Cours d’Analyse 2 - 2020-21 - PDF

Département de Mathématique Filière : Sciences Mathématiques et Applications Cours d’Analyse 2 Semestre 2 – SMA – Pr. Abdelhai El Azzouzi Faculté Polydisciplinaire de Taza Département de Mathématiques Année Universi...

Département de Mathématique Filière : Sciences Mathématiques et Applications Cours d’Analyse 2 Semestre 2 – SMA – Pr. Abdelhai El Azzouzi Faculté Polydisciplinaire de Taza Département de Mathématiques Année Universitaire : 2020/2021  TABLE DES MATIÈRES 1 Intégrales de Riemann 3 1.1 Pour bien aborder ce chapitre............................. 3 1.2 Intégrales de fonctions en escalier........................... 6 1.3 Intégrales de Riemann................................. 9 1.4 Sommes de Riemann :................................ 11 1.5 Inégalité de Schwarz, inégalité de Minkowski.................... 15 1.6 Formules de la moyenne............................... 16 1.6.1 Première formule de la moyenne....................... 16 1.6.2 Deuxième formule de la moyenne...................... 17 2 Calcul des intégrales 19 2.1 Changement de variable et intégration par parties................... 20 2.1.1 Changement de variable dans l’intégrale................... 20 2.1.2 Applications :................................. 21 2.2 Formule d’intégration par parties........................... 21 2.3 Quelques méthodes de recherche de primitives.................... 22 2.3.1 Intégration des fractions rationnelles :.................... 22 1 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza 2.3.2 Fractions rationnelles trigonométriques :................... 24 2.3.3 Autres types de primitive........................... 25 3 Intégrales généralisées 27 3.1 Locale intégrabilité.................................. 27 3.2 Intégrale convergente................................. 28 3.2.1 Critères de convergence pour les fonctions positives............ 32 3.2.2 Intégrales absolument convergentes..................... 35 3.2.3 Critère de Cauchy.............................. 37 3.2.4 Utilisation de développements asymptotiques................ 41 4 Equations différentielles 42 4.1 Pour bien aborder ce chapitre............................. 42 4.2 Définitions et vocabulaire............................... 42 4.3 Equations différentielles du premier ordre...................... 43 4.3.1 Equations à variables séparables....................... 43 4.4 Equations différentielles linéaires du premier ordre................. 45 4.5 Méthode de la variation de la constante........................ 46 4.6 Equations homogènes du premier ordre....................... 47 4.6.1 Equations de Bernoulli............................ 48 4.6.2 Equations de Ricatti............................. 49 4.7 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants..... 49 4.8 Quelques seconds membres particuliers....................... 55 TABLE DES MATIÈRES 2 CHAPITRE 1 INTÉGRALES DE RIEMANN 1.1 Pour bien aborder ce chapitre Les mathématiciens se sont intéressés très tôt aux problèmes de calcul d’aires et de volumes. Ainsi Eudoxe de Cnide, mathématicien grec du 4e siècle avant note ère, parvient à calculer le vo- lume d’une pyramide. Cent ans plus tard, Archimède généralise son procédé et invente la méthode d’exhaustion. Il s’agit d’approcher l’aire ou le volume à déterminer par des aires ou des volumes élémentaires, par défaut et par excès. La notion de limite est alors encore bien loin d’être découverte et le calcul est généralement terminé par un raisonnement par l’absurde. La «révélation " est venue de Newton et de Leibniz lorsqu’ils inventèrent le calcul infinitésimal : l’opération d’intégration est une opération inverse de celle de la dérivation et, pour calculer une aire, il suffit de calculer une primitive. C’est «le théorème fondamental de l’analyse". Il faudra attendre néanmoins le 19e siècle pour que la notion d’intégrale soit bien formalisée grâce aux travaux de Cauchy et surtout à ceux de Riemann. Celui-ci s’intéresse à fonction f donnée sur un segment [a, b] et essaie d’approcher l’aire A sous le graphe de f par les aires Σ− et Σ+ de deux familles de rectangles qui approchent par défaut et par excès A comme dans les dessins ci-dessous. 3 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza FIGURE 1 - Somme inférieure : Σ− CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 4 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza FIGURE 2 - Somme supérieure : Σ+ Une fonction est intégrable au sens de Riemann si et seulement la différence des aires Σ+ et Σ− tend vers 0 quand le pas de la subdivision, c’est-à-dire la largeur des rectangles considérés, tend vers 0. La méthode d’exhaustion est sous-jacente à ce procédé. Nous travaillerons dans ce chapitre sur une classe de fonctions beaucoup plus simples que celles étudiée dans l’intégrale de Riemann : les fonctions continues par morceaux. Ce sera amplement suffisant pour pourvoir traiter une large variété de problèmes. Vous généraliserez ces résultats en spé lors de l’étude des intégrales impropres à des fonctions pas forcément continues par morceaux. En particulier, pour un segment [a, b] et une fonction f : [a, b] → R+ positive, nous nous attacherons dans ce chapitre à répondre aux deux questions suivantes. CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 5 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza FIGURE 3 - Aire sous une courbe 1 Quelle condition imposée à f pour que l’aire délimitée par sa courbe dans un repère ortho- normé soit bien définie ? 2 Comment calculer cette aire ? 1.2 Intégrales de fonctions en escalier. Nous allons tout d’abord donner la définition d’une subdivision associée à un intervalle fermé borné [a, b]. Définition 1 Une subdivision σ d’un intervalle I = [a, b] est une suite finie strictement croissante x0 <... < xn d’éléments de I telle que x0 = a et xn = b. Exemple 1 : On utilisera souvent la subdivision suivante i x0 = a et pour 1 ≤ i ≤ n, xi = a + (b − a). n Ainsi, à chaque subdivision σ, on a n intervalles fermés bornés associés [xi , xi+1 ] pour 0 ≤ i ≤ n − 1. On définit alors le pas de la subdivision comme étant h= sup (xi+1 − xi ) 0≤i≤n−1 b−a Il est facile de constater que, pour l’exemple précédent, le pas est n. CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 6 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Sur l’ensemble des subdivisions, on introduit une relation d’ordre : On dit qu’une subdivision σ est plus fine qu’une subdivision σ ′ si tous les points de σ ′ ap- partiennent à σ. En d’autres termes, σ s’obtient de σ ′ en ajoutant d’autres points de l’intervalle I = [a, b] et en ordonnant la nouvelle famille de points obtenue. De plus, à partir de deux subdi- visions σ et σ ′ , on peut définir une nouvelle subdivision σ ∪ σ ′ qui est la réunion de σ et de σ ′ en prenant tous les points apparaissant dans σ ou dans σ ′ puis en les rangeant dans un ordre strictement croissant. Nous pouvons à présent donner la définition d’une fonction en escalier : Définition 2 : Une fonction f : I = [a, b] → IR est dite en escalier s’il existe une subdivision σ : x0 ,... , xn de I telles que la restriction de f à ]xi , xi+1 [ soit une constante ci pour 0 ≤ i ≤ n−1. On dit alors que la subdivision σ est associée à f. Remarque 1 1- Il n’y a pas de conditions portant sur les valeurs que prend la fonction f aux différents points xi pour 0 ≤ i ≤ n. 2- Si f est en escalier alors f ne prend qu’un nombre fini de valeurs. 