Microéconomie 1 - Aléa moral - PDF

Microéconomie 1 Aléa moral Philippe Choné1 1 CREST-ENSAE Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 1 / 62  Introduction Plan du cours 1 Introduction 2...

Microéconomie 1 Aléa moral Philippe Choné1 1 CREST-ENSAE Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 1 / 62  Introduction Plan du cours 1 Introduction 2 Un exemple avec deux actions 3 Modèle standard (version discrète) 4 Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Modèle 5 Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Modèle multi-tâches* 6 Aléa moral : A retenir Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 2 / 62  Introduction Économie de l’information et des contrats TABLE 1 – Typologie des modèles en information imparfaite Information Joue en premier sur Partie informée Partie non informée Caractéristiques Signal Auto-sélection Action Aléa moral A retenir : Les intuitions et résultats économiques vont beaucoup dépendre du type de situations Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 3 / 62  Introduction Aléa moral lorsque Agent prend une action qui affecte son utilité et celle du principal Principal observe seulement le résultat, signal imparfait de l’action L’action que l’agent choisirait spontanément n’est pas efficace De nombreuses relations économiques contaminées par ce problème Dans l’entreprise : un employeur ne peut pas contrôler toutes les décisions des employés Finance d’entreprise : actionnaire (max profit) et manager ne partagent pas les mêmes objectifs Assurance : précaution contre le vol ou le feu Services d’experts : médecins, réparateurs automobiles Propriétaire terrien et métayer : partage de la récolte entre les deux parties Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 4 / 62  Introduction Premier rang : P peut contrôler l’action de A L’action peut être inscrite dans un contrat Le principal choisit l’action la plus efficace et les salaires qui partagent le risque optimalement Le partage efficace du risque, c’est l’assurance parfaite si Principal neutre au risque peut diversifier car partie prenante dans plusieurs relations Agent averse au risque difficile de diversifier son risque Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 5 / 62  Introduction Second rang : Action inobservable “Effort” = Tous les inputs non contrôlables, non contractualisables Instrument du principal : payer l’agent au résultat P observe seulement le résultat, corrélé à l’action seul moyen pour le principal d’influencer l’action Arbitrage en second rang Partage du risque : Assurer l’agent Incitation : Lui laisser du risque Si l’agent est risque neutre, pas d’arbitrage “Principal vend le projet à l’agent” Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 6 / 62  Un exemple avec deux actions Plan du cours 1 Introduction 2 Un exemple avec deux actions 3 Modèle standard (version discrète) 4 Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Modèle 5 Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Modèle multi-tâches* 6 Aléa moral : A retenir Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 7 / 62  Un exemple avec deux actions Deux actions, deux résultats Modèle Une tâche peut réussir ou échouer Surplus xS si succès , xE < xS si échec, à partager entre P et A L’agent peut “travailler” (coût e) ou “ne pas travailler” (∅) Fonction d’utilité de l’agent u(.) ↑ et concave / au salaire w Utilité de réservation U Principal risque neutre TABLE 2 – Proba de succès et utilité en fonction de l’action Action Proba de succès Utilité de A si salaire w Effort P u(w)-e ∅ p wE L’optimum de second rang est inefficace : L’agent n’est pas complètement assuré Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 17 / 62  Un exemple avec deux actions Second rang Quand est-il optimal d’induire l’effort ? En