Clase 1 - Mediciones - Conceptos y Definiciones 2020 PDF

Ing. Sergio Verducci MEDICIONES FÍSICAS Conceptos y Definiciones Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Gral. Pacheco – República Argentina  Mediciones Físicas ¿Qué es una Medición? Es el perfeccionamient...

Ing. Sergio Verducci MEDICIONES FÍSICAS Conceptos y Definiciones Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Gral. Pacheco – República Argentina  Mediciones Físicas ¿Qué es una Medición? Es el perfeccionamiento de una operación psicológica habitual: la comparación Así, medir es comparar y en particular para la Física: «Medición es el resultado de un proceso de integración entre un observador y elementos de un fenómeno que compara algo conocido (una característica observable y determinada) con algo que se pretende conocer» Es decir que se compara un PATRÓN (algo conocido) con el objeto o característica del fenómeno que se desea medir (algo desconocido) para establecer cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud  Mediciones Físicas ¿Qué es una Magnitud? Se trata del nombre genérico que reciben un conjunto de atributos (cualitativos y cuantitativos) comunes a más de un fenómeno «Magnitud es lo que define un proceso de medición debidamente protocolizado» Por lo tanto, el concepto físico primario es el proceso de medición, y no el de magnitud física que es precisamente su consecuencia Es así que para obtener una magnitud, anteriormente, hay que medir  Mediciones Físicas ¿Qué es una Unidad? «Una Unidad es una cantidad física particular con la que se comparan otras cantidades del mismo tipo para expresar su valor» Por ejemplo, un metro [m] es una unidad establecida para medir longitud Si necesitamos medir el diámetro de un disco En base a la definición, podemos decir que el diámetro es 0,07 m ó 7 cm ó 70 mm  Mediciones Físicas El Proceso de Medición En la operación física experimental, denominada PROCESO DE MEDICIÓN, necesariamente intervienen: El objeto de la medición El instrumento El elemento de comparación o unidad El operador El protocolo de medición A continuación veremos de que se trata cada ítem …  Mediciones Físicas El Objeto de la Medición El OBJETO DE LA MEDICIÓN es todo elemento material o incidente intangible de un fenómeno físico, sobre el cual se debe medir una característica particular determinada Ejemplos: Sobre un elemento material La masa de un cuerpo Sobre un incidente intangible El tiempo que transcurre entre dos instantes durante el desarrollo de un fenómeno  Mediciones Físicas Instrumentos de Medición Un INSTRUMENTO DE MEDICIÓN es un dispositivo que se utiliza para comparar magnitudes físicas frente a un patrón o estándar preestablecido Elementos de Comparación Un ELEMENTO DE COMPARACIÓN es comúnmente, aunque no de manera necesaria, una unidad estandarizada, que en general se encuentra incorporada en el instrumento en una escala conveniente para facilitar su lectura Operador Es simplemente la persona que realiza la medición  Mediciones Físicas El Protocolo de Medición EJEMPLO El PROTOCOLO DE MEDICIÓN es el conjunto de pasos sucesivos precisamente determinados, que permiten obtener un “registro” de la medición Como ejemplo supongamos que queremos medir una magnitud ─una LONGITUD─ de un objeto ─una VARILLA─ Para hacerlo decidimos utilizar un instrumento de medición ─un CLAVO─ y además, un elemento de comparación o unidad ─el LARGO DEL CLAVO─ cuyo símbolo denominaremos “cl” Entonces nuestro protocolo de medición sería: “Trasladar sucesiva y longitudinalmente el clavo desde un extremo de la varilla siguiendo su longitud hasta alcanzar el otro extremo, contando cuantas veces la longitud del clavo se encuentra contenida en la longitud de la varilla”  Mediciones Físicas El Protocolo de Medición EJEMPLO Suponiendo que al finalizar la operación, la longitud de la varilla ocupó 17 veces la del clavo, entonces, como conclusión tendríamos: Magnitud Medida Longitud Objeto a medir Varilla Instrumento Clavo Unidad Largo del Clavo Operador Nosotros Protocolo de medición El descripto Registro de la medición 17 cl El resultado del proceso lo podemos informar diciendo: “La longitud de la varilla es de 17 cl”  Mediciones Físicas Clasificación de las Magnitudes Las magnitudes definidas en la Ciencia Física pueden clasificarse en base a distintos criterios De acuerdo a la INFORMACIÓN necesaria para que queden perfecta y completamente expresadas (en forma unívoca), se pueden clasificar en tres grupos: Escalares Vectoriales  Mediciones Físicas Clasificación de las Magnitudes Magnitudes Escalares Son aquellas en las que para su expresión resulta suficiente la utilización de dos elementos: UNIDAD NÚMERO El número que se denomina módulo o intensidad, es la cantidad de veces que la unidad utilizada está contenida en la magnitud Ejemplos: Masa, Temperatura, Longitud, Superficie, etc. La cantidad NO depende de la unidad, pero si depende del número que la expresa, por ejemplo, 5 