3 - Si σ est une subdivision associée à f alors toute subdivision σ ′ plus fine que σ est également associée à f. Exemple 2 La fonction f définie par f (x) = E[x], partie entière de x, est une fonction en escalier sur tout intervalle fermé borné. Nous sommes à présent en mesure de définir l’intégrale d’une fonction en escalier sur un intervalle I = [a, b]. Définition 3 L’intégrale d’une fonction en escalier sur I = [a, b] est le réel noté I(f, σ) défini par n−1 X I(f, σ) = (xi+1 − xi ) ci. i=0 Proposition 1 I(f, σ) ne dépend pas de la subdivision associée σ. Démonstration 1 Si σ ′ est une autre subdivision associée à f , plus fine que σ alors I(f, σ) = I (f, σ ′ ) Il suffit de remarquer que si ]xi , xi+1 [est un intervalle associé à la subdivision σ alors il y a une suite d’éléments xi1 <... < xini de σ ′ avec xi1 = xi , xini = xi+1 et telle que   [xi , xi+1 ] = [xi1 , xi1 +1 ] ∪... ∪ xini −1 , xini CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 7 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Par conséquent, si ci est la constante associée à σ sur l’intervalle ]xi , xi+1 [ alors ini −1 X (xi+1 − xi ) ci = (xj+1 − xj ) ci. j=i1 En remarquant que f prend la même valeur ci sur tous les intervalles ]xi1 , xi1 +1 [,... , ]xini −1 , xini [, puis en faisant varier i de 0 jusqu’à n − 1 et en sommant, on retrouve alors I (f, σ ′ ). Ensuite si σ et σ ′ sont deux subdivisions quelconques de I = [a, b], alors en considérant σ ′′ = σ ∪ σ ′ (σ ′′ est à la fois plus fine que σ et σ ′ ) et en utilisant ce qui précède, on obtient I (f, σ ′′ ) = I(f, σ) et I (f, σ ′′ ) = I (f, σ ′ ) par suite I(f, σ) = I (f, σ ′ ) Notation : On écrit alors Z b I(f ) = f (x)dx a Remarque 2 L’intégrale d’une fonction en escalier ne dépend pas des valeurs prises par f aux points de la subdivision. Cas particuliers : 1- Si f est la fonction constante égale à 1 (sauf en un nombre fini de points, alors Z b f (x)dx = b − a a 2- Si f est la fonction identiquement nulle sauf en un nombre fini de points, alors Z b f (x)dx = 0 a Proposition 2 1. Relation de Chasles : Si c est un élément de I = [a, b], a < c < b, alors Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c 2. Linéarité : Si f et g sont deux fonctions en escalier sur I et si λ et µ sont deux réels, alors la fonction λf + µg est en escalier sur I et on a Z b Z b Z b (λf (x) + µg(x))dx = λ f (x)dx + µ g(x)dx a a a Démonstration 2 Pour la première partie, il suffit de partir d’une subdivision σ associée à f et de considérer la subdivision σ ′ = σ ∪ {c}, σ ′ est plus fine que σ et est aussi associée à f mais cette fois l’élément c fait partie de la nouvelle subdivision. Pour le deuxième point de la propriété, λf + µg est clairement une fonction en escalier, car si σ est associée à f et σ ′ est associée à g alors σ ∪ σ ′ est associée à la fonction λf + µg et la conclusion découle alors aisément. CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 8 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Pour clore ce paragraphe, nous allons faire quelques remarques qui nous seront utiles pour la suite. Remarque 3 1. Si f est une fonction en escalier positive alors Z b f (x)dx ≥ 0 a 2. Si f et g sont deux fonctions en escalier sur I = [a, b] vérifiant f ≥ g alors Z b Z b f (x)dx ≥ g(x)dx a a 4. Si f est en escalier sur I alors |f | est en escalier sur I et on a Z b Z b f (x)dx ≤ |f (x)|dx a a 5. Si f est en escalier sur I et si k est un réel positif vérifiant |f (x)| ≤ k sur I alors Z b f (x)dx ≤ k(b − a) a (On remarquera que si σ est associée à f alors la même subdivision σ est associée à |f | ) 1.3 Intégrales de Riemann. Dans ce qui suit, f désigne une fonction définie sur un intervalle fermé borné I = [a, b] et à valeurs réelles. Définition 4 : On dit que f est intégrable au sens de Riemann si pour tout réel ε > 0, il existe deux fonctions en escalier g et h sur I vérifiant Z b g ≤ f ≤ h et (h − g)(x)dx ≤ ϵ a Il est utile de noter que si f est une fonction intégrable sur I alors f est bornée. Pour définir l’intégrale d’une fonction intégrable f , on note E− l’ensemble des fonctions en escalier φ vérifiant φ(x) ≤ f (x)∀x ∈ I, et E+ l’ensemble des fonctions en escalier ψ vérifiant ψ(x) ≥ f (x)∀x ∈ I. De même, on note Z b  Z b  A− = φ(x)dx, φ ∈ E− et A+ = ψ(x)dx, ψ ∈ E+ a a CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 9 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza f étant bornée, les parties A+ et A− sont non vides. De plus, tout élément de A+ est un majorant de A− et tout élément de A− est un minorant de A+. Posons α = sup A− , et β = inf A+ , alors on a α = β En effet, l’hypothèse α < β signifierait que pour tout couple de fonctions en escalier φ et ψ telles que φ ≤ f ≤ ψ, on aurait Z b (ψ − φ)(x)dx ≥ (β − α) a et f ne serait pas intégrable. Inversement, si les deux parties A− et A+ sont telles que sup A− = inf A+ alors on peut établir en utilisant la propriété caractéristique de la borne supérieure et celle de la borne inférieure que Z b ∀ε > 0, ∃u ∈ E− , et v ∈ E+ , (v − u)(x)dx < ε. a Nous avons obtenu le théorème suivant : Théorème 1 Soit f : I = [a, b] → R une fonction bornée, E− , E+ , A− et A+ étant définies comme précédemment, on note I− (f ) = sup A− et I+ (f ) = inf A+. f est intégrable si et seulement si I− (f ) = I+ (f ). Nous sommes à présent en mesure de définir l’intégrale d’une fonction intégrable : Définition 5 Z b f (x)dx = I− (f ) = I+ (f ) a Conséquence immédiate : Si f : [a, b] → R est une fonction intégrable et positive alors Z b f (x)dx ≥ 0 a Proposition 3 Les fonctions monotones sur I = [a, b] sont intégrables. Démonstration 3 Soit ζ une fonction monotone sur I. On suppose par exemple que ζ est décrois- sante et on choisit la subdivision