Funzioni Matematiche PDF

LEZIONE 2  FUNZIONI - DEFINIZIONE Una funzione è una relazione tra due insiemi 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵. In cui ad ogni elemento di 𝐴𝐴 (insieme di partenza) è associato uno e un solo elemento di 𝐵𝐵 (insieme di arrivo). 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 L'insieme di partenza 𝐴𝐴 è detto dominio o insi...

LEZIONE 2  FUNZIONI - DEFINIZIONE Una funzione è una relazione tra due insiemi 𝐴𝐴 e 𝐵𝐵. In cui ad ogni elemento di 𝐴𝐴 (insieme di partenza) è associato uno e un solo elemento di 𝐵𝐵 (insieme di arrivo). 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 L'insieme di partenza 𝐴𝐴 è detto dominio o insieme di definizione della funzione. Dato un elemento 𝑥𝑥 dell'insieme di partenza 𝐴𝐴 esiste uno e un solo elemento 𝑦𝑦 dell'insieme 𝐵𝐵, detto immagine di 𝑥𝑥 tramite la funzione 𝑓𝑓. E si scrive: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Inoltre l'elemento 𝑥𝑥 è detto controimmagine di 𝑦𝑦.  ATTENZIONE AI DETTAGLI Una relazione NON è una funzione Una relazione non è una funzione se se un elemento dell'insieme 𝐴𝐴 è in almeno un elemento dell'insieme 𝐴𝐴 relazione con più di un elemento non è in relazione con nessun dell'insieme 𝐵𝐵. elemento dell'insieme 𝐵𝐵.  FUNZIONI REALI Una funzione è detta funzione reale quando gli insiemi di partenza e di arrivo sono sottoinsiemi di ℝ. In questo caso è possibile rappresentare la funzione su un piano cartesiano. La legge che esprime la funzione è detta espressione analitica della funzione. Ad esempio: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1 La variabile 𝑦𝑦 è detta variabile dipendente perché il valore che può assumere è influenzato da quello della variabile 𝑥𝑥. La variabile 𝑥𝑥 è detta variabile indipendente perché il valore che può assumere non viene influenzato da altre variabili.  ATTENZIONE AI DETTAGLI CAMPO DI ESISTENZA DOMINIO Di solito abbreviato con C.E. È il più È un sottoinsieme del C.E, in cui si grande sottoinsieme in cui è sceglie di operare. definita una funzione. Ad esempio la seguente funzione è definita in tutto l’insieme ℝ eccetto per 𝑥𝑥 = 0. 1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 Il C.E sarebbe l’insieme (−∞; 0) (0; +∞). Mentre il dominio sarebbe uno dei due sottoinsiemi oppure un intervallo a piacere, purché non vi sia lo zero. FUNZIONI – ESEMPIO PRATICO  GRAFICO DI UNA FUNZIONE La linea gialla vista prima è chiamata grafico e consiste in una selezione di punti sul piano cartesiano. In un piano cartesiano, l’asse 𝑥𝑥 è anche detto asse delle ascisse mentre quello 𝑦𝑦 è detto asse delle ordinate. Posso dire che il grafico è il selfie di una funzione?  GRAFICO DI UNA FUNZIONE La linea gialla vista prima è chiamata grafico e consiste in una selezione di punti sul piano cartesiano. In un piano cartesiano, l’asse 𝑥𝑥 è anche detto asse delle ascisse mentre quello 𝑦𝑦 è detto asse delle ordinate. Si tratta di una funzione?  GRAFICO DI UNA FUNZIONE La linea gialla vista prima è chiamata grafico e consiste in una selezione di punti sul piano cartesiano. In un piano cartesiano, l’asse 𝑥𝑥 è anche detto asse delle ascisse mentre quello 𝑦𝑦 è detto asse delle ordinate. Si tratta di una funzione? No, perché ad una stessa ascissa corrisponde più di una ordinata.  SEGNO DI UNA FUNZIONE Se la funzione «sta sopra» l’asse 𝑥𝑥, allora per quel tratto la funzione è positiva. Se la funzione «sta sotto» l’asse 𝑥𝑥, allora per quel tratto la funzione è negativa. Se la funzione interseca l’asse 𝑥𝑥, si dice che quel punto è uno zero della funzione. Infatti la sua ordinata è proprio zero.  MONOTONIA Una funzione 𝑓𝑓(𝑥𝑥) è detta funzione monotòna se per ogni coppia di valori 𝑥𝑥1 e 𝑥𝑥2 in un intervallo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] con 𝑥𝑥2 > 𝑥𝑥1 è sempre: Crescente se 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) (il grafico va sempre a salire o rimane costante) Strettamente crescente se 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 < 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) (il grafico va sempre a salire) Decrescente se 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) ≥ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) (il grafico va sempre a scendere o rimane costante) Strettamente decrescente se 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 > 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) (il grafico va sempre a scendere) MONOTONIA – ESEMPI MONOTONIA - ESEMPI  ATTENZIONE AI DETTAGLI La somma di funzioni crescenti è ancora una volta una funzione crescente La somma di funzioni decrescenti è ancora una volta una funzione decrescente La somma di funzioni crescenti o comunque non negative è ancora una volta una funzione