MÓDULO 1: TEORÍA DE CONJUNTOS PDF

Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 1: TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivos 1. Construir ejemplos de conjuntos. 2. Determinar conjuntos por comprensión y extensión. 3. Determinar la unión...

Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 1: TEORÍA DE CONJUNTOS Objetivos 1. Construir ejemplos de conjuntos. 2. Determinar conjuntos por comprensión y extensión. 3. Determinar la unión, intersección y complemento de conjuntos. 4. Clasificar los números reales como naturales (IN), enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I). 5. Enunciar las propiedades de la adición y la multiplicación en IR. 6. Representar el orden sobre la recta real. 7. Definir los intervalos como conjuntos de puntos. 8. Calcular el valor absoluto de un número. 9. Expresar potencias con exponentes negativos como potencias con exponentes positivos y viceversa. 10. Expresar potencias con exponentes fraccionarios como radicales. 1. Conjunto: Colección bien definida de objetos, llamados elementos. Notación de Conjuntos: Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas. Ejemplo: A, B, C. Los conjuntos pueden escribirse entre llaves y separando sus elementos por comas (,). Por ejemplo R ={0,3,7,}. Los elementos de un conjunto se denotan por letras minúsculas. Ejemplo: a, b, c, d son elementos. Los elementos de un conjunto no deben repetirse. El orden de los elementos no es importante. R = {a, b, c} = {c, b, a} = {b, c, a} Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto utilizamos el símbolo y el signo para no pertenece. Ejemplo: R = { 0, 3, 7, 8}; 0 R; 4 R. 2. Determinación de conjuntos: Para determinar un conjunto, lo podemos hacer de dos (2) maneras: a. Por Extensión: Se dan en forma explícita sus elementos; como letras, números o nombres de objetos. Ejemplo: A = {Domingo, Lunes, Martes, Jueves, Sábado}. b. Por Comprensión: Se da una propiedad o criterio de pertenencia que nos permite decidir si un elemento pertenece o no al conjunto considerado. En forma general se describe: A = {x | p(x)}donde p(x) es la propiedad de criterio. Ejemplo: A = {x | x es un día de la semana}. 2.1.Clases de conjuntos: 1. Conjunto Vacío: Aquel que carece de elementos. Se denota por ó {}. 1 130 Área Cientifica Matemática 2 Conjunto Finito: Consiste de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto, el proceso de contar puede acabar. Ejemplo: X = {a, b, c, d,..., y, z}; A = {x | x es el número de dos dígitos}; Y = {a, e, i, o, u}. 3 Conjunto Infinito: Aquel que no es finito. Ejemplo: B = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 3. Relación de inclusión de Conjuntos: Definición de Subconjuntos: Dados dos conjuntos A y B, si cada elemento del conjunto A es elemento del conjunto B, entonces se dice que A es subconjunto de B. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ⊂ B. Observaciones: 1. Si A ≠ B y A ⊂ B, se dirá que A es subconjunto propio de B. 2. Si A = B y A ⊆ B, se dirá que A es subconjunto impropio de B. 3. Sea E un conjunto cualquiera, φ ⊂ E. 4. Operaciones fundamentales con conjuntos: Unión de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos, A ∪ B = {x | x ∈ A ó ∈ B}. Ejemplo: A = {1, 2, 3}, C = {a, b, c}; A ∪ C = {1, 2, 3, a, b, c}. Intersección de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos, A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}. Ejemplo: A = {1, 2, 3}, C = {a, b, c}; A ∩ C = {x | x ∈ A y x ∈ C} = φ. Complemento de un Conjunto: Sea E un conjunto de referencia (Universal) y A ⊂ E, el complemento de A con respecto al conjunto E, denotado: C EA = {x | x ∈ E y x ∉ A} Ejemplo: Sea E = {x | x es vocal}, A = {a, e, o}; C EA = {i, u}. Diferencia de dos Conjuntos: La diferencia del conjunto B con respecto al conjunto A se denota A - B y A - B = {x : x ∈ A y x ∉ B}. 131 131 Dirección General de Admisión Temario Los Números Reales: El con juntos de los números reales denotado por IR está constituido por subconjuntos de importancia tales como: Números Reales IR Números Racionales Números Irracionales I, Q = {a/b,| a, b ∈ Z, b ≠ 0} no tienen representación fraccionaria o decimal. Números Enteros Z Números Cero Números Positivos Negativos llamados Naturales IN = {1, 2, 3,...} En el conjunto R = Q ∪ Ir, se verifican las siguientes propiedades: Si 0 y 1 son números especiales conocidos como cero y uno respectivamente y las letras a, b, c representan números reales, se tiene que: 1) a + b = b +a; ab = ba Propiedad Conmutativa. 2) a+(b+c) = (a+b)+c; a(bc) =(ab)c Propiedad Asociativa. 3) a) Para a ∈ R, existe -a ∈ R tal que a + (-a) = 0 Inverso Aditivo. 1 ⎛1⎞ b) Para cada a ≠ 0, a ∈ R, existe tal que a⎜ ⎟ = 1. Inverso Multiplicativo a ⎝a⎠ 4) a(b+c) = ab + ac; (a+b)c = ac + bc Propiedad Distributiva. Observación: 1. El cero suele denominarse neutro aditivo y el uno (1) neutro multiplicativo. 2. -a recibe el nombre de inverso aditivo de a (u opuesto de a). 