donnée par x0 = a et xi = a + i b−a n pour 1 ≤ i ≤ n. On note Mi la limite à droite de ζ en xi pour 0 ≤ i ≤ n − 1 et mi la limite à gauche de ζ en xj pour 1 ≤ i ≤ n. On considère les deux fonctions en escalier g et h définies par g(x) = mi+1 et h(x) = Mi pour x ∈] xi , xi+1 [, 0 ≤ i ≤ n − 1 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 10 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza On rappelle que les valeurs prises par g et celles prises par h aux points xi de la subdivision n’ont pas d’importance pour la suite. On a alors g ≤ ζ ≤ h et b n−1 b n−1 b−a b−a Z X Z X g(x)dx = mi+1 et h(x)dx = Mi a i=0 n a i=0 n et par suite b b−a Z (h − g)(x)dx ≤ (M0 − mn ) a n Proposition 4 Les fonctions continues sur un intervalle fermé borné I = [a, b] sont intégrables sur I. Démonstration 4 On rappelle que si f est continue sur [a, b] alors f est uniformément continue sur [a, b]. En d’autres termes ∀ε > 0∃η > 0 |x − x′ | < η ⇒ |f (x) − f (x′ )| < ε On précise que η ne dépend ni de x ni de x′. Pour la subdivision de [a, b] donnée par xi = a + i b−a n , on définit sur ]xi , xi+1 [ pour 0 ≤ i < n − 1, les deux fonctions en escalier h et g suivantes : g(x) = f (xi ) − ε et h(x) = f (xi ) + ε Il est facile de voir que g et h sont deux fonctions en escalier sur [a, b] qui vérifient à partir d’un Rb certain rang convenable n, g ≤ f ≤ h et a (h − g)(x)dx = 2ε(b − a). Par suite, f est intégrable. 1.4 Sommes de Riemann : Lors de la démonstration du résultat précédent nous avons obtenu la conséquence suivante : Proposition 5 Soit f une fonction continue sur [a, b], alors la suite (un )n définie par n f a + i b−a
Z b X n un = (b − a) tend vers f (x)dx i=1 n a Exemples 1 n Z 1 X k 1. 2 tend vers xdx. k=1 n 0 n Z 1 X k2 2. 3 tend vers x2 dx. k=1 n 0 CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 11 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Remarque 4 La classe des fonctions continues sera par la suite étendue à une classe plus large formée par les fonctions dites réglées. A ce stade, il serait utile de donner un exemple d’une fonction non intégrable. La fonction dite "indicatrice des rationnels" qui vaut 1 en tout nombre rationnel et 0 en tout nombre réel non rationnel est non intégrable sur tout intervalle [a, b] avec a < b. En effet, il n’est pas possible pour cette fonction de trouver deux fonctions en escalier g et h qui vérifient Z b g ≤ f ≤ h avec (h − g)(x)dx < ε, ∀ε > 0 a car la densité de Q dans R impliquera que forcément on a g(x) ≤ 0; et h(x) ≥ 1∀x ∈ [a, b] et donc on aura Z b (h − g)(x)dx ≥ (b − a) a Avant d’étendre les propriétés des intégrales établies pour les fonctions en escalier aux fonctions intégrables, nous allons donner une caractérisation des fonctions intégrables qui facilitera les dé- monstrations. Proposition 6 f est intégrable si et seulement si il existe deux suites de fonctions en escalier (φn ) et (θn ) telles que Z b 0 ≤ (f − φn ) ≤ θn et θn (x)dx → 0 lorsque n → +∞ a Démonstration 5 Si f est intégrable, alors en prenant ε = n1 , on a deux suites de fonctions en escalier gn et hn qui vérifient Z b 1 gn ≤ f ≤ hn avec (hn − gn ) (x)dx < a n on pose alors φn = gn et θn = hn − gn. 1 Inversement, pour ε > 0, on choisit N entier tel que N < ε, et on considère alors φN et θN et on pose g = φN et h = θN + φN · g et h conviennent. Consquence : Z b Z b f (x)dx = lim φn (x)dx a n→+∞ a En effet, il suffit d’écrire Z b Z b Z b 0≤ f (x)dx − φn (x)dx ≤ θn (x)dx a a a CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 12 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza La propriété de linéarité et la relation de Chasles s’étendent aux fonctions intégrables : Propriétés : 1. Si f et g sont deux fonctions intégrables, alors Z b Z b Z b (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx a a a 1. Si f est une fonction intégrable et si λ st un réel quelconque, alors Z b Z b λf (x)dx = λ f (x)dx a a Démonstration 6 On sait qu’il existe deux suites de fonctions en escalier (φn )n et (θn )n telles que Z b 0 ≤ f − φn ≤ θn et θn (x)dx tend vers 0 a et deux autres suites de fonctions en escalier (φ′n )n et (θn′ )n telles que Z b 0≤g− φ′n ≤ θn′ et θn′ (x)dx tend vers 0 a La fonction f + g est clairement intégrable et les deux suites (φn + φ′n )n et (θn + θn′ )n sont telles que : Z b 0 ≤ f + g − (φn + φ′n ) ≤ θn + θn′ et (θn + θn′ ) (x)dx tend vers 0 a Maintenant, si λ est un réel donné, on peut supposer que λ > 0, il est facile de se convaincre que les deux suites (λφn )n et (λθn )n conviennent pour la fonction λf et la propriété 2 découle alors de la même propriété mais cette fois pour les fonctions en escalier. Relation de Chasles : Si f est une fonction intégrable sur I alors pour tout réel c vérifiant a < c < b, on a Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c Démonstration 7 Si (φn )n et (θn )n sont deux suites associées à f , alors chaque élément de ces Rc Rc Rb suites vérifie la relation de Chasles. Puisque a φn (x)dx tend vers a f (x)dx, c φn (x)dx tend Rb Rb Rb vers c f (x)dx, a φn (x)dx tend vers a f (x)dx et que Z b Z c Z b φn (x)dx = φn (x)dx + φn (x)dx a a c la même égalité résultera pour les limites. Remarque 5 1. Si f etRg sont deux fonctions intégrables qui vérifient f ≤ g sauf en un nombre b Rb fini de points, alors a f (x)dx ≤ a g(x)dx. CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 13 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza 2. Si f etR g sont deuxRfonctions intégrables qui ne diffèrent qu’en un nombre fini de points b b alors a f (x)dx = a g(x)dx. Disons simplement qu’on écrit la relation de Chasles après avoir suffisamment divisé l’intervalle [a, b] ( en chaque point où f et g diffèrent) et de se rendre compte que sur chaque intervalle f et g sont alors égales (ou f ≤ g selon le cas) sauf peut être aux extrémités, mais alors les valeurs prises par les fonctions en escalier correspondantes en ces extrémités n’ont pas d’importance quant aux valeurs des intégrales. Un résultat un peu plus technique est donné par le théorème suivant : Rb Théorème 2 Si f est une fonction continue positive vérifiant a f (x)dx = 0 alors f est la fonction identiquement nulle. Démonstration 8 Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) > 0. f étant continue en x0 , il existe alors un intervalle centré en x0 de la forme ]x0 −δ, x0 +δ [⊂ [a, b] tel que f (x) ≥ f (x2 0 ) et par suite Z b Z x0 +δ f (x)dx ≥ f (x)dx > δf (x0 ) a x0 −δ Ce qui est absurde. Remarque 6 On pourra plus tard établir ce résultat de façon plus simple en utilisant une primitive de f. En considérant les valeurs absolues, on