premier rang, le principal choisit d’induire l’effort si et ssi Π∗ = P(xS −w ∗ )+(1−P)(xE −w ∗ ) ≥ p(xS −w ∅ )+(1−p)(xE −w ∅ ) = Π∅ (1) avec w ∗ = u −1 (U + e) et w ∅ = u −1 (U) En second rang, le principal choisit d’induire l’effort si et ssi Profit avec effort ≥ Profit sans effort = Π∅ ou P(xS −wS (e))+(1−P)(xE −wE (e)) ≥ p(xS −w ∅ )+(1−p)(xE −w ∅ ) = Π∅ (2) Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 18 / 62  Un exemple avec deux actions Second rang Distorsion causée par l’aléa moral Quand P renonce à induire l’effort en 2nd rang alors qu’il le ferait en 1er rang Plus coûteux d’induire l’effort lorsqu’il est inobservable (2) est plus forte que (1) car P doit soumettre l’agent à un risque lui donner un salaire espéré plus élevé pour compenser son aversion au risque et assurer sa participation Preuve Contrainte de participation U + e = Pu(wS (e)) + (1 − P)u(wE (e)) et la convexité de u −1 impliquent u −1 (U + e) = w ∗ < PwS (e) + (1 − P)wE (e) Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 19 / 62  Un exemple avec deux actions Second rang Partage du surplus P induit l’effort quand le surplus lié au succès xS − xE est grand PwS (e) + (1 − P)wE (e) − w ∅ (2) ⇐⇒ xS − xE ≥ (3) P −p Rappel : wS (e), wE (e) et w ∅ ne dépendent pas de xS et xE Le surplus lié au succès est partagé entre P et A La convexité de u −1 et la contrainte d’incitation impliquent w ∅ < pwS (e) + (1 − p)wE (e) ce qui, avec (3), donne xS − xE ≥ wS (e) − wE (e), ou wS = wE + s(xS − xE ) ⇒ Taux de bonus s ≤ 100% Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 20 / 62  Modèle standard (version discrète) Plan du cours 1 Introduction 2 Un exemple avec deux actions 3 Modèle standard (version discrète) 4 Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Modèle 5 Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Modèle multi-tâches* 6 Aléa moral : A retenir Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 21 / 62  Modèle standard (version discrète) Le modèle Actions et résultats n actions inobservées : a1 < a2 < · · · < an m résultats observés possibles : x1 < x2 · · · < xm xk : Surplus à partager entre P et A Le salaire ne peut dépendre que du résultat : wk Partage du surplus : Agent obtient wk , Principal xk − wk “Technologie” : Lien stochastique entre actions et résultats Proba (résultat k si action i) = pik X pik = 1 résultats k ⇒ Le résultat renseigne partiellement sur l’action prise Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 22 / 62  Modèle standard (version discrète) Objectifs du principal P et de l’agent A Agent risquophobe Utilité de l’agent u(w) − a, u(.) ↑ concave Séparable en revenu et effort ⇒ l’action ne change pas l’aversion au risque Principal risque neutre Maximise l’espérance de son profit x − w Question A quelles conditions (notamment sur les pik ) le salaire croît-il avec le résultat ? Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 23 / 62  Modèle standard (version discrète) Les programmes de A et de P Programme de l’agent Agent face à un menu wk choisit l’action ai solution m ! X max pik u(wk ) − ai i=1,...,n k =1 Contraintes d’incitation Si P veut que A choisisse action i, il faut que Xm m X pik u(wk ) − ai ≥ pjk u(wk ) − aj (CIij ) k =1 k =1 pour tout j = 1,... , n (j 6= i) Contrainte de participation (U = meilleure opportunité extérieure) m X pik u(wk ) − ai ≥ U (CPi ) k =1 Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 24 / 62  Modèle standard (version discrète) Les programmes de A et de P Programme du principal P choisit le contrat (w1 ,... , wm ) qui maximise son profit espéré m X max pik (xk − wk ) w1 ,...,wm k =1 où i est l’action choisie par A, contrôlée indirectement par P : Revient à imposer (CIij ) pour tout j 6= i Multiplicateur de Lagrange associé : λj On doit aussi imposer (CP), qui est