النماذج الهندسية PDF

‫النماذج الهندسية‬ ‫نحتاج إلى عالم افتراضي لاحتواء النماذج الهندسية لأغراضنا‪ ،‬لابد‬ ‫من وجود مساحة إقليدية ثلاثية الأبعاد ‪3D Euclidean Space‬‬ ‫بإحداثيات الديكارتية لذلك نجعل ‪ R3‬يشير إلى العالم الافتراضي‪،‬‬ ‫حيث يتم تمثيل كل نقطة بثلاث إحداثيات ذات قيمة حقيقية‬ ‫(‪ )x,y,z‬يظهر الشكل ‪ 1‬محاور...

‫النماذج الهندسية‬ ‫نحتاج إلى عالم افتراضي لاحتواء النماذج الهندسية لأغراضنا‪ ،‬لابد‬ ‫من وجود مساحة إقليدية ثلاثية الأبعاد ‪3D Euclidean Space‬‬ ‫بإحداثيات الديكارتية لذلك نجعل ‪ R3‬يشير إلى العالم الافتراضي‪،‬‬ ‫حيث يتم تمثيل كل نقطة بثلاث إحداثيات ذات قيمة حقيقية‬ ‫(‪ )x,y,z‬يظهر الشكل ‪ 1‬محاور إحداثيات العالم الافتراضي‪.‬سوف‬ ‫لأنها تمثل الاختيار‬ ‫نستخدم باستمرار أنظمة الإحداثيات اليمني‬ ‫السائد في الفيزياء والهندسة؛ ومع ذلك‪ ،‬تظهر الأنظمة اليسرى في‬ ‫بعض الأماكن‪ ،‬وأبرزها مكتبة تقديم الرسومات ‪Microsoft‬‬ ‫‪.DirectX‬في هذه الحالات‪ ،‬يشير أحد المحاور الثلاثة إلى الاتجاه‬ ‫المعاكس بالمقارنة مع اتجاهه في نظام اليد اليمنى‪.‬هذا التضارب‬ ‫يمكن أن يؤدي إلى ساعات من الجنون عند كتابة البرامج؛ لذلك‪،‬‬ ‫يجب ان تكون على دراية بالاختلافات والتحويلات المطلوبة لها إذا‬ ‫قمت بخلط البرامج أو النماذج التي تستخدم الاثنين مًعا‪.‬إذا كان‬ ‫ذلك ممكنا‪ ،‬تجنب مزج أنظمة اليد اليمنى واليسرى‬ ‫تماما‪.‬‬  ‫)‪(X2,Y2,Z2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫)‪(X1,Y1,Z1‬‬ ‫)‪(X3,Y3,Z3‬‬ ‫)‪(0.0.0‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫تصنع النماذج الهندسية من الأسطح أو المناطق الصلبة في ‪R3‬‬ ‫وتحتوي على عدد لا حصر له من النقاط نظًرا لأن تمثيل الاسطح‬ ‫بالكمبيوتر يجب أن تكون محدودة‪ ،‬يتم تعريف النماذج من حيث‬ ‫البدائية التي يمثل كل منها مجموعة لا حصر لها من النقاط أبسط‬ ‫وأكثر فائدة هو مثلث ثلاثي الأبعاد‪ ،‬كما هو مبين في الشكل ‪.1‬يتم‬ ‫تحديد التصحيح السطحي المستوي ‪ planar surface‬الذي يتوافق‬ ‫مع جميع النقاط من الداخل" وعلى حدود المثلث تماما بواسطة‬ ‫إحداثيات رؤوس المثلث‪:‬‬ ‫‪....1‬‬  ‫تغيير الوضع واالتجاه في البيئة االفتراضية‬ ‫لنفترض أن النموذج المتحرك تم تعريفه على أنه شبكة من‬ ‫المثلثات‪.‬لتحريكه‪ ،‬نطبق نقل مفرد ‪single transformation‬‬ ‫لكل قمة من كل مثلث يتناول هذا القسم أولًا الحالة البسيطة للنقل‬ ‫‪ ،translation‬تليها حالة التدوير ‪ rotations‬المعقدة إلى حد كبير‬ ‫من خلال الجمع بين النقل والدوران‪ ،‬يمكن وضع النموذج في أي‬ ‫مكان وفي أي اتجاه في العالم الافتراضي ‪.R3‬‬ ‫النقل ‪: Translations‬‬ ‫بالنظر في المثلث ثلاثي الابعاد والممثل بالمعادلة ‪ ، 1‬حيث يتم‬ ‫التعبير عن إحداثيات قسم رؤوس المثلث كثوابت عامة لنجعل ‪Xt‬‬ ‫و ‪ Yt‬و ‪ Zt‬وهي القيم التي نود تغيير موضع المثلث‪ ،‬على طول‬ ‫محاور ‪ X‬و ‪ Y‬و ‪ Z‬على التوالي‪.