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# Capítulo 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales ## 1.1 Definiciones y terminología ### Definición 1.1 Ecuación diferencial Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una **ecuación diferenci...

# Capítulo 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales ## 1.1 Definiciones y terminología ### Definición 1.1 Ecuación diferencial Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una **ecuación diferencial (ED)**. ### Notación * $y' , y'', y''', y^{(4)}, \dots y^{(n)}$ (Notación de Leibniz) * $\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \dots \frac{d^ny}{dx^n}$ (Notación prima) * $\dot{x}, \ddot{x}$ (Notación de Newton) ### Clasificación de las ecuaciones diferenciales * **Por tipo:** * **Ecuación diferencial ordinaria (EDO):** Si una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a **una sola** variable independiente. * **Ecuación diferencial parcial (EDP):** Si una ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a **dos o más** variables independientes. * **Por orden:** El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta en la ecuación. * **Por linealidad:** Una ecuación diferencial de orden $n$ se dice que es lineal si se puede escribir en la forma: $a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)$ * **Variable dependiente** $y$ y todas sus derivadas son de primer grado. * Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente $x$. ### Ejemplos | Ecuación diferencial | Tipo | Orden | Lineal | | ------------------------------------------------- | ---- | ----- | ------ | | $\frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^3 = 0$ | EDO | 2 | No | | $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} + 6y = 0$ | EDO | 2 | Sí | | $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ | EDP | 1 | Sí | ### Definición 1.2 Solución de una ED Cualquier función $\phi$, definida en un intervalo $I$ y que posee al menos $n$ derivadas continuas en $I$, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ reduce la ecuación a una identidad, se dice que es una **solución** de la ecuación en el intervalo. En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial de orden $n$ en un intervalo $I$ es una función $\phi$ que satisface la ecuación diferencial en $I$. ### Tipos de soluciones * **Solución explícita:** Una solución en la que la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente y constantes. * **Solución implícita:** Una relación $G(x, y) = 0$ se dice que es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo $I$, siempre que exista al menos una función $\phi$ que satisfaga la relación, así como la ecuación diferencial en $I$. * **Solución particular:** Una solución de una ecuación diferencial que está libre de parámetros arbitrarios. * **Solución general:** La solución general de una ecuación diferencial de orden $n$ es una solución en la que aparecen $n$ parámetros arbitrarios. * **Solución singular:** Una solución que no se puede obtener de una solución general dando valores específicos a las constantes. ### Sistemas de ecuaciones diferenciales Cuando se tienen dos o más ecuaciones que involucran las derivadas de dos o más funciones desconocidas con respecto a una sola variable independiente, se dice que el conjunto es un **sistema de ecuaciones diferenciales.**