Chapitre 9_Oscillateur En Régime Sinusoïdale Forcé PDF

S9 - Oscillateur en régime sinusoïdal forcé I) Excitation sinusoïdale intérêt 1 - Théorème de Fourier tout signal périodique est decomposable en une somme de s...

S9 - Oscillateur en régime sinusoïdal forcé I) Excitation sinusoïdale intérêt 1 - Théorème de Fourier tout signal périodique est decomposable en une somme de signaux sinusoïdaux Sait un signal b , T-périodique. On a : v( = Vocakwt + 41) avec w = Vo composante : continue ↳ cas (wt+ h) : fondamentale (k 1) = V cas (kut Yk) + : harmonique de rayon k Ex : reconstruction d'un signal créneau Doc1 On admet : · comaitre la reponse à me excitation sinusoïdale suffit pr reconstruir la reponse à tout type d'excitation si l'excitation est sinusoïdale de frequence f toute grandeurs Oscillante d'un systeme linéaire félongation intersité... · , , ascillent aussi à la fréquence f 2 - Representation spectrale Abscisse : frequence f Ordonné : Vk nu) · - R , et [Am] = Am caractérise l'amplitude de l'excitation. Solution générale u(t) : = un(t) up(t) + u est solution de +u 0 Etudier chapitrese · = au on a : limun = On cherche up de la même forme mathématique · que le second membre : Yp(t) Upm cas(wt + Upm) = Pourt assez grand : (UH(H) (plt) et : u(t) = Uplt) : C'est le regime sinusoïdale permanent, ou régime sinusaidale forcé, ou régime harmonique N u regime transitoire u(t) un(t) + Vp(t) = regime sinusoïdale forcé rtzupHt) 2t Dans It la suite , con suppose que le régime sinusoïdale permanent at atteint D'ai u(t) = Um cas (wt + Yo) Pour connaitre parfaitement u/H) , an doit determiner Un et Yo qui dependent de , u # Notation complexe 1 Complexe associé à Sinusoidale un signal -  Soit selt) Xm cas (wt 4) = + 4) Xmes(wt + On pose : (t) = = Xmejut avec /m = Xm est l'amplitude complexe Im · se(t) ↓ m ↑ ut + 4 2 x(t) On a : x(t) Re(x(t) = Xm (x(t)) = = 1(m) Y arg(Xm) Seule la partie réelle de celt) a un sens physique. Application 1: sel) Xm(in(t + 4) = = Donc selt) Xmej(wt = m + cas(wut) =met 4 -) avec Xm = -j/meil , a= Xmeiwt 2 Dérivation et intégration Quel est l'equivalent de la derivée de selt) pour su rotation complexe selt). On a : = - Xmwein(wt 4) + = - Xmwcas(wt y -) + D'ou-Xmwe j(wt y E) + - 4) Xmwe-j(ut + - = = jue et d jwe = Derivér se(t) revient à multiplier slt) par ju De même : (clt)dt = /xdt Integrer slt) revient à diviser se par ju  #V Reponse en charge ou en élongation u(t) = Um cos (ut + Yu) est la charge du condensateur au l'élongation du ressort. Objectif : obtenir Um et Qu 1- Amplitude complexe Notation complexe : Am cos (t) - > Am ejut j (wt + 40) u(t) -- u(t) Ume = = Um ejut i(H) + ju ut ült) --- wa u(t) On reprend l'equation differentielle : +ti + u = Am cost ((+1) Ame En utilisant = = um etut , on a Um = A soitx= la pulsation réduite e Alors Un : = Am 1-x + j - 2 Amplitude Um = (m) = ⑨ Etude asymptotique. Regime stationnaire : correspond àse 0 : Alors Um = Am · Six - + (très hautes fréquences) : UmO Interpretation : système mecanique : * à basse fréquence, la masse suit simplement l'oscilateur * à haute fréquence, la masse ne bouge pas (parinertie)  · Interpretation : circuit RLC * en regime stationnaire , le condensateur = interrupteur ouvert la bobine = un fil On a : Uc = Em tension du générateur * Hautes Fréquences (voir. 2 ) Condensateur fil bobine) interrupteur ouvert ↳V = 0 ⑥ Resonance Il y a résonance si l'amplitude de la réponse passe par un maximum quand la fréquence d'excitation varie Am Um(x) = est maximum si gix - g( = (-x22 et minimum H-22) + a = - (1) +1 = 0 x = 0 : c'est le régime stationnaire résonance ↓ -1 = 0 Pr : pulsation réduite de resonance = 1- ser existe si 1-)0 2 Q) Conditionderésonaneen est et x = 1- Il y a résonance si l'amortissement est suffisament faible Applications Q =**= E Ry = 2 = 15kz ② Pulsation de résonance Wr = xpwo = wo1 -  Wr Q x  3 Phase à l'origine Yu est le dephasage entre la réponse et l'excitation Yu = ang(m) = arg) -ang)1 -x j) = + Yu = arg(1 x2 -jx) - Valeurs particulières : · Yu( = 0) arg(1) = = o · y( 1) arg() = = = - · Yu() ~ang(-2) Yu · Q1(Q2 # Circuite linéaire en régime sinusoïdale Hypothèses : · Tension générateur ett) = Em cas (wt) · Circuit en régime sinusoïdal forcé 1- Impédance d'un dipôle passif ② Generalité soit un dipôle D passif , en convention récepteur : si D 3 - On admet qu'il existe un nombre complexe Z tel que u = z [ Loidahm complexe  Z : impédance complexe 2 = /E1 : impédance de D Unité : ohm L'impédance est les généralisation de la resistance pour le régime Sinusoidal foncé On définit aussi = E : admittance complexe Y /11 admittance = : Unité ~ :