Chapitre 5 – Polynômes PDF

BA AT AG TC H ———————————————————————– Sa br in e Chapitre 5 – Polynômes pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde em pl ai re de Table des matières 2 Ex 1 Généralités sur les polynômes Définition . . . . . . . . . . . . . ....

BA AT AG TC H ———————————————————————– Sa br in e Chapitre 5 – Polynômes pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde em pl ai re de Table des matières 2 Ex 1 Généralités sur les polynômes Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Fonction polynomiale, opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 TC H AT AG BA 1.1 4 in e 2 Division euclidienne et factorisation Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Factorisation dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 re de Sa br 2.1 6 em pl ai 3 Polynôme dérivé 7 Ex 4 Racines d’un polynôme Racines simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ordre de multiplicité d’une racine (appro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 H AT AG BA 4.1 9 in e TC 5 En Python 12 Sa br 6 Méthodes 12 H AT AG BA Ex em pl ai re de 7 Blind-test « La nature est un livre écrit en langage mathématique. » 1 Galilée 1 Généralités sur les polynômes 1.1 Définition BA Intuition. On connaît les fonctions affines (f : x 7→ ax + b) ainsi que les fonctions trinômes de second AT AG degré (p : x 7→ ax2 + bx + c). On généralise ce concept, mais sans utiliser la notion de fonction. Sa br in e TC H Définition (Polynôme) Un polynôme P d’indéterminée X (noté également P (X)), à coefficients dans R est une ex- pl ai re k=0 αk X k avec n ∈ N, (α0 , · · · , αn ) ∈ Rn+1 et X 0 = 1 em n X Ex P = de pression pouvant s’écrire sous la forme BA Les αk s’appellent les coefficients du polynôme P . TC H AT AG On note R[X] l’ensemble des polynômes d’indéterminée X à coefficients dans R. br in e Exemple 1. P1 = 2X 3 − 3X + 5, P2 = 5X 2 − 8X + 3, ou encore P3 = X 4 − 2X 3 + 2 sont des polynômes. Sa Remarque. X peut être un réel, mais pas nécessairement. Tout objet doté d’une addition et d’une re de multiplication peut convenir. On en retiendra trois en particulier. Posons par exemple P (X) = 2X 2 + 3. AG BA Ex em pl ai • Les réels. On a donc P (5) = 2 × 52 + 3 = 53 ou encore P (−2) = 2 × (−2)2 + 3 = 11.    1 2 5   2 • Les matrices (chapitre 10). En posant A =  , on a P (A) = 2A + 3I3 =  0 0 1  8 . 5 TC in e P (f ) = 2f ◦ f + 3Id, où Id est la fonction identité. H AT • Les fonctions, où la «multiplication» est l’opération de composition ◦. Ainsi pour toute fonction f , Sa br Définition re de • Si ∀k ∈ J0, nK, αk = 0, on dit que P est le polynôme nul. Il est noté 0R[X] . em pl ai • Si ∀k ∈ J1, nK, αk = 0, on dit que P est un polynôme constant. AT AG BA Ex • Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients. Fonction polynomiale, opérations sur les polynômes TC H 1.2 in e Attention. Un polynôme n’est pas tout à fait une fonction, c’est une «expression». En considérant que de Sa br X est un réel, le lien avec les fonctions réelles est toutefois immédiat. Ex em pl ai re Définition (Fonction polynomiale) n X αk X k un polynôme de R[X]. On appelle fonction polynomiale associée à P k=0 la fonction définie de R dans R par P̃ : x 7−→ n X αk xk . k=0 H AT AG BA Soit P (X) = Attention. Il y a une différence de notation entre polynômes et fonctions polynomiales. P et P (X) désignent le même objet (un polynôme) ; mais P̃ désigne une fonction alors que P̃ (x) désigne un réel. 2 