ANTENE FILARE PDF

ANTENE FILARE Curs Antene si Propagare – 7 DIPOLUL INFINITEZIMAL  Firul este scurt si subtire l  λ , a  λ  Variatia spatiala a curentului este constanta  I ( z ') = a z I 0 DIPOLUL INFINITEZIMAL - CAMPUL RADIAT  Pentru gasirea ca...

ANTENE FILARE Curs Antene si Propagare – 7 DIPOLUL INFINITEZIMAL  Firul este scurt si subtire l  λ , a  λ  Variatia spatiala a curentului este constanta  I ( z ') = a z I 0 DIPOLUL INFINITEZIMAL - CAMPUL RADIAT  Pentru gasirea campul radiat de elementul de curent, procedura in 2 pasi descrisa in cursul anterior este folosita  Vom determina A si F, iar apoi E si H  Din moment ce sursa transporta doar curent electric Ie, Im si functia potential F sunt nule  Pentru A avem µ e − jkR A ( x, y , z ) = I e ( x ', y ', z ') 4π C∫ dl ' R unde (x,y,z) sunt coordonatele punctului de observatie, iar (x’,y’,z’) reprezinta coordonatele sursei. R este distanta de la orice punct al sursei la punctul de observatie, iar C este conturul in jurul sursei DIPOLUL INFINITEZIMAL - CAMPUL RADIAT  Din figura avem  I e ( x ', y ', z ') = a z I 0 x=' y=' z=' 0 (dipolinfinitezimal) ( x − x ') + ( y − y ') + ( z − z ') 2 2 2 R= = x 2 + y 2 + z 2 =r =const dl ' = dz '  Putem deci scrie l /2  µ I 0 − jkr  µ I 0l − jkr A ( x, y, z ) a= = z e ∫ dz ' a z e 4π r − l /2 4π r DIPOLUL INFINITEZIMAL - CAMPUL RADIAT  Urmatorul pas este gasirea HA si EA (folosim relatia generala sau aceea pentru J=0)  Vom transforma insa mai intai relatia pentru A(x,y,z) din coordonate carteziene in coordonate sferice  Ar   sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ   Ax    cos θ cos φ sin θ sin φ = Aθ   − sin θ   Ay   Aφ   − sin φ cos φ 0   Az     In situatia data avem Ax=Ay=0 µ I 0le − jkr = z cos θ Ar A= cos θ 4π r µ I 0le − jkr − Az sin θ = Aθ = − sin θ 4π r Aφ = 0 DIPOLUL INFINITEZIMAL - CAMPUL RADIAT  Utilizand simetria problemei (nu exista variatii dupa φ ) putem scrie HA in coordonate sferice intr-o forma simplificata 1  1 ∂ ∂Ar  H A= ∇×A =H aφ ( rA ) − µ µ r  ∂r θ ∂θ   Si inlocuind Ar , Aθ , Aφ in H obtinem µ I 0le − jkr ∂Ar µ I 0le − jkr Ar = cos θ => − =− (− sin θ ) 4π r ∂θ 4π r µ I 0le − jkr ∂ µI l H= H= 0 Aθ = − sin θ = > ( rAθ ) = − 0 sin θ ( − jk e − jkr ) r θ 4π r ∂r 4π 1  µ I 0l µ I 0le − jkr  Hφ = sin θ jk e − jkr + sin = θ µ r  4π 4π r   I 0le − jkr  1 kI 0le − jkr  1  = θ  jk +  j sin= sin θ 1 + 4π r  r 4π r  jkr  DIPOLUL INFINITEZIMAL - CAMPUL RADIAT  Pentru E folosim 1 1 E = E A = − jω A − j ∇ ( ∇A ) = ∇×H ωµε jωε si obtinem I 0l cos θ  1  − jkr =Er Z 0 1 + e 2π r 2  jkr  kI 0l sin θ  1 1  − jkr =Eθ jZ 0  1 + − 2 e 4π r  jkr ( kr )  Eφ = 0 Componentele de camp E si H sunt valabile peste tot, mai putin pe suprafata insasi. DIPOLUL INFINITEZIMAL – REZISTENTA DE RADIATIE  Am discutat in Cursul 4 despre impedanta de intrare a antenei, cu partile sale reala si imaginara. Pentru o antena fara pierderi, partea reala a acestei impedante a fost desemnata ca rezistenta de radiatie -> elementul ce permite transferul puterii de la unda ghidata la unda in spatiul liber  Pentru gasirea impedantei de intrare a unei antene fara pierderi, vectorul Poynting (format de campurile E si H radiate de antena) este integrat peste o suprafata inchisa (de obicei o sfera de raza constanta), ajungandu-se astfel la puterea totala radiata de sursa DIPOLUL INFINITEZIMAL – REZISTENTA DE RADIATIE  Avem 1 1  2 ( W=E × H* ) = ( a r Er + aθ Eθ ) × ( aφ H φ* ) = 2   1  = 2 ( a r Eθ H φ* − aθ Er H φ* )  cu componentele radiala si transversala Z 0 I 0l sin 2 θ 2  1  =Wr 1 − j 3 8 λ r2  ( )  kr 2 k I 0l cos θ sin θ  1  =Wθ jZ 0  1 + 2 16π 2 r 3  ( kr )  DIPOLUL INFINITEZIMAL – REZISTENTA DE RADIATIE  Puterea complexa transerfata in directia radiala se obtine integrand pe o sfera de raza r 2π π    2 ∫∫ P= W ds  = ( W + W ) ∫ ∫ r r θ θ r r sin θ dθ dφ = a a a S 0 0 2π π π I 0l 2  1  = ∫ ∫ Wr r 2= sin θ dθ dφ Z 0 1 − j 3 0 0 3 λ  ( kr )  π 4 pentru ca ∫ 0 sin 3 θ dθ = 3 Componenta transversala Wθ a densitatii de putere nu contribuie la integrala. Deci relatia de mai sus nu reprezinta puterea totala complexa radiata de antena DIPOLUL INFINITEZIMAL – REZISTENTA DE RADIATIE  Din moment ce Wθ este pur imaginar, nu va avea nicio contributie la puterea radiata reala, dar va contribui la puterea imaginara (reactiva), care impreuna cu al doilea termen din relatia anterioara formeaza puterea totala reactiva a antenei  Densitatea de putere reactiva, care este dominanta pentru valori mici ale produsului kr, are atat componenta radiala, cat si componenta transversala. Aceasta se schimba intre directiile spre exterior si interior formand o unda stationara cu 2 perioade per ciclu. De asemenea, aceasta se deplaseaza in directia transversala DIPOLUL INFINITEZIMAL – REZISTENTA DE RADIATIE  Ecuatia puterii (reale si imaginare) poate fi rescrisa 1 π I 0l 2  1  P = ∫∫ E × H*ds = Z 0 1 − j 3 = 2 S 3 λ  ( kr )  ( Prad j 2ω Wm − We =+ )  P este puterea in directia radiala  Prad este puterea radiata mediata in timp  Wm este densitatea de energie magnetica mediata in timp (in directia radiala)  We este densitatea de energie electrica mediata in timp (in directia radiala)  2ω (Wm − We ) este puterea reactiva mediata in timp (in directia radiala) DIPOLUL INFINITEZIMAL – REZISTENTA DE RADIATIE  Rezulta 2 π I 0l Prad = Z 0 3 λ 2 π I 0l 1 2ω (Wm − We ) = −Z0 ( kr ) 3 3 λ  Este clar deci ca energia electrica radiata trebuie sa fie mai mare decat energia magnetica radiata. Pentru valori mari ale produsului kr puterea reactiva scade si se anuleaza cand kr tinde la infinit DIPOLUL INFINITEZIMAL – REZISTENTA DE RADIATIE  Din moment ce antena radiaza puterea sa reala prin rezistenta de radiatie, pentru dipolul infinitezimal ajungem la relatia 2 π I 0l 1 2 =Prad Z= 0 I 0 Rr 3 λ 2 2 2  2π   l  2 l  =Rr Z= 0   80π    3  λ  λ  Pentru ca o antena filara sa fie clasificata ca infinitezimala, de obicei se foloseste conditia λ l≤ 50 DIPOLUL INFINITEZIMAL – REZISTENTA DE RADIATIE  Exemplu: sa se calculeze rezistenta de radiatie a unui dipol infinitezimal cu lungimea l = λ / 50 2 2 l  1  =Rr 80 =π   80= 2 π 2   0.316 ohm λ  50   Rezistenta de radiatie a acestui dipol infinitezimal fiind atat de mica, vor exista dezadaptari considerabile la conectarea cu o linie de transmisiune, care de obicei are impedanta de 50 sau 75 ohm. Eficienta reflexiei