‬عملية تغيير الموضع تسمى النقل‪،‬‬ ‫ويتم تمثيلها بواسطة ‪:‬‬ ‫‪(2)....‬‬ ‫حيث تشيرِ ‪ a → b‬إلى أن ‪ a‬يصبح بديلًا بـ ‪ b‬بعد تطبيق‬ ‫التحويل يؤدي تطبيق (‪ )2‬على كل مثلث في النموذج‬ ‫إلى نقل كل نقطة إلى الموقع المطلوب‪.‬‬ ‫إذا تم ترتيب المثلثات في شبكة‪ ،‬عندئٍذ يكفي تطبيق التحول على‬ ‫القمم وحدها‪.‬جميع المثلثات ستحتفظ بحجمها وشكلها تماما‪.‬‬ ‫النسبية ‪Relativity‬‬ ‫يوضح الشكلان ‪ )a( - 4‬و ‪ )b( - 4‬مثالًا يترجم فيه نقل المثلث‬ ‫بواسطة ‪ Xt = -8‬و ‪ Yt = -7‬إحداثيات قمة الرأس هي نفسها في‬ ‫الأشكال ‪ )b( - 4‬و ‪.)c( - 4‬يوضح الشكل ‪ )b( - 4‬الحالة التي‬ ‫تهدف إلى تغطيتها حتى الآن يتم تفسير المثلث على أنه قد تحرك‬ ‫في العالم الافتراضي‪.‬ومع ذلك‪ ،‬يوضح الشكل ‪ )c( - 4‬احتمالا‬ ‫آخر ‪ :‬تم إعادة تعيين إحداثيات العالم الافتراضي بحيث يكون‬ ‫المثلث أقرب إلى الأصل‪.‬‬ ‫هذا يعادل تحريك العالم بأسره‪ ،‬مع كون المثلث هو الجزء الوحيد‬ ‫الذي لا يتحرك‪.‬في هذه الحالة‪ ،‬يتم تطبيق النقل على محاور‬ ‫الإحداثيات‪ ،‬ولكن يتم إبطالها‪.‬عندما نطبق تحويلات أكثر عمومية‪،‬‬ ‫يمتد ذلك بحيث يؤدي تحويل محاور الإحداثيات إلى عكس‬ ‫التحول الذي من شأنه أن يحرك النموذج في المقابل‪.‬‬ ‫النفي هو ببساطة معكوس حالة النقل‪.‬‬ ‫إذا كنا نقف عند الأصل‪ ،‬وتنظر إلى المثلث فستظهر النتيجة كما‬ ‫هي في كلتا الحالتين؛ ومع ذلك‪ ،‬إذا تحرك الأصل‪ ،‬فسنتحرك معه‪.‬‬ ‫تكمن مشكلة الإدراك الحاد هنا أيضا‪.‬إذا رأينا أنفسنا وكأننا قد‬ ‫تحركنا‪ ،‬فإن مرض الواقع الافتراضي قد يزداد‪ ،‬على الرغم من أن‬ ‫الكائن هو الذي تحرك‪.‬وبعبارة أخرى‪ ،‬فإن أدمغتنا تبذل قصارى‬ ‫جهدها لمعرفة نوع الحركة التي حدثت وأحيانا تخطئها‪.‬‬ ‫الاستعداد للدوران ‪:Getting ready for rotations‬‬ ‫سوف نحتاج إلى تغيير اتجاه النموذج في العالم الافتراضي العملية‬ ‫التي تغير الاتجاه تسمى الدوران ‪.rotation‬لسوء الحظ فإن الدوران‬ ‫في مستوي ثلاثي الأبعاد أكثر تعقيدا بكثيرمن النقل‪،‬‬ ‫مما يؤدي إلى إحباط لا حصر له للمهندسين والمطورين‬ ‫لتحسين وضوح مفاهيم الدوان ثلاثي الأبعاد‬ ‫مشكلة النقل الخطي ثنائى الأبعاد ‪2D linear transformations‬‬ ‫اذا اعتبرنا هناك عالم افتراضي ثنائي الأبعاد‪ ،‬حيث يكون‬ ‫الإحداثيات هي (‪.)X,Y‬يمكنك أن تتخيل ذلك كمستوى رأسي‬ ‫في عالمنا الافتراضي ثلاثي الأبعاد الأصلي‪.