Remarque. Pour ne pas alourdir les notations, on pourra également noter P la fonction polynomiale associée au polynôme P . Conformément au programme officiel, on pourra donc confondre polynôme et AT AG Proposition (Opérations sur les polynômes) H L’addition des polynômes, la multiplication d’un polynôme par un scalaire, la multiplication de TC deux polynômes, et la composition de deux polynômes se déduisent des opérations usuelles sur pl ai re de Sa br in e les fonctions. On obtient toujours des polynômes. em Exemple 2. Si P (X) = 5X 2 + 3X + 2 et Q(X) = X 2 + 1, alors : Ex • (P + Q)(X) = 6X 2 + 3X + 3 • (P Q)(X) = (5X 2 + 3X + 2)(X 2 + 1) = 5X 4 + 3X 3 + 7X 2 + 3X + 2 br Degré d’un polynôme Sa 1.3 in e TC H • (P ◦ Q)(X) = P (Q(X)) = 5Q2 + 3Q + 2 = 5(X 2 + 1)2 + 3(X 2 + 1) + 2 = 5X 4 + 13X 2 + 10 AT AG BA • (2P )(X) = 10X 2 + 6X + 4 k=0 pl αk X k avec αn ̸= 0. On appelle n le degré du polynôme P , αn le coefficient em n X Ex Soit P = ai re de Définition (Degré, coefficient dominant) BA dominant de P et αn X n le monôme dominant. On note alors deg(P ) = n, et Rn [X] TC H AT AG l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Sa br in e
Remarque. Par convention, deg 0R[X] = −∞. Ainsi, pour tout n ∈ N, 0R [X] ∈ Rn [X]. • Le degré d’un polynôme constant non nul est 0. de Exemple 3. pl ai re • Le degré d’un polynôme de la forme aX + b, où a ̸= 0, est 1. Ex em • Le degré d’un polynôme de la forme aX 2 + bX + c, où a ̸= 0, est 2. AG BA Définition in e TC H AT Si le coefficient dominant de P vaut 1, on dit que P est unitaire. de Sa br Exemple 4. P = X 5 − 3X 3 + 2X + 1 est unitaire, Q = 2X 4 − 3X 3 + 2X + 1 ne l’est pas. pl ai re Proposition (Degré des opérations) AG BA Ex em Soit (P, Q) ∈ (R[X])2 . Alors : AT H BA fonction polynomiale quand X est un réel. 1. deg(P + Q) ⩽ max(deg(P ), deg(Q)), avec égalité si deg(P ) ̸= deg(Q). 2. deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q). 3. deg(λP ) = deg(P ) pour λ ̸= 0. Exemple 5. En reprenant P (X) = 5X 2 + 3X + 2 et Q(X) = X 2 + 1, on a : 3 • (P + Q)(X) = 6X 2 + 3X + 3 donc deg(P + Q) = 2 ⩽ max(deg(P ), deg(Q)). • (2P )(X) = 10X 2 + 6X + 4 donc deg(2P ) = 2 = deg(P ). BA • (P Q)(X) = 5X 4 + 3X 3 + 7X 2 + 3X + 2 donc deg(P Q) = 4 = deg(P ) + deg(Q). H AT AG Proposition Sa br in e TC Soit (P, Q) ∈ (R[X])2 . Alors (P Q)(X) = 0 ⇐⇒ P (X) = 0 ou Q(X) = 0. pl ai re de Exercice 1. Soit (P1 , P2 , · · · , Pm ) ∈ (R[X])m échelonnés en degrés, i.e. 0 ⩽ deg (P1 ) < deg (P2 ) < · · · < deg (Pm ). Supposons qu’il existe des réels a1 , ..., am tels que a1 P1 + a2 P2 + · · · + am Pm = 0. Montrons Ex em alors que ∀i ∈ J1, mK, ai = 0. max i∈J1,m−1K (deg Pi ) < deg (Pm ). AT AG D’une part deg (am Pm ) = deg (−a1 P1 − · · · − am−1 Pm−1 ) ⩽ BA On a a1 P1 + a2 P2 + · · · + am Pm = 0 donc am Pm = −a1 P1 − · · · − am−1 Pm−1 . H D’autre part, si am ̸= 0, deg (am Pm ) = deg (Pm ). Et donc deg(Pm ) < deg(Pm ), absurde. Donc TC am = 0. On montre de même que am−1 = 0, puis am−2 = 0 etc. jusqu’à a1 = 0. re Division euclidienne et factorisation Division euclidienne Ex 2.1 em pl ai 2 de Sa br in e On conclut alors : a1 = a2 = ... = am = 0. AG BA Théorème (Division euclidienne) H AT Soit (A, B) ∈ (R[X])2 avec B ̸= 0. Il existe des uniques polynômes Q, R ∈ R[X] tels que TC A = BQ + R et deg(R) < deg(B). de Sa br in e On appelle Q le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B. pl ai re Méthode AG BA Ex em Pour déterminer Q et R, on posera une division «en T», comme pour les entiers.
