Chap 2 - Recurrence, Sums, Products (PDF)

BA AT AG Sa br in e Chapitre 2 – Récurrence, sommes et produits TC H ———————————————————————– pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde em pl ai re de Table des matières 2 Ex 1 Principe de récurrence Récurrence simple . ....

BA AT AG Sa br in e Chapitre 2 – Récurrence, sommes et produits TC H ———————————————————————– pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde em pl ai re de Table des matières 2 Ex 1 Principe de récurrence Récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Récurrence double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 AT AG BA 1.1 4 TC H 2 Sommes Notation et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Changements d’indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sommes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Sommes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai re de Sa br in e 2.1 Sommes doubles sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Sommes doubles sur un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 7 7 7 BA Ex em pl 2.4.1 4 8 AG 3 Produits Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Notation et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Lien entre somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 8 11 de Sa 4 En Python br in e TC H AT 3.1 11 Ex em pl ai re 5 Méthodes 12 H AT AG BA 6 Blind-test « Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’oeuvre de l’Homme. » 1 Leopold Kronecker 1 1.1 Récurrence simple AT AG BA Axiome (Principe de la récurrence simple) H Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n. Si Sa br in e TC • Initialisation : P(n0 ) est vraie pour un certain entier n0 ; • Hérédité : P(n) ⇒ P(n + 1) est vraie pour tout entier n ⩾ n0 ; AT AG BA est vraie, comme P (n0 ) ⇒ P (n0 + 1) alors P (n0 + 1) est vraie. Comme P (n0 + 1) ⇒ P (n0 + 2) alors Ex Remarque. Cet axiome est aisé à admettre car il généralise le raisonnement par induction : si P (n0 ) em pl ai re de alors P(n) est vraie pour tout entier n ⩾ n0 . P (n0 + 2) est vraie, et ainsi de suite. TC H Attention. Dans l’hérédité, «l’hypothèse de récurrence» (abrégée H.R) consiste à supposer que P(n) est in e vraie pour un certain n ⩾ n0 . Il ne faut pas supposer que P(n) est vraie pour tout n ⩾ n0 , car alors il n’y Sa br a plus rien à montrer ! • Montrons formellement par récurrence que ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, enx = (ex )n . ai re de Exercice 1. em pl Soit P(n) la proposition « ∀x ∈ R, enx = (ex )n » pour n ∈ N. BA Ex Initialisation : Soit x ∈ R, e0×x = 1 et (ex )0 = 1, donc ∀x ∈ R, e0x = (ex )0 , donc P(0) est AG vraie. TC H AT Hérédité: Soit n ∈ N. On suppose P(n) vraie. Soit x ∈ R d’après l’hypothèse de récurrence Sa br = (ex )n ex in e e(n+1)x = enx+x = enx ex x n+1 re de = (e ) em pl ai Donc P(n + 1) est vraie. BA Ex Ainsi, d’après le principe de récurrence, ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, enx = (ex )n AT AG • Montrons que ∀n ⩾ 2, 2n > n. TC H Procédons par récurrence : br in e – Pour n = 2, 22 = 4 > 2 de Sa – Soit n ∈ N, n ⩾ 2. On suppose 2n > n. Alors d’après l’H.R, 2n+1 = 2 × 