Algebra 2º ESO PDF

# Productos notables ## Extracción de factor común Cuando hablamos de extraer factor común, nos referimos a una transformación a la que se pueden someter ciertas sumas y restas, y que resulta muy útil en el cálculo algebraico. Observa la siguiente expresión: $a\cdot b + a \cdot c - a \cdot d$ -...

# Productos notables ## Extracción de factor común Cuando hablamos de extraer factor común, nos referimos a una transformación a la que se pueden someter ciertas sumas y restas, y que resulta muy útil en el cálculo algebraico. Observa la siguiente expresión: $a\cdot b + a \cdot c - a \cdot d$ - Es una suma cuyos sumandos son productos. - Todos los productos tienen el factor común _a_. Entonces, podemos transformar la suma en un producto sacando factor común y colocando un paréntesis. $a.b+a.c-a.d=a.\left( b+c-d \right)$ Observa que la transformación no es otra cosa que la aplicación de la propiedad distributiva. ### **Ejemplos** - $4 + 4.6 = 4. (1 + 6)$ - $a^{2} + a.b = a.a + a.b = a(a + b)$ - $x^{3} -2x^{2} +5x = x.x ^{2} - x.2x + 5x = (x^{2} - 2x + 5).x$ ### **Aplicaciones** La extracción de factor común se emplea en la simplificación de fracciones, como puedes comprobar en los siguientes ejemplos: ### **Ejemplos** - $\frac{5a}{5a+5b}= \frac{5a}{5(a+b)} = \frac{a}{(a+b)}$ - $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab} = \frac{a.a}{a(a+b)} = \frac{a}{(a+b)}$ - $\frac{m^{2}}{m^{2}-mn} = \frac{m.m}{m(m-n)} = \frac{m}{(m-n)}$ - $\frac{m^{2}}{m^{2}-n^{2}} = \frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{m}{(m+n)}$ ### **Caso particular** Cuando el factor común a extraer coincide con uno de los sumandos, en su lugar en la suma queda la unidad. $a + ab = a1 + ab = a(1 + b)$ ### **Ten en cuenta** Razona los pasos de esta simplificación: $5a + 5 = 5(a+1) = a+1$ ### **Para fijar ideas** 2. Copia y completa. a) $7x + 7y = 7(x + y)$ b) $ax + ay = a(x + y)$ c) $6a – 9b = 3(2a - 3b)$ d) $x^{2}y - xy^{2} = xy(x-y)$ 3. Copia y completa como en el ejemplo. $2a(a+3) = 2a^{2} + 6a = 2a^{2} + 6a = 2a(a + 3)$ a) $5a(2+a) + 10 + 5a^{2} = 5a(2+a) + 5(2 + a) = 5a (2 + a) + 5(2+a)=\boxed{5(a+2)(a+1)}$ b) $3x(1-4x) = 3x - 12x^{2} = \boxed{3x(1-4x)}$ c) $x^{2}(x-5) = x^{3}- 5x^{2} = \boxed{x^{2}(x-5)}$ 4. Observa el recuadro **Ten en cuenta**. Después, copia y completa en tu cuaderno: a) $\frac{x}{x-1} = \frac{x}{x-1}$ b) $\frac{3a}{6x^{2}} = \frac{3a}{2x^{2} \cdot 3} = \frac{3a}{2x^{2}(1)}$ c) $\frac{6x^{2}+2x}{2x^{2}} = \frac{2x(3x+1)}{2x^{2}} = \frac{3x+1}{\boxed{x}}$ # Ejercicios