Électromagnétisme PDF - Université Chouaib Doukkali

Université Chouaib Doukkali Ecole Nationale des Sciences Appliquées El jadida Électromagnétisme 2AP 2019-2020 Pr A. Boutahar Table des matières CHAPITRE 1...............................................

Université Chouaib Doukkali Ecole Nationale des Sciences Appliquées El jadida Électromagnétisme 2AP 2019-2020 Pr A. Boutahar Table des matières CHAPITRE 1....................................................................................................................................6 PHÉNOMÈNES D’INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE............................................................6 1. Introduction................................................................................................................................7 2. Le phénomène d’induction électromagnétique.............................................................................7 2.1 Loi de Lenz...............................................................................................................................7 2.2 Loi de Faraday..........................................................................................................................9 3. Circuit fixe dans un champ magnétique non permanent...............................................................9 3. 1. Relation de Maxwell-Faraday..................................................................................................9 3. 2. Champ électromoteur de Neumann........................................................................................ 10 3. 3. Exemple d’application (Spire soumis à un champ magnétique variable)................................. 11 4. Circuit mobile dans un champ permanent.................................................................................. 11 4.1 Champ électromoteur de Lorentz............................................................................................. 11 4.2 Exemple d’application: les rails de Laplace............................................................................. 11 5. Cas général............................................................................................................................... 12 6. Phénomène d’auto-induction..................................................................................................... 12 6. 1. Définition du phénomène...................................................................................................... 12 6. 2. Force électromotrice d’auto-induction................................................................................... 13 6. 3. Exemple d’application........................................................................................................... 13 7. Induction mutuelle.................................................................................................................... 13 7. 1. Définition du phénomène...................................................................................................... 13 7. 2. Le flux magnétique total à travers un circuit.......................................................................... 15 7. 3. Exemple d’application (Retour sur l’exemple du paragraphe 3.3)........................................... 15 8. Énergie magnétique................................................................................................................... 15 8. 1. Cas d’un circuit..................................................................................................................... 15 8. 2. Cas de deux circuits............................................................................................................... 17 8. 3. Exemple d’application........................................................................................................... 17 CHAPITRE 2................................................................................................................................... 18 LES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUE......................................................................................... 18 1. Introduction.............................................................................................................................. 19 2. La source du champ électromagnétique..................................................................................... 19 2.1 Densité volumique de charge................................................................................................... 19 a) Définition.............................................................................................................................. 