km es lo mismo que 5000 m  Mediciones Físicas Clasificación de las Magnitudes Magnitudes Vectoriales Son aquellas en las que para ser expresadas unívocamente, requieren la definición de: UNIDAD NÚMERO DIRECCIÓN SENTIDO Ejemplos: Fuerza, Velocidad, Impulso, etc. El nombre de este tipo de magnitudes proviene del ente matemático llamado vector, que se utiliza para su representación  Mediciones Físicas Clasificación de las Magnitudes De acuerdo a sus CARACTERÍSTICAS y posibilidades de utilización se pueden clasificar en: Nominativas Ordenativas Genuinas De acuerdo a su independencia, o no, de la CANTIDAD se pueden clasificar en: Extensivas Intensivas  Mediciones Físicas Clasificación de las Magnitudes Magnitudes Nominativas Se utilizan para asignar características cualitativas y permitir diferenciarlas entre sí Ejemplos: Color, Olor, Sabor, etc. Magnitudes Ordenativas Son cuantitativas y se utilizan para asignar una posición determinada, admiten igualdades y prevalencias, aunque no son aditivas (no pueden sumarse) ni tienen un valor nulo (cero) verdadero Ejemplos: Dureza, Viscosidad, etc. Magnitudes Genuinas Son cuantitativas, admiten operaciones algebraicas y cuentan con valor nulo (cero) real y verdadero Ejemplos: Longitud, Fuerza, Masa, Tensión, Energía, etc.  Mediciones Físicas Clasificación de las Magnitudes Magnitudes Extensivas Dependen de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema y son aditivas, es decir que cambian al variar la cantidad de sustancia Ejemplos: Masa, Longitud, Superficie, Volumen, etc. Magnitudes Intensivas NO dependen de la cantidad de su masa, ni de su volumen Ejemplos: Densidad, Temperatura, Peso específico, etc. En general, el cociente entre dos magnitudes extensivas da como resultado una magnitud intensiva Ejemplo: la masa (extensiva) dividida por el volumen (extensiva) representa la densidad (intensiva)  Mediciones Físicas Clasificación de las Mediciones Según el MÉTODO que se utilice para realizar una medición, éstas se pueden clasificar en: Mediciones Directas Mediciones Indirectas  Mediciones Físicas Clasificación de las Mediciones Mediciones Directas Son aquellas en las que existe una interacción directa entre el objeto a medir y el instrumento de medición que se utiliza para obtener la magnitud buscada Ejemplo: Medir Tiempo con un cronómetro Esto ocurre cuando el instrumento utilizado “mide” en las unidades de la magnitud en cuestión (en el ejemplo tiempo en segundos) Debe considerarse que, para alcanzar el resultado, la definición admite realizar operaciones como la suma y la resta de dos o más mediciones parciales  Mediciones Físicas Clasificación de las Mediciones Mediciones Indirectas Son aquellas en las que el resultado surge de un cálculo matemático entre los valores obtenidos en mediciones de otras magnitudes primitivas Ejemplo: Medir la superficie de un rectángulo a partir del producto de la longitud de sus lados distintos L1 Debe notarse que en el ejemplo se utilizaron instrumentos de L2 S longitud, para luego obtener la superficie buscada a través del cálculo S = L1. L2  Mediciones Físicas El Proceso de Medición (… continuamos) Considerando la forma en que se generan los números que corresponden a la medición de una magnitud, pueden darse situaciones diversas 1.- Se obtiene un número entero contando las unidades Ejemplo: La cantidad de ventanas de un edificio 2.- Es impracticable la operación de contar las unidades Ejemplo: Los mosquitos que hay en una plaza 3.- El conjunto de unidades no está perfectamente definido Ejemplo: La cantidad de asientos en la facultad 4.- No existe experimentalmente un valor de unidades Ejemplo: La longitud de una barra de acero En resumen, existen tres condiciones que NO permiten expresar el resultado mediante un número y una unidad y como consecuencia la medición no será exacta  Mediciones Físicas El Proceso de Medición Como conclusión podemos afirmar que únicamente en el caso en que la operación de medir consista en contar los elementos de un conjunto de unidades perfectamente definido, el resultado puede expresarse como UN número (y solo uno) En el resto de los casos, el resultado solamente se podrá expresar a través de DOS números Como consecuencia, puede intuirse que en la mayoría de las mediciones el resultado solamente se podrá informar con cierta Incertidumbre o Indeterminación  Mediciones Físicas Incertidumbre de una Medición Generalmente, al no poder expresarse el resultado de una medición física por un solo número, lo hacemos diciendo: “El valor de la magnitud, designado X, en el instante de la medición está con seguridad comprendido entre los valores máximo (XM) y mínimo (Xm)” En símbolos resulta: donde: Xm = valor o cota mínima de la magnitud X = valor de la magnitud (desconocido) XM = valor o cota máxima de la magnitud  Mediciones Físicas Incertidumbre de una Medición Los valores de Xm y XM pueden variar de un observador a otro, de un instrumento a otro, y aún, de