er si eficienta totala e0 vor avea valori foarte mici in acest caz  Reactanta dipolului infinitezimal are caracter capacitiv DIPOLUL INFINITEZIMAL – FRONTIERELE REGIUNILOR  Cateva comentarii:  Daca kr=1 sau r = λ / ( 2π ) (distanta radiana), modulul termenilor din parantezele drepte pentru primele 2 relatii de mai jos este acelasi. De asemenea, toti termenii din parantezele drepte in relatia a 3-a au acelasi modul, singurul termen care contribuie la campul total fiind cel de-al doilea (primul si al treilea se anuleaza) kI 0le − jkr  1  =Hφ j sin θ 1 + 4π r  jkr  I l cos θ  1  − jkr =Er Z 0 0 1 + e 2π r 2  jkr  kI l sin θ  1 1  − jkr =Eθ jZ 0 0 1 + − 2 e 4π r  jkr ( kr )  DIPOLUL INFINITEZIMAL – FRONTIERELE REGIUNILOR  Cateva comentarii:  Daca kr1 sau r > λ / ( 2π ) , deci peste distanta radiana, modulul primului termen in primele 2 ecuatii este mai mare, devenind dominant la r  λ / ( 2π ). In a treia relatie termenul 1 are modulul mai mare decat ultimii doi termeni, iar termenul 2 are modului mai mare decat al treilea. Zona kr>1 se cheama de camp intermediar, in timp ce zona kr>>1 se cheama de camp indepartat, energia fiind reala (radiata) kI 0le − jkr  1  =Hφ j sin θ 1 + 4π r  jkr  I l cos θ  1  − jkr =Er Z 0 0 1 +  e 2π r  2 jkr  kI l sin θ  1 1  − jkr =Eθ jZ 0 0 1 + − 2 e 4π r  jkr ( )  kr DIPOLUL INFINITEZIMAL – FRONTIERELE REGIUNILOR  Cateva comentarii: DIPOLUL INFINITEZIMAL – FRONTIERELE REGIUNILOR  Regiunea de camp apropiat (kr>1)  Componentele de camp electric si magnetic sunt perpendiculare, transversale pe directia radiala de propagare, iar variatiile cu r sunt separabile de cele dupa θ si φ  Forma caracteristicii nu este functie de r, iar campurile formeaza un mod TEM cu impedanta de unda egala cu aceea a mediului DIPOLUL INFINITEZIMAL – DIRECTIVITATEA  Am calculat deja puterea reala Prad radiata de dipol 2 π I 0l Prad = Z 0 3 λ  Aceeasi valoare se poate obtine plecand de la densitatea de putere medie 2 1  1 2  Z 0 kI 0l sin 2 θ W= Re E × H = *  a r Eθ = a r 2  av 2Z 0 2 4π r2  Integrand pe o sfera de raza r vom obtine acceasi putere (exercitiu)  Intensitatea de radiatie asociata acestei densitati de putere medie este Z 0  kI 0 l  2 r2 2 =U r= Wav 2 sin = θ E ( r , θ , φ ) 2  4π  θ 2Z0 DIPOLUL INFINITEZIMAL – DIRECTIVITATEA  Valoarea maxima este Z 0  kI 0 l  U max θ = π = 2 2  4π   Iar directivitatea maxima este U 3 = π max D0 4= Prad 2  Apertura maxima efectiva este λ2 3λ 2 Aem = = D0 4π 8π REGIUNILE DE CAMP  Camp apropiat reactiv, camp mediu si camp indepartat  Este dificila gasirea unei solutii valabile in toate zonele, deoarece trebuie sa integram µ e − jkR A ( x, y , z ) = 4π ∫ I e ( x ', y ', z ') C R dl ' R= ( x − x ' )2 + ( y − y ' )2 + ( z − z ' )2 REGIUNILE DE CAMP  Daca in cazul dipolului infinitezimal R=r, acum vom aproxima valoarea lui R tinand cont de figura anterioara  Considerand diametrul firului neglijabil, x’=y’=0 R= ( x − x ' )2 + ( y − y ' )2 + ( z − z ' )2 = 2 x 2 + y 2 + ( z − z ') = = (x 2 ) ( + y 2 + z 2 + −2 zz '+ z '2= ) ( r 2 + −2rz 'cos θ + z '2 )  Folosind dezvoltarea binomiala, se poate rescrie in serie 1  z '2 2  1  z '3  r − z 'cos θ +  R= sin θ  + 2  cos θ sin 2 θ  +... r 2  r  2  REGIUNILE DE CAMP  O prima aproximare ar fi pastrarea primilor doi termeni R ≈ r − z 'cos θ  cu neglijarea celorlalti. Cel mai semnificativ neglijat este termenul al treilea, care are un maxim cand al patrulea se anuleaza 1  z '2 2  z '2 π  sin = θ  = cand θ r  2  2r 2 max  Aproximatia facuta are deci eroarea maxima data de valoarea maxima a termenului 3 REGIUNILE DE CAMP  S-a aratat in literatura ca pentru antene cu lungimea totala mai mare decat lungimea de unda, o eroare totala de faza maxima de pi/8 este acceptabila in caracterizarea acesteia, rezultatele ramanand apropiate de cele reale  In aceste conditii vom scrie z '2 π k ≤ 2r 8 l2 pentru − l / 2 ≤ z ' ≤ l / 2 = >r ≥ 2 λ  Deci pentru a mentine o eroare de faza a antenei mai mica sau egala cu pi/8, distanta de observare r trebuie sa fie mai mare sau egala cu 2l 2 / λ REGIUNILE DE CAMP  Simplificarile uzuale pentru zona de camp indepartat sunt sa aproximam pe R in exponentiala din µ e − jkR A ( x, y , z ) = 4π ∫ I e ( x ', y ', z ') C R dl ' cu R ≈ r − z 'cos θ pentru termenii de faza, respectiv sa aproximam numitorul cu R≈r pentru termenii de amplitudine  REGIUNILE DE CAMP  Exemplu: pentru o antena cu lungimea totala l = 5λ , observatiile sunt realizate la r = 60λ. Sa se gaseasca eroarea in faza si in amplitudine folosind aproximatiile de camp indepartat o =θ 90 = , z ' 2.5λ π R= 1 ( ) r 2 + −2rz 'cos θ + z '2= ( 60λ )2 +  −2 ⋅ 60λ ⋅ 2.5λ cos  2 2 + ( 2.5λ ) =  2 2  λ 60 + 2.5= 60.052λ R2 ≈ r − z 'cos θ = r = 60λ 2π ∆φ = k ∆R = ( R1 − R2 ) = 2π ⋅ 0.052 = 0.327rad = 18.74o λ 1 1 1 1 1  1.44 × 10−5 − =  − = R2 R1 λ  60 60.052  λ REGIUNILE DE CAMP  Referitor la campul intermediar, cu r mai mic decat 2l 2 / λ eroarea de faza maxima cu aproximatia anterioara este mai mare de pi/8, ceea ce este de evitat pentru foarte multe aplicatii  Daca distanata de observare este mai mica decat 2l 2 / λ atunci vom pastra si al treilea termen din dezvoltarea lui R pentru a mentine eroarea maxima de faza sub pi/8 1  z '2  R  r − z 'cos θ +  sin 2 θ  r 2   In aceste conditii termenul cel mai important neglijat in dezvoltare este cel de-al patrulea. Pentru a evalua eroarea de faza maxima introdusa de eliminarea sa, trebuie gasit unghiul θ la care acest maxim apare REGIUNILE DE CAMP  Vom deriva termenul neglijat in raport cu unghiul si-l vom egala cu 0  1  z '3 ∂   z '3  2 cos θ sin 2 θ  =  − sin θ ⋅ sin 2 θ + cos θ ⋅ 2sin θ cos θ  = 2  ∂θ r  2   2r z '3 = 2 sin θ  − sin 2 θ + 2 cos 2 θ=  0 2r  Unghiul egal cu 0 nu este ales ca solutie pentru ca in acest caz termenul patru se anuleaza, deci el va conduce la o eroare minima  Eroarea maxima se va obtine cand paranteza se anuleaza  − sin 2 θ + 2 cos 2 θ  θ =θ1 0= = > θ1 = atan ± 2 ( ) REGIUNILE DE CAMP  Daca eroarea de faza maxima trebuie sa fie sub pi/8, atunci distanta r la care conditia este indeplinita este kz '3 π l3  1   2  π  l3  π ( cos θ sin= 2 θ) l λ = 2   3   2 ≤ 2r 2 z '= 2 8 r  3    12 3  λ r  8 θ = atan ( 2 ) 2 2  l3   l3  r ≥  = 0.385   3 3λ  λ l3 r ≥ 0.62 λ  Deci exista o zona in care primii 3 termeni ai dezvoltarii sunt semnificativi, iar eliminarea celui