه ي ﻣﺤﻴﻄﻲ ﻫﺮ ﭼﻨﺪﺿﻠﻌﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻫﻤﺮﺳﻲ ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎي‬ ‫اﺿﻼع اﺳﺖ‪.‬‬ ‫زﻳﺮا در ﻫﺮ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺮ زاوﻳﻪ ﺧﺎرﺟﻲ از زاوﻳﻪ داﺧﻠﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﺠﺎورش ﺑﺰرگ ﺗﺮ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢٣‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ I‬روي ﻧﻴﻤﺴﺎز زاوﻳﺔ ‪ B‬اﺳﺖ ﭘﺲ ‪(1) IM  IN‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ I‬روي ﻧﻴﻤﺴﺎز زاوﻳﺔ ‪ C‬اﺳﺖ ﭘﺲ ‪(2) IP  IN‬‬ ‫از )‪ (1‬و )‪ (2‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ‪ IP  IN  IM :‬ﭘﺲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ I‬از ﺳﻪ ﺿﻠﻊ ‪BC ، CD‬‬ ‫و ‪ AB‬ﺑﻪ ﻳﻚ ﻓﺎﺻﻠﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫زﻳﺮا اﻳﻦ ﺷﻌﺎع ﻫﺎ در ﻧﻘﺎط اﺷﺘﺮاك ﺑﺎ داﻳﺮه ﺑﺮ آن ﻋﻤﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻲ ‪ ABCE‬ﻣﺤﻴﻄﻲ اﺳﺖ ﭘﺲ ﺑﻨﺎ ﺑﺮ ﺑﻨﺪ )‪ (1‬ﻫﻤﻴﻦ ﻗﻀﻴﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ‪AB  CE  AE  BC :‬‬ ‫‪AB  CD  AD  BC ‬‬ ‫‪  CD  CE  AD  AE  CD  CE  AE  AD  DE  AE  AD‬‬ ‫‪AB  CE  AE  BC ‬‬ ‫ﺑﻨﺎ ﺑﺮ ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﻣﺜﻠﺜﻲ در ﻣﺜﻠﺚ ‪ ADE‬دارﻳﻢ ‪ DE  AE  AD :‬ﭘﺲ راﺑﻄﻪ ي ﻓﻮق اﻣﻜﺎن ﻧﺪارد؛ﻣﮕﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ‪ E‬ﻫﻤﺎن ‪D‬‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢۴‬‬ ‫ذوزﻧﻘﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا زواﻳﺎي ﻣﻘﺎﺑﻞ آن ﻣﻜﻤﻞ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫اﻣﺎ اﮔﺮ ذوزﻧﻘﻪ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﺑﺎﺷﺪ دارﻳﻢ‪:‬‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫‪ˆ  18  ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ  18  ‬‬ ‫‪ˆ C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ˆ B‬‬ ‫ˆ‬ ‫ذوزﻧﻘﻪ ‪ ABCD‬ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ ‪ ‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪ A‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  D  18   B  D  18  ‬‬ ‫ﻳﻚ ذوزﻧﻘﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﻣﺤﻴﻄﻲ ﻧﺴﻴﺖ اﻣﺎ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﺤﻴﻄﻲ ﺑﺎﺷﺪﺑﻪ ﺷﺮط‬ ‫آن ﻛﻪ ﻧﻴﻤﺴﺎز ﻫﺎي داﺧﻠﻲ ﻫﻤﺮس ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷﻜﻞ ﻣﻘﺎﺑﻞ‪:‬‬ ‫ﻳﻚ ﻛﺎﻳﺖ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ ﻧﻴﺴﺖ وﻟﻲ اﮔﺮ دو زاوﻳﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ آن ﻗﺎﺋﻤﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﺤﺎﻃﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆ 18 ‬‬ ‫‪ˆ  36    B‬‬ ‫‪Aˆ  Bˆ  Cˆ  D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Aˆ  Cˆ  18  ‬‬ ‫ﭘﺲ ﺑﻨﺎ ﺑﺮﻗﻀﻴﻪ ﻛﺎﻳﺖ ‪ ABCD‬ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻳﻚ ﻛﺎﻳﺖ ﺣﺘﻤﺎ ﻣﺤﻴﻄﻲ اﺳﺖ زﻳﺮا ﻣﺠﻤﻮع اﺿﻼع ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪EF  EH ‬‬ ‫‪  EF  GH  EH  GF‬‬ ‫‪GH  GF‬‬ ‫ﻳﻚ ﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﻣﺤﺎﻃﻲ ﻧﻴﺴﺖ ؛ زﻳﺮا ‪:‬‬ ‫زاوﻳﻪ ﻫﺎي ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻧﻤﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻣﺴﺎوي ‪ 18‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪ˆ  Cˆ  18  , B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ˆ  18 ‬‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫ﻳﻚ ﻣﺘﻮازي اﻻﺿﻼع در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﻣﺤﻴﻄﻲ ﻧﻴﺴﺖ؛ زﻳﺮا اﺿﻼع ﻣﻘﺎﺑﻞ دو ﺑﻪ دو ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ و ﻣﺠﻤﻮع آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻴﺴﺖ ‪.