الوحدات والأبعاد PDF

 ‫" كثيراً ما أقول إنك عندما يمكنك‬ ‫عمل قياس ما تتحدث عنه‪ ،‬وتعبر‬ ‫‪PHYSICSL QUANTIES‬‬ ‫ن من‬ ‫عنه باألرقام‪ ،‬فان معرفتك تكو ً‬...

 ‫" كثيراً ما أقول إنك عندما يمكنك‬ ‫عمل قياس ما تتحدث عنه‪ ،‬وتعبر‬ ‫‪PHYSICSL QUANTIES‬‬ ‫ن من‬ ‫عنه باألرقام‪ ،‬فان معرفتك تكو ً‬ ‫ن‬ ‫ﻀى‪ ،‬قد تكو ً‬‫المر ̗‬ ‫النوع الضئيل غير ُ‬ ‫الكميات الفيزيائية‬ ‫كميات فيزيائية اساسية‬ ‫بداية المعرفة لكنك مهما يكن األمر ال‬ ‫ن قد تقدمت فى أفكارك إلى ً‬ ‫مرحلة‬ ‫تكو ً‬ ‫العلم"‪.‬‬ ‫كميات فيزيائية مشتقة‬ ‫(‪- 1824‬‬ ‫كلفن‬ ‫لورد‬  ‫‪ ‬كمياتًفيزيائيةًأساسية‪Fundamental Physical Quantities:‬‬ ‫هى الكميات التى ال يمكن تعريفها بداللة أى كميات فيزيائية أخرى‬ ‫‪ ‬كمياتًفيزيائيةًمشتقة‪Derived Physical Quantitiesً:‬‬ ‫هى الكميات التى يمكن تعريفها بداللة الكميات الفيزيائية األساسية‪.‬‬ ‫‪ ‬الطول والزمن هما الكميتان األساسيتان فى جميع أنظمة الوحدات‬ ‫‪ ‬يجب أال يقل عدد الكميات الفيزيائية األساسية فى أى نظام للوحدات عن ثالث كميات‪.‬‬ ‫‪ ‬تُعرف الكميات األساسية عن طريق تعريف كيفية قياسها وتتضمن خطوتين‪:‬‬ ‫أوالا اختيار معيار للقياس‬ ‫ثانيا تأسيس طرق للحصول على مضاعفات أو أجزاء من هذا المعيار‪.‬‬ ‫المعيار‬ ‫االساسى‬ ‫غير قابل‬ ‫متوفر‬ ‫للتعيير‬  ‫‪A‬‬ ‫معيار الطول‬ ‫‪Earth‬‬ ‫‪ ‬في عام ‪ ، 1792‬تم تحديد المتر على أنه واحد‬ ‫‪C‬‬ ‫على عشرة ماليين من المسافة من القطب الشمالي‬ ‫‪Equator B‬‬ ‫إلى خط االستواء‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪1m 7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ ‬المتر العيارى أول معيار دولى للطول وهو عبارة عن قضيب مصنوع من‬ ‫سبيكة من البالتين واإلريديوم وهو محفوظ فى المكتب الدولى للموازين‬ ‫والمقاييس فى مدينة سيفر بالقرب من باريس بفرنسا ‪.‬و هو البعد بين‬ ‫خطين محفورين على سدادتين من الذهب بالقرب من نهاية القضيب‬ ‫‪ ‬منذ عام ‪ ، 1983‬يتم تعريف المتر على أنه الطول الذي يقطعه الضوء في الفراغ خالل فترة زمنية‬ ‫‪ 1/299792458‬ثانية ‪.