Cours Suites 5 Transition PDF

Chapitre 2 Les Suites 2.1 Les suites Une suite est un enchainement de choses. ll peut y avoir un logique ou pas entre les diverses choses. Par convention, on utilisera très souvent un pour noter le n-ième élément de la suite. Par exemple, u5 sera le cinquième éléments de la suite (et...

Chapitre 2 Les Suites 2.1 Les suites Une suite est un enchainement de choses. ll peut y avoir un logique ou pas entre les diverses choses. Par convention, on utilisera très souvent un pour noter le n-ième élément de la suite. Par exemple, u5 sera le cinquième éléments de la suite (et pas un film). Si on a 1 ; 5 ; 8 ; 1,2 ; 6 ; 8 ; 4,6 ;.... , on peut dire que u5 = 6. Dans les suites, on peut croître, décroître de différentes manières. Soit en utilisant un ou des termes précédents pour arriver au suivant, soit en additionnant toujours les mêmes nombres, soit en multipliant toujours par le même nombre soit en faisant pleins d’autres choses puisque l’inventivité humaine est sans limite (comme sa connerie d’ailleurs). Voyez comment bougent les suites suivantes : 1. Soit u la suite définie pour tout naturel n par un = 5n − 1. donne les 10 premiers termes de la suites et le centièmes si c’est faisable rapidement. 2. Soit un la suite définie pour tout naturel n par u1 = 2 et un = un−1 − 5. donne les 10 premiers termes de la suite et le centième si c’est faisable rapidement. 3. Soit un la suite définie pour tout naturel n par u3 = 2 ; u4 = 7, 3 et un = un−2 − 2n. donne les 10 premiers termes de la suite et le centième si c’est faisable rapidement. 4. Soitun = 8 et u4 = −2 donne les 10 premiers termes de la suite et le centième si c’est faisable rapidement. √ 5. Soit un la suite définie par un = 4n + 1. donne les 10 premiers termes de la suite et le centième si c’est faisable rapidement. 6. Soit un la suite définie par un = 2un−1 − 3un−2. Avec u1 = 2 et u2 = 7 donne les 10 premiers termes de la suite et le centième si c’est faisable rapidement. 1  Dans les suites, il y a des suites particulières qui représentent bien certaines modifications dans la vie courante et qui, de plus, sont assez facile à mettre en formule afin de pouvoir prédire leurs comportements futurs. Ce sont les suites arithmétiques et géométriques. 2.1.1 les suites arithmétiques Les suites sont dites arithmétiques si on additionne toujours un même nombre pour passer d’un terme au suivant. Nous avons ainsi deux formules pour ces suites : Pour trouver un terme ou la raison : un = up + (n − p).r Pour trouver la somme des n-premiers termes d’une suite arithmétique : n Sn = (u1 + un ). 2 Pour ceux qui n’aime pas manipuler les équations, la formule pour trouver la raison : (un − up ) r= (n − p) 2.1.2 Exercices 1. Pour les suites arithmétiques suivantes, trouve la raison. (a) u1 = 3, u2 = 7, 2, u3 = 11, 4,... (b) v1 = −9, v2 = −13, v3 = −17,... (c) w1 = 5 et wn+1 = wn − 2, 2 Dans les trois suites qui précèdent, détermine u10 , v20 et w30. 3 5 7 2. Pour la suite ; ; ,... trouve la somme des 17 premiers termes et ensuite des n pre- 4 4 4 miers termes. 3. On donne certains éléments d’une suite arithmétique et on en demande d’autres. 1. u1 = −3 et r = 4 2. u4 = 2 et u10 = 5 que valent u10 et S10 ? que valent r et S13 ? 3. u2 = 8 et u5 = 15 4. u5 = − 43 et r = 18 que valent r, u1 et S15 ? que valent u16 et S20 ? 2 2.1.3 les suites géométriques Les suites sont dites géométriques si on multiplie toujours par un même nombre pour passer d’un terme au suivant. Nous avons ainsi deux formules pour ces suites : Pour trouver un terme ou la raison : un = up.q (n−p) Pour trouver la somme des n-premiers termes d’une suite géométrique : (1 − q n ) Sn = u1. (1 − q) Pour ceux qui n’aime pas manipuler les équations, la formule pour trouver la raison : un r q= n−p up ATTENTION : Si n − p est pair on a deux valeurs de q. Une positive et une négative ! 