2n > 2n. Ex em pl ai re Or 2n = |{z} n +n ⩾ n + 2 > n + 1, donc 2n+1 > n + 1 ⩾2 Ainsi pour tout n ∈ N, 2n > n. BA AG AT H Principe de récurrence Rédaction. On distinguera dans ce cours trois types de rédaction : la rédaction «lourde», où on écrit Initialisation : , Hérédité : et où on pose P(n), la rédaction «légère», où l’on n’écrit pas ces éléments (voir ci-dessus pour les deux types de rédaction), et la rédaction «mixte», où on pose P(n) mais on n’écrit pas Initialisation : ni Hérédité :. 2 1.2 Axiome (Principe de la récurrence double) BA Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n. Si TC H AT AG • Initialisation : P (n0 ) et P (n0 + 1) sont vraies pour un certain entier n0 ;
• Hérédité : P(n) et P(n + 1) ⇒ P(n + 2) est vraie pour tout entier n ⩾ n0 ; de Sa br in e alors P(n) est vraie pour tout entier n ⩾ n0 . pl ai re • Soit (un ) la suite vérifiant u0 = 1, u1 = 3, et pour tout n ∈ N, un+2 = 2un+1 + 3un . Exercice 2. Ex em Montrons que ∀n ∈ N, un = 3n . AT AG BA Procédons par récurrence double. Soit n ∈ N. On pose P(n) : « un = 3n ». – On a u0 = 30 donc P(0) est vraie, et u1 = 31 donc P(1) est vraie. TC H – Soit n ∈ N un entier naturel fixé. On suppose que P(n) et P(n + 1) sont vraies. Alors : br in e un+2 = 2un+1 + 3un = 2 × 3n+1 + 3 × 3n = 3n (6 + 3) = 3n+2 de Sa Donc P(n + 2) est vraie. pl ai re On conclut que pour tout n ∈ N, un = 3n . Ex em pl ai re de Sa br in e TC H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br in e TC H AT AG BA Ex em • Soit (un ) la suite vérifiant  n u0 = u1 = 1, et pour tout n ∈ N, un+2 = un+1 + un . Montrons que pour 5 tout n ∈ N, un ⩽ . 3  n 5 ». Procédons par récurrence double. Soit n ∈ N. On pose P(n) : « un ⩽ 3  0  1 5 5 – u0 = 1 ⩽ , u1 = 1 ⩽ , donc P(0) et P(1) vraies. 3 3  n  n+1 5 5 – Soit n ∈ N. On suppose P(n) et P(n + 1) vraies. un ⩽ , un+1 ⩽ donc 3 3  n+1  n 5 5 un+2 = un+1 + un ⩽ + 3 3  n   5 5 ⩽ +1 × 3 3  n 8 5 × ⩽ 3 3  n  2  2 5 5 8 25 5 ⩽ > × car = 3 3 3 9 3  n+2 5 ⩽ 3 Donc P(n + 2) vraie.  n 5 . Ainsi pour tout n ∈ N, un ⩽ 3 Remarque. On peut également définir des récurrences triples, quadruples... Tout ceci est au programme.
La récurrence forte, à savoir P(n0 ) vraie et ∀k ∈ Jn0 , nK, P(k) ⇒ P(n + 1) vraie pour tout entier n ⩾ n0 , BA AG AT H Récurrence double n’est en revanche pas au programme. 3 2 2.1 Notation et propriétés p⩽k⩽n n X H de Par convention, si p > n, uk . On dit que k est l’indice de la somme, et p et n k∈Jp,nK uk = 0 k=p Plus généralement, si A est une partie finie de N et (un ) une suite, on note X pl ai re en sont les bornes. uk = up + up+1 + · · · + un . k=p k=p X n X Sa br in e uk ou uk par ui la somme des em X On la note également n X TC Soient p, n ∈ N, avec p ⩽ n, et u une suite. On définit AT AG BA Définition k 2 = 12 + 52 + 72 • 2 + 4 + · · · + 2n = k=1 2k H TC de k∈{1,5,7} e n X in X • ui = u1 + u5 + u7 . i∈A k=2 Exemple 1. X • Si A = {1, 5, 7} alors uk = u2 + u3 + u4 + u5 br 5 X Sa • AT AG BA termes de la suite u pour les indices appartenant à A. Ex i∈A uk contient n − p + 1 termes. Ex n X em pl ai re Proposition TC H AT AG BA k=p e Remarque. L’indice de la somme est une variable muette, ainsi n X uk = ui = i=p n X uj j=p Sa br in k=p n X re de Proposition (Sommes à connaître) pl ai Soit n ∈ N, p ∈ N tel que p ⩽ n et c ∈ R. n X c = (n − p + 1)c 1. em Ex k2 = k= k=0 in e TC H AT k=0 n(n + 1)(2n + 1) 6 BA k=p n X n X n(n + 1) 2 k=0  2 n X n(n + 1) k3 = 4. 