गणित पिछला पेपर कक्षा 9 (अध्याय 8) PDF

# गणित (www.tiwariacademy.com) (अध्याय - 8) (चतुर्भुज) (प्रश्नावली 8.1) (कक्षा - 9) ## प्रश्न 1: यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है। **उत्तर 1:** दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AC = BD है। सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है। **हल:** AABC और ABAD में, - BC = A...

# गणित (www.tiwariacademy.com) (अध्याय - 8) (चतुर्भुज) (प्रश्नावली 8.1) (कक्षा - 9) ## प्रश्न 1: यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है। **उत्तर 1:** दिया है: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AC = BD है। सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है। **हल:** AABC और ABAD में, - BC = AD [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।] - AC = BD [दिया है] - AB = AB [उभयनिष्ठ] अतः, ΔΑΒC =ABAD [SSS सर्वांगसमता नियम] - ZABC = ∠BAD [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।] परन्तु, ∠ABC + ∠BAD = 180° [अंतः कोण संपूरक होते हैं।] ⇒ 2∠BAD = 180° [∠ABC = ∠BAD] ⇒ ∠BAD = 180°/2 = 90° एक समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो, आयत होता है। अतः ABCD एक आयत है। ## प्रश्न 2: दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। **उत्तर 2:** दिया है: ABCD एक वर्ग है। सिद्ध करना है: AC = BD, AO = CO, BO = DO तथा ∠COD = 90° है। **हल:** ABAD और AAВС में, - AD = BC [एक वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।] - ZBAD = ∠ABC [प्रत्येक 90°] - AB = AB [उभयनिष्ठ] अतः, ABAD ΔΑΒΟ [SAS सर्वांगसमता नियम] - BD = AC [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।] △AOB और ACOD में, - ZOAB = ∠OCD [एकांतर कोण] - AB = CD [एक वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।] - ZOBA = ∠ODC [ASA सर्वांगसमता नियम] अतः, ABAD =ΔΑΒΟ - AO = OC, BO = OD [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं] △AOB और AAOD में, - OB = OD [ऊपर सिद्ध किया गया है।] - AB = AD [वर्ग की भुजाएँ समान होती हैं।] - OA = OA [उभयनिष्ठ] अतः, ABAD =ΔΑΒΟ - ZAOB = ∠AOD [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं] परन्तु, ∠AOB + ∠AOD = 180° [रैखिक युग्म] ⇒ 2∠AOB = 180° [∠AOD = ∠AOB] ⇒ ∠AOB = 180°/2 = 90° अतः, वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। ## प्रश्न 3: समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति) । दर्शाइए कि (i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है। (ii) ABCD एक समचतुर्भुज है। **उत्तर 3:** (i) - <DAC = ∠BAC [दिया है] - ZDAC = ∠BCA [एकांतर कोण] - ZBAC = ∠ACD [एकांतर कोण] समीकरण (1), (2) और (3) से - ZACD = ∠BCA अतः, विकर्ण AC कोण ८ भी समद्विभाजित करता है। (ii) समीकरण (2) और (4) से - ZACD = ∠DAC AADC में, - ZACD = ∠DAC - AD = DC [त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।] एक समांतर चतुर्भुज जिसकी आसन्न भुजाएँ समान हों, समचतुर्भुज होता है। अतः, ABCD एक समचतुर्भुज है। ## प्रश्न 4: ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (1) ABCD एक वर्ग है। (ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है। **उत्तर 4:** (i) दिया है: ABCD एक आयत है जिसमें ∠1 = 22 तथा ∠3 = 24 है। सिद्ध करना है: ABCD एक वर्ग है। **हल:** - ∠1 = 24 [एकांतर कोण] - <3 = 24 [दिया है] अतः, ∠1 = ∠3 [समीकरण (1) और (2) से] AADC में, - 41 = 23 [समीकरण (1) और (2) से] - DC = AD [त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।] एक आयत