2.1.4 Exercices 1. Pour les suites géométriques suivantes, trouve la raison. (a) u1 = 1, u2 = 1, 2, u3 = 1, 44,... (b) v4 = 9, v6 = 81 (c) w1 = 5 et wn+1 = −4.wn 2. Pour la suite 5 ; 10 ; 20 ; 40 ;... trouve la somme des 13 premiers termes. 3. Si on sait que u3 = 21 et que u18 = 38, donne la somme des 25 premiers termes. 4. On donne certains éléments d’une suite géométrique et on en demande d’autres. 1. u1 = −2 et q = 3 2. u1 = 2 et u2 = 3, 6 que valent u7 et S7 ? que valent q et S7 ? 3. u3 = 9 et u5 = 7 4. u5 = −3/4 et q = 81 que valent q, u1 et S7 ? que valent u20 et S20 ? 2.1.5 Exercices mélangés et amusements 1. Si u8 = 5 et u20 =12 que vaut la somme de u8 à u20 si cette suite arithmétique ? 2. Détermine le réel x pour que les trois réels 2x − 1 ; x + 2 et 1 − 3x soient trois nombres consécutifs d’une suite arithmétique. 3. Détermine les cinq premiers termes d’une suite dont le deuxième égale 3 et le cinquième égale 17 dans le cas où elle serait arithmétique et dans celui où elle serait géométrique. 4. Si on sait que S21 = 243 et S30 = 420 que valent u11 et u32 si la suite est arithmétique ? 3  5. Si on sait que S20 = 240 que valent u1 et u10 si on sait que r = −3. Et si maintenant q = −1, 05 6. Détermine la somme des 20 premiers termes de la suite 1, 4, 7, 10,... 7. Détermine la somme des 20 premiers termes de la suite 1 ; -0,5 ; 0,25 ;... 8. Si u8 = −5 et u20 = 32 que vaut la somme des 20 premiers termes si cette suite arithmé- tique et si elle est géométrique ? 9. On donne la suite arithmétique 6 ; 13 ; 19 ;... Quel est le rang de 295 ? 10. Est-ce que les nombres consécutifs 6 ; 7,8 et 10,24 font parties d’une suites arithmétiques ou géométriques ? 11. Trois nombres consécutifs font partie d’une suite arithmétique. Calcule ces trois nombres si l’on sait que leur somme est 54 et que le plus grand est le double du plus petit. 12. Si on sait que u8 = 5u15 et que u20 = 32. Que vaut S23 dans le cas où la suite est arithmétique et dans le cas où elle est géométrique ? 13. Si on sait que u3 = 10u18 et que S20 = 320 dans une suite arithmétique. Que vaut S23 dans le cas où la suite est arithmétique et dans le cas où elle est géométrique ? 14. On donne une suite : − 12 ; 1 ; −2 ; 4 ; −8 ;... — Calcule le 13ème terme de cette suite. 341 — De combien de nombres consécutifs de cette suite, à partir du premier, le nombre 2 est-il la somme ? 1 15. Calcule 2 + 14 + 18 +... + 1 2046. 16. Un manuel scolaire perd chaque année 20% de sa valeur. En 1998, un tel manuel neuf coutait l’équivalent de 25 euros. Que vaut-il encore après 10 ans ? Après combien d’années ne vaut-il pas plus de 1 euro ? √ √ 17. Les deux premiers termes d’une suite géométrique sont 2 et 3. Calcule la raison, le dixième terme et la somme des 10 premiers termes. 18. Dans le Bolero de Ravel, le thème dure environ 20 secondes et est répétés 18 fois. A chaque répétition, sont ajoutés des instruments et ceux ci ont aussi une augmentation de la nuance. Ceci implique que l’énergie sonore double à chaque répétition. Combien de fois l’énergie sonore est-il plus importante entre la première et la dernière répétition ? Si la clarinette commence à 40 dB et qu’un doublement de l’énergie sonore correspond à une augmentation de 3 dB, à quelle intensité sonore en dB se fait le final du Boléro ? 19. Cinq nombres font partie d’une suite géométrique. Calcule ces nombres sachant que le premier et le dernier sont respectivement 96 et 768. 20. Donne les 5 premiers termes et le 50ème terme (si c’est réalisable facilement) pour : (a) un = 5n − 1. 4  (b) u2 = 2 et un = 3.un−1 + 8 21. Si nous savons que u3 = 8 et que u10 = 128 calcule S22 dans le cas où la suite serait arithmétique et dans le cas où elle serait géométrique 22. Parmi les suites suivantes, quelles sont celles qui sont arithmétiques, géométriques ? Jus- tifie ton choix ! a) 8 ; 5 ; 2 ; -1 ;... b) 1 ; 5 ; 7 ; 8 ;... c) 1 ; -2 ; 3 ; -4 ;... d) 1 ; -2 ; 4 ; -8 ;... 