a le résultat suivant : Proposition 7 Si f est intégrable sur I = [a, b], alors |f | est intégrable sur [a, b] et on a Z b Z b f (x)dx ≤ |f (x)|dx a a Démonstration 9 Notons (φn )n et (θn )n deux suites de fonctions en escalier associées à f , il est alors aisé de vérifier qu’on a ||f | − |φn || ≤ |f − φn | ≤ θn |φn | étant aussi une fonction en escalier, ceci prouve que |f | est intégrable. D’autre part, puisque Z b Z b φn (x)dx ≤ |φn (x)| dx a a alors par passage à la limite, on obtient Z b Z b f (x)dx ≤ |f (x)|dx a a CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 14 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Corollaire : Si f et g sont deux fonctions intégrables sur [a, b] alors les deux fonctions sup(f, g) et inf(f, g) sont également intégrables sur [a, b]. Pour cela il suffit de se rappeler les formules sup(f (x), g(x)) = 12 (f (x) + g(x) + |(g − f )(x)|) et inf(f (x), g(x)) = 21 (f (x) + g(x) − |(g − f )(x)|). Autre conséquence : S’il existe un réel k positif vérifiant |f (x)| ≤ k∀x ∈ [a, b] alors Z b f (x)dx ≤ k(b − a) a Rb   En particulier, on a a f (x)dx ≤ supx∈[a,b] |f (x)| (b − a). 1.5 Inégalité de Schwarz, inégalité de Minkowski Proposition 8 Si f et g sont deux fonctions intégrables sur [a, b] alors leur produit f g est aussi intégrable sur [a, b]. Démonstration 10 A partir de deux suites de fonctions en escalier (φn )n et (θn )n associées à f et de deux autres suites de fonctions en escalier (φ′n )n et (θn′ )n associées à g et si on note α = supx∈I |g(x)| et β = supx∈I |φn (x)|, on a |(f g − φn φ′n ) (x)| = |(f − φn ) (x)g(x) + φn (x) (g − φ′n ) (x)| ≤ αθn (x) + βθn′ (x) αθn +βθn′ étant une fonction en escalier qui vérifie les bonnes propriétés. Il est alors aisé de déduire deux suites de fonctions en escalier qui correspondent à la fonction f g. On a donc le résultat. Inégalité de Schwarz : Si f et g sont deux fonctions intégrables réelles ou complexes on a Z b 2 Z b  Z b  2 2 (f g)(x)dx ≤ |f (x)| dx |g(x)| dx a a a Inégalité de Minkowski : Sous les mêmes hypothèses, on a Z b 1/2 Z b 1/2 Z b 1/2 2 2 2 |(f + g)(x)| dx ≤ |f (x)| dx + |g(x)| dx a a a Démonstration 11 Remarquons qu’il suffit de le démontrer pour les fonctions positives. Pour tout réel λ, on peut écrire : Z b Z b Z b Z b 2 2 2 (f (x) + λg(x)) dx = λ (g(x)) dx + 2λ (f g)(x)dx + (f (x))2 dx ≥ 0 a a a a CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 15 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza On reconnait une expression du second degré qui garde un signe constant. Par conséquent, le discriminant doit être négatif ou nul, ce qui conduit à l’inégalité de Schwarz. La seconde inégalité se déduit de la première : Z b Z b Z b Z b 2 2 2 (f (x) + g(x)) dx = (f (x)) dx + (g(x)) dx + 2 (f g)(x)dx a a a a Z b Z b Z b 1/2 Z b 1/2 2 2 2 2 ≤ (f (x)) dx + (g(x)) dx + 2 |f (x)| dx |g(x)| dx a a a a "Z b 1/2 Z b 2 ≤ |f (x)| dx + |g( a a 1.6 Formules de la moyenne Nous allons établir deux formules dites de la moyenne. La seconde formule, qui est plus difficile à démontrer, sera utilisée au chapitre suivant pour établir la règle d’Abel. 1.6.1 Première formule de la moyenne Proposition 9 : f et g étant deux fonctions intégrables sur [a, b]. On suppose de plus que g est positive sur [a, b]. Si on note m = inf f (x), et M = sup f (x) x∈[a,b] x∈[a,b] alors on a Z b Z b Z b m g(x)dx ≤ f (x)g(x)dx ≤ M g(x)dx a a a Si de plus f est continue sur [a, b], il existe c ∈ [a, b] tel que Z b Z b f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx a a Démonstration 12 Pour le premier point, il suffit de partir de la double inégalité mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x) et de passer aux intégrales. Le deuxième point est une conséquence du théorème de la valeur intermédiaire. On considère la fonction F définie par Z b F (x) = f (x) g(x)dx. a Rb D’après le premier point, a f (x)g(x)dx est une valeur intermédiaire pour la fonctin F. On en déduit l’existence d’un élément c ∈ [a, b] vérifiant les bonnes conclusions. CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 16 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza 1.6.2 Deuxième formule de la moyenne Soient f et g deux fonctions intégrables sur [a, b], on suppose que f est positive et décroissante sur [a, b] et on note f (a+) la limite à droite de f en a. Alors il existe un point c ∈ [a, b] tel que Z b Z c f (x)g(x)dx = f (a+) g(x)dx a a Remarque 7 Si f est continue sur [a, b], alors f (a+) = f (a). Démonstration 13 On procède en deux étapes. Supposons d’abord la fonction f en escalier, il existe donc une subdivision x0 < x1 <... < xn de [a, b] et des constantes c1 ,... , cn telles que f (x) = ci , ∀x ∈] xi−1 , xi [, pour 1 ≤ i ≤ n Notons Z t G(t) = g(x)dx a Rb on va montrer que a f (x)g(x)dx est une valeur intermédiaire pour la fonction H(t) = f (a+)G(t). On a n Z b X f (x)g(x)dx = ci [G (xi ) − G (xi−1 )] a i=1 L’idée est de factoriser non pas par les ci mais par les G (xi ). On peut écrire : n X n−1 X ci [G (xi ) − G (xi−1 )] = G (xi ) (ci − ci+1 ) + cn G (xn ) − c1 G (x0 ) i=1 i=1 Si on note m et M respectivement l’inf et le sup de la fonction G sur [a, b], alors n X mc1 ≤ ci [G (xi ) − G (xi−1 )] ≤ M c1 i=1 Rb c1 étant bien entendu la limite à droite de f en a. Nous avons donc bien prouvé que a f (x)g(x)dx est une valeur intermédiaire de la fonction H. La conclusion découle aisément. Maintenant, si f n’est pas en escalier, on considère la subdivision usuelle de [a, b], xi = a+i b−a n pour 0 ≤ i ≤ n et les deux fonctions en escalier hn et fn définies par hn (x) = f (xi ) , fn (x) = f (xi+1 ) si x ∈] xi , xi+1 [ Rb Rb Rb Nous allons établir que a hn (x)g(x)dx tend vers a f (x)g(x)dx, et le fait que a f (x)dx soit une valeur intermédiaire résultera de la même propriété pour hn qui est cette fois-ci en escalier. Plus précisément, on a : fn ≤ f ≤ hn , CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 17 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza et par suite b b b−a Z Z (f − fn ) (x)dx ≤ (hn − fn ) (x)dx = (f (a) − f (b)) a a n Si on note k un majorant de |g| sur[a, b], alors Z b Z b [f (x)g(x) − fn (x)g(x)] dx ≤ k (f − fn ) (x)dx a a et donc b b−a Z [f (x)g(x) − fn (x)g(x)] dx ≤ k (f (a) − f (b)) a n La limite à droite de a pour la fonction fn étant égale à la limite à droite de a pour la fonction f , par passage à la limite, on aura bien Z b mf (a+) ≤ f (x)g(x)dx ≤ M f (a+) a CHAPITRE 1. INTÉGRALES DE RIEMANN 18 CHAPITRE 2 CALCUL DES INTÉGRALES Ra Rb Convention : On pose b f (x)dx = − a f (x)dx si b < a. Pour toute fonction f intégrable sur [a, b], on considère l’application F définie par Z t F (t) = f (x)dx. a Rv Clairement, on a F (v) − F (u) = u f (x)dx et F vérifie les propriétés suivantes : Proposition 10 Si f est intégrable alors F est continue car lipschitzienne de rapport k = sup |f (x)|. a≤x≤b De plus, F admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche en tout point où f admet une limite. Démonstration 14 La première partie ne pose pas de problème. Pour le deuxième volet, on note l la limite à droite (par exemple) en u de f , on a alors : R u+h F (u + h) − F (u) (f (x) − l)dx −l = u ≤ ε, h h si h est suffisamment petit. Ce qui montre que F est dérivable à droite de u et de nombre dérivé à droite l. Le cas à gauche se traite de la même manière. Corllaire 1 : Si f est continue sur [a, b] alors F est dérivable en tout point de [a, b] et pour tout x ∈ [a, b], on a F ′ (x) = f (x). 