1 3. Si a ≠ 0, es llamado inverso multiplicativo de a (o recíproco de a). a 1 Definiciones: a-1 =. a 132 132  Área Cientifica Matemática Ejemplo: 1) ( 7 x 5 ) 7 = 7 ( 7 x 5 ) propiedad conmutativa. 2) 9 ( 4 + 5 ) = ( 4 + 5 ) 9 propiedad conmutativa. 3) ( 4 x 5 ) 4 = 4 ( 5 x 4 ) propiedad asociativa. La recta Real o Numérica Es posible asociar el conjunto de los números reales con el conjunto de puntos en una recta de modo que a cada número real le corresponda un punto y cada punto de la recta, le corresponda exactamente un número real. Para ello se escoge un punto arbitrario llamado el origen y se asocia con él, el número real 0. los puntos asociados con los enteros queda determinado al marcar segmentos de recta espaciados de igual longitud a cada lado de 0. -3 -2 -1 0 1 2 3 Observaciones: 1) Los números que corresponden a los puntos del lado derecho de 0 son llamados números reales positivos y del lado izquierdo negativos. Orden y Desigualdades: Orden: Si a y b son reales y a -b es positivo, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b, y si a –b es negativo se dice que b es mayor que a y se escribe b > a. Desigualdades: Los símbolos < ó > se llaman signos de desigualdades y las expresiones b < a; a > b se llaman desigualdades. Ejemplo: a. - 2 < 1 dado que 1 + 2 es positivo. b. –5 < 0 dado que 0 + 5 = 5 es positivo. Intervalos: Los intervalos son conjuntos especiales que tiene una representación gráfica particular, los hay de cuatro tipos: a. Intervalo Abierto: se denota (a, b), se define como {x | a < x < b} y se representa por: ( ) a b b. Intervalo Cerrado: se denota por [a, b], se define como {x | a ≤ x ≤ b} y se representa por: [ ] a b c. Intervalo Semi-Abierto o Semi-Cerrado: Ejemplo: (a, b] = {x | a < x ≤ b} y se representa por: ( ] a b 1 133 Dirección General de Admisión Temario d. Intervalo de Extremo Infinito: Ejemplo: (- ∞ , a] = {x | x ≤ a} (a, ∞) = {x | x > a} Se representan respectivamente por: ] -∞ a +∞ ( -∞ a +∞ Valor Absoluto: a si a ≥ 0 |a| = a si- a < 0 Ejemplo: 1. 3 =3 3. - 2 = - (-2) = 2 2. 2 2 =2 2 Potencias y Exponentes: Notación: Toda potencia consta de una base y un exponente, be, donde b es la base y e el exponente. Definición: Si n ∈ Z + entonces a n = 14 a ⋅4⋅ a2 a4 ⋅ a4 ⋅ ⋅4 ⋅ ⋅ ⋅4 a3 n veces Ejemplo: 3 ⎛1⎞ ⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞ 1 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= (-3)3 = (-3) (-3) (-3) = -27 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠⎝ 2⎠⎝ 2⎠ 8 Propiedades de las Potencias: Si a, b son reales y m, n enteros positivos; a, b ≠ 0: 1) am an = a m+n 2).(am)n = a mn 3.(ab) n =a n b n n ⎛a⎞ an am m–n 4) ⎜ ⎟ = n ,b≠0 5. =a 6. a0 = 1 ⎝b⎠ b an ( b) m 1 m ⎛ 1 ⎞ m 7. a-n = 8. b n = ⎜b n ⎟ = n = n bm a n ⎝ ⎠ Ejemplo: 1) a3 ⋅ a 4 = a 7 a5 2) = a3 a2 134 134  Área Cientifica Matemática MÓDULO 2: OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS, ECUACIONES LINEALES, ECUACIONES CUADRÁTICAS E INECUACIONES Objetivos: 1. Simplificar fracciones algebraicas. 2. Determinar el mínimo común denominador de dos o más fracciones algebraicas. 3. Sumar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas. 4. Simplificar fracciones algebraicas compuestas. 5. Resolver ecuaciones lineales enteras fraccionarias y con dos incógnitas. 6. Emplear el concepto de ecuación lineal en la resolución de problemas de aplicación. 7. Resolver ecuaciones cuadráticas por los métodos de factorización, completar cuadrado, fórmula general. 8. Resolver inecuaciones enteras y fraccionarias. 9. Resolver inecuaciones lineales con valor absoluto. 10. Resolver inecuaciones de segundo grado del tipo ax2 + c ≥ 0 ó ax2 + c < 0 con a ≠ 0. Operaciones con Fracciones algebraicas. Las expresiones algebraicas que involucran la operación de división se llaman expresiones fraccionarias. Algunos ejemplos son: a a 2+x b + 2c; ; b x2 - 4 2+ b a El tercer ejemplo es lo que se denomina fracción compuesta o compleja, pues posee fracciones como términos en su numerador o su denominador. Las expresiones fraccionarias aparecen con bastante frecuencia y a menudo se hace necesario reducir las fracciones compuestas a fracciones simples o cambiar la forma de las expresiones de manera que pueden combinarse por adición en una sola fracción. Definición: Se dice que un polinomio A divide a un polinomio B, si A es un factor de B. Ejemplo: (a + b) divide al polinomio a2 – b2 pues a2 – b2 = (a – b) (a + b) y a + b es un factor de a2 – b2. Definición: El mínimo común múltiplo (M. C. M) de un conjunto de polinomios, es un polinomio L, tal que L es dividido por todo múltiplo común de M. Ejemplo: La expresión ab, 2a2, 6b2, 4a2 b3 tienen como M. C. M., 12 a2 b3. 143 143 Dirección General de Admisión Temario Pasos para encontrar el M. C. M. De un conjunto de expresiones: 1. Se escribe cada expresión en forma factorial: ab, 2a2, 2 ∗ 3 b2, 22 a2 b3. 