y problemas ## ¿Dominas lo básico? ### **Lenguaje algebraico** 1. Si llamamos _x_ a un número cualquiera, escribe una expresión algebraica para cada enunciado: a) Su siguiente. $x+1$ b) El triple de su siguiente. $3(x+1)$ c) Su anterior. $x-1$ d) La mitad de su anterior. $\frac{x-1}{2}$ e) El número cinco unidades mayor que _x_. $x+5$ f) El doble del número cinco unidades mayor que _x_. $2(x+5)$ g) El número cinco unidades mayor que el doble de _x_. $2x+5$ 6. Copia y completa la tabla, sabiendo que los valores _a_, _b_ y _c_ se relacionan mediante la fórmula: $c=3a+2b$ | a | b | C | |:---:|:---:|:---:| | 0 | 0 | 0 | | 2 | 0 | 6 | | 3 | 5 | 19 | | 4 | 7 | 26 | | 3 | 9 | 33 | ### **Monomios** 7. Copia y completa. | Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $2$ | $2$ | $1$ | $0$ | | $8a$ | $8$ | $a$ | $1$ | | $2xy$ | $2$ | $xy$ | $2$ | | $a^{3}b$ | $1$ | $a^{3}b$ | $4$ | ### **Opera** 8. Opera. a) $2x + 8x = 10x$ b) $7a - 5a =2a$ c) $2x - 5x = -3x$ d) $3a - 10a = -7a$ e) $8x - 6 - 3x - 1 = 5x - 7$ f) $6a - 2 - 5a - 1 = a - 3$ g) $2x - 3 - 9x + 1 = -7x - 2$ h) $a - 6 - 2a + 7 = -a + 1$ 9. Quita paréntesis y reduce. a) $x(x-2) = x^{2} - 2x$ b) $3x + (2x + 3) = 5x + 3$ c) $(5x - 1)(2x + 1) = 10x^{2} + 3x - 2x - 1 = 10x^{2} + x - 1$ d) $(7x - 4) + (1 - 6x) = x - 3$ e) $(13x) - (1 - 5x) = 13x - 1 + 5x = 18x - 1$ f) $2x(x-3) = 2x^{2} - 6x$ 10. Opera y reduce. a) $5x - 2 = 5x - 2$ b) $6x : 2 = 3x$ c) $3x - 4x = -x$ d) $12x : 3x = 4$ e) $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ f) $15x^{6} : 5x^{4}= 3x^{2}$ ### **Polinomios** 11. Indica el grado de cada polinomio: a) $ x^{3} + 3x^{2} + 2x - 6 = 3$ b) $4 -3x^{2} = 2$ c) $2x^{5} - 4x^{2} + 1 = 5$ d) $7x^{4} - x^{3} + x^{2} + 1 = 4$ 12. Reduce. a) $x^{2} - 6x + 1 + x^{2} + 3x - 5 = 2x^{2} - 3x - 4$ b) $4-3x^{2}= 4-3x^{2}$ c) $2x^{5}- 4x^{2} + 1 = 2x^{5} - 4x^{2 }+ 1$ d) $7x^{4} - x^{3} + x^{2} + 1 = 7x^{4} - x^{3} + x^{2} + 1$ 13. Quita paréntesis y reduce. a) $(3x^{2} - 5x + 6) + (2x - 8) = 3x^{2} - 3x - 2 $ b) $(6-3x + 5x^{2})(x^{2} - x + 3) = 6x^{2} - 6x + 18 -3x^{3} + 3x^{2}-9x + 5x^{4} -5x^{3} +15x^{2}= 5x^{4} - 8x^{3} + 24x^{2} - 15x + 18$ c) $(9x^{2} - 5x + 2) - (7x^{2} - 3x - 7) = 9x^{2} - 5x + 2 - 7x^{2} + 3x + 7 = 2x^{2} - 2x + 9$ d) $(3x^{2} - 1)(5x + 2) + (x^{2} - 3x) = 15x^{3} + 6x^{2} - 5x -2 + x^{2} - 3x = 16x^{3} + 7x^{2} - 8x - 2$ ### **Para practicar** 5. Extrae factor común. a) $8x + 8y = 8(x + y)$ b) $8 + 4a = 4(2 + a)$ c) $x^{2} + xy = x(x + y)$ d) $2a^{2} + 6a =2a(a+3)$ e) $6a + 2a^{3} = 2a(3+a^{2})$ f) $x^{3} + x^{2} - x = x(x^{2} + x - 1)$ 6. Simplifica. a) $3x = 3x$ b) $\frac{4a}{4a + 8b} = \frac{4a}{4 (a+2b)} = \frac{a}{a+2b}$ c) $\frac{x^{2}}{x^{2} + x^{3}} = \frac{x^{2}}{x^{2}(1+x)} = \frac{1}{1+x}$ ## Dominas lo básico? ### **Lenguaje algebraico** 1. Si llamamos _x_ a un número cualquiera, escribe una expresión algebraica para cada enunciado: a) Su siguiente. $x+1$. b) El triple de su siguiente. $3(x+1)$. c) Su anterior. $x-1$. d) La mitad de su anterior. $\frac{x-1}{2}$. e) El número cinco unidades mayor que _x_. $x+5$. f) El doble del número cinco unidades mayor que _x_. $2(x+5)$. g) El número cinco unidades mayor que el doble de _x_. $2x+5$. ### **Monomios** 7. Copia y completa. | Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $2$ | $2$ | $1$ | $0$ | | $8a$ | $8$ | $a$ | $1$ | | $2xy$ | $2$ | $xy$ | $2$ | | $a^{3}b$ | $1$ | $a^{3}b$ | $4$ | ### **Opera** 8. Opera. a) $2x + 8x = 10x$. b) $7a - 5a =2a$. c) $2x - 5x = -3x$. d) $3a - 10a = -7a$. e) $8x - 6 - 3x - 1 = 5x - 7$. f) $6a - 2 - 5a - 1 = a - 3$. g) $2x - 3 - 9x + 1 = -7x - 2$. h) $a - 6 - 2a + 7 = -a + 1$. 9. Quita paréntesis y reduce. a) $x(x-2) = x ^{2} - 2x$. b) $3x + (2x + 3) = 5x + 3$. c) $(5x - 1)(2x + 1) = 10x^{2} + 3x - 2x - 1 = 10x^{2} + x - 1$. d) $(7x - 4) + (1 - 6x) = x - 3$. e) $(13x) - (1 - 5x) = 13x - 1 + 5x = 18x - 1$. f) $2x(x-3) = 2x^{2} - 6x$. 10. Opera y reduce. a) $5x - 2 = 5x - 2$. b) $6x : 2 = 3x$. c) $3x - 4x = -x$. d) $12x : 3x = 4$. e) $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$. f) $15x^{6} : 5x^{4}= 3x^{2}$. ### **Polinomios** 11. Indica el grado de cada polinomio: a) $ x^{3} + 3x^{2} + 2x - 6 = 3$. b) $4 -3x^{2} = 2$. c) $2x^{5} - 4x^{2} + 1 = 5$. d) $7x^{4} - x^{3} + x^{2} + 1 = 4$. 12. Reduce. a) $x^{2} - 6x + 1 + x^{2} + 3x - 5 = 2x^{2} - 3x - 4$. b) $4-3x^{2}= 4-3x^{2}$. c) $2x^{5}- 4x^{2} + 1 = 2x^{5} - 4x^{2 }+ 1$. d) $7x^{4} - x^{3} + x^{2} + 1 = 7x^{4} - x^{3} + x^{2} + 1$. 13. Quita paréntesis y reduce. a) $(3x^{2} - 5x + 6) + (2x - 8) = 3x^{2} - 3x - 2 $. b) $(6-3x + 5x^{2})(x^{2} - x + 3) = 6x^{2} - 6x + 18 -3x^{3} + 3x^{2}-9x + 5x^{4} -5x^{3} +15x^{2}= 5x^{4} - 8x^{3} + 24x^{2} - 15x + 18$. c) $(9x^{2} - 5x + 2) - (7x^{2} - 3x - 7) = 9x^{2} - 5x + 2 - 7x^{2} + 3x + 7 = 2x^{2} - 2x + 9$. d) $(3x^{2} - 1)(5x + 2) + (x^{2} - 3x) = 15x^{3} + 6x^{2} - 5x -2 + x^{2} - 3x = 16x^{3} + 7x^{2} - 8x - 2$. ### **Para practicar** 5. Extrae factor común. a) $8x + 8y = 8(x + y)$. b) $8 + 4a = 4(2 + a)$. c) $x^{2} + xy = x(x + y)$. d) $2a^{2} + 6a =2a(a+3)$. e) $6a + 2a^{3} = 2a(3+a^{2})$. f) $x^{3} + x^{2} - x = x(x^{2} + x - 1)$. 