2 2. AG 3. Ex em pl ai re de Sa br Attention. Il faut systématiquement mettre des parenthèses à l’intérieur d’une somme!quand elle contient n n X X uk +3 et non comme uk +3 sera interprété comme une addition ou une soustraction. Par défaut, k=0 k=0 ! n n X X uk + 3(n + 1). (uk + 3), qui vaut d’ailleurs k=0 Proposition (Relation de Chasles) AG BA k=0 AT H Sommes Soient p, m, n ∈ N, avec p ⩽ m < n, et u une suite. Alors n X k=p 4 uk = m X k=p uk + n X k=m+1 uk Exemple 2. 9 X uk = 3 X uk + uk + 9 X uk k=8 k=4 k=1 k=1 7 X AT AG n X yk k=0 = Sa br in e k2 − 2 pl ai re k=0 n X (k2 − 2k) n X em k=0 n X par linéarité de la somme k Ex k(k − 2) = de k(k − 2). k=0 n X k=0 k=0 BA n X xk + λ k=0 k=0 Exercice 3. Calculons n X H (xk + λyk ) = TC n X Soient (xk ) et (yk ) deux suites, et λ ∈ R. Alors BA Proposition (Linéarité de la somme) AT AG n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) −2 6 2 n(n + 1)(2n + 1 − 2 × 3) = 6 n(n + 1)(2n − 5) = 6 TC e in br Sa de ai n−1 X pl (k − 1)2 = 02 + 12 + · · · + (n − 1)2 = j 2 . Quand k varie de 1 à n, j varie de 0 à n − 1. em n X Ex Intuition. re Changements d’indices j=0 k=1 BA 2.2 H = uk+m = AT n+m X H n X ui TC Soient n, p, m ∈ N avec p ⩽ n. Alors AG Proposition (Changement d’indice croissant) i=p+m in e k=p re de Sa br On dit qu’on a effectué le changement d’indice i = k + m. pl ai Remarque. Supposons m ⩽ p. On a également la formule (k + 1)3 = TC H AT AG k=0 ··· X ··· X n−m X ui i=p−m (j − 3)3 j=··· (k + 1)3 = k=0 n+1 X k3 = k=1 n+4 X (j − 3)3 j=4 Sa br in e k3 = k=··· n X uk−m = k=p em Ex n X BA Exercice 4. Complétons : n X de Intuition. un + · · · + u1 = u1 + · · · + un et donc un−k = re k=0 n X uj Quand k varie de 0 à n − 1, j varie j=1 ai de n à 1. n−1 X Soient n, p ∈ N, p ⩽ n. Alors n X k=p n−p un−k = X uj . j=0 On dit qu’on a effectué le changement d’indice j = n − k. H AT AG BA Ex em pl Proposition (Changement d’indice décroissant) Exemple 3. n X k=1 (n + 2 − k)3 = n+2 X j 3 , après avoir posé j = n + 2 − k. j=2 5 2.3 Sommes classiques n X (uk+1 − uk ) = un+1 − up AT AG Soient n, p ∈ N, avec p ⩽ n. Alors BA Proposition (Somme télescopique) n X (uk − uk−1 ) = un − up−1 , mais aussi n X (uk − uk+1 ) = up − un+1 . k=p k=p Ex em pl ai re de Inutile de tous les apprendre, il n’y a que deux schémas à retenir :
P • suivant - précédent = dernier - premier
P • précédent - suivant = premier - dernier AT AG BA Exercice 5. Calculons les sommes suivantes : n X 1 • k(k + 1) k=1 TC =1− par télescopage n n+1 em Ex AG k=1 k=1 = ln(n + 1) Sa br in e k=1   X  X  n n k+1 1 ln [ln(k + 1) − ln(k)] = ln(n + 1) − ln(1) = = ln 1 + k k AT n X  BA 1 ln 1 + k H k=1  TC • n X pl ai = 1 n+1 e  in 1 1 − k k+1 br k=1  Sa n de n X (k + 1) − k X 1 = = k(k + 1) k(k + 1) re k=1 H k=1 n X re de Théorème (Somme géométrique) Ex em pl ai Soient n, p ∈ N avec p ⩽ n, et q ∈ R. Alors : n X 1 − q n−p+1 q p − q n+1 qk = qp × 1. Si q ̸= 1, = 1−q 1−q AG qk = n − p + 1 AT 2. Si q = 1, BA k=p n X Sa br in e TC H k=p de Exercice 6. Soit n ⩾ 3. Calculons n X 1 . 