23. Calcule les sommes suivantes : a) 4+10+16+...+70 b) 2+22 +23 +...+28 c) 12 - 13 + 14 - 19 +...+ 218 - 318 24. L’if est un arbre qui a sa circonférence qui augmente de 2,5 cm par ans durant les 100 premières années. Calcule la circonférence d’un if qui a 10 ans et 100 ans. Ensuite sa croissance diminue. On a remarqué qu’un if de 800 ans avait une circonférence de 900 cm. Quelle est dès lors la croissance après les 100 premières années ? Quelle est la circonférence d’un arbre âgé de 680 ans ? Si la circonférence est de 9,5 m, quel est son âge ? 25. Nous savons que u4 +.... + u25 = 120 et que la suite est arithmétique. Si nous savons aussi que u8 = 12 que vaut u1 ? 26. Dans le cadre de "je cours pour ma forme", une personne a décider de courir 30 minutes pour sa première sortie et d’augmenter à chaque fois de 3 minutes la durée lors des sorties suivantes. S’il effectue 2 sorties par semaine, combien de temps courra-t-elle à la fin du 6ème mois ? Combien de temps aura-t-elle courue depuis le début de l’opération ? 27. Dans le cadre de "je cours pour ma forme", une personne a décider de courir 2km pour sa première sortie et d’augmenter à chaque fois de 10% la distance à chaque sortie. S’il effec- tue 2 sorties par semaine, combien de temps courra-t-elle à la fin du 6ème mois ? Combien de temps aura-t-elle courue depuis le début de l’opération ? 28. Un étang perd 5% de son eau par évaporation chaque jour. Si sa contenance est de 1 000 litres. Combien restera-t-il d’eau deux semaines plus tard s’il n’a pas plu ? 29. Une personne s’est éprise d’amour pour les poppit. Chaque semaine qui passe, il en achète trois de plus que la semaine précédentes. Sachant que la première semaine, il avait suc- combé 5 fois à la tentation, combien de poppit dispose-t-il après 5 mois d’achat compulsif ? 30. Une voiture perd environ 20 % de sa valeur la première année. Ensuite, pendant trois ans, elle perdra environ 10 % de sa valeur et après la quatrième année, elle perdra en moyenne 7 % de sa valeur. Si une voiture neuve coûtait 34 000 e, combien coûtera-t-elle dans 10 ans ? Et si une voiture de 2 ans coûtait 21 000 e, combien vaudra-t-elle à ses 10 ans ? 31. Un coach sportif influe en sueur et commence un compte Instagram. Fort du succès de ses 2 premières vidéos faites la première semaine, Gabriel décide d’en faire 3 de plus chaque semaine que la semaine précédente. Combien de vidéos diffusera-t-il dans 4 mois ? Com- bien de choses inutiles aura-t-il mis en ligne en un an ? 5 32. Dans une fable de Lafontaine, une grenouille veut se faire plus grosse que le boeuf. Sachant que son volume est de 80 cm3 et qu’elle réussit à se gonfler de 5 % par jour. Quel sera son volume dans 15 jours ? En combien de temps arrivera-t-elle au volume d’un boeuf de 1 m3 ? Si chaque jour qui passe elle arrive à faire une émule de plus et que chacune des grenouilles commence à grossir. Quelle sera le volume occupé par 30 grenouilles ? 6 2.2 Les placements Une des utilités des suites géométriques est dans les placements d’argents et les emprunts, voyons donc comment les formules s’y modifient ! 2.2.1 Placement Nous avons deux types de placement. Le premier consiste simplement en le versement des intérêts et à l’utilisation de ceux-ci. C’est ce qui est généralement appelé intérêt simple. Il suffit de calculer pour une année et on obtient les intérêt pour toutes les autres années. Le taux d’intérêt est souvent donné en pour- 5 centage et noté i c’est-à-dire que i = 5% = 100 = 0, 05. C’est l’écriture décimale 0,05 qui sera le plus souvent utilisée. Pour calculer l’intérêt il suffit de faire : C.i. C’est le cas pour certains produits financiers comme les bons d’état à coupons (on prête de l’argent à l’état par exemple 10 000 e et on reçoit tous les ans un coupon de, par exemple, 4 % soit 400 