فيزياء عامة للعام الأول 2017 PDF

‫ﺟﺎﻣﻌﺔ ﺑﻨﻲ ﺳﻮﯾﻒ ﻛﻠﯿﺔ ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﻗﺴﻢ‬ ‫ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎء‬ ‫ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎء ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺑﺸﺄن‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻷوﻟﻰ‬ ‫‪2017‬‬ ‫‪-1 -‬‬  ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪ...

‫ﺟﺎﻣﻌﺔ ﺑﻨﻲ ﺳﻮﯾﻒ ﻛﻠﯿﺔ ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ ﻗﺴﻢ‬ ‫ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎء‬ ‫ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎء ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫ﺑﺸﺄن‬ ‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻷوﻟﻰ‬ ‫‪2017‬‬ ‫‪-1 -‬‬  ‫ﻣﻘﺪﻣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺍت وﺍﻷﺑﻌﺎد‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺍت ﺍﻷﺳﺎﺳﯿﺔ وﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﻏﺎﻟﺒًﺎ ﻣﺎ ﯾﺘﻢ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ إﻟﻰ ﻛﻤﯿﺎت أﺳﺎﺳﯿﺔ وﻛﻤﯿﺎت ﻣﺸﺘﻘﺔ‪.‬ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت‬ ‫ﺍﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ھﻲ ﺍﻟﻄﻮل وﺍﻟﻜﺘﻠﺔ وﺍﻟﻮﻗﺖ‪ ،‬وﻻ ﯾﺘﻢ ﺗﻌﺮﯾﻔﮭﺎ ﻣﻦ ﺣﯿﺚ ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ ﺍﻷﺧﺮى‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ھﻲ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺴﺘﻨﺪ ﻋﻤﻠﯿﺎت ﺗﻌﺮﯾﻔﮭﺎ إﻟﻰ ﻗﯿﺎﺱ ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ ﺍﻷﺧﺮى‪،‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺘﺴﺎرﻉ‪ ،‬ﺍﻟﻘﻮة‪...،‬إﻟﺦ‪.‬‬ ‫أﻧﻈﻤﺔ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍت‬ ‫ھﻨﺎك ﻧﻈﺎﻡ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻟﻠﻮﺣﺪﺍت ﺍﻷﻛﺜﺮ ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣًﺎ ‪:‬‬ ‫)ﻧﻈﺎﻡ‬ ‫‪ (a‬ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﻲ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪﺍت ﺍﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ھﻲ ﺍﻟﺴﻨﺘﯿﻤﺘﺮ‬ ‫ﺣﯿﺚ‬ ‫‪،(cgs‬‬ ‫وﺍﻟﺠﺮﺍﻡ وﺍﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‪.‬‬ ‫‪ (b‬ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﻌﻤﻠﻲ ﺍﻟﻤﻄﻠﻖ )‪ ،(MKS - system‬ﺍﻟﺬي ﺗﻜﻮن ﻓﯿﮫ ﺍﻟﻮﺣﺪﺍت ﺍﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ھﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺮ وﺍﻟﻜﯿﻠﻮﻏﺮﺍﻡ وﺍﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‪.‬‬ ‫‪ (c‬ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺒﺮﯾﻄﺎﻧﻲ )ﻧﻈﺎﻡ ﻗﺪﻡ‪ -‬رطﻞ‪ -‬ﺛﺎﻧﯿﺔ أو ﻧﻈﺎﻡ إطﺎر‪/‬ﺛﺎﻧﯿﺔ(‪.‬‬ ‫أوﺻﻰ "ﺍﻟﻤﺆﺗﻤﺮ ﺍﻟﺪوﻟﻲ ﻟﻠﻮزن وﺍﻟﻤﻘﺎﯾﯿﺲ" ﻓﻲ ﻋﺎﻡ ‪ 1960‬ﺑﺎﻟﻨﻈﺎﻡ ﺍﻟﺪوﻟﻲ ﻟﻠﻮﺣﺪﺍت‬ ‫)‪ (SI‬ﺑﺎﻋﺘﺒﺎره ﺍﻷﻓﻀﻞ ﻟﺠﻤﯿﻊ ﻓﺮوﻉ ﺍﻟﻌﻠﻮﻡ وﺍﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪.‬ھﺬﺍ ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ‬ ‫‪-2 -‬‬  ‫)‪ )SI‬ﯾﺘﺰﺍﻣﻦ ﻣﻊ ﻧﻈﺎﻡ ‪ MKS‬ﺑﻜﻤﯿﺎﺗﮫ ﺍﻟﻤﯿﻜﺎﻧﯿﻜﯿﺔ وﻣﻊ ﻧﻈﺎﻡ ‪ MKSA‬ﺑﻜﻤﯿﺎﺗﮫ‬ ‫ﺍﻟﻜﮭﺮوﻣﻐﻨﺎطﯿﺴﯿﺔ‪.‬‬ ‫ﺻﯿﻐﺔ ﺍﻷﺑﻌﺎد وﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺍﻷﺑﻌﺎد‪:‬‬ ‫ﯾﺸﺎر إﻟﻰ وﺣﺪﺍت ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ وﺍﻟﻄﻮل وﺍﻟﻮﻗﺖ ﺑﺎﻟﺤﺮوف ﺍﻟﻜﺒﯿﺮة ‪ M‬و ‪ L‬و ‪.T‬ﺛﻢ ﯾﺘﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ‬ ‫ﻗﯿﻢ ﺟﻤﯿﻊ ﺍﻟﺜﻮﺍﺑﺖ ﺍﻟﻌﺎﻟﻤﯿﺔ ووﺣﺪﺍت ﻗﯿﺎﺱ ﺟﻤﯿﻊ ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻷﺧﺮى ﺑﺸﻜﻞ ﻓﺮﯾﺪ ﻋﻦ طﺮﯾﻖ‬ ‫ﺍﺧﺘﯿﺎر ﺍﻟﻮﺣﺪﺍت ﻋﻦ طﺮﯾﻖ ﺍﺧﺘﯿﺎر وﺣﺪﺍت ‪ L‬و ‪ M‬و ‪.T‬‬ ‫ﯾﺘﻢ إﻋﻄﺎء طﺒﯿﻌﺔ ھﺬه ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﺎ ﯾﺴﻤﻰ ﺑﺎﻟﺼﯿﻎ ﺍﻟﺒُﻌﺪﯾﺔ‪.‬ﺳﺘﻮﺿﺢ ﻋﺪة أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫ﻣﻌﻨﺎھﺎ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬أﺑﻌﺎد‬ ‫‪[L ] LT‬‬ ‫تن‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ =‬ ‫ﺗﻌﺠﯿﻞ‬ ‫‪-L 2 ]LT‬‬ ‫‪[ 2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻮة = ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ × ﺍﻟﺘﺴﺎرﻉ = ] ‪[MLT-2‬‬ ‫‪۲-‬‬ ‫=‪.‬‬ ‫‪]ML-1‬‬‫ﺍﻟﻀﻐﻂ = ﺍﻟﻘﻮة ‪MLT‬‬ ‫‪-UNTRANSLATED_CONTENT_START|||T‬‬ ‫|||‬ ‫‪2‬‬ ‫‪||| [|||UNTRANSLATED_CONTENT_END‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ‪L2‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺜﺎﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ = ]ﻣﻞ‪[3-‬‬ ‫وﺣﺪة ﺗﺨﺰﯾﻦ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ =‬ ‫‪L2‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺠﻢ = ‪L3‬‬ ‫‪-3 -‬‬  ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﺎت ﻣﻌﺎدﻻت ﺍﻷﺑﻌﺎد ﻟﺪﻓﻊ ﺍﻟﺼﯿﻐﺔ‬ ‫ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬دﻋﻮﻧﺎ ﻧﺴﺘﻤﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻓﺘﺮة ﺍﻟﺒﻨﺪول ﺍﻟﺒﺴﯿﻂ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ﺍﻟﻔﺘﺮة ‪ ،T‬ھﻲ دﺍﻟﺔ ﺍﻟﻄﻮل )‪ ،(l‬وﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﺒﻮﺏ ﺍﻟﻤﻌﻠﻖ )‪ ،(m‬وﺍﻟﺘﺴﺎرﻉ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ‬ ‫)‪ ، (g‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫‪x.my.gz‬‬ ‫‪Tα‬‬ ‫‪T = K x.my.gz‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﺛﺎﺑﺖ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ‪ K‬و ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬ﺛﻮﺍﺑﺖ ﯾﺘﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪھﺎ‪.‬ﻣﻦ أﺟﻞ ﺍﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻗﯿﻢ ‪K‬‬ ‫و ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬ﻋﻮﺿﺖ ﺑﺎﻷﺑﻌﺎد ﻓﻲ ﻛﻼ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﯿﻦ وﻻﺣﻆ أن ﺛﺎﺑﺖ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ‪ K‬ﻻ ﺑﻌﺪ ﻟﮫ‪.‬‬ ‫‪T = K Lx My ) L T-2(z‬‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺆﺷﺮﺍت ‪ M‬و ‪ L‬و ‪ T‬ﻋﻠﻰ ﻛﻼ ﺍﻟﺠﺎﻧﺒﯿﻦ‪ ،‬ﯾﺤﺼﻞ ﺍﻟﻤﺮء ﻋﻠﻰ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z=-1‬‬ ‫و‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪(x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫' ‪1‬‬ ‫ﺥ‬ ‫‪T K 2g2 K‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ ﺍﻟﻌﺜﻮر ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺖ ‪ K‬ﺗﺠﺮﯾﺒﯿًﺎ أو ﻧﻈﺮﯾًﺎ وﻗﯿﻤﺘﮫ ‪2‬‬ ‫‪-4 -‬‬  ‫‪T2‬‬ ‫ﺥ‬ ‫ﻟﻠﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ﺻﺤﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ دﻗﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺍﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻔﺘﺮة ﺍﻟﺰﻣﻨﯿﺔ ﻟﻠﺒﻨﺪول ﺍﻟﺒﺴﯿﻂ ‪T = 2‬‬ ‫ﻣﻦ أﺟﻞ ﺍﻟﺘﺤﻘﻖ ﻣﻦ ھﺬﺍ‬ ‫ﺥ‬ ‫ﺻﯿﻐﺔ‪ ،‬ﯾﺴﺘﻌﺎض ﻋﻨﮭﺎ ﻓﻲ طﺮﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺑﺄﺑﻌﺎدھﺎ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T = ( L / L.T-2( 2 = )T2( 2 = T‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ ،‬ﻓﺈن ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺻﺤﯿﺤﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ وﺣﺪﺍت ﺍﻷﻧﻈﻤﺔ ﺍﻟﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‬ ‫دﻋﻮﻧﺎ ﻧﺆﺳﺲ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ وﺣﺪﺗﯿﻦ أو ﻗﻮة ﻣﺤﺪدة ﻋﻠﻰ أﺳﺎﺱ ﻗﺎﻧﻮن ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﻊ‬ ‫ﺍﻟﻮﺣﺪة ﺍﻷﺳﺎﺳﯿﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ‪ cgs‬و ‪ fps‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﻗﺪﻡ = ‪ 30.48‬ﺳﻢ ‪1‬‬ ‫رطﻞ = ‪ 453.6‬ﺟﻢ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﺳﺎﺱ ﺻﯿﻐﺔ ﺍﻻﺑﻌﺎد‬ ‫‪F = M.L.T-2‬‬ ‫ﻧﺤﺪد ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﯿﻦ وﺣﺪﺗﻲ ﺍﻟﻘﻮة‬ ‫وﺣﺪة ﺍﻟﻨﻈﺎﻡ ‪FPS‬‬ ‫‪4-10‬‬ ‫‪1.382 453.6 30.48‬‬ ‫وﺣﺪة ﻧﻈﺎﻡ ‪CGS‬‬ ‫أو‬ ‫ﺍﻟﻘﻮة )رطﻞ( ﻓﻲ إطﺎر‪/‬ﺛﺎﻧﯿﺔ = ‪ 4-10 1.382‬ﻗﻮة )دﺍﯾﻦ( ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻨﺘﯿﻤﺘﺮ ﺍﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫‪-5 -‬‬  ‫ﺗﺮﻣﯿﺰ ﻗﻮة ﺍﻟﻌﺸﺮة‪ :‬ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎت وﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎت ﺍﻟﻔﺮﻋﯿﺔ‬ ‫ﻋﺎدة ﻣﺎ ﯾﺘﻢ ﺍﺧﺘﯿﺎر ﺍﻟﻮﺣﺪﺍت ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ﺑﺤﯿﺚ ﺗﻜﻮن وﺣﺪة وﺍﺣﺪة ذﺍت ﺣﺠﻢ ﻣﻨﺎﺳﺐ‬ ‫ﻟﻸﻏﺮﺍض ﺍﻟﯿﻮﻣﯿﺔ‪.‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ‪ 1‬ﻣﺘﺮ ھﻮ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺍﻟﺼﺤﯿﺢ ﻟﻠﻤﻘﺪﺍر ﻟﻠﻘﯿﺎﺱ ﺍﻟﻌﺎدي‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺎﻓﺎت‪.‬ﻟﻜﻦ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺎت ﺍﻷﺧﺮى ﺳﺘﻜﻮن ﺑﺤﺠﻢ ﻏﯿﺮ ﻣﺮﯾﺢ ﻟﻠﻜﺘﺎﺑﺔ ﺑﺎﻟﻜﺎﻣﻞ‪.‬ﺍﻟﻄﻮل ﺍﻟﻤﻮﺟﻲ‬ ‫‪ og‬ﺿﻮء ﺍﻟﺼﻮدﯾﻮﻡ ھﻮ ‪ 0.0000005893‬ﻡ‪ ،‬وﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﻣﻦ ﺍﻷرض إﻟﻰ ﺍﻟﺸﻤﺲ ھﻲ‬ ‫‪ 149.500.000.000‬ﻡ‪.‬ﻣﻦ ﺍﻟﺴﺨﻒ وﺍﻟﻤﻀﯿﻌﺔ ﻟﻠﻮﻗﺖ وﺍﻟﻮرق أن ﺗﻜﺘﺐ ھﺬه ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺑﮭﺬﺍ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ‪.‬ﻟﮭﺬﺍ ﺍﻟﺴﺒﺐ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺘﺎد ﻛﺘﺎﺑﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎدﯾﺮ أو ﺟﻤﯿﻊ ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ ﺑﺘﺮﻣﯿﺰ ﻋﺸﺮي ﻛﻌﺪد‬ ‫ﺑﯿﻦ ‪ 1‬و ‪ 10‬ﻣﻀﺮوﺑًﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ ﻟﻌﺸﺮة‪.‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺘﯿﻦ ﺍﻟﻤﺬﻛﻮرﺗﯿﻦ أﻋﻼه‬ ‫ﺗﻜﺘﺒﺎن ﻋﺎدة ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ 7-10 5.893‬و ‪ 1011 1.495‬ﻡ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺪول ‪ 1.1‬ﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎت وﺍﻟﻤﻀﺎﻋﻔﺎت ﺍﻟﻔﺮﻋﯿﺔ ﺍﻟﻤﺘﻔﻖ ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻟﻠﻮﺣﺪﺍت‬ ‫‪-6 -‬‬ ‫ﺍﻻﺧﺗﺻﺎرﺍت‬ ‫ﺑﺎدﺋﺔ‬ ‫ﻣﻌﺎﻣل‬ T Tera _UNTRANSLATED||| G Giga |||CONTENT_START M 10UNTRANSLAT|||12 Mega ED_CONTENT_END K Kilo ||| H Hect )9 D o -6 - || Deca 3 | Deci (2 ) U Centi 10 N Milli 10/- T Micro 10/- R Nano 10/- A 10/- Pico 10/- N Femt 12 S o +15 L Atto - 18- A -7 - T E D _ C O N T E N T _ S T A R T ||| d c m -8 - ||| U N T R A N S L A T E D _ C O N T E N T -9 - _ E N D ||| n p f a - 10 -  ‫زوﺍﯾﺎ ﺍﻟﻄﺎﺋﺮة‪:‬‬ ‫ھﻨﺎك ﻧﻈﺎﻣﺎن ﻟﻘﯿﺎﺱ زوﺍﯾﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮى‪ :‬ﺍﻟﺪرﺟﺎت وﺍﻟﺮﺍدﯾﺎن‪.‬وھﻮ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﺍﻷﻛﺜﺮ أھﻤﯿﺔ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎء‪.‬ﯾﻨﻘﺴﻢ ﻣﺤﯿﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮة ﺑﺸﻜﻞ ﺗﻌﺴﻔﻲ إﻟﻰ ‪ 360‬درﺟﺔ )(‪.‬ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬ﺗﺘﻮﺍﻓﻖ ﻣﻊ ‪.90‬ﺗﻨﻘﺴﻢ ﻛﻞ درﺟﺔ إﻟﻰ ‪ 60‬دﻗﯿﻘﺔ )( وﻛﻞ دﻗﯿﻘﺔ إﻟﻰ ‪ 60‬ﺛﺎﻧﯿﺔ )(‪.‬ﯾﺘﻢ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﻗﯿﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﺍﻟﻌﺸﻮﺍﺋﯿﺔ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺎت وﺍﻟﺪﻗﺎﺋﻖ وﺍﻟﺜﻮﺍﻧﻲ‪ ،‬ﻣﺜﻞ ‪.34 42 33‬‬ ‫ﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ زﺍوﯾﺔ ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﺑﺎﻟﺮﺍدﯾﺎن‪ ،‬ﯾﺮﺳﻢ ﺍﻟﻤﺮء‪ ،‬ﺑﻨﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻋﺸﻮﺍﺋﻲ ‪) R‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪،(1.1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻮﺱ ‪ AB‬ﻣﻊ ﻣﺮﻛﺰ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﺮأﺱ ‪ 0‬ﻟﻠﺰﺍوﯾﺔ‪.‬ﺛﻢ ﻣﻘﯿﺎﺱ ﺑﺎﻟﺮﺍدﯾﺎن )ﺍﻷﺣﻤﺮ ﺍﻟﻤﺨﺘﺼﺮ( ھﻮ‬ ‫ر‬ ‫ﺣﯿﺚ?? ھﻮ طﻮل ﺍﻟﻘﻮﺱ ‪.AB‬ﺗﻌﺘﻤﺪ ھﺬه ﺍﻟﻄﺮﯾﻘﺔ ﻋﻠﻰ ﺣﻘﯿﻘﺔ أﻧﮫ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺰﺍوﯾﺔ ﻣﻌﯿﻨﺔ‪ ،‬ﻓﺈن‬ ‫ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ‪ R/1‬ﺛﺎﺑﺘﺔ وﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ ﻧﺼﻒ ﺍﻟﻘﻄﺮ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﮭﻲ‬ ‫‪- 11 -‬‬  ‫ﻗﯿﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﺍﻟﻤﻌﺒﺮ ﻋﻨﮭﺎ ﺑﺎﻟﺮﺍدﯾﺎن‪.‬ﻻﺣﻆ أﻧﮫ ﯾﺠﺐ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ و‪ R‬ﺑﻨﻔﺲ وﺣﺪﺍت ﺍﻟﻄﻮل‪.‬‬ ‫ﻣﻦ )‪ (1.1‬ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ ‫‪()1.2‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫ﻣﻊ ﻣﻼﺣﻈﺔ أن ﻣﺤﯿﻂ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮة ھﻮ ‪ ،2R‬ﻧﺮى أن ﺍﻟﻤﺴﺘﻮى ﺍﻟﻜﺎﻣﻞ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻘﺎﺱ‬ ‫ﺑﺎﻟﺮﺍدﯾﺎن‪ ،‬ھﻮ ‪.2R/R = 2 rad‬إذن ‪ 2‬رﺍد ﺗﻌﺎدل ‪ ، 360‬و‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪, rad = 0.017453 rad‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪ 1‬رﺍد = ‪”44.9’5717 = 180‬‬ ‫ﺍﻟﺰوﺍﯾﺎ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ھﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻀﻤﻨﺔ دﺍﺧﻞ ﺳﻄﺢ ﻣﺨﺮوطﻲ )أو ھﺮﻣﻲ(‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.1.2‬ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺒﺮ ﻋﻨﮭﺎ ﻓﻲ ‪( steradians‬ﺍﺧﺘﺼﺎر ‪،)sterad‬‬ ‫ﻋﻦ طﺮﯾﻖ ﺍﻟﺮﺳﻢ‪ ،‬ﻣﻊ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻋﺸﻮﺍﺋﻲ ‪ R‬وﻣﺮﻛﺰ ﻋﻨﺪ ﺍﻟﺮأﺱ ‪ ،0‬ﺳﻄﺢ ﻛﺮوي وﺗﻄﺒﯿﻖ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‪.‬‬ ‫ﺱ‬ ‫)‪(3 : 1‬‬ ‫‪(٪ ) R 2‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ‪ S‬ھﻲ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻐﻄﺎء ﺍﻟﻜﺮوي ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻌﺘﺮﺿﮭﺎ ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ‪.‬ﻧﻈﺮًﺍ ﻷن ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ‬ ‫ﺍﻟﻜﺮة ھﻲ ‪ ،4R 2‬ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻠﺔ ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺎ ھﻲ ‪ 4‬ﺳﺘﯿﺮﺍدﯾﺎﻧﺰ‪.‬‬ ‫‪- 12 -‬‬  ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﺍﻟﺼﻠﺒﺔ ﺻﻐﯿﺮة )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ ،(3-1‬ﺗﺼﺒﺢ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺴﻄﺢ ‪ ،dS‬وﻟﯿﺲ‬ ‫ﺑﺎﻟﻀﺮورة ﻏﻄﺎء ﻛﺮوي‪ ،‬وﻟﻜﻦ ﻗﺪ ﯾﻜﻮن ﺳﻄﺤًﺎ ﺻﻐﯿﺮًﺍ ﻣﺴﺘﻮﯾًﺎ ﻋﻤﻮدﯾًﺎ ﻋﻠﻰ ‪ oP‬ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫‪DS‬‬ ‫|||‪UNTRANSLATED_CONT‬‬ ‫‪4-1‬‬ ‫‪ENT_START|||d = R‬‬ ‫‪2|||UNTRANSLATED_CON‬‬ ‫‪|||TENT_END‬‬ ‫ﻓﻲ ﺑﻌﺾ ﺍﻟﺤﺎﻻت‪ ،‬ﻻ ﯾﻜﻮن ﺍﻟﺴﻄﺢ ‪ ds‬ﻋﻤﻮدﯾًﺎ ﻋﻠﻰ ‪ ،oP‬وﻟﻜﻦ ‪ N‬ﺍﻟﻄﺒﯿﻌﻲ ﯾﺼﻨﻊ زﺍوﯾﺔ‬ ‫ﻣﻊ ‪( 0P‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.(4-1‬ﺛﻢ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﺮوري إﺳﻘﺎط ‪ dS‬ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ‪ ،0P‬ﻣﻤﺎ‬ ‫ﯾﻌﻄﯿﻨﺎ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ‪. dS'= dS cos‬ھﻜﺬﺍ‬ ‫‪11‬‬  dS COS =d UNTR||| ANSLA TED_C ONTEN T_STAR T|||R UNT|||2 RANSL ATED_C ONTEN ||T_END | -1.‫ﺗﻌﺒﯿﺮ ﺳﯿﻜﻮن ﻣﻔﯿﺪًﺍ ﺟﺪًﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺎت ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﺒﻠﯿﺔ‬ 11  ‫ﺍﻟﻤﻘﺎﯾﯿﺲ ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ وﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت‬ ‫ﯾﺘﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺍﻟﻌﺪﯾﺪ ﻣﻦ ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ ﺑﺎﻟﻜﺎﻣﻞ ﻣﻦ ﺧﻼل ﻣﻘﺪﺍرھﺎ‪ ،‬ﻣﻌﺒﺮًﺍ ﻋﻨﮭﺎ ﺑﻮﺣﺪة‬ ‫ﻣﻨﺎﺳﺒﺔ‪.‬وﺗﺴﻤﻰ ھﺬه ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻌﺪدﯾﺔ‪.‬ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬ﻟﺘﺤﺪﯾﺪ ﺣﺠﻢ ﺍﻟﺠﺴﻢ‪ ،‬ﻣﻦ‬ ‫ﺍﻟﻀﺮوري ﻓﻘﻂ ﺍﻹﺷﺎرة إﻟﻰ ﻋﺪد ﺍﻷﻣﺘﺎر ﺍﻟﻤﻜﻌﺒﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﯾﺸﻐﻠﮭﺎ‪.‬ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ درﺟﺔ ﺍﻟﺤﺮﺍرة‪ ،‬ﯾﻜﻔﻲ‬ ‫ﻗﺮﺍءﺔ ﻣﻘﯿﺎﺱ ﺣﺮﺍرة ﯾﻘﻊ ﻓﻲ ﻣﻜﺎن ﻣﻨﺎﺳﺐ‪.‬ﺍﻟﻮﻗﺖ وﺍﻟﻜﺘﻠﺔ وﺍﻟﺸﺤﻨﺔ وﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ھﻲ أﯾﻀًﺎ ﻛﻤﯿﺎت‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﯿﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﺘﻄﻠﺐ ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﺍﻟﻔﯿﺰﯾﺎﺋﯿﺔ ﺍﻷﺧﺮى‪ ،‬ﻟﺘﺤﺪﯾﺪھﺎ ﺑﺎﻟﻜﺎﻣﻞ‪ ،‬ﺍﺗﺠﺎھًﺎ ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺣﺠﻤﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻞ ھﺬه ﺍﻟﻜﻤﯿﺎت ﻧﺴﻤﯿﮭﺎ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت‪.‬ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﻛﺜﺮ وﺿﻮﺣﺎ ھﻲ ﺍﻟﻨﺰوﺡ‪.‬ﯾﺘﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ إزﺍﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﺠﺴﻢ ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﻔﻌﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﺮﻛﮭﺎ وﺍﻻﺗﺠﺎه ﻣﻦ ‪ 0‬إﻟﻰ ‪( A‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ ،(5-1‬وﯾﺘﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺍﻹزﺍﺣﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ d=5‬وﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ = ‪.37‬ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ ھﻲ أﯾﻀًﺎ ﻛﻤﯿﺔ ﻣﺘﺠﮭﺔ‪ ،‬ﺣﯿﺚ ﯾﺘﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ ﻣﻦ‬ ‫ﺧﻼل ﻣﻌﺪل ﺍﻹزﺍﺣﺔ وﺍﺗﺠﺎه ﺍﻹزﺍﺣﺔ‪.‬‬ ‫وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ‪ ،‬ﻓﺈن ﺍﻟﻘﻮة وﺍﻟﺘﺴﺎرﻉ ھﻤﺎ ﻛﻤﯿﺎت ﻣﺘﺠﮭﺔ‪.‬ﯾﺘﻢ ﺗﻤﺜﯿﻞ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت ﺑﯿﺎﻧﯿًﺎ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ‬ ‫ﻣﻘﺎطﻊ ﻣﺴﺘﻘﯿﻤﺔ ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ‬ ‫‪11‬‬  ‫)ﯾﺸﺎر إﻟﯿﮭﺎ ﺑﺴﮭﻢ( وطﻮل ﯾﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﻊ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍر‪.‬ﻋﻨﺪ ﺍﻟﻜﺘﺎﺑﺔ‪ ،‬ﯾﺸﯿﺮ ﺍﻟﺮﻣﺰ ﺍﻟﺬي ﯾﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺳﮭﻢ‪ ،‬ﻣﺜﻞ ‪ ،V‬إﻟﻰ ﻣﺘﺠﮫ )‪ ،.i،e‬ﺍﻟﻤﻘﺪﺍر ﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ﺍﻻﺗﺠﺎه(‪ ،‬ﺑﯿﻨﻤﺎ ﯾﺸﯿﺮ ‪ V‬إﻟﻰ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍر‬ ‫ﻓﻘﻂ‪.‬ﺳﺎﻟﺐ ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ ھﻮ ﻣﺘﺠﮫ آﺧﺮ ﻟﮫ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺤﺠﻢ وﻟﻜﻦ ﺍﻻﺗﺠﺎه ﺍﻟﻤﻌﺎﻛﺲ‪.‬‬ ‫)‪ (a‬إﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت‪:‬‬ ‫ﻟﻔﮭﻢ ﻗﺎﻋﺪة إﺿﺎﻓﺔ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت‪ ،‬ﺳﻨﻨﻈﺮ أوﻻً ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻹزﺍﺣﺎت‪.‬إذﺍ ﺗﻢ إزﺍﺣﺔ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ‬ ‫أوﻻً ﻣﻦ ‪ A‬إﻟﻰ ‪) B‬ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪،(1.6‬‬ ‫ﻣﻤﺜﻠﺔ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﮫ‬ ‫‪ ، d1‬ﺛﻢ ﻣﻦ ‪ B‬إﻟﻰ ‪ ،C‬أو‬ ‫‪ ، d 2‬وﺍﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ﻣﻜﺎﻓﺌﺔ‬ ‫إﻟﻰ إزﺍﺣﺔ وﺍﺣﺪة ﻣﻦ ‪ A‬إﻟﻰ ‪ ،C‬أو ‪ d‬ﺍﻟﺘﻲ ﻧﻜﺘﺒﮭﺎ رﻣﺰﯾﺎً ﻛـ ‪=d‬‬ ‫‪|||ENT_START|||d1 +|||UNTRANSLATED_CONTENT_END‬‬ ‫|||‪U‬‬ ‫‪NT‬‬ ‫‪RA‬‬ ‫‪NS‬‬ ‫‪LA‬‬ ‫‪TE‬‬ ‫‪_D‬‬ ‫‪CO‬‬ ‫‪NT‬‬ ‫‪2-1‬‬  ‫‪ED_CONTENT_START|||d 2‬‬ ‫‪|||UNTRANSLATED_CONTENT_END|||.‬‬ ‫|||‪UNTR‬‬ ‫‪ANSLAT‬‬ ‫ﯾﺠﺐ ﻋﺪﻡ ﺍﻟﺨﻠﻂ ﺑﯿﻦ ھﺬﺍ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ و ‪ ،d=d1+d2‬وﺍﻟﺬي ﯾﺸﯿﺮ ﻓﻘﻂ إﻟﻰ ﺍﻟﻤﻘﺎدﯾﺮ وﻻ ﯾﺤﻤﻞ ﻓﻲ ھﺬه‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪.‬ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻤﯿﻢ ﺍﻹﺟﺮﺍء ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻨﺎﺳﺐ أي ﻧﻮﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت‪.‬ﻟﺬﻟﻚ ﻧﻘﻮل أن‬ ‫‪ V2‬إذﺍ ﻛﺎن ﻛﺬﻟﻚ ‪ V1‬و ‪ V‬ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻉ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻛﻤﺎ ھﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.7-1‬ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ أﯾﻀًﺎ أن ﻧﺮى ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ أن‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت ﺗﺒﺎدﻟﻲ‪ ،‬وﺗﻜﻮن ﺍﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ھﻲ ﻧﻔﺴﮭﺎ إذﺍ ﻛﺎن ﺍﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺍﻟﺬي ﺗﺘﺠﮫ ﺑﮫ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت‬ ‫‪3-1‬‬  ‫ﯾﺘﻢ ﻋﻜﺴﮭﺎ ؛ ھﺬه ﻧﺘﯿﺠﺔ ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻟﮭﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﻄﺮﯾﻘﺔ‪.‬ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ ﻟﻠﺸﻜﻞ ‪ 1.7‬ﺟﺒﺮﯾًﺎ‬ ‫ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ‬ ‫‪V = V1 + V2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪+ = )AD(2‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ﻣﻘﺪﺍر ‪ ،V2‬ﻧﺮى ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ 1.8‬أن )(‪AC‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪.DC(2‬وﻟﻜﻦ ‪ AD = BD + BD = V1 + V2 COS‬و ‪. DC = V2 sin‬‬ ‫‪2 V 2 2V V‬‬ ‫‪ ،COS 2 1‬أو‬ ‫‪V 2= )V11 + V2 COS2(2 + )V sin (2 = V‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ‬ ‫‪V‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪22V‬‬ ‫‪COS‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪()1.7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪.(2‬‬ ‫ﻟﺘﺤﺪﯾﺪ ﺍﺗﺠﺎه ‪ ،V‬ﻧﺤﺘﺎﺝ ﻓﻘﻂ إﻟﻰ إﯾﺠﺎد ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ‪.‬ﻣﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﺬي ﻧﺮﺍه ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ‪،ACD‬‬ ‫‪4-1‬‬. BDC، CD = BC sin ‫ وﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ‬، CD = AC sin ‫ أو‬V sin = V2 sin ‫ﻟﺬﻟﻚ‬ 5-1  ‫‪V2‬‬ ‫‪V‬‬ ‫ﺧﻄﯿﺌﺔ‬ ‫ﺧﻄﯿﺌﺔ‪،‬‬ ‫وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ‪ BE = V1 sin = V2 sin β ،‬أو‬ ‫‪V1‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫ﺧﻄﯿﺌﺔ‬ ‫ﺧﻄﯿﺌﺔ‪،‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺠﻤﻊ ﺑﯿﻦ ﻛﻠﺘﺎ ﺍﻟﻨﺘﯿﺠﺘﯿﻦ‪ ،‬ﯾﺤﺼﻞ ﺍﻟﻤﺮء ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﺘﻤﺎﺛﻠﺔ‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺨﻄﯿﺌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺨﻄﻲ ﺍﻟﺨﻄﯿﺌﺔ‬ ‫‪8/1‬‬ ‫ﺋﺔ‬ ‫وھﻜﺬﺍ ﺍﺳﺘﺨﻠﺼﻨﺎ ﺗﻌﺒﯿﺮﯾﻦ أﺳﺎﺳﯿﯿﻦ ﻟﻌﻠﻢ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎت‪ ،‬وھﻤﺎ ﻗﺎﻧﻮن‬ ‫ھﻲ‬ ‫ﺟﯿﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ وﻗﺎﻧﻮن ﺍﻟﺠﯿﻮﺏ‪.‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺨﺎﺻﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ‪V1‬‬ ‫و ‪V2‬‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ ½= ،(9-1‬وﺍﻟﻌﻼﻗﺎت ﺍﻟﺘﺎﻟﯿﺔ ﻣﺘﻤﺎﺳﻜﺔ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻣﻘﺎﺑﻞ‬ ‫‪tan1 V= VV2 ,‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪6-1‬‬ 7-1 ‫ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ ﻣﺘﺠﮭﯿﻦ ﺑﺈﺿﺎﻓﺔ ﺍﻷول ﺍﻟﺴﺎﻟﺐ )أو ﺍﻟﻤﻌﺎﻛﺲ( ﻟﻠﺜﺎﻧﻲ )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ ،(10-1‬أي‪،‬‬ ‫‪( DV 1 V2 V 1)V2‬‬ ‫ﻻﺣﻆ أن ‪ V 2 V1 D‬؛ أي إذﺍ ﺗﻢ طﺮﺡ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت ﺑﺘﺮﺗﯿﺐ ﻋﻜﺴﻲ‪،‬‬ ‫ﻧﺘﺎﺋﺞ ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ ﺍﻟﻤﻌﺎﻛﺲ ؛ أي أن ﻓﺮق ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ ﻣﻀﺎد ﻟﻠﺘﺒﺪﯾﻞ‪.‬ﻣﻘﺪﺍر ﺍﻻﺧﺘﻼف ھﻮ‬ ‫ل‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 cos‬‬ ‫‪) 2VV‬‬ ‫‪V‬‬ ‫( ‪V‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.(2) COS‬‬ ‫‪V2 V‬‬ ‫‪22V‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪ (b‬ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻌﺪدي‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻤﻜﻦ ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻋﻤﻠﯿﺎت أﺧﺮى ذﺍت ﻣﺘﺠﮭﺎت إﻟﻰ ﺟﺎﻧﺐ إﺿﺎﻓﺘﮭﺎ‪.‬‬ ‫وﺍﺣﺪة ﻣﻦ ھﺬه ﺍﻟﻌﻤﻠﯿﺎت ھﻲ ﺍﻟﻤﻨﺘﺞ ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﻲ ؛ وآﺧﺮ ھﻮ ﺍﻟﻤﻨﺘﺞ ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ‪.‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﻲ ﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺏ‪ ،‬ﻣﻤﺜﻠﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ أ ‪.‬‬ ‫‪) B‬ﺍﻗﺮأ "‪ ،(" A dot B‬ﯾﺘﻢ ﺗﻌﺮﯾﻔﮭﺎ ﻋﻠﻰ أﻧﮭﺎ ﺍﻟﻜﻤﯿﺔ ﺍﻟﻌﺪدﯾﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻋﻦ طﺮﯾﻖ إﯾﺠﺎد‬ ‫ﻧﺎﺗﺞ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﺘﺠﮭﯿﻦ‪،‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ B‬وﺟﯿﺐ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ﻟﻠﺰﺍوﯾﺔ ﺑﯿﻦ‬ ‫|||‪. UNTRANSLATED_CONTENT_START|||A‬‬ ‫||| ‪()1.11UNTRANSLATED_CONTENT_END|||B = AB cos‬‬ ‫= ‪ ،A2‬ﻷن ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﻓﻲ ھﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ھﻲ ﺻﻔﺮ‪.‬إذﺍ ﻛﺎن ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎن‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺍﺿﺢ‪.‬‬ ‫أ‬ ‫أ‬ ‫ﻋﻤﻮدي )=‪ ،( 2 /‬و‬ ‫‪8-1‬‬  ‫ﺍﻟﻤﻨﺘﺞ ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﻲ ھﻮ ﺻﻔﺮ‪.‬ﻟﺬﻟﻚ ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫‪. A B = 0‬ﺑﺴﺒﺐ ﺗﻌﺮﯾﻔﮫ‪ ،‬ﯾﻜﻮن ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﻲ ﺗﺒﺎدﻟﯿًﺎ ؛ أي‪،‬‬ ‫‪. A |||UNTRANSLATED_CONTENT_START|||B = B‬‬ ‫|||‪|||UNTRANSLATED_CONTENT_END‬أ‪ ،‬ﻷن ‪ cos‬ھﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﺤﺎﻟﺘﯿﻦ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺘﺞ ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﻲ ﺗﻮزﯾﻌﻲ ﻓﯿﻤﺎ ﯾﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻟﻤﺠﻤﻮﻉ‪ ،‬أي‬ ‫ﺝ أ ﺏ ( \ﺝ\ \ أ ﺏ\ ﻛﻮﺱ ﺝ)‪0‬ﺏ (‪،‬‬ ‫ﻷن‬ ‫‪(CA COS =C(0‬‬ ‫‪.A + B | cos = ob‬وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ‪،‬‬ ‫تأ‬ ‫و‬ ‫‪.(Vjs* C.. A C.B C(oa + ab) = C(ob‬‬ ‫)‪.(1.12‬‬ ‫‪9-1‬‬  ‫)‪ (c‬ﻣﻨﺘﺞ ﻣﺘﺠﮫ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﻲ ﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺏ‪ ،‬ﻣﻤﺜﻠﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬ ‫ﯾﺘﻢ ﺗﻌﺮﯾﻒ ‪) A × B‬ﺍﻗﺮأ "‪ ،(" A cross B‬ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ ﺍﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﯾﺤﺪده‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺏ وﻓﻲ ﺍﺗﺠﺎه ﺗﻘﺪﻡ‬ ‫ﺑﺮﻏﻲ أﯾﻤﻦ ﻣﺴﺘﺪﯾﺮ ﻣﻦ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺏ )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.(1.12‬ﺍﻟﻤﺴﻤﺎر ﺍﻷﯾﻤﻦ ھﻮ‬ ‫وﺍﺣﺪة‪ ،‬إذﺍ ﺗﻢ وﺿﻊ ﺍﻟﯿﺪ ﺍﻟﯿﻤﻨﻰ ﻛﻤﺎ ھﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ ،1.12‬ﻣﻊ ﺗﻮﺟﯿﮫ ﺍﻷﺻﺎﺑﻊ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﺪورﺍن‪ ،‬ﯾﺘﻘﺪﻡ ﺍﻟﻤﺴﻤﺎر ﻓﻲ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻹﺑﮭﺎﻡ‪.‬ﻣﻌﻈﻢ ﺍﻟﺒﺮﺍﻏﻲ ﺍﻟﻌﺎدﯾﺔ ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﺍﻟﯿﺪ ﺍﻟﯿﻤﻨﻰ‪.‬‬ ‫ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ‬ ‫ﯾﺘﻢ إﻋﻄﺎء ‪ A × B‬ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ‬ ‫‪10 - 1‬‬ A ()1.13 B |= AB sin 11 - 1  ‫ﻣﻦ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺣﺎﺻﻞ ﺍﻟﻀﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﻲ‪ ،‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪()1.14‬‬ ‫‪A × B = - B × A،‬‬ ‫ﻷن إﺣﺴﺎﺱ دورﺍن ﺍﻟﺒﺮﻏﻲ ﯾﻨﻌﻜﺲ ﻋﻨﺪ ﺗﻐﯿﯿﺮ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺍﻟﻤﺘﺠﮭﺎت‪ ،‬ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻧﺎﺗﺞ ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ‬ ‫ﻏﯿﺮ ﺗﺒﺎدﻟﻲ‪.‬إذﺍ ﻛﺎن ھﻨﺎك ﻣﺘﺠﮭﺎن ﻣﺘﻮﺍزﯾﺎن‪،‬‬ ‫= ‪ ، sin = 0 ،0‬وﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ ھﻮ ﺻﻔﺮ‪.