Le quotient est donc Q = X 2 + 3X − 1, et le reste R = 3 vérifie deg(R) = 0 < 2 = deg X 2 + 1 . On peut le revérifier : (X 2 +1)(X 2 +3X −1)+3 = X 4 +3X 3 −X 2 +X 2 +3X −1+3 = X 4 +3X 3 +3X +2. H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br in e TC H AT Exercice 2. Donnons le quotient et le reste de la division euclidienne de X 4 + 3X 3 + 3X + 2 par X 2 + 1. Exercice 3. • Si deg(A) ⩾ deg(B), montrons que deg(Q) = deg(A) − deg(B), où Q est le quotient de la division euclidienne de A par B. 4 Par théorème de division euclidienne, on a A = BQ + R, avec deg(A) ⩾ deg(B) > deg(R). Donc BQ = A − R, et par propriété du degré : AT AG H où la dernière égalité découle de la condition deg(A) > deg(R). Ce qui termine la preuve. Sa br in e TC • Si deg(A) < deg(B), que vaut deg(Q) ? Si deg(A) < deg(B), on peut prendre R = A puisque deg(A) < deg(B). On a trivialement pl ai re de A = B ×0+A, d’où par unicité de la division euclidienne, Q = 0 et R = A. Ainsi deg(Q) = −∞. TC H AT AG Q ∈ R[X] tel que A = BQ. On note alors B | A. BA Soit (A, B) ∈ (R[X])2 . On dit que B est un diviseur de A, ou A un multiple de B, s’il existe Ex em Définition (Diviseur, multiple) br in e Exemple 6. X + 1 et X − 1 sont des diviseurs de X 2 − 1, puisque X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1). X 2 − 1 est de Sa un multiple de X + 1 ainsi que de X − 1. em Factorisation dans R[X] Ex 2.2 pl ai re Remarque. B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est 0. AG BA Définition (Polynôme irréductible) AT Un polynôme P est irréductible si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et λP , avec br in e TC H λ ∈ R∗ . de Sa Proposition (Factorisation en polynômes irréductibles) Ex em pl ai re Tout polynôme peut être écrit comme un produit de polynômes irréductibles. AG BA Remarque. On peut observer une certaine ressemblance entre les nombres entiers et les polynômes. On AT peut en effet faire de l’arithmétique sur les polynômes. Les polynômes irréductibles sont l’équivalent des TC H nombres premiers pour les entiers. br in e Proposition (Factorisation d’un polynôme réel – admis) Sa Les seuls polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes réels de degré 1 et de polynômes Ex em pl ai re de réels de degré 2 n’ayant pas de racine réelle. AG BA Remarque. On sait que les polynômes réels de degré 2 n’ayant pas de racine réelle sont de la forme AT H BA deg(B) + deg(Q) = deg(BQ) = deg(A − R) = deg(A) aX 2 + bX + c avec a ̸= 0 et ∆ = b2 − 4ac < 0. Tout polynôme de R[X] peut donc être factorisé en un produit de polynômes de cette forme et de polynômes de la forme aX + b, a ̸= 0. Exercice 4. Factorisons X 3 + X dans R[X].
