Corrigé TD Particule Chargée dans un Champ E et B (1) - PDF

# Corrigé De L'exercice 1 ## Partie 1 1. Poids: P = mg - Force électrique: Fe = qE - Avec: - m = me - q = (-e) - Donc: - |P| / |Fe| = me.g / e.E << 1 (car E >> g) - Donc: Le poids est négligeable devant la force électrique. 2. D'après le théorème de puis...

# Corrigé De L'exercice 1 ## Partie 1 1. Poids: P = mg - Force électrique: Fe = qE - Avec: - m = me - q = (-e) - Donc: - |P| / |Fe| = me.g / e.E << 1 (car E >> g) - Donc: Le poids est négligeable devant la force électrique. 2. D'après le théorème de puissance mécanique: - dEm/dt = P(Fm) - La seule force qu'on a, est la force électrique qui est conservatrice car: - Fe = qE - SW(Fe) = qE. dlon - Or E = -grad(V) -> SW(Fe) = -q grad(V). dlon - SW(Fe) = -q.dV = - d(qV) - Donc: - fc = 0 - P(Fe) = 0 - dEm/dt = 0 - Em = cst - L'énergie mécanique se conserve. 3. Appliquons le PFD sur H. - => m a(H) = Fe = qE = -qE _y - my = -qE - D: - mx = 0 - (avec E = cstr) - jomy = -qE.t + y(0) = -qEt + No sin(d) - D: - mx = 0 (o) = jomy = -9E t + No sin(d) - y(t) = -qE t^2 / 2m + No sin(d)t - z(t) = z(0) = Vo cos(d)t - D: - y(t) = -qE t^2 / 2m + No sin(d)t (car x(0) = y(0) = z(0) = 0) - z(t) = Vo cos(d)t - Cas 1: - t = 2π/ω = 2π/ω₀ = 2π/ω₀ - x(t) = 0 - Trajectoire rectiligne suivant ey - Cas 2: x = -qEt^2 / 2m + Vo sin(d)t - z(t) = Vo cos(d)t - Trajectoire parabolique. ## Partie 2 4. - Cas θ - Cas θ 5. - On remarque que: θ = π/2 - Em se conserve - Em(Me) = Em(Ms) - 1/2mve^2 + qVe + ist = 1/2mV^2 + qVs + ist - Or: - De = 0 - Ve = Vc - Vs = VA - Uo = Va-Vc - Donc: - 1/2mve^2 = q(Ve-Vs) = q(Ve-Va) = -qUo - Donc: - ve^2 = -2qUo/m => ve = √(2eUo / m) - AN: Vo = 2.17 * 10 ^ 6 m/s ## Partie 3 6. - On remarque que (Vc = 0) - D'après la première partie: - => y(z) = -qE z^2 / 2mVo^2 - On a: U = Vp-Ve - U = ∫(P/m) dlon(p) (-qE/m) dlon(p) - U = ∫(Ey/ /m) dlon(p) - U = E∫dy(p) - U = E(y(p2) - y(p1)) - U = E.d - Donc: - U = E.d = E.d (y(z) = -qE z^2 / 2mVo^2) - Kim (d') = Y = AB/D = y(e).2 / D = y(e).2 / D - Donc: - Y = E.d.y(e) = 2E.d.(-qE z^2 / 2mVo^2).e - Donc: - Y = (-e.E.d.U.e) / (mVo^2.e^2) = (-e.U.E) / (mVo^2.e) ## Corrigé De L'exercice 2: 1. - On a: - q = (-e) - m = (me) - P = my - Fm = q.v _^B - |P| / |Fm| = me.g / e.v.B.sin(a) |<<1 - Car |sin(α)| <= 1 et B >> 1/v * g * 4π - Donc: Le poids est négligeable devant la force magnétique. 2. - D'après le théorème de la puissance cinétique: - dEc/dt = P(Fe) - Or P(Fe) = Fe.v = (qv _^B).v = 0 - Car le vecteur r _^B est _|_ v - Donc: dEc/dt = 0 - Donc: Ec = cst - Donc l'énergie cinétique se conserve. 3. - PFD = =D m a(H) = Fe = qv _^B - D: mx = qv _^B = q _yB = qB y - my = -q _xB = -qB x - mz = 0 => z(t) = z(0) = Vo cos(d) = D z(t) = Vo cos(d)t - D'après - A t = 0, - x(t) = 1/B.y(t)+C - (x(0) = 1/B.y(0)+C =D (C = Vo sin(d)) => (x(t) = 1/B.y(t)+Vo sin(d)) - z(t) = Vo cos(d)t - En remplacant dans - D: - y = (1/B) 1/m(-qB y(t) + Vo sin(d)) - y = (-qB/m) y(t) + Vo sin(d) - Donc: - y + (qB/m) y = Vo sin(d) - Donc: - y + (qB/m) y = - (qBvo/m) sin(d) - Notons: ω = √(qB/m) - Donc: - y(t) = A cos(ωt+ψ) + y - Avec - y = (-mVo/qB) sin(d) - Donc: - y(t) = A cos(ωt+ψ) - (mVo/qB) sin(d) - A t = 0, - y(0) = 0 - y'(0) = 0 - Donc: - y(0) = 0 = A cos(ψ) - (mVo/qB) sin(d) - y'(0) = 0 = -Aω sin(ψ + θ) - Aω sin(ψ) ) = 0 => sin(ψ) = 0 => ψ = 0 or ψ = π - Donc: - En choisissant: ψ = 0 - Donc A = (mVo/qB) sin(d) - Donc: - y(t) = (mVo/qB )sin(d)(cos(ωt) -1) - En remplaçant dans - x(t) = 1/B y(t) + Vo sin(d) = (mVo/qB) sin(d)(cos(ωt) -1) + Vo sin(d) - x(t) = (mVo/qB) sin(d)cos(ωt) - Donc: - x(t) = (mVo/qB) sin(d)cos(ωt) - Donc: - x(t) = (mVo/qB) sin(d)cos(ωt) ## Cas - Cas 1s = 0 => sin(d) = 0 => y(t) = x(t) = 0 - z(t) = Vo st - Trajectoire rectiligne suivant ez - Cas 2: x = π/2 ==> cos(d) = 0 => z(t) = 0 - x(t) = (mVo/qB) sin(ωt) - y(t) = (mVo/qB)(cos(wt) -1) - => (x-0)^2 = (mVo/qB)^2 sin^2(ωt) - (y-y₀)^2 = (mVo/qB)^2 cos^2(ωt) - Avec: - y₀ = -mVo/qB - R = mVo/qB - Donc: - (x-0)^2 + (y-y₀)^2 = R^2 - Trajectoire circulaire de centre (0, y₀) de rayon (R) - Cas 3: Vo différent de 0 et d différent de π/2 et de 0, de π/(2.c) - Trajectoire hélicoïdale: combinaison d'un mouvement circulaire dans le plan (ox,oy) et un mouvement rectiligne suivant oz ## 4) - Cas θ - Cas θ - Cas θ - Trajectoire - Z - X - Y - R - O - B