una medición a otra realizada por un mismo observador y utilizando el mismo instrumento Cualquier par (Xm;XM) es lícito, siempre que las cifras de los números sean las que se pueden observar Sabemos que el Valor Verdadero de la Magnitud se encuentra entre los valores máximo (XM) y mínimo (Xm), pero no podemos saber –nunca– cual es, de entre todos los infinitos números reales que existen entre ellos  Mediciones Físicas Incertidumbre de una Medición Gráficamente: x0 0 xm xM x Δx La zona marcada es el Intervalo de Incertidumbre dentro del cual se encuentra (aunque no se sabe dónde) el valor verdadero (x) de la magnitud medida Al punto medio del intervalo lo definimos como Valor Representativo (x0) y al semiancho como Incertidumbre Experimental o Absoluta (Δx) En muchos textos se puede encontrar a ∆x con el nombre de “error”, denominación que preferimos NO utilizar en virtud de considerar que de esa forma daría idea de “equivocación”, algo que no es precisamente lo que sucede  Mediciones Físicas Incertidumbre de una Medición Observando la relación entre la longitud de los segmentos representativos en el gráfico… xm xM = x0 + Δx x0 … siendo: xm = x0 – Δx xM Se establece que: xM – xm = 2 Δx → xM + xm = x0 + Δx + x0 – Δx = 2 x0 →  Mediciones Físicas Incertidumbre de una Medición Como resultado de la deducción anterior, surge la manera más habitual de expresar del resultado de una medición: El valor de Δx siempre se toma positivo Otra forma de expresarlo, aunque menos utilizada, es la notación matemática de segmento: Hay que recalcar que NO debe creerse que X0 sea el valor verdadero de la magnitud, ni tampoco que no lo sea, dado que es solamente un punto más del intervalo que se adopta convencionalmente como “representativo”  Mediciones Físicas Incertidumbre de una Medición Un nuevo parámetro es la Incertidumbre Relativa que se define como: Es importante observar que este valor es el que nos relaciona a la incertidumbre experimental con el valor representativo, es decir, cuantas veces se encuentra contenido el primer valor en el segundo Una variante del anterior que denominamos Incertidumbre Relativa Porcentual:  Mediciones Físicas Calidad de una Medición En virtud de relacionar a la incertidumbre con el valor representativo de la medición, ε% se suele utilizar para estimar la Calidad de una Medición El criterio utilizado habitualmente es el siguiente: Por su carácter adimensional (notar que no tiene unidad) la incertidumbre relativa también se puede utilizar para comparar la calidad de dos mediciones, inclusive, de distintas magnitudes  Mediciones Físicas Cifras Significativas en las Mediciones En mediciones, se denomina CIFRA SIGNIFICATIVA todo dígito cuyo valor se conoce con seguridad, excepto el cero cuando se utiliza para situar el punto decimal EJEMPLO  Mediciones Físicas Cifras Significativas en las Mediciones En virtud de la definición, se debe prestar especial atención a los ceros que se informan como decimales a la derecha de dígitos mayores En el primer ejemplo anterior vemos la cifra 2,50 señalada como de tres cifras significativas y esto quiere decir que el “0” (cero) a la derecha del “5” es un valor que se conoce con seguridad y vale cero Se debe distinguir el significado físico del significado matemático del de la cifra que puede resultar de cálculos En matemática 2,50 = 2,5 pero considerando el significado físico NO son equivalentes  Mediciones Físicas Criterios de Expresión de Resultados Mediciones Directas Regla 1: El valor representativo y la incertidumbre se deben expresar con igual número de decimales EJEMPLOS Ejemplo 1 - Regla milimetrada: L = 38,5 mm ± 0,5 mm Ejemplo 2 - Probeta graduada cada 2 cm3: V = 25 cm3 ± 1 cm3 Ejemplo 3 - Calibre vigesimal: L= 12,20 mm ± 0,05 m Ejemplo 4 - Micrómetro clásico: L= 14,23 mm ± 0,01 mm Ejemplo 5 - Voltímetro digital a la décima: U= 24,3V ± 0,1 V Nótese que en el ejemplo 3, al valor representativo se lo completa con tantos ceros a la derecha como sea necesario hasta tener el mismo número de cifras decimales que en la incertidumbre  Mediciones Físicas Criterios de Expresión de Resultados Mediciones Indirectas Regla 2: Cuando se calcula una incertidumbre adoptamos para expresarla UNA cifra significativa (a menos que se indique otro criterio), redondeando la PRIMERA cifra al valor inmediatamente superior Regla 3: El valor representativo se redondeará en la cifra que se corresponda con la PRIMERA cifra (o la que se indique al cambiar el criterio) de la incertidumbre teniendo en cuenta que ➔Si la cifra siguiente es igual o mayor que 5, la cifra redondeada se modifica al valor inmediato superior ➔Si la cifra siguiente es menor que 5, la cifra redondeada no se modifica  Mediciones Físicas Criterios de Expresión de Resultados Mediciones Indirectas EJEMPLOS Ejemplo 6 - Volumen (cálculo) V= 25,5468 cm3 ± 0,26586 cm3 Se informa: V= 25,5 cm3 ± 0,3 cm3 Ejemplo 7 - Presión (cálculo) p= 14476,34456 Pa ± 142,25365 Pa (como 7 > 5, la cifra redondeada pasa de 4 a 5) Se informa: p= 14500 Pa ± 200 Pa Ejemplo 8 - Potencia (cálculo) P= 14412,81773 W ± 336,25365 W (como 4 < 5, la cifra redondeada queda como 4) Se informa: P= 14400 W ± 400 W  Mediciones Físicas Apreciación de Instrumentos Se define como APRECIACIÓN O RESOLUCIÓN a la mínima cantidad que un Instrumento de Medición puede medir Se debe tener especial atención en no confundir este concepto con el de incertidumbre o indeterminación de la medición Mientras la apreciación (o resolución) es una característica preestablecida de cada instrumento en particular, que le es propia, la incertidumbre de una medición es un valor asignado en base a distintas causas (entre ellas el instrumento) que pueden o no coincidir  Mediciones Físicas Incertidumbre de Apreciación EJEMPLO Se desea medir la longitud de un cuerpo utilizando una regla graduada en mm Se puede observar que la longitud se encuentra claramente entre las marcas 63 mm y 64 mm Esto quiere decir que el VALOR VERDADERO de la longitud del cuerpo, aunque no podamos saber cual es, se encuentra seguramente dentro de esos límites En este caso, los extremos del intervalo, es decir, sus límites, se adoptan como COTA MÁXIMA y COTA MÍNIMA de la medición  Mediciones Físicas Incertidumbre de Apreciación EJEMPLO El VALOR REPRESENTATIVO de la medición, así, resulta : → L0 = 63,5 mm Debido a la apreciación o resolución del instrumento, en particular, este valor tiene asociada su correspondiente INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL que podemos calcular como: → L = 0,5 mm Esto nos indica el máximo apartamiento que puede tener el valor verdadero del valor representativo de la medición a causa de la apreciación del instrumento  Mediciones Físicas Incertidumbre de Apreciación EJEMPLO El resultado de la medición queda expresado entonces como: L = 63,5 ± 0,5 [mm] o L = (63,0;64,0) mm Ahora: → εL = 0,0079 ε%L = εL.100 → ε%L = 0,0079.100 → εL = 0,79% Cota Máxima: LM = 64,0 mm Cota Mínima: Lm = 63,0 mm Valor Representativo: L0 = 63,5 mm Incertidumbre Absoluta: ∆L = 0,5 mm Incertidumbre Relativa: εL = 0,0079 Incertidumbre Relativa(%): ε%L = 0,79%  Mediciones Físicas Incertidumbre de Dispersión Al medir una misma magnitud sobre una característica de un mismo cuerpo o fenómeno en forma repetitiva, generalmente NO se obtienen los mismos resultados Esto se debe a que el método utilizado tiene asociada una Incertidumbre de Dispersión Si se realiza una gran cantidad de mediciones de una magnitud ‘x’ obteniéndose ‘n’ valores representativos x1 ; x2 ; x3 ; … ; xn se podría considerar que el promedio (o media aritmética) de todas las mediciones sería el VALOR MÁS PROBABLE →  Mediciones Físicas Incertidumbre de Dispersión La incertidumbre de cada una de las mediciones podría entenderse como la diferencia entre el valor más probable y el valor de la medición Este valor indica cuanto se aparta el valor de cada una de las ‘n’ mediciones consideradas del valor más probable Para calcular la incertidumbre o desviación del valor más probable se podría calcular un promedio de todos ellos Pero estas diferencias pueden ser positivas y negativas, de modo que sumadas algebraicamente podrían compensarse  Mediciones Físicas Incertidumbre de Dispersión Para solucionar el inconveniente se podrían elevar al cuadrado todas las diferencias, haciendo que todas resulten positivas, y calcular la raíz cuadrada del promedio, llegando a la expresión que representa lo que en estadística se conoce como “Desviación Estándar” Este valor se podría tomar como Incertidumbre de Dispersión Estadística pero adoptándolo podrían dejarse valores medidos fuera del intervalo de incertidumbre, por lo cual, suelen aplicarse coeficientes de corrección o directamente se utiliza la máxima desviación obtenida de todas las mediciones realizadas ∆xσ = σMÁX Que resulta el valor correspondiente a la máxima diferencia →  Mediciones Físicas Incertidumbre de Dispersión EJEMPLO Sobre una determinada magnitud se realizan cinco mediciones (con una incertidumbre experimental de ±0,1) que arrojan los siguientes resultados: M1= 22,3 M2= 21,9 M3= 22,0 Entonces el valor más probable, que M4= 22,3 resultaría el valor representativo, sería: M5= 22,1 → M0= 22,12 Ahora calculemos la incertidumbre de dispersión…  Mediciones Físicas Incertidumbre de Dispersión EJEMPLO … verificando el valor absoluto de las diferencias entre cada valor medido y el valor promedio para tomar la máxima desviación |22,3–22,12|= 0,18 |21,9–22,12|= 0,22 |22,0–22,12|= 0,12 ∆MMAX = 0,22 |22,3–22,12|= 0,18 |22,1–22,12|= 0,02 Como este valor es mayor que la incertidumbre experimental de cada medición (0,22 > 0,1), es la que se debe adoptar, resultando: M = 22,1 ± 0,3 Notar que en caso contrario, por ejemplo, si la incertidumbre experimental hubiese sido 0,5 deberíamos mantener ese valor puesto que la dispersión no hubiese empeorado la incertidumbre  Mediciones Físicas Incertidumbres Accidentales