On a par factorisation immédiate : P (X) = X X 2 + 1 . X 2 + 1 a pour discriminant ∆ = −4 < 0, X 2 + 1 n’a donc pas de racine réelle et la factorisation est terminée. 5 3 Polynôme dérivé n X αk X k . On appelle polynôme dérivé de P le polynôme P ′ (X) = AT AG Soit P (X) = BA Définition (Polynôme dérivé) k=0 . On définit récursivement les polynômes dérivés successifs : P (0) = P et H kαk X k−1 TC n X pl ai re de Sa br in e k=1 ′  ∀i ∈ N∗ , P (i) = P (i−1) . AT AG BA a immédiatement la proposition suivante. TC H Proposition Sa br in e La fonction polynomiale associée au polynôme dérivé est la dérivée de la fonction polynomiale. ai re de Exemple 7. Soit P = 4X 2 + 3X + 1. On a P ′ = P (1) = 8X + 3, P (2) = 8, P (k) = 0 pour k ⩾ 3. Ex em pl Proposition TC H AT AG BA Soit P ∈ R[X] avec deg(P) = n∈ N∗ . Alors deg (P ′ ) = deg(P ) − 1. De plus, pour k ∈ N, deg P (k) = deg(P ) − k si k ⩽ n, et P (k) = 0 sinon. br in e Proposition de Sa Soit (P, Q) ∈ (R[X])2 et λ ∈ R. 2. (P Q)′ = P ′ Q + P Q′ 3. (P ◦ Q)′ = Q′ × P ′ ◦ Q Ex em pl ai re 1. (λP + Q)′ = λP ′ + Q′ AG BA Proposition (Dérivée k-ème du monôme) TC H AT Pour tous k, n ∈ N, si k ⩽ n alors (X n )(k) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)X n−k = n! X n−k . Si (n − k)! de Sa br in e k > n, (X n )(k) = 0. En particulier, (X n )(n) = n! 7! 3 X . On a également (X 7 )(7) = 7! et (X 7 )(8) = 0. 3! pl ai re Exemple 8. (X 7 )(4) = 7 × 6 × 5 × 4 × X 3 = BA Ex em Théorème (Formule de Taylor – appro) Soit P ∈ R[X] de degré n ∈ N. Alors ∀a ∈ R, P (X) = n X P (k) (a) (X − a)k . k! k=0 H AT AG Ex Intuition. Puisqu’on a défini le polynôme dérivé conformément aux règles de dérivation des fonctions, on em Remarque. Si P ∈ R0 [X], i.e si P est un polynôme constant, alors P ′ = 0. Exemple 9. Soit P (X) = X 2 + 3X + 5. On a P ′ (X) = 2X + 3 et P ′′ (X) = 2. Pour a = 1, on a P ′′ (1) P ′ (1) (X −1)1 + (X −1)2 = 9+5(X −1)+(X −1)2 . P (1) = 9, P ′ (1) = 5, P ′′ (1) = 2. Ainsi, P = P (1)+ 1! 2! 6 4 4.1 Racines simples AT AG BA Définition (Racine d’un polynôme) Sa br in e TC H Soit P ∈ R[X] et r ∈ R. r est une racine du polynôme P si P (r) = 0. de Remarque. Le polynôme nul a une infinité de racines. pl ai re Théorème AT AG BA Ex em r est une racine de P si et seulement si X − r | P . Exemple 10. Prenons P = X 2 − 5X + 6. Les réels 2 et 3 sont racines, donc le théorème dit que X − 2 | P e TC H et X − 3 | P . C’est bien le cas puisque P = (X − 2)(X − 3). de m Y re Soient r1 , ..., rm des réels distincts. On a : r1 , ..., rm sont racines de P ⇐⇒ Sa br in Corollaire (X − ri ) | P Ex em pl ai i=1 AT AG BA Proposition (Critère de nullité d’un polynôme) H Un polynôme de Rn [X] ayant au moins n + 1 racines deux à deux distinctes est nul. Sa br in e TC En particulier, un polynôme ayant une infinité de racines est nul. re de Exemple 11. Si P est de degré au plus 5, et qu’on trouve λ1 , λ2 , ..., λ6 des racines distinctes de P , alors em pl ai P est le polynôme nul. BA Ex Méthode (Montrer que deux polynômes sont égaux) AG Soit (P, Q) ∈ (Rn [X])2 . Si on montre que P et Q coïncident en n + 1 points, c’est-à-dire H AT ∃x0 , ..., xn ∈ R distincts tels que ∀i ∈ J0, nK, P (xi ) = Q(xi ), on pose H = P − Q, on montre que Sa br in e TC H = 0 par argument sur le degré, on en déduit P = Q. de