19 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Définition 6 On appelle primitive de f sur [a, b] toute fonction F définie sur [a, b] et vérifiant F ′ (x) = f (x)∀x ∈ [a, b]. Nous sommes en mesure d’énoncer le théorème suivant : Rt Théorème 3 Si f est continue alors F définie par F (t) = a f (x)dx est une primitive de f sur [a, b] et si G est une autre primitive de f on a Z b f (x)dx = G(b) − G(a). a Démonstration 15 Si G est une autre primitive de f , on a F ′ (x) = G′ (x) et donc F (x)−G(x) = c constante. Par suite, F (b) − G(b) = F (a) − G(a). Remarque 8 Si f admet une dérivée f ′ continue on a Z b f (b) − f (a) = f ′ (x)dx a et s’il existe une constante k ≥ 0 vérifiant |f ′ (x)| ≤ k∀x ∈ [a, b] alors |f (b) − f (a)| ≤ k|b − a| Notations : Toute primitive G de f est notée Z G(x) = f (x)dx, et on écrit aussi [G(x)]ba = G(b) − G(a) Exemples 2 Z Z ax 1 ax dx e dx = e + c, = ln |x − a| + c. a x−a Z Z 1 Pour n ̸= −1, (x − a)n dx = (x − a)n+1 + c. n+1 Z dx 1 x = arctan + c. x2 + m2 m m 2.1 Changement de variable et intégration par parties. 2.1.1 Changement de variable dans l’intégrale. Proposition 11 Soit φ une application définie sur un intervalle I = [a, b] de classe C 1 alors φ(I) est un intervalle fermé borné et pour toute fonction f définie et continue sur φ(I) on a Z φ(b) Z b f (x)dx = f ◦ φ(x)φ′ (x)dx φ(a) a CHAPITRE 2. CALCUL DES INTÉGRALES 20 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Démonstration 16 : Soit F la fonction définie par Z φ(t) t 7−→ f (x)dx φ(a) et G celle définie par Z t G(t) = f ◦ φ(x)φ′ (x)dx, a on a F (t) = f (φ(t))φ (t) et G (t) = f (φ(t))φ′ (t), par suite F et G ont même dérivée. De plus, ′ ′ ′ on a F (a) = G(a) et donc F (x) = G(x) pour tout x ∈ [a, b], en particulier pour x = b. 2.1.2 Applications : 1. Z dt = ln(| ln t|) + c t ln(t) peut s’obtenir en considérant la fonction φ définie par φ(t) = ln(t). Z Z dt 2dt = ch(t) e + e−t t peut s’obtenir en posant φ(t) = et. 2. On peut montrer grâce au changement de variable φ(t) = 1/t que Z 1/a ln t ∀a > 0, dt = 0 a 1 + t2 f ′ (t) Z dt = Arctan(f (t)) + c 1 + f 2 (t) s’obtient en posant φ(t) = f (t). 3. Grâce à la formule de changement de variable, on peut établir que si f est une fonction paire, respectivement impaire, définie sur un intervalle de la forme [−a, a] alors Z a Z a Z a f (x)dx = 2 f (x)dx, respectivement f (x)dx = 0 −a 0 −a 2.2 Formule d’intégration par parties. Proposition 12 Si f et g sont deux fonctions de classe C 1 sur I = [a, b] il est facile d’établir la formule Z b Z b ′ b f (x)g(x)dx = [f (x)g(x)]a − f (x)g ′ (x)dx a a CHAPITRE 2. CALCUL DES INTÉGRALES 21 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Exemples 3 Pour avoir Z ln xdx on pose f (x) = x et g(x) = ln x; on a donc f ′ (x) = 1 et g ′ (x) = x1 ainsi Z Z ln xdx = x ln x − dx = x ln x − x + c Z (sin x)ex dx s’obtient en effectuant deux intégrations par parties successives. 2.3 Quelques méthodes de recherche de primitives. 2.3.1 Intégration des fractions rationnelles : Nous allons donner à présent une méthode générale pour trouver une primitive d’une fraction rationnelle donnée. Soit donc R une fraction rationnelle, on note P (x) R(x) = Q(x) P et Q étant deux polynômes de degrés respectifs n et m. On sait que Q(x) peut être factorisé de la manière suivante (selon le nombre de racines réelles et de racines complexes)
l p Q(x) = πi=1 (x − ai )ki πj=1 q x 2 + bj x + c j j Le théorème de décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples permet d’écrire R sous la forme   p q lj ki ! X X αk X X βl xl + γl R(x) = E(x) + k +   (x − a ) (x 2 + b x + c )l i=1 k=1 i j=1 l=1 j j où E est un polynôme de degré n − m (avec la convention que le polynôme est nul si son degré est négatif.) Nous voyons donc qu’il suffit d’être capable de déterminer des primitives pour les fractions rationnelles de la forme Z Z dx βx + γ , et dx (x − a)r (x + bx + c)s 2 où r et s sont des entiers naturels. Le premier type d’intégrale ne pose aucun problème. Pour le second, nous allons d’abord dé- tailler la méthode dans le cas s = 1 puis nous le ferons dans le cas général. On écrit x2 + bx + c CHAPITRE 2. CALCUL DES INTÉGRALES 22 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza
2 2 sous sa forme canonique x2 + bx + c = x + 2b + c − b4 puis on fait le changement de variable X = x + 2b. Selon les hypothèses, c − b2 4 est strictement positif, on peut en introduisant une nouvelle variable Y ramener la fraction initiale à la forme AY + B Y2+1 Pour cette dernière, on la sépare en deux expressions AY B , Y2+1 Y2+1 La première admet une primitive de la forme (A/2) ln (Y 2 + 1). Quant à la seconde, on a besoin de la fonction arctangente. Lorsque s > 1, on fait le même travail qui nous conduit ici aussi aux deux formes suivantes AY B s, (Y + 1) (Y + 1)s 2 2 La première ne pose pas de problème particulier alors que pour la seconde, nous avons besoin d’établir grâce à la formule d’intégration par partie une relation de récurrence entre Z Z dx dx In = n , et In+1 = 2 (x + 1) (x + 1)n+1 2 Il est facile d’obtenir la relation suivante pour n ≥ 1 1 + 2n 1 x In+1 = In − , avec I1 = arctan x. 2n 2n (x + 1)n 2 Nous allons étudier quelques exemples d’application. Exemples 4 1. Pour déterminer Z dx (x + 1) (x2 + x + 1) on décompose d’abord en éléments simples. Pour cela, on écrit 1 a bx + c 2 = + 2. (x + 1) (x + x + 1) x+1 x +x+1 Il y a plusieurs façons de déterminer, dans chaque cas, les constantes. Bien évidemment la méthode de l’identification convient mais il est utile de chercher directement les constantes soit en remplaçant x par une valeur bien choisie soit en multipliant les deux membres de l’égalité précédente par une certaine expression (souvent le dénominateur correspondant) avant de donner à une x une valeur adéquate. Par exemple, dans ce cas, pour trouver a, on multiplie les deux membres par x + 1 puis on donne à x la valeur 1. Ensuite, pour trouver b, on peut multiplier les deux membres par x et on fait tendre x vers +∞ et enfin pour c, on peut donner à x la valeur 0. On trouve alors 1 1 −x 2 = + 2 (x + 1) (x + x + 1) x+1 x +x+1 CHAPITRE 2. CALCUL DES INTÉGRALES 23 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza On déduit Z 1 dx = ln |x + 1| + K x+1 et √ Z √2 −x Z Z 1 2x + 1 3 3 2 dx = − 2 dx +