En determinados casos pueden existir incertidumbres en las cuales NO es posible determinar su causa, por lo tanto, se las considera ACCIDENTALES o ALEATORIAS Pueden afectar al resultado en ambos sentidos, es decir, tanto en más como en menos Para reducirlas se puede cambiar el instrumento de medición o se pueden realizar varias mediciones para compensar las desviaciones (por arriba o por abajo del valor que suponemos debería ser el verdadero) con un adecuado tratamiento estadístico  Mediciones Físicas Causas de la Incertidumbre En general, la incertidumbre de una medición puede estar influida por varios motivos y para ponderarla se deben considerar TRES factores de incidencia, a saber: Instrumento Ej.: Limitación de apreciación, escalas imperfectas, tensiones accidentales, fallas intermitentes, etc. Operador Ej.: Decidir entre dos divisiones de escala, distracción, fatiga, etc. Método Ej.: Dispersiones naturales, perturbación en la naturaleza del objeto a medir, utilización inevitable de instrumentos inapropiados, condiciones atmosféricas descontroladas, observación compleja, exposición a vibraciones, etc.  Mediciones Físicas Causas de la Incertidumbre En base a la diversidad de razones que deben tenerse en cuenta, la incertidumbre de una medición es el resultado de distintas ponderaciones que se aplican en cada caso, en base a fundamentados criterios particulares En el caso que las circunstancias lo ameriten tendremos: ∆x = ∆xI + ∆xM + ∆xO INCERTIDUMBRES a causa del Operador a causa del Método a causa del Instrumento … y de ser necesario, pueden considerarse más de una causa en cada término de la expresión En particular, para distintos grupos de instrumentos de características comunes, existen criterios generalizados  Mediciones Físicas Incertidumbre de Instrumentos Para la valoración de la incertidumbre de una medición vinculada particularmente a los instrumentos se pueden adoptar algunos criterios generales Los mismos se fundamentan en base al modo en que se utilizan y a determinadas características comunes que nos permiten agruparlos en tres tipos distintos: De una sola escala o con aguja de ➔ movimiento continuo Digitales o de funcionamiento discreto ➔ (con aguja que se mueve “a saltos”) ➔ De doble escala  Mediciones Físicas Incertidumbre de Instrumentos ➔ Para INSTRUMENTOS de UNA SOLA ESCALA , y ➔ Para INSTRUMENTOS de AGUJA o de funcionamiento CONTINUO Se adopta como incertidumbre la MITAD de la MENOR DIVISIÓN de la escala, es decir la MITAD de la apreciación o resolución  Mediciones Físicas Incertidumbre de Instrumentos ➔ Para INSTRUMENTOS de UNA SOLA ESCALA , y ➔ Para INSTRUMENTOS de AGUJA o de funcionamiento CONTINUO Pero en la operación puedan darse dos situaciones distintas… 1. Cuando la lectura NO COINCIDE con ninguna marca de la escala, se adoptan como cotas mínima y máxima las marcas adyacentes y se calcula el valor representativo y la incertidumbre EJEMPLO Cota Máxima: LM = 28 cm Lecturas Cota Mínima: Lm = 27 cm Valor Representativo: L0 = 27,5 cm Cálculos Incertidumbre Absoluta: ∆L = 0,5 cm Incertidumbre Relativa: εL = 0,0182  Mediciones Físicas Incertidumbre de Instrumentos ➔ Para INSTRUMENTOS de UNA SOLA ESCALA ➔ Para INSTRUMENTOS de AGUJA o de funcionamiento CONTINUO Pero en la operación puedan darse dos situaciones distintas… 2. Cuando la lectura COINCIDE con una marca de la escala, ésta se adopta como valor representativo y se calculan las cotas mínima y máxima sumando y restando la incertidumbre que en este caso es la mitad de la apreciación o EJEMPLO resolución del instrumento Lectura → Valor Representativo: L0 = 12 cm Incertidumbre Absoluta: ∆L = 0,5 cm Cálculos Cota Mínima: Lm = 11,5 cm Cota Máxima: LM = 12,5 cm Incertidumbre Relativa: εL = 0,0417  Mediciones Físicas Incertidumbre de Instrumentos ➔ Para INSTRUMENTOS DIGITALES , y ➔ Para INSTRUMENTOS de AGUJA o de funcionamiento DISCRETO Se adopta como incertidumbre la apreciación o resolución y la lectura corresponde al valor representativo de la medición  Mediciones Físicas Incertidumbre de Instrumentos ➔ Para INSTRUMENTOS DIGITALES , y ➔ Para INSTRUMENTOS de AGUJA o de funcionamiento DISCRETO ✓ Como la lectura siempre debe adoptarse como el valor representativo y en este caso, la incertidumbre coincide con la apreciación o resolución del instrumento, el resto de los parámetros de la medición deben calcularse con esos datos EJEMPLO Para el caso de un voltímetro digital tenemos … Lectura → Valor Representativo: U0 = 232 v Apreciación → Incertidumbre Absoluta: ∆U = 1 v Cálculos: Cota Máxima: UM = 233 v Cota Mínima: Um = 231 v Incertidumbre Relativa: εU = 0,0043  Mediciones Físicas Incertidumbre de Instrumentos ➔ Para INSTRUMENTOS de DOBLE ESCALA Se adopta como incertidumbre la apreciación o resolución del instrumento y la lectura será el valor representativo de la medición  Mediciones Físicas Incertidumbre de Instrumentos ➔ Para INSTRUMENTOS de DOBLE ESCALA ✓ Con estos instrumentos