19 b) Expression............................................................................................................................ 19 A. Boutahar Page 2  2.2 Vecteur densité de courant....................................................................................................... 19 a) Définition.............................................................................................................................. 19 b) Expression............................................................................................................................ 20 3. Intensité de courant traversant une surface................................................................................. 20 4. La loi de conservation de charge................................................................................................ 21 4.1 Equation de conservation de charge......................................................................................... 21 4.2 Cas du régime stationnaire....................................................................................................... 22 5. Champ électromagnétique, équation de Maxwell....................................................................... 22 5.1 Définition du champ électromagnétique............................................................................. 22 5.2 Equation de Maxwell......................................................................................................... 22 5.3 Remarques......................................................................................................................... 23 5.4 Comptabilité des équations de Maxwell avec la loi de conservation de la charge................ 23 6. Forme intégrale des équations de Maxwell................................................................................ 24 6.1 Théorème de Gauss........................................................................................................... 24 6.2 Flux du champ magnétique................................................................................................ 24 6.3 Loi de Faraday................................................................................................................... 25 6.4 Théorème d’Ampère généralisé............................................................................................... 25 7. Potentiel vecteur et potentiel scalaire......................................................................................... 26 7.1 Existence des potentiels........................................................................................................... 26 7.2 Indétermination des potentiels................................................................................................. 27 7.3 Equation de potentiels en jauge de Lorentz.............................................................................. 28 a) Équation de 𝐴.................................................................................................................... 28 b) Équation de V.................................................................................................................... 29 7.4 Les potentiels retardés............................................................................................................. 29 8. Champs stationnaire.................................................................................................................. 30 8.1 Equation de Maxwell en régime stationnaire............................................................................ 30 8.2 Théorème d’Ampère............................................................................................................... 31 8.2 Conservation du flux magnétique............................................................................................ 31 9. Approximation des régimes quasi-stationnaires......................................................................... 32 9.1 Cadre de l’ARQS............................................................................................................... 32 9.2 Le potentiel et le champ électromagnétique dans le cadre de l’ARQP................................. 32 9.3 Les équations de Maxwell dans le cadre de l’ARQP........................................................... 33 9.4 Equation de conservation de charge dans le cadre de l’ARQP............................................ 34 10. Equation de propagation des champs électromagnétique........................................................ 34 A. Boutahar Page 3  10.1 Le champ électrique :............................................................................................................ 