2. El M. C. M. debe contener a cada parte a la mayor potencia con que aparece en cualquiera de las expresiones dadas: (22) (a2) (b3) (3) = 12 a2 b3 M. C. M. Observaciones: Se pueden combinar cualquier número de fracciones, si se hallan primero las fracciones equivalentes, todas las cuales tengan un mínimo denominador. Operaciones con Fracciones Algebraicas 2 b 3a 1) Combinar + 2+ 2 3ab 2a b a) El M. C. M. de los denominadores es 6 a2 b2. b) Luego: 2 b 3a + 2+ 2 = ( 2 ( 2ab ) + b 3b 2 + 3a 6a 2 ) ( ) 3ab 2a b 6 a 2 b2 4ab + 3b3 + 18 a 3 = 6 a 2 b2 x 2 - 6x + 9 ( x - 3 )2 2) ⋅ 2x - 2 = ⋅ 2 ( x -1 ) 2 x -1 x -3 ( x +1) ( x -1) x -3 2 ( x -1) ( x - 3 ) 2 = ( x + 1 ) ( x -1 ) ( x - 3 ) 2 ( x -3) = x +1 3) Divida: x 2 − y2 x-y (x+ y)(x-y) x ( x + 3y ) entre 2 = ⋅ x + 3y x + 3xy x + 3y x-y = x(x+ y) 2 a b a - b 2 - b a = ab 4) Fracción Algebraica Compuesta: 1 1 b - a 3 3 3 - a b 3 a 3 b 3 144 144  Área Cientifica Matemática ( a - b ) ( a + b) a3 b3 = ⋅ ab ( b - a ) ( a 2 + ab + b 2 ) - ( b - a ) ( a + b ) a 2 b2 = ( b - a ) ( a 2 + ab + b 2 ) a 2b2 ( a + b ) = 2 a + ab + b 2 Ecuaciones Lineales Ecuaciones: Igualdad entre dos expresiones algebraicas. Ejemplos 1. x + 3 = 0 2. x2 – 5 = 4x 3. (x2 – 9) 3 x +1 = 0 Observaciones: 1. El valor o los valores de la variable que satisface la ecuación se llaman raíz o solución de la ecuación. 2. Atendiendo a la solución o raíz se tienen 3 tipos de ecuaciones: Identidad: se verifica para cualquier valor. Condicional: se verifica para ciertos valores la variable; Contradictoria: la Igualdad no se verifica para ningún valor. 3. Resolver una ecuación, significa encontrar todas las soluciones. 4. El método para resolver una ecuación es transformar la ecuación original en otra equivalente a la anterior de manera más sencilla que la que le precede y terminar en una ecuación que permita la solución de la misma. Definición: Una ecuación de 1er grado en una variable es una ecuación que puede ser escrita en la forma ax + b = 0 donde a ≠ 0. Ejemplo: Resuelva la ecuación: 2x - 5 = 3 Solución: 2x - 5 = 3 2x = 3 + 5 2x = 8 x=4 145 145 Dirección General de Admisión Temario Observación: A una ecuación del tipo ax + b = 0 se le llama ecuación lineal en x. Definición: Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es de la forma ax + by = c donde a, b, c son constantes. Ejemplo: 1. 3x – 4y = 20 2. 2x – y = 2 3. x – y = 4 Observación: Una ecuación de 1 er grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Fórmula: Una ecuación que expresa una propiedad o relación entre magnitudes. Ejemplo: Resuelva para la variable c la siguiente fórmula S = C ( 1 + it ) S = C 1 + it Aplicación de la ecuación de primer grado. Las calificaciones de un estudiante son 64 y 78. ¿Cuánto debe ganar en una tarea o examen para obtener un promedio de 80? Solución: a) Sea X la calificación de la tarea o examen. 64 + 78 + x b) El promedio de los 3 exámenes es: 3 64 + 78 + x c) Debe tener 80 de promedio: = 80 y se encuentra que x = 98. 3 Ecuación Cuadrática Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 +bx +c = 0, donde a, b y c son reales ya≠0 Métodos de Resolución de la Ecuación Cuadrática: 1. Por factorización, resuelva: 3x 2 + x – 10 =0 Factorización : 3x 2 + x – 10 = 0 (3x – 5) (x + 2) = 0 ⇒ 3x – 5 = 0 y x + 2 = 0 5 X1 = Y X 2= -2 3 146 146  Área Cientifica Matemática −b± b 2 − 4 ac 2. Por la fórmula Cuadrática: x = , resolviendo 3x 2 – x – 10 = 0, por tanto 2a a = 3, b = -1, c= -10 − (− 1) ± (− 1)2 − 4 (3 )(− 10 ) 1 ± 1 + 120 x = = 2 (3 ) 6 1 ± 121 x = 6 1 ± 11 x= 6 1 + 11 1 − 11 Luego: x 1 = y x2 = 6 6 x 1= 2 y x 2 = -10/6 = -5/3 3. Com pletando Cuadrado: 3x 2 - x –10 = 0 3x 2 – x = 10 3x 2 x 10 − = 3 3 3 1 1 10 1 x2 − x+ = + 3 36 3 36 2 ⎛ 1⎞ 121 ⎜x − ⎟ = ⎝ 6⎠ 36 1 121 11 x− =± =± 6 36 6 1 11 x = ± 6 6 1 11 1 11 5 x1 = + = 2 y x2 = − = − 6 6 6 6 3 Inecuaciones Lineales Y Cuadráticas Para trabajar Inecuaciones o desigualdades debemos conocer las 4 propiedades fundam entales: Sean a, b, c ∈ IR. 1. Si a > b y b > c, entonces a > c. 2. Si a > b, entonces a + c > b + c. 3. Si a > b y c > 0, entonces a c > b c. 4. Si a > b y c < 0, entonces a c < b c. Solución de una Inecuación: Si tenemos una desigualdad o inecuación en x, y obtenemos un enunciado verdadero cuando un número real a, se reem plaza por x, entonces a se denomina solución de la inecuación o desigualdad. 147 147 Dirección General de Admisión Temario Observaciones: 1. Resolver una inecuación significa encontrar todas las soluciones. 2. Para resolver una desigualdad se procede en forma análoga a las ecuaciones, esto es, se reemplaza por una cadena de desigualdades equivalentes hasta llegar a una para la cual la solución es obvia. Ejemplo: 1. Resuelva: -3x + 4 > 11, y de la solución en forma de intervalo, gráfica y en conjunto. Solución: -3x + 4 > 11 -3x > 11– 4 x < −7 3 x ∈ (– ∞, − 7 ) 3 ) | -∞ −7 0 +∞ 3 { x ∈ IR : x < − 7 3 } 4 - 3x 2. Resuelva − 5 ≤ < 1 presente la solución en forma de intervalo, gráfico y en conjunto. 