‬ﻟﺬﻟﻚ ﻓﺈن ﺣﺎﻟﺔ‬ ‫ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺘﻮﺍزي ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ‪A‬‬ ‫أ ﺏ ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺍﺿﺢ‬ ‫×‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻻﺣﻆ أن ﺣﺠﻢ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮﺏ ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ ﯾﺴﺎوي ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍزي ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻧﺎﺗﺠﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻦ رؤﯾﺔ ذﻟﻚ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.(13-1‬‬ ‫ﺣﺠﻤﮭﺎ‪.‬‬ ‫‪ A × B‬ھﻮ ‪. AB sin‬ﻟﻜﻦ ‪ ،B sin = h‬ﺣﯿﺚ ‪ h‬ھﻮ ﺍرﺗﻔﺎﻉ‬ ‫ﺷﻜﻞ ﻣﺘﻮﺍزي ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻣﻊ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺏ ﻛﺠﺎﻧﺒﯿﻦ‪.‬ھﻜﺬﺍ‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ = B |= A h‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍزي ﺍﻷﺿﻼﻉ‪.‬‬ ‫‪12 - 1‬‬  ‫ﺍﻟﻤﯿﻜﺎﻧﯿﻜﺎ‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻞ وﺍﻟﺴﻠﻄﺔ‪:‬‬ ‫دﻋﻮﻧﺎ ﻧﻔﻜﺮ ﻓﻲ ﺟﺴﯿﻢ ﯾﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ طﻮل ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ C‬ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ‬ ‫ﻗﻮَّة‬ ‫|||‪UNTRANSLATED_CONTENT_START|||F )-Fig. 2‬‬ ‫‪|||UNTRANSLATED_CONTENT_END|||.(3‬‬ ‫ﻓﻲ وﻗﺖ ﻗﺼﯿﺮ ﺟﺪًﺍ )‪ ،(dt‬ﯾﻨﺘﻘﻞ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ﻣﻦ ‪ A‬إﻟﻰ ‪. ’A‬ﺍﻟﻨﺰوﺡ‬ ‫ﺍﻟﻜﯿﻨﻮ‬ ‫‪A‬‬ ‫و ﺧﻼل ھﺬﺍ ﺍﻹزﺍﺣﺔ‬ ‫‪ !r‬ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬي ﺗﻘﻮﻡ ﺑﮫ ﺍﻟﻘﻮة‬ ‫ﻧﺔ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﯾﺤﺪدھﺎ ﺍﻟﻤﻨﺘﺞ ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﻲ‬ ‫‪. dW F.d r‬‬ ‫‪13 - 1‬‬ ‫|||‪UNTRANSLATED_CONTENT_START|||(2.16‬‬ ‫(|||‪|||UNTRANSLATED_CONTENT_END‬‬ ‫ﺗﺤﺪﯾﺪ ﻣﻘﺪﺍر ‪) d r‬أي ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻢ ﺗﺤﺮﯾﻜﮭﺎ( ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ‪ ،ds‬ﻗﺪ‬ ‫وﯾﻜﺘﺐ أﯾﻀًﺎ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ (2.16‬ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻤﻮذﺝ‬ ‫‪()2.17‬‬ ‫‪dW = F ds cos‬‬ ‫‪14 - 1‬‬  ‫أﯾﻦ ھﻲ ﺍﻟﺰﺍوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻘﻮة‬ ‫و وﺍﻟﻨﺰوﺡ‬ ‫‪!r‬‬ ‫ﺍﻵن ‪ F cos‬ھﻮ ﺍﻟﻤﻜﻮن ‪ FT‬ﻟﻠﻘﻮة ﻋﻠﻰ طﻮل ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ إﻟﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎر‪ ،‬ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫‪.dW = FTDS‬‬ ‫|||‪UNTRANSLATED_CONTE‬‬ ‫‪NT_START|||(2.18)|||UNTRANSLATED_CONTENT_END‬‬ ‫|||‬ ‫ﺑﺎﻟﻜﻠﻤﺎت‪ ،‬ﻧﻘﻮل أن "ﺍﻟﺸﻐﻞ ﯾﺴﺎوي ﺍﻹزﺍﺣﺔ ﻣﻀﺮوﺑﺔ ﻓﻲ ﻣﻜﻮن ﺍﻟﻘﻮة ﻋﻠﻰ طﻮل ﺍﻹزﺍﺣﺔ"‪.‬‬ ‫دﻋﻮﻧﺎ ﻧﻼﺣﻆ أﻧﮫ إذﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻘﻮة ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻹزﺍﺣﺔ )=‪ ،(90‬ﻓﺈن ﺍﻟﺸﻐﻞ ﺍﻟﺬي ﺗﻘﻮﻡ ﺑﮫ ﺍﻟﻘﻮة‬ ‫ھﻮ ﺻﻔﺮ‪.‬ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬ھﺬﺍ‬ ‫ھﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﺔ ‪ F N‬ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮﯾﺔ )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ ،(a 4-2‬أو‬ ‫ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻣﻠﻎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺘﻢ ﺗﺤﺮﯾﻚ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻓﻘﻲ )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ 2.4‬ﺏ(‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.16‬ﺗﻌﻄﻲ ﺍﻟﺸﻐﻞ ﻹزﺍﺣﺔ ﻣﺘﻨﺎھﯿﺔ ﺍﻟﺼﻐﺮ‪.‬إﺟﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ‬ ‫‪21‬‬ ‫ﻋﻨﺪ ﺍﻻﻧﺘﻘﺎل ﻣﻦ أ إﻟﻰ ﺏ )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ (5-2‬ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻉ ﺟﻤﯿﻊ ﺍﻷﻋﻤﺎل ﻣﺘﻨﺎھﯿﺔ ﺍﻟﺼﻐﺮ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰة‬ ‫ﺧﻼل ﻋﻤﻠﯿﺎت ﺍﻹزﺍﺣﺔ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻗﺒﺔ ﻣﺘﻨﺎھﯿﺔ ﺍﻟﺼﻐﺮ‪.‬‬ ‫‪21‬‬  ‫وھﺬﺍ ھﻮ‬ ‫‪... W F1. d r1 F2. d r2 F3. d r3‬‬ ‫أو‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪W A F. d r A FT‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪*S‬‬ ‫ﻗﺒﻞ أن ﻧﺘﻤﻜﻦ ﻣﻦ ﺗﻨﻔﯿﺬ ﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﺍﻟﺬي ﯾﻈﮭﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ ،(2.19‬ﯾﺠﺐ ﻋﻠﯿﻨﺎ‬ ‫أﻋﺮ‬ ‫‪ F‬ﻛﺪﺍﻟﺔ ﻟـ ‪ x‬و ‪ y‬و ‪.z‬أﯾﻀًﺎ‪ ،‬ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ‪ ،‬ﯾﺠﺐ أن ﻧﻌﺮف‬ ‫ف‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺎر ﺍﻟﺬي ﯾﺘﺤﺮك ﻓﯿﮫ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ‪.‬ﺑﺪﻻً ﻣﻦ ذﻟﻚ‪ ،‬ﻧﺤﻦ‬ ‫ﻣﻌﺮﻓﺔ ‪ F‬و ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ z‬ﻛﺪوﺍل ﻟﻠﺰﻣﻦ أو ﺑﻌﺾ ﺍﻟﻤﺘﻐﯿﺮﺍت ﺍﻷﺧﺮى‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﺑﻌﺾ ﺍﻷﺣﯿﺎن ﯾﻜﻮن ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻨﺎﺳﺐ ﺗﻤﺜﯿﻞ ‪ FT‬ﺑﯿﺎﻧ ًﯿﺎ‪.‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪ 6-2‬ﻟﺪﯾﻨﺎ ﺍﻟﺮﺳﻢ ﻛﺪﺍﻟﺔ‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺎﻓﺎت‪.‬ﺍﻟﻌﻤﻞ ‪ dW = FT ds‬ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ ﺧﻼل إزﺍﺣﺔ ﺻﻐﯿﺮة ‪ ds‬ﯾﺘﻮﺍﻓﻖ ﻣﻊ ﻣﺴﺎﺣﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ ﺍﻟﻀﯿﻖ‪.‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ ﺍﻟﻌﺜﻮر ﻋﻠﻰ إﺟﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪ 5-2‬ﻣﻦ أﺟﻞ ﻧﻘﻠﮫ ﻣﻦ ‪ A‬إﻟﻰ ‪ B‬ﻋﻦ طﺮﯾﻖ ﺗﻘﺴﯿﻢ ﺍﻟﻤﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﺑﺎﻟﻜﺎﻣﻞ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪6-2‬‬ ‫إﻟﻰ ﻣﺴﺘﻄﯿﻼت ﺿﯿﻘﺔ و‬ ‫‪21‬‬  ‫ﺛﻢ ﯾﻀﯿﻔﻮن ﻣﺴﺎﺣﺎﺗﮭﻢ‪.‬أي أن ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ ﯾﺘﻢ ﻣﻦ ﺧﻼل إﺟﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﻈﻠﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪.6-2‬‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺧﺎﺻﺔ ﻣﺜﯿﺮة ﻟﻼھﺘﻤﺎﻡ ھﻲ ﺗﻠﻚ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻜﻮن ﻓﯿﮭﺎ ﺍﻟﻘﻮة ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﺠﻢ وﺍﻻﺗﺠﺎه وﯾﺘﺤﺮك‬ ‫ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻓﻲ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓﻲ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻘﻮة‪.‬ﺛﻢ ‪ FT = F‬و ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪ (n. )2.19‬ﻏﻠﺔ‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺏ‬ ‫)‪(2.20‬‬ ‫دﺑﻠﯿﻮ إﯾﮫ إف دي إﺱ إف إﯾﮫ دي إﺱ إف إﺱ‪،‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻞ = ﺍﻟﻘﻮة × ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‪.‬‬ ‫أو‬ ‫ﺿﻊ ﻓﻲ ﺍﻋﺘﺒﺎرك أن ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ‪ m‬ﯾﺘﺤﺮك ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﻘﺪﺍر ﺍﻟﻘﻮة‬ ‫‪ F‬وھﻮ ﺛﺎﺑﺖ ﻓﻲ‬ ‫وﺍﺗﺠﺎھﮭﺎ‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.7-2‬‬ ‫ﻋﻤﻞ‬ ‫‪ F‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺘﺤﺮك ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ﻣﻦ ‪ A‬إﻟﻰ ‪ B‬ﻋﻠﻰ طﻮل ﺍﻟﻤﺴﺎر )‪ (1‬ھﻮ‬ ‫ﺏ‬ ‫ﺏ‬ ‫‪W A F. d r‬‬ ‫‪FA d r-.(F.( rB rA‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2-2‬‬ ‫وﻣﻦ ﺍﻻﺳﺘﻨﺘﺎﺟﺎت ﺍﻟﮭﺎﻣﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻤﺪة ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.21‬ھﻮ أن ﺍﻟﻌﻤﻞ ﻓﻲ ھﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺴﺎر‬ ‫ﺍﻟﺬي ﯾﺮﺑﻂ ﺑﯿﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ‪ A‬و ‪.B‬ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬إذﺍ ﻛﺎن ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ‪،‬‬ ‫‪3-2‬‬  ‫ﺑﺪﻻً ﻣﻦ ﺍﻟﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ طﻮل ﺍﻟﻤﺴﺎر )‪ ،(1‬ﯾﺘﺤﺮك ﻋﻠﻰ طﻮل ﺍﻟﻤﺴﺎر )‪ ،(2‬ﺍﻟﺬي ﯾﺮﺑﻂ أﯾﻀًﺎ ‪ A‬و‬ ‫ﺏ‪ ،‬ﺳﯿﻜﻮن ﺍﻟﻌﻤﻞ ھﻮ ﻧﻔﺴﮫ ﻷن ﻓﺮق ﺍﻟﻤﺘﺠﮫ ‪ rB rA AB‬ﻻ ﯾﺰﺍل‬ ‫ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‪.‬ﻻﺣﻆ أن ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.21‬ﯾﻤﻜﻦ ﻛﺘﺎﺑﺘﮭﺎ أﯾﻀًﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻤﻮذﺝ‬ ‫‪' WFrBFrA‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﺴﺎوي ﺍﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ ﺍﻟﻜﻤﯿﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻢ ﺗﻘﯿﯿﻤﮭﺎ ﻓﻲ‬ ‫أﺣﺪ طﺮﻓﻲ ﺍﻟﻄﺮﯾﻖ وﺍﻵﺧﺮ‪.‬ﺗﻄﺒﯿﻖ ﻣﮭﻢ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.21‬ﯾﻤﻜﻦ ﺍﻟﻌﺜﻮر ﻋﻠﯿﮭﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬي‬ ‫ﺗﻘﻮﻡ ﺑﮫ ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ )ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.(8-2‬‬ ‫ﻓﻲ ھﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ F = mg = - uy mg‬و ‪.(rB rA uZ ) xB xA( uy ) yB yA‬‬ ‫ﻟﺬﻟﻚ‪ ،‬ﻓﺈن ﺍﻻﺳﺘﺒﺪﺍل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.21‬وﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.22‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺘﺞ ﺍﻟﻘﯿﺎﺳﻲ‪،‬‬ ‫ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ ‫‪W mg( yB yA( mgyA mgyB‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﻮﺍﺿﺢ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.23‬ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﻣﺮﺍﺟﻊ ﻟﻠﻤﺴﺎر‪ ،‬وﺍﻟﻌﻤﻞ‬ ‫‪ yB yA‬ﺑﯿﻦ ﺍرﺗﻔﺎﻋﺎت ﻧﻘﻄﺘﻲ ﺍﻟﻨﮭﺎﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻓﻘﻂ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻔﺮق‬ ‫وﺣﺪة ﺍﻟﻌﻤﻞ ﻓﻲ ﻧﻈﺎﻡ ‪ MKS‬ھﻲ ﺍﻟﺠﻮل‪ ،‬وﺗﺨﺘﺼﺮ ‪.J‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪدة‪ 1 ،‬ﺟﻮل ) ‪= ) J‬‬ ‫‪ 1‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺘﺮ‪.