Fonctions Primitives Cours et Exercices Corrigés 2BAC BIOF PDF

Cours FONCTIONS PRIMITIVES PROF : ATMANI NAJIB 2BAC BIOF FONCTIONS PRIMITIVES I) FONCTION PRIMITIVE D’UNE FONCTION...

Cours FONCTIONS PRIMITIVES PROF : ATMANI NAJIB 2BAC BIOF FONCTIONS PRIMITIVES I) FONCTION PRIMITIVE D’UNE FONCTION fonction F0 fonction Primitive de 𝑓 telle que 1) Activités : Activité1 1) Déterminer une fonction F qui admet pour F0  x0   y0 où y0 un réel quelconque. fonction dérivée la fonction : f  x   x 2  2 x  3 2) existe-t-il une autre fonction G tel que : 2) Définition et propriétés  x   ; G  x   f  x  ? Définition : Soit 𝑓 une fonction définir sur un 3)combien Ya t’ils de onction H tel que : intervalle 𝐼 ; On dit que la fonction 𝐹 est une  x   ; H   x   f  x  ? fonction primitive de la fonction 𝑓 sur l’intervalle 𝐼 et donner une expression de toutes les fonctions si :1)𝐹 est dérivable sur 𝐼 primitives de ℎ 2) (∀𝑥 ∈ 𝐼)(𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)) Remarques : 1) la fonction F tel que : Théorème :(admis) 1 3 Si 𝑓 est continue sur 𝐼 alors 𝑓 admet une fonction F  x  x  x 2  3x Est dérivable sur ℝ et 3 primitive sur 𝐼 Remarque : La continuité dans le théorème Et on a  x  ; F x  f  x précédent est une condition suffisante qui n’est pas nécessaire. On dira que : F est une primitive de f Propriété : Si 𝑓 admet une fonction primitive 𝐹 2) Soit G une fonction définie sur sur 𝐼 alors toutes les fonctions primitives de 𝑓 sur 1 3 G  x  x  x 2  3x  2 on a aussi : G est dérivable 𝐼 s’écrivent de la : forme :𝐹 + 𝜆 où 𝜆 est un réel. 3 Propriété : Si 𝐹1 et 𝐹2 sont deux fonction primitive sur ℝ et  x   ; G  x   f  x  d’une fonction 𝑓 sur 𝐼 alors : (∀𝑥 ∈ 𝐼)(𝐹2(𝑥) = 𝐹1(𝑥) + 𝜆) où 𝜆 ∈ ℝ G est aussi une primitive de f Exemple : Soit la fonction 𝑓 définie par : 3)toute fonction H de la forme : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 si 𝑥 ≤ 1 1 H  x   x 3  x 2  3 x  k avec k  aussi une 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 si 𝑥 > 1 3 Montrer que la fonction 𝑓 n’admet pas de primitive primitive de f Sur ℝ Activité2 : Soient 𝐹 une fonction primitive de la Solution : On remarque que 𝑓 n’est pas continue fonction 𝑓 sur l’intervalle 𝐼 c’est-à-dire sur ℝ ; (elle n’est pas continue en 1) (∀𝑥 ∈ 𝐼)(𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)) et 𝐺 une fonction primitive de la fonction 𝑔 sur en effet : f 1  3 et lim f  x   1  f 1 x 1 l’intervalle 𝐼, 𝛼 et 𝛽 deux réels. 1- Montrer que (𝛼𝐹 + 𝛽𝐺) est une fonction F1  x   x 2  x  k1 est une fonction primitive de primitive de la fonction (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) sur 𝐼. la fonction 𝑓 sur ] − ∞, 1]. 