2n k=3 Ex em pl ai re  3  n+1 1 1     − n n X 1 n X 1 2 2 1 1 1 1 = − = = − n. On a = 2 1 2n 2 8 2n+1 4 2 k=3 k=3 1− 2 H AT AG BA Sa br in e Remarque. On a également TC H k=p 6 par télescopage 2.4 2.4.1 Sommes doubles sur un rectangle AT AG BA Définition (Somme double sur un rectangle) TC H Une somme double sur un rectangle, ou double somme rectangulaire est une somme X de la forme ui,j = u1,1 + u1,2 + · · · + u1,p + u2,1 + · · · + u2,p + · · · · · · + un,1 + · · · + un,p 1⩽i⩽n X X ui,j ou encore (i,j)∈J1,nK×J1,pK i∈J1,nK Ex em j∈J1,pK X ui,j Si p = n, on peut noter cette somme ui,j . pl ai re Remarque. On peut également noter de Sa br in e 1⩽j⩽p BA 1⩽i,j⩽n i=1 1⩽i⩽n j=1 = j=1 ! ui,j i=1 H p n X X TC ! ai re de Sa 1⩽j⩽p ui,j e p n X X in ui,j = br X AT AG Proposition (Interversion de sommes rectangulaires) X ki n X i k=1 2 k ! de même Ex em pl ai n X par linéarité de la somme n(n + 1) 2 re  de i=1 = ! Sa = i i=1 AT k k=1 ! H = n X TC n X e ki i=1 k=1 ! in n n X X br ki = 1⩽k,i⩽n ui,j . j=1 i=1 AG 1⩽k,i⩽n X p n X X BA Exercice 7. Calculons Ex em pl Remarque. Les parenthèses entre les sommes ne sont donc pas nécessaires : on peut écrire AG BA Proposition (Produit de sommes) n X i=0 ui ! m X j=0 vj ! = n X m X i=0 j=0 u i vj = m X n X vj u i j=0 i=0 pl ai Sommes doubles sur un triangle Ex em 2.4.2 re de Sa br in e TC H AT Soient u et v deux suites définies sur N, n, m ∈ N. Alors : AG BA Définition (Somme double sur un triangle) AT H Sommes doubles Une somme double sur un triangle, ou double somme triangulaire est une somme de la X forme ui,j = u1,1 + u1,2 + u2,2 + u1,3 + u2,3 + u3,3 + · · · + u1,n + · · · + un,n 1⩽i⩽j⩽n ou bien de la forme X ui,j = u1,2 + u1,3 + u2,3 + · · · + u1,n + · · · + un−1,n 1⩽i<j⩽n 7 Proposition (Interversion de sommes triangulaires) ui,j = 1⩽i<j⩽n n−1 X n X ui,j ! i=1 j=i+1 j=1 = ui,j i=1 j−1 n X X j=2 ui,j i=1 BA = ui,j j=i ! ! AT AG X 2. i=1 j n X X H ui,j = 1⩽i⩽j⩽n ! TC 1. n n X X Sa br in e X de Remarque. On retiendra ces formules de gauche à droite ainsi que de droite à gauche. Il y a donc 4 n X Grand indice d’abord j=1 j X ui,j i=1 ! = i=1 n X n X i=1 ui,j j=i ! i=1 j=i+1 n X j−1 j=2 X j=2 ui,j i=1 ! = n−1 X i=1 ui,j j=i+1 em Ex ! de Sa br in e n X n X i j i=1 j=i i=1 n X BA j=1 re j n X n n X X X i X i i = = j j j i=1 j=i j=1 i=1 1⩽i⩽j⩽n pl On commence par chercher l’expression la plus simple : ai Exercice 8. Calculons j=i Contrainte : i < j ! ! j−1 n X X ui,j = ui,j n X AT AG i=1 n−1 X H Petit indice d’abord Contrainte : i ⩽ j ! ! j n X X ui,j = ui,j n X TC n X pl ai re combinaisons : Ex em Cette dernière expression est la plus intéressante. ai re de Sa br in e TC H AT AG BA j j n n n X X X X j(j + 1) 1X 1 i = × i= j j j 2 j=1 i=1 j=1 j=1 i=1 ! n n 1X 1 X = j+n (j + 1) = 2 j=1 2 j=1   n(n + 3) 1 n(n + 1) +n = = 2 2 4 Ex em pl Proposition (Carré de somme - HP) BA ∗ k=1 uk !2 = n X k=1 u2k + 2 X ui uj 1⩽i<j⩽n Sa Produits de 3 br in e TC H AT AG Soit n ∈ N , et u une suite. Alors n X Factorielle pl ai re 3.1 Soit n ∈ N∗ . On appelle factorielle n, que l’on note n!, le nombre n! = n × (n − 1) × · · · × 1. Par convention, 0! = 1. H AT AG BA Ex em Définition (Factorielle) Exemple 4. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Remarque. On peut en mémoriser certaines : 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720. 8 3.2 n Y uk par k=p n Y uk = up × up+1 × · · · × un AT AG Soient p, n ∈ N, avec p ⩽ n, et u une suite. On définit BA Définition Sa br in e TC H k=p Proposition (Relation de Chasles) uk = m Y uk k=1 n Y uk k=m+1 ! BA Ex em k=1 ! de Soient n, m ∈ N tels que m < n, et u une suite. Alors n Y pl ai re ∗ AT AG Remarque. Les changements d’indices marchent également pour les produits. On rédige de la même TC H manière qu’avec les sommes. k=1 br Sa ai uk pl n Y uk k=1 Si de plus les vk ne s’annulent pas, on a = n Y vk em n Y vk k=1 ! de uk k=1 n Y re (uk vk ) = k=1 ! Ex Soit n ∈ N , u et v deux suites. Alors n Y vk BA n Y ∗ in e Proposition TC p Y e (k(k + 1)) à l’aide de factorielles. in Exercice 9. Exprimons H AT AG k=1 (k(k + 1)) = k Sa ! de p Y re p Y br k=1 k=1 ai k=1 pl p+1 = p! Y k=2 k p Y (k + 1) k=1 ! ! par changement d’indice (p + 1)! = (p!)2 (p + 1) 1 TC H AT AG BA Ex em = p! br in e Proposition (Produit télescopique) de Sa Soient n, p ∈ N∗ , où p ⩽ n. Alors n Y un+1 uk+1 = uk up Ex em pl ai re k=p Remarque. De même que pour les sommes, on retiendra surtout les deux schémas : Y suivant dernier • = précédent premier Y précédent premier • = suivant dernier BA AG AT H Notation et propriétés Exercice 10. Calculons n Y ek!−(k+1)! k=1 9 n Y ek!−(k+1)! = k=1 ek! e1! = e(k+1)! = e(n+1)! e e(n+1)! par télescopage xk + λ yk k=0 k=0 k=0 n Y H n Y TC (xk + λyk ) ̸= Sa br in e n Y Attention. Le produit n’est pas linéaire : AT AG BA k=1 n Y 2. (λuk ) = λn uk k=1 k=1 AT AG BA Ex k=1 n Y em Soit (un ) une suite, et λ ∈ R. Alors : n Y λ = λn 1. pl ai re de Proposition Sa br in e TC H Attention. De même que pour les sommes, les parenthèses sont importantes. On les mettra à chaque ! fois n n Y Y uk × c uk c est ambigu car il peut signifier qu’il y a un produit dans un grand produit. Ainsi, k=0 k=0 ! n n Y Y uk × cn+1 . (uk c) = ou bien k=0 ai Lien entre somme et produit em pl 3.3 re de k=0 Ex Définition (Logarithme en base quelconque - HP) H AT ln(x) ln(b) Sa br in e TC ∀x ∈ R∗+ , logb (x) = AG BA Soit b > 1. On appelle logarithme en base b, noté logb , la fonction de R∗+ telle que re de Proposition (Puissance et logarithme - HP) BA Ex em pl ai Soit b > 1. Pour tout x ∈ R, logb (bx ) = x. Pour tout y ∈ R∗+ , blogb (y) = y. • Le logarithme en base e est le logarithme naturel, dit népérien, noté ln. AT AG Remarque. TC H • Le logarithme en base 10 a de nombreuses applications en sciences, notamment pour le calcul des in e échelles (Richter...). Sa br • Le logarithme en base 2 est très utile en informatique car les nombres s’y écrivent en binaire (donc re de en puissances de 2). Ex em pl ai Proposition AG BA Soit n ∈ N∗ et u une suite. 