active. Multiplicateur associé µ Méthode de résolution Résoudre le problème pour chaque action i P Minimiser le coût à induire i : min k pik wk , indépendant des xk Comparer les profits obtenus, qui, eux, dépendent des xk Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 25 / 62  Modèle standard (version discrète) Les programmes de A et de P Minimiser le coût d’induire l’action i ⇒ maximiser Lagrangien m m ! X X Li = − pik wk + µ pik u(wk ) − ai − U k =1 k =1 m m ! X X X + λj pik u(wk ) − ai − pjk u(wk ) + aj actions j6=i k =1 k =1 Optimum de premier rang (si action observable : on satisfait CP) 1 =µ u 0 (wk∗ ) Optimum de second rang   1 X pjk = µ + λj 1− u 0 (wk ) pik j6=i Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 26 / 62  Modèle standard (version discrète) Propriétés de la technologie* Analogie statistique* Question : wk est-il croissant en k ? Ratio de vraisemblance Modèle statistique paramétrique f (x; θ) Vraisemblance : Fonction du paramètre l(θ|x) = f (x; θ) Ratio de vraisemblance : l(θ0 |x) f (x|θ0 ) RV(θ0 , θ; x) = = l(θ|x) f (x|θ) D’autant plus grand qu’il est plus vraisemblable que l’observation x ait été générée sous θ0 que sous θ θ̂ = estimateur du max de vrais. (EMV) de θ ⇐⇒ RV(θ̂, θ; x) ≥ 1, ∀θ Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 27 / 62  Modèle standard (version discrète) Propriétés de la technologie* Analogie statistique : propriété de la technologie* Analogie Paramètre = action i Observation : résultat k Ratio de vraisemblance RV(i, j; k ) = pik /pjk Si P voulait “estimer” l’action par max. de vrais., i serait l’EMV si RV(i, j; k ) ≥ 1, ∀j Exemple à deux actions  P/p si succès RV(effort, ∅) = (1 − P)/(1 − p) si échec P ≥ p =⇒ “effort” est l’EMV de l’action si succès observé Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 28 / 62  Modèle standard (version discrète) Propriétés de la technologie* Propriété de la technologie* Définition : Monotonicité du RV ∀θ0 > θ, x 0 > x =⇒ RV(θ0 , θ; x 0 ) ≥ RV(θ0 , θ; x) Lemme : RV monotone =⇒ x ↑ avec θ stochastiquement au 1er ordre f (x;θ0 ) 0 0 0 0 0 0 f (x 0 ;θ0 ) f (x 0 ;θ) ≤ ff(x f (x;θ) ;θ ) f (x;θ ) f (x;θ) F (x ;θ ) F (x ;θ) (x 0 ;θ) ⇒ f (x 0 ;θ0 ) ≤ f (x 0 ;θ) ⇒ f (x 0 ;θ0 ) ≤ f (x 0 ;θ) ⇒ F (x 0 ;θ0 ) ≥ F (x 0 ;θ) ⇒ − ln F (x 0 ; θ0 ) ≥ − ln F (x 0 ; θ) ⇒ F (x 0 ; θ0 ) ≤ F (x 0 ; θ) Monotonie du RV dans le modèle d’aléa moral, avec deux actions et p < P : P/p > (1 − P)/(1 − p) n actions et m résultats ordonnés a1 < · · · < an , x1 < · · · < xm : j > i, l > k =⇒ pjl /pil > pjk /pik Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 29 / 62  Modèle standard (version discrète) Propriétés de la technologie* Propriétés du contrat optimal* Interprétation du contrat optimal En appelant i l’action optimale   1 X pjk 0 =µ+ λj 1 − u (wk ) pik actions j6=i Cette expression est ↑ en le rapport de vraisemblance pik /pjk P paie plus A pour des résultats k qui suggèrent qu’il a pris l’action optimale Proposition 1 Si le ratio de vraisemblance est croissant et si l’action optimale est i = n, alors le salaire croît en le résultat. Cette propriété n’est pas vraie en général Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 30 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Plan du cours 1 Introduction 2 Un exemple avec deux actions 3 Modèle standard (version discrète) 4 Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Modèle 5 Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Modèle multi-tâches* 6 Aléa moral : A retenir Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 31 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Rationnement du crédit Un emprunteur potentiel est rationné s’il ne peut pas obtenir le crédit qu’il souhaite alors qu’il est prêt à payer le taux d’intérêt demandé par les prêteurs Rationnement : un phénomène fréquent et non