i2 dx. x +x+1 2 x +x+1 3 h 1+ √2 x+ 1 3 2 Finalement, on obtient Z √    dx 1 2
3 2 1 = ln |x+1|− ln x + x + 1 + arctan √ x + +K (x + 1) (x2 + x + 1) 2 3 3 2 Pour trouver b et c, on peut aussi donner à x une valeur complexe solution de x2 +x+1 = 0 après avoir multiplié les deux membres par x2 +x+1. Ceci est légitime car la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples est valable sur C. 2. Z dx (x + 1)2 (x2 + 1)2 On décompose en éléments simples 1 a b cx + d ex + f 2 = + + 2 + (x + 1)2 2 (x + 1) x + 1 (x + 1) 2 x + 1 (x2 + 1)2 Pour obtenir b, on multiplie les deux memnbres par (x + 1)2 puis on donne à x la valeur 1. Ceci conduit à b = 1/4. Ensuite, pour avoir e et f et compte tenu du fait que la décomposi- 2 tion dans R résulte de la décomposition dans C, on multiplie par (x2 + 1) et on remplace x par i. L’identification des parties réelle et imaginaire conduit à e = −1/2 et f = 0. On obtient la relation a + c = 0 en multipliant par x et enfaisant tendre x vers +∞. Enfin en donnant à x les valeurs 0 puis 1 , on a deux égalités additionnelles a + b + d + f = 1 et 8a + 4b + 8c + 8d + 4e + 4f = 1. On déduit de tout ce qui précède a = 1/2, b = 1/4, c = −1/2, d = 1/4, e = −1/2 et f = 0 et par conséquent, 1 1/2 1/4 (−1/2)x + 1/4 −(1/2)x 2 = + + +. (x + 1)2 2 (x + 1) x + 1 (x + 1) 2 2 x +1 (x2 + 1)2 D’où enfin, Z 1 1 1 1
1 1
−1 2 = ln |x+1|− (x+1)−1 − ln x2 + 1 + arctan x+ x2 + 1 +K. (x + 1)2 (x2 + 1) 2 4 4 4 4 2.3.2 Fractions rationnelles trigonométriques : Il s’agit des primitives de la forme Z R(sin θ, cos θ)dθ CHAPITRE 2. CALCUL DES INTÉGRALES 24 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza où R est une fraction rationnelle à deux variables. Dans ce cas, le changement de variable t = tan(θ/2) permet de ramener la recherche d’une primitive d’une fraction rationnelle trigonomé- trique à une primitive d’une fraction rationnelle à laquelle s’appliquera la méthode ci-dessus. No- tons que si t = tan(θ/2), alors on a les relations suivantes 1 − t2 2t 2dt cos(θ) = 2 , sin(θ) = 2 , et dx = 1+t 1+t 1 + t2 Exemple 3 Pour calculer Z dθ 1 + 3 cos(θ) on pose donc t = tan(θ/2), et on obtient Z Z Z  dt 1 dt dt = √ √ + √ 2 − t2 2 2 2−t 2+t Après intégration , on a Z √ dθ 1 2+t = √ ln √ +K 1 + 3 cos(θ) 2 2 2−t Il y a certains cas particuliers de fractions rationnellles trigonométriques pour lesquelles des chan- gements de variable adaptés permettent l’obtention de primitives plus rapidement. Par exemple, lorsque R est une fonction impaire, le changement de variables t = cos(θ) est bien adapté. 2.3.3 Autres types de primitive. Pour la forme Z  √  2 R x, ax + bx + c dx on transforme l’expression ax2 + bx + c sous la forme α (X 2 + A2 ) , α (X 2 − A2 ) ou α (A2 − X 2 ) ( avec α > 0) selon le signe de b2 − 4ac. On utilise alors pour changement de variable la fonction sh, ch, sin ou cos selon le cas. Bien évidemment, les relations sin2 x + cos2 x = 1, ch2 x − sh2 x = 1 permettront de se débarasser de la racine carrée et de ramener la question à la recherche de primitive d’une fraction rationnelle. Exemple 4 Pour calculer Z √ 1 − x2 dx on pose x = cos(t) qui conduit à (en supposant sin(t) positif) x√ Z sin(2t) t 1 − [sin(t)]2 dt = − +K = 1 − x2 − Arccos(x) + K 4 2 2 2 CHAPITRE 2. CALCUL DES INTÉGRALES 25 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Pour calculer Z √ 1 + x2 dx on pose x = sh(t) qui conduit à 1 √ Z Z 2 ch(2t) + 1 sh(2t) t 1 [ch(t)] dt = dt = + + K = x x2 + 1 + Arg sh(x) + K 2 4 2 2 2 CHAPITRE 2. CALCUL DES INTÉGRALES 26 CHAPITRE 3 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Dans ce chapitre, on cherche — à intégrer une fonction sur un intervalle non borné c’est-à-dire un intervalle de la forme, ] − ∞, a], [a, +∞[, ] − ∞, +∞[,. — à intégrer, sur un intervalle d’extrémités a et b, une fonction non bornée en a ou en b. Ces intégrales sont dites généralisées ou impropres. Les cas à envisager sont les intervalles de la forme ]−∞, a], [a, +∞[, ]−∞, +∞[, [a, b[, ]a, b], ]a, b[,. Comme ] − ∞, +∞[=] − ∞, a] ∪ [a, +∞[, ]a, b[=]a, c] ∪ [c, b[, et que les situations ] − ∞, a] et ]a, b] sont similaires à celles des intervalles [a, +∞[ et ]a, b], on se limitera à l’intervalle [a, b[ et nous travaillons sur la droite réelle achevée R, ce qui permet d’écrire b = +∞. Dans tout ce chapitre, nous retrouvons les principes et les méthodes déjà vues dans le cadre des séries numériques. 3.1 Locale intégrabilité Définition 7 On dit que f est localement intégrable sur un intervalle I ssi ∀α, β tel que [α, β] ⊂ I, f est intégrable sur [α, β]. 1 Exemples 5 1. La fonction x est localement intégrable sur ] − ∞, 0[ et ]0, +∞[. 1 2. La fonction 1−x 2 est localement intégrable sur ] − ∞, −1[, ] − 1, 1[, et ] 1, +∞[. 3. Toute fonction continue sur I est localement intégrable sur I. Par exemple, la fonction x 7−→ ln x est localement intégrable sur ]0, +∞[. 3. oute fonction monotone sur I est localement intégrable sur I. 27 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza 4. Toute fonction continue par morceaux sur I est localement intégrable sur I. 5. La fonction f égale à 0 si x est rationnel et 1 si x est irrationnel n’est pas localement intégrable. 3.2 Intégrale convergente DéfinitionR 8 Soit f une fonction localement intégrable sur [a, b[ avec −∞ < a < b ≤ +∞. Si la x limite de a f (t)dt existe lorsque x tend vers b, on dit que l’intégrale impropre de f sur [a, b[ est convergente, et on note Z b Z x f (t)dt = lim f (t)dt. a x→b a Quand une intégrale ne converge pas, on dit qu’elle diverge (ou elle est divergente). La nature d’une intégrale généralisée est le fait qu’elle converge ou qu’elle diverge. R1 R +∞ dx Exemples 6 1. Les intégrales généralisées 0 √dxx et 0 1+x 2 sont convergentes. En effet, 1 La fonction x 7−→ √x est continue sur ]0, 1]. Elle est donc localement intégrable sur cet intervalle. D’autre part, Z 1 dt √ lim √ = lim 2[ t]1x = 2. x→0 x t x→0 R 1 dx Donc, 0 √x est convergente. 