‬‬  ‫معيار الكتلة‬ ‫‪ ‬معيار الكتلة (الكيلو جرام) هو عباار عان اوانوامة مان وابيكة تكاو‬ ‫ماان ‪ %90‬بال ااين ‪ %10‬إيريااويوم ذهاالا الرعيااار لااي يااتي ياار م اال‬ ‫‪ 1887‬مظراً ال وبيكة البال اين‪ -‬إيرياويوم اااذم الت يار اى شاكلاا ما‬ ‫الحرار ذاألونوامة طولاا يساذى قنرها ذيساذى ‪3.9cm‬‬ ‫‪ ‬ذه اك عريف آخر للكيلو جرام ذهو كتلة ‪ 1000‬وي‪ 3‬من الراا ال ااى ع او‬ ‫درجة حرار ‪ 4‬مئوية ذهى درجاة الحارار التاى عاد ع اوها كاا اة الراا‬ ‫إلى أعلى قيرة لاا‪.‬‬ ‫‪ ‬ذه اك عريف ثالث للكيلو جرام هو كتلة ‪ 5.01188×1025‬ذر كربو (‪ ) 12‬ذهو األكار دقة‪.‬‬  ‫معيار الزمن‬ ‫‪ ‬الزمن الذى تستغرقه االرض لتكمل دورة كاملة حول محورها‬ ‫‪ ‬اى عاام ‪ 1967‬م اواتدوم السااعة اللرياة (معياار ذرى للانمن) الاالى‬ ‫يعترو على قياس التردد الرعاحب المتاال ذر بين مستويين للناقة ى‬ ‫ذر السااينيوم يدتلفااا عاان بعخااارا اختال اا ً قا يراً ذ اايس الساااعة‬ ‫اللرية التردد بوقة جان مان ‪ 1012‬جان مراا يكاا ط خناد مااوار ثامياة‬ ‫ذاحو كد ‪ 3000‬و ة‪.‬‬ ‫‪ ‬ذ عرف الاامية على أماا الفتر النم ية الالزمة لحوذث عود‬ ‫‪9192631770‬إشعاع ما ج عن اهتناز إلكترذمات ذر السينيوم)‪(133‬‬ ‫ذيتي امتعاقه من قبد السينيوم مفسه‬  ‫الطول‬ ‫المتر‬ ‫الفرنسى‬ ‫الزمن‬ ‫الثانية‬ ‫أنظمة الوحدات‬ ‫الكتلة‬ ‫الكيلوجرام‬ ‫الطول‬ ‫السنتيمتر‬ ‫جاوس‬ ‫الزمن‬ ‫الثانية‬ ‫الكتلة‬ ‫الجرام‬  ‫الطول‬ ‫القدم‬ ‫االنجليزى‬ ‫الزمن‬ ‫الثانية‬ ‫أنظمة الوحدات‬ ‫القوة‬ ‫الباوند‬ ‫الطول‬ ‫المتر‬ ‫الزمن‬ ‫الثانية‬ ‫الكتلة‬ ‫الكيلو جرام‬ ‫الدولى‬ ‫شدة التيار‬ ‫االمبير‬ ‫درجة الحرارة‬ ‫الكلفن‬ ‫كمية المادة‬ ‫المول‬ ‫شدة االضاءه‬ ‫القنديله‬  ‫نظريةًاألبعادًوتطبيقاتها‪Theory of Dimension &it's applications :‬‬ ‫‪ ‬تحتم نظرية األبعاد على أن يكون طرفا المعادالت الرياضية متجانسين من حيث األبعاد‬ ‫‪ ‬يمكن ضرب أو قسمة أى كميتين فيزيائيتين لهما أبعاد مختلفة‬ ‫‪ ‬ال يتم الجمع أو الطرح اال للكميات التى لها نفس األبعاد‬ ‫‪.1‬إستنتاج أبعاد بعض الكميات الفيزيائية المشتقة‬ ‫الطول‬ ‫‪L‬‬ ‫ابعاد الكميات‬ ‫االساسية‬ ‫الزمن‬ ‫‪T‬‬ ‫الكتلة‬ ‫‪M‬‬  ‫العالقة المعبرة عنها‬ ‫الكمية‬ ‫‪ ‬إستنتاج أبعاد بعض الكميات الفيزيائية المشتقة‬ ‫األبعاد‬ ‫‪L2‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫المساحة‬ ‫‪L3‬‬ ‫‪V = l3‬‬ ‫الحجم‬ ‫‪ ‬يتم التعبير عن ابعاد الكميات المشتقة بداللة‬ ‫‪v ‬‬ ‫‪ds‬‬ ‫ابعاد الكميات االساسية‬ ‫‪LT-1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫السرعة‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪LT-2‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫العجلة‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪M LT-2‬‬ ‫‪F  ma‬‬ ‫القوة‬ ‫‪ML-3‬‬ ‫‪  m /V‬‬ ‫الكثافة‬ ‫‪M L-1T-2‬‬ ‫‪PF/A‬‬ ‫الضغط‬ ‫‪M L2T-2‬‬ ‫‪W F.s‬‬ ‫الشغل‬ ‫‪M L2T-3‬‬ ‫‪Power = W / t‬‬ ‫القدرة‬ ‫‪T-1‬‬ ‫‪f = 1/ t‬‬ ‫التردد‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪M LT-1‬‬ ‫= ‪Momentum‬‬ ‫كمية الحركة‬ ‫‪ rF‬‬ ‫‪M L2T-2‬‬ ‫اإلزدواج‬ ‫‪M L2T-2‬‬ ‫‪K.E = (1/2) m v2‬‬ ‫طاقة الحركة‬ ‫‪M T-2‬‬ ‫التوتر السطحى‬  ‫‪.2‬اشتقاق وحدات بعض الثوابت الفيزيائية‬ ‫مثالً(‪) 1‬‬ ‫إذا كان معدل سريان سائل معامل لزوجتة ‪ η‬فى أنبوبه نصف قطرها ‪ r‬وطولها ‪ l‬وفرق الضغط بين طرفيها ‪ P‬هو ‪ Q‬حيث‬ ‫استنتج وحدات معامل اللزوجة ‪. η‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ r4 P‬‬ ‫‪8 l‬‬ ‫أبعاد الطرف االيسر‬ ‫معدل السريان (حجم السائل المتدفق فى الثانية الواحدة)‬ ‫‪[Q]= L3T-1‬‬ ‫ذبرساذا النر ين‬  ‫مثالً(‪) 2‬‬ ‫ينص قانون الجذب العام لنيوتن" قوةًالجذبًالمتبادلةً‪ F‬بينًكتلتين‪ m2 ، m1‬تتناسبًمعًحاصلًﻀربًالكتلتينًوعكسياً‬ ‫فما هى وحدات ثابت الجذب العام لنيوتن ‪ G‬؟‬ ‫‪m1 m2‬‬ ‫‪F G 2‬‬ ‫معًمربعًالمسافةًبينهما‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫أبعاد الطرف االيسر‬ ‫قوة الجذب ]‪M L T-2 =[F‬‬ ‫‪G= M-1 L3 T-2‬‬ ‫‪m3 / kg. s-2‬‬  ‫‪.3‬التحقق من صحة العالقات الفيزيائية‬ ‫‪ ‬للتحقق من صحة أى عالقة (معادلة) فيزيائية من وجهة نظر األبعاد يجب أن تتساوى أبعاد طرفى العالقه‪.