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## Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I ### Chapitre 1: Vecteurs #### 1.1 Définitions et Opérations de Base **Définition d'un vecteur:** Un vecteur dans le plan $\mathbb{R}^2$ (ou dans l'espace $\mathbb{R}^3$) est défini par un couple (ou un triplet) de nombres réels, appelés composantes du...

## Algèbre Linéaire et Géométrie Analytique I ### Chapitre 1: Vecteurs #### 1.1 Définitions et Opérations de Base **Définition d'un vecteur:** Un vecteur dans le plan $\mathbb{R}^2$ (ou dans l'espace $\mathbb{R}^3$) est défini par un couple (ou un triplet) de nombres réels, appelés composantes du vecteur. On le représente souvent par une flèche partant de l'origine. **Exemple:** $\vec{v} = (3, 2)$ est un vecteur dans $\mathbb{R}^2$. **Opérations de base:** * **Addition:** $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$ * **Soustraction:** $\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$ * **Multiplication par un scalaire:** $k\vec{u} = (ku_1, ku_2)$ #### 1.2 Produit Scalaire **Définition:** Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est défini par: $\qquad \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2$ **Propriétés:** * $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (commutativité) * $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ (distributivité) * $k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k\vec{v})$ **Lien avec l'angle:** $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. #### 1.3 Produit Vectoriel (dans $\mathbb{R}^3$) **Définition:** Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans $\mathbb{R}^3$ est un vecteur $\vec{w}$ défini par: $\qquad \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)$ **Propriétés:** * $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$ (anti-commutativité) * $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ (distributivité) * $k(\vec{u} \times \vec{v}) = (k\vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (k\vec{v})$ **Interprétation géométrique:** La norme $||\vec{u} \times \vec{v}||$ est égale à l'aire du parallélogramme formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Le vecteur $\vec{u} \times \vec{v}$ est orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$. ### Chapitre 2: Matrices #### 2.1 Définitions et Opérations de Base **Définition d'une matrice:** Une matrice est un tableau de nombres. Une matrice avec $m$ lignes et $n$ colonnes est dite de taille $m \times n$. **Exemple:** $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ est une matrice $2 \times 2$. **Opérations de base:** * **Addition:** $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$ * **Multiplication par un scalaire:** $kA = [ka_{ij}]$ * **Multiplication de matrices:** $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ (si $A$ est $m \times n$ et $B$ est $n \times p$, alors $AB$ est $m \times p$) #### 2.2 Transposition **Définition:** La transposée d'une matrice $A$, notée $A^T$, est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de $A$. **Exemple:** Si $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, alors $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$. **Propriétés:** * $(A + B)^T = A^T + B^T$ * $(kA)^T = kA^T$ * $(AB)^T = B^T A^T$ #### 2.3 Déterminant **Définition:** Le déterminant d'une matrice carrée $A$, noté $\det(A)$ ou $|A|$, est un scalaire qui peut être calculé de différentes manières. * **Pour une matrice $2 \times 2$**: $\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$ * **Pour une matrice $3 \times 3$**: Utiliser la règle de Sarrus ou le développement par cofacteurs. **Propriétés:** * $\det(A^T) = \det(A)$ * $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ * Si $A$ a une ligne (ou colonne) de zéros, alors $\det(A) = 0$. * Si $A$ a deux lignes (ou colonnes) identiques, alors $\det(A) = 0$. #### 2.4 Inverse d'une Matrice **Définition:** L'inverse d'une matrice carrée $A$, notée $A^{-1}$, est une matrice telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, où $I$ est la matrice identité. **Condition d'existence:** Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. **Calcul de l'inverse:** Pour une matrice $2 \times 2$, $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, si $ad - bc \neq 0$, alors $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$. Pour les matrices plus grandes, on utilise la méthode de Gauss-Jordan ou la méthode des cofacteurs. ### Chapitre 3: Systèmes d'Équations Linéaires #### 3.1 Représentation Matricielle Un système d'équations linéaires peut être représenté sous forme matricielle comme $Ax = b$, où: * $A$ est la matrice des coefficients. * $x$ est le vecteur des inconnues. * $b$ est le vecteur des constantes. **Exemple:** Le système $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ peut être représenté par: $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$ #### 3.2 Méthodes de Résolution * **Substitution:** Résoudre une équation pour une variable et substituer dans les autres équations. * **Élimination de Gauss:** Utiliser des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée $[A|b]$ pour transformer $A$ en une matrice échelonnée. * **Gauss-Jordan:** Continuer l'élimination de Gauss pour transformer $A$ en la matrice identité. La solution est alors directement lisible dans la colonne $b$. * **Règle de Cramer:** Utiliser les déterminants pour résoudre le système. (Applicable si $\det(A) \neq 0$). Si $A = [a_{ij}]$ et $A_i$ est la matrice obtenue en remplaçant la $i$-ème colonne de $A$ par $b$, alors $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$. #### 3.3 Nombre de Solutions Un système d'équations linéaires peut avoir: * **Une solution unique:** Si $\det(A) \neq 0$ (pour un système avec autant d'équations que d'inconnues). * **Aucune solution:** Le système est dit incompatible. * **Une infinité de solutions:** Le système est dit indéterminé. Le théorème de Rouché-Fontené donne une condition générale pour déterminer le nombre de solutions en fonction du rang de la matrice $A$ et de la matrice augmentée $[A|b]$.