2 Solución: 4 - 3x −5≤ 3 3 ( x ∈ 2 , 14 3 3 ] | (/////////////////] -∞ 0 2 3 14 3 +∞ { x ∈ IR : 2 < x < 14 } 3 3 148 148 Área Cientifica Matemática Inecuaciones con Valor Absoluto Para trabajar este tipo de inecuaciones debemos conocer las propiedades de los valores absolutos con desigualdades. Si a, b ∈ IR 1. | a | < b ⇔ -b < a < b. 2. | a | > b ⇔ a > b ó a < -b 3. | a | = b ⇔ a = b ó a = -b Ejemplo: Resuelva | x - 3| < 0.1 Por la propiedad 1 se tiene que: -0.1 < x – 3 < 0.1 Solución: (2.9, 3.1) o -0.1 + 3 < x < 0.1 + 3 {x | 2.9 < x < 3.1} 2.9 < x < 3.1 (/////////////////////////////////////) 2.9 3.1 Inecuaciones del Tipo ax2 + C ≥ 0 Para este tipo de Inecuaciones se puede despejar x2 y luego aplicando la propiedad. x2 > d ⇔ |x| > d1/2 ⇔ x > d1/2 ó x < -d1/2 1 1 1 2 2 8 2 ⎛ 8 ⎞2 ⎛ 8 ⎞2 ⎛ 8⎞2 Ejemplo: Resolver -3x + 8 ≥ 0 ⇒ -3x ≥ -8 ⇒ x ≤ ⇒ |x| ≤ ⎜ ⎟ ⇒ - ⎜ ⎟ ≤ x ≤ ⎜ ⎟ 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎛ 8 ⎞2 ⎛ 8 ⎞2 ⎟ Solución: ⎜ - ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎟ ⎝ ⎠ 149 149  Área Cientifica Matemática MÓDULO N° 3 : PROPORCIONES Y PROPORCIONALIDAD Objetivos 1. Simplific ar razones. 2. Dis tinguir l as proporci ones directas y las i nvers as. 3. Resolver problemas de apli cación de proporción direc ta e in versa. 4. Definir el concepto de tanto por cient o. 5. Resolver problemas de apli cación sobre el tanto por ciento. Razones Razón: Se defi ne como razón la comparación entre dos canti dad es de la misma esp ec ie. Est a compar ación puede ser por m edio de la diferencia (razón aritmética) o por medio del coc iente (razón geométrica). Nos limitarem os al estudio de la razón geométrica que llamaremos si mpl emente razón. a Así, la r az ón del númer o a al número b es el cociente indicado el cual se puede exp resar a:b , y se lee: “a” b es a “b”. Los n úmeros a y b reciben el nombre de antecedente y consecuente respectivament e. Cabe resal tar, entonces, que toda razón tiene dos part es. Ejemplo: Exprese la razón que hay de 3 pi es a 9 pulgadas. Recordan do que las c antidades a comparar deben estar en la 36 pulg. 4 misma un idad de medida, esta razón se expres a como: = ó 4:1. 9 pulg. 1 3 pies 4 Lo qu e también puede calcu larse como: = ó 4:1. 3 pies 1 4 Hay t ipos especiales de razón como lo son la veloci dad que s e da en Km /hr, m/ s, etc. Simplificación de Razones: Las Razones son consi deradas como una fracció n y por el lo podemos afirmar q ue si multiplic amos o dividimos am bos términos de una razón por u n mis mo número, la razón no varía. Si en la 15 15 5 razón se divide ambos miem bros por 3 tenemos: = reduc ida a su más mínim a expresión. 12 12 4 a c Proporción: Una prop orción es l a igualdad entre d os razones. = , donde a y d son l os términos extremos, b d c y d son l os t érminos medi os y se puede escribir a:b = c:d. 8 10 3 x Ejemplo: = ; = 4 5 4 5 155 155 Dirección General de Admisión Temario Propiedades de las Proporciones: En c ualquier proporció n el produc to de los medios es igual al p roducto de los ext remos. Ejemplo: x 2 Encuentre el valor de x si: = 15 5 Solución : 5x = (15)(2) 30 x = 5 x = 6 Proporción Directa e Inversa Proporción Directa: Si dos variables están relaci onadas de tal forma que el aumento o la d ismi nución de una causa el aumento o disminuc ión de la otra, entonces se dice q ue la primera varía directamente con la otra. Así cuando y varía direc tamente con x , podemos esc ribir: y = kx ( k es la. c onstante de proporc ionalidad). Ejemplo: a. La longitu d de u na circun ferencia C es direc tamente proporcional a su diámetro C = Kd. (mayor diámetro, mayor longitud ). b. La distancia recorrida por un móvil en tiempo const an te es direct amente prop orcional a su velocid ad d = KV. ( a menor velocidad, menor distanc ia r ecorri da). Proporción Inversa: Si dos var iables est án relacionadas d e tal forma que el aumento o d isminución en una causa la disminu ción o aumento de la otra, entonces se dice que la primera varía inversamente c on la otra. k Cuan do Y varía in versamente con x , tenemos: y = (k es l a con stante de proporcionalidad). x Ejemplo: k A temperatura c onstante, el volumen de una masa de gas es inversamente pro porcional a la presión V= p (a mayor presión, men or vol umen). Problemas de aplicación: El costo C de producir x número de artícu los varí a directament e con x. Si cuesta B/. 560.00 p roducir 70 artículos, ¿cuál es el valor de C c uando x = 400? 156 156  Área Cientifica Matemática Solución: C = kx L uego: 560 = k (7 0) C = 8 (400) 560 =k C = 3,200.00 70 k= 8 C uesta B/. 3,200.00 prod ucir 400 artíc ulos. 1) Y v aría inversament e c on x. Encu en tre la constante de proporc ionalidad cuando y = 15 y x = 1/3. Solución: k y = x k 15 = 1 3 1 (15 ) = k 3 k = 5 2) Z v aría directamente propor cional con x. E ncuentre la cons tan te de pr oporcion ali dad c uando Z = 4 y x = 2 3. Solución: z = kx ⎛2⎞ 4= k ⎜ ⎟ ⎝3⎠ 12 =k 2 6= k Tanto Por Ciento: Tanto por ci en to de un númer o es una o v arias de las cien partes iguales en que se puede 20 1 dividir el núm ero. El símbolo es % y si gnifica dividir por c ien. Por ejemplo 20% = =. 