34 10.2 Champ magnétique................................................................................................................ 35 11. Energie électromagnétique.................................................................................................... 35 11.1 Puissance cédée par le champ électromagnétique à la matière............................................ 35 11.2 Densité volumique d’énergie électromagnétique et vecteur de poynting............................. 36 a) Définition.......................................................................................................................... 36 b) Bilan d’énergie électromagnétique..................................................................................... 37 c) Expression de la densité volumique d’énergie et du vecteur de Poynting............................ 38 12. Onde électromagnétique dans le vide........................................................................................... 38 12.1 Equations de propagation dans le vide................................................................................... 38 12.2 Solution à variables liées : Onde progressive......................................................................... 39 12.2 Interprétation physique.......................................................................................................... 41 12.3 Caractéristique de l’onde électromagnétique plane progressive dans le vide........................... 42 12.4 Aspect énergétique des OPP électromagnétiques................................................................... 43 a) Densité volumique d’énergie................................................................................................. 43 b) Vecteur de Poynting.............................................................................................................. 44 12.5 Onde électromagnétique plane progressive monochromatique dans le vide............................ 44 a) Définition.............................................................................................................................. 44 b) Expression de f(M,t) dans le cas d’une OPPM....................................................................... 44 c) Surface équiphase................................................................................................................. 45 d) Vitesse de phase.................................................................................................................... 45 e) Relation de dispersion........................................................................................................... 45 f) Représentation complexe des OPPM...................................................................................... 46 g) Vecteur de poynting complexe.............................................................................................. 46 h) Densité d’énergie électromagnétique..................................................................................... 47 12.6 Superposition des ondes........................................................................................................ 47 a) Onde stationnaire.................................................................................................................. 47 b) Les nœuds de 𝑬................................................................................................................ 49 c) Les ventres de 𝑬................................................................................................................ 49 d) Solution de l’équation de d’Alembert................................................................................. 50 13. Onde électromagnétique dans un plasma, dispersion.................................................................... 50 13.1 Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma peu dense................................... 50 a) Interaction entre une OPPM et un plasma.............................................................................. 50 b) Relation de dispersion........................................................................................................... 53 A. Boutahar Page 4  13.2 Etude du cas où ω>ωp........................................................................................................... 54 a) Vitesse de propagation d’une OPPM dans le plasma.............................................................. 54 b) Structure de l’OPPM électromagnétique dans le plasma........................................................ 54 13.3 Etude du cas ωωp, vitesse de propagation de l’énergie...................................................................... 