e que l’on peut utiliser et ce pendant la durée définie : 1-3-5-8-10 ans). Le deuxième consiste à ne pas toucher à l’argent ainsi qu’aux intérêts. Les intérêts rapportent donc eux aussi des intérêts. C’est ce qui est appelé intérêt composé ou encore placement par capitalisation. Ces placements suivent les lois d’une suite géométrique. Les formules modifiées avec les notations "financières" deviennent : Cn = C0 · (1 + i)n où Cn est le capital qu’on aura après n années C0 est la somme de départ i est le taux d’intérêt sur base annuelle Dans les placements, il y a aussi les constitution d’épargne. On met tous les jours, tous les mois voir tous les ans une même somme d’agent sur un compte en banque. Généralement, on aime savoir combien on aura dans 5 ans, 10 ans,.. ; si on continue toujours à faire cela. On est donc dans une somme des termes d’une suite géométriques. La formule devient donc : (1 − (1 + i)n ) Sn = V · où Sn est la somme accumulée grâce à n versement (1 − (1 + i)1 ) V est le montant identique qu’on dépose sur le compte tous les.... i est le taux d’intérêt Si on verse tous les jours, il faut prendre l’intérêt journalier tous les mois, l’intérêt mensuel ; tous les ans, l’annuel (cfr ci-dessous). Remarque Le taux d’intérêt peut aussi être donné sur base mensuelle ou journalière (dans le cas où l’intérêt est payé tous les jours ou tous les mois voir aussi le cas où l’argent ne reste pas un nombre entier d’année sur un compte). Dans ce cas-là, on modifie l’exposant n en fonction de la période. Pour un intérêt mensuel, deux ans sera 24 mois. Pour un intérêt journalier 3 ans sera 1 080 jours. Pour un intérêt annuel 540 jours sera 540 360. Pour trouver un taux mensuel, il suffit de faire : 1 1 + imensuel = (1 + iannuel ) 12 = (1 + ijournalier )30 Pour trouver un taux journalier, il suffit de faire : 1 1 1 + ijournalier = (1 + iannuel ) 360 = (1 + imensuel ) 30 7  2.2.2 Exercices Placements 1) Quelle somme vais-je avoir si je dépose 3 652 e sur un compte en banque rapportant 3 % par an et que je récupère la somme dans 3 ans ? 2) Quelle somme d’argent dois-je déposer sur un compte en banque pour que dans 20 ans ma fille ait 12 000 e si le compte rapporte 1,8 % ? 3) Si ma plus grande fille (4 ans) a maintenant 3 542 e sur son compte. Combien dois-je déposer sur le compte de ma fille qui va naître pour qu’à leurs 18 ans, elles disposent de la même somme d’argent (on considère que le compte rapportera toujours 1,8 %) ? 4) Si mon taux annuel est de 5 %, quel est le taux mensuel ? 5) J’avais sur mon compte en banque au 1 janvier 1 500 e suite à un achat impulsif fin février, je me suis retrouvé à -1 200 e sur mon compte pendant 2 mois. Sachant que dans un tel cas la banque me demande 12,16 % annuel (c’est appelé un taux débiteur), combien d’intérêt devrais-je payer à la banque pour mon solde négatif ? 6) Les 1 500 e m’ont rapporté des intérêts en janvier et février. Après le passage en négatif, j’ai réussi à avoir à nouveau un solde de 1 500 e sur mon compte jusqu’à la fin de l’année. Combien aurais-je d’intérêt ? Vont-ils compenser les intérêts débiteur ? 7) Je décide de mettre 100 e par mois sur un compte en banque pour mes filles qui rapporte 2,2 %, combien vais-je avoir sur ce compte après 18 ans ? 8) J’ai entendu une publicité qui disait qu’une voiture était disponible pour 2 e par jour. Je me suis mis en tête de faire la même chose sur mon compte en banque qui rapporte 1,5 %. Combien vais-je avoir au bout de 5 ans ? 9) Si j’ai envie de dépenser 300 e par an sans toucher à mon capital (donc uniquement avec les intérêts) et que j’ai du 1,8 %, quel capital dois-je avoir ? 10) J’ai 1 000 euros sur mon compte en banque. Je reçois 1,7 % d’intérêt. Sachant que l’inflation est de 2 % (cela veut dire qu’un pain qui coûte 100 e aujourd’hui, il en coûtera 102 l’année prochaine, 104,4 l’année d’après,...) combien vais-je perdre au bout de 10 ans ? 