100 5 Ejem plo: Al C alcular el 20% de 80 es d ividir 80 en cien partes y lu ego t omar 20 de esas partes. 80 4 4 20 = ⇒ x 20 = 16 , se puede hacer rápidamente calculando: x 80 = 16. 1 00 5 5 100 Proble ma s de A plicación de Tanto Por cie nto: Los problemas de tanto por c iento se pu eden resolver uti lizando razones y propor ciones. En un pr oblema de tanto por c iento siemp re encontramos tres datos c onocidos y uno desconoc ido. El dato desconoci do puede ser un núm ero dado c omo total; un tanto por c iento, o u na parte de un número. 15 7 157 Dirección General de Admisión Temario Ejemplo: 75 x 75 x 100 a) ¿Qué % es 75 de 1250? Resolviendo como proporción = ⇒ x = = 6%. 1250 100 1250 35 x 180 x 35 b) Encuentre el 35% de 180. = ⇒ x = = 63. 100 180 100 23 46 100 x 46 c) ¿De qué número 46 representa el 23%?. = ⇒ x = = 200. 100 x 23 d) Pedro tenía que pagar B/. 90.00, si le rebajan el 5% de su deuda. ¿Cuánto tiene que pagar? 90 x 5 45 Solución: x = = = 4.50 100 100 Tiene que pagar 90.00 - 4.50 = B/. 85.50 158 158 Dirección General de Admisión Temario MÓDULO 4: LA RECTA; LA CIRCUNFERENCIA; LA PARÁBOLA; LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA. Objetivos 1. Definir el con cepto de p endiente de una recta. 2. Determinar la ecuación de la rect a: a) Dados dos puntos de ella. b) Dado un punto y la pend iente. 3. Encontrar la ecuación de la recta que es paralela o perpendicular a u na recta dada. 4. Determinar la ecuación c anónica y la ecuaci ón general de la c ircunferencia con centro en (0,0), conociendo el rad io. 5. Determinar la ecuación c anónica de una parábola con vértice en (0,0) conociendo algu no d e su s elementos. 6. Dada la ec uación general de la parábola con vértice en (0,0) d et er mi nar sus elemen tos. 7. Determinar la ecuación c anónica de la elipse c on centro en (0,0) conociendo al gunos de sus elemen tos. 8. Dada la ec uación general de una elipse con centro en (0,0) determinar s us elementos. 9. Determinar la ecuación c anónica de la h ipérbola con cent ro en (0,0) c onociendo algunos de sus elementos. 10. Dada la ec uación general de una hipérbola con centro en (0,0) determinar sus elementos. 11. Dada una de las ecuaciones generales identificar el ti po de lu gar geométrico a que corresp onde. La Recta: Una ecuac ión de la forma y = mx + b, donde m y b son n úmeros reales, puede represent arse como una recta en el plano c artesiano, en ella m es la pendiente y b la intersec ción con el eje y. Ejemplo: y = 3x + 5, la pendiente es 3 y el punto de intersec ción es (0,5). Pendiente de una Recta: Dados dos pu ntos cualesquiera A(x1 y 1) y B(x 2, y2 ) de una lín ea rec ta, el valor de la y2 − y1 pendiente (denotada por m) es: m= x2 − x1 Recordemos qu e la pendien te se puede definir como la tangente del ángulo de inclinación de la recta, Y... m =tan θ 160 160  Área Cientifica Matemática Ejemplo: Dado los puntos A (-2, -1) y B(-3, 2). Encuent re la p end iente. 2 − ( −1) 3 m= = = −3 − 3 − (2) − 1 Ecuación de la Recta; La ecuación de la recta que pasa por un punto P(x,y) y tiene pendiente m es: y- y1 =m (x-x 1) A esta ecuación se le llama punto pendiente. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los punt os A(1, 5) y B(-1, 1) Solución: 5 −1 4 m= = =2 1 +1 2 y – 5 = 2(x-1) y = 2x +3 ⎛ 2⎞ 1 Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P⎜ 3, − ⎟ , m = ⎝ 5⎠ 3 Solución: ⎛ 2⎞ 1 y − ⎜ − ⎟ = (x − 3 ) ⎝ 5⎠ 3 2 (x − 3) y+ = 5 3 ⇒ 15y – 5x = -21 Rectas Paralelas y Perpendiculares: Si dos rect as L1 y L2 tienen p end ientes respectivas m1 y m 2 se tiene lo siguiente: a. L1 y L 2 serán paralelas si sus pendientes son ig ual es ; m1 = m 2 b- L1 y L 2 son perpendicu lares si una de sus pendientes es el opuesto del recip roco de la otra; 1 m1 = − m2 Ejemplo: Encon trar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1 ,-2) y es perpendic ular a la recta 2x + 5y + 8 = O 2 8 2 x - ⇒ m = - La ecu ación de la r ecta es: y − (−2 ) = (x − (− 1)) 5 y= ─ 5 5 5 2 2y - 5x = 1 161 161 Dirección General de Admisión Temario La Circunferencia: La circunferencia es el conjunto de todos los puntos P(x,y) cuya distancia a un punto fijo llamado centro C(h,k) es constante. Esta distancia constante se denomina radio y se denota r. La ecuación general de una circunferencia es x 2 + y2 + Dx + Ey +F = 0 y la forma canónica (x-h)2 + (y-k)2 = r2 En particular, si el centro es el origen (0,0), la ecuación se reduce a: X2 + Y2 = r2 (Forma Canónica). Ejemplo: Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro (0,0) y que pasa por el punto ( 0, 5). Solución: como el punto (0 ,5) es parte de la circunferencia éste satisface a la ecuación X2 + Y2 = r2,por lo tanto (0)2 + (5)2 = r2 de esto r2 = 25, que finalmente obtenemos x2 + y2 = 25 Práctica I. Escriba las ecuaciones de las rectas que tienen las siguientes condiciones: a) Pasan por los puntos A (-1,4) y B (3,2). b) La pendiente m = -4 y corta al eje y en el punto (0,7), c) La pendiente m = -0.25 y pasa por el punto (0,0), d) Es perpendicular a la recta 3x+y-9=0 y pasa por el origen. e) Es paralela a la recta 4x - 9y + 5 = 0 y pasa por el punto (2,3). f) Pendiente 0 y con ordenada al origen 5. g) Pasa por el punto (3,-3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1, 2) y (3,-1). h) Determine el valor de k en la ecuación de la recta kx -3y = 0 que es perpendicular a la recta y= 2x + 4 i) Determine la ecuación de la recta con pendiente m = 3 y que intercepta a y en -2. j) Determine la ecuación de la recta con intercepción con el eje x, en 1, y el eje y, en - 3. k) Determine la ecuación de la recta que pasa por (4, 5) y es paralela al eje x. l) En la ecuación 3x - 4y = 12, determine la pendiente y la intercepción de la recta con los ejes. II. Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene las siguientes condiciones: a) Centro (0,0), y pasa por el punto (-7,-9). b) Centro en el origen y es tangente a la recta y = 4. c) Con centro (0,0) y la recta 2y = 3x - 5 se intercepta con la circunferencia en el punto de intersección con e! eje y, d) Centro en el origen y radio igual a 7. e) Indique ¿qué representa la ecuación (x -0)2 +(y -0)2 = 0? f) Determine la ecuación de la circunferencia con centro (0,0), y que pasa por el punto P (-7,9). g) Determine el valor de y, si x = -3 en la ecuación x2 + y2 = 25. 162 162  Área Cientifica Matemática h) Dada la ecuación x 2 + y 2 = 100. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente a esa circunferencia en el punto (x,8) y que tiene pendiente m = 3. Respuesta: y - 3x + 10 = O , y - 3x - 26 = 0. La Parábola La función f(x )= ax 2 + bx + c;. a ≠ 0, se puede representar en una gráfica llamada Parábola, Definición: una Parábola es el conjunto de todos los puntos A(x,y) del plano que equidistan de una recta fija L y de un punto fijo F. Elementos de la Parábola: La recta L se llama directriz y el punto fijo F es el foco y además tiene otro elemento V llamado vértice. que es el punto medio entre el foco y la directriz. Eje de una parábola: recta que contiene al foco y que pasa por el v értice A A′ = AF F (0 , p ) A( x , y ) A′ ( x , − p ) V(0,0) L La ecuación general de la parábola con vértice en el origen (0,0) es x 2 + Ey = 0 con eje x = 0 y cuya ecuación canónica es x 2 = 4py ; donde p es la distancia del foco al vértice, la ecuación general de la parábola con vértice en el origen (0.0) es y 2+Dx = 0 con eje y=0 y cuya ecuación canónica es y 2 = 4px ; donde p es la distancia del foco al vértice. La Parábola con vértice en (0,0) puede tener cuatro posiciones básicas dependiendo del eje donde se encuentre el foco, si está sobre el eje horizontal o el o vertical, así tenemos el siguiente cuadro: Gráficam ente la Ecuación Vértice Eje Foco Directriz parábola debe abrir X2 = 4P y (0,0) X = 0 (0, P) Y = – P Hacia Arriba X2 = - 4P y (0,0) X = 0 (0, -P) Y = P Hacia Abajo Y2 = 4Px (0,0) Y = 0 (P, 0) X = – P Hacia la derecha Y2 = - 4P x (0,0) Y = 0 (-P, 0) X = P Hacia la Izquierda 163 163 Dirección General de Admisión Temario La Hipérbola Definición: Una hipérbola es el conjunto de puntos P(x,y) del plano, tales que la diferencia de las distancias entre dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es una constante. P d (PF1 ) − d (PF2 ) = K F2 V2 V1 F1 Elementos de la Hipérbola: Sobre el eje de la hipérbola se encuentran los Focos y los Vértices de ella. Además se le llama eje transversal Una hipérbola consta de dos curvas separadas. El centro de la hipérbola es el punto medio del segmento F1, F2. La definición de la elipse y la de la hipérbola son muy parecidas con excepción de la palabra "suma" para la elipse y "diferencia" para la hipérbola; por ello sus ecuaciones difieren en los signos. La ecuación general de la hipérbola es: Ax2 + Cy2 + F = 0; con A y C de signos contrarios. x2 y2 La ecuación canónica de la hipérbola con eje x es − = 1 donde c2 =a2+b2. a2 b2 y2 x2 La ecuación canónica de la hipérbola con eje y es − = 1 = 1 donde c2 = a2 +b2 a2 b2 La hipérbola solo intercepta el eje en el cual están los focos, este eje pasa por su centro y se llama eje transverso, el eje perpendicular al transverso se llama eje conjugado. 144 168  Área Cientifica Matemática L as e cu ac io ne s y e le m e nto s de la hipé rbo la co n ce ntr o e n (0,0) , e stá n da da s e n e l siguie nte cua d r o. E x tre m o d el Ej e E xt rem o s d e l Ec u ac ió n Vé rtic e Ej e Fo co T ran s ve rs o Ej e C o n ju g ad o x2 y2 2 - = 1 ( ±a, 0) Eje X, y = 0 (± c, 0 ) ( ±a , 0) ( 0, ±b) a b2 2 2 y x 2 - 2 =1 ( 0, ± a ) Ej e Y , x = 0 (0, ±c) ( 0, ±a ) ( ±b, 0) a b As ín tota s: R e cta s que pa sa n p o r e l ce ntr o d e l o s e j e s de co o rde na da s. Ve r fi gura. L as e cu ac io ne s de es as r e cta s se pue de n o b te ne r de la s e cua cio ne s ca nó ni ca s as í: 2 2 x y ⎛ x - y⎞ ⎛x y⎞ - 2 = 0 ⎯ ⎯→ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ = 0 a 2 b ⎝ a b⎠ ⎝a b⎠ De d o nde la s e cua cio n es d e la s a sínto t as so n : b b y = − x y = x a a b a 2 y E je m plo 1: Obte ne r l o s vé rti ce s, fo co s y a sínto ta s de la hip é rbo la cu ya e cua ció n e s x 2 - = 1 9 C o m o x 2 e s po sitiv a , e sta hipé rbo la tie ne e je tra nsv e rso ho riz o nta l, a = 1 , b = 3 , c = 10. V é rtice s ( ±1, 0). F o co ( ± 1 0 , 0). A sínto ta s y = 3x , y = - 3x. E je m plo 2 : Ha lle la e c uac ió n de la hipé rbo la co n ce nt ro (0,0) , v é rtic e ( ±3 , 0) y fo co (± 5, 0). Sí e l v é rtice y el fo c o e stá n e n e l e j e x , la hipé r bo la tie ne e l e je tr a nsve r sa l ho riz o nta l. a = 3, c = 5, b = 4. La ec ua ció n es x2 y2 - = 1 9 16 145 169  Área Cientifica Matemática MÓDULO 5: RELACIONES Y FUNCIONES Objetivos 1. D eterminar el domi no y el rango de una relación. 