‬ﺣﯿﺚ أن ﺍﻟﻌﻤﻞ ھﻮ ﻧﺘﺎﺝ ﺍﻟﻜﻤﯿﺔ‪.‬ﻓﻲ ﻧﻈﺎﻡ ‪ ،cge‬ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻌﻤﻞ‬ ‫ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﯿﻤﺘﺮﺍت‪ ،‬وھﻲ وﺣﺪة ﺗﺴﻤﻰ ‪.erg‬‬ ‫وھﻜﺬﺍ ‪.erg = dyne cm :‬ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺬﻛﯿﺮ ﺑﺄن ‪ N = 105 dyne 1‬و ‪ ،m = 102 cm 1‬ﻟﺪﯾﻨﺎ‬ ‫‪.J = )105 dyne( ) 102 cm( = 107 ergs 1‬‬ ‫‪4-2‬‬  ‫ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻄﺒﯿﻘﺎت ﺍﻟﻌﻤﻠﯿﺔ‪ ،‬ﺧﺎﺻﺔ ﻓﯿﻤﺎ ﯾﺘﻌﻠﻖ ﺑﺎﻵﻻت وﺍﻟﮭﻨﺪﺳﺔ‪ ،‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﮭﻢ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻣﻌﺪل‬ ‫إﻧﺠﺎز ﺍﻟﻌﻤﻞ‪.‬ﯾﺘﻢ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻠﺤﻈﯿﺔ‬ ‫‪dW‬‬ ‫إﻟﻰ ﺗﺎرﯾﺦ‪P‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫أي أن ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﯾﺘﻢ ﺗﻌﺮﯾﻔﮭﺎ ﻋﻠﻰ أﻧﮭﺎ ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ ﻟﻜﻞ وﺣﺪة زﻣﻨﯿﺔ ﺧﻼل ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ ﺻﻐﯿﺮة‬ ‫ﺟﺪًﺍ‪.‬ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻡ )‪ (2.16‬ﻗﺪ ﻧﻜﺘﺐ أﯾﻀًﺎ‬ ‫‪P‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪F.v‬‬ ‫و‪.‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﯾﻤﻜﻦ أﯾﻀًﺎ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺍﻟﻘﺪرة ﻋﻠﻰ أﻧﮭﺎ ﻗﻮة ﻣﻀﺮوﺑﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ‪.‬ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺍﻟﻘﺪرة ﺧﻼل ﻓﺘﺮة زﻣﻨﯿﺔ ﻋﻦ طﺮﯾﻖ ﻗﺴﻤﺔ إﺟﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻌﻤﻞ ‪ ،W‬ﻛﻤﺎ ھﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ ،(2.19‬ﺑﺤﻠﻮل ﺍﻟﻮﻗﺖ ‪ ،t‬ﺍﻟﺨﻀﻮﻉ‬ ‫‪.Pav = W/t‬‬ ‫ﻣﻦ ھﻨﺪﺳﺔ ﺍﻟﺮؤﯾﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﻣﻔﮭﻮﻡ ﺍﻟﻘﻮة ﻣﮭﻢ ﻟﻠﻐﺎﯾﺔ ﻷﻧﮫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺼﻤﻢ ﺍﻟﻤﮭﻨﺪﺱ آﻟﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﺍﻟﻤﻌﺪل‬ ‫ﺍﻟﺬي ﯾﻤﻜﻨﮭﺎ ﺑﮫ ﺍﻟﻘﯿﺎﻡ ﺑﺎﻟﻌﻤﻞ ھﻮ ﺍﻟﻤﮭﻢ‪ ،‬ﺑﺪﻻً ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺒﻠﻎ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﻲ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬي ﯾﻤﻜﻦ ﻟﻶﻟﺔ ﺍﻟﻘﯿﺎﻡ‬ ‫ﺑﮫ‪.‬‬ ‫وﻓﻘًﺎ ﻟﻠﺘﻌﺮﯾﻒ )‪ ،(2.24‬ﯾﺠﺐ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﺪرة ﻋﻠﻰ أﻧﮭﺎ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ وﺣﺪة ﺍﻟﻌﻤﻞ ووﺣﺪة‬ ‫ﺍﻟﻮﻗﺖ‪.‬ﻓﻲ ﻧﻈﺎﻡ ‪ ،MKS‬ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﺪرة ﺑﺎﻟﺠﻮل ﻓﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‪ ،‬وھﻲ وﺣﺪة ﺗﺴﻤﻰ وﺍط‪،‬‬ ‫وﺗﺨﺘﺼﺮ ‪.W‬وﺍﺣﺪ وﺍط ھﻲ ﻗﻮة آﻟﺔ ﺗﻌﻤﻞ ﺑﻤﻌﺪل ﺟﻮل وﺍﺣﺪ ﻓﻲ ﺍﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‪.‬ﻣﻀﺎﻋﻔﺎت ﺍﻟﻮﺍط‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﺨﺪﻣﺔ ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ ھﻲ ﺍﻟﻜﯿﻠﻮوﺍت )‪ (KW‬وﺍﻟﻤﯿﺠﺎوﺍت )‪ ،(MW‬ﺍﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫‪5-2‬‬  ‫ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ‪ 1 :‬ﻛﯿﻠﻮ وﺍط = ‪ 103‬وﺍط و ‪ 1‬ﻣﯿﺠﺎ وﺍط = ‪ 106‬وﺍط‪.‬وﺣﺪة ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﯾﺸﯿﻊ‬ ‫ﺍﺳﺘﺨﺪﺍﻣﮭﺎ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ ﺍﻟﻤﮭﻨﺪﺳﯿﻦ ھﻲ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﺤﺼﺎﻧﯿﺔ‪ ،‬وﺗﺨﺘﺼﺮ ﺣﺼﺎن‪ ،‬وﺗﻌﺮف ﺑﺄﻧﮭﺎ ‪746‬‬ ‫وﺍط‪.‬‬ ‫وﺣﺪة أﺧﺮى ﺗﺴﺘﺨﺪﻡ ﻟﻠﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻌﻤﻞ ھﻲ ﺍﻟﻜﯿﻠﻮوﺍط‪/‬ﺳﺎﻋﺔ‪.‬ﯾﺴﺎوي ﺍﻟﻜﯿﻠﻮ وﺍط ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﺸﻐﻞ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ ﺧﻼل ﺳﺎﻋﺔ وﺍﺣﺪة ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﻣﺤﺮك ﺗﺒﻠﻎ ﻗﺪرﺗﮫ ﻛﯿﻠﻮ وﺍط وﺍﺣﺪ‪.‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪1 :‬‬ ‫ﻛﯿﻠﻮ وﺍط ﻓﻲ ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ = )‪ 103‬وﺍط( ) ‪ 10 ×3 3.6‬ث ( = ‪ 10 ×6 3.6‬ﺟﻮل ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ‬ ‫ﻧﺤﻦ ﻧﻌﻠﻢ أن ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻤﻤﺎﺳﯿﺔ ‪.FT = maT = m dv/dt‬ﻟﺬﻟﻚ‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪ETds‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫‪، mv dv‬‬ ‫‪ds m dv‬‬ ‫‪mdt‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫وﺑﻤﺎ أن ‪ ،v = ds/dt‬ﻓﺈن ﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﯾﻈﮭﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.19‬ﻹﺟﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻌﻤﻞ ھﻮ‬ ‫ﺍﻡ ﻓﻲ‬ ‫ﺏﺍفﺗﻲ دي ﺍﺱ‬ ‫دﺑﻠﯿﻮ‬ ‫ﺏ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﯾﮫ‬ ‫ﺍﯾﮫ‬ ‫‪mv22 Bmv2 2‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.26-2‬‬ ‫دي ﻓﻲ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ‪ B‬ھﻲ ﺳﺮﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ﻋﻨﺪ ‪ B‬و ‪ A‬ھﻲ ﺳﺮﻋﺔ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ﻋﻨﺪ ‪.A‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﯿﺠﺔ )‪ (2.26‬ﺗﺸﯿﺮ إﻟﻰ أﻧﮫ ﺑﻐﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺸﻜﻞ ﺍﻟﻮظﯿﻔﻲ ﻟﻠﻘﻮة ‪F‬‬ ‫وﺍﻟﻤﺴﺎر ﺍﻟﺬي ﯾﺘﺒﻌﮫ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ‪ ،‬ﻗﯿﻤﺔ ﺍﻟﻌﻤﻞ ‪ W‬ﺍﻟﻜﻤﯿﺔ ½ ‪ mv2‬ﺍﻟﻤﻘﺪرة ﻓﻲ ﺍﻟﻨﮭﺎﯾﺔ ﻓﻲ ﺑﺪﺍﯾﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺎر‪.‬ﯾﺘﻢ ﺗﺤﺪﯾﺪ ھﺬه ﺍﻟﻜﻤﯿﺔ ﺍﻟﻤﮭﻤﺔ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ‪ ،‬ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ‪.EK‬ﻟﺬﻟﻚ‬ ‫‪()2.27‬‬ ‫‪EK = mv ½2 = EK = P2/2m‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن ‪.P=mv‬ﯾﻤﻜﻦ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.26‬ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪6-2‬‬ ،W = EK،B –EK ،A 7-2  ‫وﺍﻟﺘﻲ ﯾﻤﻜﻦ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻨﮭﺎ ﺑﺎﻟﻜﻠﻤﺎت ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻮ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪ :‬ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ﯾﺴﺎوي‬ ‫ﺍﻟﺘﻐﯿﺮ ﻓﻲ طﺎﻗﺘﮫ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ "‪ ،‬وھﻲ ﻧﺘﯿﺠﺔ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ‪ ،‬ﺑﻐﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ طﺒﯿﻌﺔ ﺍﻟﻘﻮة‪.‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ أن ﻧﺮى أن ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ ﺗﻘﺎﺱ ﺑﻮﺿﻮﺡ ﺑﻨﻔﺲ وﺣﺪﺍت ﺍﻟﺸﻐﻞ‪ ،‬أي ﺑﺎﻟﺠﻮل ﻓﻲ‬ ‫ﻧﻈﺎﻡ ‪ MKS‬وﻓﻲ ‪ ergs‬ﻓﻲ ﻧﻈﺎﻡ ‪.cgs‬‬ ‫ﻗﻮة ﻛﺎﻣﻨﺔ‪/‬طﺎﻗﺔ ﻛﺎﻣﻨﺔ‬ ‫ﺗﻜﻮن ﺍﻟﻘﻮة ﻣﺘﺤﻔﻈﺔ إذﺍ ﻛﺎن ﺍﻋﺘﻤﺎدھﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﺠﮫ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ‬ ‫‪ r‬أو ‪on‬‬ ‫ﺍﻹﺣﺪﺍﺛﯿﺎت ‪ x، y، z‬ﻟﻠﺠﺴﯿﻢ ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻤﻜﻦ دﺍﺋﻤًﺎ ﺍﻟﺘﻌﺒﯿﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﺸﻐﻞ ‪ W‬ﻋﻠﻰ أﻧﮫ ﺍﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ‬ ‫ﺍﻟﻜﻤﯿﺔ ‪ (EP) x، y، z‬ﯾﺴﻤﻰ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ‪ ،‬وھﻮ دﺍﻟﺔ ﻹﺣﺪﺍﺛﯿﺎت ﺍﻟﺠﺴﯿﻤﺎت‪.‬‬ ‫ﺛﻢ‪ ،‬إذﺍ‬ ‫‪ F‬ھﻲ ﻗﻮة ﻣﺤﺎﻓﻈﺔ‪،‬‬ ‫ﺏ‬ ‫‪F. d r‬‬ ‫‪W A‬‬ ‫‪EP،A‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪EP،B‬‬ ‫ﻻﺣﻆ أﻧﻨﺎ ﻧﻜﺘﺐ ‪ EPA – EPA‬وﻟﯿﺲ ‪ EPA – EPA‬؛ أي أن ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ ﯾﺴﺎوي ‪EPA‬‬ ‫ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﺒﺪﺍﯾﺔ ﻧﺎﻗﺺ ‪ EPA‬ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺍﻟﻨﮭﺎﯾﺔ‪ ،‬وﺑﻌﺒﺎرة أﺧﺮى‪ " ،‬ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ ھﻲ دﺍﻟﺔ‬ ‫ﻟﻺﺣﺪﺍﺛﯿﺎت ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﺍﻟﻔﺮق ﺑﯿﻦ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻮﺍﺿﻊ ﺍﻷوﻟﯿﺔ وﺍﻟﻨﮭﺎﺋﯿﺔ ﻣﺴﺎوﯾًﺎ ﻟﻠﻌﻤﻞ ﺍﻟﻤﻨﺠﺰ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ﻟﻨﻘﻠﮫ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﺍﻷوﻟﻲ إﻟﻰ ﺍﻟﻤﻮﺿﻊ ﺍﻟﻨﮭﺎﺋﻲ"‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻤﻌﻨﻰ ﺍﻟﺪﻗﯿﻖ ﻟﻠﻜﻠﻤﺔ‪ ،‬ﯾﺠﺐ أن ﺗﻌﺘﻤﺪ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ ‪ EP‬ﻋﻠﻰ إﺣﺪﺍﺛﯿﺎت ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ‬ ‫ﺍﻟﻤﺪروﺱ‪ ،‬وﻛﺬﻟﻚ ﻋﻠﻰ إﺣﺪﺍﺛﯿﺎت ﺟﻤﯿﻊ ﺍﻟﺠﺴﯿﻤﺎت ﺍﻷﺧﺮى ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺎﻟﻢ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺘﻔﺎﻋﻞ ﻣﻌﮭﺎ‪.‬‬ ‫ﯾﺠﺐ أن ﯾﺪرك ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‪ ،‬وﯾﻘﺎرن ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.29‬ﺑﺎﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ )‪ ،(2.27‬أن ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.23‬ﺻﺎﻟﺤﺔ ﺑﺸﻜﻞ ﻋﺎﻡ ﺑﻐﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻘﻮة‬ ‫و )(‬ ‫‪8-2‬‬  ‫ﻛﻦ ﺻﺤﯿﺢ دﺍﺋﻤًﺎ أن ‪ ،EK = m ½v2‬ﻓﻲ ﺣﯿﻦ أن طﺎﻗﺔ ﺍﻟﺪﺍﻟﺔ ‪,EP )x, y‬‬ ‫‪ (z‬ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ طﺒﯿﻌﺔ ﺍﻟﻘﻮة ‪ ،F‬وﻟﯿﺲ ﻛﻞ ﺍﻟﻘﻮى ﻗﺪ ﺗﺮﺿﻲ‬ ‫ﺍﻟﺸﺮط ﺍﻟﺬي ﺣﺪدﺗﮫ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.29-2‬ﻓﻘﻂ أوﻟﺌﻚ ﺍﻟﺬﯾﻦ ﯾﺮﺿﻮﻧﮭﺎ ﯾﺴﻤﻮن ﻣﺤﺎﻓﻈﯿﻦ‪.‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬ﻣﻘﺎرﻧﺔ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.29‬ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ ،(2.23‬ﻧﻼﺣﻆ أن ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻣﺘﺤﻔﻈﺔ‪،‬‬ ‫وﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ ﺑﺴﺒﺐ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ھﻲ‬ ‫‪()2.30‬‬ ‫‪EP = mgy‬‬ ‫وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ‪ ،‬ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ ،(2.22‬ﻧﺮى أن ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻘﻮة ﺛﺎﺑﺘﺔ ھﻲ‬ ‫ه‬ ‫‪!r‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﺸﺎﻛﻞ ﺍﻷﺟﺴﺎﻡ ﺍﻟﻤﺘﺴﺎﻗﻄﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﺳﻄﺢ ﺍﻷرض ھﻮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻮى ﺍﻟﻤﺮﺟﻌﻲ ﺍﻷﻛﺜﺮ‬ ‫ﻣﻼءﻤﺔ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ ﺑﺴﺒﺐ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﺗﺆﺧﺬ ﻋﻠﻰ أﻧﮭﺎ ﺻﻔﺮ ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻷرض‪.‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻤﺮ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﻲ‪ ،‬ﺳﻮﺍء ﻛﺎن طﺒﯿﻌﯿًﺎ أو ﻣﻦ ﺻﻨﻊ ﺍﻹﻧﺴﺎن‪ ،‬ﻋﺎدة ﻣﺎ ﯾﺘﻢ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺻﻔﺮ‬ ‫ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻻ ﺣﺼﺮ ﻟﮭﺎ‪.‬‬ ‫"ﺍﻟﻌﻤﻞ ﺍﻟﺬي ﺗﻘﻮﻡ ﺑﮫ ﺍﻟﻘﻮى ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻈﺔ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺴﺎر"‪.‬‬ ‫ﯾﻤﻜﻨﻨﺎ أن ﻧﺮى ھﺬﺍ ﻣﻦ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺍﻟﻤﺤﺪدة‪ (2.29).‬ﺣﯿﺚ أﻧﮫ وﺑﻐﺾ ﺍﻟﻨﻈﺮ ﻋﻦ ﺍﻟﻤﺴﺎر ﺍﻟﺬي‬ ‫ﯾﺮﺑﻂ ﺑﯿﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ )أ( و )ﺏ(‪ ،‬ﯾﺒﻘﻰ ﺍﻟﻔﺮق ‪ E P، A – EP،B‬ﻛﻤﺎ ھﻮ ﻷﻧﮫ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻓﻘﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪9-2‬‬ ‫إﺣﺪﺍﺛﯿﺎت ‪ A‬و ‪ B‬ﻋﻠﻰ وﺟﮫ ﺍﻟﺨﺼﻮﺹ‪ ،‬إذﺍ ﻛﺎن ﺍﻟﻤﺴﺎر ﻣﻐﻠﻘًﺎ‬ ‫‪10 - 2‬‬  ‫ﺍﻟﺸﻜﻞ )‪ (9-2‬ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺘﻄﺎﺑﻖ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻟﻨﮭﺎﺋﯿﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺍﻷوﻟﯿﺔ )أي أن ‪ A‬و ‪ B‬ھﻤﺎ ﻧﻔﺲ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ(‪ ،‬ﺛﻢ ‪ EP'A = EP' B‬وﺍﻟﻌﻤﻞ ﺻﻔﺮ )‪.)W = 0‬ھﺬﺍ ﯾﻌﻨﻲ أﻧﮫ ﺧﻼل ﺟﺰء ﻣﻦ ﺍﻟﻤﺴﺎر‬ ‫ﯾﻜﻮن ﺍﻟﻌﻤﻞ إﯾﺠﺎﺑﯿًﺎ وﺧﻼل ﺍﻟﺠﺰء ﺍﻵﺧﺮ ﯾﻜﻮن ﺳﻠﺒﯿًﺎ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻤﻘﺪﺍر‪ ،‬ﻣﻤﺎ ﯾﻌﻄﻲ ﻧﺘﯿﺠﺔ ﺻﺎﻓﯿﺔ‬ ‫ﺻﻔﺮﯾﺔ‪.‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺘﻢ إﻏﻼق ﺍﻟﻤﺴﺎر‪ ،‬ﻓﺈن ﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪. (2.29‬ﺗﺸﯿﺮ ﺍﻟﺪﺍﺋﺮة ﺍﻟﻤﻮﺟﻮدة ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻋﻼﻣﺔ ﺍﻟﺘﻜﺎﻣﻞ إﻟﻰ أن ﺍﻟﻤﺴﺎر ﻣﻐﻠﻖ‪.‬ﻟﺬﻟﻚ‪ ،‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻘﻮى ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻈﺔ‪،‬‬ ‫|||‪UNTRANSLAT‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪_ED_CONTENT‬‬ ‫‪F.d r 0‬‬ ‫‪START|||W0‬‬ ‫=|||‪UNTRANSLA‬‬ ‫‪TED_CONTENT‬‬ ‫_‪|||END‬‬ ‫وﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﻜﺲ ﻣﻦ ذﻟﻚ‪ ،‬ﯾﻤﻜﻦ إﺛﺒﺎت أن ﺍﻟﺸﺮط ﺍﻟﻤﻌﺒﺮ ﻋﻨﮫ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.32‬ﻗﺪ ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻛﺘﻌﺮﯾﻒ ﻟﻠﻘﻮة ﺍﻟﻤﺤﺎﻓﻈﺔ‪.‬وﺑﻌﺒﺎرة أﺧﺮى‪ ،‬إذﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻘﻮة ‪F‬‬ ‫ﯾﺮﺿﻲ‪ (2.32) ،‬ﻷي ﻣﺴﺎر ﻣﻐﻠﻖ ﺗﻢ ﺍﺧﺘﯿﺎره ﺑﺸﻜﻞ ﺗﻌﺴﻔﻲ‪ ،‬ﺛﻢ ﯾﻤﻜﻦ إﺛﺒﺎت أن ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫)‪ (2.29‬ﺻﺤﯿﺢ‪.‬‬ ‫ﻹرﺿﺎء ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.29‬ﻣﻦ ﺍﻟﻀﺮوري أن‬ ‫‪ r.‬ﺡ‪d‬‬ ‫‪'dFP‬‬ ‫|||‪UNTRANSLATED_C‬‬ ‫‪ONTENT_START|||(2.3‬‬ ‫ﻷﻧﮫ ﺑﻌﺪ ذﻟﻚ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪_UNTRANSLATED|||(3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪|||CONTENT_END‬‬ ‫‪F.d r A dEP W = A‬‬ ‫‪()2.34‬‬ ‫=‪EP,B –EP ,A (= EP,A –EP ,B )-‬‬ ‫‪11 - 2‬‬ ‫ﺑﺎﻻﺗﻔﺎق ﻣﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ ‪.29-2‬ﻻﺣﻆ أن ﺍﻟﻌﻼﻣﺔ ﺍﻟﺴﻠﺒﯿﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻈﮭﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪(2.33‬‬ ‫ﺿﺮوري إذﺍ أردﻧﺎ ﺍﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ‪ EP،A –E P،B‬ﺑﺪﻻً ﻣﻦ ‪.EP،B –E P،A‬‬ ‫‪12 - 2‬‬  ‫ﺍﻟﺤﻔﺎظ ﻋﻠﻰ طﺎﻗﺔ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻤﺆﺛﺮة ﻋﻠﻰ ﺟﺴﯿﻢ ﻣﺘﺤﻔﻈﺔ‪ ،‬ﻓﻘﺪ ﻧﺠﻤﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.29‬ﺑﺎﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺍﻟﻌﺎﻣﺔ‬ ‫‪ A –EP‬أو‪ B‬أو‬ ‫‪ B‬أو‪ A = EP‬أو‬ ‫)‪ (2.28‬ﻣﻤﺎ ﯾﻌﻄﯿﻨﺎ ‪ EK‬أو ‪–EK‬‬ ‫‪( )2.34‬‬ ‫)‪EK + EP(B = )EK + EP(A‬‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻜﻤﯿﺔ ‪ EK + EP‬ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﯿﺔ ﻟﻠﺠﺴﯿﻢ‪ ،‬ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﺪدھﺎ ‪ E‬؛ أي أن ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻹﺟﻤﺎﻟﯿﺔ‬ ‫ﻟﻠﺠﺴﯿﻢ ﺗﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮﻉ طﺎﻗﺘﮫ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ وطﺎﻗﺘﮫ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ‪ ،‬أو‬ ‫‪()2.35‬‬ ‫(‪E = EK + EP = mv ½2 + EP(x, y, z‬‬ ‫ﺗﺸﯿﺮ ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.34‬إﻟﻰ أﻧﮫ "ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ﺍﻟﻘﻮى ﻣﺤﺎﻓﻈﺔ‪ ،‬ﯾﻈﻞ إﺟﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ‪ E‬ﻟﻠﺠﺴﯿﻢ‬ ‫ﺛﺎﺑﺘًﺎ"‪ ،‬ﻧﻈﺮًﺍ ﻷن ﺍﻟﺤﺎﻻت ﺍﻟﻤﻌﯿﻨﺔ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ‪ A‬و ‪ B‬ﺗﻌﺴﻔﯿﺔ‪.‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻗﺪ ﻧﻜﺘﺐ ﻋﻦ أي ﻣﻮﺿﻊ‬ ‫ﻟﻠﺠﺴﯿﻢ‪،‬‬ ‫‪()2.36‬‬ ‫‪E = EK + EP = const‬‬ ‫وﺑﻌﺒﺎرة أﺧﺮى‪ ،‬ﯾﺘﻢ ﺍﻟﺤﻔﺎظ ﻋﻠﻰ طﺎﻗﺔ ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ‪.‬ھﺬﺍ ھﻮ ﺍﻟﺴﺒﺐ ﻓﻲ أﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل أﻧﮫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن‬ ‫ھﻨﺎك طﺎﻗﺔ ﻛﺎﻣﻨﺔ‪ ،‬ﺗﻜﻮن ﺍﻟﻘﻮى ﻣﺤﺎﻓﻈﺔ‪.‬ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ ﺍﻟﻤﺜﺎل‪ ،‬ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺳﻘﻮط ﺍﻟﺠﺴﻢ‪ ،‬رأﯾﻨﺎ أن‬ ‫‪ ،EP = mgy‬وﺍﻟﺤﻔﺎظ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﯾﻌﻄﻲ‬ ‫‪()37‬‬ ‫‪E = ½ mv2 + mgy = const.‬‬ ‫إذﺍ ﻛﺎن ﺍﻟﺠﺴﯿﻢ ﻓﻲ ﺍﻟﺒﺪﺍﯾﺔ ﻋﻠﻰ ﺍرﺗﻔﺎﻉ ‪ y0‬وﺳﺮﻋﺘﮫ ﺻﻔﺮ‪ ،‬ﻓﺈن إﺟﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ھﻮ‪،mgy 0‬‬ ‫وﻟﺪﯾﻨﺎ‬ ‫½ ‪ ، mv2 + mgy = mgy0‬أو‬ ‫‪.v2 = 2g(y0 - y(2‬ھﺬه ﺍﻟﻨﺘﯿﺠﺔ ھﻲ ﺍﻟﺼﯿﻐﺔ ﺍﻟﻤﻌﺮوﻓﺔ ﻟﻠﺴﺮﻋﺔ ﺍﻟﻤﻜﺘﺴﺒﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻘﻮط ﺍﻟﺤﺮ ﻣﻦ‬ ‫ﺧﻼل ﺍﻻرﺗﻔﺎﻉ ‪.h‬ﯾﺠﺐ أن ﻧﻼﺣﻆ‪ ،‬وﻣﻊ ذﻟﻚ‪ ،‬أن ﺍﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (2.37‬ﻻ ﯾﻘﺘﺼﺮ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪13 - 2‬‬  ‫ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ ﺍﻟﺮأﺳﯿﺔ‪ ،‬وھﻲ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﺑﻨﻔﺲ ﺍﻟﻘﺪر ﻟﺤﺮﻛﺔ أي ﻣﻘﺬوف ﯾﺘﺤﺮك ﺑﺰﺍوﯾﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﺮأﺳﻲ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﺗﺴﻘﻂ ﺟﻮزة ﺍﻟﮭﻨﺪ ﻋﻠﻰ ﺍﻷرض ﻣﻦ ﺍرﺗﻔﺎﻉ ‪ 10‬أﻣﺘﺎر‪.‬ﻣﺎ ھﻲ طﺎﻗﺘﮭﺎ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ 4‬أﻣﺘﺎر ﻣﻦ ﺍﻷرض إذﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ ‪ 1.0‬ﻛﺠﻢ ؟ ﻣﺎ ھﻲ ﺳﺮﻋﺘﮫ ﻋﻨﺪ ھﺬﺍ ﺍﻻرﺗﻔﺎﻉ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﻋﻨﺪ ﺍرﺗﻔﺎﻉ ‪ 10‬أﻣﺘﺎر‪ ،‬ﺗﻜﻮن ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ ﺻﻔﺮًﺍ وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن إﺟﻤﺎﻟﻲ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﯿﻜﺎﻧﯿﻜﯿﺔ‬ ‫ﯾﺴﺎوي ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ‪.‬ﻟﺬﻟﻚ‬ ‫‪ E = 1.0‬ﻛﺠﻢ × ‪ 9.8‬ﻣﺘﺮ ﻣﺮﺑﻊ ‪ 10 × 2-‬ﻣﺘﺮ = ‪ 98‬ﺟﻮل‪.‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍرﺗﻔﺎﻉ ‪ 4‬أﻣﺘﺎر ﻓﻮق ﺳﻄﺢ ﺍﻷرض‪ ،‬ﯾﺘﻤﺘﻊ ﺟﻮز ﺍﻟﮭﻨﺪ ﺑﻜﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﺎﻣﻨﺔ‬ ‫وﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﺤﺮﻛﯿﺔ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪.‬‬ ‫‪E= EK + EP = mv ½2 + mgy‬‬ ‫= ½ × ‪ 1.0‬ﻛﺠﻢ ‪ v ×2 + 1.0‬ﻛﺠﻢ × ‪ 9.8‬ﻣﻠﻠﻲ ﺛﺎﻧﯿﺔ‪ 4 × 2-‬ﻡ‬ ‫= ‪ 0.5‬ﻛﺠﻢ ‪ v ×2 + 39.2‬ﺟﻮل = ‪ 98‬ﺟﻮل‬ ‫ﻣﻨﺬ أن ﺍﻓﺘﺮﺿﻨﺎ أن ﺍﻟﻄﺎﻗﺔ ﺍﻟﻜﻠﯿﺔ ﻟﻢ ﺗﺘﻐﯿﺮ‪.‬ﻟﺬﻟﻚ‪،‬‬ ‫‪ EK = 0.5‬ﻛﺠﻢ ‪ v ×2 = 58.8‬ﺟﻮل‬ ‫‪31‬‬  ‫ﻗﻮﺍﻧﯿﻦ ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻟﻘﻮة ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ وﺍﻟﻮزن‬ ‫وﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻮة‪ :‬ھﻲ دﻓﻊ أو ﺳﺤﺐ ﯾﻌﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺟﺴﻢ ﻣﺎ ﻧﺘﯿﺠﺔ ﻟﺘﻔﺎﻋﻠﮫ ﻣﻊ ﺟﺴﻢ آﺧﺮ أو ھﻮ ﺳﺒﺐ ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ‬ ‫وھﻮ ﻛﻤﯿﺔ ﻣﺘﺠﮭﺔ‪.