‬‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻓﻮق ‪. AB  DC  AD  BC :‬‬ ‫ﻳﻚ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ ؛ زﻳﺮا ﻣﺠﻤﻮع زاوﻳﻪ ﻫﺎي ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ 18‬اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢۵‬‬ ‫ﻳﻚ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻣﺤﻴﻄﻲ ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا اﺿﻼع ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ و ﻣﺠﻤﻮع آن ﻫﺎ ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻴﺴﺖ‬ ‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ‪AB  DC  AD  BC :‬‬ ‫ﻳﻚ ﻟﻮزي ﻣﺤﺎﻃﻲ ﻧﻴﺴﺖ ؛ زﻳﺮا ﻣﺠﻤﻮع زاوﻳﻪ ﻫﺎي ﻣﻘﺎﺑﻞ ‪ 18‬ﻧﻴﺴﺖ ‪.‬‬ ‫ﻳﻚ ﻟﻮزي ﻣﺤﻴﻄﻲ اﺳﺖ ؛ زﻳﺮا ﻣﺠﻤﻮع اﺿﻼع ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫ﻳﻚ ﻣﺮﺑﻊ ﻫﻢ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﺪ ﻣﺤﻴﻄﻲ و ﻫﻢ ﻣﺤﺎﻃﻲ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬زﻳﺮا ﻫﻢ ﻣﺠﻤﻮع زاوﻳﻪ ﻫﺎي ﻣﻘﺎﺑﻞ ‪ 18‬اﺳﺖ و ﻫﻢ ﻣﺠﻤﻮع اﺿﻼع ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫دو ﻣﺜﻠﺚ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ )ض ض ض ( ﻫﻤﻨﻬﺸﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪  OBC‬‬ ‫‪OBA‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  OBA‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪  OBC‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  2OBA‬‬ ‫‪  OBA‬‬ ‫‪ OAB‬‬ ‫‪  OBC‬‬ ‫‪  OCB‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪BCD  OCB OCD 2 OCD OCD ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪OC  OC ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪BC  DC   O C D  O C B ‬‬ ‫‪ OD  OB‬اﺟﺰاي ﻧﻈﻴﺮ‬ ‫‪‬‬ ‫‪  OCB‬‬ ‫‪OCD‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪OD  OB‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  OA  OB  OC  OD‬‬ ‫‪OA  OB  OC ‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢۶‬‬ ‫ﺣﻜﻢ ‪ :‬ذوزﻧﻘﻪ ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ‪ :‬ذوزﻧﻘﻪ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ˆ  18  ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆ  18  ‬‬ ‫‪ˆ C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ˆ B‬‬ ‫ˆ‬ ‫ذوزﻧﻘﻪ ‪ ABCD‬ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ ‪ ‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪ A‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  D  18   B  D  18  ‬‬ ‫ﺣﻜﻢ ‪ :‬ذوزﻧﻘﻪ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫ﻓﺮض ‪ :‬ذوزﻧﻘﻪ ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪AB  DC , AD‬‬ ‫ﻣﻮرب‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫‪  A‬‬ ‫‪ˆ  18  ‬‬ ‫ق ﺧﻄﻮط ﻣﻮازي‬ ‫‪ˆ D‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪ˆ  Cˆ  D‬‬ ‫‪ˆ A‬‬ ‫‪ˆ  Cˆ ‬‬ ‫زاوﻳﻪ‪‬‬ ‫ﻫﺎي ﻣﻜﻤﻞ‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆ B‬‬ ‫‪ A‬ق‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  C  18  ‬‬ ‫در اﻳﻦ ذوزﻧﻘﻪ زاوﻳﻪ ﻫﺎي ﻣﺠﺎور ﺑﻪ ﺳﺎق ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ درﻧﺘﻴﺠﻪ ذوزﻧﻘﻪ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﺮﻛﺰ داﻳﺮه ي ﻣﺤﻴﻄﻲ ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻣﺤﻞ ﺑﺮﺧﻮرد ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺎي اﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ اﺳﺖ و ﭼﻮن ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوي اﻻﺿﻼع اﺳﺖ ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻣﺤﻞ ﺑﺮﺧﻮرد ﻣﻴﺎﻧﻪ ﻫﺎﻫﻢ ﻫﺴﺖ‪.