se debe proceder como en el caso anterior, pero considerando muy especialmente cual es la apreciación o resolución del instrumento Como regla general se calcula con la siguiente expresión: Pero amerita estudiar en detalle porque es así e, inclusive, entender correctamente como deben manejarse al menos los dos instrumentos de doble escala de utilización muy frecuente y necesaria ▪ El Calibre o Pie de Rey ▪ El Micrómetro  Mediciones Físicas Errores o Desvíos Sistemáticos Al medir suelen producirse “desfasajes constantes” entre los valores obtenidos y los que se hubieran considerado correctos Estas diferencias reciben el nombre de ERRORES O DESVÍOS SISTEMÁTICOS y se presentan generalmente siguiendo principios que tienden a modificar el resultado siempre de una manera determinada, sea por exceso o por defecto Estas manifestaciones NO producen una incertidumbre o indeterminación, sino que generan una diferencia en la cantidad medida, generalmente discreta, en más o en menos Es así que en estos casos, tenemos la ventaja de contar con la posibilidad de eliminarlos haciendo las correcciones correspondientes para cada caso  Mediciones Físicas Errores o Desvíos Sistemáticos Algunos ejemplos de ERRORES SISTEMÁTICOS son: ➔Defecto permanente del instrumento, como desviación de la aguja, desplazamiento del cero, etc. ➔Incorrecta ubicación del observador, como al incurrir en errores de “paralaje” ➔Utilización de fórmulas de cálculo aproximadas ➔Defecto de método empleado, como utilizar una balanza muy sensible, en presencia de una corriente de aire Los enumerados sólo son, para orientar la detección de muchos otros errores que, en cada caso en particular, se deberán descubrir para permitir su corrección  Mediciones Físicas Criterio de igualdad de Mediciones ¿Cuándo podemos decir que los resultados de distintas mediciones de una misma magnitud son iguales o no? Teniendo dos mediciones realizadas sobre una magnitud x = x0 ± x y = y0 ± y El criterio de validación es x  y  |x0 – y0|  |x + y| Dos mediciones de una misma magnitud son iguales si el valor absoluto de la diferencia de los valores representativos es menor o igual al valor absoluto de la suma de sus incertidumbres experimentales  Mediciones Físicas Criterio de igualdad de Mediciones 1º Caso – Existen muchos valores compartidos entre ambos intervalos de incertidumbre Probablemente la magnitud tenía el xm x0 xM mismo valor al realizar las 0 mediciones x e y ym y0 yM 2º Caso – No existen valores compartidos entre ambos intervalos de incertidumbre Xm x0 xM Probablemente la magnitud tenía distinto valor al realizar las 0 ym y0 yM mediciones x e y  Mediciones Físicas Criterio de igualdad de Mediciones 3º Caso – Existen muy pocos valores compartidos entre ambos intervalos de incertidumbre xm x0 xM 0 ym y0 yM En este último caso, la cantidad de valores compartidos por ambos intervalos hace dudar que se trate de la misma magnitud, por lo tanto, es recomendable investigar un poco más sobre la situación  Mediciones Físicas Precisión y Exactitud Los conceptos de Exactitud y Precisión son de suma importancia en mediciones Aunque en el lenguaje corriente es habitual que, por ignorancia, lamentablemente se los utilice como sinónimos, tienen significados diferentes Para evitar estas confusiones vamos a definir a estos conceptos, utilizando una analogía con el juego del “tiro al blanco” entre cuatro africanos que compiten tirando con arco y flecha para seducir a la hija del cacique de su tribu … El objetivo es dar en el blanco y consideraremos: VALOR VERDADERO de una medición → CENTRO del BLANCO VALOR MEDIDO → cada tiro efectuado por los participantes  Mediciones Físicas Precisión y Exactitud MAMADOU SIMBA PRECISO PRECISO EXACTO EXACTO PRECISO EXACTO EMBOKO PRECISO EXACTO AKANNO  Mediciones Físicas Exactitud La Exactitud esta definida como la proximidad entre el valor medido experimentalmente y el valor “verdadero” de la medición Por lo tanto, una medición será más exacta cuanto más pequeño resulte el intervalo de incertidumbre Si bien la exactitud, NO es una magnitud expresable por un número guarda cierta relación con la incertidumbre absoluta Δx Para comparar la exactitud de distintas mediciones se pueden comparar sus Δx, pero considerando que este parámetro se expresa en las mismas unidades que la magnitud, sólo se podrán comparar entre sí, las exactitudes de mediciones de una misma magnitud  Mediciones Físicas Precisión La Precisión esta definida como la proximidad mutua entre los sucesivos valores medidos de una misma magnitud, obtenidos en mediciones repetidas, bajo condiciones especificas (independientemente del valor verdadero) A diferencia de la exactitud, la precisión puede expresarse numéricamente mediante cálculos de dispersión como la desviación estándar Cuanto más acotada resulte la distribución de valores medidos, mayor será la precisión de la medida Así, la precisión depende únicamente de la distribución de los valores medidos y NO está relacionada con el “valor verdadero” de la medición  Mediciones Físicas Precisión y Exactitud De acuerdo a estas definiciones podemos encontrarnos con instrumentos muy precisos, aunque poco exactos Por ejemplo, para medir una longitud, podemos utilizar una REGLA MILIMETRADA de 1 mm de apreciación que probablemente midiendo varias veces nos arroje siempre el mismo resultado, es decir SIN DISPERSIÓN de valores medidos, mientras que si utilizamos un CALIBRE DIGITAL de 0,01 mm de apreciación, para realizar igual cantidad de mediciones, muchos valores resultarán diferentes entre sí, es decir CON DISPERSIÓN ¿A qué conclusiones se puede llegar?  