Exercice 5. On pose P = 2X 2 − X + 3. On pose de plus L0 ∈ R2 [X] vérifiant L0 (0) = 1 et L0 (1) = ai re L0 (2) = 0, L1 ∈ R2 [X] un polynôme tel que L1 (1) = 1 et L1 (0) = L1 (2) = 0, et L2 ∈ R2 [X] un polynôme AG BA Ex em pl tel que L2 (2) = 1 et L2 (0) = L2 (1) = 0. On pose enfin Q = 3L0 + 4L1 + 9L2 . Montrons que P = Q. AT H Racines d’un polynôme On a Q(0) = 3 × 1 + 0 + 0 = 3, Q(1) = 0 + 4 × 1 + 0 = 4 et Q(2) = 0 + 0 + 9 × 1 = 9. On a aussi P (0) = 3, P (1) = 4 et P (2) = 9. P et Q sont donc deux polynômes de degré 2 qui coïncident en 3 points, donc P = Q. En effet : On pose H = P − Q. H ∈ R2 [X] et s’annule en 0, 1 et 2. Donc H est le polynôme nul, d’où P = Q. 7 4.2 Définition (Ordre de multiplicité) BA Soit r ∈ R, P ∈ R[X] et m ∈ N. On dit que r est une racine d’ordre de multiplicité m de P AT AG si : TC H (X − r)m | P et (X − r)m+1 ne divise pas P Sa br in e Les racines d’ordre de multiplicité 1, 2 ou 3 sont dites respectivement racine simple, double pl ai re de et triple. Si l’ordre de la racine est au moins égal à 2 , on dit que la racine est multiple. Remarque. On déduit de la définition l’équivalence suivante : r est une racine de P d’ordre de multiplicité BA Attention. Si (X − r)m | P , r n’est pas nécessairement racine de P d’ordre de multiplicité m. En AT AG revanche, elle est racine d’ordre de multiplicité au moins m. TC in e P = (X + 1)3 (X 2 − 1) = (X + 1)3 (X − 1)(X + 1) = (X + 1)4 (X − 1) H
Exercice 6. Soit P = (X + 1)3 X 2 − 1 . Quel est l’ordre de multiplicité de la racine −1 ? Sa br (X + 1)4 | P , donc −1 est racine de P d’ordre de multiplicité au moins 4. Puisque X + 1 ne divise ai re de pas X − 1, alors (X + 1)5 ne divise pas P , donc −1 est une racine d’ordre de multiplicité 4. Ex em pl Théorème BA Soient P ∈ R[X], r ∈ R, m ∈ N∗ . r est une racine de P d’ordre de multiplicité m si et seulement AG si : in e TC H AT ∀k ∈ J0, m − 1K, P (k) (r) = 0 et P (m) (r) ̸= 0 de Sa br Exercice 7. Soit P = X 4 − 2X 3 + 3X 2 − 4X + 2. Quel est l’ordre de multiplicité de la racine 1 ? pl ai re Méthode 1 : Par factorisations successives em P (1) = 1 − 2 + 3 − 4 + 2 = 0, donc 1 est racine. On a alors P = (X − 1)(X 3 − X 2 + 2X − 2). BA Ex 13 − 12 + 2 × 1 − 2 = 0 donc 1 est au moins racine double : AT AG P = (X − 1)(X − 1)(X 2 + 2). 1 n’est pas racine de X 2 + 2, donc 1 est racine double. TC H Méthode 2 : Par dérivations successives e P (1) = 1 − 2 + 3 − 4 + 2 = 0, donc 1 est racine. br in On a alors P ′ = 4X 3 − 6X 2 + 6X − 4, et P ′ (1) = 0 donc 1 est au moins racine double. re de Sa De plus P ′′ = 12X 2 − 12X + 6 d’où P ′′ (1) ̸= 0, donc 1 est racine double. Ex em pl ai Corollaire AG BA Si r est une racine d’ordre m ⩾ 1 de P , alors : 1. r est une racine d’ordre m − 1 de P ′ . 2. ∀j ∈ J0, m − 1K, r est une racine d’ordre m − j de P (j) . 8 Ex em m si et seulement si ∃Q ∈ R[X] tel que Q(r) ̸= 0 et P = (X − r)m Q. AT H Ordre de multiplicité d’une racine (appro) Exercice 8. Soit P = ((X − 1)n )(n−1) . Montrons que 1 est racine de P . 