Chapitre 5 : Corps des fractions rationnelles PDF

Les fractions rationnelles Décomposition des fractions rationnelles Chapitre 5 : Corps des fractions rationnelles Prof. SABIL ENSA de TANGER SABIL Chapitre 5  Les fr...

Les fractions rationnelles Décomposition des fractions rationnelles Chapitre 5 : Corps des fractions rationnelles Prof. SABIL ENSA de TANGER SABIL Chapitre 5  Les fractions rationnelles Décomposition des fractions rationnelles Les références de ce chapitre sont les mêmes que celles du chapitre 1 (voir les slides du chapitre 1). SABIL Chapitre 5  Les fractions rationnelles Définition Décomposition des fractions rationnelles Zéros et pôles d’une fraction rationnelle Dans tout ce chapitre, K est un corps commutatif. SABIL Chapitre 5  Les fractions rationnelles Définition Décomposition des fractions rationnelles Zéros et pôles d’une fraction rationnelle Definition I.1 On appelle fraction rationnelle sur K un couple de polynômes (A, B ) ∈ K[X ] × K[X ] avec B 6= 0K[X ] qu’on note sous forme BA. Le polynôme A s’appelle le numérateur. Le polynôme B s’appelle le dénominateur. A C Deux fractions et sont équivalentes s’il existe un polynôme B D C PA non nul P ∈ K[X ] tel que =. On dit alors que BA et C D D PB représentent la même fraction rationnelle. Exemple 1 Cf tableau. SABIL Chapitre 5  Les fractions rationnelles Définition Décomposition des fractions rationnelles Zéros et pôles d’une fraction rationnelle Remarque 1 Pour une même fraction rationnelle, il y a plusieurs représentants. Definition I.2 On appelle représentant irréductible (ou forme irréductible) d’une fraction rationnelle non nulle F tout représentant de F (A, B ) ∈ K[X ] × K[X ] avec A 6= 0K[X ] et B 6= 0K[X ] tels que A et B ne possèdent pas de diviseurs communs. On note alors F = BA. Exemple 2 Cf tableau. Remarque 2 Cf tableau. SABIL Chapitre 5  Les fractions rationnelles Définition Décomposition des fractions rationnelles Zéros et pôles d’une fraction rationnelle Notation : On note l’ensemble des fractions rationnelles par K(X ). Proposition I.1 On munit K(X ) de deux lois de composition interne l’addition et la multiplication définies pour tout : BA1 , AB2 ∈ K(X ) par : 1 2 A1 A2 A1 B2 + A2 B1 + = B1 B2 B1 B2 A1 A2 A1 A2 et × =. B1 B2 B1 B2 L’ensemble K(X ) muni de ces deux lois possède une structure de corps commutatif. A B L’inverse d’une fraction rationnelle non nulle est la fraction. B A SABIL Chapitre 5  Les fractions rationnelles Définition Décomposition des fractions rationnelles Zéros et pôles d’une fraction rationnelle Preuve : Exercice. SABIL Chapitre 5  Les fractions rationnelles Définition Décomposition des fractions rationnelles Zéros et pôles d’une fraction rationnelle Definition I.3 A Soit F = B ∈ K(X ) une fraction rationnelle irréductible et non nulle. 1 L’élément α ∈ K est appelé zéro de la fraction F si α est une racine du polynôme A dans K. On appelle ordre de multiplicité du zéro α de F , l’ordre de multiplicité de α en tant que racine de A dans K. 2 L’élément β ∈ K est appelé pôle de la fraction F si β est une racine du polynôme B dans K. On appelle ordre de multiplicité du pôle β de F , l’ordre de multiplicité de β en tant que racine de B dans K. Exemple 3 Cf tableau. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Definition II.1 A Soit ∈ K(X ) une fraction rationnelle irréductible. La division B euclidienne de A par B dans l’anneau des polynômes K[X ] permet d’avoir l’existence et l’unicité de (Q , R ) ∈ K[X ] × K[X ] tel que A = BQ + R et deg (R ) < deg (B ). On obtient alors : A R =Q+ B B R A est irréductible car est irréductible. B B A Le polynôme Q se nomme partie entière de la fraction rationnelle. B SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Théorème II.1 Soit BA ∈ K(X ) une fraction rationnelle irréductible dont le dénominateur B admet une décomposition dans K[X ] en produit de n n nm polynômes irréductibles de la forme : B = P1 1 P2 2... Pm. A La fraction se décompose alors de l’unique forme suivante : B A R1,1 R1,2 R1,n =Q + + 2 + · · · + n1 1 B P1 P1 P1 | {z } somme partielle relative à P1 R2,1 R2,2 R2,n + + 2 + · · · + n2 2 P2 P2 P2 | {z } somme partielle relative à P2... Rm,1 Rm,2 Rm,n + + 2 + · · · + nmm Pm Pm Pm | SABIL Chapitre 5 {z }  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles où A Q est la partie entière de B et ∀k = 1,... , m, ∀j = 1,... , nk , les Rk ,j ∈ K[X ] et vérifient : deg (RK ,j ) < deg (Pk ). On dit qu’on a effectué la décomposition en éléments simples de la fraction BA dans K(X ). Le polynôme Q est nul si deg (A) < deg (B ). Rk ,j j se nomme élément simple de K(X ). Pk SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Rappel 1 Cf tableau. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Proposition II.2 Soit BA ∈ C(X ) une fraction rationnelle irréductible. La décomposition en éléments simples de la fraction BA dans C(X ), s’écrit : A λ1,1 λ1,2 λ1,h1 =Q + + 2 +···+ B X − α1 (X − α1 ) (X − α1 )h1 | {z } somme relative au pôle α1 λ2,1 λ2,2 λ2,h2 + + +···+ X − α2 (X − α2 )2 (X − α2 )h2 | {z } somme relative au pôle α2... λm,1 λm,2 λm,hm + + +···+ X − αm (X − αm )2 (X − αm )hm | {z } somme relative au pôle αm SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles où pour k = 1,... , m et pour j = 1,... , hk , les coefficients λk ,j ∈ C. Dans la partie relative à chaque pôle αk , le coefficient λk ,hk 6= 0. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Exemple 4 3 Décomposer en éléments simples dans C(X ) la fraction F = X 3 −1. A On note F = avec A = 3 et B = X 3 − 1. B deg (A) < deg (B ) alors la partie entière est nulle. Les pôles de F (les zéros de B) dans C sont : 1, j et j̄. La factorisation irréductible de B dans C[X ] est : B = (X − 1)(X 2 + X + 1) = (X − 1)(X − j )(X − j̄ ). Alors la forme de la décomposition en éléments simples dans C(X ) de F est : a b c F= + + , a, b , c ∈ C X −1 X −j X − j̄ On vérifie que : a = 1, b = j, c = j̄. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Rappel 2 Cf tableau. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Proposition II.3 A Soient ∈ R(X ) une fraction rationnelle irréductible et B m m 0 Y Y hk B= (x − αk ) (aj x 2 + bj X + cj )sj la décomposition de B en k =1 j =1 produit de polynômes irréductibles dans R[X ]. Alors, la décomposition en éléments simples de la fraction BA dans R(X ) s’écrit sous l’unique forme suivante : SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Suite 1 A λ1,1 λ1,2 λ1,h1 =Q + + 2 +···+ B X − α1 (X − α1 ) (X − α1 )h1 | {z } somme relative au pôle α1... λm,1 λm,2 λm,hm + + +···+ X − αm (X − αm )2 (X − αm )hm | {z } somme relative au pôle αm µ1,1 X + δ1,1 µ1,s1 X + δ1,s1 + 2 +···+ a1 X + b1 X + c1 (a1 X 2 + b1 X + c1 )s1 | {z } somme relative à a1 X 2 + b1 X + c1... µm0 ,1 X + δm0 , 1 µm0 ,sm0 X + δm0 ,sm0 + +···+ 2 a 0 X + bm0 X + cm0 (a 0 X 2 + bm0 X + cm0 )sm0 |m {z m } SABIL à am05X 2 + bm0 X + cm0 Chapitre somme relative  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Suite 2 où pour k = 1,... , m , j = 1,... , hk , les coefficients λk ,j ∈ R, et pour k = 1,... , m0 , j = 1,... , sk , les coefficients µk ,j , δk ,j , ak , bk , ck ∈ R avec bk2 − 4ak ck < 0. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles Exemple 5 3 Décomposer en éléments simples dans R(X ) la fraction F = X 3 −1. On note F = BA avec A = 3 et B = X 3 − 1. deg (A) < deg (B ) alors la partie entière est nulle. Les pôles de F (les zéros de B) dans R sont : 1. La factorisation irréductible de B dans C[X ] est : B = (X − 1)(X 2 + X + 1). Alors la forme de la décomposition en éléments simples dans R(X ) de F est : a bX + c F= + 2 , a, b , c ∈ R X −1 X +X +1 On vérifie que : a = 1, b = −1, c = −2 et on a : 3 1 −X − 2 = + X3 −1 X −1 X2 +X +1 SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles a) Cas d’un pôle multiple A1 Soit F = B1 ∈ K(X ) irréductible possédant un pôle α ∈ K d’ordre h ≥ 2, alors : B1 = (X − α)h C1 avec C1 ∈ K[X ] tel que C˜1 (α) 6= 0 La somme partielle relative au pôle α s’écrit : λ1 λ2 λh X −α + (X −α) 2 + · · · (X −α)h , λ1 , · · · , λh ∈ K. Méthode pour calculer simultanément λ1 , · · · , λh : 1 Changement de variable : y = x − α 2 Soient A˜2 (y ) = A˜1 (x ) et C˜2 (y ) = C˜1 (x ) A1 A2 3 La fraction F = (x −α) h C devient : Y h C2 1 SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles 4 On effectue la division selon les puissances croissantes à l’ordre h − 1 de A2 par C2. On obtient :A2 = C2 (q0 + q1 Y + · · · + qh−1 Y h−1 ) + Y h R2 avec q0 , q1 ,... qh−1 ∈ K, alors : A2 q0 q1 qh−1 R2 = + +··· + Y hC 2 Yh Y h−1 Y C2 d’où λk = qh−k pour k = 1, · · · , h. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles a) Cas d’un pôle simple Soit F = BA ∈ K(X ) irréductible possédant un pôle simple α ∈ K (d’ordre h = 1), alors : B = (X − α)C avec C ∈ K[X ] tel que C̃ (α) 6= 0 λ La partie relative relative au pôle α s’écrit : X −α. A F= B = λ X −α + CP. En multipliant cette égalité par X − α et en A(α) remplaçant x par α, on trouve : λ = C (α). 0 En remarquant que B (α) = C (α), on a alors A(α) A(α) λ= = 0 C (α) B (α) SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles a) Fraction réelle avec un pôle non réel Soient F = BA ∈ R(X ) et α un pôle non réel de F de multiplicité h et λ1 λ2 λh + 2 +··· , λ1 , · · · , λh ∈ C X − α (X − α) (X − α)h la somme partielle relative au pôle α. Alors ᾱ est aussi pôle de F de multiplicité h (voir Chapitre précédent) et la somme partielle relative au pôle ᾱ est donnée par λ1 λ2 λh + +···. X − ᾱ (X − ᾱ)2 ¯h (X − α) Preuve : voir TD4 Exercice 1. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles b) Fraction paire Soit F = BA ∈ K(X ) une fraction irréductible paire (c.à.d. F̃ (−x ) = F̃ (x )). Si α est un pôle de F de multiplicité h et λ1 λ2 λh X −α + (X −α) 2 + · · · (X −α)h , λ1 , · · · , λh ∈ K sa somme partielle, alors : (−α) est aussi pôle de F de même multiplicité h, et la somme partielle relative à (−α) est donnée par : −λ1 λ2 (−1)k λk (−1)h λh + + · · · + · · · + X − α (X − α)2 (X − α)k (X − α)h Preuve : voir TD4 Exercice 2. SABIL Chapitre 5  Partie entière d’une fraction rationnelle Décomposition en éléments simples dans K(X ) Les fractions rationnelles Décomposition dans C(X ) Décomposition des fractions rationnelles Décomposition dans R(X ) Détermination pratique de la somme partielle relative à un pôle Cas particuliers des fractions rationnelles c) Fraction impaire Soit F = BA ∈ K(X ) une fraction irréductible impaire (c.à.d. F̃ (−x ) = −F̃ (x )). Si α est un pôle de F de multiplicité h et λ1 λ2 λh X −α + (X −α)2 + · · · (X −α)h , λ1 , · · · , λh ∈ K sa somme partielle. Alors : (−α) est aussi pôle de F de même multiplicité h, et la somme partielle relative à (−α) est donnée par : λ1 −λ2 (−1)k +1 λk (−1)h+1 λh + + · · · + · · · + X − α (X − α)2 (X − α)k (X − α)h Preuve : C’est analogue au cas d’une fraction paire TD4 Exercice 2. SABIL Chapitre 5