56 b) Cas ωa et de résistance R entoure ce solénoïde. a) Pourquoi ce courant induit existe-t-il ? b) Par raisons de symétries et d’invariances ⃗ (M, t) = A(r, t) ⃗⃗⃗ montrer que : A eθ. c) Déterminer A⃗ (M, t). d) Déterminer l’expression de la force électromotrice e. e) Déduire l’expression de courant induit i(t). 4. Circuit mobile dans un champ permanent 4.1 Champ électromoteur de Lorentz Considérons un circuit filiforme fermé et rigide qui se déplace à la présence d’un champ magnétique permanent ⃗B dans le référentiel ( R ). Chaque tube élémentaire de courant constitue un circuit fermé ( C ) à l’intérieur de ce circuit. Si ⃗Vest la vitesse de déplacement des porteurs de charge dans le conducteur et q leur charge, ceux-ci sont soumis à la force magnétique: Fm  q(V  B) ⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗B) qui a la dimension d’un champ électrique, est appelée champ La quantité (V électromoteur 𝐄 ⃗ 𝐦ou bien champ de Lorentz: Em  V  B La force électromotrice induite sur ( C ) est donnée par : e  V  B   dl     4.2 Exemple d’application: les rails de Laplace Considérons une tige conductrice parallèle à l’axe (Oy), de longueur a se déplaçant dans un champ magnétique B ⃗⃗⃗⃗0 = B0 ⃗⃗⃗ ⃗ = Vex ez à la vitesseV ⃗⃗⃗⃗. Cette tige reste constamment en contact électrique avec des rails conducteurs, parallèle à (Ox) et A. Boutahar Page 11 distant de a, sur laquelle glisse parfaitement. Les deux rails sont reliés par un fil sans résistance. a) Analyser qualitativement le phénomène observé b) Déterminer le sens de courant induit dans la tige c) Calculer la force électromotrice induite e d) Déterminer l’intensité du courant induit i(t) e) Donner le schéma électrique équivalent du circuit f) Etablir l’équation du mouvement de la tige. Conclure 5. Cas général Lorsqu’on superpose les différentes causes de variation du flux (déplacement du circuit, champs magnétique non permanent), on obtient :  A  e    t   V  B   dl   Remarque :  A    La grandeur  t  V  B  est appelée « champ électromoteur𝐄 ⃗ 𝐦 ».   6. Phénomène d’auto-induction 6. 1. Définition du phénomène On appelle phénomènes d’auto-induction (ou de self-induction), des phénomènes d’induction créés dans un circuit par une variation de l’intensité du courant I(t) qui traverse le circuit lui-même. Soit un circuit ( C ) fermé, rigide et filiforme parcouru par un courant I (t). ⃗ p (la Loi de Biot et Savard) : I crée un champ magnétique propre de ( C ) noté B  0 I dl  PM Bp  4 PM 3 Notons Φp le flux propre de ( C ): p   B p  dS On pose : p  LI Le facteur L est caractéristique du circuit, il ne dépend que des paramètres géométriques du circuit. On l’appelle inductance propre du circuit. L’unité S.I. d’inductance propre est le Henry (H). A. Boutahar Page 12 Les conventions de signe habituelles adoptées pour i et Φp, à propos de la loi de Faraday-Lenz, ont déjà conduit à dire qu’un courant de sens positif (I > 0) envoyait dans le circuit un flux positif (Φp > 0) : Φp et I sont de même signe et par conséquent : L>0 6. 2. Force électromotrice d’auto-induction Les variations temporelle de flux magnétique propre Φp de circuit ( C ) à travers le circuit lui-même engendrant une f.e.m propre ep de circuit telle que : d p d (L  I ) ep    dt dt dI e p  L Comme L est constant on a alors : dt On prend par exemple comme sens positif de parcours sur le circuit, le sens même du courant I à l’instant t considéré (I > 0)  Si I augmente, dI/dt > 0, ep < 0 : la force électromotrice d’induction joue le rôle d’une force contre-électromotrice s’opposant à la f.e.m. du générateur qui débite le courant.  Si I diminue, dI/dt < 0, ep > 0 : la f.e.m. d’induction s’ajoute à la f.e.m. du générateur présent dans le circuit.  Si I est constant : e = 0 6. 3. Exemple d’application Considérons un solénoïde très long d’axe (Oz), comportant N spires par unité de longueur ces spires sont circulaires de rayon a et parcourue par un courant i(t). Le champ magnétique crée par le solénoïde est nul à l’extérieur de celui-ci et vaut. a) Trouver le champ magnétique propre crée par le solénoïde. b) Déterminer le flux du champ magnétique propre à travers une des spires du solénoïde. c) Déterminer le flux du champ magnétique propre à travers une portion de solénoïde de longueur L. d) Déterminer l’inductance propre de cette portion de solénoïde. e) Déterminer la f.e.m propre (auto-induite) dans le solénoïde. 7. Induction mutuelle 7. 