1 est racine de multiplicité n de (X − 1)n . Donc en dérivant cette expression n − 1 fois, 1 est racine AT AG (X − ri )mi | P . de i=1 TC p Y Sa br in e Si P a pour racines r1 , r2 , ..., rp de multiplicités m1 , m2 , ..., mp , alors H Proposition em pl ai re Corollaire TC H En Python e 5 AT AG BA Ex Soit n ∈ N. Un polynôme de degré n admet au plus n racines comptées avec multiplicité. Sa br in Définition (Numpy array) de Un numpy array , ou array , est un objet similaire à une liste de nombres, propre au package Ex em pl ai re NumPy, sur lequel on peut effectuer des opérations mathématiques élément par élément. AG BA Commandes (Déclarer un numpy array) H AT On déclare un numpy array en déclarant une liste de nombre (ou bien un range), entourée de Sa br in e TC np.array(...). Si notre liste L est déjà définie, on peut écrire np.array(L). de Exemple 12. X = np.array([1,2.3,6,4.5]) crée un array à 4 éléments. En écrivant ensuite print(X), re 4.5]. Cela ressemble à une liste, mais la machine sait que c’est un array. pl 2.3 6. ai cela affiche [1. Ex em On peut alternativement déclarer L = [1,2.3,6,4.5] puis écrire X = np.array(L). AG BA Commandes (Opérations usuelles) AT Si X et Y sont des arrays de même taille, correspondant respectivement aux n-uplets (x1 , ..., xn ) TC H et (y1 , ..., yn ), et a un nombre, alors : in e 1. X+Y renvoie un array de même taille, de la forme (x1 + y1 , ..., xn + yn ). Sa br 2. X-Y renvoie un array de même taille, de la forme (x1 − y1 , ..., xn − yn ). re de 3. X + 1 renvoie un array de même taille, de la forme (x1 + 1, ..., xn + 1). AG BA Ex em pl ai 4. a*X renvoie un array de même taille, de la forme (ax1 , ..., axn ). AT H BA de multiplicité n − (n − 1) = 1 de P . C’est donc bien une racine de P . 5. X*Y renvoie un array de même taille, de la forme (x1 y1 , ..., xn yn ).   6. X/Y renvoie un array de même taille, de la forme xy11 , ..., xynn (sous réserve de sens). 7. X**a renvoie un array de même taille, de la forme (xa1 , ..., xan ) (sous réserve de sens). 8. X**Y renvoie un array de même taille, de la forme (xy11 , ..., xynn ) (sous réserve de sens). Attention. Il est clair que si X et Y ne sont pas de même taille, ces opérations n’ont pas de sens. 9 Exemple 13. Si X = np.array([1,2,3,4,5]) et Y = np.array([2,2,2,2,2]), alors : X + Y renvoie [3 4 5 6 7], X - Y renvoie [-1 0 1 2 3], 3*X renvoie [ 3 BA Astuce. On peut itérer sur un array comme on le peut sur une liste ou un range. Par exemple, en posant AT AG X = np.array([1,2.3,6,4.5]), alors for x in X: a du sens. H Remarque. Le + n’a donc pas du tout le même sens que pour les listes. L1 + L2 concatène les deux listes TC (pas forcément de même taille), tandis que X + Y exige qu’ils soient de même taille et opère élément par Sa br in e élément. X + 1 est autorisé même si 1 n’est pas un array : 1 est ajouté à chaque élément de X. de Commandes (Composer un array par une fonction) pl ai re Soit f une fonction de Python prenant un nombre et renvoyant un nombre, n’exécutant que des em opérations de calcul classique. Soit X un array. AT AG BA Ex Alors f(X) renvoie un array de même taille de la forme (f (x1 ), ..., f (xn )). H Exemple 14. Si X = np.array([1,2,3,4,5]), alors np.sqrt(X) renvoie TC √ √ √ √ √ 2.23606798], i.e des valeurs approchées de ( 1, 2, 3, 4, 5). On 1.41421356 1.73205081 2. in e [1. Sa br peut également calculer np.exp(X), np.log(X) etc. de Attention. Par «opérations de calcul classique», on entend toutes les opérations vues précédemment et em pl ai re les fonctions usuelles. En revanche, for i