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6 - Les fonctions usuelles Avant d’étudier des fonctions plus compliquées, un rapide rappel sur les fonctions affines : Proposition 1 Une fonction affine coı̈ncide avec sa tangente en tout point. Ainsi : si f est une fonction affine définie de R dans R, alors pour tout a ∈ R, on a :...

6 - Les fonctions usuelles Avant d’étudier des fonctions plus compliquées, un rapide rappel sur les fonctions affines : Proposition 1 Une fonction affine coı̈ncide avec sa tangente en tout point. Ainsi : si f est une fonction affine définie de R dans R, alors pour tout a ∈ R, on a : ∀x ∈ R, f (x) = f ′ (a)(x − a) + f (a). Exemple 2 Déterminer l’équation de la droite passant par les points de coordonnées (2, 3) et (4, 6) 6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances. Nous commençons par une révision rapide des propriétés des fonctions logarithmes et exponentielles classiques : ces fonctions sont réciproques l’une de l’autre et nous allons partir des propriétés de l’une pour démontrer celles de l’autre. Nous pourrions partir de la fonction exponentielle mais son étude précise nécessite des outils que vous développerez l’an prochain uniquement. Nous allons donc partir de la fonction logarithme en supposant connues les propriétés classiques de l’intégration. (que nous démontrerons dans quelques mois) 6.1.1 Logarithme Définition 3 R+∗ dans R. Rx dt On appelle logarithme (népérien), notée ln, la fonction x 7→ 1 t de 1 C’est donc l’unique primitive de x 7→ x s’annulant en 1 Proposition 4 (admise) La fonction ln est dérivable sur R+∗ , de dérivée : x 7→ x1. On a de plus : ln 1 = 0 ∀(x, y) ∈ (R+∗ )2 , ln(xy) = ln(x) + ln(y) 2 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS USUELLES Proposition 5 la fonction ln est strictement croissante sur R+∗ , bijective de R+∗ sur R. On a : ∀x ∈ R+∗ , ln(x) ⩽ x − 1 ∀x ∈ R+∗ , ln( x1 ) = − ln(x) lim ln(x) = +∞ et lim ln(x) = −∞ x→+∞ x→0+ ln(1+x) lim x =1 x→0 Nous avons déjà prouvé la première propriété et remarqué qu’elle avait une interprétation simple : la fonction ln est inférieure à sa tangente en 1. (de manière plus générale : la fonction ln est une fonction inférieure à chacune de ses tangentes, on dit qu’elle est concave) La dernière est assez simple si on pense au taux d’accroissement et pratique dans de nombreuses situations. Proposition 6 (dérivée logarithmique) Soit f une fonction dérivable de I, intervalle de R, dans R∗ , alors : ′ ′ f (x) ∀x ∈ I, (ln |f |) (x) = f (x). Définition 7 On nomme e l’antécédent du nombre 1 par la fonction ln. 6.1.2 Exponentielle Définition 8 on appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme et on note exp cette fonction. C’est donc une application de R dans R+∗. Par convention, on notera aussi exp l’application R −→ R x 7−→ exp(x) Pour x ∈ R, exp(x) est aussi noté ex Attention : ex est une notation ! Pour un réel quelconque, considérer le produit de e par e par e,... x fois n’a en effet pas de sens ! On peut par contre espérer retrouver des propriétés classiques sur les fonctions puissances, si la notation est bien choisie. 6.1. FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMES, PUISSANCES. 