11) Quelle somme dois-je déposer tous les mois sur un compte rapportant 1,9 % par an afin d’obtenir 25 000 e dans 20 ans ? 12) Je dépose pendant 5 ans 100 e par mois sur un compte épargne. Après, j’en dépose 150e pendant 3 ans et enfin, j’en dépose 200 e pendant 15 ans. Combien aurais-je au bout des 23 ans ? 13) J’ai acheté pour 5 000 e d’obligations d’Etats à coupons (l’intérêt est versé sur un compte en banque) durée 5 ans et intérêt 4 % brut (il y a un précompte mobilier de 25 % (c’est-à-dire qu’il faut payer 25 % des intérêts à l’état)). Sachant qu’on me propose après 9 mois de me les racheter à 110 % (frais déduits) et que j’ai la possibilité de placer cette somme d’argent à 2,2 % pour le reste du temps, ais-je intérêt à vendre ? 14) J’avais 2250 e sur un compte en banque qui rapportait 3 % par an depuis 5 ans. Ensuite, la crise éonomique étant venue, le taux est descendu à 2,5 % pendant 1 an puis à 2,1 % pendant 2 ans et cela fait 3 ans qu’il stagne à 1,8 % combien ais-je maintenant sur ce compte ? 2.3 Les emprunts Les emprunts sont tout autour de nous. Nous vivons dans une société de consommation où l’on nous pousse à consommer ce que l’on n’a pas. Pour ce faire, nous devons emprunter de l’argent afin de nous permettre maintenant de jouir d’une somme d’argent qu’on devrait (peut-être) avoir dans le futur. 8  En empruntant de l’argent, ce qu’on achète nous parait peu cher étant donné que la somme à débourser tous les mois est faible. Ainsi, on peut voir une belle télé led 3D pour 20 e par mois ou encore une magnifique voiture pour 60 e par mois, un salon tout compris pour 80 e par mois, une cuisine pour 110 e par mois et j’en passe. Cependant, comme les publicités doivent le dire maintenant : "emprunter de l’argent coûte aussi de l’argent". Voyons de quelle manière on paye plus en calculant ces emprunts qui existe sous différentes formes 2.3.1 Emprunts par mensualité constante à taux fixe Ce type d’emprunt est le plus courant et le plus simple à comprendre. Seulement, il demande un rien plus de calcul pour savoir à quoi va notre argent. Le principe est simple, on emprunte une certaine somme d’argent et on rembourse tous les mois pendant un nombre d’années définies un montant fixe. Comment calculer le montant alors ? Soit C le montant que l’on veut emprunter, n le nombre d’année durant lequel on va rem- bourser et i le taux d’intérêt annuel. Si on emprunte C, maintenant, la banque veut bien nous prêter la somme mais il faut qu’on lui rembourse C · (1 + i)n au bout de la période. En même temps, la banque nous "oblige" à épargner en mettant tous les mois la somme M sur un compte. Fort heureusement, cette somme mise chaque mois sur le compte rapporte des intérêts et on est donc comme dans un exercices de placement. Ici, la durée est 12.n puisqu’on économise tous les mois. Et donc, le taux d’intérêt est aussi celui mensuel, donc on doit faire : 1 (1 − (1 + imensuel )12n ) imensuel = (1 + i) 12 − 1. On constitue donc une épargne qui vaut : M ·. (1 − (1 + imensuel )) Ces deux valeurs doivent être identique au final donc on peut utiliser la formule suivante pour calculer la mensualité à payer ou encore trouver le taux d’intérêt ou encore trouver la somme empruntée,... (1 − (1 + i)n ) C · (1 + i)n = M · 1 où C est la somme que l’on veut emprunter (1 − (1 + i) 12 ) i est le taux d’intérêt annuel n est le nombre d’année M est la mensualité : la somme payée chaque mois Exemple J’emprunte 150 000 e à un taux de 3,486 % pendant 15 ans. Combien dois-je payer tous les mois ? Avant de remplacer dans la formule, je dois trouver le taux d’intérêt mensuel : imensuel = (1 + 0, 03486)1/12 − 1 ' 0, 002859 = 0, 2859%. Ensuite on remplace dans la formule et on isole : (1 − (1 + 0, 002859)12.15 ) 150000 · (1 + 0, 002859)12.15 = M · (1 − (1 + 0, 002859)) (1 − 1, 002859180 ) 150000 · (1, 002859)180 = M · (−0, 002859) −0, 6717747 150000 · (1, 6717747...) = M · −0, 002859 250766, 2 = M.234, 97 250766, 2 M= =1067,23 234, 97 9  Un rapide calcul nous montre donc qu’on aura payé 180.1067,23 = 192 106,06 e au bout du compte. Ce qui veut dire qu’on aura payé à la banque 192 106,06-150 000 = 42 106,06 e à la banque d’intérêt. "Emprunter de l’argent coute aussi de l’argent" est donc vrai ! On entend souvent dire aussi qu’au début on ne paye "que" des intérêts et qu’à la fin on paye du capital. Ceci est vrai et c’est ici la partie plus ardue en calcul. Au début, on doit payer les intérêts sur les 150 000 e. Le premier mois, cela représente donc 150 000. 0,002859 = 428,85 e. Sur les 1067,23 e que l’on rembourse, on rembourse donc 1067,23 - 428,85 = 638,37 e de capital. Le mois suivant, on aura donc plus que 150 000 - 638,37 = 149 361,63 e de capital à rembourser. Les intérêts à payer seront donc plus faible : 149 361,63. 0,002859 = 427,02 e. C’est 1,83 e de moins que le mois précédent, c’est faible, mais cela montre bien qu’on paye de moins en moins d’intérêt au fil du temps. D’autant plus qu’on remboursera alors 640,20 e de capital. Le capital à diminuer diminue donc plus vite, on payera donc de moins en moins d’intérêt. Pour savoir exactement où l’on en est et savoir qu’elle est la capital qu’il reste encore à rembourser, on fait un tableau d’amortissement (via excell c’est très simple avec les formules ci-dessus). Le voici pour le cas présent : Mois Capital restant Intérêt capital remboursé reste à payer 1 149361,63 428,85 638,37 191034,78 2 148721,43 427,02 640,2 189967,56 3 148079,41 425,19 642,03 188900,34 4 147435,55 423,36 643,86 187833,12 5 146789,85 421,52 645,7 186765,9 6 146142,3 419,67 647,55 185698,68 7 145492,9 417,82 649,4 184631,46 8 144841,64 415,96 651,26 183564,24 9 144188,53 414,1 653,12 182497,02 10 143533,54 412,23 654,99 181429,8 11 142876,68 410,36 656,86 180362,58 12 142217,95 408,48 658,74 179295,36 On voit donc qu’au bout d’un an, sur les 12806,64 e payé, on a payé 5024,59 e d’intérêt et 7782,05 e de capital. Il reste alors encore 179 295,36 e à payer (donc encore plus que ce qu’on a emprunté, c’est donc comme si on n’avait payé que des intérêts). Pour la suite, le tableau donne la somme pour chaque année supplémentaire : 10 Année Capital restant Intérêt capital remboursé reste à payer 1 142217,95 5024,59 7782,05 179295,36 2 134164,67 4753,36 8053,28 166488,72 3 125830,72 4472,68 8333,96 153682,08 4 117206,3 4182,22 8624,42 140875,44 5 108281,3 3881,64 8925 128068,8 6 99045,24 3570,58 9236,06 115262,16 7 89487,28 3248,68 9557,96 102455,52 8 79596,2 2915,56 9891,08 89648,88 9 69360,39 2570,83 10235,81 76842,24 10 58767,83 2214,08 10592,56 64035,6 11 47806,1 1844,91 10961,73 51228,96 12 36462,32 1462,86 11343,78 38422,32 13 24723,18 1067,5 11739,14 25615,68 14 12574,9 658,36 12148,28 12809,04 15 0 234,96 12571,68 0 11  Comme déjà dit, on remarque que les intérêts payés diminuent très fortement au cours du temps et qu’on rembourse de plus en plus de capital au cours du temps. De manière un peu innocente, on peut dire qu’entre la troisième et quatrième année, on commence enfin à rembourser les 150 000 e et que jusque là tout ce qu’on a payé n’a servi qu’à payer les intérêts. 2.3.2 Emprunt par amortissement constant L’emprunt par amortissement constant de capital est plus simple dans la conception. On rembourse tout le temps la même partie de capital. Donc pour reprendre l’exemple des 150 000 e à 3,486 % durant 15 ans, on va rembourser 833,33 e de capital tous les mois. Ensuite, on paye l’intérêt sur le capital restant. Le premier mois, il sera aussi de 428,85 e. Donc le premier mois on remboursera 1262,18 e. On comprend donc tout de suite que comme l’intérêt va être décroissant, nos mensualités seront aussi décroissante. Pour tout un chacun ce type d’emprunt