2- Soient 𝐹1 et 𝐹2 deux fonctions primitives de la fonction 𝑓 sur l’intervalle 𝐼 ; Montrer que : F2  x   x 2  x  k2 est une fonction primitive de (∀𝑥 ∈ 𝐼)(𝐹2(𝑥) = 𝐹1(𝑥) + 𝜆) la fonction 𝑓 sur ]1, +∞[. où 𝜆 est un réel quelconque. Si 𝑓 admet une primitive 𝐹 sur ℝ alors ils existent 3- Démontrer que si 𝑓 admet une fonction k1 et k2 tels que : primitive sur 𝐼 et x0 ∈ 𝐼 ; alors il existe une unique Prof/ATMANI NAJIB 1  F1  x   x  x  k1 ; si...x  1  fonction Primitive de 𝑓 telle que F0  x0   y0 où 2   F2  x   x  x  k2 ; si...x 1 2  y0 un réel quelconque. et que 𝐹 soit dérivable sur ℝ et que :  x   ; F   x   f  x  Exemple : Soit la fonction 𝑓 définie sur 0;  On a 𝐹 est dérivable sur] − ∞, 1[ 1 par : f  x   2 x 2  x  1  et (∀𝑥 ∈] − ∞, 1[)(𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)) x2 et 𝐹 est dérivable sur ]1, +∞[ 1)Déterminer les fonctions primitives de la et (∀𝑥 ∈]1, +∞[)(𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)) fonction 𝑓 sur 0;  Le problème il faut déterminer (s’ils existent) 2)Déterminer la fonction primitive de la fonction 𝑓 k1 et k2 dans ℝ pour que 𝐹 soit dérivable en 1 et sur 0;  tel que : F 1  3 que :𝐹′(1) = 𝑓(1) = 3. 1 On a F 1  2  k1 Solution :1) f  x   2 x 2  x  1  x2 D’autre part pour que 𝑓 soit dérivable en 1, il faut 1 21 1 11 1 Donc : F  x   2  x  x  1x  2  k qu’elle soit continue en 1, ce qui implique 3 2 x lim F  x   lim F  x   F 1 Donc : F  x   2 x 3  1 x 2  x  1  k avec k  x 1 x 1 3 2 x 2 3 1 2 1 On en déduit que 2  k1  k2 d’autre part : 2) F 1  3  1  1  1   k  3 3 2 1 2 1 7 11 F  x   F 1 x 2  x  k2  2  k1 F 1  3    1  1  k  3   k  3  k  lim  lim 3 2 6 6 x 1 x 1 x 1 x 1 Donc : la fonction primitive de la fonction 𝑓 sur  lim x 2  x  2  k2  k1  lim x 2  x  2  2  k1  k1 0;  tel que : F 1  3 est : x 1 x 1 x 1 x 1 2 1 1 11 F  x   x3  x 2  x   3 2 x 6 Car : 2  k1  k2 Propriété : Si 𝐹 est une fonction primitive de la fonction 𝑓 sur l’intervalle 𝐼 et 𝐺 une fonction x2  x  lim  lim x  1  Fd 1 primitive de la fonction 𝑔 sur l’intervalle 𝐼 et 𝛼 un x 1 x  1 x1 réel alors : 1) (𝐹 + 𝐺) est une fonction primitive de la fonction F  x   F 1 x 2  x  k1  2  k1 lim  lim (𝑓 + 𝑔) sur 𝐼 x 1 x 1 x 1 x 1 2) (𝛼𝐹) est une fonction primitive de la fonction (𝛼𝑓) sur 𝐼 x2  x  2  x  1 x  2  lim x  2  3  F  1  lim  lim g  3) Tableau des fonctions primitives usuelles. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Donc pour tous réels k1 et k2 ; Fd 1  Fg 1 D’où 𝐹 n’existe pas et par suite 𝑓 n’admet pas de primitive sur ℝ Propriété :Si 𝑓 admet une fonction primitive sur 𝐼 et x0 ∈ 𝐼; alors il existe une unique fonction F0 4) Opérations sur les fonctions primitives. Prof/ATMANI NAJIB 2 Les seules opérations sur les fonctions primitives 1 F  x    2 x  1  k avec k  4 sont : la somme et le produit par un réel. Mais 8 grâce au tableau des opérations sur les fonctions 5) f  x    x dérivées on peut en déduire : x  1 2 2 x 2  1 on doit remarquer que : f  x     x  1 2 2 et par suite : F  x   21  k avec k  x 1 6) f  x   5 x 3x 2  1 On doit remarquer que : 3 la fonction u  x   3x 2  1 donne u  x   6 x et par 5 La ligne en couleur gaune est une généralisation suite : f  x   u   x  3 u  x  on utilisant le tableau 6 des 4 lignes précédentes. 5) Application : (c’est de la forme : u n u (𝑛 = 3)) Exercice1 (situation directe): Déterminer une fonction primitive des fonctions suivantes : Donc les fonctions primitives de 𝑓 s’écrivent sous 1) f  x   5x  3x  1 2) f  x   4 1  cos x  sin x  1 533 4 x la forme : F  x   u  x  k 64 3) f  x   sin x  x cos x 4) f  x    2 x  1 3 F  x  53  3x 2  1  k 4 avec k  5) f  x   x 6) f  x   5 x 3x  1 3 2 8 x  1 2 2 7) Déterminons une fonction primitive de : 4x 1 4x 1 7) f  x   8) f  x   7 x cos  x2  3 f  x  On doit remarquer que :  2x  x   2 x2  x  2 4 4 Solutions : 1) f  x   5x 4  3x  1 la fonction u  x   2 x  x donne u  x   4 x  1 2 1 1 F  x   5  x5  3  x 2  1x  k avec k  u  x  5 2 et par suite : f  x    u  x  u 4  x  u 4  x 1 2) f  x    cos x  sin x  1 En utilisant le tableau on a : x (c’est de la forme : u u n (𝑛 = -4)) F  x   2 x  sin x  cos x  x  k avec k  Donc les fonctions primitives de 𝑓 s’écrivent sous 3) f  x   sin x  x cos x  x sin x  x  sin x  1 41 la forme : F  x   u  x  k 4  1 Donc : F  x   x  sin x  k avec k   1 2 2x  x   k   1 1 3 F  x   k 4) f  x    2 x  1 3   2 x  1  2 x  1 1 3 3 3  2 x 2  x 3 2 k f  x   7 x cos  x2  3 On doit remarquer que : 1 1 F  x   2 x  1  k avec 31  8) 2 3 1 la fonction u  x    x  3 donne u  x   2 x 2 Prof/ATMANI NAJIB 3  (c’est de la forme : u u n ) u   x  cos  u  x   7 et par suite : f  x   2 Donc les fonctions primitives de 𝑓 s’écrivent sous (c’est de la forme : u   v u  ) la forme : 1 2 1 3 F  x    2  cos x  3  k    2  cos x  3  k  1 Donc les fonctions primitives de 𝑓 s’écrivent sous 1 2  1 3 la forme : F  x   sin  x  3  k avec k  7 2 2 3 F  x    3  2  cos x   k avec k  2 2 Exercice2 :Déterminer une fonction primitive de 6 2) f  x   2 x sin x  x 2 cos x   x 2  sin x  x 2  sin x  fonction suivante : f  x   4x  4x 1 2 Donc : F  x   x 2  sin x  k avec k  Solutions : A remarquer que 3) f  x    4 x  5    4 x  5   4 x  5  2 1 2  2x 1   f  x  6   3      (C’est de la forme:  u ) 4  2 x  1   2 x  1  2 2 2 u   1 1 F  x    4 x  5  k 2 1 4 2 1 Donc les fonctions primitives de la fonction 𝑓 sont 3 1 les fonctions : F  x   F  x   4 x  5  k 3  k avec k  avec k  2x 1 12 Remarque : On peut