Mediciones Físicas Precisión y Exactitud La apreciación del CALIBRE es mejor que la de la REGLA, así, la incertidumbre de las mediciones con CALIBRE, serán menores que las de la REGLA, dado que LC < LR por lo tanto: Para este caso las mediciones con CALIBRE son más EXACTAS Pero la dispersión de las mediciones con la REGLA, son menores que las del CALIBRE, por lo tanto: Para este caso las mediciones con REGLA son más PRECISAS En esta particular situación, la incertidumbre de la medición con calibre es claramente mayor a la apreciación o resolución del instrumento, porque la diferencia entre un valor medido y otro puede ser mucho mayor que 0,01 mm  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres En muchas oportunidades el resultado de una medición surge de realizar operaciones aritméticas En todos los casos debe tenerse en cuenta que la incertidumbre del resultado del cálculo debe considerar necesariamente las incertidumbres de las mediciones primarias de las que se parte, dado que los valores finales están siempre afectados por los iniciales Este proceso de Propagación de Incertidumbres se deberá aplicar observando los casos particulares para las distintas operaciones aritméticas y, de ser necesario si el caso lo requiriese, algunas técnicas complementarias  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres Veremos cómo se resuelve cada caso para las distintas operaciones de una supuesta magnitud física Q, que es función de otras magnitudes físicas primarias X, Y, Z, medidas con anterioridad, de manera que contemos con la siguiente información: X = Xo ± X Q = f (x;y;z) Y = Yo ± Y Z = Zo ± Z El objetivo será obtener Qo y Q de forma tal que se cumpla: Q = Qo ± Q  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres SUMA Q=X+Y Qm = Xm + Ym QM = XM + YM 0 Xm X M Ym YM Qm Q0 QM ∆Q ∆Q El MÍNIMO valor que puede alcanzar la suma (Qm) debe ser la suma de los mínimos valores de los sumandos (Xm e Ym) El MÁXIMO valor que puede alcanzar la suma (QM) debe ser la suma de los máximos valores de los sumandos (XM e YM)  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres SUMA Q=X+Y Habiéndose verificado geométricamente que: QM = XM + YM Y sabiendo que: Qm = Xm + Ym Reemplazando: y agrupando → Q0 = X0 + Y0 X0 Y0 El VALOR REPRESENTATIVO de la suma, es la SUMA de los valores representativos de las mediciones primitivas  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres SUMA Q=X+Y Para el caso de la incertidumbre experimental tenemos: QM = XM + YM Y como ya sabemos: Qm = Xm + Ym Reemplazando y agrupando: 2 ∆X 2 ∆Y → → → Q = X + Y La INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL de la suma, es la SUMA de las incertidumbres de las mediciones primitivas  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres RESTA Q=X–Y Qm = Xm – YM QM = XM – Ym 0 Qm Q0 QM Ym YM Xm XM ∆Q ∆Q El MÍNIMO valor que puede alcanzar la resta (Qm) debe ser el mínimo valor del minuendo (Xm) menos el máximo valor del sustraendo (YM) El MÁXIMO valor que puede alcanzar la resta (QM) debe ser el máximo valor del minuendo (XM) menos el mínimo valor del sustraendo (Ym)  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres RESTA Q=X–Y Habiéndose verificado geométricamente que: Qm = Xm – YM Y sabiendo que: QM = XM – Ym Reemplazando: y agrupando → Q0 = X0 – Y0 X0 Y0 El VALOR REPRESENTATIVO de la resta, es la RESTA de los valores representativos de las mediciones primitivas  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres RESTA Q=X–Y Para el caso de la incertidumbre experimental tenemos: Qm = Xm – YM Y como ya sabemos: QM = XM – Ym Reemplazando y agrupando: 2 ∆X 2 ∆Y → → Q = X + Y La INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL de la resta es la SUMA de las incertidumbres de las mediciones primitivas  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres PRODUCTO Q=X.Y.Z En el caso del producto (al igual que en los subsiguientes) no se pueden sumar las incertidumbres experimentales puesto que generarían un conflicto de unidades Se podría demostrar que, aunque omitiremos hacerlo, se cumple la expresión: Q0 = X0. Y0. Z0 El VALOR REPRESENTATIVO del producto, es el PRODUCTO de los valores representativos de las mediciones primitivas Además, también se verifica que: ε Q = εX + εY + εZ  