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# Algèbre linéaire ## 1. Matrices ### Définition Une matrice est un tableau de nombres. * $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ est une matrice $2 \times 2$. * $A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{m...

# Algèbre linéaire ## 1. Matrices ### Définition Une matrice est un tableau de nombres. * $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ est une matrice $2 \times 2$. * $A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ est une matrice $m \times n$. $a_{ij}$ est le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$. ### Opérations * **Addition** $A + B = (a_{ij}) + (b_{ij}) = (a_{ij} + b_{ij})$ * **Multiplication par un scalaire** $\lambda A = \lambda (a_{ij}) = (\lambda a_{ij})$ * **Produit matriciel** $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ et $B \in M_{n,p}(\mathbb{R})$, alors $AB \in M_{m,p}(\mathbb{R})$ et $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ * **Transposition** $A = (a_{ij}) \in M_{m,n}(\mathbb{R})$, alors $A^T = (a_{ji}) \in M_{n,m}(\mathbb{R})$ ### Propriétés * $(A + B)^T = A^T + B^T$ * $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ * $(AB)^T = B^T A^T$ ### Matrices particulières * **Matrice carrée**: $A \in M_{n,n}(\mathbb{R})$ * **Matrice identité**: $I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$ * **Matrice diagonale**: $A = (a_{ij})$ avec $a_{ij} = 0$ si $i \neq j$ * **Matrice triangulaire supérieure**: $A = (a_{ij})$ avec $a_{ij} = 0$ si $i > j$ * **Matrice triangulaire inférieure**: $A = (a_{ij})$ avec $a_{ij} = 0$ si $i < j$ * **Matrice symétrique**: $A^T = A$ * **Matrice antisymétrique**: $A^T = -A$ ## 2. Systèmes linéaires ### Définition Un système linéaire est un système d'équations de la forme: $\begin{cases} a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$ ### Résolution * **Méthode de Gauss** * **Méthode de Cramer** ### Représentation matricielle $AX = B$ avec $A = (a_{ij})$, $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$ ## 3. Déterminants ### Définition Le déterminant d'une matrice carrée $A$ est un nombre réel noté $\det(A)$ ou $|A|$. * **Déterminant d'une matrice $2 \times 2$**: $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $\det(A) = ad - bc$ * **Déterminant d'une matrice $3 \times 3$**: $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$, $\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ ### Propriétés * $\det(A^T) = \det(A)$ * $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ * $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ si $A \in M_{n,n}(\mathbb{R})$ * Si $A$ a deux lignes ou deux colonnes identiques, alors $\det(A) = 0$ * Si on échange deux lignes ou deux colonnes de $A$, alors le déterminant change de signe. * Si on multiplie une ligne ou une colonne de $A$ par $\lambda$, alors le déterminant est multiplié par $\lambda$. * Si on ajoute à une ligne ou une colonne de $A$ une combinaison linéaire des autres lignes ou colonnes, alors le déterminant ne change pas. ### Calcul du déterminant * **Développement par rapport à une ligne ou une colonne** * **Triangularisation** ## 4. Espaces vectoriels ### Définition Un espace vectoriel est un ensemble $E$ muni de deux opérations: * **Addition**: $E \times E \rightarrow E$, $(x, y) \mapsto x + y$ * **Multiplication par un scalaire**: $\mathbb{R} \times E \rightarrow E$, $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ vérifiant les axiomes suivants: * $(E, +)$ est un groupe commutatif * Associativité: $(x + y) + z = x + (y + z)$ * Élément neutre: $\exists 0 \in E$ tel que $x + 0 = x$ * Opposé: $\forall x \in E, \exists -x \in E$ tel que $x + (-x) = 0$ * Commutativité: $x + y = y + x$ * Distributivité: * $\lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y$ * $(\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x$ * Associativité: $(\lambda \mu) x = \lambda (\mu x)$ * Élément neutre: $1x = x$ ### Exemples * $\mathbb{R}^n$ * $\mathbb{C}^n$ * $M_{m,n}(\mathbb{R})$ * $\mathbb{R}[X]$ (polynômes à coefficients réels) * $C^0([a, b], \mathbb{R})$ (fonctions continues sur $[a, b]$) ### Sous-espace vectoriel Un sous-ensemble $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si: * $0 \in F$ * $\forall x, y \in F, x + y \in F$ * $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in F, \lambda x \in F$ ### Combinaison linéaire $x \in E$ est une combinaison linéaire de $x_1, \dots, x_n \in E$ si $\exists \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{R}$ tels que $x = \lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_n x_n$ ### Famille génératrice Une famille $(x_1, \dots, x_n)$ est génératrice de $E$ si tout élément de $E$ est une combinaison linéaire de $x_1, \dots, x_n$. ### Famille libre Une famille $(x_1, \dots, x_n)$ est libre si $\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_n x_n = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$ ### Base Une base de $E$ est une famille libre et génératrice de $E$. ### Dimension La dimension de $E$ est le nombre d'éléments d'une base de $E$. ## 5. Applications linéaires ### Définition Une application $f: E \rightarrow F$ est linéaire si: * $f(x + y) = f(x) + f(y)$ * $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ ### Exemples * $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, f(x, y) = (x + y, x - y)$ * $f: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X], f(P) = P'$ ### Noyau et image * **Noyau**: $\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0\}$ * **Image**: $\operatorname{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in E\}$ ### Rang $\operatorname{rg}(f) = \dim(\operatorname{Im}(f))$ ### Théorème du rang $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \operatorname{rg}(f)$ ### Isomorphisme $f: E \rightarrow F$ est un isomorphisme si $f$ est linéaire et bijective.