est peu intéressant puisqu’on préfère avoir des men- sualités constantes ou croissantes étant donné que nos revenus sont généralement constant ou croissant. Cependant, il peut permettre de faire de belles économies. Pour calculer ce qu’on doit payer chaque mois, il faut utiliser cette formule : C 12n − p + 1 Mp = +i·C · où Mp est la mensualité du mois p 12 · n n C est le capital emprunté n est le nombre d’année sur lequel on em- prunte i est le taux d’intérêt mensuel Comme pour le remboursement par mensualité constante, voici le tableau d’amortissement d’abord pour les 12 premiers mois, ensuite année par année jusqu’à la fin. Période Capital restant Intérêt capital remboursé payé par mois ou année reste à payer 1 mois 150000 428,85 833,33 1262,18 188810,93 2 mois 149166,67 426,47 833,33 1259,8 187551,12 3 mois 148333,33 424,09 833,33 1257,42 186293,71 4 mois 147500 421,7 833,33 1255,04 185038,67 5 mois 146666,67 419,32 833,33 1252,65 183786,02 6 mois 145833,33 416,94 833,33 1250,27 182535,75 7 mois 145000 414,56 833,33 1247,89 181287,86 8 mois 144166,67 412,17 833,33 1245,51 180042,35 9 mois 143333,33 409,79 833,33 1243,12 178799,23 10 mois 142500 407,41 833,33 1240,74 177558,49 11 mois 141666,67 405,03 833,33 1238,36 176320,13 12 mois 140833,33 402,64 833,33 1235,98 175084,15 1 an 140000 4988,96 10000 14988,96 173850,56 2 ans 130000 4645,88 10000 14645,88 159233,28 3 ans 120000 4302,8 10000 14302,8 144959,07 4 ans 110000 3959,72 10000 13959,72 131027,95 5 ans 100000 3616,64 10000 13616,64 117439,9 6 ans 90000 3273,56 10000 13273,56 104194,94 7 ans 80000 2930,48 10000 12930,48 91293,05 8 ans 70000 2587,4 10000 12587,4 78734,25 9 ans 60000 2244,32 10000 12244,32 66518,52 10 ans 50000 1901,24 10000 11901,24 54645,88 11 ans 40000 1558,16 10000 11558,16 43116,31 12 ans 30000 1215,08 10000 11215,08 31929,83 13 ans 20000 872 10000 10872 21086,42 14 ans 10000 528,92 10000 10528,92 10586,1 15 ans 0 185,84 10000 10185,84 0 12 2.3.3 Emprunt par payement à l’échéance Ce type d’emprunt n’est généralement pas intéressant. Il consiste à ne payer que les intérêts de la somme et au bout du compte l’entièreté du capital. Dans notre exemple, on doit payer tous les mois durant 15 ans 428,85 e et au bout des 15 ans, on doit payer les 150 000 e. A moins d’être sûr d’avoir une rentrée d’argent de 150 000 edans 15 ans, c’est dur de mettre l’argent de côté pour rembourser l’emprunt. De plus, on paye plus d’intérêt étant donné que ceux-ci ne décroissent pas au court du temps. C’est donc plus à réserver dans le cas d’un emprunt "tampon"( entre la vente d’un appart et l’achat d’une maison par exemple). 2.3.4 Emprunt à taux variable Les emprunts à taux variable suivent la même base que les emprunts par mensualité constante. Cependant, le taux d’intérêt peut varier au cours du temps. Les mensualités peuvent donc aller à la baisse si le taux baisse et à la hausse si le taux remonte. Généralement, les taux sont un rien plus bas en taux variable par rapport au taux fixe. On a donc l’impression de pouvoir y gagner. Le taux ne peut pas monter à l’infini ni descendre à 0. Généralement, on choisit un ± x% et le taux ne peut pas doubler. Si on part du 3,486 % ±2%, on peut donc monter à 5,486 % ou descendre à du 1,486 %.Le taux peut être révisé tous les ans, tous les 3 ans ou encore tous les 5 ans voire après la dixième année. Si on demande ce type d’emprunt il est donc primordial de demander les différents cas et surtout le cas le plus défavorable (une hausse de taux sans descente après) afin de savoir vers quoi on s’engage. On fera un exercice pour voir. 2.3.5 Emprunt à durée variable Ce type d’emprunt combine un taux variable avec une mensualité fixe. Les calculs sont donc identiques au taux fixe. Les banquiers l’ont bien compris, on n’aime pas le taux variable en raison de la mensualité qui pourrait être plus élevée (au début, on compte ses sous). On aime bien le fait qu’on pourrait gagner de l’argent grâce à une baisse de taux. Donc on combine, un taux qui bouge mais qui ne fait pas bouger la mensualité. Dans ce cas-ci, le calcul du cas défavorable est nettement plus simple puisqu’on connait la durée supplémentaire (généralement 3 ou 5 ans). 