1 De même, la fonction x 7−→ 1+x2 est localement intégrable sur [0, +∞[ car elle est continue sur cet intevalle. Comme Z x dt π lim 2 = lim [arctan t]x0 = , x→+∞ 0 1+t x→+∞ 2 R +∞dx alors 0 1+x2 est convergente. R +∞ dx 2. L’intégrale 1 1+x est divergente car la fonction Z x dt dt = [ln(t + 1)]x1 = ln(x + 1) − ln 2 1 1+t n’admet pas de limite quand x −→ +∞. R +∞ 3. L’intégrale 0 cos(t)dt est divergente car la fonction Z x sin(t)dt = [− cos(t)]x0 = 1 − − cos(x) 0 n’admet pas de limite quand x −→ +∞. Remarque 9 1. Il est inexact d’écrire Z +∞ Z X f (t)dt = lim f (t)dt. −∞ X→+∞ −X CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 28 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza 2. Ne pas confondre la convergence de la fonction au point considéré avec la convergence de l’intégrale. Par exemple, R1 l’application x −→ ln x n’admet pas de limite lorsque x tend vers + 0. Cependant, 0 ln xdx converge car Z 1 lim+ ln(t)dt = lim+ [t ln(t) − t]1x = ln 1 − 1. x→0 x x→0 3. Quand on calcule l’intégrale d’une fonction sur un intervalle donné il faut s’assurer que la fonction est bien intégrable. Par exemple, l’application x −→ 1/x n’est pas intégrable sur [−1, 1]. 4. Les formules — de changement de variables, — d’intégration par parties, vues en première année se généralisent facilement aux cas des intégrales R xgénéralisées. Cette exten- sion découle de l’application de ces formules à l’intégrale généralisée a f (t)dt. On passe ensuite à la limite. Par exemple, R1 — Le changement de variable ramène l’intégrale généralisée 0 sin 1t dt à l’intégrale géné-
R +∞ x ralisée 1 sin x2 dx. R +∞ — L’intégration par parties transforme l’étude de l’intégrale généralisée 1 sint t dt à celle de R +∞ t l’intégrale généralisée cos(1) + 1 cos t2 dt. Exemples de référence Exemple 3.1 (Intégrales de Riemenn) : R +∞ dt — 1 tα converge ⇔ α > 1. R1 — 0 tdtα converge ⇔ α < 1. Démontrons la première proposition. Pour tout x ∈ [1, +∞[, on a ( Z x dt ln x si α = 1, F (x) = = 1 tα 1 1−α (x−α+1 − 1) si α ̸= 1. R +∞ On voit que limx→+∞ F (x) existe si et seulement si α > 1. Donc, l’intégrale généralisée 1 tdtα R1 est convergente si et seulement si α > 1. En faisant le changement de variables x = 1t dans 0 tdtα , R1 et en utilisant ce qui précède, on démontre que 0 tdtα converge si et seulement si α < 1. Exemple 3.2 (Intégrales de Bertrand) : h R +∞ — ∀a ∈]1, +∞ , a t(lndtt)α converge ⇔ α > 1. CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 29 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza h R a dt — ∀a ∈]0, 1 , 0 t(ln t)α converge ⇔ α > 1. Démontrons la première proposition. Soit a > 1 et x ∈ [a, +∞[. On a Z x Z x Z x dt d(ln t) G(x) = α = α = d(ln t)(ln t)−α a t(ln t) a (ln t) a ( [ln ln t]xa = ln ln x − ln ln a si α = 1, = 1 −α+1 x 1 −α+1 −α+1 1−α [(ln t) ]a = 1−α [(ln x) − (ln a) ] si α ̸= 1. R +∞ Donc, limx→+∞ G(x) existe si et seulement si α > 1. Par conséquent, a t(lndtt)α converge si et seulement si α > 1. Ra En faisant le changement de variables x = 1t dans 0 t(lndtt)α , et en utilisant ce qui précède, Ra on démontre que 0 t(lndtt)α converge si et seulement si α > 1. Remarque 3.1 On peut déduire les conditions nécessaires et suffisantes de convergence des intégrales généralisées de Bertrand à partir de celles des intégrales de Riemann en faisant le changement de variable x = ln t. Relation de Chasles Proposition 13 Soit f une fonction localement intégrable sur [a, b[ et c ∈ [a, b[. Rb Rb Alors a f (t)dt et c f (t)dt sont de même nature. Dans le cas elles convergent, on a Z b Z c Z b f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt. a a c Démonstration 17 Pour tout x ∈ [c, b[, on a Z x Z c Z x f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt. a a c Rc Rb Rb Puisque a f (t)dt existe, alors a f (t)dt et c f (t)dt sont de même nature. Par passage à la limite dans la relation de Chasles, on déduit la deuxième assertion. Remarque 10 On écrira Z +∞ Z a Z +∞ f (t)dt = f (t)dt + f (t)dt −∞ −∞ a que lorsque les deux intégrales généralisées du second membre sont convergentes. CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 30 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Linéarité des intégrales convergentes Proposition 14 Soient f, g deux fonctions localement intégrables sur un intervalle [a, b[, λ et µ Rb Rb Rb deux réels. Si les intégrales a f (t)dt et a g(t)dt sont convergentes, alors a [λf (+µg](t)dt est convergente et on a Z b Z b Z b λf (+µg](t)dt = λ f (t)dt + µ g(t)dt. a a a Démonstration 18 Il suffit d’utiliser la linéarité des intégrales sur l’intervalle [a, x], x ∈ [a, b[ et de passer à la limite. Remarque 3.3 La réciproque est fausse. R +∞ 2dx Par exemple, 2 1−x 2 est convergente, mais on n’écrira pas Z +∞ Z +∞ Z +∞ 2dx dx dx = − 2 1 − x2 2 1−x 2 1−x car les deux intégrales du second membre sont divergentes. Intégrale faussement impropre Proposition 15 Soit f une fonction continue sur un intervalle borné [a, b[ et admettant une limite Rb l finie en b. Alors, a f (t)dt est convergente. Démonstration 19 Comme limx→b f (x) = l existe, on peut prolonger f par continuité en b en posant ( f (x) si x ∈ [a, b[ f˜(x) = l si x = b. Pour tout x ∈ [a, b[, on a Z x Z x F (x) = f (t)dt = fe(t)dt a a Comme F est continue, par passage à la limite, on obtient Z x Z b Z b lim f (t)dt = f (t)dt = fe(t)dt. x→b a a a Rb Donc, a f (t)dt est convergente. R1 Exemples 7 1. 0 sinx x dx est convergente. En effet, la fonction x 7−→ sinx x est continue sur R1 ]0, 1] et limx→0 sinx x = 1. Donc, d’après la proposition précédente, 0 sinx x dx est conver- gente. R1 2. 1/2 x−1 dx est convergente. En effet, la fonction x 7−→ x−1 est continue sur 21 , 1 [ et  ln x ln x limx→1 x−1 ln x = 1. Donc, elle est prolongeable par continuité en 1. CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 31 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza R1 x−1 Par conséquent, d’après la proposition 3.3, 1/2 ln x dx est convergente. R1 ex −1−x x 4. x2 dx est convergente. En effet, la fonction x 7−→ e −1−x est continue sur ]0, 1] et 0 ex −1−x 1 R21 ex −1−x x limx→0 x2 = 2. Donc, d’après la proposition précédente, 0 x2 dx est convergente. 