1. Définition du phénomène Soit deux circuits filiformes rigides parcourus par deux courants respectifs i1 et i2, sur laquelle s’appuient respectivement des surfaces S1 et S2. On notera ⃗B1 le champ A. Boutahar Page 13  magnétique créé par (C1) et ⃗B2 celui qui a créé par (C2), ⃗A1 et ⃗A2 seront les potentiel- vecteurs correspondants. Φp1 et Φp2 sont respectivement les flux propres à travers (C1) et (C2). Enfin, Φ2/1 et Φ1/2 sont respectivement les flux magnétique envoyé par (C2) à travers (C1) et par (C1) à travers (C2). Nous avons alors :  p1   B1  dS1  p2   B2  dS 2  21   B2  dS1   rotA2  dS1   (C1 ) A2 ( P1)  d l1  0 I 2 d l2 ( P2 ) A2 ( P1)  4 P1P2 (C2 )         0 I 2  d l2 ( P2 )   I d l2 ( P2 )d l1( P1)  21    d l1( P1)  0 2 4 P1P2 4 P1P2   (C1 )  (C2 )  (C1 ) (C2 )   0 I 2 d l2 d l1  21   M 21I 2 4 P1P2 (C1 ) (C2 ) De même on montre que :   0 I1 d l2 d l1 12   M12 I1 4 P1P2 (C1 ) (C2 ) On constate que :   0 d l2 d l1 M12  M 21  M  4 P1P2 : Formule de Neumann (C1 ) (C2 ) Le coefficient M est appelé inductance mutuelle des deux circuits en Henry (H). Ce coefficient algébrique ne dépend que de la forme, de la disposition relative des circuits. Enfin, lorsque les deux circuits sont rigides, dans ce cas M est constant. A. Boutahar Page 14  7. 2. Le flux magnétique total à travers un circuit Le flux magnétique Φ totale dans (C1) et (C2) s’écrit donc :  1   p1   21  L1I1  MI 2  2   p 2   12  L2 I 2  MI1 La f.e.m. d’induction totale dans (C2) et (C1) est donc : dI1 dI 2 e   L1 M 1 dt dt dI dI e2   L2 2  M 1 dt dt Remarques :  M représente donc les phénomènes d’induction mutuelle, alors que les coefficients L représentent les phénomènes d’auto-induction.  On introduit parfois la grandeur : M k L1L2 appelée coefficient de couplage des circuits (C1) et (C2). Si k = 1 le couplage est parfait, si k ≈ 1 le couplage est dit serré, si k ≈ 0 le couplage est dit lâche. 7. 3. Exemple d’application (Retour sur l’exemple du paragraphe 3.3) a) Quelle est l’inductance mutuelle entre le solénoïde et la spire ? b) Déterminer Le flux magnétique Φ1 totale dans la spire c) Déterminer Le flux magnétique Φ2 totale dans le solénoïde d) Déduire La f.e.m. d’induction totale e1 dans la spire 8. Énergie magnétique 8. 1. Cas d’un circuit Considérons un circuit constitué par une bobine d’inductance L en série avec une Resistance R et un interrupteur (K). L’ensemble est alimenté par générateur un courant continu I et une tension E (Figure 6). Figure. 6 : Bobine en série avec R et interrupteur K. A. Boutahar Page 15 A t=0s, on ferme l’interrupteur : di E  RI  L dt EIdt  RI 2 dt  Lidi  LI 2   (t )   2  t t    LI 2   t 0 EIdt   t 0 RI 2 dt   LI2   d   2      (t  0)   2    t t   LI 2 EIdt  RI 2 dt  2 t 0 t 0 t L’énergie fournie par le générateur entre t=0s et t est :  t 0 EIdt t L’énergie électrique reçue par R entre t=0s et t est :  t 0 RI 2 dt LI 2 L’énergie magnétique propre de la bobine est : 2 Généralisation : L’énergie magnétique propre d’une distribution de courant ayant une inductance L est :  1 2 1 2 Em  LI  B( M ) d ( M ) 2 2 0  1 2 L B ( M ) d ( M ) 0 I 2 1 1 Em  I ( LI )  I P 2 2 Le flux total à travers le circuit C A. Boutahar Page 16  8. 2. Cas de deux circuits Considérons deux circuits (C1) et (C2) parcouru par deux courants respectifs i1 et i2 (figure. 7) Figure. 7 : Induction mutuelle L’énergie mutuelle répartie dans les deux circuits (C1) et (C2) peut s’écrire : Em1  I11  I1L1I1  MI2  E  I 2 2  I 2L2 I 2  MI1  1 1 1 1 2 2 m2 2 2 L’énergie totale emmagasinée par les deux circuits sera : 1 1 Em  Em1  Em2  L1I12  L2 I 22  MI1I 2 2 2 8. 3. Exemple d’application A. Boutahar Page 17  CHAPITRE 2 LES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUE A. Boutahar Page 18  1. Introduction Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux phénomènes électromagnétiques dépendant du temps. L’expérience montre qu’il faut alors considérer une entité physique appelée champ électromagnétique composée d’un champ électrique et un champ magnétique définis de manière analogue aux champs électrostatique et magnétostatique mais indissociablement liés entre eux. 2. La source du champ électromagnétique La source du champ électromagnétique est un ensemble de charges en mouvement. Dans le cadre d’une description macroscopique nous la définissons par deux champs : la densité volumique de charge (ρ (M, t)) et le vecteur densité de courants ⃗J (M, t). 2.1 Densité volumique de charge a) Définition La densité volumique de charge (ρ (M, t)) décrit la répartition des charges dans l’espace à un instant donné. Elle se définit ainsi : La charge contenue dans un volume élémentaire dτM autour du point M à l’instant t est : dq(M,t)=ρ(M,t) dτM b) Expression Le nombre de porteurs de charges libres mobiles N contenues dans un volume dτi peut s’écrire : dNi=ni(M,t) dτM Où ni(M,t) est la densité de charges en M. Et comme dq(M,t)=∑ qi dNi dq(M,t)=∑ qi ni(M,t) dτM Or dq(M,t)=∑ ρ i(M,t) dτM Ainsi la densité volumique de charge peut s’écrire alors : ρi(M,t)= qi ni(M,t) 2.2 Vecteur densité de courant a) Définition Le vecteur densité de courant 𝐽 (𝑀, 𝑡) décrit le mouvement d’ensemble des charges. Elle est définie de la manière suivante : La charge électrique d2q(M,t) A. Boutahar Page 19  traversant une surface élémentaire orientée dSM autour d’un point M entre les instants t et t+dt est : d2q(M,t)= J (M, t). dSM dt b) Expression ⃗ 𝑖 la vitesse des de charges contenues dans dτM Notons 𝑉 Figure. 