2.3.6 Emprunt "Step by Step c " Ce type d’emprunt correspond mieux à notre évolution salariale. On paye 80 % de la men- sualité pendant deux ans puis 85 % pendant encore deux ans et ainsi de suite. Après dix ans, on plafonne avec une mensualité qui compensera la "perte des 10 premières années. Ceci est donc assez pratique et à évidemment un coût puisque les taux sont généralement un rien plus élevé. 2.3.7 Assurance Solde Restant Dû ou ASRD L’ASRD est une assurance vie qui permet de rembourser 50 % ; 75 % ; 100 % en fonction de notre envie en cas de décès d’une personne. Comme son nom l’indique, la prime à payer dépend du restant dû (du reste de capital à payer). C’est pourquoi le tableau d’amortissement est important. 13  L’ASRD dépend fortement des banques et est un coût à rajouter dans l’emprunt et auquel il faut faire attention. Généralement, si on ne paye pas en une fois, l’ASRD est payable seulement durant les 23 de la période. Auparavant, celle des femmes était moins élevée que celle des hommes en raison de leurs plus longues espérances de vie. SI vous fumez, buvez,... la prime est logiquement plus élevée. Arrêtez de fumer permet donc de gagner plus d’argent qu’on ne croit. 2.3.8 Exercices sur les emprunts à taux fixe et mensualités fixes 1. Combien dois-je rembourser tous les mois pour m’acheter une voiture de 10 000e avec un TAEG de 4,5 % pendant 60 mois ? Combien me coûte alors réellement la voiture ? 2. J’ai le choix entre une voiture à 17 000 e avec un TAEG de 2,99 % sur 60 mois et une autre de 13 000 e à 3,99 % sur 48 mois. L’assurance de la première coûte 1 040 e par an et celle de la seconde 830 e annuellement. Au boût de 5 ans, quelle voiture m’aura coûté le plus cher si on exclu les entretien ou autres malheurs ? 3. Cofidis me propose de financer mes vacances ( 3 800 e) avec un taux exceptionnel de 7,2 % (selon leurs dires). Que me coûteront réellement mes vacances et combien devrais-je rembourser tous les mois ? 4. J’ai deux chois : emprunter 200 000 e à 2,05 % pendant 20 ans avec une ASRD de 738,74e par an ou emprunter 200 000 e à 2,32 % pendant 20 ans et une ASRD de 491,32 e par an. Chez qui vais-je aller ? 5. Si un couple a des revenus de 2 700 e net par mois, combien pourra-t-il emprunter au maximum et combien cela lui coutera en 15 ans si le taux est de 2,05 % ? En 20 ans si le taux est de 2,2 % et en 30 ans si le taux est de 3 % ? 6. Si l’ASRD est de 1078,68 e dans le cas de 30 ans à 3 % et qu’elle est de 589,26 e dans le cas de 20 ans mais avec un taux de 2,4 % ? Combien coûte l’emprunt dans chacun des cas ? 7. On ne prête qu’au riche ? Deux couples désirent acheter une maison à 300 000e. Le premier couple a de quoi payer les frais de notaires de 40 000 e et a donc un emprunt en 25 ans à 2,45 %. Le deuxième doit faire un emprunt de 330 000 e puisqu’il n’ont "que" 10 000 e sur leur compte. Il a alors un taux de 3,05 % en 30 ans. Quelle est la différence de coût entre les deux couples ? 8. Quelle différence de coût va-tu avoir si tu économise pendant 5 ans pour t’acheter une voiture de 15 000 e si tu as un taux d’épargne de 0,6 % et si tu emprunte la même somme à un TAEG de 1,99 % pendant 60 mois ? 9. Combien m’aurait coûté ma machine à laver si je l’avais payée cash plutôt que d’avoir emprunté pendant 48 mois à un TAEG de 2,99 % sachant qu’au total, elle m’a coûtée 640e ? 10. Quelle a été l’acompte payé au concessionnaire si je rembourse 299 e par mois pendant 48 mois à 0,99 % pour une voiture qui coûtait 19 000 e ? Combien m’aura coûté réellement cette voiture ? 14