3.2.1 Critères de convergence pour les fonctions positives Critère de majoration Proposition 16 Soit f est une fonction positive et localement intégrable sur [a, b[ alors, la fonction, Z x F (x) = f (t)dt a est croissante et F admet une limite finie, quand x tend vers b, si et seulement si elle est majorée. Pour tout x ∈ [a, b[, on a Z x Z b Z x 0 ≤ F (x) = f (t)dt ≤ f (t)dt = lim f (t)dt a a x−→b a Démonstration 20 Pour tout y > x, on a, Z y Z x Z y F (y) − F (x) = f (t)dt − f (t)dt = f (t)dt ≥ 0 a a x car f est positive. Donc F est croissante et par conséquent admet une limite finie, quand x tend vers b, si et seulement si elle est majorée. Proposition 17 Soit f et g deux fonctions positives et localement intégrables sur [a, b[. On suppose que pour tout x ∈ [a, b[, 0 ≤ f (x) ≤ g(x). Alors, ( Rb Rb (i)  aR g(t)dt converge =⇒ f (t)dt converge b Ra b ii) a f (t)dt diverge =⇒ a g(t)dt diverge. Rb Démonstration 21 Supposons que a g(t)dt est convergente. Pour tout x ∈ [a, b[, on a Z x Z x Z b 0≤ f (t)dt ≤ g(t)dt ≤ g(t)dt ≤ M a a a D’où (i). L’assertion (ii) se déduit par contraposé. CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 32 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza R +∞ 2 (x) 2 (x) Exemples 8 1. 0 cos1+x2 dx est convergente. En effet, la fonction f : x 7−→ cos 1+x2 est conti- nue sur I = [0, +∞[. Donc localement intégrable sur cet intervalle. Le seul problème est au voisinage de +∞. Pour tout x ∈ [0, +∞[, on a cos2 (x) 1 0≤ 2 ≤ 1+x 1 + x2 R +∞ dx Or, 0 1+x2 est convergente car Z +∞ Z x dx dt π 2 = lim 2 = lim [arctan(t)]x0 = 0 1+x x→+∞ 0 1+t x→+∞ 2 R +∞ cos2 (x) Donc, 0 1+x2 dx est convergente. R 1 dx 2. 0 sin x est divergente. En effet, soit x ∈] 0, 1]. On a, 0 < sin x < x D’où, 1 1 > >0 sin x x R1 dx Or, 0 x diverge car Z 1 dt lim = lim [ln t]1x = +∞ x→0 x t x→0 R +∞ dx Donc, 0 sin x est divergente. Remarque 11 La proposition 3.5 reste appliquable si on a l’inégalité 0 ≤ f (x) ≤ g(x) sur [c, b[ avec c ∈ [a, b[ (c’est à dire au voisinage de b). Il suffit de couper l’intégrale généralisée en deux intégrales : une non impropre sur [a, c] et l’autre impropre sur [c, b[ et d’appliquer la proposition 3.5 sur [c, b[. Proposition 18 (Comparaison série-intégrale) : P Soit f une fonctionR définie sur [a, +∞[, positive et décroissante. Alors, la série f (n) et +∞ l’intégrale généralisée a f (x)dx sont de même nature. Démonstration 22 Posons Z n+1 vn = f (x)dx. n Puisque f est décroissante, pour tout entier k ≥ a et pour tout x ∈ [k, k + 1], on a f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) En intégrant les dernières relations entre k et k + 1, nous obtenons f (k + 1) ≤ vk = f (k) Par sommation sur k et par utilisation de la relation de Chasles, on déduit le résultat. CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 33 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Critère d’équivalence Proposition 19 Soit f et g deux fonctions positives et localement intégrables sur [a, b[. f (x) On suppose que limx→b g(x) = l. Rb Rb (i) Si l ̸= 0, alors a f (x)dx et a g(x)dx sont de même nature (toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes). Rb Rb (ii) Si l = 0, alors la convergence de a g(x)dx implique la convergence de a f (x)dx. f (x) Démonstration 23 Prouvons (i). Puisque limx→b g(x) = l > 0, il existe c ∈ [a, b[ tel que pour tout x ∈ [c, b [ , on ait (prendre ε = 2l ) l 3l g(x) ≤ f (x) ≤ g(x) 2 2 D’où (i) à partir de ces inégalités et la proposition 3.4. Démontrons (ii). Par hypothèse, il existe c ∈ [a, b[ tel que pour tout x ∈ [c, b[, on ait (prendre ε = 1) 0 ≤ f (x) ≤ g(x) D’où (ii) à partir de ces inégalités et la proposition 3.5 Corllaire 2 Soit f et g deux fonctions positives et localement intégrables sur [a, b[. Si f (x) ∼ g(x), Rb Rb alors b f (x)dx et a g(x)dx sont de même nature (toutes les deux convergentes ou toutes les deux divergentes). Démonstration 24 Evident (prendre l = 1 dans la proposition 3.7 ). Remarque 12 1. Si f est négative et localement intégrable, la fonction (−f ) est positive et localement intégrable. Donc, on peut appliquer la proposition à la fonction (−f ). 2. En pratique, on compare souvent f (x) avec les fonctions C - α (Riemann), C ∈ R+ x M − α (Bertrand), M ∈ R+. x(ln x) Exemple 3.3 Etudier la nature des intégrales suivantes : R1 √ R +∞ R +∞ ln(cos x1 ) sin x 2 1. 0 x dx, 2) 0 e−x dx; 3) 2 ln x dx. √ 1. La fonction f (x) = sinx x est continue sur ]0, 1], donc localement intégrable sur cet inter- valle. On a un problème au voisinage de 0. La fonction f est positive sur ]0, 1] et f (x) ≈ √1x. CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 34 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza R1 dx Or 0 est convergente (Riemann α < 1) ou √ x Z 1 1 √ √ dt = lim [2 t]1x = 2 0 t x→0 R 1 sin √x 2 Donc, d’après le corollaire 3.1, 0 x dx est convergente. 2. La fonction f (x) = e−x est positive 2 +∞ et localement intégrable sur [0, +∞[. D’autre part, limx→+∞ x2 e−x = 0. Comme 2 dx R x2 converge R +∞ −x2 (Riemann α > 1), on déduit de la proposition 3.7 que 2 e dx est convergente. ln(cos 1 ) 4. La fonction f (x) = ln x x est localement intégrable sur [2, +∞[ et négative sur cet inter- R +∞ R +∞ valle. Au lieu d’étudier 2 f (x)dx, on va étudier 2 −f (x)dx(car −f (x) ≥ 0 sur[2, +∞[). On a ln cos x1 ln 1 − 2x12 + o x12

 1 −f (x) = − ∼+∞ − ∼+∞ 2 = g(x). ln x ln x 2x ln x La fonction g est intégrable sur [2, +∞[ car sur cet intervalle, 1 1 0≤ ≤ 2x2 ln x ln(2)x2 R +∞ Par application du corollaire 3.1, on déduit que 2 −f (x)dx est convergente. Par suite, l’intégrale R +∞ généralisée 2 f (x)dx est convergente. 3.2.2 Intégrales absolument convergentes convergence Absolue Définition 9 Soit f une fonction localement intégrable sur [a, b[ à valeurs dans K (K = R ou Rb Rb C). On dit que a f (x)dx est absolument convergente (ou converge absolument) si a |f (x)|dx est convergente. R +∞ cos x Exemples 9 L’intégrale généralisée 1 x2 dx est absolument convergente. En effet, pour tout x ≥ 1, cos x 1 2 0≤≤ 2 x x R +∞ dx Comme 1 x2 est convergente (Riemann α > 1 ), on déduit, en utilisant le critère de majoration, R +∞ cos x R +∞ x que 1 x2 dx est convergente. Donc, 1 cosx2 dx est absolument convergente. Proposition 3.8 (condition suffisante d’intégrabilité) : Soit f une fonction localement intégrable sur [a, b[ à valeurs dans K(K = R ou C). Rb Si a f (x)dx est absolument convergente, alors elle est convergente et on a Z b Z b f (x)dx ≤ |f (x)|dx a a CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 35 Cours d’analyse 2——– 2020/2021 FP Taza Démonstration 25 Puisque | Re f | ≤ |f | et | Im f | ≤ |f | il suffit de prouver la proposition pour une fonction à valeurs dans R. Soit f une fonction réelle. Posons g(x) = sup(f (x), 0) et h(x) = sup(−f (x), 0) Pour tout x ∈ [a, b[, on a 0 ≤ g(x) ≤ |f (x)| et 0 ≤ h(x) ≤ |f (x)| Rb Rb En utilisant le critère de majoration, on déduit que les intégrales a g(x)dx et a h(x)dx sont convergentes. Or, pour tout x ∈ [a, b[, f (x) = g(x) − h(x) et |f (x)| = g(x) + h(x) Rb Rb Rb Donc, a f (x)dx = a g(x)dx − a h(x)dx est convergente. Exemple 3.5 : R +∞ Montrons que 1 xsin√xx dx est absolument convergente. Notons que la fonction f (x) = sin √x