de-al patrulea introduce o eroare de faza maxima sub pi/8 2l 2 l3 > r ≥ 0.62 λ λ REGIUNILE DE CAMP  Regiunea de camp intermediar este una radianta, deoarece densitatea de putere radiata este mai mare decat densitatea de putere reactiva, iar caracteristica de radiatie este o functie de distanta radiala r  Toata discutia anterioara a considerat o antena de lungime finita l, iar observatorul un punct. Daca antena nu este liniara, l reprezinta cea mai mare dimensiune a antenei  De asemenea, daca antena de emisie are dimensiunea maxima lt, iar cea de receptie lr, suma celor doua va fi considerata in loc de l in relatiile deduse anterior DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – DISTRIBUTIA CURENTULUI  Vom aplica aceleasi metode ca pana acum  Vom considera ca dipolul are un diametru neglijabil (mult mai mic decat lungimea de unda)  Distributia de curent poate fi scrisa sub urmatoarea forma, considerandu-se alimentarea antenei prin zona sa centrala si anularea curentului la extremitati z ' = ± l / 2    l  a  z 0I sin k  2 − z '  , 0 ≤ z ' ≤ l / 2     ( x ' 0,= I e= y ' 0,= z ')  a I sin  k  l + z '   , − l / 2 ≤ z ' ≤ 0  z 0  2       Experimental s-a observat ca pentru o antena filara alimentata central curentul are o forma sinusoidala, cu anulari la punctele extreme ANTENE FILARE Curs Antene si Propagare – 8 DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – DISTRIBUTIA CURENTULUI  Vom aplica aceleasi metode ca pana acum  Vom considera ca dipolul are un diametru neglijabil (mult mai mic decat lungimea de unda)  Distributia de curent poate fi scrisa sub urmatoarea forma, considerandu-se alimentarea antenei prin zona sa centrala si anularea curentului la extremitati z ' = ± l / 2    l  a  z 0I sin k  2 − z '  , 0 ≤ z ' ≤ l / 2     ( x ' 0,= I e= y ' 0,= z ')  a I sin  k  l + z '   , − l / 2 ≤ z ' ≤ 0  z 0  2       Experimental s-a observat ca pentru o antena filara alimentata central curentul are o forma sinusoidala, cu anulari la punctele extreme DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – CAMPUL RADIAT  Se pot deduce formule aproximative pentru campurile E si H, valabile peste tot in spatiu (mai putin pe sursa insasi)  Totusi, din cauza dificultatii integrarii potentialului vector A, vom fi de multe ori limitati doar la zona de camp indepartat  Vom imparti dipolul de lungime finita intr-un numar de dipoli infinitezimali ∆z '  Pe masura ce numarul acestrora creste, fiecare astfel de dipol se apopie de lungimea dz ' DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – CAMPUL RADIAT  Pentru un astfel de dipol, pozitionat de-a lungul axei z la z’, componentele campului in zona de camp indepartat sunt (slide 24 curs 7) kI ( x ', y ', z ') e − jkR dEθ  jZ 0 e sin θ dz ' 4π R kI e ( x ', y ', z ') e − jkR dH φ  j sin θ dz ' 4π R dEr  dE = φ dH = r dH= θ 0 R ≈ r − z 'cos θ  Folosind aproximarile de camp indepartat R≈r kI e ( x ', y ', z ') e − jkr dEθ  jZ 0 sin θ e jkz 'cosθ dz ' 4π r DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – CAMPUL RADIAT  Adunand contributiile tuturor dipolilor infinitezimali, suma se reduce la limita la o integrare l /2 ke − jkr  l /2  ∫−l /2 θ 0 4π r  ∫ e( ) jkz 'cosθ =Eθ = dE jZ sin θ I x ', y ', z ' e dz '   − l /2   Termenul din afara parantezelor se numeste factorul elementului, iar termenul din paranteze se numeste factorul spatiului  Pentru dipolul de lungime finita, factorul elementului este egal cu campul unui dipol infinitezimal de lungime unitara pozitionat in punctul de referinta (in origine)  In general, factorul elementului depinde de tipul curentului si de directia sa de curgere, in timp ce factorul spatiului este o functie de distributia curentului de-a lungul sursei DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – CAMPUL RADIAT  Campul total al antenei este produsul intre cei doi factori (al elementului si al spatiului) -> inmultirea caracteristicilor  Pentru distributia de curent considerata se poate scrie kI 0 e − jkr  0  l   jkz 'cosθ l /2  l   jkz 'cosθ  Eθ jZ 0 sin θ  ∫ sin  k  + z '   e dz ' + ∫ sin  k  − z '   e dz '  4π r  − l /2   2  0   2    Fiecare integrala se poate rezolva folosind eα x ∫e = αx sin ( β x + γ )dx α sin ( β x + γ ) − β cos ( β x + γ )  α2 + β2  α = ± jk cos θ β = ±k γ = kl / 2 DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – CAMPUL RADIAT  Se va obtine   kl   kl   cos  cos θ  − cos   I 0 e − jkr   2   2  Eθ  jZ 0  2π r  sin θ     In mod similar, sau folosind relatia dintre Eθ si Hφ in zona de camp indepartat Z 0  Eθ / Hφ se obtine   kl   kl    − jkr cos  cos θ  − cos   I 0e  2   2  H φ  Eθ / Z 0  j  2π r  sin θ    DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – INTENSITATEA RADIATIEI  Vectorul Poynting mediat se poate scrie 1 1   1   Eθ*  Wav = Re [ E ×= H *] Re aθ Eθ × aφ= H φ  Re aθ Eθ × aφ  2 2 2  Z0  2   kl   kl   cos  cos θ  − cos   I0  2   1 2   2   2  Wav a= = rWav ar Eθ = ar Z0 2 2  2Z 0 8π r  sin θ     Intensitatea radiatiei este 2   kl   kl   2 cos  cos θ  − cos   2 I0   2   2  U r= = Wav Z 0 2  8π  sin θ    DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – INTENSITATEA RADIATIEI  Diagrama normata (la 0 dB) de putere in elevatie pentru intensitatea de radiatie dedusa, la diferite lungimi ->  Distributia de curent este cea considerata initial  Un dipol cu l λ , U sin 2 θ este de asemenea inclus Lungimea antenei creste -> Lobul se ingusteaza DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – INTENSITATEA RADIATIEI  Directivitatea va creste deci si ea cu lungimea antenei  Daca lungimea dipolului depasteste lungimea de unda, numarul lobilor va incepe sa creasca  Exemplu: l = 1.25λ DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – PUTEREA RADIATA  Integram vectorul Poynting mediat peste o sfera de raza r 2π π 2π π   2 ∫∫= Wav ds ∫ ∫ a a θ dθ d φ ∫ ∫ sin θ dθ dφ 2 =Prad rWav  r r sin = Wav r S 0 0 0 0 2   kl   kl   2 π cos   cos θ  − cos   I0  2   2   dθ 4π ∫0  Prad = Z0  sin θ     Dupa (lungi) calcule se poate scrie 2 I0 1 P= rad Z 0 {C + ln( kl ) − Ci ( kl ) + sin(kl ) [ Si (2kl ) − 2Si (kl ) ] + 4π 2 1 + cos(kl ) [C + ln(kl / 2) + Ci (2kl ) − 2Ci (kl ) ]} 2 ∞ x x cos y cos y sin y C= 0.5772, Ci ( x) = −∫ dy = ∫ dy si S i ( x ) ∫ = dy x y ∞ y 0 y DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – REZISTENTA DE RADIATIE  Rezistenta