‬ﺑﻨﺎ ﺑﺮاﻳﻦ ‪:‬‬ ‫راه اول ‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪AB  BC  AC  a , BH  CH ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ OH   AH  R   R ‬‬ ‫‪OA‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R 3‬‬ ‫‪OH ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 a  2R a ‬‬ ‫‪a R 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A C H : H  9   AH  AC  CH  AH ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫‪SABC ‬‬ ‫‪a  SABC ‬‬ ‫‪(R 3)2  SABC ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫راه دوم‪ :‬ﺑﺎﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻣﺜﻠﺚ ‪ ABC‬از ﺷﺶ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻤﻨﻬﺸﺖ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ‪.‬اﻳﻦ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎي ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ)ض ز ض(‬ ‫ﻫﻤﻨﻬﺸﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪O B H : H  9   BH  R  ( )2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 R R‬‬ ‫‪3 3 2‬‬ ‫‪SABC  6SOBH  SABC  6   ‬‬ ‫‪3  SABC ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢٧‬‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻧﻴﻤﺴﺎز زاوﻳﺔ ‪ BAC‬داﻳﺮة ﻣﺤﻴﻄﻲ را در ﻧﻘﻄﺔ ‪ D‬ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ‪:‬‬ ‫‪  CAD‬‬ ‫‪BAD‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ق ﻛﻤﺎن ﻫﺎ و وﺗﺮﻫﺎي ﻣﺴﺎوي ‪  ‬ﻣﺤﺎﻃﻲ‬ ‫‪‬‬ ‫‪BD  CD ‬‬ ‫‪BD  CD‬‬ ‫ﻓﺎﺻﻠﺔ ﻧﻘﻄﺔ ‪ D‬از دوﻧﻘﻄﺔ ‪ B‬و ‪ C‬ﺑﻪ ﻳﻚ اﻧﺪازه اﺳﺖ ﭘﺲ ﺑﻨﺎ ﺑﺮ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ‪ D‬روي ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﭘﺎره ﺧﻂ ‪ BC‬ﻧﻴﺰ ﻗﺮار دارد‪.‬‬ ‫ﭼﻮن ذوزﻧﻘﺔ ‪ ABCD‬ﻣﺤﺎﻃﻲ اﺳﺖ ﭘﺲ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ اﺳﺖ و و ﭼﻮن ﻣﺤﻴﻄﻲ اﺳﺖ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع دو ﺿﻠﻊ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮع دو ﺿﻠﻊ ﻣﻘﺎﺑﻞ دﻳﮕﺮ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‪.‬در ﻧﺘﻴﺠﻪ‪2c  a  b :‬‬ ‫و ﻣﺜﻠﺚ ‪ ADF‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﻪ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫‪2c  a  b  c ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪b  2x  a  x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a b 2 ba 2‬‬ ‫‪4ab‬‬ ‫( ‪h 2  c2  x 2  h 2 ‬‬ ‫(‪) ‬‬ ‫‪)  h2 ‬‬ ‫‪ h  ab‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪SABCD  (a  b)  h  SABCD  (a  b) ab‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 p‬‬ ‫‪S  rp ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1 pa‬‬ ‫‪ra ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪pa‬‬ ‫‪ra‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1 pb‬‬ ‫‪rb ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪pb‬‬ ‫‪rb‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1 pc‬‬ ‫‪rc ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪pc‬‬ ‫‪rc‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1 1 1 p  a p  b p  c 3p  (a  b  c) 3p  2p p 1‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ra rb rc‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S r‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ra rb rc r‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ٢٨   1 2S 1 a S  ah a  h a   2 a h a 2S   1 2S 1 b 1 1 1 a b c a  b  c 2p p 1 S  bh b  h b              2 b h b 2S h a h b h c 2S 2S 2S 2S 2S S r  1 2S 1 c  S  ch c  h c    2 c h c 2S  1 1 1 1     ha hb hc r AN  c  BN    AM  AN  b  c  (BN  CM) AM  b  CM  AM  AN  CM CP, BN  BP 2AM  b  c  (BP  CP)   bca a 2AM  2p  2a  AM  AN  p  a BN  c  AN    BN  BP  a  c  (AN  CP) BP  a  CP  BP  BN  AN  AM , CP CM 2BN  a  c  (AM  CM)  a  c  b  b 2BN  2p  2b  BN  BP  p  b CM  b  AM    CM  CP  b  a  (AM  BP) CP  a  BP  CM  CP  AN  AM , BP  BN 2CM  b  a  (AN  BN   ba c c 2CM  2p  2c  CM  CP  p  c AT  AT AT  AT  c  BT  b  CT  BT  BQ , CT  CQ 2AT  c  b  BQ  CQ    c  b  a  2p a  2AT  2p  AT  AT  p https://hamyar.in/ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ‫‪٢٩‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18  