‬الآن انظر الى مصفوفة‬ ‫عامة ابعادها اثنين في اثنين‪:‬‬ ‫)‪....(3‬‬ ‫يكون كل من عناصر المصفوفة الأربعة أي رقم حقيقي‪.‬سننظر إلى‬ ‫ما يحدث عندما يتم ضرب منه المصفوفة بالنقطة (‪ )x,y‬عندما تتم‬ ‫كتابتها كمتجه عمود أداء عملية الضرب‪ ،‬نحصل عليه ‪:‬‬ ‫)‪....(4‬‬ ‫حيث ( ‪ ) X , Y‬هى النقطة المنقولة باستخدام الجبر البسيط ينتج‬ ‫عن ضرب المصفوفات‬ ‫)‪....(5‬‬  ‫هيكلة البيانات ‪Data Structures‬‬ ‫إذا كانت المثلثات تشكل شبكة‪ ،‬فستتم مشاركة معظم أو كل‬ ‫الرؤوس بين مثلثات متعددة‪.‬هذا يعتبر مضيعة للفضاء‪.‬مشكلة‬ ‫أخرى هي أن سنرغب بشكل متكرر في إجراء عمليات على‬ ‫النموذج‪.‬على سبيل المثال‪ ،‬بعد نقل كائن ما‪ ،‬هل يمكن تحديد‬ ‫ما إذا كان يتعارض مع كائن آخر ؟ قد تكون المهمة ذات‬ ‫المستوى المنخفض هي تحديد المشين التي تشترك في قمة أو حافة‬ ‫مشتركة مع مثلث محدد‪.‬قد يتطلب هذا البحث الخطي من خلال‬ ‫قائمة المثلث لتحديد ما إذا كانت تشترك في قمة أم اثنين‪.‬إذا‬ ‫كان هناك ملايين المثلثات‪ ،‬وهذا أمر غير شائع فسيكون تنفيذ هذه‬ ‫العملية مرارا وتكراًرا‪.‬‬ ‫عرض النموذج ‪viewing the models‬‬ ‫إن أحد أهم جوانب ‪ VR‬هو كيف ستبدو النماذج عند عرضها"‬ ‫على الشاشة‪.‬وتنقسم هذه المشكلة إلى قسمين‪.‬يتضمن الجزء الأول‬ ‫تحديد مكان ظهور النقاط في العالم الافتراضي على‬ ‫الشاشة‪.‬يتم تحقيق ذلك من خلال عرض التحولات‬ ‫في القسم الرابع‪ ،‬والتي يتم دمجها مع التحولات الأخرى‬ ‫في القسم الخامس لإنتاج النتيجة النهائية‪.‬‬ ‫يتضمن الجزء الثاني كيف يجب أن يظهر كل جزء من النموذج‬ ‫بعد مراعاة مصادر الإضاءة وخصائص السطح المحددة في العالم‬ ‫الافتراضي‪.‬هذه هي مشكلة العرض ‪.‬‬ ‫استنتج موقع النقطة (‪ )3 , 4‬في البيئة الافتراضية اذا‬ ‫علمت ان مصفوفة الانتقال هي‪:‬‬ ‫موقع النقطة هو (‪)18 , 4‬‬  ‫اذكر الشرط اللازم للحصول علي الحالات التالية في البيئات‬ ‫الافتراضية ‪:‬‬ ‫‪ -1‬عدم تمدد محاور النموذج ‪.‬‬ ‫يجب أن يكون طول أعمدة ‪ M‬طولها الوحدة ‪:‬‬ ‫‪ -2‬عدم حدوث قص للنموذج ‪.‬‬ ‫يجب أن تظل محاور الإحداثيات عموديا‪.‬خلاف ذلك‪ ،‬يحدث‬ ‫القص ‪.shearing‬نظرا لأن أعمدة ‪ M‬تشير إلى كيفية تحويل‬ ‫المحاور‪ ،‬فإن القاعدة تشير إلى أن مجموع حاصل ضربهما‬ ‫‪ product‬الداخلي للنقطة (‪ )dot‬هو صفر‬ ‫‪ -3‬عدم حدوث انعكاس للنموذج‪.‬‬ ‫يجب أن يكون محدد ‪ )determinant of M) M‬موجبا‪.‬بعد‬ ‫استيفاء القاعدتين الأوليين‪ ،‬فإن المحددات الممكنة‬ ‫الوحيدة المتبقية هي ( الحالة العادية) و ‪-1‬‬ ‫حالة الصورة المتطابقة)‪.‬وبالتالي‪ ،‬فإن القاعدة تعني‬ ‫ما يلي‪:‬‬