de radiatie se obtine din 2 Prad Z0 1 Rr = 2 = {C + ln(kl ) − Ci (kl ) + sin(kl ) [ Si (2kl ) − 2 Si (kl ) ] + I0 2π 2 1 + cos(kl ) [C + ln(kl / 2) + Ci (2kl ) − 2Ci (kl ) ]} 2  Partea imaginara a impedantei nu poate fi gasita folosind aceeasi metoda ca in cazul partii reale, deoarece integrarea pe o sfera a 2π π    2 =P ∫∫ = W ds  ( a W + a W ) ∫ ∫ r r θ θ r r sin θ dθ dφ a S 0 0 nu va capta puterea imaginara produsa de componenta transversala Wθ a densitatii de putere DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – REZISTENTA DE RADIATIE  Folosind alte metode de calcul se poate ajunge la forma partii reactive a impedantei Z0 X= m {2 Si (kl ) + cos(kl ) [ 2 Si (kl ) − Si (2kl ) ] − 4π   2ka 2   − sin(kl )  2Ci (kl ) − Ci (2kl ) − Ci   }   l  DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – DIRECTIVITATEA  Asa cum am aratat, diagrama de radiatie in elevatie a dipolului devine mai directiva cand lungimea dipolului creste  Cand lungimea devine mai mare decat lungimea de unda, numarul lobilor creste, iar antena isi pierde din proprietatile de directivitate  Directivitatea este data de F (θ , φ ) max D0 = 4π 2π π ∫ ∫ F (θ , φ ) sin θ dθ dφ 0 0 U = B0 F (θ , φ ) DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – DIRECTIVITATEA  Pentru dipolul de lungime l avem 2   kl   kl    cos  cos θ  − cos    2   2  F (θ= , φ ) F= (θ )   sin θ    2 I B0 = Z 0 0 2 8π  Datorita independentei de unghiul phi 2 F (θ ) max 2 F (θ ) max =D0 π= Q ∫ F (θ ) sin θ d θ 0 1 Q= {C + ln(kl ) − Ci (kl ) + sin(kl ) [ Si (2kl ) − 2 Si (kl )] + 2 1 + cos(kl ) [C + ln(kl / 2) + Ci (2kl ) − 2Ci (kl ) ]} 2 DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – REZISTENTA DE INTRARE  Impedanta de intrare a fost definita ca raportul dintre tensiune si curent la perechea terminalelor sau ca raportul dintre componentele campurilor electric si magnetic in fiecare punct  Partea reala a impedantei de intrare a fost definita ca rezistenta de intrare, care pentru o antena fara pierderi echivaleaza cu rezistenta de radiatie  Rezistenta de radiatie a unui dipol de lungime l, folosind distributia de curent sinusoidala considerata, a fost dedusa in slide 12  Conform acelei relatii, rezistenta de radiatie este legata de curentul maxim, care pentru anumite lungimi ale dipolului nu este vazut la terminalele de intrare ale antenei DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – REZISTENTA DE INTRARE  Pentru a considera rezistenta de radiatie la terminalele de intrare ale antenei, antena fara pierderi este luata in calcul RL=0  Apoi puterea la terminalele de intrare este egalata cu puterea la curent maxim 2 2 I in I Rin = 0 Rr 2 2 I  Rin =  0  Rr  I in  DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – REZISTENTA DE INTRARE  Pentru un dipol de lungime l, curentul la intrare este legat de curentul maxim  kl  I in = I 0 sin   2 Rr Rin =  kl  sin 2   2 DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – EFECTUL DISTANTEI NENULE INTRE TERMINALE  Pentru a determina in mod analitic efectul curentului nenul in punctul de alimentare al antenelor care au o distanta finita intre terminale, distributia de curent considerata pana acum poate fi modificata prin adaugarea unui termen in cuadratura  Acest termen suplimentar a fost introdus pentru a lua in considerare efectele de radiate in distributia de curent a antenei  Sau altfel spus, o antena excitata de o distributie de curent ideala va produce campuri electric si magnetic. Acestea la randul lor vor infuelnta distributia de curent ideala DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – EFECTUL DISTANTEI NENULE INTRE TERMINALE  Considerand un coeficient p dependent de lungimea totala a antenei si de distanta finita dintre terminale     l   a  z 0 I sin k  2 − z '  + jpI 0 [ cos( kz ') − cos( kl / 2) ] ,0 ≤ z ' ≤ l / 2       I e ( x ', y ', z ') =     l   a I  z 0 sin k  2 + z '  + jpI 0 [ cos( kz ') − cos( kl / 2) ] , − l / 2 ≤ z ' ≤ 0        Valoarea lui p scade cand diametrul conductorului si distanta finita dintre terminale sunt mai mici  La l = λ / 2  ') a z I 0 (1 + jp ) cos(kz '), 0 ≤ z ' ≤ λ / 4 I e ( x ', y ', z=  La l = λ   a z I 0 {sin(kz ') + jp [1 + cos(kz ') ]} , 0 ≤ z ' ≤ λ / 2 I e ( x ', y ', z ') =   a z I 0 {− sin(kz ') + jp [1 + cos(kz ') ]} , − λ / 2 ≤ z ' ≤ 0 DIPOLUL DE LUNGIME FINITA – EFECTUL DISTANTEI NENULE INTRE TERMINALE  Pentru l = λ / 2 forma curentului nu este modificata, in timp ce pentru l = λ ea este schimbata de cel de-al doilea termen care devine dominant pentru valori mici ale lui z’  Variatia distributiei de curent si a impedantelor, in special pentru antenele filare, ca o functie de diametrul firului si de distanta finita dintre terminale, poate fi usor luata in calcul folosind metode de calcul avansate si tehnici numerice (ecuatiile integrale si metoda momentului) DIPOLUL IN JUMATATE DE LUNGIME DE UNDA– PARAMETRII  Componentele de camp devin  π  − jkr cos  cos θ  I 0e  2  Eθ  jZ 0  2π r  sin θ     π  − jkr  cos  cos θ   Ie 2  Hφ  j 0  2π r  sin θ     Densitatea de putere mediata in timp este 2  π  cos  cos θ  I0  2 2  2   Z I 0 Wav = Z 0 2 2  0 sin 3 θ 8π r  sin θ  8π r2 2   DIPOLUL IN JUMATATE DE LUNGIME DE UNDA– PARAMETRII  Intensitatea de radiatie este 2  π  2 cos   cos θ   2 I0  2  I0 2 U r= = Wav Z 0 2    Z 0 2 sin 3 θ 8π  sin θ  8π    Puterea totala radiata este π  2 πcos 2  cos θ  I 2  dθ Prad = Z0 0 ∫ 4π 0 sin θ 2 2 I 0 2π  1 − cos y  I0 8π ∫0  =Prad Z= 0  dy Z 0 Cin (2π ) y  8π Cin (2π ) = 0.5772 + ln(2π ) − Ci (2π )  2.435 DIPOLUL IN JUMATATE DE LUNGIME DE UNDA– PARAMETRII  Directivitatea U max U θ =π /2 4 4 = π D0 4= 4π = =  1.643 Prad Prad Cin (2π ) 2.435  Aria efectiva maxima λ2 λ2 Aem = = D0 1.643  0.13λ 2 4π 4π  Rezistenta de radiatie in spatiul liber 2 Prad Z 0 Rr = = 2 Cin (= 2π ) 30 ( 2.435 )  73 I0 4π  Rezistenta vazuta la intrare este chiar rezistenta de radiatie (curentul are maxim la intrare) DIPOLUL IN JUMATATE DE LUNGIME DE UNDA– PARAMETRII  Impedanta de intrare Z= in 73 + j 42.5  Pentru a anula partea imaginara a impedantei de intrare, o tehnica des intalnita este aceea de reducere a lungimmi totale a dipolului  In functie de diametrul firului, lungimea dipolului la prima rezonanta este = l 0.47λ ÷ 0.48λ DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Pana acum am considerat