2. Clasificar fun ciones de acuerdo a la expr es ión que la d efine. 3. Analizar el comport amiento de la gráfica de una funció n c uadrática. 4. D eterminar el domi nio de cada una d e las func iones algebraicas especiales. 5. D efi nir funci ón exponenci al. 6. E nunciar l as pr opiedades generales de la g ráfica de l a func ión exponenc ial. 7. E nunciar l as pr opiedades generales de la g ráfica de l a func ión logarítmica. 8. D ar la defi nición de logarit mo. 9. Aplic ar las propiedades de los logaritmos. 10. Resolver problemas de aplicación de las funci ones exponenc ial es y logarítmic as. Producto C artesiano: Sean A y B dos c onjun tos, el c onju nto A x B = { (x, y) / x ∈ A : y ∈ B } se le llama produ cto cartesiano, los elementos del conjunto reciben el nombre de par ord enad o. Relación Definición: Un a relació n es un c onjun to de pares or denados, de númer os r eales. El conjunto de los primeros elementos de los pares se llama dominio de la relaci ón y el c onjun to de los segundos el ementos se llama r an go d e la relac ión. Nota: Rango, recorr ido, codominio, conjunto de imág enes s ignifican lo mismo. Ejemplo: El con junto de pares de números: { (3,4),(3,5),(6,10),(8,15)} define un a relación. El c onjun to {3,6,8} es el dominio y el conjunto {4, 5 , 10, 15} es el rango. Nota: Una r elac ión se puede representar por medio de una ecuación. Función Definición: Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio le correspon de un único elemento del rango. E sto es q ue el con junto de los p ares ordenados no puede contener dos pares diferentes con el mismo primer elemen to. Nota: T oda fu nción es una relación , pero no toda r elac ión es una función. Ejemplos: 1. R1 = {(0,1), (2,3), (4,5), (6,7)} d efin e un a func ión, pues no hay dos par es c on el primer elemento igual. 2. R 2 = {(2,-1), (2,1), (4,-5), (7,2), (9,-3)} no define una func ión pues hay par es d ifer entes con el primer elemen to igual. 147 171 Dirección General de Admisión Temario Una función queda definida por su dominio y la ley de correspondencia asociada a él, que indica cómo se obtiene la imagen de cada elemento x que está en el dominio de la función. Con frecuencia nos referimos a una función en general de una manera simbólica “y es una función de x” y escribimos:. y = f (x) En esta notación, el símbolo f representa la función. x f(x) f Entrada Salida (dominio) (imagen) Denotaremos al Dominio por Df y al Codominio por Cf. Ejemplo: Sea la función f(x) = 2x3, cuyo dominio es IR, si definimos como dominio a los elementos del conjunto D = {0, 1, 2, 3} entonces el conjunto de pares ordenados asociados a esta serán: {(0,0), (1,2), (2,16), (3,54)}. Si f(x) = 2x3, el dominio {0, 1, 2, 3} define el conjunto {(0,0), (1,2), (2,16), (3,54)} Ejemplo: En cada una de las funciones dadas encontrar el dominio y el rango de la función: 1. f(x) = x2. Df = R Para toda x ∈ R, sabemos que x2 ≥ 0, luego Rf = [0, ∞) En la práctica, un método para encontrar el recorrido es: a) Como y = f(x), escribimos y = x2. b) Despejamos x en función de y, obteniéndose: x = ± y. c) Determinamos el conjunto de todos los valores “y” para los cuales la ley de correspondencia este bien definida. d) En este caso: x = ± y ⇒ y ≥ 0 ⇒ Cf = [0, +∞).. Nota: Existen funciones para los cuales el dominio y el codominio quedan restringidos a un subconjunto de números reales. 2. Para la función f(x) = x 2 - 4 , debemos buscar valores de x que hagan posible que la raíz cuadrada sea un número real. 148 172  Área Cientifica Matemática Se debe cumplir que para toda x en el dominio de la función f, x2 – 4 ≥ 0 ⇒ x2 ≥ 4 ⇒ |x| ≥ 2 ⇔ x ≤ -2 ó x ≥ 2, luego, Df = (-∞, 2] ∪ [2, ∞). Para el recorrido procedemos de la siguiente manera: y= x 2 - 4 ⇒ x 2 = y2 + 4 ⇒ x = ± y 2 + 4 se observa que por medio de la ley de correspondencia (x en función de y), “y” puede ser cualquier número real, pero como “y” es igual a y = x 2 - 4 y la raíz cuadrada es positiva, entonces necesariamente es y ≥ 0, por lo tanto, Cf = [0, +∞). x 3. f(x) = debemos buscar valores de x para los cuales el denominador sea diferente de cero. Df = x -1 IR – {1} Para el recorrido procedemos de la siguiente manera: x y y= ⇒ y(x – l) = x ⇒ yx – y = x ⇒ yx – x = y ⇒ x (y – 1) = y ⇒ x = x -1 