जिसकी आसन्न भुजाएँ समान हों, वर्ग होता है। अतः, ABCD एक वर्ग है। (ii) सिद्ध करना है: विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है। **हल:** - 45 = 28 [एकांतर कोण] AADB में, - AB = AD [ABCD एक वर्ग है] - 27 = 25 [त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।] अतः, 27 = 28 [समीकरण (4) और (5) से] तथा ∠7 = 26 [एकांतर कोण] अतः, 25 = 26 [समीकरण (5) और (7) से] अतः, समीकरण (6) और (8) से, विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है। ## प्रश्न 5: समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि (i) AAPD ACQB (ii) AP = CQ (iii) AAQB ACPD (iv) AQ = CP (v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है। **उत्तर 5:** (i) AAPD और ACQB में, - DP = BQ [दिया है] - ZADP = ∠CBQ [एकांतर कोण] - AD = BC [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर माप की होती हैं।] अतः, AAPD = ACQB [SAS सर्वांगसमता नियम] (ii) - AAPD =ACQB [ऊपर सिद्ध किया गया है।] - AP = CQ [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।] (iii) AAQB और ACPD में, - QB = DP [दिया है] - ZABQ = ∠CDP [एकांतर कोण] - AB = CD [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर माप की होती हैं।] अतः, AAQB = ACPD [SAS सर्वांगसमता नियम] (iv) - AAQB ACPD [ऊपर सिद्ध किया गया है।] - AQ = CP [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।] (v) APCQ में, - AP = CQ [समीकरण (1) से] - AQ = CP [समीकरण (2) से] चतुर्भुज APCQ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं अतः, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है। ## प्रश्न 6: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि (i) AAPB ACQD (ii) AP = CQ **उत्तर 6:** (i) AAPB और ACQD में, - ZAPB = ∠CQD [प्रत्येक 90°] - ZABP = ∠CDQ [एकांतर कोण] - AB = CD [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर माप की होती हैं।] अतः, ΔΑΡΒ =ACQD [SAS सर्वांगसमता नियम] (ii) - ΔΑΡΒ =ACQD [ऊपर सिद्ध किया गया है।] - AP = CQ [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।] ## प्रश्न 7: ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है (देखिए आकृति) । दर्शाइए कि (i) ∠A = ∠B (ii) ∠C = ∠D (iii) ΔΑΒC ABAD (iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है [संकेत: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।] **उत्तर 7:** (i) रचना: AB को बढ़ाया और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींची जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करती है। चतुर्भुज AECD में, - AE || DC [दिया है] - AD || CE [रचना से] अतः, चतुर्भुज AECD एक समांतर चतुर्भुज है। - AD = CE [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर माप की होती हैं।] - AD = BC [दिया है] अतः, CE = BC [समीकरण (1) और (2) से] इसलिए, ABCE में, - <3 = 24 [त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।] यहाँ, - <2 + 3 = 180° [रैखिक युग्म] - 21 + 24 = 180° [अंतः कोण] इसलिए, - <2 + 23 = 21 + 24 [समीकरण (4) और (5) से] ⇒<2 = 21 [23 = 24] ⇒∠B = ∠A || DC, अतः, - <1 + ∠D=180° [अंतः कोण] - <2 + ∠C= 180° [अंतः कोण] इसलिए, - 21 + ∠D=∠2 + ∠C [समीकरण (6) और (7) से] ⇒∠D = ∠C [2 = ∠1] (iii) ∆ABC और ABAD में, - BC = AD [दिया है] - ZABC = ∠BAD [ऊपर सिद्ध किया गया है।] - AB = AB [उभयनिष्ठ] अतः, ΔΑΒC =ABAD [SAS सर्वांगसमता नियम] (iv) - ΔΑΒΟ ΔBAD [ऊपर सिद्ध किया गया है।] - विकर्ण AC = विकर्ण BD [सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।]