crescente La somma di funzioni decrescenti o comunque non negative è ancora una volta una funzione decrescente  FUNZIONI SIMMETRICHE Una funzione che ama guardarsi allo specchio e dire "Sono bellissima!" Sia 𝑋𝑋 insieme simmetrico e dominio di 𝑓𝑓, allora: 𝑓𝑓 è pari se 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) per ogni 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 𝑓𝑓 è dispari se −𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) per ogni 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 Pari ⇒ Il grafico di 𝑓𝑓 è simmetrico rispetto all’asse 𝑦𝑦 Dispari ⇒ Il grafico di 𝑓𝑓 è simmetrico rispetto all’origine degli assi FUNZIONI SIMMETRICHE - ESEMPI FUNZIONI SIMMETRICHE - ESEMPI  FUNZIONI PERIODICHE Una funzione è periodica se segue un certo pattern e si ripete ad intervalli regolari con lo stesso andamento.  FUNZIONI TRIGONOMETRICHE - 1 Data una circonferenza di raggio unitario, detta circonferenza goniometrica, si attribuisce all’asse 𝑥𝑥 il coseno mentre all’asse 𝑦𝑦 il seno. Al variare dell’angolo 𝛼𝛼 si ottiene il grafico di queste funzioni. Funzioni trigonometriche a casa lorooo!!! FUNZIONI TRIGONOMETRICHE - 2 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE – 3  FUNZIONE POTENZA 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 Funzioni della forma: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝛼𝛼 con 𝛼𝛼 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ 0. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 L’esponente è fissato, varia la base. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −2  FUNZIONE ESPONENZIALE Funzioni della forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝛼𝛼 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 con 𝛼𝛼 > 0. La base è fissata, varia l’esponente. 𝑥𝑥 1 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2  FUNZIONE LOGARITMICA Funzioni della forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = log 𝛼𝛼 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ln(𝑥𝑥) con 𝛼𝛼 ∈ ℝ+ \ 1 , 𝑥𝑥 > 0. È la funzione inversa, che vedremo poi, dell’esponenziale.  INIETTIVITÀ Una funzione è iniettiva se Graficamente, si tracciano delle rette ad ogni elemento di 𝐴𝐴 parallele all’asse 𝑥𝑥. Se queste rette corrispondono elementi intersecano il grafico della funzione distinti di 𝐵𝐵. sempre e solo in un solo punto, allora la funzione è iniettiva.  SURIETTIVITÀ Una funzione è suriettiva se Graficamente, si tracciano delle rette ogni elemento di 𝐵𝐵 ha almeno parallele all’asse 𝑥𝑥. Se per ogni retta una controimmagine in 𝐴𝐴. tracciata, si interseca il grafico della funzione, allora la funzione è suriettiva.  BIETTIVITÀ Una funzione è biettiva perché è così brava da essere sia iniettiva che suriettiva, una vera superstar matematica! Una funzione è biettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Funzioni elementari suriettive: Funzioni elementari iniettive: Polinomiale di grado dispari Polinomiale di grado dispari Logaritmica Esponenziale Logaritmica Irrazionale  FUNZIONE COMPOSTA Supponiamo di voler fare questo calcolo con la calcolatrice: (4 + 16 ∗ 2)2 In un primo momento potreste pensare di spezzettare il calcolo e fare prima il prodotto, poi la somma ed infine la potenza. Ma anche se digitate tutto insieme, la calcolatrice sa quali operazioni eseguire per prima. Le funzioni composte sono esattamente questo, una concatenazione di operazioni svolte in un certo ordine. Per esempio: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 Prima si aggiunge 2 alla 𝑥𝑥 e poi si calcola la radice quadrata.  FUNZIONE COMPOSTA - ESEMPIO Prendiamo in considerazione due funzioni: 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = sin(𝑥𝑥) Consideriamo la funzione ℎ(𝑥𝑥) come una funzione composta e scriviamo: 1 1 ℎ 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 sin(𝑥𝑥)  FUNZIONE INVERSA - 1 Data una funzione 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) la funzione inversa 𝑓𝑓 −1 è una funzione che collega ogni elemento del codominio 𝑌𝑌 a un elemento del dominio 𝑋𝑋. Non tutte le funzioni hanno però una funzione inversa. Quelle che hanno una funzione inversa sono dette funzioni invertibili. Sono funzioni invertibili tutte le funzioni biettive.  FUNZIONE INVERSA - 2 Alcune funzioni non invertibili nel proprio dominio potrebbero essere invertibili in un intervallo di valori della 𝑥𝑥. In questi casi per calcolare la funzione inversa si deve ridurre la funzione in un intervallo. Ad esempio, la funzione seno non è biettiva e quindi non è invertibile nell'intero dominio. La funzione seno è però biettiva e invertibile se è ridotta 𝜋𝜋 𝜋𝜋 nell'intervallo (− ; ). 2 2 La funzione inversa della funzione seno ridotta è l'arcoseno. THE END