in range(n): ne fonctionne pas si n est un array. BA Ex Commandes (linspace) AG Soient des nombres a et b avec a < b, et n un entier. np.linspace(a,b,n) renvoie un array de in e TC H AT n nombres (de type flottants) régulièrement espacés entre a et b (a et b inclus). Sa br Exemple 15. np.linspace(0,5,8) renvoie re 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9., 10.]) pl ai np.linspace(0,10,11) renvoie array([ 0., de array([0. , 0.71428571, 1.42857143, 2.14285714, 2.85714286, 3.57142857, 4.28571429, 5.]). em Remarque. Dans les exemples du dessus, si on rajoute print(...), le array(...) ainsi que les virgules AG AT Commandes (arange) BA Ex ne s’affichent pas. Simple question d’affichage, ça n’a pas d’importance. TC H Soient des nombres a et b, et un nombre p non nul. np.arange(a,b,p) renvoie un array de nom- in e bres partant de a (inclus) et allant jusqu’à b (exclus) par pas de p. Par défaut, np.arange(a,b) ai re de Sa br considère que p = 1. Ex em pl Exemple 16. np.arange(2,6,0.5) renvoie array([2. , 2.5, 3. , 3.5, 4. , 4.5, 5. , 5.5]) BA np.arange(5,0,-1) renvoie array([5, 4, 3, 2, 1]) (on peut faire des pas négatifs). AG Exercice 9. Si vous êtes fins observateurs, vous remarquerez qu’il n’y a pas de commande prenant a, n AT H 9 12 15] etc. 6 et p et renvoyant un array de taille n de nombres partant de a et par pas de p. Pour a = 4, n = 12 et p = 0.2, construire un tel array. a,n,p = 4,12,0.2 X = np.array([a+i*p for i in range(n)]) 10 Méthode (Liste d’entiers) Soient n et m deux entiers tels que n < m, on souhaite construire un array prenant tous les BA entiers de n (inclus) à m (inclus). On peut écrire au choix : AT AG • np.linspace(n,m,m-n+1) puisqu’il y a m − n + 1 entiers au total. TC H • np.arange(n,m+1) puisque par défaut p = 1. m+1 pour inclure m. de Sa br in e • np.array(range(n,m+1)) si on souhaite ne pas utiliser ces commandes. pl ai re Exemple 17. Pour construire la liste des entiers de 2 à 12, on peut donc faire : em np.linspace(2,12,11) ou bien np.arange(2,13) ou bien np.array([i for i in range(2,13)]). AT AG Pour renvoyer des valeurs de f, une fonction de R dans R qu’on a préalablement défini, entre a BA Ex Méthode (Valeurs de f prises sur un intervalle) H et b, on peut écrire au choix : e TC • f(np.linspace(a,b,n)) si on veut contrôler le nombre d’éléments n. Sa br in • f(np.arange(a,b,p)) si on peut contrôler le pas p. re ai cette liste en array, si les commandes précédentes ne suffisent pas. de • L = [] puis remplir la liste par les f (xi ) au moyen d’une boucle for, puis transformer em pl • np.array([f(...) for i in range(...)]) pour faire la même chose que précédemment Ex en plus synthétique. TC H AT AG BA • Opérer directement sur l’array pour reconstruire la fonction. • Renvoyons l’array de toutes les racines d’entiers entre 1 et 10. in e Exercice 10. de Sa br np.sqrt(np.linspace(1,10,10)) ou bien np.sqrt(np.arange(1,11)) conviennent. pl ai re • Renvoyons l’exponentielle de 100 valeurs régulièrement espacées entre −1 et 1. em np.exp(np.linspace(-1,1,100)) est l’idéal, mais puisqu’on sait qu’en découpant [−1, 1] en BA Ex 100, le pas sera de 0, 02, on peut aussi écrire np.exp(np.arange(-1,1,0.02)). AT AG • Renvoyons les logarithmes des 100 premiers carrés. TC H Méthode 1 : avec une