1. Pour tout q > 0, q Pn k=1 uk = n Y q uk d’où pour q = e, exp 2. Pour tout b > 1, logb n Y k=1 uk ! = n X uk k=1 k=1 AT H n Y n X logb (uk ) d’où pour b = e, ln ! = n Y n Y k=1 k=1 10 exp(uk ) k=1 uk ! = n X k=1 ln(uk ) 4 Méthode (Calcul de sommes et de produits) Pour calculer le produit de tous les élé- de la liste, on fait : ments de la liste, on fait : for i in range(n): for i in range(n): TC P = 1 Sa br in e S = 0 H Pour calculer la somme de tous les éléments AT AG BA Prenons une liste u comportant n éléments. em pl ai re de P = P * u[i] S = S + u[i] BA Ex Remarque. Notez que S commence à 0 tandis que P commence à 1. • P /= a signifie P = P/a H • S -= a signifie S = S - a TC • P *= a signifie P = P*a de Sa br in e • S += a signifie S = S + a AT AG Commandes pl ai re Méthode (Calcul de double somme) S = 0 Supposons n = m. n−1 X n−1 X Pour calculer ui,j , on fait : for i in range(n): TC Ex em Prenons un tableau u comportant n × m éléments. BA Pour calculer la somme de tous les éléments AT AG du tableau, on fait : i=0 j=i S = 0 H e br in for j in range(m): for i in range(n): for j in range(i,n): S += u[i,j] pl ai re de Sa S += u[i,j] Ex em Méthode (Définition de la factorielle) AG BA Pour définir la factorielle, on s’y prend de manière récursive. Soit n ∈ N. H AT def factorielle(n): TC if (n==0): return 1 pl ai Méthodes Ex em 5 re de Sa br in e else : return n*factorielle(n-1) Mq un+1 = ...un −→ Jamais par récurrence. Soit n ∈ N. Comme un+1 = ..., alors ... Mq ∀n ∈ N, ... −→ Direct, ou par récurrence si impossible. Soit (un ) définie par u0 = ... et −→ Récurrence BA AG AT H En Python un+1 = ...un . Mq ∀n, un ... 11 Soit (un ) définie par u0 = −→ Récurrence double −→ Récurrence AT AG BA .., u1 = .. et un+2 = ..un+1 ..un . Mq ∀n, un ... n X ... = ... Mq ∀n ∈ N, k=1 H TC Changer d’indice (décroissant) −→ Un télescopage? −→ Télescopage −→ Un télescopage? −→ Télescopage  Y = ln X = ln  X = exp Y = exp Sa br in e −→ −→ −→ em Ex BA AT AG H TC e in −→ br −→ Sa ..(k + 1) − ..k Y ... ... Y ..(k + 1) ..k X ln  Y ln Y exp  X exp X k ... X
.. + .. · k + .. · k2 X 2 uk de
re
pl ai re de Changer d’indice ai ... − ... X −→ pl un−k uk−1 Somme géométrique −→ Ex uk+1 ou i P P P 2 Se calcule : 1, k, k X   X  X X = ui uj = ui uj = ... −→ BA X j X AG X j −→ i j Sa br Blind-test de 6 in e TC H AT i X XX −→ em XX ai pl AG BA par convention ... n X Ppst : uk contient ... termes Ex em Axm : principe de récurrence double P Dfnt : = ... On la note ... (4) TC H AT k=p P P P 2 P 3 Ppst : c, k, k , k e Ppst : relation de Chasles br in Ppst : linéarité de la somme Sa Ppst : changement d’indice croissant de Ppst : changement d’indice décroissant ai re Ppst : somme télescopique (2 schémas) Ppst : interversion de sommes triang. (4) P Ppst : ( )2 = ... Dfnt : factorielle = ... Q Dfnt : = ... Ppst : relation de Chasles Q Ppst : (uk vk ) = ... H AT AG BA Ex em pl Thm : somme géométrique (2) PP Dfnt : sur un rectangle = ... PP Ppst : = ... P P Ppst : ( ) ( ) = ... PP Dfnt : sur un triangle = ... re Axm : principe de récurrence simple 12 Q uk = ... vk Ppst : produit télescopique (2 schémas) Q Q Ppst : λ = ... et (λuk ) = ... Dfnt : logb = ... Ppst : logb (...) = ... et b... = ... P = ... d’où ... Q logb ( ) = ... d’où ... Ppst : q Mtd : sommes et produits en Python Cmd : += etc (4) Mtd : doubles sommes en Python Mtd : déf. factorielle en Python