‬‬ ‫‪ ‬وال يستلزم صحة العالقة الفيزيائية من وجهة نظر األبعاد الصحة المطلقة لهذه العالقة )الن األرقام ليس لها ابعاد)‪.‬‬ ‫مثالً(‪) 3‬‬ ‫ع و واوط كر معومياة معاف قنرهاا ‪ r‬ذكاا تااا ‪ ρs‬بسارعة ‪ v‬اى واا د كاا تاه ‪ ρl‬ذلنذجتاة ‪ η‬بإواتدوام األبعااد إثبا قاحة‬ ‫حيث ‪ g‬عجلة الجاذبية األرضية‪.‬‬ ‫‪( s - l ) g‬‬ ‫العالقة اال ية‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9v‬‬ ‫أبعاد الطرف االيسر‬ ‫‪L-1M‬‬ ‫‪T-1‬‬ ‫]‪=[η‬‬ ‫أبعاد الطرف االيمن‬ ‫ابعاد الطرف االيمن هى نفس ابعاد الطرف االيسر‬ ‫العالقة صحيحة من وجهة نظر األبعاد‬  ‫مثالً(‪) 4‬‬ ‫اذا علمت أن سرعة الصوت ‪ v‬فى وسط غازى تتوقف على ضغط الغاز ‪ P‬وعلى كثافته ‪ ، ρ‬أثبت صحة العالقه االتيه‬ ‫‪P‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫أبعاد الطرف االيسر‬ ‫أبعاد الطرف االيمن‬ ‫ابعاد الطرف االيمن هى نفس ابعاد الطرف االيسر‬ ‫العالقة صحيحة من وجهة نظر األبعاد‬  ‫مثالً(‪) 5‬‬ ‫تأكد من صحة العالقة التالية والتي تربط بين القوة ‪ F‬المؤثرة على كرة معدنية نصف قطرها ‪ R‬تسقط‬ ‫سقوطا حرا في سائل لزج معامل لزوجته ‪ ƞ‬اذا كانت وحدات معامل اللزوجة هى ‪kg/m.sec‬‬ ‫𝑣 ‪𝐹 = 6𝜋𝜂𝑅2‬‬ ‫أبعاد الطرف االيسر‬ ‫‪𝐹 = 𝑀𝐿𝑇 −2‬‬ ‫أبعاد الطرف االيمن‬ ‫‪6𝜋𝜂𝑅2 𝑣 = 𝑀𝐿−1𝑇 −1 𝐿2 𝐿𝑇 −1‬‬ ‫‪6𝜋𝜂𝑅2 𝑣 = 𝑀𝐿2𝑇 −2‬‬ ‫ابعاد الطرف االيمن ال تساوى ابعاد الطرف االيسر‬ ‫العالقة غير صحيحة من وجهة نظر األبعاد وغير صحيحة بصفة عامة‬  ‫‪.4‬أستنتاج بعض القوانين (العالقات) بسهوله‬ ‫استنتاج قانون مكون من حد واحد‬ ‫أ‪-‬‬ ‫إذا كا لوي ا كرية ينيا ية ‪ S‬معلومة األبعاد عترو على مجروعة من الكريات الفينيا ية (ال نيو على ثالثة‬ ‫كريات) ‪z y x‬‬ ‫‪S  kX Y Z‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫فاننا نضع العالقة على الصورة التالية‬ ‫حيث ‪ k c b a‬كريات ثابتة ليس لاا أبعاد ثي مساذا أواس أبعااد الكرياات األواواية اى النار ين‬ ‫يركن أوت تاج قيرة ‪ c b a‬أما الااب ‪ k‬يتي عيي ه من التجربه الرعرلية‪.