‬ھﻨﺎك ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺘﻨﻮﻋﺔ ﻣﻦ أﻧﻮﺍﻉ ﺍﻟﻘﻮى‪ :‬ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ وﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻌﺎدﯾﺔ وﻗﻮة‬ ‫ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك وﻗﻮة ﺍﻟﺸﺪ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪ :‬ھﻲ ﻛﻤﯿﺔ ﺍﻟﻤﺎدة أو "ﺍﻟﻤﺎدة" ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺤﺘﻮﯾﮭﺎ‪.‬ﻛﻠﻤﺎ زﺍدت ﺍﻟﻤﺎدة ﺍﻟﺘﻲ ﯾﺤﺘﻮي ﻋﻠﯿﮭﺎ ﺍﻟﺠﺴﻢ‪،‬‬ ‫زﺍدت ﻛﺘﻠﺘﮫ‪.‬ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ھﻲ ﻛﻤﯿﺔ ﻗﯿﺎﺳﯿﺔ وﺗﻘﺎﺱ ﺑﺎﻟﻜﯿﻠﻮﻏﺮﺍﻣﺎت أو ﺍﻟﻜﯿﻠﻮﻏﺮﺍﻣﺎت أو ﺍﻟﻐﺮﺍﻣﺎت‪،‬‬ ‫ﺟﻢ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻮزن‪ :‬ھﻲ ﻗﻮة ﻧﺎﺟﻤﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ‪.‬وزن ﺍﻟﺠﺴﻢ ھﻮ ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﺑﯿﻦ ﺍﻟﺠﺴﻢ وﺍﻷرض‪.‬ﻛﻠﻤﺎ‬ ‫زﺍدت ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻢ زﺍد وزﻧﮫ‪.‬ﺍﻟﻮزن ھﻮ ﻗﻮة‪ ،‬ﻟﺬﻟﻚ ﯾﺘﻢ ﻗﯿﺎﺳﮫ ﺑﺎﻟﻨﯿﻮﺗﻦ )‪.(kg m s-2‬‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ وﺍﻟﻮزن‬ ‫ﺗﺬﻛﺮ ﻣﺎ ﯾﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻮزن ھﻮ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻨﺎﺗﺠﺔ ﻋﻦ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ‪.‬ﯾﺘﻢ ﺗﻮﺟﯿﮭﮫ إﻟﻰ ﺍﻷﺳﻔﻞ‬ ‫وﯾﺨﺘﻠﻒ ﻣﻦ ﻣﻮﻗﻊ إﻟﻰ آﺧﺮ‬ ‫ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ھﻲ ﺛﺎﺑﺖ ﻋﺎﻟﻤﻲ وھﻮ ﻣﻘﯿﺎﺱ ﻟﻘﺼﻮر ﺍﻟﺠﺴﻢ ﺍﻟﺬﺍﺗﻲ‪.‬‬ ‫‪31‬‬ ‫ﯾﺤﺪث ھﺬﺍ إذﺍ ذھﺐ ﺍﻟﺠﺴﻢ إﻟﻰ ﻣﻜﺎن ﺗﻜﻮن ﻓﯿﮫ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ أﻗﻮى‪ ،‬أو أﺿﻌﻒ‪ ،‬ﻣﺜﻞ ﺍﻟﻘﻤﺮ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﻘﻤﺮ ﻛﺘﻠﺔ أﻗﻞ ﻣﻦ ﺍﻷرض‪ ،‬ﻟﺬﺍ ﻓﺈن ﺟﺎذﺑﯿﺘﮫ أﻗﻞ ﻣﻦ ﺟﺎذﺑﯿﺔ ﺍﻷرض‪.‬وھﺬﺍ ﯾﻌﻨﻲ أن‬ ‫ﺍﻷﺟﺴﺎﻡ ﺗﺰن ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻤﺮ أﻗﻞ ﻣﻤﺎ ﺗﺰﻧﮫ ﻋﻠﻰ ﺍﻷرض‪.‬ﺟﺎذﺑﯿﺔ ﺍﻟﻘﻤﺮ ھﻲ ﺳﺪﺱ ﺟﺎذﺑﯿﺔ‬ ‫ﺍﻷرض‪.‬ﯾﺰن رﺍﺋﺪ ﻓﻀﺎء ‪ 120‬ﻛﺠﻢ ‪ 1200‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻷرض‪.‬ﻋﻠﻰ ﺳﻄﺢ ﺍﻟﻘﻤﺮ‪،‬‬ ‫ﺳﯿﻜﻮن وزﻧﮭﻢ ‪ 200‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻘﻂ‪.‬وﺗﺒﻠﻎ ﻛﺘﻠﺔ رﺍﺋﺪ ﺍﻟﻔﻀﺎء ‪ 120‬ﻛﺠﻢ أﯾﻨﻤﺎ ﻛﺎﻧﻮﺍ‪.‬ﯾﺘﻐﯿﺮ‬ ‫وزن ﺍﻟﺠﺴﻢ إذﺍ ﺗﻐﯿﺮت ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫إذﺍ ﻛﺎن ﺟﺴﻢ ‪ 300‬ﻏﺮﺍﻡ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ رﺍﺣﺔ‪ ،‬ﻓﻤﺎ وزﻧﮫ ؟ )ﺟﻢ=‪ 10‬ﻣﻠﻠﻲ ﺛﺎﻧﯿﺔ‪(2-‬‬ ‫‪2-3‬‬  ‫ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﻣﻠﻠﻲ ﺟﺮﺍﻡ‬ ‫= ‪ 10 ×-33 = 10 × 300‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺸﺨﺺ ﺍﻟﺬي ﺗﺒﻠﻎ ﻛﺘﻠﺘﮫ ‪ 60‬ﻛﺠﻢ‪ ،‬ﺍﺣﺴﺐ ﺍﻟﻮزن ﺑﺎﻟﻨﯿﻮﺗﻦ وﺑﺎﻟﺮطﻞ‪g= 10).‬‬ ‫‪.(m/s2‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪W=mg = 60×10= 600 N‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺮض= ‪ 600‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‪ 134.89 = 4.448/‬رطﻞ )‪ 1‬رطﻞ= ‪ 4.448‬ﻧﯿﻮﺗﻦ(‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺍﻷول‬ ‫ﺳﯿﺒﻘﻰ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﺍﻟﺴﺎﻛﻦ ﺳﺎﻛﻨًﺎ‪ ،‬أو ﺳﯿﺒﻘﻰ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﺍﻟﻤﺘﺤﺮك ﻓﻲ ﺣﺮﻛﺔ ﻓﻲ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ‬ ‫ﺑﺴﺮﻋﺔ ﺛﺎﺑﺘﺔ‪ ،‬ﻣﺎ ﻟﻢ ﯾﺘﻢ ﺗﻄﺒﯿﻖ ﻗﻮة ﺧﺎرﺟﯿﺔ ﻋﻠﯿﮫ وﺗﻐﯿﯿﺮ ﺣﺮﻛﺔ ﺣﺎﻟﺘﮫ‪.‬‬ ‫‪) F = 0‬ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﺼﺎﻓﯿﺔ =‪(0‬‬ ‫‪3-3‬‬  ‫ﻗﺪ ﺗﻜﻮن ﺍﻟﻘﻮى ﻣﺘﻮﺍزﻧﺔ أو ﻏﯿﺮ ﻣﺘﻮﺍزﻧﺔ‪:‬‬ ‫– ﺟﻤﯿﻊ ﺍﻟﻘﻮى ﺍﻟﻤﺆﺛﺮة ﻋﻠﻰ ﺟﺴﻢ ﻣﺎ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻘﻮى ﺍﻟﻤﺘﻮﺍزﻧﺔ‬ ‫‪ ‬ﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﺍﻗﺘﺮﺍﺡ‬ ‫وﺍﺣﺪة أو أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ﺍﻟﻘﻮى ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺆﺛﺮ‬ ‫ ﺍﻟﻘﻮى ﻏﯿﺮ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍزﻧﺔ –‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺟﺴﻢ ﻣﺎ ھﻲ‬ ‫أﻗﻮى ﻣﻦ ﺍﻵﺧﺮﯾﻦ‪.‬‬ ‫– ھﻨﺎك ﺣﺮﻛﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻮﺍزن‪:‬‬ ‫‪ ‬ﯾﻘﺎل إن ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮﺍزن إذﺍ ﻛﺎن ﺻﺎﻓﻲ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻤﺆﺛﺮة ﻋﻠﯿﮫ ﯾﺴﺎوي ﺻﻔﺮًﺍ‪.‬‬ ‫‪4-3‬‬  ‫‪ ‬ھﻨﺎك ﺛﻼﺛﺔ أﻧﻮﺍﻉ ﻣﻦ ﺍﻟﺘﻮﺍزن ﻏﯿﺮ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﺮ وﺍﻟﻤﺴﺘﻘﺮ وﺍﻟﻤﺤﺎﯾﺪ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫‪ ‬إذﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﺼﺎﻓﯿﺔ ﺍﻟﻤﺆﺛﺮة ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻻ ﺗﺴﺎوي ﺻﻔﺮًﺍ‪ ،‬ﻓﺈن ﺍﻟﺠﺴﻢ ﯾﺨﻀﻊ‬ ‫ﻟﻠﺘﺴﺎرﻉ ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻘﻮة‪.‬‬ ‫ﺡ‬ ‫‪ ‬ﺍﻟﻘﻮة ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ ﻣﻊ ﺍﻟﺘﺴﺎرﻉ‪ ،‬وﺛﺎﺑﺖ ﺍﻟﺘﻨﺎﺳﺐ ھﻮ ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻢ‬ ‫ﻗﺎﻧﻮن ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺍﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪ ‬إذﺍ ﻛﺎن أﺣﺪ ﺍﻷﺟﺴﺎﻡ ﯾﻤﺎرﺱ ﻗﻮة ‪ F‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺜﺎﻧﯿﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﺍﻟﺠﺴﻢ ﺍﻟﺜﺎﻧﻲ ﯾﻤﺎرﺱ ﻗﻮة‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ وﻟﻜﻦ ﻣﻌﺎﻛﺴﺔ ‪ F -‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷول‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻟﻜﻞ ﻗﻮة ﻋﻤﻞ ھﻨﺎك ﻗﻮة رد ﻓﻌﻞ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ وﻣﻌﺎﻛﺴﺔ‬ ‫‪F1=- F2‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‪:‬‬ ‫‪5-3‬‬ ‫ﯾﺤﻤﻞ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ ﻛﺘﺎﺑًﺎ ﺣﺘﻰ ﻻ ﯾﺘﺤﺮك إذﺍ ﻛﺎن وزن ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ‪ 20‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‪.‬‬ ‫)‪ (a‬ھﻞ وﺟﺪت ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻤﺆﺛﺮة ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ورد ﻓﻌﻞ ھﺬه ﺍﻟﻘﻮة ؟‬ ‫‪6-3‬‬  ‫)‪ (b‬ﻣﺎ ھﻲ ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ؟ )‪(g = m s 10-2‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪ (a‬ﺍﻟﻘﻮى ﺍﻟﻤﺆﺛﺮة ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ھﻲ‪:‬‬ ‫‪.1‬وزﻧﮫ ‪) W‬أﺳﻔﻞ(‪ ،‬ﺣﯿﺚ‪ =W ،‬ﻣﻠﻎ‪.‬‬ ‫‪.2‬ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻄﺒﯿﻌﯿﺔ ‪) N‬ﻷﻋﻠﻰ( ﺑﺴﺒﺐ ﯾﺪ ﺍﻟﻄﺎﻟﺐ‪.‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺳﻜﻮن‪ ،‬ﺛﻢ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﮭﺎﺑﻄﺔ )ﺍﻟﻔﻌﻞ( ﻣﺴﺎوﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮة ﺍﻟﺼﺎﻋﺪة )رد‬ ‫ﺍﻟﻔﻌﻞ(‪.‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪.N=W= mg = N 20 ،‬‬ ‫‪W=mg = 20 N (b‬‬ ‫‪.m=W/g = 20/10 = 2 kg‬‬ ‫ﻗﻮى ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ‪-:‬‬ ‫ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻰ أن ﺟﻤﯿﻊ ﺍﻷﺟﺴﺎﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﻮن ﺗﺠﺬﺏ ﺑﻌﻀﮭﺎ ﺍﻟﺒﻌﺾ أو أي ﺟﺴﻤﯿﻦ ﯾﺠﺬﺑﺎن ﺑﻌﻀﮭﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﺒﻌﺾ ﻣﻦ ﺧﻼل ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ‪ ،‬ﺑﻘﻮة ﺗﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﻊ ﻧﺎﺗﺞ ﻛﺘﻠﺘﮭﺎ وﺗﺘﻨﺎﺳﺐ ﻋﻜﺴ ًﯿﺎ ﻣﻊ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺎﻓﺘﮭﺎ‪.‬‬ ‫‪7-3‬‬  ‫ﻻﺣﻆ أن‪-:‬‬ ‫‪.1‬ﯾﺘﻢ ﺗﻮﺟﯿﮫ ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻋﻠﻰ طﻮل ﺍﻟﺨﻂ ﺍﻟﺬي ﯾﺮﺑﻂ ﺑﯿﻦ ﻣﺮﻛﺰي ﺍﻟﺠﺴﻤﯿﻦ‪.‬‬ ‫‪.2‬ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻤﺎرﺳﮭﺎ ﺍﻷرض ﻋﻠﻰ ﺟﺴﻢ ﻣﺎ ﻛﺒﯿﺮة ﺑﺴﺒﺐ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﺍﻟﻜﺒﯿﺮة ﻟﻸرض‪.‬‬ ‫‪8-3‬‬  ‫‪.3‬ﯾﺘﻨﻮﻉ ﺣﺠﻢ ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﺑﻤﻘﺪﺍر ‪1‬‬ ‫|||‪UNTRANSLATED_CONTENT_START‬‬ ‫|||‪UNTRA|||2‬‬ ‫أي إذﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫‪|||NSLATED_CONTENT_END‬‬ ‫ﺑﯿﻦ ﺟﺴﻤﯿﻦ ﺗﺘﻀﺎﻋﻒ ﺍﻟﻘﻮة ﺗﻨﺨﻔﺾ إﻟﻰ ‪.1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.4‬ﺑﻤﺎ أن ﺍﻷرض ﻗﺮﯾﺒﺔ ﺑﻤﺎ ﻓﯿﮫ ﺍﻟﻜﻔﺎﯾﺔ وﻟﮭﺎ ﻛﺘﻠﺔ ﻛﺒﯿﺮة ﺑﻤﺎ ﻓﯿﮫ ﺍﻟﻜﻔﺎﯾﺔ‪ ،‬ﯾﻤﻜﻨﻚ أن ﺗﺸﻌﺮ‬ ‫‪.‬ﻣﻦ ﻧﺎﺣﯿﺔ أﺧﺮى‪ ،‬ﺗﺘﻤﺘﻊ ﺍﻟﺸﻤﺲ ﺑﻜﺘﻠﺔ أﻛﺒﺮ ﺑﻜﺜﯿﺮ ﻣﻦ ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻷرض‪،‬‬ ‫ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ‬ ‫ﻟﻜﻨﮭﺎ ﺑﻌﯿﺪة ﺟﺪًﺍ ﻋﻦ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﺟﺎذﺑﯿﺔ ﻟﻚ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﻣﺠﺎﻻن ﻣﻦ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ‪ 35‬ﻛﺠﻢ ﯾﻔﺼﻞ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ‪ 60‬ﻣﺘﺮًﺍ‪.‬ﻣﺎ ھﻲ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﺘﻲ ﯾﻤﺎرﺳﮭﺎ أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻵﺧﺮ ؟