caracteristicile de radiatie ale antenelor intr-un mediu nelimitat  Prezenta obstacolelor, mai ales in apropierea elementului radiant, va conduce la modificarea proprietatilor de radiatie  In practica, obstacolul cel mai des intalnit este solul. Orice energie de la elementul radiant directionata catre sol va suferi o reflexie. Cantitatea de energie reflectata si directia sa sunt controlate de geometrie si de parametrii constructivi ai terenului  In general, solul este un mediu cu pierderi σ ≠ 0 , conductivitatea efectiva crescand cu frecventa DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Pentru a simplifica analiza, vom considera pentru inceput ca solul este perfect conductor, perfect plat si infinit  Teoria imaginii: vom introduce surse (imagini) virtuale DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Sursele imaginare, combinate cu cele reale, formeaza un sistem echivalent. Acest sistem echivalent produce acelasi camp radiat deasupra conductorului ca si sistemul real, iar sub conductor nu produce niciun camp  Sageata indica polarizatia  In punctul de observare P1 avem unda directa si unda reflectata θ1i = θ1r (energia in medii omogene se deplaseaza in linii drepte de-a lungul cailor cele mai scurte)  Pentru un alt punct P2 reflexia se petrece in alt punct (R2), dar sursa virtuala este in aceeasi pozitie  Pentru un conductor perfect, unda incidenta este reflectata in totalitate DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Conform conditiilor la granita, componentele tangentiale ale campului electric se anuleaza in toate punctele interfetei  Deci pentru un camp electric incident cu polarizatie verticala, polarizatia undei reflectate trebuie sa fie ca in figura pentru a satisface conditiile la granita  Pentru a obtine polarizatia undelor reflectate, sursa virtuala trebuie sa aiba tot polarizatie verticala in aceeasi directie cu sursa reala (deci coeficient de reflexie +1) DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Similar este cazul dipolului orizontal plasat deasupra unui plan infinit perfect conductor  Coeficientul de reflexie va fi -1  Pe langa sursele electrice, se vor considera surse magnetice echivalente artificiale si conductoare magnetice DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Dipolul vertical electric  Ne vom referi doar la zona de camp indepartat kI 0le − jkr1 d Eθ = jZ 0 sin θ1 4π r1 kI 0le − jkr2 r Eθ = jΓ v Z 0 sin θ 2 , Γ v = 1 4π r2 DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Dipolul vertical electric  Campul total deasupra interfetei este dat de suma componentelor directe si reflectate, iar sub interfata este nul r1 = r 2 + h 2 − 2hr cos θ r2 = r 2 + h 2 − 2hr cos (π − θ )  In zona de camp indepartat r>>h avem (folosind dezvoltarea binomiala) r1  r − h cos θ r2  r + h cos θ  Variatiile amplitudinii nefiind critice putem scrie r1  r2  r DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Dipolul vertical electric  Suma componentelor campului electric (direct si reflectat) devine kI 0le − jkr Eθ  jZ 0 sin θ [ 2 cos(kh cos θ ) ] , z ≥ 0 4π r Eθ 0, z λ / 4  Z 0 I 0l 2  sin 2 ( kh ) , kh ≤ π / 2, h ≤ λ / 4, θ = 0o  2 λ U max = 2  Z 0 I 0l  2 λ , kh > π / 2, h > λ / 4, θ= 0 si sin(kh cos θ max= o ) 1 sau θ max= cos −1 (π / 2kh )  DIPOLUL INFINITEZIMAL DEASPURA UNUI PLAN INFINIT PERFECT CONDUCTOR  Dipolul orizontal electric  Directivitatea  4sin 2 ( kh )  , kh ≤ π / 2, h ≤ λ / 4, 4π U max  R ( kh ) =D0 =  Prad  4 , kh > π / 2, h > λ / 4  R ( kh )   Unde  2 sin(2kh) cos(2kh) sin(2kh)  R ( kh ) =  3 − (2kh) − (2kh) 2 + (2kh)3    4sin 2 ( kh ) 2  sin kh  =D0 kh→0 = 7.5   2 2 8 2  kh   3 − 3 + 15 ( kh )  ANTENE BUCLA Curs Antene si Propagare – 9 ANTENE BUCLA  La fel de ieftine ca cele filare  Pot avea forme diferite: dreptunghi, patrat, triunghi, elipsa, cerc  Analiza, dar si constructia lor sunt relativ simple -> utilizare larga in diferite aplicatii  Se poate arata o bucla mica (circulara sau partata) este echivalenta cu un dipol infinitezimal magnetic a carui axa este orientata perpendicular pe planul buclei. Deci, campurile radiate de o bucla mica electrica (circulara sau partata) au aceeasi forma matematica cu cele radiate de un dipol infinitezimal magnetic  Clasificarea antenelor bucla se face de obicei: electrice mici, respectiv electrice mari ANTENE BUCLA  Electricele mici au lungimea totala (circumferinta) C sunt deci radiatoare cu performante foarte scazute, fiind rar utilizate in sisteme de telecomunicatii (doar in modul receptie, unde SNR e acceptat mai scazut). Sunt utilizate insa ca sonde pentru masuratorile de camp si ca antene directive in navigatia radioghidata.  Pe masura ce dimensiunea antenei creste, circumferinta electrica apropiindu-se de lungimea de unda in spatiul liber, caracteristica se modifica: de la nul perpendicular pe bucla si maxim in planul buclei la maxim perpendicular pe planul buclei ANTENE BUCLA  Rezistenta de radiatie a buclei poate fi crescuta (ajungand apropiata de impedantele caracteristice ale liniilor uzuale de transmisiune) prin cresterea perimetrului electric sau prin marirea numarului de bucle  O alta modalitate de crestere a rezistentei de radiatie este introducerea in perimetru (in bucla) a unui element de ferita de permeabilitate ridicata. Acesta va creste intensitatea campului magnetic, si deci rezistenta de radiatie  Buclele electrice mari sunt folosite de obicei in arii directive. Maximul radiatiei este directionat de-a lungul axei buclei, alegerea fazei intre bucle permitand imbunatatirea proprietatilor de directivitate globale ale sistemului ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Pozitionarea geometrica cea mai convenabila pentru simplificarea analizei campului este cu bucla simetrica in planul x0y si cu z=0  Firul este presupus foarte subtire ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Distributia spatiala a curentului este data de Iφ = I 0  unde I0 este o constanta. Chiar daca acest tip de distributie este precis doar pentru antene cu circumferinte foarte mici, o forma mai complexa ar ingreuna explicatiile  Pentru gasirea campurilor radiate de bucla, se pleaca de la potentialul vector A µ e − lkR A ( x, y , z ) = ∫ I e ( x ', y ', z ') dl ' 4π C R  unde R este distanta de la orice punct al buclei la punctul de observatie, iar dl’ este o