HD 2‬‬ ‫‪18  2HD‬‬ ‫‪OD  r‬‬ ‫‪ˆ  9  ‬‬ ‫‪O H D: H‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2HD CD‬‬ ‫‪18 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ CD  2r sin‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪18  MB 2‬‬ ‫‪18  2MB‬‬ ‫‪OM  r‬‬ ‫‪ˆ  9  ‬‬ ‫‪OM B: M‬‬ ‫‪ tan‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 tan‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2MB AB‬‬ ‫‪18 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ AB  2r tan‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪6  6 ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫اﻧﺪازه ﻫﺮ زاوﻳﻪ داﺧﻠﻲ ﺷﺶ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ ‪ 12‬اﺳﺖ ‪.‬ﺑﻨﺎ ﺑﺮ اﻳﻦ زاوﻳﻪ ﻫﺎي ﺧﺎرﺟﻲ‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫اﺳﺖ ‪.‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ و ﻣﺠﻤﻮع زواﻳﺎي داﺧﻠﻲ ﻫﺮ ﻣﺜﻠﺚ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪ M‬و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﺜﻠﺚ ‪ MNP‬ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ اﺳﺖ‪.‬‬ ‫‪ˆ  Pˆ  6‬‬ ‫‪ˆ N‬‬ ‫‪6  6 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫اﮔﺮ ﻗﻄﺮ ﻫﺎي ﺷﺶ ﺿﻠﻌﻲ ﻣﻨﺘﻈﻢ را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﻢ آن را ﺑﻪ ﺷﺶ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻻﺿﻼع ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ و در ﻣﺜﻠﺚ ‪ 9 ، MNP‬ﻣﺜﻠﺚ ﻫﻤﻨﻬﺸﺖ اﻳﺠﺎد ﻣﻲ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫‪ 6SMAB 6 2‬ﺷﺶ ﺿﻠﻌﻲ‪S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪SMNP 9SMAB 9 3‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻓﻮاﺻﻞ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ درون ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوي اﻻﺿﻼع ﻣﻘﺪاري ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ و اﻳﻦ ﻣﻘﺪار ﺑﺎ‬ ‫ﻃﻮل ارﺗﻔﺎع ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‪:‬‬ ‫‪TH  TH  TH  MM‬‬ ‫‪https://hamyar.in/‬‬ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬  ٣٠ 1 1 1 STAF  STDE  STBC  AF.TH  DE.TH  BC.TH 2 2 2 AF  ED  BC  a 1 1  STAF  STDE  STBC  a(TH   TH  TH)    ah 2 2 h 1  STAF  STDE  STBC  ah 2 1 MN  3a 3 S   MN.h  S   a.h 2 2 MNP MNP 1 STAF  STDE  STBC 2 ah S S S 1    TAF TDE TBC  SMNP 3 SMNP 3 a.h 2 ‫ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ‬MNP ‫ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ‬2 ‫ اﺳﺖ وﻣﺴﺎﺣﺖ ﺷﺶ ﺿﻠﻌﻲ‬MNP ‫ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ‬1 ‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻞ ﻫﺎي آﺑﻲ رﻧﮓ‬ 3 3 ‫ اﺳﺖ ﺑﻨﺎ ﺑﺮاﻳﻦ‬2  1  1 ‫ﻫﺎي ﺳﻔﻴﺪ و آﺑﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﺷﺶ ﺿﻠﻌﻲ اﺳﺖ ﭘﺲ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎي ﺳﻔﻴﺪ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ‬ 3 3 3.‫ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎي آﺑﻲ ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ ﻫﺎي ﺳﻔﻴﺪ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ‬ ST BC  ST D E  ST A F  ST AB  ST EF  ST C D ‫ ﻗﻄﺮ ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ را ﻧﺼﻒ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪﭘﺲ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬ABCD ‫در ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻲ‬.‫اﺳﺖ و ﭼﻮن ﻗﻄﺮ ﻫﺎ ﺑﺮﻫﻢ ﻋﻤﻮدﻧﺪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﺮﺑﻊ اﺳﺖ‬ :‫ ﭘﺲ‬.‫ﻋﻤﻮد ﻣﻨﺼﻒ ﻫﺮ ﺿﻠﻊ ﻧﻴﻤﺴﺎز رأس ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻧﻴﺰ ﻫﺴﺖ‬ O1  O 2  O3  O4  O5  O6  O7  O8  45   MB  AM   BQ  QC   CP  PD   DN   NA  AM  MB  BQ  QC  CP  PD  DN  NA https://hamyar.in/ ‫ﻫﻤﯿﺎر‬