3 Proposition 9 (conséquence des propriétés du logarithme) ∀(x, y) ∈ R2 , exp(x + y) = exp(x) exp(y). lim ex = 0 et lim ex = +∞. x→−∞ x→+∞ La fonction exponentielle établit une bijection de R sur R+∗. ∀x ∈ R, ex ⩾ 1 + x. ex −1 lim x =1 x→0 La fonction exponentielle est donc supérieure à sa tangente en 0 : elle est en fait supérieure à toutes ses tangentes et on parle de fonction convexe. Remarque La bijectivité se traduit par : ∀x ∈ R, ∀y ∈ R+∗ , y = exp(x) ⇔ ln(y) = x. exp y=x 1 ln Les fonctions ln et exp sont symé- O triques par rapport à la première 1 bissectrice, étant réciproque l’une de l’autre. Pour terminer ces rappels rapides, quelques propriétés qui permettent en fait de caractériser les fonctions logarithmes et exponentielles par des équations fonctionnelles : à ce stade de l’année nous devons cependant admettre la fin de la démonstration (qui sera traitée dans la partie continuité- densité plus tard cette année) Proposition 10 L’ensemble des fonctions f ∈ C 0 (R, R) telles que : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y) est l’ensemble {x 7→ kx|k ∈ R}. 4 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS USUELLES Démonstration On raisonne par analyse-synthèse : On considère f une éventuelle solution et on pose α = f (1) On va montrer progressivement que : ∀x ∈ R, f (x) = αx 1) - on commence par prouver par récurrence que : ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, f (nx) = nf (x) 2) - on prouve ensuite que : ∀r ∈ Z, ∀x ∈ R, f (rx) = rf (x) 3) - on prouve ensuite que : ∀n ∈ N∗ , f ( n1 ) = n1 α 4) - on prouve enfin que : ∀x ∈ Q, f (x) = αx 5) - pour terminer, on a besoin d’un argument de continuité. Ce sera expliqué dans quelques mois et est admis pour l’instant. Démonstration on remarque que f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) ce qui donne f (0) = 0 la récurrence du premier point est alors claire à écrire. on considère ensuite r ∈ Z− et x ∈ R. On peut alors écrire : 0 = f (0) = f (rx+(−r)x) = f (rx) + f ((−r)x) = f (rx) + (−r)f (x) puisque −r ∈ N On a alors directement f (rx) = −(−r)f (x) = rf (x) et le deuxième point en découle. pour le troisième point, on considère n ∈ N∗ et on écrit : α = f (1) = f (n × n1 ) = nf ( n1 ) grâce au premier point. On a alors directement f ( n1 ) = n1 α pour le quatrième point, on considère x ∈ Q. Il existe alors (p, q) ∈ Z × N∗ tel que x = pq. En utilisant le deuxième et le troisième point, on alors : f (x) = f (p × 1q ) = pf ( 1q ) = p 1q α = xα Démonstration on remarque que c’est en démontrant les points 3 et 4 que l’on se rend compte que l’on a besoin de montrer le premier et le deuxième point pour tout x ∈ R et non juste pour 1 comme on le fait ensuite pour les points 3 et 4 on termine ainsi la partie analyse de la démonstration : les fonctions solutions sont toutes de la forme x 7→ αx avec α un paramètre réel. la fin est une simple vérification sans problème : les fonctions de cette forme sont clairement toutes solutions et peut ainsi terminer la démonstration. 6.1. FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMES, PUISSANCES. 5 Proposition 11 L’ensemble des fonctions f ∈ C 0 (R, R+∗ ) telles que : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x)f (y) est l’ensemble {x 7→ ekx |k ∈ R}. Proposition 12 L’ensemble des fonctions f ∈ C 0 (R+∗ , R) telles que : ∀(x, y) ∈ (R+∗ )2 , f (xy) = f (x) + f (y) est l’ensemble {x 7→ k ln(x)|k ∈ R}. 6.1.3 Logarithme et exponentielle en base quelconque. Dans cette partie, nous généralisons les notions révisées rapidement : en pratique, les logarithmes en base 2 (en informatique) ou en base 10 (pour les calculs historiques) sont les plus utilisés ; les autres sont beaucoup plus anecdotiques. La généralisation à la notion de puissance quelconque est elle par contre fondamentale pour la suite de l’année ! Définition 13 Soit a ∈ R+∗ \{1} : on appelle fonction logarithme de base a la fonction loga : R+∗ → R, x 7→ ln x ln a on appelle fonction exponentielle de base a la fonction réciproque de loga. C’est une fonction de R dans R+∗ que l’on identifie usuellement avec la fonction de R dans R associée et que l’on note expa. Avec ces notations, on a en fait ln = loge