boucle for br in e L = [] L.append(np.log(i**2)) X = np.array(L) Méthode 2 : avec une liste en compréhension. X = np.array([np.log(i**2) for i in range(1,101)]) Méthode 3 : en opérant directement sur l’array. X = np.log(np.arange(1,101)**2) H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa for i in range(1,101): 11 Mq P est nul Mq ses coefficients sont nuls −→ OU Mq il a plus de racines que de degré −→ Mq deg(P ) ⩽ 0 OU mq P ′ = 0 Mq P = Q −→ Mq ils ont les mêmes coefficients Sa br in e TC H Mq P est un polynôme constant AT AG OU Mq deg(P ) ⩾ 0 est absurde OU mq ils coïncident en n + 1 points pl ai re ak X k et exprimer P ′ , P ′′ etc. −→ Ne pas hésiter à poser P = Mq deg(P ) = ... −→ Opération sur le degré des polynômes : deg(AB) = ... Mq P est unitaire −→ Raisonner avec le terme dominant : mq an = 1 Osq Q | P ou bien P = AQ + ... −→ Vérifier ce qu’on en déduit sur les degrés Mq il existe des uniques Q, R ... −→ Division euclidienne Mq P peut s’écrire P = ... + ... −→ Division euclidienne OU Formule de Taylor (appro) Mq r est racine de P −→ Vérifier que P (r) = 0 Reste de P par B (degrés fixés) −→ Poser la division euclidienne Reste de P (de degré n) par B −→ Ne pas poser la division euclidienne ! Ecrire P = BQ + R et étudier Mq B divise P −→ Si on connaît B et P : P = ... × B OU On a P = BQ + R, mq R = 0 Soient r1 , ..., rm racines de P −→ Donc P = (X − r1 ) · · · (X − rm )Q ♢ Osq ∀k..., P (k) (..) = ... −→ Formule de Taylor ♢ Mq r racine d’ordre m −→ Mq P = (X − r)m Q avec Q(r) ̸= 0 Ex em Mq P ′ = ... ou mq P ′′ = ... P de OU mq deg(P ) = deg(Q), que Q | P et même coefficient dominant BA Ex em pl ai re de Sa br in e TC H AT AG BA OU On considère le terme dominant re de Sa br in e TC H AT AG cette égalité en les racines de B pour trouver R pl ai OU Mq P (k) (r) = 0 pour k ∈ J0, m − 1K et P (m) (r) ̸= 0 Donc P = (X − r1 )m1 · · · (X − rm )mm × Q AG AT Blind-test TC H 7 −→ BA multiplicités m1 , ..., mm em r1 , ..., rm racines de P de Ex ♢ in e Dfnt : polynôme = ... Sa br Dfnt : polynôme nul, constant = ... de P = Q signifie ... re Dfnt : fonction polynomiale = ... Ex em pl ai Ppst : opérations sur les polynômes (4) AG BA Dfnt : deg, coeff. dom, mon. dom. = ... AT H Méthodes BA 6 Rn [X] = ... Dfnt : polynôme unitaire = ... Ppst : degré des opérations (3) Dfnt : polynôme irréductible = ... Ppst : factorisation dans R[X] ′ Dfnt : P = ... et P (i) ♢ Thm : r racine d’ordre m ssi ... = ... Crl : si r est racine d’ordre m (2) Ppst : fonction polynomiale et dérivée ′ Ppst : deg(P ) = ... et deg(P ♢ Dfnt : ordre de multiplicité = ... (i) ) = ... Ppst : si r1 , ..., rp d’ordre m1 , ..., mp , ... Crl : un polynôme de degré n ... Ppst : opérations de dérivation (3) Dfnt : numpy array = ... Ppst : dérivée k-ème du monôme Cmd : déclarer un array ♢ Thm : formule de Taylor Cmd : opérations usuelles (8) Dfnt : racine = ... Cmd : composer par une fonction Thm : r racine de P ssi ... Cmd : np.linspace Thm : division euclidienne Crl : r1 , ..., rm racines de P ssi ... Cmd : np.arange Mtd : poser une division euclidienne Ppst : critère de nullité d’un polynôme Mtd : array d’entiers successifs (3) Dfnt : diviseur, multiple = ... Mtd : mq deux polynômes sont égaux Mtd : valeurs de f sur un intervalle (5) Ppst : P Q = 0 ⇐⇒ ... 12