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres PRODUCTO Q=X.Y.Z A partir de lo anterior, se puede expresar: εQ = εX+εY+εZ Entonces Y siendo: Q0 = X0. Y0. Z0 Reemplazando, la INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL resulta:  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres COCIENTE Al igual que en el caso anterior, se podría demostrar que se cumple la expresión El VALOR REPRESENTATIVO del cociente, es el COCIENTE de los valores representativos de las mediciones primitivas Además, como también se verifica que: εQ = εX + εY Procediendo como en el caso anterior se llega a una INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL igual a:  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres POTENCIA Q = Xn ‘n’ veces Como se sabe, esta operación es un caso particular del producto, donde: Q = X.X. ….X Entonces el VALOR REPRESENTATIVO será: Q0 = X0n Y considerando que: εQ = εX+εX+ … +εX → εQ = n. εX ‘n’ veces Así, con la INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL se llega a: →  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres RAÍZ Considerando que: Utilizando los procedimientos aplicados al caso de la potencia para el VALOR REPRESENTATIVO llegamos a: Siendo la INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL :  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres En resumen, podemos observar que en las mediciones indirectas, al propagar incertidumbres, el cálculo del VALOR REPRESENTATIVO del resultado siempre se obtiene realizando la operación original utilizando los valores representativos de las magnitudes primitivas Pero, para calcular la INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL, en cambio, se pueden presentar tres casos distintos 1º Caso – En el cálculo de la magnitud a medir aparecen las operaciones de SUMA y RESTA exclusivamente Aquí la incertidumbre experimental, siempre es la suma de las incertidumbres experimentales de las magnitudes primitivas  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres 2º Caso – La magnitud a medir a través del cálculo es una combinación de PRODUCTO y COCIENTE exclusivamente (obviamente incluyendo casos particulares como la potencia y la raíz) En este caso la incertidumbre experimental, siempre se obtiene a partir de la incertidumbre relativa de la magnitud buscada que resulta igual a la suma de las incertidumbres relativas de las magnitudes primitivas 3º Caso – La magnitud a medir a través del cálculo es una combinación de los dos casos anteriores Aquí la incertidumbre experimental, se obtiene utilizando una técnica combinada que consiste en separar en partes de forma conveniente la expresión original, resolverlas con los métodos del 1º y/o 2º caso aisladamente y volver a integrarlas ya resueltas a la expresión original  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres Problema #1 (2º Caso) : EJEMPLO Se desea medir la superficie de una chapa habiéndose medido su largo que resultó ser L=25,4 ± 0,1 cm y su ancho A=16,8 ± 0,1 cm El valor representativo de la superficie será: S0 = L0. A0 = 25,4 cm. 16,8 cm S0 = 426,72 cm² La Incertidumbre Experimental de la superficie será: εS = εL+εA ∆S = 4,22 cm² S = 426,72 ± 4,22 cm² Tomando 1 cifra significativa para ∆S S = 427 ± 5 cm²  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres Problema #2 (3º Caso) : EJEMPLO Calcular Q = Q0 ± ∆Q como resultado de: Teniendo como mediciones previas a=a0±∆a ; b=b0±∆b ; c=c0±∆c ; d=d0±∆d ; e=e0±∆e El valor representativo simplemente será: Para calcular la incertidumbre experimental, se debe evitar la presencia de la suma dentro del paréntesis Si proponemos un cambio de variables a partir de expresar (b + c) = f la expresión original queda reducida a: Y como consecuencia, teniendo ahora solamente productos y cocientes podemos operar a partir de: εQ = εa + εf + 2 εe  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres Problema # 2 (3º Caso) : EJEMPLO Entonces si: εQ = εa + εf + 2 εe → Resolviendo aparte el cambio de variables: Y reemplazando: → Resultando finalmente:  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres Problema #3 (3º Caso) : EJEMPLO Se desea conocer la superficie de la figura sabiendo que: A = 20 ± 1 mm B = 12 ± 1 mm C = 5,0 ± 0,5 mm D = 9,0 0± 0,5 mm El valor representativo será: S0 = A0. B0 – C0. D0 S0 = 20. 12 – 5. 9 = 240 – 45 S0 = 195 mm² Para calcular la incertidumbre experimental, proponemos un cambio de variables, donde: S1 = A. B ∆S = ∆S1 + ∆S2 S2 = C. D  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres Problema # 3 (3º Caso) : EJEMPLO Ahora, sabemos que: De igual forma: εS1 = εA + εB εS2 = εC + εD Con S10 = A0 B0 Con S20 = C0 D0 ∆S1 = 31,999 → ∆S1 = 32 mm2 ∆S2 = 6,999 → ∆S2 = 7 mm2  Mediciones Físicas Propagación de Incertidumbres Problema # 3 (3º Caso) : EJEMPLO Entonces: ∆S = ∆S1 + ∆S2 → ∆S = 32 mm² + 7 mm² → ∆S = 39 mm² Así el resultado de la medición es: S = 200 ± 40 mm² Y la incertidumbre relativa: εS = 0,2 εS% = 20 %