y -1 entonces: y ≠ 1, el Cf = R – {1} Clasificación de Funciones: A. Funciones Algebraicas: Definición: Se dice que una función de una variable x es algebraica si x esta sometida a un número finito de una o varias de la operaciones básicas del álgebra. Entre las funciones algebraicas tenemos: a) Función Constante: Esta función le asigna el mismo número real a cada elemento del dominio. f(x) = k y K ∈ R F(x) = k k Df = R Cf = k b) Función Polinomial: esta función esta definida por un polinomio cualquiera y se expresa como: f(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x + ao. Su dominio es todo R 149 173 Dirección General de Admisión Temario Dentr o de la s func iones polinom ia les, se ti en e: 1. Fu n ció n Lin eal: E sta función e s de la form a : f(x ) = m x + b; m, b ∈ R , m ≠ 0, donde D f = R y el C f = R. E je mp lo : y = 3x + 1 C uya gr áfic a e s: N o ta: La grá fica de una funció n l ine al e s un a r e cta en e l pl ano ca rtes ia n o. 2. F un ció n Cu a d rática: E sta fu nción e s de la for ma : f( x) = a x 2 + bx + c , a ≠ 0, donde a , b, c ∈ R. D f = R N ota : 1) La grá fica de una func ión c ua drá tica s e pue de di buja r ta bula ndo alg unos p ar e s orde na dos, lue go unié ndolos por me di o d e u na c urv a sua ve y c ontinua cu ya s coor de na das sat isfa gan la e c uac ión cua drá tic a da da. 2) Cua ndo e l c oe fi cie nte de x2 e s pos itivo, la cur va a bre ha c ia a r riba ; cua nd o e s n eg at ivo, la curv a a bre ha cia a ba jo. 3) La gr áfic a de la funci ón cua drá tic a e s una pa rá bola. −b 4) El v ér tice de una pa rá bola e sta det er m ina do p or V( x, f( x) ) donde x =. 2a 5) El codom inio de pe nde de l v é rtice y h ac ia a don de a br e l a c urva ( ha cia a rrib a o ha ci a a ba j o). Ej em p lo : La función f de finid a por : f (x ) = - ½ x 2 – x + 4. S o lu ció n : Dom inio: D f = IR 9 ⎛ 9⎞ Codom inio: B usca m os e l vé r tice x = -1; y =. V ⎜ − 1, ⎟ 2 ⎝ 2⎠ Abr e ha ci a a ba j o y a que a = - ½ < 0. El codom inio se rá ; C f = ( -∞ , 9/ 2], cu ya grá fica es: 150 174  Área Cientifica Matemática Co m po rtam iento de la grá fica de una f unció n cua drá tica a trav és de l dis crim inante 2 2 Sea y = ax + bx +c. Haciend o y = 0, obtenem os la ecuación ax + b + c = 0 cuy as r aíces son: −b± b 2 − 4a c x 12 = 2a L a ex presión b 2- 4ac es el d iscrim inante de la ecuación. 1. Si b 2 – 4ac > 0, entonces la parábola corta al eje x en dos puntos a< 0 a >0 2. Si b 2 - 4ac = 0 entonc es l a par ábola ti en e v értice en el eje x a >0 a 0 en tonces la parábola corta al eje x en dos p untos, ad emás como a > 0. la curva se abre hacia arriba. P ( x) c). Función Racional: Es ta funci ón es de la forma f (x) = don de P(x) y Q(x) son polin omios. Por Q( x ) 2x 2 + x − 1 ejemplo, f (x ) = x +2 5 Ejemplo: determine el dominio y c odomi nio de f (x ) = 4x + 1 1 Solución: Df= {x∈ R| x ≠ − } 4 1 1 Nota: Para x = − , f(x) no está definida, luego − no es elemen to del d omini o d e la funci ón. 4 4 Para el c odomi nio, p rocederemos a des pejar la x 5 y= 4x + 1 Y (4x +1) = 5 = 5− y x= 4y luego C f= {y ∈ r / y ≠ 0}. 152 176  Área Cientifica Matemática Funciones Trascendentes: Definición: una función trascendente es aquella que no se p ued e expresar por u n número finito de operaciones algebraicas. Por ejempl o, las funciones exponenciales y logarít mic as. a-) Función Exponencial: es aquella en q ue la variable aparece como exponente. x ⎛1⎞ Ejemplo: f(x) = 2 , f(x) = ⎜ ⎟ , f (x ) = ex, x ⎝2⎠ Definición: sea a > o, a ≠ 1. La funci ón exponencial de base a, se define por f(x) = a x p ara t odo x ∈ R. El dominio está consti tuido por todos lo s números reales, es deci r Df=R El cond omin io l o forman los números reales positivos, es decir Cf=[0,∞) Ejemplo: Trace la gráfica de f(x)= 2x Observaciones: 1. Un a fun ción expon en cial no se defi ne para u na b ase negativa puesto que si a = - ½ y x = ¼, entonces (-½ )¼ no tiene senti do en R. Tampoco se defin e para a = 1, ya q ue en este caso 1x = 1 para todo x ∈ R y el comportamiento de la fun ción es diferente. 2. Para a > 1, la función f(x) = a x es creciente y x x para 0 < a < 1, la función f(x) = a es decrecien te (grafique y = (½) ) 3. La gráfica de f(x) = ax s iempre est a por en cima del eje x. 4. Para toda x, ax ≠ 0. 5. Como a0 = 1, (0, 1) es u n punto en la gráfica de cualquier fu nción exp onencial. x ⎛1⎞ x 6. La gráfica de y = ⎜ ⎟ es simét rica a la g ráfica de y = a co n respecto al eje y. ⎝ ⎠ a b) Función Logarítmica: Es aquella que se puede representar por y = loga X, donde la b as e a es positiva y a ≠ 1. La fu nción logarí tmica se define con base a la función exponencial. 153 177 Dirección General de Admisión Temario Definición: Sean a > 0, a ≠ 1. La función logarítmica de base a, se define por y = log a x ⇔ x = a y Gráfica de y = log 2 x. Observaciones: 1. La gráfica de y = log a x corta el eje x en el punto (1,0). 2. La gráfica y = log a x es creciente si a > 1 y decreciente si 0< a