‬ ‫)‪(G = 6.67×10-11N·m2/kg2‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪﺍﻡ ﻗﺎﻧﻮن ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻟﻠﺠﺎذﺑﯿﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ھﻲ‬ ‫‪−11‬‬ ‫‪35 × 35‬‬ ‫= ‪−11 N 6.67 = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫=‬ ‫‪10‬‬ ‫×‬ ‫‪2.27‬‬ ‫|||‪UNTRANSLATED_C||| UNTRANSLATED_CONTENT_ST‬‬ ‫‪ONTENT_START||| |||2 ART|||602|||UNTRANSLATED_CON‬‬ ‫‪UNTRANSLATED_CO‬‬ ‫‪|||TENT_END‬‬ ‫‪|||NTENT_END‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ‪ :‬ﻣﺠﺎﻻن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺎن ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻟﮭﻤﺎ ﻗﻮة ﺟﺎذﺑﯿﺔ ‪ 10×7-9‬ﺗﻤﺎرﺱ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ‬ ‫ﺍﺧﺮى‪.....‬إذﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ‪ 7‬أﻣﺘﺎر‪ ،‬ﻓﺄوﺟﺪ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ؟‬ ‫)‪.(G=6.67×10-11N·m2/kg2‬‬ ‫ﺍﻟﻮزن‬ ‫‪ ‬ﻗﯿﺎﺱ ﺟﺎذﺑﯿﺔ ﺍﻷرض )أو أي ﻛﻮﻛﺐ آﺧﺮ( ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻚ‪.‬‬ ‫ وزن ﺍﻟﺠﺴﻢ ھﻮ ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻌﻤﻞ ﻷﺳﻔﻞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺠﺴﻢ‪.‬‬ ‫‪9-3‬‬  ‫ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﺘﻐﯿﺮ ﺍﻟﻮزن ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺘﻐﯿﺮ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ‬ ‫ ﺍﻟﻮزن ھﻮ ﻗﻮة ﯾﺘﻢ ﺣﺴﺎﺑﮭﺎ ﻋﻦ طﺮﯾﻖ ﺿﺮﺏ ﺗﺴﺎرﻉ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ‪.‬‬ ‫????‬ ‫ ﻗﻮة ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ ﺑﯿﻦ ھﺬﺍ ﺍﻟﺠﺴﻢ )( وأرض ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ )(‬ ‫وﯾﻌﻄﻰ ﻧﺼﻒﺍﻟﻘﻄﺮ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ‪:‬‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻉ =ﻉ = ﻉ‬ ‫‪2‬‬ ‫؟‬ ‫ﺱ=ﺱ‬ ‫‪2‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪ ،‬ﻓﺈن ﺗﺴﺎرﻉ ﺍﻟﺠﺎذﺑﯿﺔ )‪ (I‬ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﺠﺴﻢ )‪.(I‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫رﺍﺋﺪ ﻓﻀﺎء ﯾﺰن ‪ 700‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﺍﻷرض‪.‬ﻣﺎ ھﻮ وزﻧﮫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﻮﻛﺐ ‪ ،X‬وﺍﻟﺬي‬ ‫ھﻞ ﻧﺼﻒﻗﻄﺮه =‪ 2/‬وﻛﺘﻠﺘﮫ=‪ 8/‬؟‬ ‫‪10 - 3‬‬  ‫ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻷرض‪ ،‬وزﻧﮫ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﺱ=ﺱ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﻮﻛﺐ "ﺱ"‪ ،‬وزﻧﮫ‬ ‫ﻡ‬ ‫ﻡ‪8/‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫??????? )‬ ‫‪2‬‬ ‫???‪( ????.‬‬ ‫وزﻧﮫ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻜﻮﻛﺐ ‪ X‬ﯾﺴﺎوي ½ )‪ 350 = (700‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫وزن ﻓﻌﺎل‬ ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺘﻢ ﺗﺴﺮﯾﻊ ﺟﺴﻢ ﻣﺎ ﻷﻋﻠﻰ أو ﻷﺳﻔﻞ‪ ،‬ﯾﺴﻤﻰ ﺍﻟﻮزن ﻓﻲ ھﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﻮزن‬ ‫ﺍﻟﻔﻌﺎل‪WE ،‬‬ ‫ ﺍﻟﻮزن ﺍﻟﻔﻌﺎل ﻟﻠﺠﺴﻢ ھﻮ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻜﻠﯿﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﯾﻤﺎرﺳﮭﺎ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯿﺎﺱ ﺍﻟﺮﺑﯿﻊ‪ ،‬ﺣﯿﺚ‬ ‫‪، WE =- S‬‬ ‫ إﻧﮫ ﻣﺘﺴﺎوٍ وﻟﻜﻨﮫ ﻣﻌﺎﻛﺲ ﻓﻲ ﺍﺗﺠﺎه ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻜﻠﯿﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﯾﻤﺎرﺳﮭﺎ ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﯿﺎﺱ‬ ‫زﻧﺒﺮﻛﻲ‪.‬‬ ‫‪41‬‬ ‫)‪ (a‬ﻋﻨﺪ ﺍﻟﺮﺍﺣﺔ ‪a‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫‪S - mg‬‬ ‫=‪=S0‬‬ ‫‪mg‬‬ ‫ﺍﻟﻮزن ﺍﻟﻄﺒﯿﻌﻲ‬ ‫)‪ (b‬ﻟﻠﺘﺴﺎرﻉ ﺍﻟﺘﺼﺎﻋﺪي‪:‬‬ ‫‪ 0 - -‬ﺑﺴﺒﺐ ﺍﻟﺘﺴﺎرﻉ أ‬ ‫ْ‪ْ =ْ -‬‬ ‫ْ= ْ‪ْ +‬‬ ‫ﺱ = ﺱ ) ﺱ ‪ +‬ﺱ(‬ ‫‪41‬‬  ‫ﻟﻠﺘﺴﺎرﻉ ﺍﻟﮭﺒﻮطﻲ‪:‬‬ ‫)‪(c‬‬ ‫‪ 0 - -‬ﺑﺴﺒﺐ ﺍﻟﺘﺴﺎرﻉ أ‬ ‫? ‪??= ???-‬‬ ‫ْ= ْْْ‬ ‫ْ = ْ ْ ) ْ ْ ْ(‬ ‫)‪ (d‬ﻟﻠﺴﻘﻮط ﺍﻟﺤﺮ ‪a = g‬‬ ‫إذﺍ ﺍﻧﻘﻄﻊ ﻛﺎﺑﻞ ﺍﻟﻤﺼﻌﺪ‪ ،‬ﻓﺄﻧﺖ ﺗﺸﻌﺮ "ﺑﺎﻧﻌﺪﺍﻡ ﺍﻟﻮزن" ﻋﻠﻰ ﺳﺒﯿﻞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺜﺎل‬ ‫ﯾﺘﻢ ﺗﺴﺮﯾﻊ ﺟﺴﻢ ﻛﺘﻠﺘﮫ ‪ 50‬ﻛﺠﻢ ﻣﻊ ‪ 1.2‬ﻣﻠﻠﻲ ﺛﺎﻧﯿﺔ‪ ،2-‬ﻣﺎ ھﻮ وزﻧﮫ ﺍﻟﻔﻌﺎل ﻋﻨﺪ‬ ‫ﺍﻟﺘﺴﺎرﻉ ھﻮ أ( ﻟﻸﻋﻠﻰ ﺏ( ﻟﻸﺳﻔﻞ ؟‬ ‫‪2422‬‬  ‫ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫)‪ (a‬ﻟﻼﻋﻠﻰ =)‪ 550 = (1.2+9.8) 50 = (+‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫)‪ (b‬ﻟﻸﺳﻔﻞ =)‪N 430 = (1.2 - 9.8) 50 = (+‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ‪:‬‬ ‫ﻓﻜﺮ ﻓﻲ ﻣﺼﻌﺪ ﯾﺘﺤﺮك ﻷﺳﻔﻞ وﯾﺴﺮﻉ ﺑﺘﺴﺎرﻉ ‪ 2‬ﻡ‪/‬ث‪.2‬وﺗﺒﻠﻎ ﻛﺘﻠﺔ ﺍﻟﻤﺼﻌﺪ ‪ 100‬ﻛﻎ‪.‬ﺗﺠﺎھﻞ‬ ‫ﻣﻘﺎوﻣﺔ ﺍﻟﮭﻮﺍء‪.‬ﻣﺎ ھﻮ ﺍﻟﺘﻮﺗﺮ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﺎﺑﻞ ؟‬ ‫‪UNTRANSLATED_CONTENT_START|||Frictional‬‬ ‫|||‪force:-‬‬ ‫‪|||UNTRANSLATE|||D_CONTENT_END‬‬ ‫ إﻧﮭﺎ ﻗﻮة ﺗﻌﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﻘﺎوﻣﺔ ﺍﻧﺰﻻق ﺟﺴﻢ ﻋﻠﻰ آﺧﺮ أو ﻗﻮة ﺗﻌﺎرض ﺍﻟﺤﺮﻛﺔ وﺗﻌﻤﻞ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻮﺍزي ﻣﻊ ﺍﻷﺳﻄﺢ ﺍﻟﻤﻼﻣﺴﺔ‪.‬‬ ‫ ھﻨﺎك ﻧﻮﻋﺎن‪ :‬ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻻﺳﺘﺎﺗﯿﻜﻲ ‪ fs‬وﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻟﺤﺮﻛﻲ ‪.fk‬‬ ‫ ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻘﻮى ﺍﻻﺣﺘﻜﺎﻛﯿﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻮﺍﺋﻞ ﺍﻟﻘﻮى ﺍﻟﻠﺰﺟﺔ‪.‬‬ ‫ ﺗﻘﻠﻞ ﺳﻮﺍﺋﻞ ﺍﻟﺘﺸﺤﯿﻢ ﻣﺜﻞ ﺍﻟﺰﯾﺖ ﻣﻦ ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﺸﻜﻞ ﻛﺒﯿﺮ‪.‬‬ ‫‪3422‬‬  ‫ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻻﺳﺘﺎﺗﯿﻜﻲ ‪-:fs‬‬ ‫ إذﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻗﻮة ﺍﻟﺪﻓﻊ ‪ F‬أﻗﻞ ﻣﻦ ﻗﻮة ﻣﻘﺎوﻣﺔ ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ‪) fs‬ﻣﻜﺘﻮﺑﺔ‬ ‫‪4422‬‬ ‫ﻣﺜﻞ ‪ ،(F > fs‬ﻻ ﺗﻮﺟﺪ ﺣﺮﻛﺔ وﺗﺒﻘﻰ ﺍﻷﺷﯿﺎء ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﯿﻤﺎ ﯾﺘﻌﻠﻖ ﺑﺒﻌﻀﮭﺎ ﺍﻟﺒﻌﺾ‪.‬ﻓﻲ ھﺬه‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ،‬ﯾﻌﺘﺒﺮ ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﺣﺘﻜﺎﻛًﺎ ﺛﺎﺑﺘًﺎ‪ ،‬ﻣﻤﺎ ﯾﻌﻨﻲ أﻧﮫ ﻻ ﯾﺘﺤﺮك‪.‬‬ ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻻ ﺗﻜﻮن ھﻨﺎك ﻗﻮة )‪ ،(T = 0‬ﯾﻜﻮن ﺍﻟﻜﺎﺋﻦ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺳﻜﻮن‪ ،‬وﻻ ﯾﻮﺟﺪ ‪ fs‬ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫‪T = fs = 0‬‬ ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ھﻨﺎك )ﺗﻮﺗﺮ( ‪ ،T‬ﺗﻈﮭﺮ ﻗﻮة ﺍﺣﺘﻜﺎك ﺛﺎﺑﺘﺔ ‪ fs‬وﻟﻜﻦ ﺍﻟﻜﺎﺋﻦ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ‬ ‫ﺳﻜﻮن‪،‬‬ ‫‪T = fs‬‬ ‫ إذﺍ زﺍد ‪) T‬ﺍﻟﺘﻮﺗﺮ( وﻛﺎن ﺍﻟﺠﺴﻢ ﻻ ﯾﺰﺍل ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ ﺳﻜﻮن ‪) fs‬ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ(‬ ‫ﯾﺰدﺍد أﯾﻀًﺎ‪ ،‬و ‪:‬‬ ‫‪T = fs‬‬ ‫ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺼﺒﺢ ‪ T‬ﻛﺒﯿﺮًﺍ ﺑﻤﺎ ﻓﯿﮫ ﺍﻟﻜﻔﺎﯾﺔ‪ ،‬ﺗﺒﺪأ ﺍﻟﻜﺘﻠﺔ ﻓﻲ ﺍﻻﻧﺰﻻق‬ ‫ ﻓﻲ ھﺬه ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ،‬ﺗﺼﻞ ‪ fs‬إﻟﻰ أﻗﺼﻰ ﻗﯿﻤﺔ ﻣﻤﻜﻨﺔ ﻟﮭﺎ ‪(fs )max‬‬ ‫‪(T= fs )max‬‬ ‫ ‪ (fs )max‬ﻣﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋﻦ ﻣﻨﻄﻘﺔ ﺍﻟﺘﻼﻣﺲ‬ ‫ ‪ (fs )max‬ﯾﺘﻨﺎﺳﺐ ﻣﻊ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻌﺎدﯾﺔ ‪ ،N‬ﺣﯿﺚ‬ ‫‪fs )= (max μs N‬‬ ‫‪ μs‬ھﻮ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻟﺜﺎﺑﺖ ﺍﻟﺬي ﯾﺘﺮﺍوﺡ ﻣﻦ ‪ 0‬إﻟﻰ ‪ 1‬ﻟﻠﻤﻌﺎدن ‪μs ≈0.3‬‬ ‫‪5422‬‬ ‫‪ 1 -‬وﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺒﻌﺾ ﺍﻟﺰﯾﻮت ‪.μs = 0.1‬‬ ‫‪6422‬‬  ‫ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻟﺤﺮﻛﻲ ‪fk‬‬ ‫إذﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻘﻮة ‪ F‬أﻛﺒﺮ ﻣﻦ ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ‪( fs‬ﻣﻜﺘﻮﺑﺔ ﺑﺎﺳﻢ ‪ ،)F > fs‬ﻓﺴﯿﻨﺰﻟﻖ ﺍﻟﺠﺴﻢ أو ﯾﺘﺤﺮك‪.‬‬ ‫ﯾﻌﺘﺒﺮ ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﺣﺘﻜﺎﻛًﺎ ﺣﺮﻛﯿًﺎ‪ ،‬ﻣﻤﺎ ﯾﻌﻨﻲ ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻟﻤﺘﺤﺮك‪.‬وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻓﺈن ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك‬ ‫ﺍﻻﻧﺰﻻﻗﻲ أو ﺍﻟﺤﺮﻛﻲ ‪ fk‬أﻗﻞ ﻣﻦ ‪ (fs)max‬وﯾﺴﺎوي‪:‬‬ ‫‪fk = μ k N‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ‪ μk‬ھﻮ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻟﺤﺮﻛﻲ وھﻮ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻋﻦ ﺍﻟﺴﺮﻋﺔ‪.‬‬ ‫‪ fk > fs‬ﻣﻤﺎ ﯾﺆدي إﻟﻰ ‪μk > μs‬‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫ﺻﻨﺪوق وزﻧﮫ ‪ 100‬ﻛﺠﻢ ﯾﻘﻒ ﻋﻠﻰ أرﺿﯿﺔ ﻟﮫ ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺍﺣﺘﻜﺎك ﺛﺎﺑﺖ ﻗﺪره ‪.0.6‬ﯾﻘﺘﺮﺏ ﺻﺒﻲ‬ ‫ﻣﻦ ﺍﻟﺼﺪر وﯾﻤﯿﻞ أﻓﻘﯿﺎً ﺿﺪه‪.‬‬ ‫)‪ (a‬ﻣﺎ ھﻲ ﻗﻮة ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻤﺎرﺳﮭﺎ ﺍﻷرض ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺪر ﻗﺒﻞ ﻣﺠﯿء ﺍﻟﺼﺒﻲ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﺗﺼﺎل ﺑﮫ ؟‬ ‫)‪ (b‬ﻣﺎ ھﻲ ﺍﻟﻘﻮة ﺍﻟﻘﺼﻮى ﺍﻟﺘﻲ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﻤﺎرﺳﮭﺎ ﺍﻟﺼﺒﻲ ﻗﺒﻞ أن ﯾﺒﺪأ ﺍﻟﺼﺪر ﻓﻲ ﺍﻻﻧﺰﻻق‬ ‫؟‬ ‫)‪ (c‬ﻣﺎ ھﻲ ﻗﻮة ﺍﻻﺣﺘﻜﺎك ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻤﺎرﺳﮭﺎ ﺍﻷرض ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻤﺎرﺱ ﺍﻟﺼﺒﻲ ‪ 100‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺼﺪر ؟‬ ‫ﺍﻟﺤﻞ‬ ‫‪7422‬‬  ‫‪ (a‬ﻗﺒﻞ أن ﯾﻠﻤﺲ ﺍﻟﺼﺒﻲ ﺍﻟﺼﺪر‪ ،‬ﯾﺒﻘﻰ ﻓﻲ ﺣﺎﻟﺔ رﺍﺣﺔ‪.‬‬ ‫‪°‬ف ‪° /‬ف‬ ‫ﻻ ﯾﻤﺎرﺱ أي ﻗﻮة ﺛﻢ ﻻ ﯾﻮﺟﺪ ﺍﺣﺘﻜﺎك‪.‬‬ ‫‪fs )= (max μs = N μs m g = 0.6 × 100 × 9.8 (b‬‬ ‫= ‪ N 588‬ﻣﻤﺎ ﯾﺠﻌﻞ ﺍﻟﺼﺪر ﯾﺒﺪأ ﻓﻲ ﺍﻻﻧﺰﻻق‬ ‫‪ (c‬ﻧﻈﺮًﺍ ﻷن ‪ F=100‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‪ ،‬ﻓﺈﻧﮫ ﻻ ﯾﺰﺍل أﻗﻞ ﻣﻦ ‪) fs‬ﻛﺤﺪ أﻗﺼﻰ(‪ ،‬ﻓﺈن ﺍﻟﺼﺪر‬ ‫ﯾﻈﻞ ﻓ?