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# Fonction logarithme népérien ## I. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la primitive de la fonction $x \longmapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1. **Conséquences:** * ln est définie et dérivable sur $]0; +\infty[$ * $\ln(1) = 0$ * Po...

# Fonction logarithme népérien ## I. Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur $]0; +\infty[$ et est la primitive de la fonction $x \longmapsto \frac{1}{x}$ qui s'annule en 1. **Conséquences:** * ln est définie et dérivable sur $]0; +\infty[$ * $\ln(1) = 0$ * Pour tout $x > 0, (\ln(x))' = \frac{1}{x}$ ## II. Propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tout entier relatif n: * $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ * $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ * $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ * $\ln(a^n) = n\ln(a)$ * $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$ ## III. Étude de la fonction ln ### A. Sens de variation ln est dérivable sur $]0; +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x} > 0$. Donc ln est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. ### B. Limites * $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ * $\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ **Conséquences:** * $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ * $\lim_{x \to 0} x\ln(x) = 0$ ### C. Courbe représentative La courbe représentative de la fonction ln est donnée ci-dessous: | x | 0 | 1 | e | +$\infty$ | | :--- | :---- | :-- | :-- | :--------- | | ln(x) | -$\infty$ | 0 | 1 | +$\infty$ | *Graphique d'une fonction logarithme népérien croissante partant de moins l'infini en x = 0 et tendant vers plus l'infini.* ## IV. Résolution d'équations et d'inéquations ln est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. Pour tous réels a et b strictement positifs: * $\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$ * $\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b$ ## V. Dérivées Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction $\ln(u)$ est dérivable sur I et: $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$