‬‬  ‫مثالً(‪) 6‬‬ ‫إوت تج العالقة التى ربط بين طول الب وذل البسيط ‪ l‬ذعجلاة الجاذبياة االرةاية ‪ g‬ذباين زمان ذبلباة الب اوذل‬ ‫‪T‬‬  ‫مثالً(‪) 7‬‬ ‫اوت تج العالقة التى ربط بين التردد الرمي ى ‪ f‬لشوكة رمامة ذبين طول الشوكة ‪ l‬ذكاا ة ماد الشوكة ‪ ρ‬ذمعامد مرذمة ماد اا ‪Y‬‬  ‫مثالً(‪) 8‬‬ ‫اوات تج‬ ‫ي ساب وا د معامد لنذجته ‪ η‬داخد أمبوبة شعرية معف قنرها ‪ r‬ذ رق الخ ط بين طر ياا لوحو االطوال ‪∆P/l‬‬ ‫العالقة التي ربط بين السرعة الاعوى لسريا السا د (ع و محور األمبوبة) ذبين لك الكريات‬ ‫𝑐‬ ‫𝑃‪Δ‬‬ ‫𝜂 𝑟𝑘 = 𝑥𝑎𝑚𝑣‬ ‫𝑏 𝑎‬ ‫𝐿 = ‪𝐿1𝑇 −1‬‬ ‫𝑎‬ ‫‪𝑀𝐿−1𝑇 −1‬‬ ‫𝑏‬ ‫‪𝑀𝐿−2𝑇 −2‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝑙‬ ‫𝑐‪𝑀 0𝐿1𝑇 −1 = 𝑀 𝑏+𝑐 𝐿𝑎−𝑏−2𝑐 𝑇 −𝑏−2‬‬ ‫‪0 = b+c‬‬ ‫‪1 =a-b-2c‬‬ ‫‪-1=-b-2c‬‬ ‫‪a =2 c= 1‬‬ ‫‪b =-1‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝑃‪Δ‬‬ ‫𝑃‪𝑟 2 Δ‬‬ ‫𝑏𝜂 𝑎 𝑟𝑘 = 𝑥𝑎𝑚𝑣‬ ‫𝑥𝑎𝑚𝑣‬ ‫𝑘=‬ ‫𝑙‬ ‫𝑙 𝜂‬ ‫استنتاج قانون مكون من حدين‬ ‫‪(b‬‬ ‫مثالً(‪) 9‬‬ ‫استنتج العالقة التى تربط بين المسافة ‪ x‬التى يتحركها جسيم وبين سرعة الجسيم االبتدائية ‪ v‬وعجلته ‪ a‬الزمن ‪t‬‬ ‫ثاني ا‪ :‬إذا تحرك الجسيم بدون سرعة ابتدائية ‪:‬‬ ‫أوال‪ :‬إذا تحرك الجسيم بدون عجلة‪:‬‬ ‫‪x = k1 v 1 t 1 + k2 a 1 t 2‬‬ ‫‪x = k1 v t + k2 a t 2‬‬  ‫مثالً(‪) 10‬‬ ‫إذا كان فرق الضغط بين نقطتين لسائل ينساب داخل أنبوبة يعتمد على مقدرين‪ ،‬األول كثافة السائل ‪ ρ‬وعجلة الجاذبية األرضية ‪g‬‬ ‫و المسافة بين النقطتين ‪ ، h‬بينما المقدار الثانى يعتمد على كثافة المائع ‪ ρ‬وسرعة سريان المائع ‪ ،v‬استنتج تلك العالقة‬ ‫𝑣 ‪∆𝑃 = 𝑓 𝜌, 𝑔, ℎ + 𝑓(𝜌,‬‬ ‫‪∆𝑃 = 𝑘2‬‬ ‫𝑏 𝑣 𝑎𝜌‬ ‫𝑐‪∆𝑃 = 𝑘1 𝜌𝑎 𝑔𝑏 ℎ‬‬ ‫‪−1 −2‬‬ ‫𝑎 ‪−3‬‬ ‫𝑏 ‪−1‬‬ ‫‪𝑀𝐿−1𝑇 −2 = 𝑀𝐿−3‬‬ ‫𝑎‬ ‫𝑐𝐿 𝑏 ‪𝐿𝑇 −2‬‬ ‫𝑇 𝐿𝑀‬ ‫𝐿𝑀 =‬ ‫𝑇𝐿‬ ‫𝑏‪𝑀𝐿−1 𝑇 −2 = 𝑀 𝑎 𝐿−3𝑎+𝑏+𝑐 𝑇 −2‬‬ ‫𝑏‪𝑀𝐿−1𝑇 −2 = 𝑀 𝑎 𝐿−3𝑎+𝑏 𝑇 −‬‬ ‫‪b=2‬‬ ‫‪-2 = -2b‬‬ ‫‪b=1‬‬ ‫‪a=1‬‬ ‫‪-2 = -b‬‬ ‫‪a=1‬‬ ‫‪-1= -3a+b+c‬‬ ‫‪c=1‬‬ ‫‪∆𝑃 = 𝑘2 𝜌1 𝑣 2‬‬ ‫‪∆𝑃 = 𝑘2 𝜌𝑣 2‬‬ ‫‪∆𝑃 = 𝑘1 𝜌1 𝑔1 ℎ1‬‬ ‫‪∆𝑃 = 𝑘1 𝜌𝑔ℎ‬‬ ‫‪∆𝑃 = 𝑘1 𝜌𝑔ℎ + 𝑘2 𝜌𝑣 2‬‬