1 : Flux de charge à travers une surface élémentaire 𝑑𝜏𝑀 = 𝑑𝑆𝑀. 𝑑𝑧(𝑡) = 𝑑𝑆𝑀 𝑑𝑧(𝑡) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑑𝑆𝑀 𝑉𝑖𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑑𝑆𝑀. 𝑉𝑖 𝑑𝑡 Nous avons alors : dq(M,t)= ρ(M,t) dτM dq(M,t)= ρ(M,t) dSM. Vi dt dq(M,t)= (ρ Vi ) (M,t).dSM dt dq(M,t)= (∑(ρi Vi ) (M,t) ) dSM. dt Nous trouvons donc l’expression la densité de courant : ⃗ 𝑖 ) (𝑀, 𝑡) = (∑(𝑛𝑖𝑞𝑖 𝑉 𝐽(𝑀, 𝑡) = ∑(𝜌𝑖 𝑉 ⃗ 𝑖 ) (𝑀, 𝑡) ⃗ (𝑀, 𝑡) et 𝐽(𝑀, 𝑡) = 𝜌 𝑉 ρ=nq La somme porte sur tous les types de particules chargées présentes mais seules les particules mobiles interviennent. 3. Intensité de courant traversant une surface L’intensité I traversant une surface est le début de charge à travers cette surface, c'est-à-dire la charge qui la traverse pendant une certaine durée devisée par cette durée. Dans le cas de la surface élémentaire 𝑆𝑀 , l’intensité élémentaire est : A. Boutahar Page 20  𝑑𝐼 = (𝑑 2𝑞/𝑑𝑡) = 𝑗(𝑀, 𝑡) 𝑑𝑆𝑀 Ainsi, l’intensité traversant une surface S à l’instant t est : 𝐼 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡 = ∫ ∫ 𝑗(𝑀, 𝑡). 𝑑𝑆𝑀 4. La loi de conservation de charge Un des postulats de l’électromagnétisme est la loi de conservation de charge électrique : la charge électrique d’un système isolé est constante. Nous allons établir l’équation locale qui exprime cette propriété. 4.1 Equation de conservation de charge Effectuons le bilan de charge d’un volume V quelconque, fixe et indéformable, à l’intérieur du milieu où existent des charges électrique. La charge contenue dans ce volume à l’instant t est : Q(t)= ∫∫∫ρ(M,t) dτM Et à l’instant t+dt est : Q(t+dt)= ∫∫∫ρ(M,t+dt) dτM Ella a donc varié la quantité : dQ= Q(t+dt)- Q(t) = ∫∫∫(ρ(M,t+dt)-ρ(M,t) ) dτM = ∫∫∫(∂ρ(M,t)/∂t) dτM dt Entre les instants t et t+dt, la charge électrique sortant de ce volume est par définition du vecteur densité de courant électrique : δQsortant=∫∫ 𝑗(𝑀, 𝑡). 𝑑𝑆𝑀 dt La conservation de la charge électrique du volume V s’écrit : dQ=- δQsortantSoit, en simplifiant par dt : ∫∫∫(∂ρ(M,t)/∂t) dτM +∫∫ 𝑗(𝑀, 𝑡). 𝑑𝑆𝑀 =0 En utilisant le théorème d’Ostrogradski, nous obtenons : ∫∫∫(∂ρ(M,t)/∂t) dτM +∫∫∫ div 𝑗(𝑀, 𝑡). dτM =0 ie ∫∫∫(∂ρ(M,t)/∂t) + div 𝑗(𝑀, 𝑡)). dτM =0 Cette équation étant valable quel que soit le volume V, nous en déduisons l’équation locale de conservation de la charge électrique : Conclusion : La charge électrique d'un système isolé est invariante. 𝜕𝜌(𝑀, 𝑡) + 𝑑𝑖𝑣 𝑗(𝑀, 𝑡) = 0 𝜕𝑡 A. Boutahar Page 21 Considérons un matériau conducteur de conductivité γ (γ= 107 S/m) homogène seul dans l'univers. Établir l'évolution temporelle de ρ et conclure. 4.2 Cas du régime stationnaire On régime stationnaire (permanent) la densité volumique de charge et le vecteur densité de courant ne dépendent pas du temps. L’équation de la conservation de charge s’écrit : 𝑑𝑖𝑣 𝑗(𝑀, 𝑡) = 0 Ainsi le vecteur densité de courant est un champ à flux conservatif. Donc :  I=Cste à travers toute section d’un tube de courant  I=Cste à travers toute surface s’appuyant sur un contour C 5. Champ électromagnétique, équation de Maxwell 5.1 Définition du champ électromagnétique Le champ électromagnétique est définit par son action sur une charge ponctuelle q. Dans un référentiel Ɍ où cette particule se trouve au point M à l’instant t animée à la ⃗ / Ɍ (𝑡), la force de Lorentz qu’il subit de la part du champ électromagnétique vitesse 𝑉 est donnée par l’expression suivante : 𝐹𝐿 = 𝑞 ( 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡)/ Ɍ + 𝑉 ⃗ (𝑀, 𝑡)/ Ɍ ˄𝐵 ⃗ (𝑀, 𝑡)/ Ɍ ) Cette relation définit le champ électromagnétique ( 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡)/ Ɍ , 𝐵 ⃗ (𝑀, 𝑡)/ Ɍ ) au point M, à l’instant t, dans le référentiel Ɍ. 5.2 Equation de Maxwell Le champ électromagnétique ( 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡)/ Ɍ , 𝐵 ⃗ (𝑀, 𝑡)/ Ɍ ) vérifie les quatre équations de Maxwell, qui constitue le postulat de base du cours d’électromagnétisme :  div E ( M , t )  0 Equation de Maxwell-Gauss divB  0 Equation de Maxwell-flux  B( M , t ) rot E ( M , t )   t Equation de Maxwell-Faraday A. Boutahar Page 22    E (M , t )  rotB( M , t )  0  J ( M , t )   0   t  Equation de Maxwell-Ampére Les constantes ε0 et μ0 sont respectivement la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique du vide du vide. (μ0 ε0 c2=1, c=3 108 m/s : la célérité de lumière). Dans ces équations, ρ(M,t) et 𝑗(𝑀, 𝑡) représentent la densité volumique de charge et le vecteur densité de courant électrique au point M à l’instant t. Ces équations sont tout à fait générales et valables dans tous les milieux. 