sectiune infinitezimala din bucla ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  In general, putem scrie distributia spatiala de curent ca    I e ( x ', y ', z ') a x I x ( x ', y ', z ') + a y I y ( x ', y ', z ') a z I z ( x ', y ', z ') = forma fiind mai potrivita pentru o geometrie liniara  Pentru o geometrie circulara, se pot folosi componentele cilindrice in locul celor carteziene =I x I ρ cos φ '− Iφ sin φ '  I x  cos φ ' − sin φ ' 0   I ρ   I  =  sin φ ' cos φ ' 0   I  =I y I ρ sin φ '+ Iφ cos φ '  y   φ   I z   0 0 1   I z  Iz = Iz ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  In general, campurile radiate sunt determinate de componentele sferice, deci vom transforma versorii cartezieni in versori sferici     a x = a r sin θ cos φ + aθ cos θ cos φ − aφ sin φ     a y = a r sin θ sin φ + aθ cos θ sin φ + aφ cos φ    =a z a r cos θ − aθ sin θ  Folosind ultimele 2 seturi, se poate  I e ( x ', y ', z ') a r  I ρ sin θ cos (φ − φ ') + Iφ sin θ sin (φ − φ ') + I z cos θ  + =  aθ  I ρ cos θ cos (φ − φ ') + Iφ cos θ sin (φ − φ ') − I z sin θ  +  aφ  − I ρ sin (φ − φ ') + Iφ cos (φ − φ ')   Folosim in continuare ( ρ ', φ ', z ') pentru sursa si ( ρ , φ , z ) pentru punctul de observatie  ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Pentru bucla circulara curentul curge in directia φ    =I e a r Iφ sin θ sin (φ − φ ') + aθ Iφ cos θ sin (φ − φ ') + aφ Iφ cos (φ − φ ')  Se poate scrie ( x − x ') + ( y − y ') + ( z − z ') 2 2 2 R=  x = r sin θ cos φ  x ' = a cos φ '  y = r sin θ sin φ  y ' = a sin φ '      z = r cos θ  z'= 0  x 2 + y 2 + z 2 = r2  x '2 + y '2 + z '2 = a2 R= r 2 + a 2 − 2ar sin θ cos (φ − φ ') dl ' = adφ ' ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Folosind ultimele forme si revenind la potentialul vector 2π − jk r 2 + a 2 − 2 ar sin θ cos (φ −φ ') aµ e =Aφ ∫ Iφ cos (φ − φ ') dφ ' 4π 0 r + a − 2ar sin θ cos (φ − φ ') 2 2  Din moment ce curentul spatial Iφ este constant, campul radiat de bucla nu va depinde de unghiul de observatie φ 2π − jk r 2 + a 2 − 2 ar sin θ cos (φ −φ ') aµ I 0 e Aφ = 4π ∫ cos φ ' 0 r + a − 2ar sin θ cos (φ − φ ') 2 2 dφ '  Integrarea formei de mai sus, pentru bucle circulare foarte subtiri de orice raza, se poate face prim mai multe metode complexe, insa in continuare vom aproxima aceasta integrala ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Pentru bucle mici, functia − jk r 2 + a 2 − 2 ar sin θ cos (φ −φ ') e f = r 2 + a 2 − 2ar sin θ cos (φ − φ ')  poate fi dezvoltata in serie Maclaurin in a astfel 1 1 f f (0) + f '(0)a + = f ''(0)a 2 +... + f ( n −1) (0)a n −1 +... 2! (n − 1)!  unde ∂f ∂2 f =f '(0) = , f ''(0) ∂a a =0 ∂a 2 a =0 ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Considerand doar primii 2 termeni, se obtine e − jkr  jk 1  f=(0) =  + 2  e − jkr sin θ cos φ ' , f '(0) r  r r  1  jk 1   f   + a  + 2  sin θ cos φ ' e − jkr r  r r    Revenind la potentialul vector 2π aµ I 0 1  jk 1   − jkr Aφ  4π ∫0 cos φ ' r  + a   r + r 2   sin θ cos φ '  e dφ '  a 2 µ I 0 − jkr  jk 1  Aφ  e  + 2  sin θ 4  r r  ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Similar putem scrie componentele dupa r si θ ca 2π aµ I 0 1  jk 1   Ar  sin θ ∫ sin φ '  + a  + 2  sin θ cos φ ' e − jkr dφ ' 4π 0 r  r r   2π aµ I 0 1  jk 1   Aθ  − cos θ ∫ sin φ '  + a  + 2  sin θ cos φ ' e − jkr dφ ' 4π 0 r  r r    insa integralele ambelor componente se anuleaza, asa incat   a 2 µ I 0 − jkr  jk 1  A=  aφ Aφ aφ e  + 2=  sin θ 4  r r   k µ a 2 I 0 sin θ  1  − jkr aφ j  1 + e 4r  jkr   Folosind 1 H A= ∇× A µ ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Se ajunge la ka 2 I 0 cos θ  1  − jkr =Hr j  1 + e 2r 2  jkr  (ka ) 2 I 0 sin θ  1 1  − jkr Hθ = −  1 + − 2  e 4r  jkr ( kr )  Hφ = 0  Folosind apoi ∇ × H A = J + jωε E A  la J = 0 se obtine E= r E= θ 0 (ka ) 2 I 0 sin θ  1  − jkr =Eφ Z 0  1 + e 4r  jkr  ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Comparand acum ecuatiile componentelor de camp la care s-a ajuns pentru antena bucla mica circulara cu cele ale dipolului infinitezimal magnetic, vom observa ca ele au forme similare  Componentele campurilor electric si magnetic pentru un dipol infinitezimal magnetic de lungime l si curent spatial magnetic constant Im sunt (folosind dualitatea cu componentele unui dipol infinitezimal electric) E= r E= θ H= φ 0 kI l sin θ  1  − jkr Eφ = −j m 1 + e 4π r  jkr  I ml cos θ  1  − jkr =Hr  1 + e 2π Z 0 r 2  jkr  kI ml sin θ  1 1  − jkr =Hθ j 1 + − 2  e 4π Z 0 r  jkr ( kr )  ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Comparand cele 2 seturi de componente de camp electric si magnetic, se poate observa ca un dipol magnetic cu momentul magnetic Iml este echivalent cu o bucla mica electrica de raza a si curent electric constant I0. Putem scrie I ml = jSωµ I 0 S = π a 2 suprafata buclei  Putem deci inlocui, in scopul analizei, antenele bucle mici electrice cu dipoli mici liniari magnetici de curent constant. ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Campurile deduse pentru bucla mica sunt valabile pretutindeni, cu exceptia originii.  Asa cum s-a discutat la dipolul infinitezimal, puterea in regiunea foarte apropiata de antena (kr1) este predominant reala  Pentru bucla mica, densitatea de putere complexa este 1 1  ( E × H *) = ( aφ Eφ ) × ( ar H r∗ + aθ Hθ∗ ) =   W= 2 2 1    −a r Eφ Hθ∗ + aθ Eφ H r∗  2  Cand integram aceasta densitate de putere peste o sfera inchisa, doar componenta sa radiala contribuie la puterea complexa Pr (ka ) 4 2 sin 2 θ  1  =Wr Z 0 I0  1 + j  32 r2  (kr )3  ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Obtinandu-se 2π π (ka ) 4 2  1  3 = ∫∫= Pr  S Wds Z 0 32 I0 ∫ 0 ∫0  (kr )3  sin θ dθ dφ 1 + j π 2 1  =Pr Z 0 (ka ) 4 I 0 1 + j  12  (kr )3   Partea sa reala este π 2 Prad = Z 0 (ka ) 4 I 0 12  Pentru valori mici kr1, al doilea termen scade, facand puterea pur reala. ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Comparand cu puterea obtinuta in Curs 7 pentru dipolul infinitezimal π I 0l 2  1  =P Z0 1 − j 3 3 λ  ( kr )   se poate observa ca termenul 2 din paranteza are semn diferita la dipol si la antena bucla. Pentru dipolul infinitezimal densitatea de putere radiala in campul apropiat este capacitiva, in timp ce pentru bucla mica circulara ea este inductiva.  