temporaire Emprunteurs contraints par des lignes de crédit fixes Prêts refusés Deux explications possibles fondées sur Asymétrie d’information entre prêteurs et emprunteurs Responsabilité limitée de l’emprunteur Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 32 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Pourquoi les prêteurs n’augmentent-ils pas les taux si la demande excède l’offre ? Une hausse des taux d’intérêt réduit le gain de l’emprunteur s’il rembourse n’a pas d’effet en cas de faillite s’il est protégé par la responsabilité limitée Explication 1 : Sélection adverse Prêteurs ne peuvent pas identifier bons et mauvais emprunteurs ↑ taux affecte moins les mauvais (qui rembourseront moins souvent) et les attire donc davantage que les bons Prêteurs ne veulent pas ↑ les taux pour garder un bon échantillon d’emprunteurs Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 33 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Pourquoi les prêteurs n’augmentent-ils pas les taux si la demande excède l’offre ? Explication 2 : Aléa moral ↑ taux ⇒ ↓ gain pour l’emprunteur peut le demotiver, l’inciter à poursuivre des projets avec des gains privés plus importants, négliger le projet en faveur d’activités alternatives, etc. =⇒↑ la probabilité de défaut =⇒ Les emprunteurs n’accroissent pas les taux proposés Le modèle qui suit formalise ce mécanisme Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 34 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Rationnement du crédit : Projet et résultats L’entrepreneur-emprunteur a un projet qui requiert un investissement I a une richesse initiale (cash) A < I Pour mettre en oeuvre le projet, l’entrepreneur doit emprunter I−A Le projet réussit avec probabilité pH si l’entrepreneur se “comporte bien”, “exerce l’effort” pL s’il tire au flanc, avec ∆p = pH − pL > 0 rapporte R s’il réussit et 0 s’il échoue Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 35 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Préférences de l’entrepreneur Bénéfices privés de l’entrepreneur Tirer au flanc rapporte B à l’entrepreneur Bien se comporter ne lui rapporte rien Deux interprétations Effort : B est la désutilité de l’effort économisée en tirant au flanc L’entrepreneur peut choisir entre un projet avec proba de succès pH un autre projet qu’il préfère (plus utile pour sa carrière future, qui bénéficie à des amis, etc.), proba de succès pL B représente la préférence pour le mauvais projet Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 36 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Préférences : Responsabilité limitée Pas de préférence pour le présent, pas d’actualisation, δ = 1 Entrepreneur et prêteur(s) risque neutres L’emprunteur est protégé par la responsabilité limitée Espérance d’utilité = 0 dès que revenu est négatif avec proba > 0 Utilité Revenu −∞ F IGURE 5 – Aversion infinie pour les revenus négatifs Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 37 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Contrat Contrat de prêt stipule si le projet est financé (Rb , Rl ) le partage du profit entre investisseurs et emprunteur L’emprunteur reçoit Rb , le prêteur Rl , avec R = Rb + Rl Les deux parties reçoivent 0 en cas d’échec (responsabilité limitée) Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 38 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Timing du jeu Hypothèse : Le projet est viable seulement si effort Valeur nette présente du projet positive seulement si effort pH R − I > 0 > pL R − I + B Donc aucun prêt induisant l’entrepreneur à tirer au flanc ne sera accordé Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 39 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Contrainte d’incitation (CI) de l’entrepreneur ESb = pH Rb − A ≥ pL Rb − A + B ou Rb ≥ B/∆p Rente d’agence : pH B/∆p Espérance de revenu qu’il faut laisser à l’emprunteur pour préserver les incitations L’emprunteur récupère au moins ESb ≥ pH B/∆p − A A cause de la CI, le taux d’intérêt i ne peut pas être trop élevé Rl R − Rb R − B/∆p 1+i = = ≤ I−A I−A I−A Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 40 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Contrainte de participation (CP) de l’entrepreneur L’espérance d’utilité de l’entrepreneur est positive ou nulle ESb = pH Rb − A ≥ 0 (CP) Interaction entre (CI) et (CP) ESb = pH Rb − A ≥ max ( pH B/∆p − A, 0 ) A < pH B/∆p : (CI) active, (CP) inactive A > pH B/∆p : (CP) active, (CI) inactive. Il est crédible que l’entrepreneur fera l’effort Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 41 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Quand le projet est-il finançable ? Contrainte de participation des prêteurs pH Rl ≥ |I − {zA} | {z } Revenu espéré max des prêteurs Montant prêté Revenu espéré net de l’emprunteur et des prêteurs, surplus total ESb = pH Rb − A ≥ max (pH B/∆p − A, 0) ESl = pH Rl − (I − A) ≥ 0 EW = pH R − I Le surplus total doit permettre de financer la rente d’agence EW = pH R − I ≥ pH B/∆p − A Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 42 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Quand le projet est-il finançable ? Le projet est finançable ⇐⇒ L’entrepreneur a assez de cash ⇐⇒ def A ≥ Ā ≡ pH B/∆p − (pH R − I) Projet finançable Ā = pH B/∆p − EW pH B/∆p A CI active CI inactive Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 43 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Partage du surplus (lorsque Ā ≤ A ≤ I) Si le prêteur est monopolistique Rappel : La condition de financement est : EW = pH R − I ≥ max (0, pH B/∆p − A) Le prêteur récupère tout le surplus moins la rente d’agence ESl = EW − max (0, pH B/∆p − A) Lorsque A > pH B/∆p, l’espérance de surplus du prêteur est EW Lorsque A = Ā, l’espérance de surplus du prêteur est nulle Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 44 / 62  Financement d’un investissement et rationnement du crédit Modèle Partage du surplus (lorsque Ā ≤ A ≤ I) Si concurrence parfaite des prêteurs L’emprunteur a tout le surplus : ESb = EW = pH R − I Les prêteurs ont zéro : ESl = pH Rl − (I − A) = 0, d’où Rl 1 1+i = = > 1 =⇒ i > 0 I−A pH Le taux d’intérêt est positif malgré l’absence de préférence pour le présent : Prime de défaut Le revenu laissé aux prêteurs Rl = (I − A)/pH décroît avec A Si A = I, ils n’ont rien du tout : Rl = 0 Si A = Ā, les prêteurs récupèrent le revenu max qui peut leur être promis : Rl = R − B/∆p Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 45 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Plan du cours 1 Introduction 2 Un exemple avec deux actions 3 Modèle standard (version discrète) 4 Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Modèle 5 Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Modèle multi-tâches* 6 Aléa moral : A retenir Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 46 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Si l’agent prend l’action (continue) e, le résultat est gaussien x = e + ε, ε ,→ N (0, σ 2 ) Si σ 2 grand, l’employeur ne peut pas estimer précisément l’effort à partir du résultat observé Utilité de l’employé s’il fait l’effort e et reçoit le salaire w u(w; e) = − exp[−r (w − C(e))], r > 0 u est ↑ concave en w L’aversion au risque absolue, −u 00 /u 0 = r , est constante (CARA) Coût de l’effort (exprimé en euros) : C(e) = ce2 /2, c > 0 Utilité de réservation U < 0 Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 47 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Premier rang Effort, vérifiable, inscrit dans le contrat Employeur maximise Ex − w = e − w 1 sous contrainte de participation : w ≥ C(e) − ln(−U) (CP) r Salaire w sature (CP), donc maxe e − C(e) = maxe e − ce2 /2 Effort de premier rang : e∗ = 1/c Agent parfaitement assuré. Salaire fixe. Niveau de salaire fonction de l’effort (observé) C(e∗ ) − 1r ln(−U) si e = e∗  w(e) = −∞ si e 6= e∗ Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 48 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Second rang : Effort inobservé Contrat : Salaire w fonction du résultat x On se limite à des contrats linéaires : w(x) = αx + β β : partie fixe, transfert de surplus entre employeur et employé α : part variable, gouverne les incitations Si α > 0, le salaire est aléatoire, l’agent supporte du risque La distribution de salaire est gaussienne w = α(e + ε) + β, avec ε ,→ N (0, σ 2 ) Le salaire est gaussien, avec Ew = αe + β, Vw = α2 σ 2 Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 49 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Programme de l’Agent Rappel : si X ,→ N (0, σ 2 ), alors Ee−X = exp(σ 2 /2) Eu(w; e) = −E exp [−r (w − C(e))] = −E exp [−r (α(e + ε) + β − C(e))] = −E exp [−r (Ew − C(e) + αε)] 2 α2 σ 2 /2 = −e−r [Ew−C(e)] er = −e−r [Ew−C(e)−r Vw/2] = u(EC; e) Ew − r Vw/2 = Équivalent certain (EC) de la distribution de salaire Choix de l’effort par l’agent max Ew − C(e) = max β + αe − ce2 /2 =⇒ e = α/c e e Effort nul si α = 0, croissant avec α Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 50 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Programme du Principal : Choix de α et β En anticipant le choix de l’effort par l’agent, e = α/c max EΠ = Ex − Ew = e − (β + αe) ( 1 EC(w) − C(e) = β + αe − r σ 2 α2 /2 − ce2 /2 ≥ − ln(−U) r La partie fixe, β, permet de mettre l’agent sur sa CP 1 Eu = U ou Equivalent certain = C(e) − ln(−U) r Après remplacement de Ew et de e par leur valeur, la partie variable α maximise e − ce2 /2 − r α2 σ 2 /2 = α/c − α2 /2c − r α2 σ 2 /2 (4) | {z } | {z } Coût de l’effort Coût du risque Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 51 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Partage du risque optimal Arbitrage assurance (↓ α) et incitation (↑ α) La part variable optimale 1 α= ≤1 1 + rcσ 2 L’effort est sous-optimal : e = α/c < 1/c = e∗ A l’optimum, l’agent est plus assuré et le contrat est moins incitatif lorsque il est plus averse au risque (r ↑) il y a plus de risque (σ 2 ↑) l’effort plus coûteux (c ↑) Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 52 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle multi-tâches* Modèle multi-tâches* Holmstrom et Milgrom (1991) Avec deux tâches, efforts e1 et e2 Résultat de chaque tâche : x1 = e1 + ε1 , x2 = e2 + ε2 avec (ε1 , ε2 ) gaussien d’espérance nulle, de variance Σ Résultat total : x = x1 + x2 Utilité de l’agent − exp[−r (w − C(e1 , e2 ))] Fonction de coût convexe C(e1 , e2 ) Question Si l’effort sur la tâche 2 est mal observé (σ22 élevé), comment cela affecte-t-il les incitations données sur la tâche 1 ? Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 53 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle multi-tâches* Programme de l’Agent Contrats linéaires en fonction des résultats β partie fixe, α = (α1 , α2 )0 ∈ (R+ )2 , vecteur des parties variables w = β + α0 x Choix du vecteurs des efforts e = (e1 , e2 )0 Équivalent certain moins coût de l’effort est concave en les efforts : EC−C(e) = Ew −C(e)−r Vw/2 = β+α1 e1 +α2 e2 −C(e)−r α0 Σα/2 Effort choisi est tel que α1 = C10 (e), α2 = C20 (e), ou α = ∇C(e) Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 54 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle multi-tâches* Tâches substituables v. complémentaires Donc Dα e = (C 00 )−1 ou 00 00        de1 00 −1 dα1 1 C22 −C12 dα1 = (C ) = 00 00 de2 dα2 det C 00 −C12 C11 dα2 L’effort ei croît avec l’incitation αi et, si j 6= i 00 > 0 : tâches substituables décroît avec αj si C12 00 < 0 : tâches complémentaires croît avec αj si C12 Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 55 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle multi-tâches* Programme du principal ajuste le paiement forfaitaire β pour que Eu = U maximise l’espérance du “surplus total” W (α) W (α) = EC − C(e) + E Π = Ew − r α0 Σα/2 − C(e) + Ex − Ew = Ex − C(e) − r α0 Σα/2 = e1 + e2 − C(e) − r α0 Σα/2 avec e : effort choisi par A étant donné α Le vecteur des dérivées de W (α) par rapport à α1 et α2 est   1 ∇W (α) = (Dα e) − (Dα e) ∇C − r Σα 1 Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 56 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle multi-tâches* Détermination du contrat optimal Utilisant Dα e = (C 00 )−1   00 −1 1 ∇W (α) = (C ) − (C 00 )−1 α − r Σα 1 et ∇W (α) = 0 donne (implicitement si C 00 (e) n’est pas constante)   00 −1 1 α = (I + rC Σ) 1 Tâches indépendantes : C 00 diagonale 00 = 0, on retrouve la formule en mono-tâche : Si C12 1 α= 1 + rcσ 2 Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 57 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle multi-tâches* Pas de signal pour l’une des deux tâches Si P ne peut rien inférer sur la tâche 2, cherche-t-il induire des efforts dans la tâche 2 ? dans la tâche 1 ? Supposons que P a un très mauvais signal sur la tâche 2 et ne peut rien déduire du signal sur la tâche 1 :  2  σ1 0 Σ= avec σ2 très grand 0 σ22 En passant à la limite quand σ2 → +∞ dans 00 00 −1  1 + r σ12 C11 r σ22 C12     α1 1 = 00 00 α2 r σ12 C12 1 + r σ22 C22 1 on trouve α2 → 0 : pas d’incitation sur la tâche 2 Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 58 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle multi-tâches* Pas de signal pour l’une des deux tâches (suite) Si tâche 2 très bruitée et non corrélée à la tâche 1 00 /C 00 1 − C12 22 α1 −−−−−−−−−→ ᾱ1 = 00 − (C 00 )2 /C 00 1 + r σ12 C11   σ22 →∞ 12 22 00 = 0 Tâches indépendantes : C12 On retrouve la formule mono-tâche α1mono 00 < 0 Tâches complémentaires : C12 On incite davantage qu’en mono-tâche : ᾱ1 > α1mono 00 est négatif ᾱ1 d’autant plus grand que C12 Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 59 / 62  Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle multi-tâches* Pas de signal pour l’une des deux tâches (suite) 00 /C 00 1 − C12 22 ᾱ1 = 00 − (C 00 )2 /C 00 1 + r σ12 C11   12 22 00 > 0 Tâches substituables : C12 00 Le numérateur et le dénominateur croissent en C12 Cas limite : Substituabilité parfaite 00 00 00 C(e1 , e2 ) = c(e1 + e2 ) et donc C11 = C22 = C12 = c 00 (e) > 0 ᾱ1 = 0 La présence d’une tâche annexe inobservable et parfaitement substituable détruit toute possibilité d’incitation sur la tâche 1 Peut expliquer qu’en pratique les incitations soient plutôt faibles Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 60 / 62  Aléa moral : A retenir Plan du cours 1 Introduction 2 Un exemple avec deux actions 3 Modèle standard (version discrète) 4 Financement d’un investissement et rationnement du crédit Introduction Modèle 5 Rémunération d’un employé avec utilité CARA Modèle mono-tâche Modèle multi-tâches* 6 Aléa moral : A retenir Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 61 / 62  Aléa moral : A retenir A RETENIR Arbitrage : “Assurance” versus “Incitations” Premier rang : Action contractualisable Le principal assure parfaitement l’agent : c’est efficace L’agent reçoit un salaire fixe qui le compense pour sa participation et l’effort demandé Second rang : Action non contractualisable Le principal laisse du risque à l’agent pour l’inciter à travailler L’agent étant risque averse, il est plus coûteux de le compenser peut conduire à lui faire faire moins d’effort qu’au premier rang Ph. Choné (CREST-ENSAE) Microéconomie 1 – 2A Aléa moral 62 / 62