5.3 Remarques Les équations de Maxwell sont des équations linéaires, le principe de superposition s’applique donc au champ électromagnétique. L’ensemble d’une densité volumique de charge ρ(M,t), et d’une densité surfacique de courant 𝑗(𝑀, 𝑡) constitue la source du champ électromagnétique (𝐸⃗ (𝑀, 𝑡), 𝐵 ⃗ (𝑀, 𝑡)). 5.4 Comptabilité des équations de Maxwell avec la loi de conservation de la charge Calculons la divergence de l’équation de Maxwell –Ampére :   E (M , t )  rot B( M , t )  0  J ( M , t )   0   t    E (M , t )  div(rot B( M , t ))  0 div  J ( M , t )   0   t  div(rot (a( M )))  0 rot ( grad ( f ))  0  E (M , t ) (divE ( M , t )) divJ ( M , t )   0 div( )  divJ ( M , t )   0 ( )0 t t  ( M , t ) divJ ( M , t )  0 t A. Boutahar Page 23 Nous retrouvons l’équation de conservation de la charge. Les équations de Maxwell sont bien compatibles avec la loi de conservation de la charge électrique. 6. Forme intégrale des équations de Maxwell Nous pouvons associer à chaque équation de Maxwell une équation intégrée qui est sa forme intégrale. La méthode utilise les théorèmes de Stokes et d’Ostrgradski. 6.1 Théorème de Gauss  divE ( M , t )  0 1  divE (M , t ).d M  0   ( M , t ).d M Nous obtenons ainsi la forme intégrale de l’équation de Maxwell-Gauss qui le théorème de Stoks en régime variable : Qint (t )  E ( M ; t ).d S  0 Ou S est une surface quelconque. Cette relation peut s’écrire de manière abrégée en notant ϕE(t) le flux du champ électrique et Q int(t) la charge contenue à l’intérieur de la surface. Qint (t )  E (t )  0 Le théorème de Gauss qui a été vu en première année pour le champ électrostatique est donc valable aussi pour un champ électrique variable. 6.2 Flux du champ magnétique L’équation de Maxwell-flux, divB(M,t)=0, peut s’écrire, en utilisant le théorème d’Ostrogradski :  B( M , t ).d S M 0 Ou encore en notant ϕB(t) le flux du champ magnétique à travers la surface S (fermé) : ϕB(t)=0 A. Boutahar Page 24 L’équation de Maxwell-flux nous indique que le champ magnétique est un champ à flux conservatif. Cette propriété qui a été vue en première année pour le champ magnétostatique est donc encore vraie pour un champ magnétique variable. 6.3 Loi de Faraday Pour obtenir la forme intégrale de l’équation de Maxwell-Faraday qui porte sur le rotationnel du champ électrique, on utilise le théorème de Stokes.  E ( M , t ).dl ( M )   rot E ( M , t ).d S M  B( M , t )  E ( M , t ).dl ( M )    t.d S M d  E ( M , t ).dl ( M )   dt  ( B( M , t ).d S M ) Cette relation est la loi de Faraday qui la forme intégrale de l’équation de Maxwell- Faraday. Nous pouvons l’écrire de manière abrégée en notant CE(t) la circulation de E et ϕB(t). dB (t ) CE (t )   dt Cette relation signifie notamment qu’en régime variable, le champ électrique n’est pas à circulation conservative. 6.4 Théorème d’Ampère généralisé Pour obtenir la forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampère qui porte sur le rotationnel du champ magnétique, on utilise le théorème de Stokes.  E (M , t )  B( M , t ).dl ( M )  0  J ( M , t ).d S M  0 0  t.d S M d  B( M , t ).dl ( M )  0  J ( M , t ).d S M  0 0 dt  ( E ( M , t ).d S M ) A. Boutahar Page 25 Cette relation est le théorème d’Ampère généralisé qui la forme intégrale de l’équation de Maxwell-Ampère. Nous pouvons écrire de manière abrégée le théorème d’Ampère généralisé en notant ⃗ , ϕE(t) le flux de 𝐸⃗ et IS l’intensité traversant la surface. CB(t) la circulation de 𝐵 d  E (t ) CB (t )  0 ( Is   0 ) dt 7. Potentiel vecteur et potentiel scalaire 7.1 Existence des potentiels ⃗ (𝑀, 𝑡) = 0, indique que le champ magnétique est à L’équation de Maxwell-flux, 𝑑𝑖𝑣𝐵 flux conservatif. Or les champs à flux conservatif sont exactement les champs de rotationnel. Il existe donc un champ de vecteur 𝐴(𝑀, 𝑡) tel que : B ( M , t )  rot A( M , t )  B( M , t ) rot E ( M , t )   t  rot A( M , t ) rot E ( M , t )   t  A( M , t ) rot E ( M , t )  rot ( ) t  A( M , t ) rot ( E ( M , t )  )0 t Le champ 𝐸⃗ + 𝜕𝐴/𝜕𝑡 est à circulation nul, c’est un champ à circulation conservative. Donc il existe un champ scalaire V(M,t) tel que :  A( M , t ) E (M , t )  )   gradV ( M , t ) t  A( M , t ) E ( M , t )   gradV ( M , t )  t A. Boutahar Page 26 Cette dernière équation est tout à fait en accord avec le fait qu’en régime variable le champ électrique n’est pas à circulation conservative : ce n’est pas un champ de gradient. En conclusion, nous retiendrons que : Au champ électromagnétique(𝐸⃗ (𝑀, 𝑡), 𝐵 ⃗ (𝑀, 𝑡)), on peut associer un couple (𝑉(𝑀, 𝑡), 𝐴(𝑀, 𝑡)) tel que : B( M , t )  rot A( M , t )  A( M , t ) E ( M , t )   gradV ( M , t )  t 7.2 Indétermination des potentiels Les potentiels 𝐴 et V ne sont pas unique. En effet, si (𝐴0 , 𝑉0 ) est un couple de potentiels associé au champ électromagnétique (𝐸⃗ , 𝐵 ⃗ ), le champ de vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜌(𝑀, 𝑡) ou ρ(M,t) est un champ scalaire quelconque vérifiant aussi la 𝐴0 = 𝐴 + 𝑔𝑟𝑎𝑑 relation 𝐵 𝑟𝑜𝑡𝐴(𝑀, 𝑡). Le potentiel vecteur 𝐴0 = 𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜌(𝑀, 𝑡)convient donc également. D’autre part,  A0 ( M , t ) E ( M , t )   gradV0 ( M , t )  t  A( M , t )  grad ( M , t ) E ( M , t )   gradV0 ( M , t )   t t  ( M , t )  A( M , t ) E ( M , t )   grad (V0 ( M , t )  ) t t  A( M , t ) E ( M , t )   gradV ( M , t )  t Si l’on pose  ( M , t ) V ( M , t )  V0 ( M , t )  ) t A. Boutahar Page 27 Finalement le couple de potentiels (𝐴 = 𝐴0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜌 (𝑀, 𝑡)), V=V0+∂ρ/∂t convient aussi, On appuie sur la non unicité des potentiels, on impose la condition de jauge de Lorentz. Dans le vide : V ( M , t ) div A( M , t )  0 0 )0 t 1 V ( M , t ) div A( M , t )  )0 C2 t En régime statique 𝑑𝑖𝑣 𝐴(𝑀, 𝑡) = 0 Jauge de Coulomb 7.3 Equation de potentiels en jauge de Lorentz a) Équation de 𝐴 rot rot A( M , t )  graddiv A( M , t )   A rot B ( M , t )  graddiv A( M , t )   A  E (M , t ) 0 J ( M , t )  0 0  graddiv A( M , t )   A t   A( M , t ) 0 J ( M , t )  0 0 ( gradV ( M , t )  )  graddiv A( M , t )   A t t  2 A( M , t ) V ( M , t )  A   0 0 )    J ( M , t )    grad  graddiv A( M , t ) t 2 t 0 0 0 1  2 A( M , t ) 1 V ( M , t ) A 2 )   0 J ( M , t )  0 grad (div A( M , t )  2 ) C t 2 C t Condition de jauge Lorentz implique que : 1  2 A( M , t ) A 2 )   0 J ( M , t ) C t 2 Équation de Poisson de ⃗𝑨 ⃗ En dehors de distribution 𝐽(𝑀, 𝑡) = ⃗0 A. Boutahar Page 28  1  2 A( M , t ) A 2 )0 C t 2 Équation de d’Alembert de ⃗𝑨 ⃗ b) Équation de V  div E ( M , t )  0  A( M , t )  div (  gradV ( M , t )  ) t 0  A( M , t )  V  div  t 0 1 V 2 ( M , t )   A( M , t ) 1 V 2 ( M , t ) V  2   div  2 C t 2 0 t C t 2 1 V 2 ( M , t )  1 V ( M , t )  V  2  ( div A( M , t )  )  C t 2 t C2 t 0 1 V 2 ( M , t )  V  2   C t 2 0 Équation de Poisson de V En dehors de distribution de charge ρ(M,t)=0 1 V 2 ( M , t ) V  2 0 C t 2 Équation de d’Alembert de V 7.4 Les potentiels retardés 1  2 A( M , t ) A 2 )   0 J ( M , t ) C t 2 A. Boutahar Page 29  1 V 2 ( M , t )  V  2   C t 2 0 On admet alors, pour une distribution de charges et de courants finie, la solution dite des potentiels retardés : PM 1  ( P, t  ) V (M , t )  4 0  PM C d P PM J ( P, t  ) 0 A( M , t )  4  PM C d P D’après ces formules, les densités volumiques de charge et de courant existant en un point P à l’instant t ont un effet au point M uniquement à l’instant retardé t+(PM/C). Le temps (PM/C) correspond au temps nécessaire pour qu’une onde électromagnétique se propage sur la distance PM dans le vide. Pour les équations des potentiels, il y’a d’autre solution dite des potentiels avancés : PM 1  ( P, t  ) 4 0  V (M , t )  C d P PM PM J ( P, t  ) 0 A( M , t )  4  PM C d P Ces potentiels ne sont pas retenu car les effets ne peuvent pas procéder les causes. 8. Champs stationnaire Nous allons considérer dans ce paragraphe le régime stationnaire où aucun champ ne dépend du temps. 8.1 Equation de Maxwell en régime stationnaire Les équations de Maxwell deviennent : A. Boutahar Page 30   div E ( M , t )  0 Equation de Maxwell-Gauss divB  0 Equation de Maxwell-flux rot E ( M , t )  0 Equation de Maxwell-Faraday rot B( M , t )  0 J ( M , t ) Equation de Maxwell-Ampère 8.2 Théorème d’Ampère En utilisant le théorème de Stokes, nous pouvons écrire pour tout contour fermé orienté C : CB   B( p).dl P   rotB( M ).d S (M ) Où S est une surface s’appuyant sur C. CB   B( p).dl P   0 J ( M ).d S ( M )  0  J ( M ).d S ( M ) CB  0 I enlacé 8.2 Conservation du flux magnétique La loi de conservation du flux magnétique est équivalente à l’équation de Maxwell-flux. D’après le théorème de Stokes, la circulation de A le long d’un contour fermé est égale au flux de B à travers une surface S s’appuyant sur ce contour. En effet : C A   A( p).dl P   rot A.d S ( M )   B(M ).d S (M )   B (t ) A. Boutahar Page 31 La formule précédente montre clairement que le flux du champ magnétique est le même à travers toutes les surfaces s’appuyant sur le contour C. 9. Approximation des régimes quasi-stationnaires Nous nous plaçons dans le cadre de l’approximation de régime stationnaire ou permanent. 9.1 Cadre de l’ARQS L’ARQS consiste à négliger le temps de propagation ZP=PM/c devant tout temps caractéristique de l’évolution temporelle de la distribution Z C ; ZP