Rezistenta de radiatie pentru bucla mica circulara este 2 4 2 Prad π 2π  kS  2C   S2   20π    31,17  4  4 Rr = = 2 Z 0 (=ka ) Z 0  = I0 6 3  λ  λ λ  =S π= a 2 , C 2π a  Ultima egalitate este utilizabila si pentru bucle de alta forma ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Rezistenta de radiatie dedusa anterior este valabila pentru antene cu o singura bucla. Daca antena are N bucle prin care trece campul magnetic, atunci rezistenta de radiatie este data de N2 ori mai mare decat cea a antenei cu o bucla 2 4 2π  kS  2 2C  2S  2 =Rr Z= 0   N 20π   N  31,17 N  4  2 3  λ  λ λ   In concluzie, chiar daca rezistenta de radiatie a unei antene cu o bucla este foarte mica, aceasta poate fi crescuta cu numarul de bucle utilizate. Este deci un mecanism practic util, care nu este aplicabil si in cazul dipolului infinitezimal  ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Exemplu: gasiti rezistenta de radiatie a uni antene cu o bucla, respectiv cu 8 bucle, stiind ca raza antenei este a = λ / 25 si ca propagarea are loc in mediul liber 2  λ  πλ 2 S π= = a π =  2  25  625 2 2 2 2π  k πλ 2  2π  2π / λ πλ 2  2π  2π 2  = π Rr 1bucla 120=   120π =   120 = π   0.788ohm 3  λ 625  3  λ 625  3  625  2 2 2 2π  k πλ 2  2π  2π / λ πλ 2  2π  2π 2  Rr π 120=   64 120π =   64 120 = π   64 50.43ohm 8bucle 3  λ 625  3  λ 625  3  625  ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Rezistentele de radiatie si de pierderi furnizeaza eficienta de radiatie a antenei. Cum pentru o singura bucla rezistenta de radiatie este mai mica decat rezistenta de pierderi, solutia cu mai multe bucle a fost adoptata. Totusi, deoarece distributia de curent intr-o antena cu mai multe bucle este foarte complexa, metodele analitice pentru determinarea eficientei de radiatie nu sunt foarte relevanta. In plus, metodele experimentale sunt folosite cu succes Na  R p  Rohmic = Rs  + 1 b  R0  ωµ0 Rs = impedanta suprafetei conductorului 2σ R p rezistenta per unitate de lungime datorata efectului de proximitate NRs R0 = rezistenta data de efectul de suprafata 2π b pe unitatea de lungime ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Exemplu: reluam cazul anterior: raza buclei a = λ / 25 , raza firului b = 10−4 λ , spatierea buclelor 4 ⋅10−4 λ , iar conductivitatea cuprului din care este facut firul este 5.7 ⋅107 S / m. Sa se determine eficienta radiatiei Rr 1bucla = 0.788ohm Rr 8bucle = 50.43ohm a ωµ0 = 1.053ohm RL 1bucla = b 2σ 0.788 ecd = = 0.428 = 42.8% 0.788 + 1.053 Stiind Rp/Ro=0.38, pentru antena cu 8 bucle avem 8 π (108 )(4π ⋅10−7 ) RL R= = ohmic =1.38 11.62 25 ⋅10−4 5.7 ⋅107 50.43 ecd = = 0.813 = 81.3% 50.43 + 11.68 ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Zona de camp apropiat (kr>1  Termenul dominant este primul din paranteze, deci k 2 a 2 I 0 e − jkr π SI 0 e − jkr Hθ  − sin θ = − sin θ 4r λ 2r k 2 a 2 I 0 e − jkr π SI 0 e − jkr Eφ  Z 0 sin θ = Z 0 sin θ 4r λ 2r H=φ H= r E= θ E= r 0  Se poate calcula impedanta de unda Eφ Zu = −  Z0 Hθ  La fel ca la dipolul infinitezimal, componentele campurilor electric si magnetic ale buclei in zona indepartata sunt perpendiculare intre ele si transversale pe directia de propagare -> un mod TEM, cu impedanta de unda egala cu cea a mediului liber ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Prad a fost dedusa anterior. Aceeasi valoare se poate obtine daca se calculeaza densitatea de putere medie Wav si se integreaza peste o sfera inchisa de raza r. Wav are doar componeta radiala Wr, aceasta fiind relationata de intensitatea de radiatie 2 Z0  k 2a2  2 r2 2 2 U r= = Wr  2  I 0 sin= θ Eφ (r , θ , φ ) 2  4  2Z 0  Valoarea maxima se atinge la θ = π / 2 si este 2 Z0  k 2a2  2 U max U= =   I0 θ =π /2 2  4   Directivitatea este U 3 = π max D0 4= Prad 2  Aria efectiva maxima este  λ2  3λ 2 =Aem = D  0  4π  8π ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Se poate observa ca directivitatea, si deci si aria efectiva maxima, pentru o antena bucla mica, sunt identice cu cele ale dipolului infinitezimal electric. Acest lucru era de asteptat din moment ce caracteristicile lor sunt identice  Exemplu: raza unei antene bucla mici cu curent constant este 1/25 din lungimea de unda. Gasiti suprafata fizica a buclei si comparati-o cu aria efectiva maxima 2 λ  S π= = a π = 2  5.03 ⋅10 λ −3 2  25   3λ 2   0.119λ 2 Aem = =  8π  Aem = 23.66 S  Bucla este deci din puct de vedere electric de 24 de ori mai mare decat dimensiunea sa fizica ANTENE BUCLA - CONTINUARE Curs Antene si Propagare – 10 ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  O bucla mica este in esenta inductiva si poate fi echivalata conform schemei  In modul de transmisie: Z in =Rin + jX in =( Rr + RL ) + j ( X A + X i )  Rr rezistenta de radiatie  RL rezistenta de pierderi a conductorului circular  XA reactanta externa inductiva a antenei ω LA  Xi reactanta interna de frecventa inalta a conductorului circular ω Li ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  In figura mai avem condensatorul Cr in paralel cu impedanta de intrare a antenei (discutata in slide-ul anterior). Pentru a determina valoarea sa la rezonanta, se va lucra in admitante 1 1 Yin =Gin + jBin = = Z in Rin + jX in Rin X in Gin = ; Bin = − Rin2 + X in2 Rin2 + X in2  La rezonanta, susceptanta Br a capacitorului Cr se alege astfel incat sa elimine partea imaginara Bin. Br B 1 X Cr = = − in = 2 in 2 2π f 2π f 2π f Rin + X in ' 1 Rin2 + X in2 ' X in2 Z= R= = in in = Rin + Gin Rin Rin ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Bucla circulara de raza a si raza firului b:   8a   =LA µ0 a ln   − 2    b    Bucla patrata de latura a si raza firului b: a  a  =LA 2 µ 0  ln   − 0.774  π  b   Reactanta interna Xi a unui conductor bucla poate fi gasita folosind inductanta interna Li a buclei, care pentru o singura infasurare poate fi aproximata cu l ωµ0 a ωµ0 =Li = ω P 2σ ωb 2σ  unde l este lungimea, iar P este circumferinta firului buclei ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  In modul receptie (antena de receptie sau sonda de masura a densitatii fluxului magnetic) Avem o densitate de flux magnetic Bz care este perpendiculara pe i  planul buclei. Presupunand campul incident ca fiind unifor de-a lungul planului buclei, tensiunea circuitului cu o infasurare este VOC = jωπ a 2 BZi ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Considerand din figura planul de incidenta