utiliser cette méthode pour 4) f  x   2 2 x  1   2 x  1  2 x  1 2 1 toutes les fonctions de la formes :  1 3 Donc : F  x   1  2 x  1 2 1  2  2 x  1 2 f  x  2 où le discriminant Δ est nul 1 1 3 ax  bx  c 2   3 Exercice3 : Déterminer les fonctions primitives 2 2 F  x   2 x  1 2  3 2x  1 k des fonctions : 3 3 sin x x  1 1) f  x   2 x 5) f  x    3 2  cos x x2  1 2 x2  1 2) f  x   2 x sin x  x 2 cos x 3) f  x    4 x  5 F  x   x2  1  k 2 avec k  x  1  x 2  1 2 1 4) f  x   2 2 x  1 5) f  x   x 6) f  x   x x 2  1  2  1 2 x2  1 1 3 1 1  x 2  1 2  k   x 2  1 2  k 1 1 6) f  x   x x 2  1 7) f  x   tan 2 x F  x  21 3 1 8) f  x   cos4 x (utiliser : 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =(1+𝑐𝑜𝑠2𝑥)/2)) 2   3 1 F  x  x 2  1  k avec k  9) f  x   sin 3 x (Remarquer que : 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛²𝑥 ) 3 Solutions : 1) il faut faire des transformations : 7) f  x   tan 2 x  1  tan 2 x   1 a remarquer que : sin x  1 F  x   tan x  x  k avec k  1) f  x     3    2  cos x 2  cos x 3 2  cos x Prof/ATMANI NAJIB 4  2)Déterminer la fonction primitive F de la fonction  1  cos 2 x  ) 2 8) f  x   cos x   cos x  2 4 2   2   𝑓 sur 1;  tel que : F  2   1 1 1  cos 4 x  f  x  1 4 1  2 cos 2 x  cos 2 2 x   1  2 cos 2 x  4 2   Solution :1) x  1;  1 3 1 1 f  x   3  4cos 2 x  cos 4 x    cos 2 x  cos 4 x  x  1 3  x 1   x  1 2  x 1  x 1  x 1  x 1  x 1 8 8 2 8 On a : x  1;  donc : x  1 donc : x  1  0 3 1 1 F  x   x  sin 2 x  sin 4 x  k avec k  8 4 32 9) f  x   sin3 x  sin x  sin 2 x  sin x  1  cos2 x   donc :  x  1  x  1   x  1  x  1  x  1  x x  1  1 x  1  x  1  x x  1 3 f  x   sin x  sin x  cos x  sin x   cos x   cos x 2 2 2) f  x    x  1  x  1 x  1;  3 1 F  x    cos x  cos3 x  k avec k    1 3 1 3 1 f  x    x  1   x  1 2   x  1 2   x  1 2 3 2 Exercice4: Soit la fonction 𝑓 définie sur  0;  f  x    x  1  x  1 2   x  1  x  1 2 3 1 x2  2x par : f  x    x  1 2 3 1 1 1       1 1 Donc : F x  x  1 2  x  1 2 k 3 1 1)Déterminer les réels a et b tels que : 1 1 2 2 x   0;  b f  x  a   x  1 2 5 3 2 2 F  x   x  1 2   x  1 2  k 2)Déterminer la fonction primitive F de la fonction 5 3 𝑓 sur  0;  tel que : F 1  5 F  x  2   2   5 3 2 x 1  x 1  k k 5 3 Solution :1) a  x  1  b 2 b ax 2  2ax  a  b f  x  a    C’est en forgeant que l’on devient forgeron  x  1  x  1  x  1 2 2 2 Dit un proverbe. a  1 a  1 C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices   1 Donc : 2a  2  a  1 donc : f  x   1  Que l’on devient un mathématicien  x  1 2 a  b  0 b  1   x  1 2) f  x   1   1 Donc : F  x   x  k  x  1 2 x 1 k x   0;  Exercice5: Soit la fonction 𝑓 définie sur 1;  par : f  x   x x  1 1)montrer que : f  x    x  13  x  1 x  1;  Prof/ATMANI NAJIB 5