et exp = expe. Proposition 14 Soit a ∈ R+∗ \{1}. Pour x ∈ R, on a expa (x) = exln(a). Proposition 15 (propriétés générales de ces fonctions) Soit a ∈ R+∗ \{1}. loga est dérivable sur R+∗ et ∀x ∈ R+∗ , log′a (x) = x ln1 a expa est dérivable sur R et ∀x ∈ R, exp′a (x) = ln(a) expa (x) ∀(x, y) ∈ (R+∗ )2 , loga (xy) = loga (x) + loga (y) ∀(x, y) ∈ R2 , expa (x + y) = expa (x) expa (y) 1 on déduit le graphe de loga de celui de ln par une dilatation verticale de rapport ln(a) 6 CHAPITRE 6. LES FONCTIONS USUELLES si a ∈]1, e[, une contraction verticale de rapport ln(a) si a > e. Si a < 1, il faut de plus opérer un renversement. on déduit le graphe de expa de celui de exp par une contraction horizontale de rapport 1 ln(a) si a > e, une dilatation horizontale de rapport ln(a) si a ∈]1, e[. Si a < 1, il faut de plus opérer un retournement. Définition 16 Soit a ∈ R, on appelle fonction puissance a la fonction ϕa : R+∗ −→ R x 7−→ exp (a ln(x)) En pratique, on note xa l’image de x ∈ R+∗ par cette fonction. Par définition, on a donc xa = ea ln(x) , relation à retenir. En particulier : si a ∈ R+∗ \{1}, alors loga est la fonction réciproque de R −→ R+∗ x 7−→ ax Attention Si on considère x ∈ R+∗. Les propriétés naturelles des puissances et des fonctions loga- rithmes/exponentielles nous permettent de dire que x2 = (eln(x) )2 = e2 ln(x) La notation choisie est donc bien un prolongement, sur R+∗ de la notation classique de puis- sance que vous connaissez. La fonction x 7→ x2 existe bien sur R entier mais par contre il est hors de question d’utiliser la notation xa pour x ∈ R si on sait juste que a est un réel ! Il est par contre usuel de prolonger, dans le cas a > 0, la fonction puissance a en 0 en imposant 0a = 0. Cela revient en fait à prolonger par continuité la fonction puissance a. On peut aussi imposer 00 = 1 toujours en prolongeant par continuité. Exercice 17 Déterminer lim (1 + x1 )x x→+∞ Proposition 18 Soit (a, b) ∈ R2. On vérifie les propriétés suivantes, généralisant celles connues sur les puis- sances entières : la fonction puissance a est dérivable sur R+∗ , et ∀x ∈ R+∗ , (ϕa )′ (x) = axa−1 ∀(x, y) ∈ (R+∗ )2 , xa+b = xa.xb , (xa )b = xab et (xy)a = xa y a ∀x ∈ R+∗ , x−a = 1 xa 6.1. FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMES, PUISSANCES. 7 Remarque 1 La fonction x 7→ x 2 est ainsi la réciproque de la fonction x 7→ x2 √ On en déduit donc que ∀x ∈ R+∗ , x = x 2 (la fonction racine est définie en 0 mais cette 1 relation n’est définie que sur R+∗ ) On peut généraliser cela rapidement : Soit n ∈ N∗. La fonction x 7→ x n est la réciproque de la fonction x 7→ xn , en considérant ici 1 √ les fonctions de R+∗ dans R+∗. On note aussi, pour x ∈ R+∗ , n x au lieu de x n : c’est donc 1 la racine n-ème de x appartenant à R+ Vous devez savoir dessiner rapidement le graphe de la fonction puissance en distinguant bien les cas selon la valeur du paramètre a : points importants, limites, pente aux points importants, etc... a>1 a=1 0 0, alors arg(z) ≡ arctan( ab )[2π] Exercice 41 1 Formule de Machin : 4arctan( 15 ) − arctan( 239 )= π 4 Remarque Attention à bien connaı̂tre les ensembles pour lesquels les relations suivantes sont correctes : ∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos(x)) = x ∀x ∈ [0, π], arccos(cos(x)) = x ∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin(x)) = x ∀x ∈ [− π2 , π2 ], arcsin(sin(x)) = x ∀x ∈ R, tan(arctan(x)) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [, arctan(tan(x)) = x En particulier : les fonctions x 7→ arccos(cos(x)) et x 7→ arcsin(sin(x)) sont définies sur R mais ne sont pas égales à l’identité sur cet intervalle entier puisqu’elles sont clairement 2π-périodiques