ca planul format de axa z si perpendiculara ce uneste centrul sistemului cu punctul de observatie, tensiunea circuitului deschis poate fi scrisa in functie de amplitudinea campului magnetic/ electric incident astfel = ωπ a 2 µ0 H i cosψ i sin θi jk0π a 2 E i cosψ i sin θi VOC j=  unde ψ i este unghiul dintre directia campului magnetic al undei plane incidente si planul de incidenta  Lungimea efectiva se poate calcula     e a= = l φ e a φ jk 0π a 2 cosψ i sin=θ i a φ jk0 S cosψ i sin θ i  unde S este aria buclei. Factorul cosψ i sin θi a fost introdus deoarece tensiunea circuitului deschis este proportionala cu componenta Bzi a densitatii de flux magnetic care este normala la planul buclei ANTENE BUCLA – BUCLA MICA CIRCULARA  Cand o impedanta de sarcina ZL este conectata la terminalele buclei, tenciunea VL de-a lungul sarcinii este legata de impedanta de intrare Zin’ si de tensiunea circuitului deschis prin ZL VL = VOC ' Z + ZL in ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Consideram acum bucle circulare a caror raza nu mai este mica  Curentul este in continuare considerat constant  Chiar daca distributia de curent uniforma de-a lungul permietrului buclei este aplicabila circumferintelor sub 0.1λ (raza sub 0.016 λ), procedura ce urmeaza a fi prezentata poate fi folosita pentru a gasi campurile in zona de camp indepartata pentru o antena bucla de orice dimensiune fara a fi obigatorie prezenta curentului uniform  ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Campurile radiate: distanta R poate fi aproximata ca R= r 2 + a 2 − 2ar sin θ cos φ '  r 2 − 2ar sin θ cos φ ', r  a  Folosind dezvoltarea binomiala 2a R  r 1− sin θ cos φ ' = r − a sin θ cos φ ' = r − a cosψ 0 , termenii de faza r R  r , termenii de amplitudine  unde   cosψ 0 = a 'ρ  ( a x cos φ '+ a y sin φ ') ( a x sin θ cos φ + a y sin θ sin φ + a z cos θ ) a r φ =0 = φ =0 sin θ cos φ ' =  Legatura geometrica dintre R si r, pentru orice unghi de observatie φ in zona de camp indepartat, este data de figura. Pentru φ = 0 se simplifica la forma de mai sus. Putem deci rescrie  ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  potentialul vector 2π a µ I 0 e − jkr ∫ jka sin θ cos φ ' Aφ  cos φ ' e dφ ' 4π r 0 π 2π aµ I 0 e − jkr   4π r  ∫0  cos φ ' e jka sin θ cos φ ' dφ ' + ∫ cos φ ' e jka sin θ cos φ ' dφ ' π  2π π ∫ cos φ ' e − ∫ cos φ '' e − jka sin θ cosφ '' dφ '' jka sin θ cos φ ' dφ ' = φ=' φ '' +π π 0 π π aµ I 0 e − jkr   4π r  ∫0 Aφ   cos φ ' e jka sin θ cos φ ' dφ ' − ∫ cos φ '' e − jka sin θ cos φ '' dφ '' 0   folosim (Jn(z) – functia Bessel de ord n) π π j J n ( z ) = ∫ cos ( nφ )e jz cosφ dφ n 0 ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Se obtine a µ I 0 e − jkr Aφ  [π j J1 (ka sin θ ) − π j J1 (−ka sin θ )] 4π r  Functia Bessel de ordinul n sepoate scrie ( −1) ( z / 2 ) m n+2m ∞ J n ( z) = ∑ m=0 m !(m + n)! ( −1) J n ( z ) → n=1 J1 (− z ) =−J1 ( z ) n J n (− z ) =  Ceea ce conduce la a µ I 0 e − jkr Aφ  j J1 (ka sin θ ) 2r  Urmatorul pas consta in gasirea campurilor electric si magnetic asociate cu potentialul vector. In camp indepartat, variatiile dupa r sunt separabile de cele dupa θ si φ ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Se obtine setul Er  Eθ = 0 akI 0 e − jkr Eφ  Z 0 J1 ( ka sin θ ) 2r H r  Hφ = 0 EφakI 0 e − jkr Hθ  − = − J1 ( ka sin θ ) Z0 2r  Calculam acum densitatea de putere mediata in timp 1 1    1 2 W= av Re E × H*=  Re aφ Eφ × aθ Hθ*=  a r Eφ 2 2 2Z 0  ( aωµ ) I 0 2 2  W =av a=rWr ar 2 J12 ( ka sin θ ) 8Z 0 r ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Intensitatea de radiatie ( aωµ ) 2 2 I0 U r= = Wr 2 J12 ( ka sin θ ) 8Z 0  Caracteristicile in elevatie pentru a = {λ /10, λ / 5, λ / 2} sunt prezentate in figura.  La θ = 0 avem anulare  Pe masura ce a creste peste 0.5λ, intensitatea campului de-a lungul planului buclei θ = 90 scade, anulandu-se la a=0.61 λ Peste a=0.61 λ radiatia de-a lungul planului buclei creste, iar caracteristica atinge o forma cu lobi multipli ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Caracteristica tridimensionala pentru circumferinta buclei C = 2π a ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Intensitatea de radiatie dedusa anterior presupune distributia curentului constanta, indiferent de dimensiunea buclei. Presupunerea nu mai este insa adevarata daca C>0.1λ (a>0.016 λ). In acest caz variatia curentului de-a lungul circumferintei buclei se apropie de o distributie reprezentata cel mai fidel de o serie Fourier.  O distributie uniforma poate fi obtinuta intr-o bucla chiar daca raza sa este mare. Pentru aceasta, bucla este impartita in sectiuni, fiecare sectiune (arc de bucla) fiind alimentata separat. Toate liniile de alimentare sunt conectate la o sursa de alimentare. Un astfel de set-up poate aproxima o distributie uniforma sau neuniforma in-faza.  S-a aratat in literatura ca la C= λ, maximum radiatiei considerand o distributie neuniforma de curent, se obtine la θ = 0 ,180 , adica o o perpendicular pe planul buclei. Aceasta proprietate a fost utilizata la proiectarea antenei Yagi-Uda. ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Puterea radiata π ( aωµ ) I 0 2 2 π ∫∫= W ds ∫ J ( ka sin θ ) sin θ dθ 2 =Prad av 1 S 4Z 0 0 π 2 ka 1 ∫ J ( ka sin θ ) sin θ dθ = ka ∫ J 2 1 2 ( x)dx 0 0 π 2 ka 1 2 1 1 ∞ Q (ka ) = 2 ∫0 (1) 11 J 1 ( ka=sin θ ) sin θ d θ 2ka ∫0 = J 2 ( x ) dx ∑ J 2m+3 (2ka) ka m =0  Avem o serie convergenta (uzual nu sunt necesari mai mult de 2ka termeni), care poate fi aproximata foarte eficient  Aproximarea pentru bucle mari (a>λ/2) π 2 ka 1 1 ∫0 J ( ka1 2 sin θ ) sin θ d θ = ∫ J 2 ( x)dx  ka 0 ka π ( aωµ ) I 0 2 2 Prad  4 Z 0 (ka) ANTENE BUCLA – BUCLA CIRCULARA DE CURENT CONSTANT  Aproximarea pentru bucle mari (a>λ/2) (= aωµ ) I 0 ( aωµ ) 2 2 2 2 I0 J12 ( ka sin θ ) ( 0.582 ) 2 =U max 8Z 0 ka sin θ =1.84 8Z 0 2 Prad 2π ( aωµ ) 2 π  C   ka 60π =(ka ) 60π 2   2 Rr = = 2 = Z0  = I0 4 Z 0 (ka) 2 λ ka ( 0.582 ) 2 U C = 2ka ( 0.582 ) 0.677   2 = π max 4π D0 4= = Prad 2π λ λ2 λ2 C   5.39 ×10 λ C −2 A =em D0 = 0.677  = 4π 4π λ  Aproximarea pentru bucle medii ( λ / (6π ) ≤ a ≤ λ / 2 ) 2 Prad ( ) Q11(1) ( ka ) 2 Rr = = 2 Z 0π ka I0 U Fm (ka ) = π max D0 4= Prad Q11(1) ( ka )  J12 (1.840 ) = (0.582) 2 = 0.339, ka > 1.840 (a > 0.293λ ) = ( ka sin θ ) max  2 Fm (ka ) J= 2  J1 ( ka ) , 1