6. Simplifica. a) $3x = 3x$. b) $\frac{4a}{4a + 8b} = \frac{4a}{4 (a+2b)} = \frac{a}{a+2b}$. c) $\frac{x^{2}}{x^{2} + x^{3}} = \frac{x^{2}}{x^{2}(1+x)} = \frac{1}{1+x}$. ## Ejercicios y problemas ### **¿Dominas lo básico?** #### **Lenguaje algebraico** 1. Si llamamos _x_ a un número cualquiera, escribe una expresión algebraica para cada enunciado: a) Su siguiente: $x + 1$. b) El triple de su siguiente: $3(x + 1)$. c) Su anterior: $x - 1$. d) La mitad de su anterior: $\frac{x - 1}{2}$. e) El número cinco unidades mayor que _x_: $x + 5$. f) El doble del número cinco unidades mayor que _x_: $2(x + 5)$. g) El número cinco unidades mayor que el doble de _x_: $2x + 5$. #### **Monomios** 7. Copia y completa. | Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado | |:---:|:---:|:---:|:---:| | 2 | 2 | 1 | 0 | | 8a | 8 | a | 1 | | 2xy | 2 | xy | 2 | | a³b | 1 | a³b | 4 | #### **Opera** 8. Opera. a) 2x + 8x = 10x. b) 7a - 5a = 2a. c) 2x - 5x = -3x. d) 3a - 10a = -7a. e) 8x - 6 - 3x - 1 = 5x - 7. f) 6a - 2 - 5a - 1 = a - 3. g) 2x - 3 - 9x + 1 = -7x - 2. h) a - 6 - 2a + 7 = -a + 1. 9. Quita paréntesis y reduce. a) x(x - 2) = x² - 2x. b) 3x + (2x + 3) = 5x + 3. c) (5x - 1)(2x + 1) = 10x² + 3x - 2x - 1 = 10x² + x - 1. d) (7x - 4) + (1 - 6x) = x - 3. e) (13x) - (1 - 5x) = 13x - 1 + 5x = 18x - 1. f) 2x(x - 3) = 2x² - 6x. 10. Opera y reduce. a) 5x - 2 = 5x - 2. b) 6x : 2 = 3x. c) 3x - 4x = -x. d) 12x : 3x = 4. e) x² · x³ = x⁵. f) 15x⁶ : 5x⁴ = 3x². #### **Polinomios** 11. Indica el grado de cada polinomio: a) x³ + 3x² + 2x - 6 = 3. b) 4 - 3x² = 2. c) 2x⁵ - 4x² + 1 = 5. d) 7x⁴ - x³ + x² + 1 = 4. 12. Reduce. a) x² - 6x + 1 + x² + 3x - 5 = 2x² - 3x - 4. b) 4 - 3x² = 4 - 3x². c) 2x⁵ - 4x² + 1 = 2x⁵ - 4x² + 1. d) 7x⁴ - x³ + x² + 1 = 7x⁴ - x³ + x² + 1. 13. Quita paréntesis y reduce. a) (3x² - 5x + 6) + (2x - 8) = 3x² - 3x - 2. b) (6 - 3x + 5x²)(x² - x + 3) = 6x² - 6x + 18 - 3x³ + 3x² - 9x + 5x⁴ - 5x³ + 15x² = 5x⁴ - 8x³ + 24x² - 15x + 18. c) (9x² - 5x + 2) - (7x² - 3x - 7) = 9x² - 5x + 2 - 7x² + 3x + 7 = 2x² - 2x + 9. d) (3x² - 1)(5x + 2) + (x² - 3x) = 15x³ + 6x² - 5x - 2 + x² - 3x = 16x³ + 7x² - 8x - 2. #### **Para practicar** 5. Extrae factor común. a) 8x + 8y = 8(x + y). b) 8 + 4a = 4(2 + a). c) x² + xy = x(x + y). d) 2a² + 6a = 2a(a + 3). e) 6a + 2a³ = 2a(3 + a²). f) x³ + x² - x = x(x² + x - 1). 6. Simplifica. a) 3x = 3x. b) $\frac{4a}{4a + 8b} = \frac{4a}{4(a + 2b)} = \frac{a}{a + 2b}$. c) $\frac{x^{2}}{x^{2} + x^{3}} = \frac{x^{2}}{x^{2}(1 + x)} = \frac{1}{1 + x}$.